Mencari kenaikan dan penurunan suatu fungsi. Fungsi Naik dan Turun

Fungsi ekstrem

Definisi 2

Suatu titik $x_0$ disebut titik maksimum dari fungsi $f(x)$ jika terdapat lingkungan dari titik ini sehingga untuk semua $x$ dari lingkungan ini pertidaksamaan $f(x)\le f(x_0 )$ puas.

Definisi 3

Suatu titik $x_0$ disebut titik maksimum dari fungsi $f(x)$ jika terdapat lingkungan dari titik ini sehingga untuk semua $x$ dari lingkungan ini pertidaksamaan $f(x)\ge f(x_0 )$ puas.

Konsep ekstrem suatu fungsi erat kaitannya dengan konsep titik kritis suatu fungsi. Mari kita perkenalkan definisinya.

Definisi 4

$x_0$ disebut titik kritis dari fungsi $f(x)$ jika:

1) $x_0$ - titik internal domain definisi;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ atau tidak ada.

Untuk konsep ekstrem, seseorang dapat merumuskan teorema tentang kondisi cukup dan perlu untuk keberadaannya.

Teorema 2

Kondisi ekstrim yang cukup

Biarkan titik $x_0$ kritis untuk fungsi $y=f(x)$ dan terletak pada interval $(a,b)$. Biarkan pada setiap interval $\left(a,x_0\right)\ dan\ (x_0,b)$ turunan $f"(x)$ ada dan pertahankan tanda konstan. Kemudian:

1) Jika pada interval $(a,x_0)$ turunan $f"\left(x\right)>0$, dan pada interval $(x_0,b)$ turunan $f"\left(x\ Baik)

2) Jika turunan $f"\left(x\right)0$ berada pada interval $(a,x_0)$, maka titik $x_0$ adalah titik minimum untuk fungsi ini.

3) Jika keduanya pada interval $(a,x_0)$ dan pada interval $(x_0,b)$ turunan $f"\left(x\right) >0$ atau turunan $f"\left(x \Baik)

Teorema ini diilustrasikan pada Gambar 1.

Gambar 1. Kondisi cukup untuk keberadaan ekstrim

Contoh ekstrem (Gbr. 2).

Gambar 2. Contoh titik ekstrem

Aturan untuk memeriksa fungsi untuk ekstrem

2) Temukan turunan $f"(x)$;

7) Menarik kesimpulan tentang adanya maxima dan minima pada setiap interval, menggunakan Teorema 2.

Fungsi Naik dan Turun

Mari kita kenalkan dulu definisi fungsi naik dan turun.

Definisi 5

Suatu fungsi $y=f(x)$ yang didefinisikan pada suatu interval $X$ disebut meningkat jika untuk sembarang titik $x_1,x_2\dalam X$ untuk $x_1

Definisi 6

Suatu fungsi $y=f(x)$ yang didefinisikan pada suatu interval $X$ disebut menurun jika untuk sembarang titik $x_1,x_2\dalam X$ untuk $x_1f(x_2)$.

Meneliti Fungsi untuk Naik dan Turun

Anda dapat menyelidiki fungsi untuk naik dan turun menggunakan turunan.

Untuk memeriksa fungsi interval kenaikan dan penurunan, Anda harus melakukan hal berikut:

1) Temukan domain dari fungsi $f(x)$;

2) Temukan turunan $f"(x)$;

3) Temukan titik di mana persamaan $f"\left(x\right)=0$;

4) Temukan titik di mana $f"(x)$ tidak ada;

5) Tandai pada garis koordinat semua titik yang ditemukan dan domain dari fungsi yang diberikan;

6) Tentukan tanda turunan $f"(x)$ pada setiap interval yang dihasilkan;

7) Simpulkan: pada interval di mana $f"\left(x\right)0$ fungsi meningkat.

Contoh masalah untuk mempelajari fungsi untuk kenaikan, penurunan dan keberadaan titik ekstrem

Contoh 1

Selidiki fungsi untuk naik dan turun, dan keberadaan titik maksima dan minima: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Karena 6 poin pertama sama, kami akan menggambarnya terlebih dahulu.

1) Domain definisi - semua bilangan real;

2) $f"\left(x\kanan)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\kiri(x\kanan)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ ada di semua titik domain definisi;

5) Garis koordinat:

Gambar 3

6) Tentukan tanda turunan $f"(x)$ pada setiap interval:

\ \ fungsi f(X) mengambil nilai terkecil.

Angka tersebut menunjukkan grafik y=f'(X)- fungsi turunan f(X), didefinisikan pada interval (–7;14). Tentukan jumlah titik maksimum dari suatu fungsi f(X) milik segmen [–6;9].

Angka tersebut menunjukkan grafik y=f'(X)- fungsi turunan f(X) didefinisikan pada interval (–18;6). Tentukan jumlah titik minimum dari suatu fungsi f(X) milik segmen [–13;1].

Angka tersebut menunjukkan grafik y=f'(X)- fungsi turunan f(X), didefinisikan pada interval (–11; -11). Tentukan jumlah titik ekstrem suatu fungsi f(X), milik segmen [–10; -sepuluh].

Angka tersebut menunjukkan grafik y=f'(X)- fungsi turunan f(X) didefinisikan pada interval (–7;4). Temukan interval fungsi yang meningkat f(X). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah poin bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Angka tersebut menunjukkan grafik y=f'(X)- fungsi turunan f(X), didefinisikan pada interval (–5; 7). Tentukan interval fungsi menurun f(X). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah poin bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Angka tersebut menunjukkan grafik y=f'(X)- fungsi turunan f(X) didefinisikan pada interval (–11;3). Temukan interval fungsi yang meningkat f(X). Dalam jawaban Anda, tuliskan panjang yang terbesar.

F Gambar tersebut menunjukkan grafik

Kondisi masalahnya sama (yang kami pertimbangkan). Tentukan jumlah tiga bilangan:

1. Jumlah kuadrat dari ekstrem dari fungsi f (x).

2. Selisih kuadrat jumlah titik maksimum dan jumlah titik minimum fungsi f (x).

3. Jumlah garis singgung f (x) sejajar dengan garis lurus y \u003d -3x + 5.

Yang pertama memberikan jawaban yang benar akan menerima hadiah insentif - 150 rubel. Tulis jawaban Anda di komentar. Jika ini adalah komentar pertama Anda di blog, maka tidak akan langsung muncul, beberapa saat kemudian (jangan khawatir, waktu penulisan komentar dicatat).

Semoga sukses untuk Anda!

Hormat kami, Alexander Krutitsikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.

Berdasarkan tanda-tanda yang cukup, interval kenaikan dan penurunan fungsi ditemukan.

Berikut adalah kata-kata dari tanda-tanda:

• jika turunan dari fungsi y = f(x) positif untuk apapun x dari interval X, maka fungsinya bertambah sebesar X;
• jika turunan dari fungsi y = f(x) negatif untuk apapun x dari interval X, maka fungsinya berkurang sebesar X.

Jadi, untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi, perlu:

• temukan ruang lingkup fungsi;

• menemukan turunan dari suatu fungsi;

• ke interval yang dihasilkan tambahkan titik batas di mana fungsi didefinisikan dan kontinu.

Pertimbangkan contoh untuk memperjelas algoritma.

Contoh.

Temukan interval kenaikan dan penurunan fungsi .

Keputusan.

Langkah pertama adalah menemukan ruang lingkup definisi fungsi. Dalam contoh kita, ekspresi dalam penyebut tidak boleh hilang, oleh karena itu, .

Mari kita beralih ke fungsi turunan:

Untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi dengan kriteria yang cukup, kami memecahkan pertidaksamaan dan pada domain definisi. Mari kita gunakan generalisasi dari metode interval. Satu-satunya akar pembilang real adalah x=2, dan penyebutnya hilang pada x=0. Titik-titik ini membagi domain definisi ke dalam interval di mana turunan fungsi mempertahankan tandanya. Mari kita tandai titik-titik ini pada garis bilangan. Dengan plus dan minus, kami secara kondisional menunjukkan interval di mana turunannya positif atau negatif. Panah di bawah ini secara skematis menunjukkan peningkatan atau penurunan fungsi pada interval yang sesuai.

Dengan demikian, dan .

Pada intinya x=2 fungsi didefinisikan dan kontinu, sehingga harus ditambahkan ke interval naik dan interval menurun. Pada intinya x=0 fungsi tidak didefinisikan, jadi titik ini tidak termasuk dalam interval yang diperlukan.

Kami menyajikan grafik fungsi untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengannya.

Menjawab: fungsi bertambah dengan , menurun pada interval (0; 2] .

- Titik ekstrem dari fungsi satu variabel. Kondisi yang cukup untuk sebuah ekstrim

Biarkan fungsi f(x), didefinisikan dan kontinu dalam interval , tidak monoton di dalamnya. Ada bagian seperti [ , ] dari interval , di mana nilai maksimum dan minimum dicapai oleh fungsi pada titik internal, mis. antara aku.

Dikatakan bahwa fungsi f(x) memiliki maksimum (atau minimum) di suatu titik jika titik ini dapat dikelilingi oleh lingkungan seperti (x 0 - , x 0 +) yang terdapat dalam interval di mana fungsi diberikan, bahwa pertidaksamaan dipenuhi untuk semua titiknya.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x0))

Dengan kata lain, titik x 0 memberikan fungsi f(x) maksimum (minimum) jika nilai f (x 0) ternyata terbesar (terkecil) dari nilai yang diambil oleh fungsi di beberapa (pada paling kecil) lingkungan dari titik ini. Perhatikan bahwa definisi maksimum (minimum) mengasumsikan bahwa fungsi diberikan pada kedua sisi titik x 0 .

Jika ada lingkungan seperti itu di mana (untuk x=x 0) pertidaksamaan ketat

f(x) f(x0)

kemudian mereka mengatakan bahwa fungsi tersebut memiliki maksimum (minimum) sendiri pada titik x 0, jika tidak, fungsi tersebut tidak tepat.

Jika fungsi memiliki maksimum pada titik x 0 dan x 1, maka, dengan menerapkan teorema Weierstrass kedua pada interval, kita melihat bahwa fungsi mencapai nilai terkecil dalam interval ini di beberapa titik x 2 antara x 0 dan x 1 dan memiliki a minimal di sana. Demikian juga, di antara dua titik terendah pasti ada titik tertinggi. Dalam kasus yang paling sederhana (dan, dalam praktiknya, yang paling penting), ketika suatu fungsi umumnya hanya memiliki jumlah maksimum dan minimum yang terbatas, mereka hanya bergantian.

Perhatikan bahwa untuk menunjuk maksimum atau minimum, ada juga istilah yang menyatukan mereka - ekstrem.

Konsep maksimum (maks f(x)) dan minimum (min f(x)) adalah sifat lokal dari fungsi dan terjadi pada titik tertentu x 0 . Konsep nilai terbesar (sup f(x)) dan terkecil (inf f(x)) mengacu pada segmen hingga dan properti global fungsi pada segmen.

Gambar 1 menunjukkan bahwa pada titik x 1 dan x 3 terdapat maksimum lokal, dan pada titik x 2 dan x 4 - minimum lokal. Namun, fungsi tersebut mencapai nilai terendah pada titik x=a, dan nilai tertinggi pada titik x=b.

Mari kita ajukan masalah menemukan semua nilai argumen yang menyediakan fungsi dengan ekstrem. Saat menyelesaikannya, turunan akan memainkan peran utama.

Misalkan pertama untuk fungsi f(x) dalam interval (a,b) ada turunan hingga. Jika pada titik x 0 fungsi memiliki ekstrem, maka, dengan menerapkan interval (x 0 -, x 0 +), yang dibahas di atas, teorema Fermat, kami menyimpulkan bahwa f (x) \u003d 0 ini terdiri kondisi yang diperlukan ekstrim. Ekstrem harus dicari hanya pada titik-titik di mana turunannya sama dengan nol.

Namun, tidak boleh dianggap bahwa setiap titik di mana turunannya sama dengan nol memberikan ekstrem ke fungsi: kondisi perlu yang ditunjukkan saja tidak cukup.

Nada datar

Sangat properti penting fungsi adalah monotonisitasnya. Mengetahui sifat berbagai fungsi khusus ini, seseorang dapat menentukan perilaku berbagai proses fisik, ekonomi, sosial, dan banyak lainnya.

Jenis-jenis fungsi monoton berikut dibedakan:

1) fungsi meningkat, jika pada beberapa interval, jika untuk setiap dua titik dan interval ini sehingga . Itu. nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar;

2) fungsi berkurang, jika pada beberapa interval, jika untuk setiap dua titik dan interval ini sehingga . Itu. nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil;

3) fungsi tidak berkurang, jika pada beberapa interval, jika untuk dua titik dan interval ini sehingga ;

4) fungsi tidak bertambah, jika pada beberapa interval, jika untuk setiap dua titik dan interval ini sehingga .

2. Untuk dua kasus pertama, istilah "kemonotonan yang ketat" juga digunakan.

3. Dua kasus terakhir bersifat spesifik dan biasanya ditetapkan sebagai komposisi dari beberapa fungsi.

4. Secara terpisah, kami mencatat bahwa kenaikan dan penurunan grafik fungsi harus dipertimbangkan secara tepat dari kiri ke kanan dan tidak ada yang lain.

2. Bahkan aneh.

Fungsinya disebut ganjil, jika ketika tanda argumen berubah, ia mengubah nilainya menjadi kebalikannya. Rumus untuk ini terlihat seperti ini . Ini berarti bahwa setelah mengganti nilai x minus ke fungsi menggantikan semua x, fungsi tersebut akan berubah tandanya. Grafik fungsi tersebut simetris terhadap asal.

Contoh fungsi ganjil adalah.

Misalnya, grafik memang simetris tentang asal:

Fungsinya disebut genap jika mengubah tanda argumen tidak mengubah nilainya. Rumus untuk ini terlihat seperti ini. Ini berarti bahwa setelah mengganti nilai x minus ke fungsi menggantikan semua x, fungsi tersebut tidak akan berubah sebagai hasilnya. Grafik fungsi tersebut simetris terhadap sumbu.

Contoh fungsi genap adalah dll.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan simetri grafik terhadap sumbu:

Jika suatu fungsi tidak termasuk dalam salah satu tipe yang ditentukan, maka fungsi tersebut tidak disebut genap atau ganjil, atau fungsi pandangan umum . Fungsi tersebut tidak memiliki simetri.

Fungsi seperti itu, misalnya, adalah fungsi linier yang baru-baru ini dipertimbangkan dengan grafik:

3. Sifat khusus fungsi adalah periodisitas.

Intinya adalah bahwa fungsi periodik, yang dipertimbangkan dalam standar kurikulum sekolah, hanya fungsi trigonometri. Kami telah membicarakannya secara rinci ketika mempelajari topik yang sesuai.

Fungsi periodik adalah fungsi yang tidak mengubah nilainya ketika sejumlah konstanta bukan nol ditambahkan ke argumen.

Jumlah minimum ini disebut periode fungsi dan ditandai dengan huruf.

Rumus untuk ini terlihat seperti ini: .

Mari kita lihat properti ini pada contoh grafik sinus:

Ingatlah bahwa periode fungsi dan adalah , dan periode dan adalah .

Seperti yang sudah kita ketahui, untuk fungsi trigonometri dengan argumen yang kompleks, mungkin ada periode non-standar. Ini tentang tentang fungsi tampilan:

Mereka memiliki periode yang sama. Dan tentang fungsi:

Mereka memiliki periode yang sama.

Seperti yang Anda lihat, untuk menghitung periode baru, periode standar hanya dibagi dengan faktor dalam argumen. Itu tidak tergantung pada modifikasi fungsi lainnya.

Keterbatasan.

Fungsi y=f(x) Disebut terbatas dari bawah pada himpunan X⊂D(f) jika terdapat bilangan a sehingga untuk setiap xϵX pertidaksamaan f(x)< a.

Fungsi y=f(x) Disebut terbatas dari atas pada himpunan X⊂D(f) jika terdapat bilangan a sehingga untuk setiap xϵX pertidaksamaan f(x)< a.

Jika interval X tidak ditunjukkan, maka fungsi tersebut dianggap terbatas pada seluruh domain definisi. Fungsi yang dibatasi di atas dan di bawah disebut terbatas.

Batasan fungsi mudah dibaca dari grafik. Dimungkinkan untuk menggambar beberapa garis lurus y=a, dan jika fungsinya lebih tinggi dari garis lurus ini, maka dibatasi dari bawah.

Jika di bawah, maka masing-masing di atas. Di bawah ini adalah grafik fungsi berbatas bawah. Grafik fungsi yang dibatasi, guys, coba gambar sendiri.

Topik: Sifat fungsi: interval kenaikan dan penurunan; terbesar dan nilai terkecil; titik ekstrem (maksimum dan minimum lokal), fungsi cembung.

periode kenaikan dan penurunan.

Berdasarkan kondisi (tanda) yang cukup untuk kenaikan dan penurunan fungsi, interval kenaikan dan penurunan fungsi ditemukan.

Berikut adalah rumusan tanda fungsi naik dan turun pada interval:

jika turunan dari fungsi y=f(x) positif untuk apapun x dari interval X, maka fungsinya bertambah sebesar X;

jika turunan dari fungsi y=f(x) negatif untuk apapun x dari interval X, maka fungsinya berkurang sebesar X.

Jadi, untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi, perlu:

temukan ruang lingkup fungsi;

menemukan turunan dari suatu fungsi;

memecahkan ketidaksetaraan dan pada domain definisi;

Fungsi Naik dan Turun

fungsi kamu = f(x) disebut naik pada ruas [ sebuah, b], jika untuk sembarang pasangan titik X dan X", a x, pertidaksamaan f(x) ≤ f (x"), dan sangat meningkat - jika ketidaksetaraan f (x) f(x"). Penurunan dan penurunan ketat dari suatu fungsi didefinisikan dengan cara yang sama. Misalnya, fungsi pada = X 2 (Nasi. , a) meningkat tajam pada segmen , dan

(Nasi. , b) sangat menurun pada interval ini. Fungsi yang meningkat dilambangkan f (x), dan menurun f (x)↓. Agar fungsi terdiferensialkan f (x) meningkat pada interval [ sebuah, b], perlu dan cukup bahwa turunannya f"(x) tidak negatif pada [ sebuah, b].

Seiring dengan kenaikan dan penurunan fungsi pada segmen, kenaikan dan penurunan fungsi pada suatu titik dipertimbangkan. Fungsi pada = f (x) disebut naik di titik x 0 jika ada interval (α, ) yang mengandung titik x 0, yang untuk sembarang titik X dari (α, ), x> x 0, pertidaksamaan f (x 0) ≤ f (x), dan untuk sembarang titik X dari (α, ), x 0, pertidaksamaan f (x) f (x 0). Peningkatan ketat suatu fungsi pada suatu titik didefinisikan dengan cara yang sama x 0 . Jika sebuah f"(x 0) > 0, maka fungsi f(x) meningkat secara ketat pada titik x 0 . Jika sebuah f (x) meningkat pada setiap titik interval ( sebuah, b), maka meningkat pada interval ini.

S.B.Stechkin.

Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa itu "Fungsi naik dan turun" di kamus lain:

Konsep analisis matematis. Fungsi f(x) disebut meningkat pada interval STRUKTUR USIA PENDUDUK rasio jumlah yang berbeda kelompok umur populasi. Tergantung pada tingkat kelahiran dan kematian, harapan hidup orang... Kamus Ensiklopedis Besar

Konsep analisis matematika. Fungsi f(x) disebut meningkat pada interval jika untuk sembarang pasangan titik x1 dan x2, a≤x1 ... kamus ensiklopedis

Konsep-konsep matematika. analisis. Fungsi f(x) dipanggil. bertambah pada ruas [a, b], jika untuk sembarang pasangan titik x1 dan x2, dan<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

Cabang matematika yang mempelajari turunan dan diferensial fungsi dan aplikasinya untuk mempelajari fungsi. D. pendaftaran dan. menjadi disiplin matematika independen dikaitkan dengan nama I. Newton dan G. Leibniz (paruh kedua 17 ... Ensiklopedia Besar Soviet

Cabang matematika di mana konsep turunan dan diferensial dipelajari dan bagaimana mereka diterapkan pada studi fungsi. D. perkembangan dan. erat kaitannya dengan perkembangan kalkulus integral. Tak terpisahkan dan isinya. Bersama-sama mereka membentuk dasar... Ensiklopedia Matematika

Istilah ini memiliki arti lain, lihat fungsi. Permintaan "Tampilan" dialihkan ke sini; lihat juga arti lain ... Wikipedia

Aristoteles dan Peripatetik- Pertanyaan Aristotelian Kehidupan Aristoteles Aristoteles lahir pada tahun 384/383. SM e. di Stagira, di perbatasan dengan Makedonia. Ayahnya, bernama Nicomachus, adalah seorang dokter yang melayani raja Makedonia Amyntas, ayah Philip. Bersama keluarganya, Aristoteles muda ... ... Filsafat Barat dari asal-usulnya hingga saat ini

- (QCD), teori medan kuantum tentang dampak kuat quark dan gluon, dibangun dalam citra kuantum. elektrodinamika (QED) berdasarkan simetri pengukur "warna". Tidak seperti QED, fermion dalam QCD memiliki komplemen. derajat kebebasan kuantum. nomor,… … Ensiklopedia Fisik

I Jantung Jantung (Latin cor, Yunani cardia) adalah organ fibromuskular berongga yang berfungsi sebagai pompa, memastikan pergerakan darah dalam sistem peredaran darah. Anatomi Jantung terletak di mediastinum anterior (mediastinum) di perikardium antara ... ... Ensiklopedia Kedokteran

Kehidupan tanaman, seperti organisme hidup lainnya, adalah serangkaian proses yang saling terkait; yang paling signifikan dari mereka, seperti diketahui, adalah pertukaran zat dengan lingkungan. Lingkungan adalah sumber dari ... ... Ensiklopedia Biologi