Qual è l'area di un triangolo rettangolo? Come trovare l'area di un triangolo (formule)

Nella geometria elementare, un triangolo rettangolo è una figura composta da tre segmenti collegati in punti, con angoli due dei quali acuti e uno rettilineo (cioè pari a 90°). Triangolo rettangoloè caratterizzato da una serie di proprietà importanti, molte delle quali costituiscono la base della trigonometria (ad esempio, la relazione tra i suoi lati e gli angoli). Fin dalla scuola, sappiamo tutti come calcolare area di un triangolo rettangolo, e nella vita di tutti i giorni incontriamo questa figura geometrica abbastanza spesso, a volte senza nemmeno accorgercene. Trova un'applicazione piuttosto ampia nella tecnologia e quindi ingegneri, designer e architetti spesso devono risolvere questo problema.

Gli architetti devono determinare questo valore quando progettano edifici con frontoni, che sono il completamento delle facciate e hanno forma triangolare delimitato da cornicione e ai lati da falde del tetto. Spesso l'angolo tra le pendenze è dritto e in questi casi il frontone ha la forma di un triangolo rettangolo. È necessario determinarne l'area per il semplice motivo che è necessario conoscere esattamente la quantità di materiale da costruzione necessaria per la sua sistemazione. Va notato che i timpani sono elementi obbligatori degli edifici bassi (case di campagna, cottage, dacie).

Trovare l'area di un triangolo rettangolo

UN- gamba

B- gamba

S- area di un triangolo rettangolo

Modulo triangolo rettangolo hanno molti dei dettagli da cui sono realizzati i mobili moderni. Come sapete, per sfruttare al meglio lo spazio di una stanza, tutti gli elementi dell'arredo devono essere collocati al suo interno in modo ottimale. Puoi sfruttare al meglio aree come gli angoli utilizzando tavoli di forma triangolare, i cui piani nella maggior parte dei casi sono triangoli rettangoli con le gambe adiacenti alle pareti. Quando progettano e calcolano questi elementi, i progettisti della produzione di mobili utilizzano la formula in base alla quale trovare l'area di un triangolo rettangolo viene effettuata in base alla lunghezza dei suoi lati. Inoltre, spesso devono sviluppare progetti per tavoli fissati direttamente alle pareti, che includano elementi di supporto, che rappresentano anche triangoli rettangoli.

I costruttori impegnati nell'affrontare i lavori spesso nelle loro attività professionali devono utilizzare piastrelle di ceramica a forma di triangolo rettangolo con gambe della stessa o diversa lunghezza. Devono anche determinare l'area di questi elementi per scoprire il numero richiesto.

Modulo triangolo rettangolo Ha anche uno strumento di misurazione così importante e necessario come un quadrato. Viene utilizzato per costruire e controllare gli angoli retti ed è utilizzato molto ampiamente e da molti: dai normali scolari nelle lezioni di geometria ai progettisti di tecnologie all'avanguardia.

Un triangolo rettangolo si trova in realtà quasi ad ogni angolo. La conoscenza delle proprietà di una determinata figura, nonché la capacità di calcolarne l'area, ti saranno senza dubbio utili non solo per risolvere problemi di geometria, ma anche in situazioni di vita.

Geometria del triangolo

Nella geometria elementare, un triangolo rettangolo è una figura composta da tre segmenti collegati che formano tre angoli (due acuti e uno dritto). Il triangolo rettangolo è una figura originale caratterizzata da una serie di importanti proprietà che costituiscono il fondamento della trigonometria. A differenza di un triangolo regolare, i lati di una figura rettangolare hanno i propri nomi:

L'ipotenusa è il lato più lungo di un triangolo, opposto all'angolo retto.
Le gambe sono segmenti che formano un angolo retto. A seconda dell'angolo considerato, la gamba può essere adiacente ad esso (formando questo angolo con l'ipotenusa) o opposta (situata di fronte all'angolo). Non ci sono cateti per i triangoli non rettangoli.

È il rapporto tra cateti e ipotenusa che costituisce la base della trigonometria: seni, tangenti e secanti sono definiti come il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo.

Triangolo rettangolo nella realtà

Questa cifra è diventata molto diffusa nella realtà. I triangoli sono utilizzati nel design e nella tecnologia, quindi il calcolo dell'area di una figura deve essere effettuato da ingegneri, architetti e designer. Le basi dei tetraedri o dei prismi - figure tridimensionali facili da incontrare nella vita di tutti i giorni - hanno la forma di un triangolo. Inoltre, un quadrato è la rappresentazione più semplice di un triangolo rettangolo "piatto" nella realtà. Un quadrato è uno strumento per la lavorazione dei metalli, il disegno, la costruzione e la carpenteria utilizzato per costruire angoli sia dagli scolari che dagli ingegneri.

Area di un triangolo

L'area di una figura geometrica è una stima quantitativa di quanta parte del piano è delimitata dai lati del triangolo. L'area di un triangolo ordinario può essere trovata in cinque modi, utilizzando la formula di Erone o utilizzando variabili come la base, il lato, l'angolo e il raggio del cerchio inscritto o circoscritto. La formula più semplice per calcolare l'area è espressa come:

dove a è il lato del triangolo, h è la sua altezza.

La formula per calcolare l'area di un triangolo rettangolo è ancora più semplice:

dove a e b sono le gambe.

Lavorando con il nostro calcolatore online, puoi calcolare l'area di un triangolo utilizzando tre coppie di parametri:

due gambe;
gamba e angolo adiacente;
gamba e angolo opposto.

Nei problemi o nelle situazioni quotidiane ti verranno fornite diverse combinazioni di variabili, quindi questa forma di calcolatrice ti consente di calcolare l'area di un triangolo in diversi modi. Diamo un'occhiata ad un paio di esempi.

Esempi di vita reale

Piastrelle di ceramica

Diciamo che vuoi rivestire le pareti della cucina con piastrelle di ceramica, che hanno la forma di un triangolo rettangolo. Per determinare il consumo di piastrelle è necessario conoscere l'area di un elemento di rivestimento e l'area totale della superficie da trattare. Diciamo che devi elaborare 7 metri quadrati. La lunghezza delle gambe di un elemento è di 19 cm, quindi l'area della piastrella sarà uguale a:

Ciò significa che l'area di un elemento è 24,5 centimetri quadrati o 0,01805 metri quadrati. Conoscendo questi parametri si può calcolare che per rifinire 7 mq di muro occorrono 7/0,01805 = 387 elementi di piastrelle da rivestimento.

Compito scolastico

Diciamo che in un problema di geometria scolastica devi trovare l'area di un triangolo rettangolo, sapendo solo che il lato di una gamba è di 5 cm e l'angolo opposto è di 30 gradi. Il nostro calcolatore online viene fornito con un'illustrazione che mostra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo. Se il lato a = 5 cm, allora il suo angolo opposto è l'angolo alfa, pari a 30 gradi. Inserisci questi dati nel modulo della calcolatrice e ottieni il risultato:

Pertanto, la calcolatrice non solo calcola l'area di un dato triangolo, ma determina anche la lunghezza della gamba e dell'ipotenusa adiacenti, nonché il valore del secondo angolo.

Conclusione

I triangoli rettangoli si trovano nella nostra vita letteralmente ad ogni angolo. Determinare l'area di tali figure ti sarà utile non solo quando risolvi i compiti scolastici di geometria, ma anche nelle attività quotidiane e professionali.

A seconda del tipo di triangolo, ci sono diverse opzioni per trovarne l'area. Ad esempio, per calcolare l'area di un triangolo rettangolo, utilizzare la formula S= a * b / 2, dove aeb sono i suoi cateti. Se vuoi scoprire l'area di un triangolo isoscele, devi dividere per due il prodotto della sua base e dell'altezza. Cioè S= b*h / 2, dove b è la base del triangolo e h è la sua altezza.

Successivamente, potrebbe essere necessario calcolare l'area di un triangolo rettangolo isoscele. Qui viene in soccorso la seguente formula: S = a* a / 2, dove le gambe “a” e “a” devono necessariamente avere gli stessi valori.

Inoltre, spesso dobbiamo calcolare l'area di un triangolo equilatero. Si trova con la formula: S= a * h/ 2, dove a è il lato del triangolo e h è la sua altezza. Oppure secondo questa formula: S= √3/ 4 *a^2, dove a è il lato.

Come trovare l'area di un triangolo rettangolo

Hai bisogno di trovare l'area di un triangolo rettangolo, ma la formulazione del problema non indica le dimensioni di due delle sue gambe contemporaneamente? Quindi non possiamo usare direttamente questa formula (S= a * b / 2).

Consideriamo diverse possibili soluzioni:

Se non conosci la lunghezza di una gamba, ma sono date le dimensioni dell'ipotenusa e della seconda gamba, allora ci rivolgiamo al grande Pitagora e, usando il suo teorema (a^2+b^2=c^2), calcoliamo la lunghezza della gamba sconosciuta, quindi usiamola per calcolare l'area del triangolo.
Se vengono fornite la lunghezza di un lato e la pendenza in gradi dell'angolo opposto: troviamo la lunghezza del secondo lato utilizzando la formula - a=b*ctg(C).
Dati: la lunghezza di un cateto e la pendenza in gradi dell'angolo ad esso adiacente: per trovare la lunghezza del secondo cateto usiamo la formula - a=b*tg(C).
E infine, dati: l'angolo e la lunghezza dell'ipotenusa: calcoliamo la lunghezza di entrambi i suoi cateti utilizzando le seguenti formule: b=c*sin(C) e a=c*cos(C).

Come trovare l'area di un triangolo isoscele

L'area di un triangolo isoscele può essere trovata molto facilmente e velocemente utilizzando la formula S= b*h / 2, ma se manca uno degli indicatori il compito diventa molto più complicato. Dopotutto, è necessario eseguire azioni aggiuntive.

Possibili opzioni di attività:

Dati: la lunghezza di uno dei lati e la lunghezza della base. Usando il teorema di Pitagora troviamo l'altezza, cioè la lunghezza della seconda gamba. A condizione che la lunghezza della base divisa per due sia il cateto, e il lato inizialmente noto sia l'ipotenusa.
Dati: la base e l'angolo tra il lato e la base. Calcoliamo l'altezza utilizzando la formula h=c*ctg(B)/2 (non dimenticare di dividere il lato “c” per due).
Dati: l'altezza e l'angolo formato dalla base e dal lato: utilizziamo la formula c=h*tg(B)*2 per trovare l'altezza e moltiplichiamo il risultato per due. Successivamente calcoliamo l'area.
Noto: la lunghezza del lato e l'angolo formato tra questo e l'altezza. Soluzione: utilizziamo le formule - c=a*sin(C)*2 e h=a*cos(C) per trovare la base e l'altezza, dopodiché calcoliamo l'area.

Come trovare l'area di un triangolo rettangolo isoscele

Se tutti i dati sono noti, utilizzando la formula standard S= a* a / 2 calcoliamo l'area di un triangolo rettangolo isoscele, ma se alcuni indicatori non sono indicati nel problema, vengono eseguite azioni aggiuntive.

Ad esempio: non conosciamo le lunghezze di entrambi i lati (ricordiamo che in un triangolo rettangolo isoscele sono uguali), ma è data la lunghezza dell'ipotenusa. Applichiamo il teorema di Pitagora per trovare gli stessi lati "a" e "a". Formula pitagorica: a^2+b^2=c^2. Nel caso di un triangolo rettangolo isoscele si trasforma in questo: 2a^2 = c^2. Risulta che per trovare il cateto “a”, devi dividere la lunghezza dell'ipotenusa per la radice di 2. Il risultato della soluzione sarà la lunghezza di entrambi i cateti di un triangolo rettangolo isoscele. Successivamente troviamo l'area.

Come trovare l'area di un triangolo equilatero

Utilizzando la formula S= √3/ 4*a^2 puoi facilmente calcolare l'area di un triangolo equilatero. Se si conosce il raggio del cerchio circoscritto al triangolo, l'area può essere trovata utilizzando la formula: S= 3√3/ 4*R^2, dove R è il raggio del cerchio.

Come forse ricorderai dal tuo curriculum scolastico di geometria, un triangolo è una figura formata da tre segmenti collegati da tre punti che non giacciono sulla stessa linea retta. Un triangolo forma tre angoli, da qui il nome della figura. La definizione potrebbe essere diversa. Un triangolo può anche essere chiamato poligono con tre angoli, anche la risposta sarà corretta. I triangoli sono divisi in base al numero di lati uguali e alla dimensione degli angoli nelle figure. Pertanto, i triangoli si distinguono rispettivamente in isosceli, equilateri e scaleni, nonché rettangolari, acuti e ottusi.

Esistono molte formule per calcolare l'area di un triangolo. Scegli come trovare l'area di un triangolo, ad es. Quale formula utilizzare dipende da te. Ma vale la pena notare solo alcune delle notazioni utilizzate in molte formule per calcolare l'area di un triangolo. Quindi, ricorda:

S è l'area del triangolo,

a, b, c sono i lati del triangolo,

h è l'altezza del triangolo,

R è il raggio del cerchio circoscritto,

p è il semiperimetro.

Ecco le notazioni di base che potrebbero esserti utili se hai completamente dimenticato il corso di geometria. Di seguito sono riportate le opzioni più comprensibili e semplici per calcolare l'area sconosciuta e misteriosa di un triangolo. Non è difficile e sarà utile sia per le vostre necessità domestiche che per aiutare i vostri figli. Ricordiamo come calcolare l'area di un triangolo nel modo più semplice possibile:

Nel nostro caso l'area del triangolo è: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cmq. Ricorda che l'area si misura in centimetri quadrati (cmq).

Triangolo rettangolo e sua area.

Un triangolo rettangolo è un triangolo in cui un angolo è uguale a 90 gradi (da qui chiamato retto). Un angolo retto è formato da due rette perpendicolari (nel caso di un triangolo, due segmenti perpendicolari). In un triangolo rettangolo può esserci un solo angolo retto, perché... la somma di tutti gli angoli di un qualsiasi triangolo è uguale a 180 gradi. Risulta che altri 2 angoli dovrebbero dividere i restanti 90 gradi, ad esempio 70 e 20, 45 e 45, ecc. Quindi, ricordi la cosa principale, non resta che scoprire come trovare l'area di un triangolo rettangolo. Immaginiamo di avere davanti a noi un triangolo rettangolo e di dover trovare la sua area S.

1. Il modo più semplice per determinare l'area di un triangolo rettangolo è calcolato utilizzando la seguente formula:

Nel nostro caso l'area del triangolo rettangolo è: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cmq.

In linea di principio non è più necessario verificare l'area del triangolo in altri modi, perché Solo questo sarà utile e aiuterà nella vita di tutti i giorni. Ma ci sono anche opzioni per misurare l'area di un triangolo attraverso angoli acuti.

2. Per altri metodi di calcolo è necessario disporre di una tabella di coseni, seni e tangenti. Giudica tu stesso, ecco alcune opzioni per calcolare l'area di un triangolo rettangolo che può ancora essere utilizzata:

Abbiamo deciso di utilizzare la prima formula e con qualche piccola macchia (l'abbiamo disegnata su un quaderno e utilizzato un vecchio righello e un goniometro), ma abbiamo ottenuto il calcolo corretto:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Abbiamo ottenuto i seguenti risultati: 3,6=3,7, ma tenendo conto dello spostamento delle celle, possiamo perdonare questa sfumatura.

Triangolo isoscele e sua area.

Se ti trovi di fronte al compito di calcolare la formula per un triangolo isoscele, il modo più semplice è utilizzare la formula principale e quella che è considerata la formula classica per l'area di un triangolo.

Ma prima, prima di trovare l’area di un triangolo isoscele, scopriamo di che tipo di figura si tratta. Un triangolo isoscele è un triangolo in cui due lati hanno la stessa lunghezza. Questi due lati si chiamano laterali, il terzo lato si chiama base. Non confondere un triangolo isoscele con un triangolo equilatero, cioè un triangolo regolare con tutti e tre i lati uguali. In un triangolo del genere non vi sono particolari tendenze negli angoli, o meglio nella loro dimensione. Tuttavia, gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, ma diversi dall'angolo compreso tra lati uguali. Quindi, conosci già la prima e la formula principale, resta da scoprire quali altre formule sono note per determinare l'area di un triangolo isoscele.

Un triangolo rettangolo è un triangolo in cui uno degli angoli misura 90°. La sua area può essere trovata se si conoscono due lati. Ovviamente puoi prendere il percorso lungo: trova l'ipotenusa e calcola l'area utilizzando , ma nella maggior parte dei casi ciò richiederà solo più tempo. Ecco perché la formula per l'area di un triangolo rettangolo si presenta così:

L'area di un triangolo rettangolo è pari alla metà del prodotto delle gambe.

Un esempio di calcolo dell'area di un triangolo rettangolo.
Dato un triangolo rettangolo con cateti UN= 8 centimetri, B= 6cm.
Calcoliamo l'area:
L'area è: 24 cm2

Il teorema di Pitagora vale anche per il triangolo rettangolo. – la somma dei quadrati dei due cateti è uguale al quadrato dell'ipotenusa.
La formula per l'area di un triangolo rettangolo isoscele viene calcolata allo stesso modo di un triangolo rettangolo regolare.

Un esempio di calcolo dell'area di un triangolo rettangolo isoscele:
Dato un triangolo con cateti UN= 4 centimetri, B= 4 cm Calcolare l'area:
Calcola l'area: = 8 cm 2

La formula per l'area di un triangolo rettangolo rispetto all'ipotenusa può essere utilizzata se alla condizione viene data una gamba. Dal teorema di Pitagora troviamo la lunghezza della gamba sconosciuta. Ad esempio, data l'ipotenusa C e gamba UN, gamba B sarà uguale a:
Successivamente, calcola l'area utilizzando la solita formula. Un esempio di calcolo della formula per l'area di un triangolo rettangolo basato sull'ipotenusa è identico a quello sopra descritto.

Consideriamo un problema interessante che aiuterà a consolidare la conoscenza delle formule per risolvere un triangolo.
Compito: L'area di un triangolo rettangolo è 180 metri quadrati. vedi, trova il cateto più piccolo del triangolo se è 31 cm inferiore al secondo.
Soluzione: designiamo le gambe UN E B. Ora sostituiamo i dati nella formula dell'area: sappiamo anche che una gamba è più piccola dell'altra UN – B= 31cm
Dalla prima condizione otteniamo che
Sostituiamo questa condizione nella seconda equazione: