Trigonometrijos pavyzdžiai. Trigonometrinės lygtys

Sprendžiant daugelį matematikos uždaviniai, ypač tie, kurie įvyksta iki 10 klasės, aiškiai apibrėžta atliekamų veiksmų, kurie leis pasiekti tikslą, tvarka. Tokios problemos apima, pavyzdžiui, tiesines ir kvadratines lygtis, tiesines ir kvadratinės nelygybės, trupmenines lygtis ir lygtys, kurios redukuoja į kvadratines. Kiekvieno iš paminėtų uždavinių sėkmingo sprendimo principas yra toks: reikia nustatyti, kokio tipo uždavinys yra sprendžiamas, prisiminti reikiamą veiksmų seką, kuri leis pasiekti norimą rezultatą, t.y. atsakykite ir atlikite šiuos veiksmus.

Akivaizdu, kad sėkmė ar nesėkmė sprendžiant konkrečią problemą daugiausia priklauso nuo to, kaip teisingai nustatytas sprendžiamos lygties tipas, kaip teisingai atkurta visų jos sprendimo etapų seka. Žinoma, būtina turėti įgūdžių atlikti identiškos transformacijos ir kompiuterija.

Kitokia situacija susidaro su trigonometrines lygtis. Nesunku nustatyti, kad lygtis yra trigonometrinė. Sunkumai iškyla nustatant veiksmų seką, kuri leistų gauti teisingą atsakymą.

Autorius išvaizda lygtis kartais sunku nustatyti jos tipą. O nežinant lygties tipo iš kelių dešimčių trigonometrinių formulių išsirinkti tinkamą beveik neįmanoma.

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, turime pabandyti:

1. visas į lygtį įtrauktas funkcijas nukreipkite į „tais pačiais kampais“;
2. perkelkite lygtį į „tas pačias funkcijas“;
3. faktorizuokite kairę lygties pusę ir kt.

Apsvarstykite pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo metodai.

I. Redukcija į paprasčiausias trigonometrines lygtis

Sprendimo schema

1 žingsnis. Išreikškite trigonometrinę funkciją žinomais komponentais.

2 žingsnis Raskite funkcijos argumentą naudodami formules:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

įdegis x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3 veiksmas Raskite nežinomą kintamąjį.

Pavyzdys.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Sprendimas.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Atsakymas: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Kintamasis pakeitimas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Išveskite lygtį į algebrinę formą vienos iš trigonometrinių funkcijų atžvilgiu.

2 žingsnis Gautą funkciją pažymėkite kintamuoju t (jei reikia, įveskite t apribojimus).

3 veiksmasĮrašykite ir išspręskite algebrinė lygtis.

4 veiksmas Atlikite atvirkštinį pakeitimą.

5 veiksmas Išspręskite paprasčiausią trigonometrinę lygtį.

Pavyzdys.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Sprendimas.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Tegul sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 arba e = -3/2 netenkina sąlygos |t| ≤ 1.

4) nuodėmė (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atsakymas: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Lygčių eilės mažinimo metodas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Pakeiskite duota lygtis tiesinė, naudojant redukcijos formules:

nuodėmė 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

įdegis 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2 žingsnis Išspręskite gautą lygtį naudodami I ir II metodus.

Pavyzdys.

cos2x + cos2x = 5/4.

Sprendimas.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Atsakymas: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeninės lygtys

Sprendimo schema

1 žingsnis. Pateikite šią lygtį į formą

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeninė pirmojo laipsnio lygtis)

arba į vaizdą

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

2 žingsnis Padalinkite abi lygties puses iš

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ir gaukite tg x lygtį:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3 veiksmas Išspręskite lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Sprendimas.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Tada tegul tg x = t

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 arba t = -4, taigi

tg x = 1 arba tg x = -4.

Iš pirmosios lygties x = π/4 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties x = -arctg 4 + πk, kЄZ.

Atsakymas: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Lygties transformavimo naudojant trigonometrines formules metodas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Naudojant visokias trigonometrines formules, perkelkite šią lygtį į lygtį, išspręstą I, II, III, IV metodais.

2 žingsnis Išspręskite gautą lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Sprendimas.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 arba 2cos x + 1 = 0;

Iš pirmosios lygties 2x = π/2 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties cos x = -1/2.

Turime x = π/4 + πn/2, n Є Z; iš antrosios lygties x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Dėl to x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Atsakymas: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Gebėjimas ir įgūdžiai spręsti trigonometrines lygtis yra labai svarbu, kad jų kūrimas reikalauja didelių pastangų tiek iš mokinio, tiek iš mokytojo pusės.

Su trigonometrinių lygčių sprendimu siejama daug stereometrijos, fizikos ir kt. uždavinių.. Tokių uždavinių sprendimo procese tarsi yra daug žinių ir įgūdžių, kurie įgyjami studijuojant trigonometrijos elementus.

Trigonometrinės lygtys užima svarbią vietą matematikos mokymo ir apskritai asmenybės ugdymo procese.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trigonometrines lygtis?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditus, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų, teismo tvarka, teisminio proceso tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Pamoka ir pranešimas tema: „Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje „Integral“ 10 klasei nuo 1C
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje
Programinės įrangos aplinka „1C: Mathematical Constructor 6.1“

Ką mes studijuosime:
1. Kas yra trigonometrinės lygtys?

3. Du pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.
4. Homogeninės trigonometrinės lygtys.
5. Pavyzdžiai.

Kas yra trigonometrinės lygtys?

Vaikinai, mes jau ištyrėme arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arccotangentą. Dabar pažvelkime į trigonometrines lygtis apskritai.

Trigonometrinės lygtys – lygtys, kuriose kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu.

Pakartojame paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formą:

1) Jei |а|≤ 1, tai lygtis cos(x) = a turi sprendimą:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jei |а|≤ 1, tai lygtis sin(x) = a turi sprendimą:

3) Jei |a| > 1, tada lygtis sin(x) = a ir cos(x) = a neturi sprendinių 4) Lygtis tg(x)=a turi sprendimą: x=arctg(a)+ πk

5) Lygtis ctg(x)=a turi sprendimą: x=arcctg(a)+ πk

Visose formulėse k yra sveikas skaičius

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys turi tokią formą: Т(kx+m)=a, T- bet kuri trigonometrinė funkcija.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtis: a) sin(3x)= √3/2

Sprendimas:

A) Pažymime 3x=t, tada perrašysime savo lygtį į formą:

Šios lygties sprendimas bus toks: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Iš verčių lentelės gauname: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Grįžkime prie kintamojo: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atsakymas: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n yra sveikas skaičius. (-1)^n – atėmus vieną iki n laipsnio.

Daugiau trigonometrinių lygčių pavyzdžių.

Išspręskite lygtis: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Sprendimas:

A) Šį kartą iš karto pereisime prie lygties šaknų skaičiavimo:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada x/5= πk => x=5πk

Atsakymas: x=5πk, kur k yra sveikas skaičius.

B) Rašome tokia forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Žinome, kad: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atsakymas: x=2π/9 + πk/3, kur k yra sveikas skaičius.

Išspręskite lygtis: cos(4x)= √2/2. Ir suraskite visas šaknis segmente.

Sprendimas:

Mes nuspręsime bendras vaizdas mūsų lygtis: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x = ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Dabar pažiūrėkime, kokios šaknys patenka į mūsų segmentą. Jei k Kai k=0, x= π/16, esame duotame segmente .
Kai k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, jie pataiko dar kartą.
Jei k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet čia nepataikėme, vadinasi, nepataikysime ir dėl didelio k.

Atsakymas: x= π/16, x= 9π/16

Du pagrindiniai sprendimo būdai.

Mes apsvarstėme paprasčiausias trigonometrines lygtis, tačiau yra ir sudėtingesnių. Jiems išspręsti naudojamas naujo kintamojo įvedimo ir faktorizavimo metodas. Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Išspręskime lygtį:

Sprendimas:
Norėdami išspręsti savo lygtį, naudojame naujo kintamojo įvedimo metodą, žymimą: t=tg(x).

Dėl pakeitimo gauname: t 2 + 2t -1 = 0

Raskime šaknis kvadratinė lygtis: t=-1 ir t=1/3

Tada tg(x)=-1 ir tg(x)=1/3, gavome paprasčiausią trigonometrinę lygtį, suraskime jos šaknis.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atsakymas: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Lygties sprendimo pavyzdys

Išspręskite lygtis: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Sprendimas:

Naudokime tapatybę: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsų lygtis tampa tokia: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Įveskime pakeitimą t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas yra šaknys: t=2 ir t=-1/2

Tada cos(x)=2 ir cos(x)=-1/2.

Nes kosinusas negali būti didesnis už vieną, tada cos(x)=2 neturi šaknų.

Jei cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atsakymas: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeninės trigonometrinės lygtys.

Apibrėžimas: a sin(x)+b cos(x) formos lygtis vadinama pirmojo laipsnio vienarūšėmis trigonometrinėmis lygtimis.

Formos lygtys

antrojo laipsnio vienarūšės trigonometrinės lygtys.

Norėdami išspręsti homogeninę pirmojo laipsnio trigonometrinę lygtį, padalijame ją iš cos (x): Negalite padalyti iš kosinuso, jei taip nulis, įsitikinkime, kad tai nėra:
Tegu cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinusas ir kosinusas nėra lygūs nuliui tuo pačiu metu, gavome prieštaravimą, todėl galime drąsiai dalyti nuliu.

Išspręskite lygtį:
Pavyzdys: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Sprendimas:

Išimkite bendrą koeficientą: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tada turime išspręsti dvi lygtis:

cos(x)=0 ir cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kai x= π/2 + πk;

Apsvarstykite lygtį cos(x)+sin(x)=0 Padalinkite mūsų lygtį iš cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atsakymas: x= π/2 + πk ir x= -π/4+πk

Kaip išspręsti vienarūšes antrojo laipsnio trigonometrines lygtis?
Vaikinai, visada laikykitės šių taisyklių!

1. Pažiūrėkite, kam lygus koeficientas a, jei a \u003d 0, mūsų lygtis bus tokia forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), kurios sprendimo pavyzdys yra ankstesniame. skaidrė

2. Jei a≠0, tuomet reikia padalyti abi lygties dalis iš kosinuso kvadrato, gauname:

Pakeitę kintamąjį t=tg(x), gauname lygtį:

Išspręskite pavyzdį #:3

Išspręskite lygtį:
Sprendimas:

Abi lygties puses padalinkite iš kosinuso kvadrato:

Keičiame kintamąjį t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Raskite kvadratinės lygties šaknis: t=-3 ir t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atsakymas: x=-arctg(3) + πk ir x= π/4+ πk

Išspręskite pavyzdį #:4

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Galime išspręsti tokias lygtis: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Atsakymas: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Išspręskite pavyzdį #:5

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Įvedame pakeitimą tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas bus šaknys: t=-2 ir t=1/2

Tada gauname: tg(2x)=-2 ir tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atsakymas: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ir x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Savarankiško sprendimo užduotys.

1) Išspręskite lygtį

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Išspręskite lygtis: sin(3x)= √3/2. Ir suraskite visas šaknis atkarpoje [π/2; π].

3) Išspręskite lygtį: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 =0

4) Išspręskite lygtį: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Išspręskite lygtį: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Išspręskite lygtį: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Ne paslaptis, kad sėkmė ar nesėkmė sprendžiant beveik bet kokią problemą daugiausia priklauso nuo tipo apibrėžimo teisingumo. duota lygtis, taip pat dėl ​​teisingo visų jo sprendimo etapų sekos atkūrimo. Tačiau trigonometrinių lygčių atveju visai nesunku nustatyti faktą, kad lygtis yra trigonometrinė. Tačiau nustatydami veiksmų seką, kuri turėtų lemti teisingą atsakymą, galime susidurti su tam tikrais sunkumais. Išsiaiškinkime, kaip teisingai išspręsti trigonometrines lygtis nuo pat pradžių.

Trigonometrinių lygčių sprendimas

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, turite pabandyti atlikti šiuos dalykus:

• Visas į mūsų lygtį įtrauktas funkcijas paverčiame „tais pačiais kampais“;
• Būtina pateikti pateiktą lygtį „identiškoms funkcijoms“;
• Pateiktos lygties kairiąją pusę išskaidome į veiksnius ar kitus būtinus komponentus.

Metodai

1 būdas. Tokias lygtis būtina išspręsti dviem etapais. Pirma, mes transformuojame lygtį, kad gautume paprasčiausią (supaprastintą) formą. Lygtis: Cosx = a, Sinx = a ir panašiai vadinamos paprasčiausiomis trigonometrinėmis lygtimis. Antras žingsnis – išspręsti gautą paprastą lygtį. Pažymėtina, kad paprasčiausią lygtį galima išspręsti algebriniu metodu, kuris mums gerai žinomas iš mokyklinio algebros kurso. Jis taip pat vadinamas pakeitimo ir kintamojo pakeitimo metodu. Naudodami redukcijos formules pirmiausia turite transformuoti, tada atlikti pakeitimą ir tada rasti šaknis.

Tada turite išskaidyti mūsų lygtį į galimus veiksnius, tam turite perkelti visus terminus į kairę ir tada galite išskaidyti į veiksnius. Dabar reikia suvesti šią lygtį į vienalytę, kurioje visi terminai yra vienodi, o kosinusas ir sinusas turi tą patį kampą.

Prieš sprendžiant trigonometrines lygtis, jos terminus reikia perkelti į kairę pusę, paimant juos iš dešinės, o tada skliausteliuose išimame visus bendruosius vardiklius. Savo skliaustus ir koeficientus prilyginame nuliui. Mūsų lygiaverčiai skliaustai yra sumažinto laipsnio vienalytė lygtis, kurią reikia padalyti iš sin(cos) iki didžiausios laipsnio. Dabar išsprendžiame algebrinę lygtį, kuri buvo gauta atsižvelgiant į įdegį.

2 metodas. Kitas metodas, kuriuo galite išspręsti trigonometrinę lygtį, yra perėjimas prie pusės kampo. Pavyzdžiui, išsprendžiame lygtį: 3sinx-5cosx=7.

Turime pereiti prie pusės kampo, mūsų atveju tai yra: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2). Ir po to visus terminus sumažiname į vieną dalį (patogumui geriau pasirinkti tinkamą) ir pereiname prie lygties sprendimo.

Jei reikia, galite įvesti pagalbinį kampą. Tai daroma, kai reikia pakeisti sveikojo skaičiaus reikšmę sin (a) arba cos (a), o ženklas „a“ veikia tik kaip pagalbinis kampas.

produkto suma

Kaip išspręsti trigonometrines lygtis naudojant sumos sandaugą? Tokioms lygtims išspręsti taip pat gali būti naudojamas metodas, žinomas kaip produkto konvertavimas į sumą. Šiuo atveju būtina naudoti lygtį atitinkančias formules.

Pavyzdžiui, turime lygtį: 2sinx * sin3x= cos4x

Šią problemą turime išspręsti konvertuodami kairę pusę į sumą, būtent:

cos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Jei aukščiau pateikti metodai netinka, o jūs vis dar nežinote, kaip išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis, galite naudoti kitą metodą – universalųjį pakeitimą. Su juo galite pakeisti išraišką ir pakeisti ją. Pavyzdžiui: Cos(x/2)=u. Dabar galime išspręsti lygtį su nurodytu parametru u. Ir gavę norimą rezultatą, nepamirškite šios reikšmės išversti į priešingą pusę.

Daugeliui „patyrusių“ studentų patariama kreiptis į žmones internete, kad jie spręstų lygtis. Klausiate, kaip išspręsti trigonometrinę lygtį internete. Dėl internetiniai sprendimai iškilus problemoms, galite kreiptis į atitinkamų temų forumus, kur jie gali padėti patarti ar išspręsti problemą. Bet geriausia pabandyti tvarkytis patiems.

Trigonometrinių lygčių sprendimo įgūdžiai ir gebėjimai yra labai svarbūs ir naudingi. Jų vystymas pareikalaus iš jūsų daug pastangų. Su tokių lygčių sprendimu siejama daug fizikos, stereometrijos ir kt. Ir pats tokių problemų sprendimo procesas reiškia įgūdžių ir žinių, kurias galima įgyti studijuojant trigonometrijos elementus, buvimą.

Išmokite trigonometrines formules

Sprendžiant lygtį gali tekti naudoti bet kurią trigonometrijos formulę. Žinoma, galite pradėti jo ieškoti savo vadovėliuose ir apgaulės lapuose. O jei šios formulės bus įdėtos į galvą, ne tik sutaupysite savo nervus, bet ir gerokai palengvinsite savo užduotį, negaišdami laiko reikalingos informacijos paieškoms. Taigi turėsite galimybę apgalvoti racionaliausią problemos sprendimo būdą.

Pateikiami santykiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina ir trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – daugiakampio funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per puskampio liestinę ir pan.

Šiame straipsnyje eilės tvarka išvardijame visas pagrindines trigonometrines formules, kurių pakanka daugumai trigonometrijos problemų išspręsti. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles.

Puslapio naršymas.

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

Pagrindinis trigonometrinės tapatybės nustatyti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vieneto apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją per bet kurią kitą.

Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Liejamos formulės

Liejamos formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio tam tikru kampu savybę. Šios trigonometrinės formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkais kampais prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių.

Šių formulių pagrindimas, mnemoninė taisyklė Straipsnyje galite sužinoti apie jų įsiminimą ir jų taikymo pavyzdžius.

Papildymo formulės

Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos šių kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra šių trigonometrinių formulių išvedimo pagrindas.

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis.

Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampas .

Pusės kampo formulės

Pusės kampo formulės parodykite, kaip pusės kampo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos sveikojo kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės kyla iš dvigubo kampo formulių.

Jų išvadas ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Sumažinimo formulės

Trigonometrinės mažėjančių laipsnių formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralių trigonometrinių funkcijų galių prie sinusų ir kosinusų pirmojo laipsnio, bet kelių kampų. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios.

Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės

pagrindinė paskirties vieta trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės susideda iš perėjimo prie funkcijų sandaugos, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrines išraiškas. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes leidžia apskaičiuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą.

Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės

Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules.

Bašmakovas M.I. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. vid. mokykla - 3 leidimas. - M.: Švietimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorova.- 14 leid.- M.: Švietimas, 2004.- 384 p.: iliustr.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Autorių teisės priklauso protingiems studentams

Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokios www.svetainės dalies, įskaitant vidinės medžiagos Ir išorinis dizainas be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo negalima atgaminti jokia forma ar naudoti.