Nelygybių sprendimas intervalų metodu. Kvadratinių nelygybių sprendimas intervalų metodu

Intervalų metodas laikomas universaliu nelygybėms spręsti. Kartais šis metodas dar vadinamas tarpo metodu. Jis gali būti naudojamas tiek sprendžiant racionalias nelygybes su vienu kintamuoju, tiek sprendžiant kitų tipų nelygybes. Savo medžiagoje stengėmės atkreipti dėmesį į visus problemos aspektus.

Kas tavęs laukia šioje rubrikoje? Išanalizuosime spragų metodą ir apsvarstysime jį naudojant nelygybių sprendimo algoritmus. Palieskime teoriniai aspektai kuriais grindžiamas metodo taikymas.

Ypatingą dėmesį skiriame temos niuansams, kurie dažniausiai nėra aptariami mokyklos mokymo programa. Pavyzdžiui, apsvarstykite ženklų dėjimo ant intervalų taisykles ir intervalų metodą bendras vaizdas nesusiejant jos su racionaliomis nelygybėmis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritmas

Kas prisimena, kaip mokykliniame algebros kurse įvedamas spragų metodas? Paprastai viskas prasideda nuo f (x) formos nelygybių sprendimo< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >arba ≥). Čia f(x) gali būti daugianario arba daugianario santykis. Savo ruožtu daugianomas gali būti pavaizduotas taip:

tiesinių dvinarių sandauga su kintamojo x koeficientu 1;
kvadratinių trinarių sandauga su pirmaujančiu koeficientu 1 ir su neigiamu jų šaknų diskriminantu.

Štai keletas tokių nelygybių pavyzdžių:

(x + 3) (x 2 - x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0,

(x – 5) (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Surašome algoritmą tokio pobūdžio nelygybių sprendimui, kaip pateikėme pavyzdžiuose, naudodami intervalų metodą:

randame skaitiklio ir vardiklio nulius, tam kairėje nelygybės pusėje esančios išraiškos skaitiklį ir vardiklį prilyginame nuliui ir išsprendžiame gautas lygtis;
nustatyti taškus, atitinkančius rastus nulius, ir pažymėti juos brūkšneliais koordinačių ašyje;
apibrėžti išraiškos ženklus f(x) iš kairės išspręstos nelygybės kiekviename intervale ir padėkite jas į grafiką;
taikykite perbraukimą ant norimų grafiko dalių, vadovaudamiesi kita taisyklė: jei nelygybė turi ženklų< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >arba ≥ , tada su šešėliavimu pasirenkame „+“ ženklu pažymėtas sritis.

Brėžinys, su kuriuo dirbsime, gali turėti scheminį vaizdą. Per daug detalių gali perkrauti piešinį ir apsunkinti sprendimą. Mes mažai domėsimės mastu. Užteks klijuoti teisinga vieta taškus, kai didėja jų koordinačių reikšmės.

Dirbdami su griežtomis nelygybėmis, naudosime taško žymėjimą apskritimo su neužpildytu (tuščiu) centru. Negriežtų nelygybių atveju taškai, atitinkantys vardiklio nulius, bus rodomi kaip tušti, o visi kiti - kaip įprasti juodi.

Pažymėti taškai padalija koordinačių liniją į kelis skaitinius intervalus. Tai leidžia mums gauti geometrinį skaičių aibės vaizdą, kuris iš tikrųjų yra nurodytos nelygybės sprendimas.

Spragų metodo moksliniai pagrindai

Metodas, kuriuo grindžiamas intervalų metodas, pagrįstas tokia tolydžios funkcijos savybe: funkcija išlaiko pastovų ženklą intervale (a, b), kuriame ši funkcija yra tolydi, ir neišnyksta. Ta pati savybė būdinga skaičių spinduliai(−∞ , a) ir (a , +∞).

Aukščiau nurodytą funkcijos savybę patvirtina Bolzano-Cauchy teorema, kuri pateikiama daugelyje vadovų, skirtų pasiruošti stojamiesiems egzaminams.

Taip pat galima pagrįsti ženklo pastovumą intervaluose remiantis skaitinių nelygybių savybėmis. Pavyzdžiui, paimkite nelygybę x - 5 x + 1 > 0 . Jei rasime skaitiklio ir vardiklio nulius ir patalpinsime juos į skaičių eilutę, gausime spragų seką: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) ir (5 , + ∞) .

Paimkime bet kurį intervalą ir parodykime, kad visame intervale išraiška iš kairės nelygybės pusės turės pastovų ženklą. Tegul tai yra intervalas (− ∞ , − 1) . Paimkime bet kurį skaičių t iš šio intervalo. Jis tenkins sąlygas t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Naudodami ir gautas nelygybes, ir skaitinių nelygybių savybę, galime daryti prielaidą, kad t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t intervale (− ∞ , − 1) .

Naudodami neigiamų skaičių padalijimo taisyklę galime teigti, kad raiškos t - 5 t + 1 reikšmė bus teigiama. Tai reiškia, kad išraiškos x - 5 x + 1 reikšmė bus teigiama bet kuriai reikšmei x iš tarpo (− ∞ , − 1) . Visa tai leidžia teigti, kad intervale, paimtame kaip pavyzdys, išraiška turi pastovų ženklą. Mūsų atveju tai yra „+“ ženklas.

Skaitiklio ir vardiklio nulių radimas

Nulių radimo algoritmas paprastas: reiškinius nuo skaitiklio ir vardiklio prilyginame nuliui ir išsprendžiame gautas lygtis. Jei turite kokių nors sunkumų, galite kreiptis į temą „Lygčių sprendimas faktoringo būdu“. Šiame skyriuje apsiribojame pavyzdžiu.

Apsvarstykite trupmeną x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Norėdami rasti skaitiklio ir vardiklio nulius, juos prilyginame nuliui, kad gautume ir išspręstume lygtis: x (x − 0, 6) = 0 ir x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Pirmuoju atveju galime pereiti prie dviejų lygčių aibės x = 0 ir x − 0 , 6 = 0 , iš kurios gauname dvi šaknis 0 ir 0 , 6 . Tai yra skaitiklio nuliai.

Antroji lygtis yra lygi trijų lygčių rinkiniui x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Atliekame eilę transformacijų ir gauname x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Pirmosios lygties šaknis yra 0, antroji lygtis neturi šaknų, nes turi neigiamą diskriminantą, trečiosios lygties šaknis yra 5. Tai yra vardiklio nuliai.

0 šiuo atveju yra ir skaitiklio nulis, ir vardiklio nulis.

Apskritai, kai kairėje nelygybės pusėje yra trupmena, kuri nebūtinai yra racionali, skaitiklis ir vardiklis taip pat prilyginami nuliui, kad būtų gautos lygtys. Spręsdami lygtis, galite rasti skaitiklio ir vardiklio nulius.

Nustatyti intervalo ženklą paprasta. Norėdami tai padaryti, bet kurio savavališkai pasirinkto taško iš nurodyto intervalo nelygybės kairėje galite rasti išraiškos reikšmę. Gautas išraiškos reikšmės ženklas savavališkai pasirinktame intervalo taške sutaps su viso intervalo ženklu.

Pažvelkime į šį teiginį su pavyzdžiu.

Paimkite nelygybę x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Kairėje nelygybės pusėje esančios išraiškos skaitiklyje nėra nulių. Nulinis vardiklis bus skaičius - 3 . Skaičių eilutėje gauname du tarpus (− ∞ , − 3) ir (- 3 , + ∞) .

Norėdami nustatyti intervalų požymius, apskaičiuojame išraiškos x 2 - x + 4 x + 3 reikšmę kiekviename intervale savavališkai paimtiems taškams.

Nuo pirmo intervalo (− ∞ , − 3) paimti - 4. At x = -4 mes turime (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Mes turime neigiama prasmė, todėl visas intervalas bus su ženklu „-“.

Dėl span (− 3 , + ∞) atlikime skaičiavimus su tašku, kurio koordinatė yra nulinė. Jei x = 0, turime 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Gavome teigiamą reikšmę, o tai reiškia, kad visas intervalas turės „+“ ženklą.

Galite naudoti kitą būdą ženklams apibrėžti. Norėdami tai padaryti, galime rasti ženklą viename iš intervalų ir jį išsaugoti arba pakeisti, kai einame per nulį. Norint viską padaryti teisingai, reikia laikytis taisyklės: eidami per vardiklio nulį, bet ne skaitiklį, arba skaitiklį, bet ne vardiklį, ženklą galime pakeisti į priešingą, jei vardiklio laipsnis išraiška, suteikianti šį nulį, yra nelyginė, ir mes negalime pakeisti ženklo, jei laipsnis yra lyginis. Jei gausime tašką, kuris yra ir skaitiklio, ir vardiklio nulis, tai pakeisti ženklą į priešingą galima tik tuo atveju, jei reiškinių, suteikiančių šį nulį, galių suma yra nelyginė.

Jei prisiminsime nelygybę, kurią svarstėme šios medžiagos pirmosios pastraipos pradžioje, tada dešiniajame intervale galime įdėti „+“ ženklą.

Dabar pereikime prie pavyzdžių.

Paimkite nelygybę (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 ir išspręskite ją intervalų metodu. Norėdami tai padaryti, turime rasti skaitiklio ir vardiklio nulius ir pažymėti juos koordinačių eilutėje. Skaitiklio nuliai bus taškai 2 , 3 , 4 , taško vardiklis 1 , 3 , 4 . Juos koordinačių ašyje pažymime brūkšneliais.

Vardiklio nuliai pažymėti tuščiais taškais.

Kadangi susiduriame su ne griežta nelygybe, likusius brūkšnelius pakeičiame įprastais taškais.

Dabar padėkime taškus ant intervalų. Dešinysis intervalas (4, +∞) bus + ženklas.

Judėdami iš dešinės į kairę, pažymėsime likusius tarpus. Pravažiuojame tašką, kurio koordinatė 4 . Tai yra ir skaitiklio, ir vardiklio nulis. Apibendrinant, šie nuliai suteikia išraiškas (x – 4) 2 Ir x - 4. Sudedame jų galias 2 + 1 = 3 ir gauname nelyginis skaičius. Tai reiškia, kad perėjimo ženklas šiuo atveju pasikeičia į priešingą. Intervale (3, 4) bus minuso ženklas.

Per tašką, kurio koordinatė 3, pereiname į intervalą (2, 3). Tai taip pat yra nulis tiek skaitikliui, tiek vardikliui. Gavome tai dėka dviejų išraiškų (x − 3) 3 ir (x – 3) 5, kurio laipsnių suma yra 3 + 5 = 8 . Gavus lyginį skaičių, intervalo ženklą galime palikti nepakeistą.

Taškas, kurio koordinatė 2, yra skaitiklio nulis. Išraiškos laipsnis x - 2 yra lygus 1 (nelyginis). Tai reiškia, kad važiuojant per šį tašką ženklas turi būti apverstas.

Likome su paskutiniu intervalu (− ∞ , 1) . Taškas, kurio koordinatė 1, yra nulinis vardiklis. Jis buvo gautas iš išraiškos (x – 1) 4, su lygiu laipsniu 4 . Todėl ženklas išlieka tas pats. Galutinis piešinys atrodys taip:

Intervallinio metodo naudojimas ypač efektyvus tais atvejais, kai išraiškos reikšmės apskaičiavimas yra susijęs su dideliu darbo kiekiu. Pavyzdys galėtų būti poreikis įvertinti išraiškos vertę

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

bet kuriame intervalo 3–3 4, 3–2 4 taške.

Dabar įgytas žinias ir įgūdžius pritaikykime praktiškai.

1 pavyzdys

Išspręskite nelygybę (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .

Sprendimas

Nelygybei išspręsti patartina taikyti intervalų metodą. Raskite skaitiklio ir vardiklio nulius. Skaitiklio nuliai yra 1 ir - 5 , vardiklio nuliai yra 7 ir 1 . Pažymėkime juos skaičių eilutėje. Turime reikalą su negriežta nelygybe, todėl vardiklio nulius pažymėsime tuščiais taškais, skaitiklio nulis - 5 bus pažymėtas įprastu užpildytu tašku.

Tarpų ženklus užrašome vadovaudamiesi ženklo keitimo taisyklėmis, kai pravažiuojame per nulį. Pradėkime nuo labiausiai dešiniojo intervalo, kuriam apskaičiuojame išraiškos reikšmę iš kairės nelygybės pusės taške, savavališkai paimtame iš intervalo. Gauname „+“ ženklą. Iš eilės pereikime per visus koordinačių linijos taškus, padėdami ženklus ir gaukime:

Dirbame su negriežta nelygybe, kurios ženklas ≤ . Tai reiškia, kad tarpelius, pažymėtus „-“ ženklu, turime pažymėti atspalviu.

Atsakymas: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Racionaliųjų nelygybių sprendimas daugeliu atvejų reikalauja išankstinio jų transformavimo į tinkamos rūšies. Tik tada atsiranda galimybė naudoti intervalų metodą. Tokių transformacijų atlikimo algoritmai nagrinėjami medžiagoje „Racionaliųjų nelygybių sprendimas“.

Apsvarstykite kvadratinių trinalių konvertavimo į nelygybes pavyzdį.

2 pavyzdys

Raskite nelygybės (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 sprendimą.

Sprendimas

Pažiūrėkime, ar kvadratinių trinalių diskriminantai nelygybės įraše yra tikrai neigiami. Tai leis mums nustatyti, ar šios nelygybės forma leidžia sprendiniui taikyti intervalo metodą.

Apskaičiuokite trinario diskriminantą x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0 . Dabar apskaičiuokime trinalio x 2 + 2 x - 8 diskriminantą: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Kaip matote, nelygybė reikalauja išankstinės transformacijos. Norėdami tai padaryti, pavaizduojame trinarį x 2 + 2 x − 8 kaip (x + 4) (x - 2), o tada taikykite intervalo metodą, kad išspręstumėte nelygybę (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

Atsakymas: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Apibendrinto tarpo metodas naudojamas f (x) formos nelygybėms išspręsti.< 0 (≤ , >, ≥) , kur f (x) yra savavališka išraiška su vienu kintamuoju x.

Visi veiksmai atliekami pagal tam tikrą algoritmą. Šiuo atveju nelygybių sprendimo apibendrinto intervalo metodu algoritmas šiek tiek skirsis nuo to, ką analizavome anksčiau:

rasti funkcijos f sritį ir šios funkcijos nulius;
pažymėti ribinius taškus koordinačių ašyje;
nubrėžkite funkcijos nulius skaičių tiesėje;
nustatyti intervalų požymius;
taikome perinti;
užrašykite atsakymą.

Skaičių eilutėje taip pat būtina pažymėti atskirus apibrėžimo srities taškus. Pavyzdžiui, funkcijos sritis yra aibė (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Tai reiškia, kad turime pažymėti taškus koordinatėmis − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 Ir 10 . taškų − 5 ir 7 rodomi kaip tušti, likusius galima paryškinti spalvotu pieštuku, kad būtų atskirti nuo funkcijos nulių.

Funkcijos nuliai negriežtųjų nelygybių atveju žymimi įprastais (tamsuotais) taškais, o griežtoms nelygybėms – tuščiais taškais. Jei nuliai sutampa su ribiniais taškais arba atskirais apibrėžimo srities taškais, tada jie gali būti perspalvinti juoda spalva, kad jie būtų tušti arba užpildyti, priklausomai nuo nelygybės tipo.

Atsakymo įrašas yra numerių rinkinys kuri apima:

nubrozdinti tarpai;
atskirkite domeno taškus pliuso ženklu, jei kalbame su nelygybe, kurios ženklas yra > arba ≥ arba minuso ženklu, jei nelygybėje yra ženklų< или ≤ .

Dabar tapo aišku, kad algoritmas, kurį pateikėme pačioje temos pradžioje, yra ypatingas apibendrinto intervalo metodo taikymo algoritmo atvejis.

Apsvarstykite apibendrinto intervalo metodo taikymo pavyzdį.

3 pavyzdys

Išspręskite nelygybę x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Sprendimas

Pateikiame tokią funkciją f, kad f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Raskite funkcijos domeną f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞).

Dabar suraskime funkcijos nulius. Norėdami tai padaryti, išspręsime neracionalią lygtį:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Gauname šaknį x = 12 .

Norėdami pažymėti ribinius taškus koordinačių ašyje, naudojame oranžinė spalva. Taškai - 6, 4 bus užpildyti, o 7 liks tušti. Mes gauname:

Funkcijos nulį pažymime tuščiu juodu tašku, nes dirbame su griežta nelygybe.

Ženklus nustatome atskirais intervalais. Norėdami tai padaryti, paimkite vieną tašką iš kiekvieno intervalo, pavyzdžiui, 16 , 8 , 6 Ir − 8 , ir apskaičiuokite juose esančios funkcijos reikšmę f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56-9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Dedame ką tik apibrėžtus ženklus, o ant tarpų su minuso ženklu pritaikome perėjimą:

Atsakymas bus dviejų intervalų junginys su ženklu "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Atsakydami įtraukėme tašką su koordinate - 6 . Tai ne funkcijos nulis, kurio, spręsdami griežtą nelygybę, neįtrauktume į atsakymą, o apibrėžimo srities ribinis taškas, kuris įtraukiamas į apibrėžimo sritį. Funkcijos reikšmė šiame taške yra neigiama, o tai reiškia, kad ji tenkina nelygybę.

Į atsakymą neįtraukėme 4 punkto, kaip ir viso intervalo [4, 7) . Šiuo metu, kaip ir visame nurodytame intervale, funkcijos reikšmė yra teigiama, o tai netenkina sprendžiamos nelygybės.

Užsirašykime dar kartą, kad būtų aiškiau suprasti: spalvoti taškai turi būti įtraukti į atsakymą šiais atvejais:

šie taškai yra išbrokuoto tarpo dalis,
šie taškai yra atskiri funkcijos srities taškai, kurių funkcijos reikšmės tenkina sprendžiamą nelygybę.

Atsakymas: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tarpų nustatymo metodas yra paprastas būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias nelygybes. Tai nelygybių, turinčių racionalias (arba trupmenines-racionalias) išraiškas, kurios priklauso nuo kintamojo, pavadinimas.

1. Apsvarstykite, pavyzdžiui, tokią nelygybę

Intervalų metodas leidžia jį išspręsti per porą minučių.

Kairėje šios nelygybės pusėje yra trupmeninė racionali funkcija. Racionalus, nes jame nėra nei šaknų, nei sinusų, nei logaritmų – tik racionalios išraiškos. Dešinėje yra nulis.

Intervalų metodas pagrįstas šia trupmeninės racionalios funkcijos savybe.

Trupmeninė racionali funkcija gali pakeisti ženklą tik tuose taškuose, kur ji lygi nuliui arba neegzistuoja.

Prisiminkite, kaip faktorizuoti kvadratinis trinaris, tai yra formos išraiška.

Kur ir yra šaknys kvadratinė lygtis.

Nubrėžiame ašį ir išdėstome taškus, kuriuose skaitiklis ir vardiklis išnyksta.

Vardiklio ir nuliai yra punkcuoti taškai, nes šiuose taškuose funkcija kairėje nelygybės pusėje nėra apibrėžta (negalite padalinti iš nulio). Skaitiklio ir - nuliai yra nuspalvinti, nes nelygybė nėra griežta. Už ir mūsų nelygybė tenkinama, nes abi jos dalys lygios nuliui.

Šie taškai suskaido ašį į intervalus.

Kiekviename iš šių intervalų nustatykime trupmeninės-racionalios funkcijos ženklą kairėje mūsų nelygybės pusėje. Prisimename, kad trupmeninė racionali funkcija gali pakeisti ženklą tik tuose taškuose, kur ji lygi nuliui arba neegzistuoja. Tai reiškia, kad kiekviename intervale tarp taškų, kur skaitiklis arba vardiklis išnyksta, išraiškos ženklas kairėje nelygybės pusėje bus pastovus – arba „pliusas“, arba „minusas“.

Todėl, norėdami nustatyti funkcijos ženklą kiekviename tokiame intervale, imame bet kurį šiam intervalui priklausantį tašką. Tas, kuris mums tinka.
. Paimkite, pavyzdžiui, ir patikrinkite išraiškos ženklą kairėje nelygybės pusėje. Kiekvienas iš „skliaustelių“ yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas.

Kitas intervalas: . Patikrinkime ženklą. Gauname, kad kairioji pusė pakeitė ženklą į .

Paimkime . Kai išraiška yra teigiama, todėl ji yra teigiama visame intervale nuo iki .

Kairė nelygybės pusė yra neigiama.

Ir galiausiai class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Mes nustatėme, kokiais intervalais išraiška yra teigiama. Belieka parašyti atsakymą:

Atsakymas:.

Atkreipkite dėmesį: ženklai ant intervalų kinta. Taip atsitiko todėl, kad einant per kiekvieną tašką, lygiai vienas iš tiesinių faktorių pakeitė ženklą, o likusieji nepakito.

Matome, kad intervalų metodas yra labai paprastas. Norėdami išspręsti trupmeninę-racionaliąją nelygybę intervalų metodu, pateikiame ją į formą:

Arba class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, arba arba .

(kairėje pusėje - trupmeninė-racionali funkcija, dešinėje - nulis).

Tada - skaičių eilutėje pažymime taškus, kuriuose skaitiklis arba vardiklis išnyksta.
Šie taškai padalija visą skaičių tiesę į intervalus, kurių kiekviename trupmeninė-racionali funkcija išlaiko savo ženklą.
Belieka tik sužinoti jo ženklą kiekviename intervale.
Tai darome patikrindami išraiškos ženklą bet kuriame nurodyto intervalo taške. Po to užrašome atsakymą. Tai viskas.

Tačiau kyla klausimas: ar ženklai visada keičiasi? Ne ne visada! Turime būti atsargūs ir nestatyti ženklų mechaniškai ir neapgalvotai.

2. Pažvelkime į kitą nelygybę.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Vėl dedame taškus ant ašies. Taškai ir yra punktyriniai, nes jie yra vardiklio nuliai. Taškas taip pat pradurtas, nes nelygybė yra griežta.

Kai skaitiklis yra teigiamas, abu vardiklio veiksniai yra neigiami. Tai lengva patikrinti paimant bet kurį skaičių iš tam tikro intervalo, pavyzdžiui, . Kairėje pusėje yra ženklas:

Kai skaitiklis yra teigiamas; pirmasis vardiklio veiksnys yra teigiamas, antrasis veiksnys yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas:

Kai situacija ta pati! Skaitiklis yra teigiamas, pirmasis vardiklio veiksnys yra teigiamas, antrasis yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas:

Galiausiai su class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Atsakymas:.

Kodėl nutrūko veikėjų kaita? Nes einant per tašką už jį „atsako“ daugiklis ženklo nepakeitė. Vadinasi, ir visa mūsų nelygybės kairioji pusė ženklo nepakeitė.

Išvestis: jei tiesinis koeficientas yra lyginiame laipsnyje (pavyzdžiui, kvadrate), tai einant per tašką, kairėje pusėje esančios išraiškos ženklas nesikeičia. Nelyginio laipsnio atveju ženklas, žinoma, pasikeičia.

3. Apsvarstykite daugiau sunkus atvejis. Jis skiriasi nuo ankstesnio, nes nelygybė nėra griežta:

Kairė pusė yra tokia pati kaip ir ankstesnėje užduotyje. Ženklų paveikslėlis bus toks pat:

Gal atsakymas bus tas pats? Ne! Sprendimas pridedamas Taip yra todėl, kad , tiek kairioji, tiek dešinė nelygybės pusės yra lygios nuliui – todėl šis taškas yra sprendimas.

Atsakymas:.

Su tokia situacija dažnai susiduriama matematikos egzamino uždavinyje. Čia pretendentai patenka į spąstus ir praranda taškus. Būk atsargus!

4. Ką daryti, jei skaitiklio arba vardiklio negalima įtraukti į tiesinius veiksnius? Apsvarstykite šią nelygybę:

Kvadratinis trinaris negali būti koeficientas: diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Bet tai yra gerai! Tai reiškia, kad išraiškos ženklas yra visiems vienodas, o konkrečiai – teigiamas. Daugiau apie tai galite perskaityti straipsnyje apie savybes. kvadratinė funkcija.

Ir dabar mes galime padalyti abi mūsų nelygybės puses iš vertės, kuri yra teigiama visiems. Gauname lygiavertę nelygybę:

Kuris lengvai išsprendžiamas intervalo metodu.

Atkreipkite dėmesį – abi nelygybės puses padalinome iš vertės, kurią tikrai žinojome, kad ji teigiama. Žinoma, apskritai nelygybės nereikėtų dauginti ar dalyti iš kintamasis, kurio ženklas nežinomas.

5 . Apsvarstykite kitą nelygybę, kuri atrodo gana paprasta:

Taigi noriu padauginti iš . Bet mes jau esame protingi ir to nedarysime. Juk tai gali būti ir teigiama, ir neigiama. Ir žinome, kad abi nelygybės dalis padauginus iš neigiamos reikšmės, nelygybės ženklas pasikeičia.

Elgsimės kitaip – viską surinksime į vieną dalį ir sujungsime į bendrą vardiklį. Nulis liks dešinėje pusėje:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

O po to – taikytina intervalo metodas.

1. Apsvarstykite, pavyzdžiui, tokią nelygybę

Intervalų metodas leidžia jį išspręsti per porą minučių.

Kairėje šios nelygybės pusėje yra trupmeninė racionali funkcija. Racionalus, nes jame nėra nei šaknų, nei sinusų, nei logaritmų – tik racionalios išraiškos. Dešinėje yra nulis.

Intervalų metodas pagrįstas šia trupmeninės racionalios funkcijos savybe.

Trupmeninė racionali funkcija gali pakeisti ženklą tik tuose taškuose, kur ji lygi nuliui arba neegzistuoja.

Prisiminkite, kaip įskaičiuojamas kvadratinis trinaris, tai yra formos išraiška.

Kur ir yra kvadratinės lygties šaknys.

Nubrėžiame ašį ir išdėstome taškus, kuriuose skaitiklis ir vardiklis išnyksta.

Šie taškai suskaido ašį į intervalus.

Kitas intervalas: . Patikrinkime ženklą. Gauname, kad kairioji pusė pakeitė ženklą į .

Paimkime . Kai išraiška yra teigiama, todėl ji yra teigiama visame intervale nuo iki .

Kairė nelygybės pusė yra neigiama.

Mes nustatėme, kokiais intervalais išraiška yra teigiama. Belieka parašyti atsakymą:

Atsakymas:.

Atkreipkite dėmesį: ženklai ant intervalų kinta. Taip atsitiko todėl, kad einant per kiekvieną tašką, lygiai vienas iš tiesinių faktorių pakeitė ženklą, o likusieji nepakito.

Matome, kad intervalų metodas yra labai paprastas. Norėdami išspręsti trupmeninę-racionaliąją nelygybę intervalų metodu, pateikiame ją į formą:

Arba class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, arba arba .

(kairėje pusėje - trupmeninė-racionali funkcija, dešinėje - nulis).

Tačiau kyla klausimas: ar ženklai visada keičiasi? Ne ne visada! Turime būti atsargūs ir nestatyti ženklų mechaniškai ir neapgalvotai.

2. Pažvelkime į kitą nelygybę.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Vėl dedame taškus ant ašies. Taškai ir yra punktyriniai, nes jie yra vardiklio nuliai. Taškas taip pat pradurtas, nes nelygybė yra griežta.

Kai skaitiklis yra teigiamas, abu vardiklio veiksniai yra neigiami. Tai lengva patikrinti paimant bet kurį skaičių iš tam tikro intervalo, pavyzdžiui, . Kairėje pusėje yra ženklas:

Kai skaitiklis yra teigiamas; pirmasis vardiklio veiksnys yra teigiamas, antrasis veiksnys yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas:

Kai situacija ta pati! Skaitiklis yra teigiamas, pirmasis vardiklio veiksnys yra teigiamas, antrasis yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas:

Galiausiai su class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Atsakymas:.

Kodėl nutrūko veikėjų kaita? Nes einant per tašką už jį „atsako“ daugiklis ženklo nepakeitė. Vadinasi, ir visa mūsų nelygybės kairioji pusė ženklo nepakeitė.

3. Panagrinėkime sudėtingesnį atvejį. Jis skiriasi nuo ankstesnio, nes nelygybė nėra griežta:

Kairė pusė yra tokia pati kaip ir ankstesnėje užduotyje. Ženklų paveikslėlis bus toks pat:

Gal atsakymas bus tas pats? Ne! Sprendimas pridedamas Taip yra todėl, kad , tiek kairioji, tiek dešinė nelygybės pusės yra lygios nuliui – todėl šis taškas yra sprendimas.

Atsakymas:.

Su tokia situacija dažnai susiduriama matematikos egzamino uždavinyje. Čia pretendentai patenka į spąstus ir praranda taškus. Būk atsargus!

4. Ką daryti, jei skaitiklio arba vardiklio negalima įtraukti į tiesinius veiksnius? Apsvarstykite šią nelygybę:

Ir dabar mes galime padalyti abi mūsų nelygybės puses iš vertės, kuri yra teigiama visiems. Gauname lygiavertę nelygybę:

Kuris lengvai išsprendžiamas intervalo metodu.

Atkreipkite dėmesį – abi nelygybės puses padalinome iš vertės, kurią tikrai žinojome, kad ji teigiama. Žinoma, bendru atveju nereikėtų nelygybės dauginti ar dalyti iš kintamojo, kurio ženklas nežinomas.

5 . Apsvarstykite kitą nelygybę, kuri atrodo gana paprasta:

Elgsimės kitaip – viską surinksime į vieną dalį ir sujungsime į bendrą vardiklį. Nulis liks dešinėje pusėje:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

O po to – taikytina intervalo metodas.

Kaip išspręsti nelygybes naudojant intervalų metodą (algoritmas su pavyzdžiais)

Pavyzdys . (užduotis iš OGE) Nelygybę išspręskite intervalo metodu \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Sprendimas:

Atsakymas : \((7;7+\sqrt(11))\)

Pavyzdys . Išspręskite nelygybę intervalo metodu \(≥0\)
Sprendimas:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Čia iš pirmo žvilgsnio viskas atrodo normalu, o nelygybė iš pradžių redukuojama iki norimos formos. Bet taip nėra – juk pirmame ir trečiame skaitiklio skliausteliuose x yra su minuso ženklu. Mes transformuojame skliaustus, atsižvelgdami į tai, kad ketvirtasis laipsnis yra lyginis (tai yra, jis pašalins minuso ženklą), o trečiasis yra nelyginis (tai yra, jis jo nepašalins). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Kaip šitas. Dabar mes grąžiname skliaustus "į vietą", jau konvertuotus.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Dabar visi skliaustai atrodo taip, kaip turi (pirmiausia pasirodo nepasirašytas kostiumas, o tik tada skaičius). Tačiau prieš skaitiklį buvo minusas. Pašaliname nelygybę padaugindami iš \(-1\), nepamiršdami pakeisti palyginimo ženklo
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Paruošta. Dabar nelygybė atrodo teisinga. Galite naudoti intervalų metodą.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Ant ašies išdėliokime taškus, ženklus ir nudažykime reikiamus tarpus.
		Intervale nuo \(4\) iki \(6\) ženklo keisti nereikia, nes skliaustas \((x-6)\) yra lyginio laipsnio (žr. algoritmo 4 pastraipą) . Vėliava bus priminimas, kad šeši taip pat yra nelygybės sprendimas. Užsirašykime atsakymą.

Atsakymas : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\left\(6\right\)\)

Pavyzdys.(Užduotis iš OGE) Išspręskite nelygybę intervalo metodu \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Sprendimas:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Kairė ir dešinė yra vienodi – tai akivaizdžiai neatsitiktinai. Pirmas noras yra padalyti iš \(-x^2-64\), bet tai klaida, nes yra tikimybė prarasti šaknį. Vietoj to perkelkite \(64(-x^2-64)\) į kairė pusė
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Išimkite minusą pirmame skliaustelyje ir koeficientą antrąjį
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Atminkite, kad \(x^2\) yra nulis arba didesnis už nulį. Tai reiškia, kad \(x^2+64\) yra vienareikšmiškai teigiamas bet kuriai x reikšmei, tai yra, ši išraiška neturi jokios įtakos kairiosios pusės ženklui. Todėl galime saugiai padalyti abi nelygybės dalis šia išraiška. Taip pat nelygybę padalinkime iš \(-1\), kad atsikratytume minuso.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Dabar galite taikyti intervalų metodą
\(x=8;\) \(x=-8\)		Užsirašykime atsakymą