Lyginių ir nelyginių funkcijų suma. Lyginės ir nelyginės funkcijos

Lyginės ir nelyginės funkcijos yra viena iš pagrindinių jo savybių, o paritetas užima įspūdingą matematikos kurso dalį. Tai iš esmės lemia funkcijos elgsenos pobūdį ir labai palengvina atitinkamo grafiko konstravimą.

Apibrėžkime funkcijos paritetą. Paprastai kalbant, tiriama funkcija laikoma net tuo atveju, jei nepriklausomo kintamojo (x), esančio jo srityje, priešingoms reikšmėms atitinkamos y (funkcijos) reikšmės yra lygios.

Pateikime griežtesnį apibrėžimą. Apsvarstykite kokią nors funkciją f (x), kuri yra apibrėžta srityje D. Ji bus net jei bet kuriam taškui x, esančiam apibrėžimo srityje:

• -x (priešingas taškas) taip pat yra nurodytoje srityje,

• f(-x) = f(x).

Iš aukščiau pateikto apibrėžimo išplaukia sąlyga, būtina tokios funkcijos apibrėžimo sričiai, ty simetrija taško O atžvilgiu, kuris yra koordinačių pradžia, nes jei kuris nors taškas b yra apibrėžimo srityje. lyginė funkcija, tada atitinkamas taškas - b taip pat yra šioje srityje. Taigi iš to, kas pasakyta, daroma išvada: lygioji funkcija turi formą, kuri yra simetriška ordinačių ašies (Oy) atžvilgiu.

Kaip praktiškai nustatyti funkcijos paritetą?

Tegu jis pateikiamas naudojant formulę h(x)=11^x+11^(-x). Vadovaudamiesi algoritmu, kuris tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo, pirmiausia tiriame jo apibrėžimo sritį. Akivaizdu, kad jis apibrėžiamas visoms argumento reikšmėms, tai yra, įvykdyta pirmoji sąlyga.

Kitas žingsnis yra pakeisti argumentą (x) priešinga jo verte (-x).
Mes gauname:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Kadangi sudėjimas tenkina komutacinį (poslinkio) dėsnį, akivaizdu, kad h(-x) = h(x) ir duotoji funkcinė priklausomybė yra lygi.

Patikrinkime funkcijos h(x)=11^x-11^(-x) lygumą. Pagal tą patį algoritmą gauname h(-x) = 11^(-x) -11^x. Atmetus minusą, kaip rezultatas, mes turime
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Taigi h(x) yra nelyginis.

Beje, reikia priminti, kad yra funkcijų, kurių negalima klasifikuoti pagal šiuos kriterijus, jos vadinamos nei lyginėmis, nei nelyginėmis.

Netgi funkcijos turi daug įdomių savybių:

• pridėjus panašias funkcijas, gaunama tolygi;
• atėmus tokias funkcijas gaunama lyginė;
• net, taip pat net;
• padauginus dvi tokias funkcijas, gaunama lyginė;
• padauginus nelygines ir lygines funkcijas, gaunama nelyginė;
• padalijus nelygines ir lygines funkcijas, gaunama nelyginė;
• tokios funkcijos išvestinė yra nelyginė;
• Jei nelyginę funkciją pakelsime kvadratu, gausime lyginę.

Funkcijos paritetas gali būti naudojamas sprendžiant lygtis.

Norint išspręsti lygtį, pvz., g(x) = 0, kai kairėje lygties pusėje yra lygi funkcija, pakaks rasti jos sprendimą neneigiamoms kintamojo reikšmėms. Gautos lygties šaknys turi būti sujungtos su priešingais skaičiais. Vienas iš jų turi būti patikrintas.

Tas pats sėkmingai naudojamas sprendžiant nestandartines problemas su parametru.

Pavyzdžiui, ar yra kokia nors parametro a reikšmė, dėl kurios lygtis 2x^6-x^4-ax^2=1 turėtų tris šaknis?

Jei atsižvelgsime į tai, kad kintamasis į lygtį patenka lyginėmis laipsnėmis, tai aišku, kad x pakeitus - x duota lygtis nepasikeis. Iš to išplaukia, kad jei tam tikras skaičius yra jo šaknis, tai ir priešingas skaičius. Išvada akivaizdi: lygties šaknys, išskyrus nulį, įtraukiamos į jos sprendinių rinkinį „poromis“.

Akivaizdu, kad pats skaičius 0 nėra, tai yra, tokios lygties šaknų skaičius gali būti tik lyginis ir, žinoma, bet kuriai parametro reikšmei jis negali turėti trijų šaknų.

Tačiau lygties 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 šaknų skaičius gali būti nelyginis ir bet kuriai parametro reikšmei. Iš tiesų, tai lengva patikrinti, ar šaknų rinkinys duota lygtis yra sprendimai „poromis“. Patikrinkime, ar 0 yra šaknis. Pakeisdami jį į lygtį, gauname 2=2. Taigi, be "suporuoto" 0 taip pat yra šaknis, kuri įrodo jų nelyginį skaičių.

Funkcija vadinama lygine (nelygine), jei bet kuriai ir lygybei

.

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu
.

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.

6.2 pavyzdys. Patikrinkite, ar nėra lyginių ar nelyginių funkcijų

1)
; 2)
; 3)
.

Sprendimas.

1) Funkcija apibrėžiama su
. Raskime
.

Tie.
. Taigi ši funkcija yra lygi.

2) Funkcija yra apibrėžta

Tie.
. Taigi ši funkcija yra keista.

3) funkcija apibrėžta , t.y. dėl

,
. Todėl funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Pavadinkime tai bendra funkcija.

3. Monotoniškumo funkcijos tyrimas.

Funkcija
vadinamas didėjimu (mažėjimu) tam tikrame intervale, jei šiame intervale kiekviena didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę (mažesnę) funkcijos reikšmę.

Funkcijos, didėjančios (mažėjančios) tam tikru intervalu, vadinamos monotoninėmis.

Jei funkcija
skiriasi intervalu
ir turi teigiamą (neigiamą) išvestinę
, tada funkcija
šiame intervale padidėja (sumažėja).

6.3 pavyzdys. Raskite funkcijų monotoniškumo intervalus

1)
; 3)
.

Sprendimas.

1) Ši funkcija apibrėžta visoje skaičių ašyje. Raskime išvestinę.

Išvestinė lygi nuliui, jei
Ir
. Apibrėžimo sritis – skaitinė ašis, padalinta iš taškų
,
intervalams. Kiekviename intervale nustatykime išvestinės ženklą.

Intervale
išvestinė yra neigiama, funkcija mažėja šiame intervale.

Intervale
išvestinė yra teigiama, todėl funkcija didėja šiame intervale.

2) Ši funkcija apibrėžiama, jei
arba

.

Kiekviename intervale nustatome kvadratinio trinalio ženklą.

Taigi, funkcijos apimtis

Raskime išvestinę
,
, jei
, t.y.
, bet
. Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose
.

Intervale
išvestinė yra neigiama, todėl funkcija intervale mažėja
. Intervale
išvestinė yra teigiama, funkcija didėja intervale
.

4. Ekstremo funkcijos tyrimas.

Taškas
vadinamas maksimaliu (minimaliu) funkcijos tašku
, jei yra tokia taško kaimynystė kad visiems
ši kaimynystė tenkina nelygybę

.

Funkcijos maksimalus ir minimalus taškai vadinami ekstremumo taškais.

Jei funkcija
taške turi ekstremumą, tai funkcijos išvestinė šiame taške lygi nuliui arba neegzistuoja (būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga).

Taškai, kuriuose išvestinė yra lygi nuliui arba neegzistuoja, vadinami kritiniais.

5. Pakankamos sąlygos ekstremumui egzistuoti.

1 taisyklė. Jei perėjimo metu (iš kairės į dešinę) per kritinį tašką išvestinė
pakeičia ženklą iš „+“ į „-“, tada taške funkcija
turi maksimumą; jei nuo "-" iki "+", tada minimumas; jeigu
nekeičia ženklo, tada nėra ekstremumo.

2 taisyklė. Tegul taške
pirmoji funkcijos išvestinė
nulis
, o antroji išvestinė egzistuoja ir yra nulis. Jeigu
, tada yra maksimalus taškas, jei
, tada yra mažiausias funkcijos taškas.

Pavyzdys 6.4 . Ištirkite maksimalias ir minimalias funkcijas:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Sprendimas.

1) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale
.

Raskime išvestinę
ir išspręskite lygtį
, t.y.
.iš čia
yra kritiniai taškai.

Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose ,
.

Pravažiuojant taškus
Ir
išvestinė keičia ženklą iš „–“ į „+“, todėl pagal 1 taisyklę
yra minimalūs taškai.

Kai eina per tašką
išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“, taigi
yra maksimalus taškas.

,
.

2) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale
. Raskime išvestinę
.

Išspręsdami lygtį
, rasti
Ir
yra kritiniai taškai. Jei vardiklis
, t.y.
, tada išvestinė neegzistuoja. Taigi,
yra trečiasis kritinis taškas. Išvestinės ženklą nustatykime intervalais.

Todėl funkcija taške turi minimumą
, maksimalus taškuose
Ir
.

3) Funkcija yra apibrėžta ir tolydi, jei
, t.y. adresu
.

Raskime išvestinę

.

Raskime kritinius taškus:

Taškų apylinkės
nepriklauso apibrėžimo sričiai, todėl jie nėra ekstremalūs t. Taigi panagrinėkime svarbiausius taškus
Ir
.

4) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale
. Mes naudojame taisyklę 2. Raskite išvestinę
.

Raskime kritinius taškus:

Raskime antrąją išvestinę
ir nustatyti jo ženklą taškuose

Taškuose
funkcija turi minimumą.

Taškuose
funkcija turi maksimumą.

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrės peržiūra skirta tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visos pristatymo apimties. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Tikslai:

• formuoti lyginių ir nelyginių funkcijų sampratą, išmokyti šias savybes nustatyti ir naudoti kada funkcijų tyrimas, braižymas;
• ugdyti mokinių kūrybinę veiklą, loginis mąstymas, gebėjimas lyginti, apibendrinti;
• ugdyti darbštumą, matematinę kultūrą; ugdyti bendravimo įgūdžius .

Įranga: multimedijos instaliacija, interaktyvi lenta, dalomoji medžiaga.

Darbo formos: frontalinis ir grupinis su paieškos ir tiriamosios veiklos elementais.

Informacijos šaltiniai:

1. Algebros klasė 9 A.G.Mordkovičius. Vadovėlis.
2. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovich. Užduočių knygelė.
3. Algebros 9 klasė. Mokinių mokymosi ir tobulėjimo užduotys. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

UŽSIĖMIMŲ METU

1. Organizacinis momentas

Pamokos tikslų ir uždavinių nustatymas.

2. Namų darbų tikrinimas

Nr.10.17 (Problemų knyga 9 klasė A.G. Mordkovich).

bet) adresu = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 už X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija didėja su X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija ribojama iš apačios.
7. adresu nuoma = - 3, adresu naibas neegzistuoja
8. Funkcija yra nuolatinė.

(Ar naudojote funkcijų tyrinėjimo algoritmą?) Skaidrė.

2. Patikrinkime lentelę, kurios buvo prašoma skaidrėje.

Užpildykite lentelę
	Domenas	Funkcijos nuliai	Pastovumo intervalai		Grafo susikirtimo su Oy taškų koordinatės
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Žinių atnaujinimas

– Suteiktos funkcijos.
– Nurodykite kiekvienos funkcijos apibrėžimo sritį.
– Palyginkite kiekvienos funkcijos reikšmę kiekvienai argumentų reikšmių porai: 1 ir – 1; 2 ir - 2.
– Kurioms iš pateiktų funkcijų apibrėžimo srityje yra lygybės f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (įdėti duomenis į lentelę) Skaidrė

		f(1) ir f(– 1)	f(2) ir f(– 2)	diagramas	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ir neapibrėžtas.

4. nauja medžiaga

– Spektaklis Šis darbas, vaikinai, mes atskleidėme dar vieną funkcijos savybę, kuri jums nepažįstama, bet ne mažiau svarbi už likusias – tai lyginė ir nelyginė funkcija. Užrašykite pamokos temą: „Lyginės ir nelyginės funkcijos“, mūsų užduotis yra išmokti nustatyti lygines ir nelygines funkcijas, išsiaiškinti šios savybės reikšmę funkcijų studijoms ir braižymui.
Taigi, susiraskime apibrėžimus vadovėlyje ir skaitykime (p. 110) . Skaidrė

Def. vienas Funkcija adresu = f (X) iškviečiamas aibėje X net, jei už kokią nors vertę XЄ X vyksta lygybė f (–x) = f (x). Pateikite pavyzdžių.

Def. 2 Funkcija y = f(x), apibrėžiamas aibėje X vadinamas nelyginis, jei už kokią nors vertę XЄ X tenkinama lygybė f(–х)= –f(х). Pateikite pavyzdžių.

Kur mes sutikome terminus „lyginis“ ir „nelyginis“?
Kaip manote, kuri iš šių funkcijų bus lygi? Kodėl? Kurie yra nelyginiai? Kodėl?
Bet kuriai formos funkcijai adresu= x n, kur n yra sveikasis skaičius, galima teigti, kad funkcija yra nelyginė n yra nelyginis, o funkcija yra lygi n- net.
– Peržiūrėti funkcijas adresu= ir adresu = 2X– 3 nėra nei lyginis, nei nelyginis, nes lygybės nesilaikoma f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Klausimo, ar funkcija lyginė ar nelyginė, tyrimas vadinamas pariteto funkcijos tyrimu. Skaidrė

1 ir 2 apibrėžimai buvo susiję su funkcijos reikšmėmis x ir - x, todėl daroma prielaida, kad funkcija taip pat yra apibrėžta verte X, ir - X.

OPV 3. Jeigu numerių rinkinys kartu su kiekvienu jo elementu x yra priešingas elementas -x, tada aibė X vadinama simetriška aibe.

Pavyzdžiai:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) yra simetriškos aibės, o , [–5;4] yra nesimetrinės.

– Ar net funkcijos turi apibrėžimo sritį – simetrinę aibę? Keistas?
- Jei D( f) yra asimetrinė aibė, tai kokia yra funkcija?
– Taigi, jei funkcija adresu = f(X) yra lyginis arba nelyginis, tada jo apibrėžimo sritis yra D( f) yra simetriškas rinkinys. Bet ar atvirkščiai, jei funkcijos sritis yra simetriška aibė, tada ji yra lyginė ar nelyginė?
- Taigi apibrėžimo srities simetrinės aibės buvimas yra būtina sąlyga, bet nepakankama.
– Taigi kaip galime ištirti pariteto funkciją? Pabandykime parašyti algoritmą.

Skaidrė

Pariteto funkcijos tyrimo algoritmas

1. Nustatykite, ar funkcijos sritis yra simetriška. Jei ne, tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Jei taip, pereikite prie 2 algoritmo veiksmo.

2. Parašykite išraišką už f(–X).

3. Palyginkite f(–X).Ir f(X):

• jeigu f(–X).= f(X), tada funkcija lygi;
• jeigu f(–X).= – f(X), tada funkcija yra nelyginė;
• jeigu f(–X) ≠ f(X) Ir f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Pavyzdžiai:

Ištirkite pariteto a) funkciją adresu= x 5 +; b) adresu= ; in) adresu= .

Sprendimas.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrinė aibė.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h(x)= x 5 + nelyginis.

b) y =,

adresu = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrinė aibė, todėl funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

in) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2 variantas

1. Ar duotoji aibė yra simetriška: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

bet); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Išnagrinėkite pariteto funkciją:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Pav. suplanuotas adresu = f(X), visiems X, tenkinantis sąlygą X? 0.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra lygi funkcija.

3. Pav. suplanuotas adresu = f(X), visiems x atitinkantiems x? 0.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra nelyginė funkcija.

Abipusis patikrinimas skaidrė.

6. Namų darbai: №11.11, 11.21,11.22;

Pariteto savybės geometrinės reikšmės įrodymas.

*** (parinkties USE priskyrimas).

1. Nelyginė funkcija y \u003d f (x) yra apibrėžta visoje realioje eilutėje. Bet kuriai neneigiamai kintamojo x vertei šios funkcijos reikšmė sutampa su funkcijos g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Raskite funkcijos h( X) = at X = 3.

7. Apibendrinimas

Diagramos konvertavimas.

Žodinis funkcijos aprašymas.

Grafinis būdas.

Grafinis funkcijos nurodymo būdas yra pats iliustratyviausias ir dažnai naudojamas inžinerijoje. IN matematinė analizė grafinis funkcijų nustatymo būdas naudojamas kaip iliustracija.

Funkcijų grafikas f yra visų koordinačių plokštumos taškų (x; y) aibė, kur y=f(x), o x „eina per“ visą duotosios funkcijos sritį.

Koordinačių plokštumos poaibis yra tam tikros funkcijos grafikas, jei jis turi ne daugiau kaip vieną bendrą tašką su bet kuria tiese, lygiagrečia Oy ašiai.

Pavyzdys. Ar žemiau pateikti skaičiai yra funkcijų grafikai?

pranašumas grafinė užduotis yra jo matomumas. Iš karto matosi, kaip funkcija elgiasi, kur ji didėja, kur mažėja. Iš grafiko galite iš karto sužinoti keletą svarbių funkcijos savybių.

Apskritai, analitinis grafiniai būdai funkcijų priskyrimas eina koja kojon. Darbas su formule padeda sudaryti grafiką. O diagramoje dažnai siūlomi sprendimai, kurių formulėje nepastebėsite.

Beveik bet kuris studentas žino tris būdus, kaip apibrėžti funkciją, kurią ką tik aptarėme.

Pabandykime atsakyti į klausimą: "Ar yra kitų būdų apibrėžti funkciją?"

Yra toks būdas.

Funkcija gali būti gana vienareikšmiškai apibrėžta žodžiais.

Pavyzdžiui, funkcija y=2x gali būti apibrėžta tokiu žodiniu apibūdinimu: kiekvienai realiajai argumento x reikšmei priskiriama jos dviguba reikšmė. Taisyklė nustatyta, funkcija nustatyta.

Be to, funkciją galima nurodyti žodžiu, o tai labai sunku, jei ne neįmanoma, nurodyti pagal formulę.

Pavyzdžiui: kiekviena natūralaus argumento x reikšmė yra susieta su skaitmenų, sudarančių x reikšmę, suma. Pavyzdžiui, jei x=3, tai y=3. Jei x=257, tai y=2+5+7=14. ir kt. Sunku tai surašyti į formulę. Bet stalą nesunku pasidaryti.

Žodinio aprašymo metodas yra gana retai naudojamas metodas. Bet kartais taip nutinka.

Jei yra vienas su vienu atitikimo tarp x ir y dėsnis, tada yra funkcija. Koks dėsnis, kokia forma išreiškiamas – formule, lentele, grafiku, žodžiais – nekeičia reikalo esmės.

Panagrinėkime funkcijas, kurių apibrėžimo sritys yra simetriškos koordinačių pradžios atžvilgiu, t.y. bet kam X nepatenka į taikymo sritį (- X) taip pat priklauso apibrėžimo sričiai. Tarp šių funkcijų yra lyginis ir nelyginis.

Apibrėžimas. Funkcija vadinama net, jei kam X iš savo srities

Pavyzdys. Apsvarstykite funkciją

Ji yra lygi. Pažiūrėkime.

Bet kam X lygybės

Taigi mums tenkinamos abi sąlygos, vadinasi, funkcija yra lygi. Žemiau yra šios funkcijos grafikas.

Apibrėžimas. Funkcija vadinama nelyginis, jei kam X iš savo srities

Pavyzdys. Apsvarstykite funkciją

Ji keista. Pažiūrėkime.

Apibrėžimo sritis yra visa skaitinė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško atžvilgiu (0; 0).

Bet kam X lygybės

Taigi mums tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra šios funkcijos grafikas.

Pirmame ir trečiame paveikslėliuose pateikti grafikai yra simetriški y ašiai, o antrajame ir ketvirtame paveikslėliuose pateikti grafikai – simetriški pradžios atžvilgiu.

Kurios iš funkcijų, kurių grafikai pavaizduoti paveiksluose, yra lyginės, o kurios – nelyginės?

Funkcija yra viena iš svarbiausių matematinių sąvokų. Funkcija – kintamoji priklausomybė adresu iš kintamojo x, jei kiekviena vertė X atitinka vieną reikšmę adresu. kintamasis X vadinamas nepriklausomu kintamuoju arba argumentu. kintamasis adresu vadinamas priklausomu kintamuoju. Visos nepriklausomo kintamojo reikšmės (kintamasis x) sudaro funkcijos sritį. Visos reikšmės, kurias turi priklausomas kintamasis (kintamasis y), sudaro funkcijos diapazoną.

Funkcijų grafikas jie vadina visų koordinačių plokštumos taškų aibę, kurios abscisės yra lygios argumento reikšmėms, o ordinatės yra lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms, tai yra kintamieji brėžiami išilgai abscisių x, o kintamojo reikšmės brėžiamos išilgai y ašies y. Norėdami nubrėžti funkciją, turite žinoti funkcijos savybes. Pagrindinės funkcijos savybės bus aptartos toliau!

Norėdami nubrėžti funkcijų grafiką, rekomenduojame naudoti mūsų programą - Graphing Functions Online. Jei studijuodami šio puslapio medžiagą turite klausimų, visada galite juos užduoti mūsų forume. Taip pat forume jums padės išspręsti matematikos, chemijos, geometrijos, tikimybių teorijos ir daugelio kitų dalykų uždavinius!

Pagrindinės funkcijų savybės.

1) Funkcijų apimtis ir funkcijų diapazonas.

Funkcijos apimtis yra visų galiojančių argumento reikšmių rinkinys x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) apibrėžta.
Funkcijos diapazonas yra visų realių reikšmių rinkinys y kad funkcija priima.

Elementariojoje matematikoje funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.

2) Funkcijos nuliai.

Vertybės X, kuriame y=0, vadinamas funkcijos nuliai. Tai funkcijos grafiko susikirtimo su x ašimi taškų abscisės.

3) Funkcijos ženklų pastovumo intervalai.

Funkcijos ženklų pastovumo intervalai yra tokie reikšmių intervalai x, ant kurių funkcijos reikšmės y vadinami tik teigiami arba tik neigiami funkcijos ženklų pastovumo intervalai.

4) Funkcijos monotoniškumas.

Didėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.

Mažėjanti funkcija (tam tikrame intervale) – funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

5) Lyginės (nelyginės) funkcijos.

Lyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X f(-x) = f(x). Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas y ašiai.

Nelyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė f(-x) = - f(x). Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.

Netgi funkcija
1) Apibrėžimo sritis yra simetriška taško (0; 0) atžvilgiu, tai yra, jei taškas a priklauso apibrėžimo sričiai, tada taškui -a taip pat priklauso apibrėžimo sričiai.
2) Bet kokiai vertei x f(-x)=f(x)
3) Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas Oy ašiai.

nelyginė funkcija turi šias savybes:
1) Apibrėžimo sritis yra simetriška taško (0; 0) atžvilgiu.
2) bet kokiai vertei x, kuris priklauso apibrėžimo sričiai, lygybei f(-x)=-f(x)
3) Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios (0; 0) atžvilgiu.

Ne kiekviena funkcija yra lyginė ar nelyginė. Funkcijos bendras vaizdas nėra nei lyginiai, nei nelyginiai.

6) Ribotos ir neribotos funkcijos.

Funkcija vadinama ribota, jei yra teigiamas skaičius M, kad |f(x)| ≤ M visoms x reikšmėms. Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija neapribota.

7) Funkcijos periodiškumas.

Funkcija f(x) yra periodinė, jei yra nulinis skaičius T, kad bet kuriam x iš funkcijos srities f(x+T) = f(x). Toks mažiausias skaičius vadinamas funkcijos periodu. Viskas trigonometrinės funkcijos yra periodiniai. (Trigonometrinės formulės).

Funkcija f vadinamas periodiniu, jei yra toks skaičius, kad bet kuriam x iš apibrėžimo srities lygybė f(x)=f(x-T)=f(x+T). T yra funkcijos laikotarpis.

Kiekviena periodinė funkcija turi begalinį periodų skaičių. Praktikoje dažniausiai atsižvelgiama į mažiausią teigiamą laikotarpį.

Periodinės funkcijos reikšmės kartojasi po intervalo, lygaus periodui. Tai naudojama braižant grafikus.