Formos funkcija , kur vadinama kvadratinė funkcija.

Kvadratinės funkcijos grafikas − parabolė.

Apsvarstykite atvejus:

I ATVEJIS, KLASIKINĖ PARABOLĖ

T.y , ,

Norėdami sukurti, užpildykite lentelę, pakeisdami x reikšmes į formulę:

Pažymėti taškus (0;0); (1; 1); (-1;1) ir kt. koordinačių plokštumoje (kuo mažesniu žingsniu imsime x reikšmes (šiuo atveju 1 veiksmas), ir kuo daugiau x reikšmių, tuo sklandesnė kreivė), gauname parabolę:

Nesunku pastebėti, kad paėmę atvejį , , , tai gausime apie ašį (jautis) simetrišką parabolę. Tai lengva patikrinti užpildant panašią lentelę:

II ATVEJIS, "A" SKIRIASI NUO VIENO

Kas atsitiks, jei imsime , , ? Kaip pasikeis parabolės elgesys? Su title="(!LANG: Pateikė QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pirmajame paveikslėlyje (žr. aukščiau) aiškiai matyti, kad parabolės (1;1), (-1;1) lentelės taškai buvo paversti taškais (1;4), (1;-4), tai yra, su tomis pačiomis reikšmėmis, kiekvieno taško ordinatė padauginama iš 4. Taip atsitiks su visais pagrindiniais pradinės lentelės taškais. Panašiai ginčijamės ir 2 ir 3 paveikslų atvejais.

Ir kai parabolė „tampa platesnė“, parabolė:

Pakartokime:

1)Koeficiento ženklas yra atsakingas už šakų kryptį. Su title="(!LANG: Pateikė QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoliučioji vertė koeficientas (modulis) yra atsakingas už parabolės „išsiplėtimą“, „suspaudimą“. Kuo didesnė , tuo siauresnė parabolė, tuo mažesnė |a|, tuo parabolė platesnė.

III ATVEJIS ATSIRAŠA „C“.

Dabar pradėkime žaisti (tai yra, atsižvelgsime į atvejį, kai ), apsvarstysime formos paraboles. Nesunku atspėti (visada galite remtis lentele), kad parabolė judės aukštyn arba žemyn išilgai ašies, priklausomai nuo ženklo:

IV ATVEJIS, ATRODA „b“.

Kada parabolė „nuplėšys“ nuo ašies ir pagaliau „vaikščios“ per visą koordinačių plokštumą? Kai nustoja būti lygus.

Čia, norint sukurti parabolę, mums reikia viršūnės apskaičiavimo formulė: , .

Taigi šiuo metu (kaip taške (0; 0) nauja sistema koordinates) pastatysime parabolę, kuri jau mūsų galioje. Jei nagrinėjame atvejį , tai iš viršaus atidedame vieną vienetinį segmentą į dešinę, vieną į viršų - gautas taškas yra mūsų (panašiai žingsnis į kairę, žingsnis aukštyn yra mūsų taškas); jei turime reikalą, pavyzdžiui, tada iš viršaus atidedame vieną segmentą į dešinę, du – aukštyn ir pan.

Pavyzdžiui, parabolės viršūnė:

Dabar svarbiausia suprasti, kad šioje viršūnėje mes sukursime parabolę pagal parabolės šabloną, nes mūsų atveju.

Statant parabolę radus viršūnės koordinates yra labaiPatogu atsižvelgti į šiuos dalykus:

1) parabolė turi praeiti pro tašką . Iš tiesų, formulėje pakeitę x=0, gauname, kad . Tai yra, parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taško ordinatė, tai yra. Mūsų pavyzdyje (aukščiau) parabolė kerta y ašį ties , Kadangi .

2) simetrijos ašis parabolės yra tiesi linija, todėl visi parabolės taškai bus jos atžvilgiu simetriški. Mūsų pavyzdyje iš karto paimame tašką (0; -2) ir pastatome simetrišką simetrijos ašies parabolę, gauname tašką (4; -2), per kurį parabolė praeis.

3) Prilyginę , išsiaiškiname parabolės susikirtimo taškus su ašimi (jautis). Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį. Priklausomai nuo diskriminanto, gausime vieną (, ), du ( title="(!LANG:Rended by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Ankstesniame pavyzdyje mes turime šaknį iš diskriminanto - ne sveikąjį skaičių, jį kuriant mums nėra prasmės rasti šaknis, tačiau aiškiai matome, kad turėsime du susikirtimo taškus su (oh) ašis (nuo pavadinimo = "(!LANG: pateikė QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Taigi treniruokimės

Parabolės konstravimo algoritmas, jei jis pateiktas formoje

1) nustatyti šakų kryptį (a>0 - aukštyn, a<0 – вниз)

2) Raskite parabolės viršūnės koordinates pagal formulę , .

3) parabolės susikirtimo tašką su ašimi (oy) randame laisvuoju terminu, statome tašką, simetrišką duotajam parabolės simetrijos ašies atžvilgiu (reikia pastebėti, kad taip atsitinka Nepelninga pažymėti šį tašką, pavyzdžiui, nes vertė yra didelė ... mes praleidžiame šį tašką ...)

4) Rastame taške - parabolės viršūnėje (kaip ir naujos koordinačių sistemos taške (0; 0)) statome parabolę. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Mes randame parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taškus (jei jie patys dar „neišlipo“), išspręsdami lygtį

1 pavyzdys

2 pavyzdys

1 pastaba. Jei parabolė iš pradžių mums pateikiama forma , kur yra keletas skaičių (pavyzdžiui, ), tada ją sudaryti bus dar lengviau, nes jau gavome viršūnės koordinates. Kodėl?

Paimkime kvadratinį trinarį ir jame pažymime visą kvadratą: Žiūrėkite, mes gavome, kad , . Anksčiau vadinome parabolės viršūnę, tai yra, dabar.

Pavyzdžiui, . Plokštumoje pažymime parabolės viršūnę, suprantame, kad šakos nukreiptos žemyn, parabolė išsiplėtusi (santykinai). Tai yra, atliekame 1 veiksmus; 3; 4; 5 iš parabolės konstravimo algoritmo (žr. aukščiau).

2 pastaba. Jei parabolė pateikiama panašia į šią forma (ty pavaizduota kaip dviejų tiesinių faktorių sandauga), tada iš karto matome parabolės susikirtimo taškus su (x) ašimi. Šiuo atveju – (0;0) ir (4;0). Likusiai elgiamės pagal algoritmą, atidarydami skliaustus.

Visi žino, kas yra parabolė. Bet kaip jį teisingai naudoti, kompetentingai sprendžiant įvairias praktines problemas, mes suprasime toliau.

Pirmiausia pažymėkime pagrindines sąvokas, kurias šiam terminui suteikia algebra ir geometrija. Apsvarstykite viską galimi tipaišią diagramą.

Sužinome visas pagrindines šios funkcijos ypatybes. Supraskime kreivės (geometrijos) konstravimo pagrindus. Sužinokime, kaip rasti aukščiausias, kitas pagrindines šio tipo grafiko reikšmes.

Išsiaiškinsime: kaip teisingai pagal lygtį sukonstruota reikiama kreivė, į ką reikia atkreipti dėmesį. Pažiūrėkime pagrindinį praktinis naudojimasši unikali vertybė žmogaus gyvenime.

Kas yra parabolė ir kaip ji atrodo

Algebra: šis terminas reiškia kvadratinės funkcijos grafiką.

Geometrija: tai antros eilės kreivė, turinti keletą specifinių savybių:

Kanoninė parabolės lygtis

Paveiksle pavaizduota stačiakampė koordinačių sistema (XOY), ekstremumas, funkcijos kryptis, brėžianti šakas išilgai abscisių ašies.

Kanoninė lygtis yra tokia:

y 2 \u003d 2 * p * x,

kur koeficientas p yra parabolės (AF) židinio parametras.

Algebroje tai parašyta kitaip:

y = a x 2 + b x + c (atpažįstamas modelis: y = x 2).

Kvadratinės funkcijos savybės ir grafikas

Funkcija turi simetrijos ašį ir centrą (ekstremumą). Apibrėžimo sritis yra visos x ašies reikšmės.

Funkcijos reikšmių diapazonas - (-∞, M) arba (M, +∞) priklauso nuo kreivės šakų krypties. Parametras M čia reiškia funkcijos reikšmę eilutės viršuje.

Kaip nustatyti, kur nukreiptos parabolės šakos

Norėdami iš išraiškos rasti šio tipo kreivės kryptį, prieš pirmąjį parametrą turite nurodyti ženklą algebrinė išraiška. Jei a ˃ 0, tada jie nukreipti į viršų. Priešingu atveju žemyn.

Kaip rasti parabolės viršūnę naudojant formulę

Ekstremo radimas yra pagrindinis žingsnis sprendžiant daugelį praktinių problemų. Žinoma, galite atidaryti specialius internetiniai skaičiuotuvai bet geriau tai padaryti pačiam.

Kaip tai apibrėžti? Yra speciali formulė. Kai b nelygus 0, turime ieškoti šio taško koordinačių.

Formulės, kaip rasti viršūnę:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Pavyzdys.

Yra funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Raskime šios funkcijos viršūnes.

Tokiai linijai:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Gauname viršūnės koordinates (-2, -41).

Parabolės poslinkis

Klasikinis atvejis, kai kvadratinėje funkcijoje y = a x 2 + b x + c antrasis ir trečiasis parametrai yra 0, o = 1 - viršūnė yra taške (0; 0).

Judėjimas išilgai abscisių arba ordinačių ašių atsiranda dėl atitinkamai b ir c parametrų pasikeitimo. Linijos poslinkis plokštumoje bus atliktas tiksliai pagal vienetų skaičių, kuris yra lygus parametro vertei.

Pavyzdys.

Turime: b = 2, c = 3.

Tai reiškia, kad klasikinis kreivės vaizdas pasislinks 2 segmentais išilgai abscisių ašies ir 3 išilgai ordinačių ašies.

Kaip sukurti parabolę naudojant kvadratinę lygtį

Svarbu, kad moksleiviai išmoktų teisingai nupiešti parabolę pagal pateiktus parametrus.

Analizuodami išraiškas ir lygtis galite pamatyti šiuos dalykus:

1. Norimos tiesės susikirtimo taškas su ordinačių vektoriumi turės reikšmę, lygią c.
2. Visi grafiko taškai (išilgai x ašies) bus simetriški pagrindinio funkcijos ekstremumo atžvilgiu.

Be to, susikirtimus su OX galima rasti žinant tokios funkcijos diskriminantą (D):

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Norėdami tai padaryti, išraišką turite prilyginti nuliui.

Parabolės šaknų buvimas priklauso nuo rezultato:

• D ˃ 0, tada x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, tada x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, tada nėra susikirtimo taškų su vektoriumi OX.

Gauname parabolės konstravimo algoritmą:

• nustatyti šakų kryptį;
• rasti viršūnės koordinates;
• rasti sankirtą su y ašimi;
• Raskite sankirtą su x ašimi.

1 pavyzdys

Duota funkcija y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Būtina sukurti parabolę. Mes veikiame pagal algoritmą:

1. a \u003d 1, todėl šakos nukreiptos į viršų;
2. ekstremalios koordinatės: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. kertasi su y ašimi reikšme y = 4;
4. raskite diskriminantą: D = 25 - 16 = 9;
5. ieško šaknų

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10).

2 pavyzdys

Funkcijai y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 reikia sukurti parabolę. Mes veikiame pagal aukščiau pateiktą algoritmą:

1. a \u003d 3, todėl šakos nukreiptos į viršų;
2. ekstremalios koordinatės: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. su y ašimi susikirs reikšme y \u003d -1;
4. Raskite diskriminantą: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Taigi šaknys:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1; 0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Iš gautų taškų galite sukurti parabolę.

Kryptis, ekscentriškumas, parabolės židinys

Remiantis kanonine lygtimi, židinys F turi koordinates (p/2, 0).

Tiesi linija AB yra kryptis (tam tikro ilgio parabolės styga). Jos lygtis yra x = -p/2.

Ekscentriškumas (pastovi) = 1.

Išvada

Svarstėme temą, kuria mokosi studentai vidurinė mokykla. Dabar jūs žinote, žvelgdami į kvadratinę parabolės funkciją, kaip rasti jos viršūnę, kuria kryptimi bus nukreiptos šakos, ar yra poslinkis išilgai ašių, ir, turėdami konstravimo algoritmą, galite nubraižyti jos grafiką.

The metodinė medžiaga yra informacinio pobūdžio ir apima daugybę temų. Straipsnyje apžvelgiami pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikai ir aptariamas svarbiausias klausimas - kaip teisingai ir GREITAI sudaryti grafiką. Tyrimo metu aukštoji matematika nežinant pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikų, bus sunku, todėl labai svarbu atsiminti, kaip atrodo parabolės, hiperbolės, sinuso, kosinuso ir kt. grafikai, atsiminti kai kurias funkcijų reikšmes. Taip pat pakalbėsime apie kai kurias pagrindinių funkcijų savybes.

Nepretenduoju į medžiagų išsamumą ir mokslinį nuodugnumą, pirmiausia akcentuosiu praktiką – tuos dalykus, su kuriais tenka susidurti tiesiogine prasme kiekviename žingsnyje, bet kurioje aukštosios matematikos temoje. Manekenų diagramos? Galima taip sakyti.

Pagal populiarų skaitytojų poreikį spustelėjamas turinys:

Be to, šia tema yra itin trumpa santrauka
– įvaldykite 16 tipų diagramas studijuodami ŠEŠIUS puslapius!

Jei rimtai, šeši, net aš pats buvau nustebęs. Šioje santraukoje yra patobulinta grafika, ją galima įsigyti už nominalų mokestį, galima peržiūrėti demonstracinę versiją. Failą patogu atsispausdinti, kad grafikai visada būtų po ranka. Ačiū už paramą projektui!

Ir iškart pradedame:

Kaip teisingai sudaryti koordinačių ašis?

Praktiškai testus studentai beveik visada rengia atskiruose sąsiuviniuose, išklotuose narve. Kodėl jums reikia languotų ženklų? Juk darbą iš principo galima atlikti ir ant A4 formato lapų. O narvas reikalingas vien dėl kokybiško ir tikslaus brėžinių suprojektavimo.

Bet koks funkcijos grafiko brėžinys prasideda koordinačių ašimis.

Piešiniai yra dvimačiai ir trimačiai.

Pirmiausia panagrinėkime dvimatį atvejį Dekarto koordinačių sistema:

1) Nubraižome koordinačių ašis. Ašis vadinama x ašis , ir ašis y ašis . Mes visada stengiamės juos nupiešti tvarkingas ir nekreivas. Rodyklės taip pat neturėtų priminti Papa Carlo barzdos.

2) Pasirašome ant ašių Didžiosios raidės„x“ ir „y“. Nepamirškite pasirašyti ašių.

3) Nustatykite skalę išilgai ašių: nubrėžkite nulį ir du vienetus. Darant piešinį patogiausia ir įprasta mastelė: 1 vienetas = 2 langeliai (piešinys kairėje) – jei įmanoma, laikykitės. Tačiau karts nuo karto nutinka taip, kad piešinys netelpa ant sąsiuvinio lapo – tada sumažiname mastelį: 1 vnt. = 1 langelis (piešinys dešinėje). Retai, bet pasitaiko, kad piešinio mastelį tenka dar labiau sumažinti (ar padidinti).

NEGALIMA rašyti iš kulkosvaidžio ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Mat koordinačių plokštuma nėra paminklas Dekartui, o studentas – ne balandis. Mes dedame nulis Ir du vienetai išilgai ašių. Kartais vietoj vienetų, patogu „aptikti“ kitas reikšmes, pavyzdžiui, „dvi“ abscisių ašyje ir „trys“ ordinačių ašyje – ši sistema (0, 2 ir 3) taip pat vienareikšmiškai nustatys koordinačių tinklelį.

Geriau PRIEŠ braižant brėžinį įvertinti numatomus brėžinio matmenis.. Taigi, pavyzdžiui, jei atliekant užduotį reikia nubrėžti trikampį su viršūnėmis , , , tuomet visiškai aišku, kad populiarios skalės 1 vienetas = 2 langeliai neveiks. Kodėl? Pažiūrėkime į esmę – čia reikia išmatuoti penkiolika centimetrų žemyn, ir, aišku, piešinys netilps (arba vos tilps) ant sąsiuvinio lapo. Todėl iš karto pasirenkame mažesnio masto 1 vienetas = 1 langelis.

Beje, apie centimetrus ir užrašų knygelės ląsteles. Ar tiesa, kad 30 bloknoto langelių yra 15 centimetrų? Išmatuokite liniuote sąsiuvinyje susidomėjimui 15 centimetrų. SSRS galbūt tai buvo tiesa ... Įdomu pastebėti, kad jei išmatuosite tuos pačius centimetrus horizontaliai ir vertikaliai, tada rezultatai (ląstelėse) bus skirtingi! Griežtai tariant, šiuolaikiniai sąsiuviniai yra ne languoti, o stačiakampiai. Gali atrodyti, kad tai nesąmonė, bet piešti, pavyzdžiui, apskritimą su kompasu tokiose situacijose yra labai nepatogu. Tiesą sakant, tokiomis akimirkomis pradedate galvoti apie draugo Stalino, kuris buvo išsiųstas į stovyklas dėl įsilaužimo gamyboje, teisingumą, jau nekalbant apie vidaus automobilių pramonę, krentančius lėktuvus ar sprogstančias elektrines.

Kalbant apie kokybę, arba trumpa rekomendacija pagal raštinės reikmenis. Iki šiol dauguma parduodamų sąsiuvinių, nekalbant blogų žodžių, yra visiški goblinai. Dėl to, kad jie sušlampa, ir ne tik nuo gelinių rašiklių, bet ir nuo tušinukų! Taupykite popieriuje. Dėl išvalymo valdymo darbai Rekomenduoju naudoti Archangelsko celiuliozės ir popieriaus gamyklos sąsiuvinius (18 lapų, narvas) arba Pyaterochka, nors jie ir brangesni. Patartina rinktis gelinį rašiklį, net pigiausias kiniškas gelio užpildas yra daug geriau nei tušinukas, kuris arba ištepa, arba suplėšo popierių. Vienintelis „konkurencinis“ tušinukas mano atmintyje yra Erichas Krause. Rašo aiškiai, gražiai ir stabiliai – arba pilnu kotu, arba beveik tuščiu.

Papildomai: straipsnyje aptariamas stačiakampės koordinačių sistemos matymas analitinės geometrijos akimis Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorinis pagrindas, Detali informacija apie koordinačių ketvirčius rasite antroje pamokos pastraipoje Tiesinės nelygybės.

3D dėklas

Čia beveik tas pats.

1) Nubraižome koordinačių ašis. Standartas: taikymo ašis – nukreipta į viršų, ašis – nukreipta į dešinę, ašis – žemyn į kairę griežtai 45 laipsnių kampu.

2) Pasirašome ant ašių.

3) Nustatykite skalę išilgai ašių. Skalė išilgai ašies – du kartus mažesnė už skalę išilgai kitų ašių. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad dešiniajame brėžinyje aš panaudojau nestandartinį „serifą“ išilgai ašies (ši galimybė jau buvo paminėta aukščiau). Mano požiūriu, tai tikslesnė, greitesnė ir estetiškesnė – nereikia ieškoti ląstelės vidurio po mikroskopu ir „skulptuoti“ įrenginio iki pat pradžios.

Dar kartą darydami 3D piešinį – pirmenybę teikite masteliui
1 vienetas = 2 langeliai (piešinys kairėje).

Kam skirtos visos šios taisyklės? Taisyklės yra tam, kad jas laužytume. Ką aš dabar darysiu. Faktas yra tas, kad tolesnius straipsnio brėžinius aš padarysiu programoje „Excel“, o koordinačių ašys atrodys neteisingos teisingas dizainas. Visus grafikus galėčiau nubraižyti ranka, bet labai baisu juos braižyti, nes Excelis nelinkęs piešti daug tiksliau.

Grafikai ir pagrindinės elementariųjų funkcijų savybės

Tiesinė funkcija pateikiama lygtimi . Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesioginis. Norint sukurti tiesią liniją, pakanka žinoti du taškus.

1 pavyzdys

Nubraižykite funkciją. Raskime du taškus. Kaip vieną iš taškų pravartu pasirinkti nulį.

Jei tada

Imame kitą tašką, pavyzdžiui, 1.

Jei tada

Rengiant užduotis taškų koordinatės dažniausiai apibendrinamos lentelėje:

Ir pačios vertės skaičiuojamos žodžiu arba juodraščiu, skaičiuokle.

Rasti du taškai, nubrėžkime:

Piešdami piešinį visada pasirašome ant grafikos.

Nebus nereikalinga prisiminti specialius tiesinės funkcijos atvejus:

Atkreipkite dėmesį, kaip įdėjau antraštes, parašai neturėtų būti dviprasmiški studijuojant piešinį. Šiuo atveju buvo labai nepageidautina parašą dėti šalia linijų susikirtimo taško arba apačioje, dešinėje tarp grafikų.

1) Formos () tiesinė funkcija vadinama tiesiogine proporcingumu. Pavyzdžiui, . Tiesioginio proporcingumo grafikas visada eina per pradžią. Taigi, tiesios linijos konstravimas yra supaprastintas – pakanka rasti tik vieną tašką.

2) Formos lygtis apibrėžia tiesę, lygiagrečią ašiai, visų pirma, pati ašis pateikiama lygtimi. Funkcijos grafikas sudaromas iš karto, nerandant taškų. Tai reiškia, kad įrašas turėtų būti suprantamas taip: "y visada lygus -4, bet kuriai x reikšmei".

3) Formos lygtis apibrėžia tiesę, lygiagrečią ašiai, visų pirma, pati ašis pateikiama lygtimi. Funkcijos grafikas taip pat sukuriamas iš karto. Įrašas turėtų būti suprantamas taip: "x visada, esant bet kuriai y reikšmei, yra lygus 1."

Kai kas paklaus, na, kam prisiminti 6 klasę?! Taip yra, gal ir taip, tik per praktikos metus sutikau gerą tuziną studentų, kuriuos glumino užduotis sukonstruoti grafiką kaip arba .

Tiesios linijos brėžimas yra labiausiai paplitęs veiksmas kuriant brėžinius.

Tiesi linija išsamiai aptariama analitinės geometrijos eigoje, o norintys gali kreiptis į straipsnį Tiesės lygtis plokštumoje.

Kvadratinės funkcijos grafikas, kubinių funkcijų grafikas, daugianario grafikas

Parabolė. Kvadratinės funkcijos grafikas () yra parabolė. Apsvarstykite garsųjį atvejį:

Prisiminkime kai kurias funkcijos savybes.

Taigi, mūsų lygties sprendimas: - būtent šioje vietoje yra parabolės viršūnė. Kodėl taip yra, galima sužinoti iš teorinio straipsnio apie išvestinę ir pamoką apie funkcijos kraštutinumus. Tuo tarpu apskaičiuojame atitinkamą "y" reikšmę:

Taigi viršūnė yra taške

Dabar randame kitus taškus, įžūliai naudodami parabolės simetriją. Reikėtų pažymėti, kad funkcija – nėra net, tačiau, nepaisant to, niekas nepanaikino parabolės simetrijos.

Kokia tvarka rasti likusius taškus, manau, paaiškės iš galutinės lentelės:

Šis algoritmas konstrukciją perkeltine prasme galima pavadinti „shuttle“ arba „pirmyn ir atgal“ principu su Anfisa Čechova.

Padarykime piešinį:

Iš nagrinėjamų grafikų į galvą ateina dar viena naudinga funkcija:

Dėl kvadratinės funkcijos () tiesa:

Jei , tada parabolės šakos nukreiptos į viršų.

Jei , tada parabolės šakos nukreiptos žemyn.

Išsamių žinių apie kreivę galima įgyti pamokoje Hiperbolė ir parabolė.

Kubinė parabolė pateikiama funkcija . Štai piešinys, pažįstamas iš mokyklos:

Išvardijame pagrindines funkcijos savybes

Funkcijų grafikas

Tai yra viena iš parabolės šakų. Padarykime piešinį:

Pagrindinės funkcijos savybės:

Šiuo atveju ašis yra vertikali asimptota hiperbolinės diagramos atveju .

Tai bus DIDELĖ klaida, jei sudarydami brėžinį dėl aplaidumo leisite grafikui susikirsti su asimptote.

Taip pat vienpusės ribos, pasakykite mums, kad hiperbolė neapribota iš viršaus Ir neapribota iš apačios.

Išnagrinėkime funkciją begalybėje: , tai yra, jei pradėsime judėti išilgai ašies į kairę (arba dešinę) iki begalybės, tada „žaidimai“ bus plonas žingsnis be galo arti artėja prie nulio ir atitinkamai hiperbolės šakos be galo arti priartėti prie ašies.

Taigi ašis yra horizontalioji asimptote funkcijos grafikui, jei "x" linkęs į pliuso arba minus begalybę.

Funkcija yra nelyginis, o tai reiškia, kad hiperbolė yra simetriška kilmės atžvilgiu. Šis faktas akivaizdu iš brėžinio, be to, jį galima nesunkiai patikrinti analitiškai: .

() formos funkcijos grafikas vaizduoja dvi hiperbolės šakas.

Jei , tada hiperbolė yra pirmajame ir trečiajame koordinačių kvadrantuose(žr. paveikslėlį aukščiau).

Jei , tada hiperbolė yra antrajame ir ketvirtame koordinačių kvadrantuose.

Grafų geometrinių transformacijų požiūriu nesunku išanalizuoti nurodytą hiperbolės gyvenamosios vietos dėsningumą.

3 pavyzdys

Sukurkite dešinę hiperbolės šaką

Mes naudojame taškinio konstravimo metodą, tuo tarpu naudinga pasirinkti reikšmes taip, kad jos visiškai išsiskirtų:

Padarykime piešinį:

Sukonstruoti kairiąją hiperbolės šaką nebus sunku, čia funkcijos keistumas kaip tik padės. Grubiai tariant, taškinės konstrukcijos lentelėje mintyse pridėkite minusą prie kiekvieno skaičiaus, sudėkite atitinkamus taškus ir nubrėžkite antrąją šaką.

Išsamią geometrinę informaciją apie nagrinėjamą liniją rasite straipsnyje Hiperbolė ir parabolė.

Eksponentinės funkcijos grafikas

Šioje pastraipoje iš karto apsvarstysiu eksponentinę funkciją, nes aukštosios matematikos uždaviniuose 95% atvejų atsiranda eksponentas.

Primenu, kad tai yra neracionalus skaičius: , to prireiks statant grafiką, kurį, tiesą sakant, statysiu be ceremonijų. Tikriausiai pakanka trijų taškų:

Funkcijos grafiką kol kas palikime ramybėje, apie tai vėliau.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Iš esmės funkcijų grafikai atrodo taip pat ir pan.

Turiu pasakyti, kad antrasis atvejis praktikoje yra mažiau paplitęs, tačiau pasitaiko, todėl maniau, kad būtina jį įtraukti į šį straipsnį.

Logaritminės funkcijos grafikas

Apsvarstykite funkciją su natūralusis logaritmas.
Nubrėžkime liniją:

Jei pamiršote, kas yra logaritmas, skaitykite mokyklinius vadovėlius.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Domenas:

Vertybių diapazonas: .

Funkcija nėra ribojama iš viršaus: , nors ir lėtai, bet logaritmo atšaka kyla iki begalybės.
Panagrinėkime funkcijos, esančios šalia nulio, veikimą dešinėje: . Taigi ašis yra vertikali asimptota funkcijos grafikui, kai "x" linkęs į nulį dešinėje.

Būtinai žinokite ir atsiminkite tipinę logaritmo reikšmę: .

Iš esmės logaritmo grafikas prie pagrindo atrodo taip pat: , , (dešimtainis logaritmas iki 10 bazės) ir kt. Tuo pačiu metu, kuo didesnis pagrindas, tuo diagrama bus plokštesnė.

Mes nenagrinėsime atvejo, aš neprisimenu, kada paskutinį kartą sukūriau grafiką tokiu pagrindu. Taip, ir logaritmas, atrodo, yra labai retas svečias aukštosios matematikos uždaviniuose.

Baigdamas pastraipą pasakysiu dar vieną faktą: Eksponentinė funkcija ir logaritminė funkcijayra du abipusiai atvirkštinės funkcijos . Jei atidžiai pažvelgsite į logaritmo grafiką, pamatysite, kad tai yra tas pats eksponentas, tik jis yra šiek tiek kitaip.

Trigonometrinių funkcijų grafikai

Kaip mokykloje prasideda trigonometrinės kančios? Teisingai. Iš sinuso

Nubraižykime funkciją

Ši linija vadinama sinusoidinė.

Primenu, kad „pi“ yra neracionalus skaičius:, o trigonometrijoje jis apakina akyse.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Ši funkcija yra periodinis leidinys su laikotarpiu. Ką tai reiškia? Pažiūrėkime į pjūvį. Kairėje ir dešinėje nuo jo lygiai ta pati grafiko dalis kartojasi be galo.

Domenas: , tai yra, bet kuriai "x" reikšmei yra sinusinė reikšmė.

Vertybių diapazonas: . Funkcija yra ribotas: , tai yra, visi „žaidimai“ yra griežtai segmente .
Taip nebūna: arba, tiksliau, atsitinka, bet šios lygtys neturi sprendimo.

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote abrakadabra, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis dėl

Norint suprasti, kas čia bus parašyta, reikia gerai žinoti, kas yra kvadratinė funkcija ir su kuo ji valgoma. Jei laikote save kvadratinių funkcijų profesionalu, sveiki atvykę. Bet jei ne, turėtumėte perskaityti temą.

Pradėkime nuo mažo čekius:

1. Kaip kvadratinė funkcija atrodo bendra forma (formule)?
2. Kaip vadinasi kvadratinės funkcijos grafikas?
3. Kaip pirmaujantis koeficientas veikia kvadratinės funkcijos grafiką?

Jei galite iš karto atsakyti į šiuos klausimus, skaitykite toliau. Jei bent vienas klausimas sukėlė sunkumų, eikite į.

Taigi, jūs jau žinote, kaip valdyti kvadratinę funkciją, analizuoti jos grafiką ir sudaryti grafiką pagal taškus.

Na, štai: .

Greitai pažiūrėkime, ką jie daro. šansai.

1. Vyriausiasis koeficientas yra atsakingas už parabolės „statumą“ arba, kitaip tariant, už jos plotį: kuo didesnė, tuo siauresnė (statesnė) parabolė, o mažesnė – platesnė (plokštesnė).
2. Laisvasis terminas yra parabolės susikirtimo su y ašimi koordinatė.
3. O koeficientas kažkaip atsakingas už parabolės poslinkį nuo koordinačių centro. Štai dabar daugiau apie tai.

Kodėl mes visada pradedame statyti parabolę? Koks jos skiriamasis taškas?

Tai viršūnė. O kaip rasti viršūnės koordinates, pamenate?

Abscisės ieškoma pagal šią formulę:

Taip: ką daugiau, temos į kairę parabolės viršus juda.

Viršūnės ordinates galima rasti pakeitus į funkciją:

Pakeiskite save ir suskaičiuokite. Kas nutiko?

Jei viską padarysite teisingai ir kiek įmanoma supaprastinsite gautą išraišką, gausite:

Pasirodo, kuo daugiau modulo, temos aukščiau valios viršūnė parabolės.

Galiausiai pereikime prie siužeto.
Lengviausias būdas yra sukurti parabolę pradedant nuo viršaus.

Pavyzdys:

Nubraižykite funkciją.

Sprendimas:

Pirmiausia apibrėžkime koeficientus: .

Dabar apskaičiuokime viršūnių koordinates:

Ir dabar atminkite: visos parabolės su tuo pačiu pirmaujančiu koeficientu atrodo vienodai. Taigi, jei sukursime parabolę ir perkelsime jos viršūnę į tašką, gausime reikalingą grafiką:

Paprasta, tiesa?

Liko tik vienas klausimas: kaip greitai nupiešti parabolę? Net jei nubrėžtume parabolę su viršūne iš pradžių, vis tiek turime ją sukurti taškas po taško, o tai yra ilga ir nepatogu. Bet visos parabolės atrodo vienodai, gal yra koks būdas pagreitinti jų piešimą?

Kai mokiausi mokykloje, mano matematikos mokytoja visiems liepė iš kartono iškirpti parabolės formos trafaretą, kad galėtų greitai jį nupiešti. Bet su trafaretu visur vaikščioti nepavyks, ir į egzaminą neleis. Taigi, pašalinių daiktų nenaudosime, o ieškosime rašto.

Apsvarstykite paprasčiausią parabolę. Sukurkime jį taškais:

Taisyklė čia tokia. Jei judėsime iš viršaus į dešinę (išilgai ašies) į ir aukštyn (išilgai ašies) į, tada pateksime į parabolės tašką. Toliau: jei nuo šio taško judėsime į dešinę ir aukštyn, vėl pateksime į parabolės tašką. Kitas: tiesiai ir aukštyn. Kas toliau? Tiesiai ir aukštyn. Ir taip toliau: judėkite į dešinę ir į kitą nelyginis skaičius aukštyn. Tada tą patį darome su kairiąja šaka (juk parabolė yra simetriška, tai yra, jos šakos atrodo taip pat):

Puiku, tai padės sukurti bet kurią parabolę iš viršūnės, kurios koeficientas yra didžiausias. Pavyzdžiui, mes sužinojome, kad parabolės viršūnė yra taške. Sukurkite (savaime, ant popieriaus) šią parabolę.

Pastatytas?

Tai turėtų pasirodyti taip:

Dabar sujungiame gautus taškus:

Tai viskas.

Gerai, dabar kurkite tik paraboles?

Žinoma ne. Dabar išsiaiškinkime, ką su jais daryti, jei.

Panagrinėkime keletą tipiškų atvejų.

Puiku, išmokome nupiešti parabolę, o dabar praktikuokime realias funkcijas.

Taigi, nubraižykite tokių funkcijų grafikus:

Atsakymai:

3. Viršus: .

Ar prisimeni, ką daryti, jei vyresnio amžiaus koeficientas mažesnis?

Žiūrime į trupmenos vardiklį: jis lygus. Taigi judėsime taip:

• dešinėn – aukštyn
• dešinėn – aukštyn
• dešinėn – aukštyn

ir taip pat į kairę:

4. Viršus: .

O, ką su juo daryti? Kaip išmatuoti ląsteles, jei viršūnė yra kažkur tarp linijų?..

Ir mes apgaudinėjame. Pirmiausia nubrėžkime parabolę ir tik tada perkelkime jos viršūnę į tašką. Netgi ne, padarykime tai dar sudėtingiau: nubrėžkime parabolę ir tada judinti ašis:- ant žemyn, a - įjungta teisingai:

Šis metodas yra labai patogus bet kokios parabolės atveju, prisiminkite tai.

Leiskite jums priminti, kad funkciją galime pavaizduoti tokia forma:

Pavyzdžiui: .

Ką tai mums duoda?

Faktas yra tas, kad skaičius, kuris atimamas iš skliaustuose () yra parabolės viršūnės abscisė, o už skliaustų () esantis terminas yra viršūnės ordinatė.

Tai reiškia, kad pastačius parabolę jums tereikia perkelkite ašį į kairę, o ašį žemyn.

Pavyzdys: nubraižykime funkcijos grafiką.

Pasirinkime visą kvadratą:

Koks numeris atimta iš skliausteliuose? Tai (o ne kaip galite nuspręsti negalvodami).

Taigi, mes sukuriame parabolę:

Dabar mes perkeliame ašį žemyn, ty aukštyn:

O dabar - į kairę, tai yra, į dešinę:

Tai viskas. Tai tas pats, kas perkelti parabolę su jos viršūne iš pradžios į tašką, tik tiesiąją ašį daug lengviau perkelti nei kreivą parabolę.

Dabar, kaip įprasta, aš:

Ir nepamirškite ištrinti senų ašių trintuku!

Aš esu kaip atsakymai patikrinimui parašysiu jums šių parabolių viršūnių ordinates:

Ar viskas tiko?

Jei taip, tu esi puikus! Žinoti, kaip elgtis su parabole, yra labai svarbu ir naudinga, o štai mes pastebėjome, kad tai visai nesunku.

KVADRATINĖS FUNKCIJOS GRAFIKAVIMAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

kvadratinė funkcija yra formos funkcija, kur ir yra bet kokie skaičiai (koeficientai), yra laisvasis narys.

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė.

Parabolės viršus:
, t.y. kuo didesnis \displaystyle b , tuo kairiau juda parabolės viršus.
Pakeiskite funkciją ir gaukite:
, t.y. kuo didesnis \displaystyle b modulo , tuo aukščiau bus parabolės viršus

Laisvasis terminas yra parabolės susikirtimo su y ašimi koordinatė.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą išlaikęs egzaminą, dėl priėmimo į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? Nežinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais detalią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 499 rubliai

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!