Bahasa apa pun dapat mengekspresikan informasi yang sama kata yang berbeda dan turnover. Bahasa matematika tidak terkecuali. Tetapi ekspresi yang sama dapat ditulis secara setara dengan cara yang berbeda. Dan dalam beberapa situasi, salah satu entri lebih sederhana. Kita akan berbicara tentang penyederhanaan ekspresi dalam pelajaran ini.

Orang-orang berkomunikasi di bahasa berbeda. Bagi kami, perbandingan penting adalah pasangan "bahasa Rusia - bahasa matematika". Informasi yang sama dapat dilaporkan dalam bahasa yang berbeda. Tapi, selain itu, bisa diucapkan secara berbeda dalam satu bahasa.

Misalnya: "Peter berteman dengan Vasya", "Vasya berteman dengan Petya", "Peter dan Vasya berteman". Dikatakan berbeda, tetapi satu dan sama. Dengan salah satu dari frasa ini, kita akan memahami apa yang dipertaruhkan.

Mari kita lihat frasa ini: "Bocah Petya dan bocah Vasya adalah teman." Kami mengerti apa dalam pertanyaan. Namun, kami tidak suka bagaimana frasa ini terdengar. Tidak bisakah kita menyederhanakannya, mengatakan hal yang sama, tetapi lebih sederhana? "Laki-laki dan laki-laki" - Anda dapat mengatakan sekali: "Laki-laki Petya dan Vasya adalah teman."

"Laki-laki" ... Bukankah jelas dari nama mereka bahwa mereka bukan perempuan. Kami menghapus "anak laki-laki": "Petya dan Vasya adalah teman." Dan kata "teman" dapat diganti dengan "teman": "Petya dan Vasya adalah teman." Akibatnya, frasa pertama, panjang, jelek diganti dengan pernyataan setara yang lebih mudah diucapkan dan lebih mudah dipahami. Kami telah menyederhanakan frasa ini. Menyederhanakan berarti mengatakan lebih mudah, tetapi tidak kehilangan, tidak mengubah makna.

Hal yang sama terjadi dalam bahasa matematika. Hal yang sama bisa dikatakan berbeda. Apa artinya menyederhanakan ekspresi? Ini berarti bahwa untuk ekspresi asli ada banyak ekspresi yang setara, yaitu, yang memiliki arti yang sama. Dan dari sekian banyak ini, kita harus memilih yang paling sederhana, menurut pendapat kita, atau yang paling cocok untuk tujuan kita selanjutnya.

Misalnya, pertimbangkan ekspresi numerik. Ini akan setara dengan .

Ini juga akan setara dengan dua yang pertama: .

Ternyata kami telah menyederhanakan ekspresi kami dan menemukan ekspresi setara terpendek.

Untuk ekspresi numerik, Anda selalu perlu melakukan semua pekerjaan dan mendapatkan ekspresi yang setara sebagai satu angka.

Pertimbangkan contoh ekspresi literal . Jelas, itu akan lebih sederhana.

Saat menyederhanakan ekspresi literal, Anda harus melakukan semua tindakan yang mungkin.

Apakah selalu perlu untuk menyederhanakan ekspresi? Tidak, terkadang notasi yang setara tetapi lebih panjang akan lebih nyaman bagi kita.

Contoh: Kurangi angka dari angka.

Dimungkinkan untuk menghitung, tetapi jika angka pertama diwakili oleh notasi yang setara: , maka perhitungannya akan seketika: .

Artinya, ekspresi yang disederhanakan tidak selalu bermanfaat bagi kita untuk perhitungan lebih lanjut.

Namun demikian, sangat sering kita dihadapkan pada tugas yang hanya terdengar seperti "menyederhanakan ekspresi".

Sederhanakan ekspresi: .

Keputusan

1) Lakukan tindakan di kurung pertama dan kedua: .

2) Hitung produk: .

Jelas, ekspresi terakhir memiliki bentuk yang lebih sederhana daripada yang awal. Kami telah menyederhanakannya.

Untuk menyederhanakan ekspresi, itu harus diganti dengan yang setara (sama).

Untuk menentukan ekspresi yang setara, Anda harus:

1) melakukan semua tindakan yang mungkin,

2) menggunakan sifat-sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian untuk menyederhanakan perhitungan.

Sifat penjumlahan dan pengurangan:

1. Sifat komutatif penjumlahan: jumlah tidak berubah dari penataan ulang suku-sukunya.

2. Sifat asosiatif penjumlahan: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua bilangan, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama.

3. Sifat mengurangkan suatu bilangan dari suatu bilangan: untuk mengurangkan suatu bilangan, Anda dapat mengurangkan setiap suku satu per satu.

Sifat-sifat perkalian dan pembagian

1. Sifat komutatif perkalian: hasil kali tidak berubah dari permutasi faktor.

2. Sifat asosiatif: untuk mengalikan suatu bilangan dengan perkalian dua bilangan, pertama-tama Anda dapat mengalikannya dengan faktor pertama, lalu mengalikan hasil perkaliannya dengan faktor kedua.

3. Sifat distributif perkalian: untuk mengalikan suatu bilangan dengan suatu jumlah, Anda perlu mengalikannya dengan setiap suku secara terpisah.

Mari kita lihat bagaimana kita sebenarnya melakukan perhitungan mental.

Menghitung:

Keputusan

1) Bayangkan bagaimana

2) Mari kita nyatakan faktor pertama sebagai jumlah istilah bit dan lakukan perkalian:

3) Anda dapat membayangkan bagaimana dan melakukan perkalian:

4) Ganti faktor pertama dengan jumlah yang setara:

Hukum distributif juga dapat digunakan dalam arah yang berlawanan: .

Ikuti langkah ini:

1) 2)

Keputusan

1) Untuk kenyamanan, Anda dapat menggunakan hukum distribusi, gunakan saja dalam arah yang berlawanan - keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

2) Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung

Penting untuk membeli linoleum di dapur dan lorong. Area dapur - lorong -. Ada tiga jenis linoleum: untuk, dan rubel untuk. Berapa harga masing-masing dari ketiga jenis linoleum tersebut? (Gbr. 1)

Beras. 1. Ilustrasi untuk kondisi masalah

Keputusan

Metode 1. Anda dapat secara terpisah menemukan berapa banyak uang yang diperlukan untuk membeli linoleum di dapur, dan kemudian menambahkannya ke lorong dan menjumlahkan karya yang dihasilkan.

Ekspresi, konversi ekspresi

Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan kekuatan. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat, seperti kurung buka, pengurangan suku yang serupa. Dan kemudian kita akan menganalisis transformasi yang melekat dalam ekspresi dengan kekuatan: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat-sifat kekuatan, dll.

Navigasi halaman.

Apa itu Ekspresi Daya?

Istilah "ekspresi kekuatan" praktis tidak ditemukan dalam buku pelajaran matematika sekolah, tetapi sering muncul dalam kumpulan masalah, yang dirancang khusus untuk mempersiapkan Ujian Negara Terpadu dan OGE, misalnya. Setelah menganalisis tugas di mana diperlukan untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi kekuatan, menjadi jelas bahwa ekspresi kekuatan dipahami sebagai ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Oleh karena itu, untuk Anda sendiri, Anda dapat mengambil definisi berikut:

Definisi.

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung kekuatan.

Ayo bawa contoh ekspresi kekuatan. Selain itu, kami akan menyajikannya sesuai dengan bagaimana pandangan berkembang dari derajat dengan indikator alami ke derajat dengan indikator nyata.

Seperti yang Anda ketahui, pertama Anda berkenalan dengan derajat suatu bilangan dengan eksponen alami, pada tahap ini ekspresi kekuatan paling sederhana pertama dari tipe 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.

Beberapa saat kemudian, pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif, seperti berikut: 3 2, , a 2 +2 b 3 + c 2 .

Di kelas senior, mereka kembali ke gelar lagi. Ada diperkenalkan gelar dengan indikator rasional, yang mengarah pada munculnya ekspresi kekuatan yang sesuai: , , dll. Akhirnya, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .

Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus ke dalam eksponen, dan ada, misalnya, ekspresi seperti itu 2 x 2 +1 atau . Dan setelah berkenalan, ekspresi dengan kekuatan dan logaritma mulai muncul, misalnya, x 2 lgx 5 x lgx.

Jadi, kami menemukan pertanyaan tentang apa itu ekspresi kekuatan. Selanjutnya, kita akan belajar bagaimana mengubahnya.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Dengan ekspresi kekuatan, Anda dapat melakukan salah satu transformasi identitas dasar ekspresi. Misalnya, Anda dapat memperluas tanda kurung, mengganti ekspresi numerik dengan nilainya, menambahkan istilah serupa, dan seterusnya. Secara alami, dalam hal ini perlu untuk mengikuti prosedur yang diterima untuk melakukan tindakan. Mari kita beri contoh.

Contoh.

Hitung nilai dari ekspresi pangkat 2 3 ·(4 2 12) .

Keputusan.

Menurut urutan tindakan, pertama-tama kita melakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kami mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (lihat jika perlu), dan kedua, kami menghitung selisihnya 16−12=4 . Kita punya 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mengganti pangkat 2 3 dengan nilainya 8 , setelah itu kami menghitung produk 8·4=32 . Ini adalah nilai yang diinginkan.

Jadi, 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Menjawab:

2 3 (4 2 12)=32 .

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya 3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7.

Keputusan.

Jelas, ekspresi ini mengandung istilah yang mirip 3 · a 4 · b 7 dan 2 · a 4 · b 7 , dan kita dapat menguranginya: .

Menjawab:

3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7 =5 a 4 b 7 1.

Contoh.

Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.

Keputusan.

Untuk mengatasi tugas memungkinkan representasi angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan selanjutnya menggunakan rumus perkalian yang disingkat, perbedaan kuadrat:

Menjawab:

Ada juga sejumlah transformasi identik yang melekat dalam ekspresi kekuasaan. Selanjutnya, kami akan menganalisisnya.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Ada derajat, dalam basis dan / atau indikator yang bukan hanya angka atau variabel, tetapi beberapa ekspresi. Sebagai contoh, mari kita tulis (2+0.3 7) 5−3.7 dan (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Saat bekerja dengan ekspresi serupa, ekspresi di basis derajat dan ekspresi dalam eksponen dapat diganti secara identik ekspresi yang sama pada ODZ variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat secara terpisah mengonversi basis derajat, dan secara terpisah - indikatornya. Jelas bahwa sebagai hasil dari transformasi ini, diperoleh ekspresi yang identik sama dengan yang asli.

Transformasi tersebut memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita butuhkan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat (2+0.3 7) 5−3.7 yang disebutkan di atas, Anda dapat melakukan operasi dengan angka dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda untuk beralih ke pangkat 4.1 1.3. Dan setelah membuka kurung dan membawa suku-suku serupa di basis derajat (a (a + 1) a 2) 2 (x + 1) kita mendapatkan ekspresi kekuatan lebih bentuk sederhana a2 (x+1) .

Menggunakan Properti Daya

Salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan kekuatan adalah persamaan yang mencerminkan . Mari kita ingat yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b dan sembarang bilangan asli r dan s memiliki sifat derajat sebagai berikut:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Perhatikan bahwa untuk eksponen natural, integer, dan positif, pembatasan pada bilangan a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya untuk bilangan asli m dan n persamaan a m ·a n =a m+n benar tidak hanya untuk positif a , tetapi juga untuk negatif, dan untuk a=0 .

Di sekolah, perhatian utama dalam transformasi ekspresi kekuatan difokuskan tepat pada kemampuan untuk memilih properti yang cocok dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan Anda untuk menggunakan properti derajat tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis derajat - kisaran nilai variabel yang dapat diterima biasanya sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif di atasnya, yang memungkinkan Anda untuk bebas menggunakan properti derajat. Secara umum, Anda perlu terus-menerus bertanya pada diri sendiri apakah mungkin untuk menerapkan properti derajat apa pun dalam kasus ini, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan ODZ dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ekspresi menggunakan properti derajat. Di sini kita membatasi diri pada beberapa contoh sederhana.

Contoh.

Nyatakan ekspresi a 2.5 ·(a 2) 3:a 5.5 sebagai pangkat dengan basis a .

Keputusan.

Pertama, kita ubah faktor kedua (a 2) 3 dengan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) 3 =a 2 (−3) =a 6. Dalam hal ini, ekspresi pangkat awal akan berbentuk a 2.5 ·a 6:a 5.5 . Jelas, tetap menggunakan sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama, kita punya
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a 3.5−(−5.5) =a 2 .

Menjawab:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Properti daya digunakan saat mengubah ekspresi daya baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Contoh.

Temukan nilai dari ekspresi kekuatan.

Keputusan.

Persamaan (a·b) r =a r ·b r , diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan Anda beralih dari ekspresi asli ke produk bentuk dan selanjutnya. Dan saat mengalikan kekuatan dengan alasan yang sama indikator bertambah: .

Dimungkinkan untuk melakukan transformasi ekspresi asli dengan cara lain:

Menjawab:

.

Contoh.

Diberikan ekspresi pangkat a 1,5 a 0,5 6 , masukkan variabel baru t=a 0,5 .

Keputusan.

Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai 0,5 3 dan selanjutnya berdasarkan sifat derajat dalam derajat (a r) s =a r s diterapkan dari kanan ke kiri, ubahlah menjadi bentuk (a 0,5) 3 . Dengan demikian, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5 , kita mendapatkan t 3 t−6 .

Menjawab:

t 3 t−6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung kekuatan

Ekspresi pangkat dapat berisi pecahan dengan pangkat atau mewakili pecahan tersebut. Transformasi pecahan dasar apa pun yang melekat pada pecahan jenis apa pun sepenuhnya berlaku untuk pecahan tersebut. Artinya, pecahan yang mengandung derajat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilangnya dan secara terpisah dengan penyebutnya, dll. Untuk mengilustrasikan kata-kata di atas, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Keputusan.

Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilang, kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang diperoleh setelah itu menggunakan sifat-sifat pangkat, dan dalam penyebut kami menyajikan istilah yang serupa:

Dan kita juga mengubah tanda penyebut dengan menempatkan minus di depan pecahan: .

Menjawab:

.

Pengurangan pangkat pecahan ke penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti pengurangan ke penyebut baru pecahan rasional. Pada saat yang sama, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan DPV. Untuk mencegah hal ini terjadi, perlu bahwa faktor tambahan tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.

Contoh.

Pindahkan pecahan ke penyebut baru: a) ke penyebut a, b) ke penyebutnya.

Keputusan.

a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui faktor tambahan apa yang membantu mencapai hasil yang diinginkan. Ini adalah faktor a 0,3, karena a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Perhatikan bahwa dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), derajat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kami memiliki hak untuk mengalikan pembilang dan penyebut dari pecahan yang diberikan oleh faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat pada penyebut, kami menemukan bahwa

dan mengalikan ekspresi ini dengan akan memberikan jumlah kubus dan , yaitu . Dan ini adalah penyebut baru yang kita butuhkan untuk membawa pecahan aslinya.

Jadi kami menemukan faktor tambahan. Ekspresi tidak hilang pada rentang nilai yang dapat diterima dari variabel x dan y, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengannya:

Menjawab:

sebuah) , b) .

Juga tidak ada yang baru dalam pengurangan pecahan yang mengandung derajat: pembilang dan penyebut direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebut yang sama dikurangi.

Contoh.

Kurangi pecahan: a) , b).

Keputusan.

a) Pertama, pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi dengan angka 30 dan 45, yang sama dengan 15. Juga, jelas, Anda dapat mengurangi x 0,5 +1 dan dengan . Inilah yang kami miliki:

b) Dalam hal ini, faktor pembilang dan penyebut yang sama tidak langsung terlihat. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari menguraikan penyebut menjadi faktor-faktor sesuai dengan perbedaan rumus kuadrat:

Menjawab:

sebuah)

b) .

Mengurangi pecahan ke penyebut baru dan mengurangi pecahan terutama digunakan untuk melakukan operasi pada pecahan. Tindakan dilakukan sesuai dengan aturan yang diketahui. Saat menambahkan (mengurangi) pecahan, mereka direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya ditambahkan (dikurangi), dan penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.

Contoh.

Ikuti langkah-langkahnya .

Keputusan.

Pertama, kita kurangi pecahan dalam kurung. Untuk melakukan ini, kami membawanya ke penyebut yang sama, yaitu , lalu kurangi pembilangnya:

Sekarang kita mengalikan pecahan:

Jelas, pengurangan dengan kekuatan x 1/2 dimungkinkan, setelah itu kita memiliki .

Anda juga dapat menyederhanakan ekspresi pangkat dalam penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: .

Menjawab:

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Keputusan.

Jelas, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, ini memberikan pecahan . Jelas bahwa sesuatu yang lain perlu dilakukan dengan kekuatan x. Untuk melakukan ini, kami mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk menggunakan properti pembagian kekuatan dengan basis yang sama: . Dan di akhir proses, kita beralih dari produk terakhir ke pecahan.

Menjawab:

.

Dan kami menambahkan bahwa adalah mungkin dan dalam banyak kasus diinginkan untuk mentransfer faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi seperti itu sering menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi kekuatan dapat diganti dengan .

Mengubah ekspresi dengan akar dan pangkat

Seringkali, dalam ekspresi di mana beberapa transformasi diperlukan, bersama dengan derajat dengan eksponen pecahan, ada juga akar. Untuk mengubah ekspresi seperti itu menjadi jenis yang tepat, dalam banyak kasus itu cukup untuk hanya pergi ke akar atau hanya ke kekuatan. Tetapi karena lebih nyaman untuk bekerja dengan derajat, mereka biasanya berpindah dari akar ke derajat. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda untuk mengganti akar dengan derajat tanpa perlu mengakses modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kami membahas ini secara rinci di bagian artikel, transisi dari akar ke pangkat dan sebaliknya Setelah berkenalan dengan derajat dengan eksponen rasional, gelar dengan indikator irasional diperkenalkan, yang memungkinkan untuk berbicara tentang gelar dengan indikator nyata yang sewenang-wenang.Pada tahap ini, sekolah mulai belajar Fungsi eksponensial , yang secara analitis diberikan oleh derajat, dengan dasar yang ada angka, dan dalam indikator - variabel. Jadi kita dihadapkan dengan ekspresi eksponensial yang berisi angka dalam basis derajat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja muncul kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.

Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan saat menyelesaikan persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial , dan transformasi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, mereka didasarkan pada sifat-sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan akan memungkinkan kita untuk mendemonstrasikannya 5 2 x+1 3 5 x 7 x 14 7 2 x−1 =0.

Pertama, eksponen, di mana eksponen jumlah beberapa variabel (atau ekspresi dengan variabel) dan angka, ditemukan, diganti dengan produk. Ini berlaku untuk istilah pertama dan terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 7 1 =0,
5 5 2 x 3 5 x 7 x 2 7 2 x =0.

Selanjutnya, kedua bagian persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x , yang hanya mengambil nilai positif pada ODZ variabel x untuk persamaan asli (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, kami tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ):

Sekarang pecahan dengan kekuatan dibatalkan, yang memberikan .

Akhirnya, rasio pangkat dengan eksponen yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang mengarah ke persamaan , yang setara dengan . Transformasi yang dibuat memungkinkan kami untuk memperkenalkan variabel baru, yang mengurangi solusi persamaan eksponensial asli menjadi solusi persamaan kuadrat

I.V. Boikov, L.D. Romanova Kumpulan tugas untuk persiapan ujian. Bagian 1. Penza 2003.

Ekspresi aljabar dalam catatan yang, bersama dengan operasi penambahan, pengurangan dan perkalian, juga menggunakan pembagian menjadi ekspresi literal, disebut ekspresi aljabar pecahan. Seperti, misalnya, ekspresi

Kami menyebut pecahan aljabar sebagai ekspresi aljabar yang berbentuk hasil bagi dari dua ekspresi aljabar bilangan bulat (misalnya, monomial atau polinomial). Seperti, misalnya, ekspresi

ketiga dari ekspresi).

Transformasi identitas ekspresi aljabar pecahan sebagian besar dimaksudkan untuk mewakili mereka dalam bentuk pecahan aljabar. Untuk menemukan penyebut yang sama, faktorisasi penyebut pecahan - istilah digunakan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecilnya. Saat mereduksi pecahan aljabar, identitas ekspresi yang ketat dapat dilanggar: perlu untuk mengecualikan nilai-nilai kuantitas di mana faktor pengurangan dilakukan menghilang.

Mari kita berikan contoh transformasi identik dari ekspresi aljabar pecahan.

Contoh 1: Sederhanakan ekspresi

Semua suku dapat direduksi menjadi penyebut yang sama (lebih mudah untuk mengubah tanda penyebut suku terakhir dan tanda di depannya):

Ekspresi kami sama dengan satu untuk semua nilai kecuali nilai-nilai ini, tidak ditentukan dan pengurangan fraksi ilegal).

Contoh 2. Nyatakan ekspresi sebagai pecahan aljabar

Keputusan. Ekspresi dapat diambil sebagai penyebut umum. Kami menemukan berturut-turut:

Latihan

1. Temukan nilai ekspresi aljabar untuk nilai parameter yang ditentukan:

2. Faktorkan.

Matematika-Kalkulator-Online v.1.0

Kalkulator melakukan operasi berikut: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, bekerja dengan desimal, mengekstrak akar, menaikkan pangkat, menghitung persentase, dan operasi lainnya.

Keputusan:

Cara menggunakan kalkulator matematika

Kunci	Penamaan	Penjelasan
5	angka 0-9	angka arab. Masukkan bilangan bulat alami, nol. Untuk mendapatkan bilangan bulat negatif, tekan tombol +/-
.	titik koma)	Pemisah desimal. Jika tidak ada angka sebelum titik (koma), kalkulator akan secara otomatis mengganti angka nol sebelum titik. Misalnya: .5 - 0.5 akan ditulis
+	tanda tambah	Penjumlahan bilangan (bilangan bulat, pecahan desimal)
-	tanda kurang	Pengurangan bilangan (bilangan bulat, pecahan desimal)
÷	tanda pembagian	Pembagian bilangan (bilangan bulat, pecahan desimal)
X	tanda perkalian	Perkalian bilangan (bilangan bulat, desimal)
√	akar	Mengekstrak akar dari sebuah angka. Ketika Anda menekan tombol "root" lagi, root dihitung dari hasilnya. Contoh: akar kuadrat dari 16 = 4; akar kuadrat dari 4 = 2
x2	mengkuadratkan	Mengkuadratkan angka. Ketika Anda menekan tombol "mengkuadratkan" lagi, hasilnya adalah kuadrat, misalnya: kotak 2 = 4; persegi 4 = 16
1/x	pecahan	Keluaran ke desimal. Di pembilang 1, di penyebut nomor input
%	persen	Dapatkan persentase angka. Untuk bekerja, Anda harus memasukkan: angka dari mana persentase akan dihitung, tanda (plus, minus, bagi, kalikan), berapa persen dalam bentuk numerik, tombol "%"
(	kurung terbuka	Tanda kurung terbuka untuk menetapkan prioritas evaluasi. Tanda kurung tertutup wajib diisi. Contoh: (2+3)*2=10
)	kurung tertutup	Tanda kurung tertutup untuk menetapkan prioritas evaluasi. Ketersediaan diperlukan kurung terbuka
±	tambah kurang	Ubah tanda menjadi sebaliknya
=	sama dengan	Menampilkan hasil penyelesaian. Juga, perhitungan menengah dan hasilnya ditampilkan di atas kalkulator di bidang "Solusi".
←	menghapus karakter	Menghapus karakter terakhir
Dengan	mengatur ulang	Tombol Atur ulang. Sepenuhnya mengatur ulang kalkulator ke "0"

Algoritma kalkulator online dengan contoh

Tambahan.

Penjumlahan bilangan asli ( 5 + 7 = 12 )

Penjumlahan bilangan asli dan negatif ( 5 + (-2) = 3 )

penjumlahan desimal bilangan pecahan { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Pengurangan.

Pengurangan bilangan asli ( 7 - 5 = 2 )

Pengurangan seluruh bilangan asli dan negatif ( 5 - (-2) = 7 )

Pengurangan bilangan pecahan desimal ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )

Perkalian.

Hasil kali bilangan asli ( 3 * 7 = 21 )

Hasil kali bilangan asli dan negatif ( 5 * (-3) = -15 )

Produk bilangan pecahan desimal ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )

Divisi.

Pembagian bilangan asli seluruh ( 27 / 3 = 9 )

Pembagian seluruh bilangan asli dan negatif ( 15 / (-3) = -5 )

Pembagian bilangan pecahan desimal ( 6.2 / 2 = 3.1 )

Mengekstrak akar dari sebuah angka.

Mengekstrak akar bilangan bulat ( root(9) = 3 )

Mengekstrak akar desimal ( root(2.5) = 1,58)

Mengekstrak akar dari jumlah angka ( root(56 + 25) = 9 )

Mengekstrak akar selisih bilangan ( root (32 - 7) = 5 )

Mengkuadratkan angka.

Mengkuadratkan bilangan bulat ( (3) 2 = 9 )

Mengkuadratkan desimal ( (2.2) 2 = 4.84 )

Ubah ke pecahan desimal.

Menghitung persentase angka

Naikkan 230 sebanyak 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264.5 )

Kurangi angka 510 sebanyak 35% ( 510 - 510 * 0.35 = 331.5 )

18% dari angka 140 adalah ( 140 * 0.18 = 25.2)

Nyaman dan sederhana kalkulator online pecahan dengan solusi rinci mungkin:

• Menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi pecahan online,
• Menerima solusi turnkey pecahan dengan gambar dan akan lebih mudah untuk mentransfernya.



Hasil pemecahan pecahan akan ada di sini ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tanda pecahan "/" + - * :
_hapus Hapus
Kalkulator pecahan online kami memiliki input cepat. Untuk mendapatkan solusi pecahan, misalnya, tulis saja 1/2+2/7 ke dalam kalkulator dan tekan tombol " menyelesaikan pecahan". Kalkulator akan menulis Anda solusi terperinci pecahan dan masalah gambar ramah salinan.

Karakter yang digunakan untuk menulis di kalkulator

Anda dapat mengetikkan contoh untuk solusi baik dari keyboard maupun menggunakan tombol.

Fitur kalkulator pecahan online

Kalkulator pecahan hanya dapat melakukan operasi dengan 2 pecahan sederhana. Mereka bisa benar (pembilang lebih kecil dari penyebut) atau salah (pembilang lebih besar dari penyebut). Bilangan dalam pembilang dan penyebut tidak boleh negatif dan lebih besar dari 999.
Kalkulator online kami memecahkan pecahan dan memberikan jawabannya bentuk yang benar- mengurangi fraksi dan menyoroti seluruh bagian, jika perlu.

Jika Anda perlu menyelesaikan pecahan negatif, cukup gunakan sifat minus. Saat mengalikan dan membagi pecahan negatif, minus dengan minus memberi plus. Artinya, produk dan pembagian pecahan negatif sama dengan produk dan pembagian pecahan positif yang sama. Jika satu pecahan negatif saat dikalikan atau dibagi, maka cukup hilangkan minusnya, lalu tambahkan ke jawabannya. Saat menambahkan pecahan negatif, hasilnya akan sama seperti jika Anda menambahkan pecahan positif yang sama. Jika Anda menambahkan satu pecahan negatif, maka ini sama dengan mengurangkan pecahan positif yang sama.
Saat mengurangkan pecahan negatif, hasilnya akan sama seperti jika dibalik dan menjadi positif. Artinya, minus dengan minus dalam hal ini memberikan nilai tambah, dan jumlahnya tidak berubah dari penataan ulang istilah. Kami menggunakan aturan yang sama saat mengurangkan pecahan, salah satunya adalah negatif.

Untuk menyelesaikan pecahan campuran (pecahan di mana seluruh bagian disorot), cukup ubah seluruh bagian menjadi pecahan. Untuk melakukan ini, kalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut dan tambahkan ke pembilangnya.

Jika Anda perlu menyelesaikan 3 pecahan atau lebih secara online, Anda harus menyelesaikannya satu per satu. Pertama, hitung 2 pecahan pertama, lalu selesaikan pecahan berikutnya dengan jawaban yang diterima, dan seterusnya. Lakukan operasi secara bergiliran untuk 2 pecahan, dan pada akhirnya Anda akan mendapatkan jawaban yang benar.