Tavola trigonometrica. Seno, coseno, tangente e cotangente: tutto quello che devi sapere sull'Esame di Stato Unificato di matematica

Centrato in un punto UN.
α - angolo espresso in radianti.

Definizione
Seno (seno α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Coseno (cos α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Notazioni accettate

;
;
.

Grafico della funzione seno, y = sin x

Grafico della funzione coseno, y = cos x

Proprietà di seno e coseno

Periodicità

Funzioni y = peccato x e y = cos x periodico con periodo 2π.

Parità

La funzione seno è dispari. La funzione coseno è pari.

Dominio delle definizioni e dei valori, estremi, aumento, diminuzione

Le funzioni seno e coseno sono continue nel loro dominio di definizione, cioè per tutti gli x (vedi prova di continuità). Le loro proprietà principali sono presentate nella tabella (n - intero).

	y = peccato x	y = cos x
Portata e continuità	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Intervallo di valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Crescente
Discendente
Massimi, y = 1
Minimi, y = - 1
Zeri, y = 0
Punti di intercetta con l'asse delle ordinate, x = 0	y = 0	y = 1

Formule di base

Somma dei quadrati di seno e coseno

Formule per seno e coseno da somma e differenza

;
;

Formule per il prodotto di seni e coseni

Formule di somma e differenza

Esprimere seno attraverso coseno

;
;
;
.

Esprimere coseno attraverso seno

;
;
;
.

Espressione attraverso la tangente

; .

Quando abbiamo:
; .

A :
; .

Tavola dei seni e coseni, tangenti e cotangenti

Questa tabella mostra i valori di seno e coseno per determinati valori dell'argomento.

Espressioni attraverso variabili complesse

;

La formula di Eulero

Espressioni mediante funzioni iperboliche

;
;

Derivati

; . Formule di derivazione > > >

Derivati dell'ennesimo ordine:
{ -∞ < x < +∞ }

Secante, cosecante

Funzioni inverse

Le funzioni inverse di seno e coseno sono rispettivamente arcoseno e arcocoseno.

Arcoseno, arcoseno

Arcocoseno, arccos

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.

Questo articolo contiene tabelle di seni, coseni, tangenti e cotangenti. Innanzitutto, forniremo una tabella dei valori di base delle funzioni trigonometriche, ovvero una tabella di seni, coseni, tangenti e cotangenti degli angoli di 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 gradi ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiante). Successivamente, forniremo una tabella di seni e coseni, nonché una tabella di tangenti e cotangenti di V. M. Bradis, e mostreremo come utilizzare queste tabelle per trovare i valori delle funzioni trigonometriche.

Navigazione della pagina.

Tabella di seni, coseni, tangenti e cotangenti per angoli di 0, 30, 45, 60, 90, ... gradi

Bibliografia.

Algebra: Manuale per la 9a elementare. media scuola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 pp.: illustrato - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo. per le classi 10-11. media scuola - 3a ed. - M.: Educazione, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
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Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematica (manuale per gli iscritti alle scuole tecniche): Proc. indennità.- M.; Più alto scuola, 1984.-351 p., ill.
Bradis V.M. Tabelle matematiche a quattro cifre: per l'istruzione generale. manuale stabilimenti. - 2a ed. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Inizieremo il nostro studio della trigonometria con il triangolo rettangolo. Definiamo cosa sono seno e coseno, nonché tangente e cotangente di un angolo acuto. Queste sono le basi della trigonometria.

Lascia che te lo ricordiamo angolo rettoè un angolo pari a 90 gradi. In altre parole, mezzo angolo ruotato.

Angolo acuto-meno di 90 gradi.

Angolo ottuso- maggiore di 90 gradi. In relazione ad un angolo del genere, “ottuso” non è un insulto, ma un termine matematico :-)

Disegniamo un triangolo rettangolo. Un angolo retto è solitamente indicato con . Si prega di notare che il lato opposto all'angolo è indicato con la stessa lettera, solo piccola. Pertanto, il lato opposto dell'angolo A è indicato con .

L'angolo è indicato dalla lettera greca corrispondente.

Ipotenusa di un triangolo rettangolo è il lato opposto all'angolo retto.

Gambe- lati opposti ad angoli acuti.

Viene chiamata la gamba che giace opposta all'angolo opposto(rispetto all'angolo). Si chiama l'altra gamba, che si trova su uno dei lati dell'angolo adiacente.

Seno L'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa:

Coseno angolo acuto in un triangolo rettangolo - il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:

Tangente angolo acuto in un triangolo rettangolo - il rapporto tra il lato opposto e quello adiacente:

Un'altra definizione (equivalente): la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il seno dell'angolo e il suo coseno:

Cotangente angolo acuto in un triangolo rettangolo - il rapporto tra il lato adiacente e quello opposto (o, che è lo stesso, il rapporto tra coseno e seno):

Nota le relazioni di base per seno, coseno, tangente e cotangente di seguito. Ci saranno utili per risolvere i problemi.

Dimostriamone alcuni.

Ok, abbiamo dato definizioni e scritto formule. Ma perché abbiamo ancora bisogno di seno, coseno, tangente e cotangente?

Lo sappiamo la somma degli angoli di qualsiasi triangolo è uguale a.

Conosciamo la relazione tra partiti triangolo rettangolo. Questo è il teorema di Pitagora: .

Si scopre che conoscendo due angoli in un triangolo, puoi trovare il terzo. Conoscendo i due lati di un triangolo rettangolo, puoi trovare il terzo. Ciò significa che gli angoli hanno il proprio rapporto e i lati hanno il proprio. Ma cosa dovresti fare se in un triangolo rettangolo conosci un angolo (eccetto l'angolo retto) e un lato, ma devi trovare gli altri lati?

Questo è ciò che gli uomini del passato incontravano quando realizzavano mappe della zona e del cielo stellato. Dopotutto, non è sempre possibile misurare direttamente tutti i lati di un triangolo.

Seno, coseno e tangente: vengono anche chiamati funzioni angolari trigonometriche- fornire relazioni tra partiti E angoli triangolo. Conoscendo l'angolo, puoi trovare tutte le sue funzioni trigonometriche utilizzando tabelle speciali. E conoscendo i seni, i coseni e le tangenti degli angoli di un triangolo e di uno dei suoi lati, puoi trovare il resto.

Disegneremo anche una tabella dei valori di seno, coseno, tangente e cotangente per gli angoli “buoni” da a.

Si prega di notare i due trattini rossi nella tabella. A valori angolari appropriati, tangente e cotangente non esistono.

Diamo un'occhiata a diversi problemi di trigonometria dalla Task Bank FIPI.

1. In un triangolo, l'angolo è , . Trovare .

Il problema si risolve in quattro secondi.

Perché il , .

2. In un triangolo l'angolo è , , . Trovare .

Troviamolo utilizzando il teorema di Pitagora.

Il problema è risolto.

Spesso nei problemi ci sono triangoli con angoli e/o con angoli e. Ricorda a memoria i rapporti di base per loro!

Per un triangolo con angoli e la gamba opposta all'angolo è uguale a metà dell'ipotenusa.

Un triangolo con angoli ed è isoscele. In esso, l'ipotenusa è volte più grande della gamba.

Abbiamo esaminato i problemi relativi alla risoluzione dei triangoli rettangoli, ovvero alla ricerca di lati o angoli sconosciuti. Ma non è tutto! Nell'Esame di Stato Unificato di matematica ci sono molti compiti dove seno, coseno, tangente o cotangente di un angolo esterno di un triangolo. Maggiori informazioni su questo nel prossimo articolo.

TABELLA DEI VALORI DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

La tabella dei valori delle funzioni trigonometriche è compilata per gli angoli di 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 e 360 gradi e i corrispondenti valori degli angoli in vradianti. Delle funzioni trigonometriche, la tabella mostra seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Per comodità di risolvere esempi scolastici, i valori delle funzioni trigonometriche nella tabella sono scritti sotto forma di frazione preservando i segni per estrarre la radice quadrata dei numeri, che molto spesso aiuta a ridurre espressioni matematiche complesse. Per la tangente e la cotangente non è possibile determinare i valori di alcuni angoli. Per i valori della tangente e della cotangente di tali angoli, nella tabella dei valori delle funzioni trigonometriche è presente un trattino. È generalmente accettato che la tangente e la cotangente di tali angoli siano uguali all'infinito. In una pagina separata ci sono le formule per ridurre le funzioni trigonometriche.

La tabella dei valori della funzione trigonometrica seno mostra i valori per i seguenti angoli: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in gradi, che corrisponde a sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi in misura degli angoli in radianti. Tabella dei seni scolastici.

Per la funzione trigonometrica coseno, la tabella mostra i valori per i seguenti angoli: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 in gradi, che corrisponde a cos 0 pi greco , cos pi greco per 6, cos pi greco per 4, cos pi greco per 3, cos pi greco per 2, cos pi greco per 2, cos pi greco per 2, cos 2 pi greco in misura di angoli in radianti. Tabella dei coseni a scuola.

La tabella trigonometrica per la funzione tangente trigonometrica fornisce i valori per i seguenti angoli: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 in misura di gradi, che corrisponde a tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi nella misura degli angoli in radianti. I seguenti valori delle funzioni tangenti trigonometriche non sono definiti tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 e sono considerati uguali all'infinito.

Per la funzione trigonometrica cotangente nella tabella trigonometrica si danno i valori dei seguenti angoli: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 in misura di gradi, che corrisponde a ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 nella misura degli angoli in radianti. I seguenti valori delle funzioni cotangenti trigonometriche non sono definiti ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi e sono considerati uguali all'infinito.

I valori delle funzioni trigonometriche secante e cosecante sono dati per gli stessi angoli in gradi e radianti di seno, coseno, tangente, cotangente.

La tabella dei valori delle funzioni trigonometriche degli angoli non standard mostra i valori di seno, coseno, tangente e cotangente per angoli in gradi 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 gradi e in radianti pi/12 , pi greco/10, pi greco/ 8, pi greco/5, 3 pi greco/8, 2 pi greco/5 radianti. I valori delle funzioni trigonometriche sono espressi in termini di frazioni e radici quadrate per facilitare la riduzione delle frazioni negli esempi scolastici.

Altri tre mostri di trigonometria. Il primo è la tangente di 1,5 un grado e mezzo o pi greco diviso per 120. Il secondo è il coseno di pi greco diviso per 240, pi greco/240. Il più lungo è il coseno di pi greco diviso per 17, pi greco/17.

Il cerchio trigonometrico dei valori delle funzioni seno e coseno rappresenta visivamente i segni di seno e coseno a seconda dell'ampiezza dell'angolo. Soprattutto per le bionde, i valori del coseno sono sottolineati con un trattino verde per ridurre la confusione. Anche la conversione dei gradi in radianti viene presentata molto chiaramente quando i radianti sono espressi in termini di pi greco.

Questa tabella trigonometrica presenta i valori di seno, coseno, tangente e cotangente per angoli da 0 zero a 90 novanta gradi a intervalli di un grado. Per i primi quarantacinque gradi, i nomi delle funzioni trigonometriche vanno cercati in cima alla tabella. La prima colonna contiene i gradi, nelle quattro colonne successive sono scritti i valori di seno, coseno, tangente e cotangente.

Per gli angoli da quarantacinque gradi a novanta gradi, i nomi delle funzioni trigonometriche sono scritti in fondo alla tabella. L'ultima colonna contiene i gradi; i valori di coseni, seni, cotangenti e tangenti sono scritti nelle quattro colonne precedenti. Dovresti fare attenzione perché i nomi delle funzioni trigonometriche nella parte inferiore della tabella trigonometrica sono diversi dai nomi nella parte superiore della tabella. Seni e coseni si scambiano, proprio come tangente e cotangente. Ciò è dovuto alla simmetria dei valori delle funzioni trigonometriche.

I segni delle funzioni trigonometriche sono mostrati nella figura sopra. Il seno ha valori positivi da 0 a 180 gradi o da 0 a pi greco. Il seno ha valori negativi da 180 a 360 gradi o da pi greco a 2 pi greco. I valori del coseno sono positivi da 0 a 90 e da 270 a 360 gradi, oppure da 0 a 1/2 pi greco e da 3/2 a 2 pi greco. Tangente e cotangente hanno valori positivi da 0 a 90 gradi e da 180 a 270 gradi, corrispondenti a valori da 0 a 1/2 pi greco e da pi greco a 3/2 pi greco. I valori negativi di tangente e cotangente vanno da 90 a 180 gradi e da 270 a 360 gradi, o da 1/2 pi greco a pi greco e da 3/2 pi greco a 2 pi greco. Quando determini i segni delle funzioni trigonometriche per angoli maggiori di 360 gradi o 2 pi greco, dovresti utilizzare le proprietà di periodicità di queste funzioni.

Le funzioni trigonometriche seno, tangente e cotangente sono funzioni dispari. I valori di queste funzioni per angoli negativi saranno negativi. Il coseno è una funzione trigonometrica pari: il valore del coseno per un angolo negativo sarà positivo. È necessario seguire le regole dei segni quando si moltiplicano e si dividono le funzioni trigonometriche.

La tabella dei valori per la funzione trigonometrica seno mostra i valori per i seguenti angoli
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