Kaip apibūdinti parabolės funkcijos grafiko savybes. Kvadratinė funkcija ir jos grafikas

Matematikos pamokose mokykloje jau susipažinai su paprasčiausiomis savybėmis ir funkcijos grafiku y=x2. Plėskime savo žinias kvadratinė funkcija.

1 pratimas.

Nubraižykite funkciją y=x2. Mastelis: 1 = 2 cm.Oy ašyje pažymėkite tašką F(0; 1/4). Kompasu arba popieriaus juostele išmatuokite atstumą nuo taško F iki tam tikro momento M parabolės. Tada prisekite juostelę taške M ir pasukite aplink šį tašką, kad ji taptų vertikali. Juostos galas nukris šiek tiek žemiau x ašies (1 pav.). Ant juostelės pažymėkite, kiek ji yra už x ašies. Dabar paimkite kitą parabolės tašką ir pakartokite matavimą dar kartą. Kiek juostelės kraštas dabar nukrito už x ašies?

Rezultatas: nesvarbu, kurį parabolės tašką y \u003d x 2 imsite, atstumas nuo šio taško iki taško F (0; 1/4) bus didesnis nei atstumas nuo to paties taško iki x ašies visada vienodai skaičius - 1/4.

Galima sakyti ir kitaip: atstumas nuo bet kurio parabolės taško iki taško (0; 1/4) lygus atstumui nuo to paties parabolės taško iki tiesės y = -1/4. Šis nuostabus taškas F(0; 1/4) vadinamas sutelkti dėmesį parabolės y \u003d x 2, o tiesė y \u003d -1/4 - direktorėši parabolė. Kiekviena parabolė turi kryptį ir židinį.

Įdomios parabolės savybės:

1. Bet kuris parabolės taškas yra vienodu atstumu nuo tam tikro taško, vadinamo parabolės židiniu, ir tam tikros tiesės, vadinamos jo krypties tašku.

2. Jei pasukate parabolę aplink simetrijos ašį (pavyzdžiui, parabolę y \u003d x 2 aplink Oy ašį), gausite labai įdomų paviršių, kuris vadinamas apsisukimo paraboloidu.

Skysčio paviršius besisukančiame inde turi apsisukimo paraboloido formą. Šį paviršių pamatysite, jei šaukštu stipriai pamaišysite nepilnoje arbatos stiklinėje ir tada išimsite šaukštą.

3. Jei mesti akmenį į tuštumą tam tikru kampu į horizontą, tada jis skris palei parabolę (2 pav.).

4. Jei susikertate kūgio paviršių su plokštuma, lygiagrečia bet kuriam iš jo generatorių, tada atkarpoje gausite parabolę (3 pav.).

5. Atrakcionų parkuose jie kartais surengia juokingą atrakciją, vadinamą stebuklų paraboloidu. Kiekvienam, stovinčiam besisukančio paraboloido viduje, atrodo, kad jis stovi ant grindų, o likę žmonės kažkokio stebuklo dėka laikosi ant sienų.

6. Atspindiuosiuose teleskopuose naudojami ir paraboliniai veidrodžiai: tolimos žvaigždės šviesa, sklindanti lygiagrečiu spinduliu, krintanti ant teleskopo veidrodžio, surenkama fokusuoti.

7. Prožektoriams veidrodis dažniausiai gaminamas paraboloido pavidalu. Jei paraboloido židinyje pastatysite šviesos šaltinį, tada nuo parabolinio veidrodžio atsispindėję spinduliai sudaro lygiagretų spindulį.

Kvadratinės funkcijos braižymas

Matematikos pamokose mokėtės, kaip iš funkcijos y \u003d x 2 grafiko gauti formos funkcijų grafikus:

1) y=ax2– grafiko y = x 2 išplėtimas pagal Oy ašį |a| kartų (už |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ryžių. 4).

2) y=x2+n– grafiko poslinkis n vienetų išilgai Oy ašies, o jei n > 0, tai poslinkis aukštyn, o jei n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– grafiko poslinkis m vienetais išilgai Ox ašies: jei m< 0, то вправо, а если m >0, tada į kairę, (5 pav.).

4) y=-x2- simetriškas vaizdas apie grafiko Ox ašį y = x 2 .

Pakalbėkime apie funkcijų grafiko braižymą išsamiau. y = a(x - m) 2 + n.

Formos y = ax 2 + bx + c kvadratinė funkcija visada gali būti sumažinta iki formos

y \u003d a (x - m) 2 + n, kur m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Įrodykime tai.

tikrai,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Įveskime naują žymėjimą.

Leisti būti m = -b/(2a), bet n \u003d – (b 2 – 4ac) / (4a),

tada gauname y = a(x - m) 2 + n arba y - n = a(x - m) 2 .

Padarykime dar keletą pakeitimų: tegul y - n = Y, x - m = X (*).

Tada gauname funkciją Y = aX 2 , kurios grafikas yra parabolė.

Parabolės viršūnė yra ištakoje. x=0; Y = 0.

Pakeitę (*) viršūnės koordinates, gauname grafiko y = a(x - m) 2 + n viršūnės koordinates: x = m, y = n.

Taigi, norint nubrėžti kvadratinę funkciją, pavaizduotą kaip

y = a(x - m) 2 + n

transformuodami galite elgtis taip:

a) sudaryti funkcijos y = x 2 grafiką;

b) lygiagrečiai perkeliant išilgai Ox ašies m vienetų ir išilgai Oy ašies n vienetų - perkelkite parabolės viršūnę iš pradžios į tašką su koordinatėmis (m; n) (6 pav.).

Rašyti transformacijas:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Pavyzdys.

Naudodami transformacijas, sukurkite funkcijos y = 2(x - 3) 2 grafiką Dekarto koordinačių sistemoje – 2.

Sprendimas.

Transformacijų grandinė:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x - 3) 2 - 2 (4) .

Diagramos konstrukcija parodyta ryžių. 7.

Galite patys praktikuoti kvadratinių funkcijų braižymą. Pavyzdžiui, vienoje koordinačių sistemoje, naudodami transformacijas, sukurkite funkcijos y = 2(x + 3) 2 + 2 grafiką Jei turite klausimų ar norite gauti patarimą iš mokytojo, tuomet turite galimybę atlikti nemokama 25 minučių trukmės pamoka su internetiniu dėstytoju po . Tolimesniam darbui su mokytoju galite pasirinkti sau tinkantį

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip pavaizduoti kvadratinę funkciją?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.