집 > 발전소

산술 제곱근과 그 속성.

이 기사는 뿌리의 속성에 대한 주제를 다루는 자세한 정보 모음입니다. 주제를 고려하여 속성부터 시작하여 모든 공식을 연구하고 증명할 것입니다. 주제를 통합하기 위해 n도의 속성을 고려할 것입니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

루트 속성

속성에 대해 이야기하겠습니다.

  1. 재산 곱한 숫자 ㅏ그리고 비, 이는 등식으로 표현됩니다. 양수 또는 0과 같은 승수로 나타낼 수 있습니다. a 1 , a 2 , … , k as a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
  2. 개인에서 a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, 다음 형식으로도 쓸 수 있습니다. a b = a b ;
  3. 숫자의 거듭제곱으로 얻은 속성 ㅏ짝수 지수 a 2 m = 임의의 수에 대한 m ㅏ, 예를 들어 숫자 a 2 = a 의 제곱의 속성입니다.

제시된 모든 방정식에서 대시 기호 앞과 뒤의 부분을 바꿀 수 있습니다. 예를 들어 평등 a · b = a · b는 a · b = a · b로 변환됩니다. 등식 속성은 복잡한 방정식을 단순화하는 데 자주 사용됩니다.

첫 번째 속성의 증명은 정의를 기반으로 합니다. 제곱근자연 지수가 있는 거듭제곱의 속성. 세 번째 속성을 입증하려면 숫자 계수의 정의를 참조할 필요가 있습니다.

먼저 a·b = a·b 제곱근의 성질을 증명할 필요가 있다. 정의에 따르면 b는 양수 또는 0과 같은 숫자이며 다음과 같습니다. ㄴ건설 중 광장으로. 식 · b의 값은 양수이거나 음수가 아닌 숫자의 곱으로 0과 같습니다. 곱한 수의 정도의 속성을 사용하면 (a · b) 2 = a 2 · b 2 형식으로 평등을 나타낼 수 있습니다. 제곱근 a 2 \u003d a 및 b 2 \u003d b의 정의에 따라 a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

비슷한 방식으로 제품에서 다음을 증명할 수 있습니다. 케이승수 a 1 , a 2 , … , k는 이러한 요인의 제곱근의 곱과 같습니다. 실제로 a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

이 등식으로부터 a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k 가 나옵니다.

주제를 강화하기 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 및 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

몫의 산술 제곱근 속성을 증명해야 합니다. a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. 이 속성을 사용하면 a: b 2 = a 2: b 2 및 a 2: b 2 = a: b , a: b 는 양수이거나 0과 같은 등식을 작성할 수 있습니다. 이 표현이 증거가 될 것입니다.

예를 들어, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 및 30, 121 = 30, 121입니다.

숫자의 제곱의 제곱근의 속성을 고려하십시오. 2 = 로 등식으로 쓸 수 있습니다. 이 속성을 증명하려면 a ≥ 0그리고 에 ㅏ< 0 .

분명히, ≥ 0에 대해 같음 a 2 = a는 참입니다. ~에 ㅏ< 0 평등 a 2 = - a는 참입니다. 사실 이 경우 - a > 0그리고 (− a) 2 = a 2 . a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

실시예 2

5 2 = 5 = 5 및 - 0 .36 2 = - 0 . 36 = 0 . 36 .

증명된 속성은 a 2 m = a m 을 정당화하는 데 도움이 됩니다. 여기서 ㅏ- 진짜, 그리고 중- 자연수. 실제로, 지수 속성을 사용하면 차수를 대체할 수 있습니다. 2미터표현 (오전) 2, 다음 a 2 · m = (am) 2 = a m .

실시예 3

3 8 = 3 4 = 3 4 및 (- 8 , 3) ​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

n번째 루트의 속성

먼저 n 차 뿌리의 주요 속성을 고려해야합니다.

  1. 숫자 곱의 속성 ㅏ그리고 비, 양수이거나 0과 같으면 등식 a b n = a n b n 으로 표현할 수 있습니다. 이 속성은 제품에 유효합니다. 케이번호 a 1 , a 2 , … , k as a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
  2. ~에서 분수 a b n = a n b n 속성이 있습니다. 여기서 ㅏ- 어느 실수, 양수이거나 0이며, 비양의 실수입니다.
  3. 어떠한 것도 ㅏ그리고 짝수 n = 2m a 2 m 2 m = a는 참이고 홀수인 경우 n = 2m - 1등식 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a가 충족됩니다.
  4. m n = an m 에서 추출 속성, 여기서 ㅏ- 양수 또는 0과 같은 임의의 숫자, N그리고 중이 속성은 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다. . . n k n 2 n 1 = an 1 · n 2 . . . 엥 ;
  5. 음이 아닌 임의의 경우 N그리고 중, 이는 자연스러운 일이지만 공정한 평등을 정의할 수도 있습니다. a m n · m = an n ;
  6. 학위 속성 N숫자의 힘에서 ㅏ, 양수이거나 0인 현물 중, 등식으로 정의됨 a m n = an n m ;
  7. 지수가 동일한 비교 속성: 모든 양수에 대해 ㅏ그리고 비그런 ㅏ< b , 부등식 n< b n ;
  8. 가지고 있는 비교 속성 같은 숫자루트: 만약 중그리고 N-자연수 m > n, 다음에서 0 < a < 1 부등식 a m > an n은 유효하고, 에이 > 1이다< a n .

위의 방정식은 등호 앞과 뒤의 부분이 바뀌면 유효합니다. 이 형식으로도 사용할 수 있습니다. 이것은 표현을 단순화하거나 변형할 때 자주 사용됩니다.

근의 위 속성의 증명은 정의, 차수의 속성 및 숫자의 계수의 정의를 기반으로 합니다. 이러한 속성은 입증되어야 합니다. 그러나 모든 것이 정상입니다.

  1. 먼저, 곱 a · b n = a n · b n 에서 n차 근의 성질을 증명할 것입니다. 을 위한 ㅏ그리고 b, 어느~이다 양수 또는 0 , n · b n 값은 음수가 아닌 숫자를 곱한 결과이기 때문에 양수이거나 0과 같습니다. 자연 전력 곱의 속성은 등식 an n · b n n = an n n · b n n 을 쓸 수 있게 합니다. 루트의 정의 N th 차수 a n n = a 및 b n n = b , 따라서 a n · b n n = a · b . 결과 평등은 정확히 증명되어야 하는 것입니다.

이 속성은 제품에 대해 유사하게 증명됩니다. 케이요인: 음수가 아닌 숫자의 경우 a 1 , a 2 , … , an n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

다음은 루트 속성을 사용하는 예입니다. N곱의 거듭제곱: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 및 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

  1. 몫 a b n = a n b n 의 근의 속성을 증명합시다. ~에 a ≥ 0그리고 b > 0조건 a n b n ≥ 0이 충족되고 a n b n n = a n n b n n = a b .

예를 보여 드리겠습니다.

실시예 4

8 27 3 = 8 3 27 3 및 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

  1. 다음 단계에서는 숫자에서 차수로 n차의 속성을 증명해야 합니다. N. 임의의 실수에 대해 a 2 m 2 m = a 및 a 2 m - 1 2 m - 1 = a 등식으로 이것을 나타냅니다. ㅏ그리고 자연스러운 중. ~에 a ≥ 0우리는 a = a 와 a 2 m = a 2 m 을 얻습니다. 이것은 a 2 m 2 m = a 와 동등함을 증명하고 a 2 m - 1 2 m - 1 = a 는 명백합니다. ~에 ㅏ< 0 우리는 각각 a = - a 및 a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m 을 얻습니다. 숫자의 마지막 변환은 차수의 속성에 따라 유효합니다. 이것은 평등 a 2 m 2 m \u003d a 및 a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a가 참임을 증명하는 것입니다. 왜냐하면 - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m이 홀수로 간주되기 때문입니다 학위 - 임의의 숫자에 대해 1 씨 ,양수 또는 0과 같습니다.

수신된 정보를 통합하기 위해 속성을 사용하는 몇 가지 예를 고려하십시오.

실시예 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 및 (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

  1. 다음 등식 a m n = an n · m 을 증명합시다. 이렇게 하려면 등호 앞과 뒤의 숫자를 a n · m = a m n 으로 변경해야 합니다. 이것은 올바른 항목을 나타냅니다. 을 위한 ㅏ ,긍정적인 것 또는 0과 동일 , a m n은 양수 또는 영. 권력을 권력으로 끌어올리는 속성과 정의를 살펴보자. 도움을 받으면 등식을 a m n n · m = a m n n m = a m m = a 형식으로 변환할 수 있습니다. 이것은 루트에서 루트의 고려된 속성을 증명합니다.

다른 속성도 유사하게 증명됩니다. 진짜, . . . n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . 엔크 = . . . n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . 엔크 = . . . n n 4 n 3 n 3 n 4 . . . 엔크 = . . . = 엔케이엔케이 = 에이.

예를 들어 7 3 5 = 7 5 3 및 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24입니다.

  1. 다음 속성 a m n · m = an 을 증명합시다. 이를 위해서는 n이 양수이거나 0과 같은 숫자임을 보여줄 필요가 있습니다. 거듭제곱할 때 n m은 이다. 만약 번호 ㅏ양수 또는 0이면 N중에서 th 학위 ㅏ는 양수이거나 0과 같다. 또한, a n · m n = an n m 는 증명되어야 했다.

습득한 지식을 통합하기 위해 몇 가지 예를 고려하십시오.

  1. 다음 속성을 증명합시다. a m n = an n m 형식의 거듭제곱의 속성입니다. 에 있는 것이 분명하다. a ≥ 0차수 a n m은 음수가 아닌 숫자입니다. 게다가 그녀의 N-차도는 다음과 같습니다. 이다, 실제로, an n m n = an n m · n = an n m = am . 이것은 학위의 고려된 속성을 증명합니다.

예를 들어, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

  1. 양수에 대해 증명해야 합니다. ㅏ그리고 b ㅏ< b . 부등식을 고려하십시오 n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ㅏ< b . 따라서 n< b n при ㅏ< b .

예를 들어, 12 4< 15 2 3 4 .

  1. 루트 속성 고려 N- 학위. 먼저 부등식의 첫 번째 부분을 고려하십시오. ~에 m > n그리고 0 < a < 1 참 a m > an . a m ≤ an n 이라고 가정합니다. 속성은 표현을 n m · n ≤ a m m · n 으로 단순화합니다. 그러면 자연지수가 있는 차수의 성질에 따라 부등식 a n m n m n ≤ a m m n m n을 만족하게 되는데, 즉, n ≤ m. 에서 얻은 값 m > n그리고 0 < a < 1 위의 속성과 일치하지 않습니다.

같은 방법으로 증명할 수 있습니다. m > n그리고 에이 > 1조건< a n .

위의 속성을 수정하려면 몇 가지를 고려하십시오. 구체적인 예. 특정 숫자를 사용하여 불평등을 고려하십시오.

실시예 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

토지의 평방 플롯의 면적은 81 dm²입니다. 그의 편을 찾아라. 정사각형의 한 변의 길이가 다음과 같다고 가정합니다. 엑스데시미터. 그런 다음 음모의 면적은 엑스²제곱 데시미터. 조건에 따라이 면적은 81dm²이므로 엑스² = 81. 정사각형의 한 변의 길이는 양수입니다. 제곱이 81인 양수는 숫자 9입니다. 문제를 풀 때 제곱이 81인 숫자 x를 찾아야 했습니다. 즉, 방정식을 풉니다. 엑스² = 81. 이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 엑스 1 = 9 및 엑스 2 \u003d - 9, 9² \u003d 81 및 (- 9)² \u003d 81 이후. 숫자 9와 - 9는 숫자 81의 제곱근이라고 합니다.

제곱근 중 하나에 유의하십시오. 엑스= 9는 양수입니다. 81의 산술 제곱근이라고 하며 √81로 표시되므로 √81 = 9입니다.

숫자의 산술 제곱근 ㅏ제곱이 다음과 같은 음수가 아닌 숫자입니다. ㅏ.

예를 들어, 숫자 6과 -6은 36의 제곱근입니다. 6은 음수가 아니고 6² = 36이기 때문에 숫자 6은 36의 산술 제곱근입니다. 숫자 -6은 산술 근이 아닙니다.

숫자의 산술 제곱근 ㅏ√ ㅏ.

기호를 산술 제곱근 기호라고 합니다. ㅏ루트 표현식이라고 합니다. 식 √ ㅏ읽다 이와 같이: 숫자의 산술 제곱근 ㅏ.예를 들어, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7입니다. 인 것이 분명한 경우 우리 대화하는 중이 야산술 루트에 대해 간단히 다음과 같이 말합니다. "제곱근 ㅏ«.

어떤 수의 제곱근을 구하는 행위를 제곱근이라고 합니다. 이 동작은 제곱의 역순입니다.

모든 숫자를 제곱할 수 있지만 모든 숫자가 제곱근이 될 수는 없습니다. 예를 들어, 숫자의 제곱근 - 4를 추출하는 것은 불가능합니다. 그러한 루트가 존재하면 문자로 표시합니다. 엑스, 왼쪽에 음수가 아닌 숫자가 있고 오른쪽에 음수가 있기 때문에 잘못된 평등 x² \u003d - 4를 얻을 수 있습니다.

식 √ ㅏ때만 의미가 있습니다. ≥ 0. 제곱근의 정의는 다음과 같이 간단히 쓸 수 있습니다. √ ≥ 0, (√ㅏ)² = ㅏ. 평등(√ ㅏ)² = ㅏ유효한 ≥ 0. 따라서 음수가 아닌 숫자의 제곱근이 ㅏ같음 비, 즉, √ ㅏ =비, 다음 두 가지 조건이 충족되는지 확인해야 합니다. b ≥ 0, 비² = ㅏ.

분수의 제곱근

계산해 봅시다. √25 = 5, √36 = 6에 유의하고 같음이 유지되는지 확인합니다.

왜냐하면 그리고 , 평등은 참입니다. 그래서, .

정리:만약 ㅏ≥ 0 및 비> 0, 즉 분수의 근 루트와 동일분자에서 분모의 근으로 나눈 값. 다음을 증명해야 합니다. .

√ 이후 ㅏ≥0 및 √ 비> 0, 그러면 .

분수를 거듭제곱하여 제곱근을 구하는 성질로 정리가 증명되었습니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

입증된 정리에 따라 계산 .

두 번째 예: 증명 , 만약에 ㅏ ≤ 0, 비 < 0. .

다른 예: 계산 .

.

제곱근 변환

루트의 부호 아래에서 승수를 가져옵니다. 표현을 해보자. 만약 ㅏ≥ 0 및 비≥ 0이면 곱의 근에 대한 정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이러한 변환을 루트 기호 빼기라고 합니다. 예를 고려하십시오.

계산 엑스= 2. 직접 대체 엑스급진적 표현에서 = 2는 복잡한 계산을 초래합니다. 루트 기호 아래에서 요소를 먼저 제거하면 이러한 계산을 단순화할 수 있습니다. 이제 x = 2를 대입하면 다음을 얻습니다.

따라서 근 기호 아래에서 인수를 빼면 하나 이상의 인수가 음이 아닌 숫자의 제곱인 곱으로 급진적 표현이 나타납니다. 그런 다음 근 곱 정리가 적용되고 각 요인의 근이 사용됩니다. 예를 들어보겠습니다. 처음 두 항에서 루트 기호 아래에서 인수를 제거하여 식 A = √8 + √18 - 4√2를 단순화하면 다음을 얻습니다. 우리는 평등을 강조합니다 경우에만 유효 ㅏ≥ 0 및 비≥ 0. 만약 ㅏ < 0, то .

사실 1.
\(\bullet\) 음이 아닌 숫자 \(a\) (즉, \(a\geqslant 0\) )를 취하십시오. 그런 다음 (산술) 제곱근숫자 \(a\)에서 음수가 아닌 숫자 \(b\)가 호출되고, 이를 제곱할 때 숫자 \(a\)를 얻습니다. \[\sqrt a=b\quad \text( 와 동일)\quad a=b^2\]라는 정의에 따른다. \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). 이러한 제한 사항은 중요한 조건제곱근의 존재와 그것들을 기억해야 합니다!
모든 숫자를 제곱하면 음수가 아닌 결과가 나타납니다. 즉, \(100^2=10000\geqslant 0\) 및 \((-100)^2=10000\geqslant 0\) 입니다.
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) 란 무엇입니까? \(5^2=25\) 와 \((-5)^2=25\) 라는 것을 알고 있습니다. 정의에 따라 음수가 아닌 숫자를 찾아야 하므로 \(-5\) 는 적합하지 않으므로 \(\sqrt(25)=5\) ( \(25=5^2\) )입니다.
값 \(\sqrt a\) 를 찾는 것을 숫자 \(a\) 의 제곱근을 취한다고 하고 숫자 \(a\) 를 근식이라고 합니다.
\(\bullet\) 정의에 따라 \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) 등의 표현식이 있습니다. 말이 안 된다.

사실 2.
빠른 계산을 위해 제곱표를 배우는 것이 유용할 것입니다. 자연수\(1\)에서 \(20\)으로 : \[\begin(배열)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(배열)\]

사실 3.
제곱근으로 무엇을 할 수 있습니까?
\(\총알\) 제곱근의 합 또는 차는 합 또는 차이의 제곱근과 같지 않습니다. 즉, \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]따라서 예를 들어 \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) 를 계산해야 하는 경우 처음에는 값 ​\(\sqrt(25)\) 및 \(\sqrt (49)\ ) 그런 다음 더하십시오. 따라서, \[\제곱(25)+\제곱(49)=5+7=12\] \(\sqrt a+\sqrt b\)를 추가할 때 값 ​​\(\sqrt a\) 또는 \(\sqrt b\)를 찾을 수 없으면 해당 표현식은 더 이상 변환되지 않고 그대로 유지됩니다. 예를 들어, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) 합계에서 \(\sqrt(49)\) - 이것은 \(7\) 이지만 \(\sqrt 2\) 는 찾을 수 없습니다. 어떤 식 으로든 변환 된 이유는 \(\제곱 2+\제곱(49)=\제곱 2+7\). 또한이 표현은 불행히도 어떤 식 으로든 단순화 될 수 없습니다.\(\bullet\) 제곱근의 곱/몫은 곱/몫의 제곱근과 같습니다. 즉, \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (평등의 두 부분이 모두 의미가 있는 경우)
예시: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) 이러한 속성을 사용하면 다음의 제곱근을 찾는 것이 편리합니다. 큰 숫자그것들을 인수분해함으로써.
예를 들어 보십시오. \(\sqrt(44100)\) 를 찾으십시오. \(44100:100=441\) 이므로 \(44100=100\cdot 441\) 입니다. 나눗셈의 기준에 따르면, 숫자 \(441\)는 \(9\)로 나눌 수 있습니다(숫자의 합은 9이고 9로 나눌 수 있기 때문에), 따라서 \(441:9=49\) , 즉, \(441=9\ cdot 49\) 입니다.
따라서 우리는 다음을 얻었습니다. \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]다른 예를 살펴보겠습니다. \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) \(5\sqrt2\) (표현식 \(5\cdot \sqrt2\) 의 줄임말)의 예를 사용하여 제곱근 기호 아래에 숫자를 입력하는 방법을 보여 드리겠습니다. \(5=\sqrt(25)\) 이므로 \ 예를 들어,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

왜 그런 겁니까? 1)의 예를 들어 설명하겠습니다. 이미 이해했듯이 숫자 \(\sqrt2\) 를 어떻게든 변환할 수 없습니다. \(\sqrt2\) 가 어떤 숫자 \(a\) 라고 상상해보십시오. 따라서 \(\sqrt2+3\sqrt2\) 라는 표현은 \(a+3a\) (하나의 숫자 \(a\) + 같은 숫자 \(a\) )에 불과합니다. 그리고 우리는 이것이 네 개의 숫자 \(a\) 와 같다는 것을 알고 있습니다. 즉, \(4\sqrt2\) 입니다.

사실 4.
\(\bullet\) 어떤 수의 값을 찾을 때 근(radical)의 기호 \(\sqrt () \ \)를 제거할 수 없을 때 종종 "근을 추출할 수 없습니다"라고 합니다. 예를 들어, \(16=4^2\) 이므로 \(\sqrt(16)=4\) 이므로 숫자 \(16\) 를 근절할 수 있습니다. 그러나 숫자 \(3\) 에서 근을 추출하는 것, 즉 \(\sqrt3\) 을 찾는 것은 불가능합니다. 제곱이 \(3\) 을 줄 수 있는 숫자가 없기 때문입니다.
그러한 숫자(또는 그러한 숫자가 있는 표현)는 비합리적입니다. 예를 들어, 숫자 \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)등. 비합리적이다.
또한 숫자 \(\pi\) (숫자 "pi", 대략 \(3,14\) 와 같음), \(e\) (이 숫자를 오일러 수라고 하며 대략 \(2)와 같습니다. ,7\) ) 등
\(\bullet\) 모든 숫자는 합리적이거나 비합리적입니다. 그리고 모든 합리적이고 모든 것이 함께 무리수라는 집합을 형성 실수(실제) 숫자의 집합입니다.이 집합은 \(\mathbb(R)\) 문자로 표시됩니다.
이것은 다음과 같은 모든 숫자를 의미합니다. 이 순간실수라고 합니다.

사실 5.
\(\bullet\) 실수 \(a\)의 계수는 음수가 아닌 숫자 \(|a|\)입니다. 선. 예를 들어, \(|3|\) 및 \(|-3|\)은 점 \(3\) 및 \(-3\)에서 \(0\)까지의 거리가 3이므로 동일하고 같음 \(3 \) .
\(\bullet\) \(a\) 가 음수가 아닌 숫자이면 \(|a|=a\) 입니다.
예: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) \(a\) 가 음수이면 \(|a|=-a\) 입니다.
예: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
음수에 대해 모듈은 빼기와 양수, 그리고 숫자 \(0\) 을 "먹는다"고 모듈은 변경되지 않은 채로 둡니다.
하지만이 규칙은 숫자에만 적용됩니다. 모듈 기호 아래에 알 수 없는 \(x\) (또는 기타 알 수 없는 것)이 있는 경우(예: \(|x|\) ) 이에 대해 양수인지, 0인지 음수인지 알 수 없는 경우 우리가 할 수없는 모듈을 제거하십시오. 이 경우 이 표현식은 \(|x|\) 그대로 유지됩니다. \(\bullet\) 다음 공식이 적용됩니다. \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( 제공됨 ) a\geqslant 0\]다음과 같은 실수가 자주 발생합니다. \(\sqrt(a^2)\) 와 \((\sqrt a)^2\) 는 같은 것이라고 말합니다. 이것은 \(a\)가 양수 또는 0인 경우에만 해당됩니다. 그러나 \(a\)가 음수이면 이것은 사실이 아닙니다. 그러한 예를 고려하는 것으로 충분합니다. \(a\) 대신 숫자 \(-1\)를 사용합시다. 그러면 \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) 이지만 표현식 \((\sqrt (-1))^2\) 은 전혀 존재하지 않습니다. 루트 기호 아래에 음수를 입력하는 것은 불가능합니다!).
그러므로 우리는 \(\sqrt(a^2)\) 가 \((\sqrt a)^2\) 와 같지 않다는 사실에 주의를 기울입니다!예: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), 왜냐하면 \(-\제곱 2<0\) ;

\(\팬텀(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) 이므로 \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (식 \(2n\)은 짝수를 나타냄)
즉, 어느 정도의 수에서 근을 추출하면 이 차수가 반으로 줄어든다.
예시:
1) \(\제곱(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (모듈이 설정되지 않은 경우 숫자의 루트는 \(-25)와 같습니다. \) ; 그러나 루트의 정의에 따라 다음이 될 수 없음을 기억합니다. 루트를 추출할 때 항상 양수 또는 0을 얻어야 함)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (짝수의 거듭제곱은 음수가 아니므로)

사실 6.
두 개의 제곱근을 비교하는 방법은 무엇입니까?
\(\bullet\) 제곱근에 대해 True: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a예시:
1) \(\sqrt(50)\) 와 \(6\sqrt2\) 를 비교하십시오. 먼저 두 번째 표현식을 다음으로 변환합니다. \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). 따라서 \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) 어느 정수가 \(\sqrt(50)\) 입니까?
\(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) 및 \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) 과 \(0,5\) 를 비교하십시오. \(\sqrt2-1>0.5\) 라고 가정합니다. \[\begin(정렬) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((양쪽에 하나씩 추가))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((두 부분 모두 정사각형))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(정렬)\]잘못된 부등식을 얻었음을 알 수 있습니다. 따라서 우리의 가정은 틀렸고 \(\sqrt 2-1<0,5\) .
부등식의 양쪽에 특정 숫자를 추가해도 부호에는 영향을 미치지 않습니다. 부등식의 양변에 양수를 곱하거나 나누어도 부호는 바뀌지 않지만 음수로 곱하거나 나누면 부등호의 부호가 바뀝니다!
방정식/부등식의 양변은 양변이 음수가 아닌 경우에만 제곱할 수 있습니다. 예를 들어, 이전 예의 부등식에서 부등식 \(-3)에서 양변을 제곱할 수 있습니다.<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) 참고 \[\시작(정렬) &\제곱 2\약 1,4\\ &\제곱 3\약 1,7 \끝(정렬)\]이 숫자의 대략적인 의미를 알면 숫자를 비교할 때 도움이 됩니다! \(\bullet\) 제곱표에 없는 큰 수에서 근(추출된 경우)을 추출하려면 먼저 "100" 사이에 있는지 확인한 다음 "10" 사이에 있어야 합니다. 그런 다음 이 숫자의 마지막 자릿수를 결정하십시오. 예제를 통해 어떻게 작동하는지 보여드리겠습니다.
\(\sqrt(28224)\) 를 취하십시오. 우리는 \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) 등을 알고 있습니다. \(28224\) 는 \(10\,000\) 과 \(40\,000\) 사이에 있습니다. 따라서 \(\sqrt(28224)\) 는 \(100\) 과 \(200\) 사이입니다.
이제 우리의 숫자가 어떤 "십" 사이인지 결정해 봅시다(즉, 예를 들어 \(120\) 과 \(130\) 사이). 우리는 또한 제곱표에서 \(11^2=121\) , \(12^2=144\) 등이고 \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . 따라서 \(28224\) 가 \(160^2\) 와 \(170^2\) 사이에 있음을 알 수 있습니다. 따라서 숫자 \(\sqrt(28224)\) 는 \(160\) 과 \(170\) 사이입니다.
마지막 숫자를 결정해 봅시다. 제곱할 때 끝에 \ (4 \) 을 주는 한 자리 숫자를 기억해 봅시다. \(2^2\) 및 \(8^2\) 입니다. 따라서 \(\sqrt(28224)\) 는 2 또는 8로 끝납니다. 이것을 확인합시다. \(162^2\) 및 \(168^2\) 찾기:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
따라서 \(\sqrt(28224)=168\) 입니다. 짜잔!

수학 시험을 제대로 풀기 위해서는 우선 수많은 정리, 공식, 알고리즘 등을 소개하는 이론적인 자료를 공부해야 합니다. 얼핏 보기에 이것은 아주 간단해 보일 수 있습니다. 그러나 어떤 수준의 교육을 받은 학생들에게도 수학 통합 국가 시험 이론이 쉽고 이해하기 쉽게 제시되는 소스를 찾는 것은 사실 다소 어려운 작업입니다. 학교 교과서를 항상 손에 넣을 수는 없습니다. 그리고 수학 시험의 기본 공식을 찾는 것은 인터넷에서도 어려울 수 있습니다.

시험을 보는 사람들에게 뿐만 아니라 수학에서 이론을 공부하는 것이 왜 그렇게 중요한가요?

  1. 시야를 넓혀주기 때문에. 수학의 이론적 자료에 대한 연구는 세계 지식과 관련된 광범위한 질문에 대한 답을 얻고자 하는 모든 사람에게 유용합니다. 자연의 모든 것은 질서가 있고 명확한 논리가 있습니다. 이것이 바로 과학에 반영되어 세계를 이해하는 것입니다.
  2. 지능을 발달시키기 때문에. 수학 시험을위한 참고 자료를 공부하고 다양한 문제를 해결함으로써 논리적으로 생각하고 추론하고 생각을 정확하고 명확하게 공식화하는 법을 배웁니다. 그는 분석, 일반화, 결론 도출 능력을 개발합니다.

교육 자료의 체계화 및 프레젠테이션에 대한 접근 방식의 모든 이점을 개인적으로 평가해 보시기 바랍니다.

수학은 사람이 자신을 인식하고 세계의 자율적인 단위로 자리 잡기 시작할 때 태어났습니다. 당신을 둘러싼 것을 측정하고, 비교하고, 계산하려는 욕망은 우리 시대의 기초 과학 중 하나의 기초가 되는 것입니다. 처음에는 숫자를 물리적 표현과 연결할 수 있는 초등 수학의 입자였으며 나중에 결론은 이론적으로만 제시되기 시작했지만(추상성 때문에) 잠시 후 한 과학자가 말했듯이 " 수학은 모든 숫자가 복잡할 때 복잡성의 한계에 도달했습니다." 제곱근의 개념은 계산의 평면을 넘어 실증적인 데이터로 쉽게 뒷받침될 수 있는 시기에 등장했습니다.

모든 것이 어떻게 시작되었는지

현재 √로 표기되어 있는 근에 대한 최초의 언급은 현대 산술의 기초를 다진 바빌로니아 수학자들의 저서에 기록되어 있다. 물론, 그들은 현재 형태와 조금 비슷해 보였습니다. 그 해의 과학자들은 처음으로 부피가 큰 정제를 사용했습니다. 그러나 기원전 두 번째 천년기에. 이자형. 그들은 제곱근을 취하는 방법을 보여주는 대략적인 계산 공식을 생각해 냈습니다. 아래 사진은 바빌로니아 과학자들이 출력과정 √2를 새긴 돌을 나타낸 것으로, 정답의 불일치가 소수점 이하 10자리까지만 발견될 정도로 정확했다.

또한 다른 두 변을 알고 있는 경우 삼각형의 한 변을 찾아야 할 경우 근을 사용했습니다. 글쎄, 이차 방정식을 풀 때 근을 추출에서 벗어날 수 없습니다.

바빌로니아 작품과 함께 중국 작품 '구경수학'에서도 그 논문의 대상이 연구되었는데, 고대 그리스에서는 잉여 없이 뿌리를 뽑지 않는 수는 모두 불합리한 결과를 낳는다는 결론에 이르렀다. .

이 용어의 기원은 숫자의 아랍어 표현과 관련이 있습니다. 고대 과학자들은 임의의 숫자의 제곱이 식물처럼 뿌리에서 자랍니다. 라틴어에서 이 단어는 기수처럼 들립니다(패턴을 추적할 수 있습니다. "루트" 의미 부하가 있는 모든 것은 자음입니다. 무우나 좌골 신경통).

다음 세대의 과학자들은 이 아이디어를 Rx라고 명명했습니다. 예를 들어, 15세기에는 제곱근이 임의의 숫자 a에서 취해진 것임을 나타내기 위해 R 2 a를 썼습니다. 현대적인 모습에 익숙한 "틱"√은 르네 데카르트 덕분에 17 세기에만 나타났습니다.

우리의 날들

수학적으로 y의 제곱근은 제곱이 y인 숫자 z입니다. 즉, z 2 =y는 √y=z와 같습니다. 그러나 이 정의는 식의 음수가 아닌 값을 의미하기 때문에 산술 루트에만 관련이 있습니다. 즉, √y=z, 여기서 z는 0보다 크거나 같습니다.

일반적으로 대수근을 결정하는 데 유효한 식의 값은 양수 또는 음수일 수 있습니다. 따라서 z 2 =y 및 (-z) 2 =y라는 사실 때문에 √y=±z 또는 √y=|z|가 됩니다.

수학에 대한 사랑은 과학의 발달과 함께 높아졌기 때문에 건식 계산으로 표현되지 않는 다양한 애정 표현이 있습니다. 예를 들어 Pi의 날과 같은 흥미로운 이벤트와 함께 제곱근의 휴일도 축하됩니다. 그들은 100년 동안 아홉 번 경축되며 다음 원칙에 따라 결정됩니다. 일과 월을 순서대로 나타내는 숫자는 연도의 제곱근이어야 합니다. 따라서 다음 번에이 휴일은 2016 년 4 월 4 일에 축하 될 것입니다.

필드 R의 제곱근 속성

거의 모든 수학적 표현은 기하학적 기반을 가지고 있으며, 이 운명은 통과하지 않았고 √y는 면적이 y인 정사각형의 한 변으로 정의됩니다.

숫자의 근을 찾는 방법?

여러 계산 알고리즘이 있습니다. 가장 간단하지만 동시에 매우 번거로운 것은 다음과 같은 일반적인 산술 계산입니다.

1) 루트가 필요한 숫자에서 출력의 나머지가 뺀 것보다 작거나 짝수가 0이 될 때까지 홀수를 차례로 뺍니다. 이동 횟수는 결국 원하는 수가 됩니다. 예를 들어 25의 제곱근을 계산하면 다음과 같습니다.

다음 홀수는 11이고 나머지는 1입니다.<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

이러한 경우에는 Taylor 급수 전개가 있습니다.

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , 여기서 n은 0에서 까지의 값을 취합니다.

+∞ 및 |y|≤1.

함수 z=√y의 그래픽 표현

실수 R의 필드에서 기본 함수 z=√y를 고려하십시오. 여기서 y는 0보다 크거나 같습니다. 그녀의 차트는 다음과 같습니다.

곡선은 원점에서 자라며 반드시 점(1; 1)과 교차합니다.

실수 R 필드에 대한 함수 z=√y의 속성

1. 고려되는 기능의 정의 영역은 0에서 더하기 무한대(0이 포함됨)까지의 간격입니다.

2. 고려되는 기능의 값 범위는 0에서 더하기 무한대까지의 간격입니다(0이 다시 포함됨).

3. 이 함수는 지점(0, 0)에서만 최소값(0)을 취합니다. 최대값은 없습니다.

4. z=√y 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

5. z=√y 함수는 주기적이지 않습니다.

6. z=√y 함수의 그래프와 좌표축(0, 0)이 교차하는 지점은 단 하나뿐입니다.

7. z=√y 함수 그래프의 교점은 이 함수의 0이기도 합니다.

8. z=√y 함수는 계속해서 증가합니다.

9. z=√y 함수는 양수 값만 취하므로 그래프가 첫 번째 좌표 각도를 차지합니다.

함수 z=√y 표시 옵션

수학에서 복잡한 표현식의 계산을 용이하게 하기 위해 제곱근을 쓰는 거듭제곱 형식이 때때로 사용됩니다. √y=y 1/2. 이 옵션은 예를 들어 함수를 거듭제곱할 때 편리합니다. (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . 이 방법은 또한 제곱근이 일반 거듭제곱 함수로 표시되기 때문에 적분을 통한 미분에 대한 좋은 표현입니다.

그리고 프로그래밍에서 √ 기호의 대체는 문자 sqrt의 조합입니다.

이 영역에서 제곱근은 계산에 필요한 대부분의 기하학적 공식의 일부이기 때문에 큰 수요가 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 카운팅 알고리즘 자체는 상당히 복잡하며 재귀(자신을 호출하는 함수)를 기반으로 합니다.

복소수 필드 C의 제곱근

대체로 이 기사의 주제는 복소수 C 분야의 발견을 자극했습니다. 수학자들은 음수에서 짝수 차수를 구하는 문제에 골머리를 앓았기 때문입니다. 이것은 매우 흥미로운 속성이 특징인 허수 단위 i가 나타난 방법입니다. 제곱은 -1입니다. 덕분에 이차 방정식과 음의 판별식을 사용하여 솔루션을 얻었습니다. C에서 제곱근의 경우 R과 동일한 속성이 관련되어 있지만 루트 표현식에 대한 제한이 제거된다는 점만 있습니다.

우리는 또한 추천합니다

로드 중...로드 중...