Առավելագույն հոսանքի ուժի բանաձևը տատանվող շղթայում: Տատանողական միացում

Էլեկտրամագնիսական դաշտը կարող է գոյություն ունենալ նաև էլեկտրական լիցքերի կամ հոսանքների բացակայության դեպքում. հենց այդպիսի «ինքնապահպանվող» էլեկտրական և մագնիսական դաշտերն են ներկայացնում. էլեկտրամագնիսական ալիքներորոնք ներառում են տեսանելի լույս, ինֆրակարմիր, ուլտրամանուշակագույն և ռենտգեն ճառագայթում, ռադիոալիքներ և այլն։

§ 25. Տատանողական միացում

Ամենապարզ համակարգը, որում հնարավոր են բնական էլեկտրամագնիսական տատանումներ, այսպես կոչված տատանողական միացումն է՝ բաղկացած կոնդենսատորից և ինդուկտորից, որոնք կապված են միմյանց (նկ. 157): Ինչպես մեխանիկական տատանվողը, ինչպիսին է առաձգական զսպանակի վրա գտնվող զանգվածային մարմինը, շղթայում բնական տատանումները ուղեկցվում են էներգիայի փոխակերպումներով։

Բրինձ. 157. Տատանողական միացում

Մեխանիկական և էլեկտրամագնիսական տատանումների անալոգիա:Տատանողական շղթայի համար մեխանիկական տատանվողի պոտենցիալ էներգիայի անալոգը (օրինակ՝ դեֆորմացված աղբյուրի առաձգական էներգիան) կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիան է։ Շարժվող մարմնի կինետիկ էներգիայի անալոգը էներգիան է մագնիսական դաշտըինդուկտորում։ Իրոք, զսպանակի էներգիան համաչափ է հավասարակշռության դիրքից տեղաշարժի քառակուսուն, իսկ կոնդենսատորի էներգիան համամասնական է լիցքի քառակուսուին։ Մարմնի կինետիկ էներգիան համաչափ է նրա արագության քառակուսուն։ իսկ մագնիսական դաշտի էներգիան կծիկի մեջ համաչափ է հոսանքի քառակուսու հետ։

Զսպանակի օսլիլատոր E-ի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան հավասար է պոտենցիալ և կինետիկ էներգիաների գումարին.

Վիբրացիոն էներգիա.Նմանապես, տատանողական շղթայի ընդհանուր էլեկտրամագնիսական էներգիան հավասար է կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիայի և կծիկի մագնիսական դաշտի էներգիաների գումարին.

(1) և (2) բանաձևերի համեմատությունից հետևում է, որ զսպանակային օսլիլատորի k կոշտության անալոգը տատանողական շղթայում C հզորության փոխադարձ արժեքն է, իսկ զանգվածի անալոգը կծիկի ինդուկտիվությունն է։

Հիշեցնենք, որ մեխանիկական համակարգում, որի էներգիան տրված է (1) արտահայտությամբ, կարող են առաջանալ սեփական չխոնավ ներդաշնակ տատանումներ: Նման տատանումների հաճախականության քառակուսին հավասար է էներգիայի արտահայտման մեջ տեղաշարժի և արագության քառակուսիների գործակիցների հարաբերությանը.

Սեփական հաճախականություն.Տատանողական միացումում, որի էլեկտրամագնիսական էներգիան տրված է (2) արտահայտությամբ, կարող են առաջանալ սեփական չխոնավ ներդաշնակ տատանումներ, որոնց հաճախականության քառակուսին նույնպես, ակնհայտորեն, հավասար է համապատասխան գործակիցների (այսինքն՝ գործակիցների) հարաբերակցությանը. լիցքավորման և ընթացիկ ուժի քառակուսիներում).

(4)-ից հետևում է տատանումների ժամանակաշրջանի արտահայտությունը, որը կոչվում է Թոմսոնի բանաձև.

Մեխանիկական տատանումների դեպքում x-ի տեղաշարժի կախվածությունը ժամանակից որոշվում է կոսինուսի ֆունկցիայով, որի արգումենտը կոչվում է տատանման փուլ.

Լայնություն և սկզբնական փուլ: A ամպլիտուդը և նախնական փուլը a որոշվում են սկզբնական պայմաններով, այսինքն՝ տեղաշարժի և արագության արժեքներով:

Նմանապես, էլեկտրամագնիսական բնական տատանումների դեպքում կոնդենսատորի լիցքը կախված է ժամանակից՝ համաձայն օրենքի

որտեղ հաճախականությունը որոշվում է, համաձայն (4) կետի, միայն բուն շղթայի հատկություններով, և որոշվում են լիցքի տատանումների ամպլիտուդը և նախնական փուլը a, ինչպես մեխանիկական տատանվողի դեպքում:

սկզբնական պայմանները, այսինքն՝ կոնդենսատորի լիցքի և ընթացիկ ուժի արժեքները, հետևաբար, բնական հաճախականությունը կախված չէ տատանումների գրգռման մեթոդից, մինչդեռ ամպլիտուդը և սկզբնական փուլը որոշվում են հենց գրգռման պայմաններով։ .

Էներգետիկ փոխակերպումներ.Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք էներգիայի փոխակերպումները մեխանիկական և էլեկտրամագնիսական տատանումների ժամանակ։ Նկ. 158-ը սխեմատիկորեն ցույց է տալիս մեխանիկական և էլեկտրամագնիսական տատանումների վիճակները քառորդ ժամանակաշրջանի ժամանակային ընդմիջումներով

Բրինձ. 158. Էներգիայի փոխակերպումները մեխանիկական և էլեկտրամագնիսական թրթռումների ժամանակ

Տատանումների ժամանակաշրջանում էներգիան երկու անգամ փոխարկվում է մի ձևից մյուսը և հակառակը։ Տատանվող շղթայի ընդհանուր էներգիան, ինչպես մեխանիկական տատանվողի ընդհանուր էներգիան, մնում է անփոփոխ ցրման բացակայության դեպքում։ Սա ստուգելու համար անհրաժեշտ է (6) արտահայտությունը փոխարինել ընթացիկ ուժի արտահայտությունը (2) բանաձևով:

Օգտագործելով (4) բանաձևը, մենք ստանում ենք

Բրինձ. 159. Կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիայի և կծիկի մեջ մագնիսական դաշտի էներգիայի գրաֆիկները՝ որպես կոնդենսատորի լիցքավորման ժամանակի ֆունկցիա.

Մշտական ​​ընդհանուր էներգիան համընկնում է պոտենցիալ էներգիայի հետ այն պահերին, երբ կոնդենսատորի լիցքը առավելագույն է, և համընկնում է կծիկի մագնիսական դաշտի էներգիայի հետ՝ «կինետիկ» էներգիայի հետ, այն պահերին, երբ կոնդենսատորի լիցքը անհետանում է և հոսանքը առավելագույնն է: Փոխադարձ փոխակերպումների ժամանակ էներգիայի երկու տեսակ ներդաշնակ տատանումներ են կատարում հակաֆազային նույն ամպլիտուդով միմյանց հետ և իրենց միջին արժեքին հարաբերական հաճախականությամբ։ Սա հեշտ է ստուգել, ​​քանի որ Նկ. 158, իսկ բանաձեւերի օգնությամբ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներկես փաստարկ.

Էլեկտրական դաշտի էներգիայի և մագնիսական դաշտի էներգիայի կախվածության գրաֆիկները կոնդենսատորի լիցքավորման ժամանակից ներկայացված են նկ. 159 նախնական փուլի համար

Բնական էլեկտրամագնիսական տատանումների քանակական օրինաչափությունները կարող են սահմանվել ուղղակիորեն քվազի-ստացիոնար հոսանքների օրենքների հիման վրա՝ առանց մեխանիկական տատանումների անալոգիայի հղումների։

Շղթայում տատանումների հավասարումը.Դիտարկենք նկ. |

Կոնդենսատորի վրա լարումը կապված է թիթեղի լիցքավորման և հզորության հետ: Հարաբերությամբ Ինդուկցիայի վրա լարումը ցանկացած պահի հավասար է բացարձակ արժեքով և հակառակ նշանով: EMF ինքնահոսքԱյսպիսով, շղթայում հոսանքը հավասար է կոնդենսատորի լիցքի փոփոխության արագությանը.

Մենք ստանում ենք Now արտահայտությունը (10) ստանում է ձև

Այս հավասարումը վերաշարադրենք այլ կերպ՝ ըստ սահմանման ներկայացնելով.

Հավասարումը (12) համընկնում է հավասարման հետ ներդաշնակ թրթռումներմեխանիկական տատանվող բնական հաճախականությամբ Նման հավասարման լուծումը տրվում է ժամանակի ներդաշնակ (սինուսոիդային) ֆունկցիայով (6) ամպլիտուդի և նախնական փուլի կամայական արժեքներով a. Սրանից հետևում են վերը նշված բոլոր արդյունքները, որոնք վերաբերում են շղթայում էլեկտրամագնիսական տատանումներին:

Էլեկտրամագնիսական տատանումների թուլացում.Մինչ այժմ մենք քննարկել ենք սեփական տատանումները իդեալականացված մեխանիկական համակարգում և իդեալականացված LC շղթայում: Իդեալականացումն էր անտեսել շփումը տատանվողում և էլեկտրական դիմադրությունը շղթայում: Միայն այս դեպքում համակարգը պահպանողական կլինի, իսկ տատանումների էներգիան կպահպանվի։

Բրինձ. 160. Ճոճվող շղթա դիմադրությամբ

Շղթայում տատանումների էներգիայի ցրման հաշվառումը կարող է իրականացվել այնպես, ինչպես դա արվել է շփման հետ մեխանիկական տատանումների դեպքում։ Կծիկի և միացնող լարերի էլեկտրական դիմադրության առկայությունը անխուսափելիորեն կապված է Ջուլի ջերմության արտանետման հետ: Ինչպես նախկինում, այս դիմադրությունը կարող է դիտվել որպես անկախ տարրմեջ միացման դիագրամտատանողական շղթա՝ կծիկը և լարերը համարելով իդեալական (նկ. 160): Նման շղթայում քվազի-ստացիոնար հոսանք դիտարկելիս (10) հավասարման մեջ անհրաժեշտ է ավելացնել լարումը դիմադրության վրա.

Փոխարինում ենք մենք

Ներկայացնում ենք նշումը

մենք վերագրում ենք (14) հավասարումը ձևով

Բանաձևը (16) ունի ճիշտ նույն ձևը, ինչ մեխանիկական տատանումների թրթռումների հավասարումը.

արագությանը համաչափ շփում (մածուցիկ շփում): Հետևաբար, շղթայում էլեկտրական դիմադրության առկայության դեպքում էլեկտրամագնիսական տատանումները տեղի են ունենում նույն օրենքի համաձայն, ինչ մածուցիկ շփում ունեցող տատանումների մեխանիկական տատանումները:

Վիբրացիոն էներգիայի ցրում:Ինչպես մեխանիկական թրթռումների դեպքում, հնարավոր է սահմանել ժամանակի ընթացքում բնական թրթռումների էներգիայի նվազման օրենքը՝ կիրառելով Ջուլ-Լենց օրենքը՝ արտանետվող ջերմությունը հաշվարկելու համար.

Արդյունքում, տատանումների ժամանակաշրջանից շատ ավելի երկար ժամանակային ընդմիջումներով ցածր խոնավացման դեպքում, տատանումների էներգիայի նվազման արագությունը պարզվում է, որ համաչափ է բուն էներգիային.

(18) հավասարման լուծումն ունի ձև

Դիմադրություն ունեցող շղթայում բնական էլեկտրամագնիսական տատանումների էներգիան երկրաչափորեն նվազում է։

Տատանումների էներգիան համաչափ է դրանց ամպլիտուդի քառակուսու հետ։ Էլեկտրամագնիսական տատանումների համար սա հետևում է, օրինակ, (8): Հետևաբար, խոնավացված տատանումների ամպլիտուդը, համաձայն (19) օրենքի համաձայն, նվազում է.

Տատանումների կյանքի տևողությունը:Ինչպես երևում է (20) կետից, տատանումների ամպլիտուդը նվազում է 1 գործակցով մի ժամանակում, որը հավասար է, անկախ ամպլիտուդի սկզբնական արժեքից: Այս անգամ x-ը կոչվում է տատանումների կյանքի տևողությունը, չնայած, ինչպես կարող է. տեսնել (20)-ից, տատանումները պաշտոնապես շարունակվում են անորոշ ժամանակով: Իրականում, իհարկե, իմաստ ունի խոսել տատանումների մասին միայն այնքան ժամանակ, քանի դեռ դրանց ամպլիտուդը գերազանցում է տվյալ շղթայում ջերմային աղմուկի մակարդակի բնորոշ արժեքը։ Հետևաբար, իրականում շղթայում տատանումները «ապրում են» վերջավոր ժամանակով, որը, սակայն, կարող է մի քանի անգամ ավելի մեծ լինել, քան վերը ներկայացված x կյանքի տևողությունը։

Հաճախ կարևոր է իմանալ ոչ թե ինքնին x տատանումների կյանքի տևողությունը, այլ ամբողջական տատանումների թիվը, որոնք տեղի կունենան շղթայում այս x-ի ընթացքում: Այս թիվը բազմապատկած կոչվում է շղթայի որակի գործակից:

Խիստ ասած՝ խոնավացած տատանումները պարբերական չեն։ Փոքր թուլացումով մենք պայմանականորեն կարող ենք խոսել մի ժամանակաշրջանի մասին, որը հասկացվում է որպես երկուսի միջև եղած ժամանակային ընդմիջում

կոնդենսատորի լիցքավորման հաջորդական առավելագույն արժեքները (նույն բևեռականության) կամ հոսանքի առավելագույն արժեքները (մեկ ուղղությամբ):

Տատանումների մարումը ազդում է ժամանակաշրջանի վրա՝ հանգեցնելով դրա ավելացմանը՝ համեմատած իդեալականացված չամոնցման դեպքի հետ: Ցածր խոնավացման դեպքում տատանումների ժամանակաշրջանի աճը շատ աննշան է: Այնուամենայնիվ, ուժեղ խոնավացման դեպքում ընդհանրապես տատանումներ չեն կարող լինել. լիցքավորված կոնդենսատորը պարբերաբար լիցքաթափվելու է, այսինքն՝ առանց միացումում հոսանքի ուղղությունը փոխելու: Այսպիսով, դա կլինի, այսինքն

Ճշգրիտ լուծում. Վերևում ձևակերպված խոնավ տատանումների օրինաչափությունները բխում են դիֆերենցիալ հավասարման ճշգրիտ լուծումից (16): Ուղղակի փոխարինմամբ կարելի է ստուգել, ​​որ այն ունի ձևը

որտեղ կան կամայական հաստատուններ, որոնց արժեքները որոշվում են սկզբնական պայմաններից: Ցածր ամորտիզացիայի դեպքում կոսինուսի բազմապատկիչը կարող է դիտվել որպես դանդաղ տատանվող տատանումների ամպլիտուդ:

Առաջադրանք

Կոնդենսատորների լիցքավորում ինդուկտորով: Շղթայում, որի դիագրամը ներկայացված է Նկ. 161, վերին կոնդենսատորի լիցքը հավասար է, իսկ ստորինը լիցքավորված չէ: Այս պահին բանալին փակ է։ Գտեք վերին կոնդենսատորի լիցքի և կծիկի հոսանքի ժամանակային կախվածությունը:

Բրինձ. 161. Ժամանակի սկզբնական պահին լիցքավորվում է միայն մեկ կոնդենսատոր

Բրինձ. 162. Կոնդենսատորների և հոսանքի լիցքերը շղթայում բանալին փակելուց հետո

Բրինձ. 163. Մեխանիկական անալոգիա էլեկտրական շղթայի համար, որը ներկայացված է նկ. 162

Լուծում. Բանալին փակելուց հետո շղթայում տեղի են ունենում տատանումներ. վերին կոնդենսատորը սկսում է լիցքաթափվել կծիկի միջով, մինչդեռ լիցքավորում է ստորինը. ապա ամեն ինչ տեղի է ունենում հակառակ ուղղությամբ: Թող, օրինակ, ժամը , կոնդենսատորի վերին թիթեղը դրական լիցքավորված լինի: Հետո

կարճ ժամանակ անց կոնդենսատորի թիթեղների լիցքավորման նշանները և հոսանքի ուղղությունը կլինեն այնպես, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 162. Նշեք վերին և ստորին կոնդենսատորների այն թիթեղների լիցքերով, որոնք փոխկապակցված են ինդուկտորով։ Պահպանության օրենքի հիման վրա էլեկտրական լիցք

Փակ շղթայի բոլոր տարրերի լարումների գումարը ժամանակի յուրաքանչյուր պահին հավասար է զրոյի.

Կոնդենսատորի վրա լարման նշանը համապատասխանում է լիցքերի բաշխմանը նկ. 162. եւ հոսանքի նշված ուղղությունը. Կծիկի միջով հոսանքի արտահայտությունը կարող է գրվել երկու ձևերից որևէ մեկով.

Եկեք բացառենք հավասարումից՝ օգտագործելով (22) և (24) հարաբերությունները.

Ներկայացնում ենք նշումը

մենք վերագրում ենք (25) հետևյալ ձևով.

Եթե ​​ֆունկցիան ներմուծելու փոխարեն

և հաշվի առեք, որ (27) ձևը վերցնում է

Սա չխոնավ ներդաշնակ տատանումների սովորական հավասարումն է, որն ունի լուծում

որտեղ և կամայական հաստատուններ են:

Վերադառնալով ֆունկցիայից՝ մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը վերին կոնդենսատորի լիցքավորման ժամանակից կախվածության համար.

հաստատունները և a-ն որոշելու համար մենք հաշվի ենք առնում, որ սկզբնական պահին լիցքավորումը հոսանք է (24) և (31)-ից ընթացիկ ուժի համար մենք ունենք.

Քանի որ այստեղից հետևում է, որ փոխարինելով այժմ և հաշվի առնելով, որ մենք ստանում ենք

Այսպիսով, լիցքի և ընթացիկ ուժի արտահայտություններն են

Լիցքի և հոսանքի տատանումների բնույթը հատկապես ակնհայտ է, երբ նույն արժեքներըկոնդենսատորների հզորություններ. Այս դեպքում

Վերին կոնդենսատորի լիցքը տատանվում է մոտավորապես միջին արժեքի ամպլիտուդով, որը հավասար է տատանման ժամանակաշրջանի կեսին, այն սկզբնական պահին առավելագույն արժեքից նվազում է մինչև զրոյի, երբ ամբողջ լիցքը գտնվում է ստորին կոնդենսատորի վրա:

Արտահայտությունը (26) տատանումների հաճախականության համար, իհարկե, կարող էր անմիջապես գրվել, քանի որ դիտարկվող շղթայում կոնդենսատորները միացված են շարքով: Այնուամենայնիվ, դժվար է ուղղակիորեն գրել արտահայտությունները (34), քանի որ նման սկզբնական պայմաններում անհնար է փոխարինել միացումում ներառված կոնդենսատորները մեկ համարժեքով:

Այստեղ տեղի ունեցող գործընթացների տեսողական պատկերը տրված է այս էլեկտրական շղթայի մեխանիկական անալոգով, որը ցույց է տրված Նկ. 163. Նույնական աղբյուրները համապատասխանում են նույն հզորության կոնդենսատորների գործին: Սկզբնական պահին ձախ գարունը սեղմվում է, որը համապատասխանում է լիցքավորված կոնդենսատորին, իսկ աջը գտնվում է չդեֆորմացված վիճակում, քանի որ աղբյուրի դեֆորմացիայի աստիճանը ծառայում է որպես կոնդենսատորի լիցքի անալոգ։ Միջին դիրքով անցնելիս երկու զսպանակները մասամբ սեղմվում են, իսկ ծայրահեղ աջ դիրքում ձախ զսպանակը չի դեֆորմացվում, իսկ աջը սեղմվում է այնպես, ինչպես ձախը սկզբնական պահին, որը համապատասխանում է. լիցքավորման ամբողջական հոսքը մի կոնդենսատորից մյուսը: Չնայած գնդակը կատարում է սովորական ներդաշնակ տատանումներ հավասարակշռության դիրքի շուրջ, աղբյուրներից յուրաքանչյուրի դեֆորմացիան նկարագրվում է մի ֆունկցիայով, որի միջին արժեքը տարբերվում է զրոյից:

Ի տարբերություն մեկ կոնդենսատորով տատանվող շղթայի, որտեղ տատանումների ժամանակ տեղի է ունենում դրա կրկնվող լրիվ վերալիցքավորումը, դիտարկված համակարգում սկզբնական լիցքավորված կոնդենսատորն ամբողջությամբ չի լիցքավորվում: Օրինակ, երբ դրա լիցքը նվազում է մինչև զրոյի, և այնուհետև նորից վերականգնվում է նույն բևեռականությամբ: Հակառակ դեպքում, այս տատանումները չեն տարբերվում սովորական շղթայի ներդաշնակ տատանումներից: Այս տատանումների էներգիան պահպանվում է, եթե, իհարկե, կարելի է անտեսել կծիկի և միացնող լարերի դիմադրությունը։

Բացատրեք, թե ինչու մեխանիկական և էլեկտրամագնիսական էներգիաների (1) և (2) բանաձևերի համեմատությունից եզրակացվեց, որ կոշտության անալոգը k է, իսկ զանգվածի անալոգը ինդուկտիվությունն է և ոչ հակառակը:

Հիմնավորե՛ք (4) արտահայտությունը շղթայում էլեկտրամագնիսական տատանումների բնական հաճախականության ստացումը մեխանիկական զսպանակ տատանիչի անալոգիայից:

Շղթայում ներդաշնակ տատանումները բնութագրվում են ամպլիտուդով, հաճախականությամբ, ժամանակաշրջանով, տատանումների փուլով, սկզբնական փուլով: Այս մեծություններից որո՞նք են որոշվում բուն տատանողական շղթայի հատկություններով, և որո՞նք են կախված տատանումների գրգռման եղանակից։

Ապացուցեք, որ էլեկտրական և մագնիսական էներգիաների միջին արժեքները շղթայում բնական տատանումների ժամանակ հավասար են միմյանց և կազմում են տատանումների ընդհանուր էլեկտրամագնիսական էներգիայի կեսը:

Ինչպե՞ս կիրառել քվազի-ստացիոնար երևույթների օրենքները էլեկտրական շղթայում, որպեսզի ստացվի դիֆերենցիալ հավասարում (12) շղթայում ներդաշնակ տատանումների համար:

Ո՞ր դիֆերենցիալ հավասարմանը է բավարարում LC շղթայի հոսանքը:

Ստացրե՛ք հավասարումը ցածր խոնավացման ժամանակ թրթռումների էներգիայի նվազման արագության համար, ինչպես դա արվեց արագությանը համաչափ շփում ունեցող մեխանիկական տատանվողի համար, և ցույց տվեք, որ տատանումների ժամանակաշրջանը զգալիորեն գերազանցող ժամանակային ընդմիջումների դեպքում այդ նվազումը տեղի է ունենում։ ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի։ Ի՞նչ է նշանակում այստեղ օգտագործվող «փոքր թուլացում» տերմինը:

Ցույց տվեք, որ (21) բանաձևով տրված ֆունկցիան բավարարում է (16) հավասարումը և a-ի ցանկացած արժեքի համար:

Դիտարկենք Նկարում ներկայացված մեխանիկական համակարգը: 163, և գտի՛ր կախվածությունը ձախ զսպանակի դեֆորմացիայի ժամանակից և զանգվածային մարմնի արագությունից:

Օղակ առանց դիմադրության անխուսափելի կորուստներով:Վերոնշյալ խնդրի մեջ, չնայած կոնդենսատորների լիցքավորման ոչ այնքան սովորական սկզբնական պայմաններին, հնարավոր եղավ կիրառել էլեկտրական սխեմաների սովորական հավասարումները, քանի որ այնտեղ բավարարված էին ընթացիկ գործընթացների քվազի-ստացիոնարության պայմանները: Բայց միացումում, որի դիագրամը ցույց է տրված Նկ. 164, պաշտոնական արտաքին նմանությամբ նկ. 162, քվազի-ստացիոնարության պայմանները չեն բավարարվում, եթե սկզբնական պահին լիցքավորվում է մեկ կոնդենսատոր, իսկ երկրորդը՝ ոչ։

Ավելի մանրամասն քննարկենք այն պատճառները, թե ինչու են այստեղ խախտվում քվազիստացիոնարության պայմանները։ Փակվելուց անմիջապես հետո

Բրինձ. 164. Էլեկտրական շղթա, որի համար նախատեսված չեն քվազիստացիոնության պայմանները

Հիմնական բանն այն է, որ բոլոր գործընթացները կատարվում են միայն փոխկապակցված կոնդենսատորներում, քանի որ ինդուկտորով հոսանքի աճը համեմատաբար դանդաղ է, և սկզբում հոսանքի ճյուղավորումը կծիկի մեջ կարելի է անտեսել:

Երբ բանալին փակ է, արագ խոնավ տատանումներ են տեղի ունենում մի շղթայում, որը բաղկացած է կոնդենսատորներից և դրանք միացնող լարերից: Նման տատանումների ժամանակահատվածը շատ փոքր է, քանի որ միացնող լարերի ինդուկտիվությունը փոքր է: Այս տատանումների արդյունքում կոնդենսատորի թիթեղների լիցքը վերաբաշխվում է, որից հետո երկու կոնդենսատորները կարելի է համարել մեկ։ Բայց առաջին պահին դա հնարավոր չէ անել, քանի որ լիցքերի վերաբաշխմանը զուգահեռ տեղի է ունենում նաեւ էներգիայի վերաբաշխում, որի մի մասը գնում է ջերմության։

Արագ տատանումների մարումից հետո համակարգում տեղի են ունենում տատանումներ, ինչպես մեկ հզորությամբ կոնդենսատորով շղթայում, որի լիցքը սկզբնական պահին հավասար է կոնդենսատորի սկզբնական լիցքին: Վերոնշյալ պատճառաբանության վավերականության պայմանն է. միացնող լարերի ինդուկտիվության փոքրությունը կծիկի ինդուկտիվության համեմատ:

Ինչպես դիտարկված խնդրի դեպքում, այստեղ նույնպես օգտակար է գտնել մեխանիկական անալոգիա։ Եթե ​​այնտեղ կոնդենսատորներին համապատասխանող երկու աղբյուրները տեղակայված են եղել զանգվածային մարմնի երկու կողմերում, ապա այստեղ դրանք պետք է տեղակայվեն նրա մի կողմում, որպեսզի դրանցից մեկի թրթռումները փոխանցվեն մյուսին, երբ մարմինը գտնվում է անշարժ վիճակում։ Երկու աղբյուրների փոխարեն կարող եք վերցնել մեկը, բայց միայն սկզբնական պահին այն պետք է անհամասեռ դեֆորմացվի։

Մենք բռնում ենք զսպանակը մեջտեղից և որոշ հեռավորության վրա ձգում ենք նրա ձախ կեսը, զսպանակի երկրորդ կեսը կմնա չդեֆորմացված վիճակում, այնպես, որ բեռը սկզբնական պահին հավասարակշռության դիրքից հեռավորությամբ տեղափոխվի աջ և հանգստանում է. Հետո թողնենք գարունը։ Ի՞նչ հատկանիշներ կառաջացնեն այն փաստը, որ սկզբնական պահին զսպանակը անհամասեռ դեֆորմացվում է։ քանի որ, ինչպես հեշտ է նկատել, զսպանակի «կես»-ի կոշտությունն այն է, եթե զսպանակի զանգվածը փոքր է գնդակի զանգվածի համեմատ, ապա զսպանակի բնական հաճախականությունը որպես ընդլայնված համակարգ շատ ավելի մեծ է, քան գնդակի հաճախականությունը զսպանակի վրա: Այս «արագ» տատանումները կմարեն այն ժամանակում, որը գնդակի տատանումների ժամանակաշրջանի մի փոքր մասն է: Արագ տատանումների թուլացումից հետո գարնանային լարվածությունը վերաբաշխվում է, և բեռի տեղաշարժը մնում է գործնականում նույնը, քանի որ բեռը ժամանակ չունի նկատելիորեն շարժվել այս ընթացքում: Աղբյուրի դեֆորմացիան դառնում է միատեսակ, իսկ համակարգի էներգիան հավասար է

Այսպիսով, աղբյուրի արագ տատանումների դերը կրճատվել է նրանով, որ համակարգի էներգիայի պաշարը նվազել է այն արժեքին, որը համապատասխանում է աղբյուրի միատեսակ սկզբնական դեֆորմացմանը: Հասկանալի է, որ համակարգում հետագա գործընթացները չեն տարբերվում միատարր սկզբնական դեֆորմացիայի դեպքից։ Բեռի տեղաշարժի կախվածությունը ժամանակից արտահայտվում է նույն բանաձևով (36):

Դիտարկված օրինակում արագ տատանումների արդյունքում այն ​​վերածվել է ներքին էներգիա(ջերմության մեջ) մեխանիկական էներգիայի սկզբնական մատակարարման կեսը։ Հասկանալի է, որ սկզբնական դեֆորմացիան ենթարկելով ոչ թե կիսով չափ, այլ զսպանակի կամայական մասի, հնարավոր է մեխանիկական էներգիայի սկզբնական մատակարարման ցանկացած մասը վերածել ներքին էներգիայի։ Բայց բոլոր դեպքերում աղբյուրի վրա բեռի թրթռումների էներգիան համապատասխանում է աղբյուրի նույն միասնական սկզբնական դեֆորմացման էներգիայի պաշարին։

Էլեկտրական շղթայում, խոնավ արագ տատանումների արդյունքում, լիցքավորված կոնդենսատորի էներգիան մասամբ ազատվում է միացնող լարերում Ջոուլի ջերմության տեսքով։ Հավասար հզորությունների դեպքում սա կկազմի սկզբնական էներգիայի պաշարի կեսը։ Մյուս կեսը մնում է համեմատաբար դանդաղ էլեկտրամագնիսական տատանումների էներգիայի տեսքով, որը բաղկացած է կծիկից և երկու C կոնդենսատորներից, որոնք զուգահեռաբար միացված են, և

Այսպիսով, այս համակարգում սկզբունքորեն անընդունելի է իդեալականացումը, որի դեպքում անտեսվում է տատանումների էներգիայի ցրումը։ Դրա պատճառն այն է, որ այստեղ հնարավոր են արագ տատանումներ՝ չազդելով նմանատիպ մեխանիկական համակարգի ինդուկտորների կամ զանգվածային մարմնի վրա։

Ոչ գծային տարրերով տատանողական շղթա:Մեխանիկական թրթռումները ուսումնասիրելիս մենք տեսանք, որ թրթռումները ոչ մի դեպքում միշտ ներդաշնակ չեն: Հարմոնիկ թրթիռներն են բնորոշ հատկություն գծային համակարգեր, որի մեջ

վերականգնող ուժը համաչափ է հավասարակշռության դիրքից շեղմանը, իսկ պոտենցիալ էներգիան համաչափ է շեղման քառակուսուն։ Իրական մեխանիկական համակարգերը, որպես կանոն, չունեն այդ հատկությունները, և դրանցում տատանումները կարելի է ներդաշնակ համարել միայն հավասարակշռության դիրքից փոքր շեղումների դեպքում։

Շղթայում էլեկտրամագնիսական տատանումների դեպքում կարող է տպավորություն ստեղծվել, որ գործ ունենք իդեալական համակարգերի հետ, որոնցում տատանումները խիստ ներդաշնակ են։ Այնուամենայնիվ, դա ճիշտ է միայն այնքան ժամանակ, քանի դեռ կոնդենսատորի հզորությունը և կծիկի ինդուկտիվությունը կարելի է համարել հաստատուն, այսինքն՝ անկախ լիցքից և հոսանքից: Դիէլեկտրիկով կոնդենսատորը և միջուկով կծիկը, խիստ ասած, ոչ գծային տարրեր են։ Երբ կոնդենսատորը լցված է ֆերոէլեկտրիկով, այսինքն՝ նյութով, որի դիէլեկտրական հաստատունը մեծապես կախված է կիրառական էլեկտրական դաշտից, կոնդենսատորի հզորությունն այլևս չի կարող հաստատուն համարվել: Նմանապես, ֆերոմագնիսական միջուկով կծիկի ինդուկտիվությունը կախված է հոսանքի ուժից, քանի որ ֆերոմագնիսն ունի մագնիսական հագեցվածության հատկություն։

Եթե ​​մեխանիկական տատանողական համակարգերում զանգվածը, որպես կանոն, կարելի է համարել հաստատուն, իսկ ոչ գծայինությունը առաջանում է միայն գործող ուժի ոչ գծային բնույթի պատճառով, ապա էլեկտրամագնիսական տատանողական շղթայում ոչ գծայինությունը կարող է առաջանալ և՛ կոնդենսատորի շնորհիվ, և՛ առաձգականի անալոգային: զսպանակ) և ինդուկտորի շնորհիվ (զանգվածային անալոգային):

Ինչո՞ւ է իդեալականացումն անկիրառելի երկու զուգահեռ կոնդենսատորներով տատանվող շղթայի համար (նկ. 164), որտեղ համակարգը համարվում է պահպանողական:

Ինչու են արագ տատանումները հանգեցնում շղթայում տատանումների էներգիայի ցրմանը Նկ. 164-ը չի առաջացել նկ. 162?

Ի՞նչ պատճառներ կարող են հանգեցնել շղթայում էլեկտրամագնիսական տատանումների ոչ սինուսոիդայնության:

Էլեկտրական տատանումների շղթան էլեկտրամագնիսական տատանումների գրգռման և պահպանման համակարգ է։ Իր ամենապարզ ձևով սա մի շղթա է, որը բաղկացած է L ինդուկտիվությամբ կծիկից, C հզորությամբ կոնդենսատորից և շարքով միացված R դիմադրությամբ (նկ. 129): Երբ անջատիչը P-ը դրված է 1-ին դիրքում, C կոնդենսատորը լիցքավորվում է մինչև լարման U Տ. Այս դեպքում կոնդենսատորի թիթեղների միջև ձևավորվում է էլեկտրական դաշտ, որի առավելագույն էներգիան հավասար է

Երբ անջատիչը տեղափոխվում է 2-րդ դիրք, շղթան փակվում է և դրանում տեղի են ունենում հետևյալ գործընթացները. Կոնդենսատորը սկսում է լիցքաթափվել, և հոսանքը հոսում է միացումով ես, որի արժեքը զրոյից հասնում է առավելագույն արժեքի և այնուհետև նորից նվազում է զրոյի: Քանի որ միացումում հոսում է փոփոխական հոսանք, կծիկի մեջ առաջանում է EMF, որը խանգարում է կոնդենսատորի լիցքաթափմանը: Հետեւաբար, կոնդենսատորի լիցքաթափման գործընթացը տեղի է ունենում ոչ թե ակնթարթորեն, այլ աստիճանաբար: Կծիկի մեջ հոսանքի հայտնվելու արդյունքում առաջանում է մագնիսական դաշտ, որի էներգիան է
հասնում է իր առավելագույն արժեքին հավասար հոսանքի դեպքում . Մագնիսական դաշտի առավելագույն էներգիան հավասար կլինի

Առավելագույն արժեքին հասնելուց հետո միացումում հոսանքը կսկսի նվազել: Այս դեպքում կոնդենսատորը կվերալիցքավորվի, կծիկի մեջ մագնիսական դաշտի էներգիան կնվազի, իսկ կոնդենսատորում էլեկտրական դաշտի էներգիան կաճի։ Առավելագույն արժեքին հասնելուց հետո: Գործընթացը կսկսի կրկնվել, և շղթայում տեղի են ունենում էլեկտրական և մագնիսական դաշտերի տատանումներ: Եթե ​​ենթադրենք, որ դիմադրությունը
(այսինքն՝ ջեռուցման վրա էներգիա չի ծախսվում), ապա էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն՝ ընդհանուր էներգիան. Վմնում է հաստատուն

Եվ
;
.

Շղթան, որտեղ էներգիայի կորուստ չկա, կոչվում է իդեալական: Շղթայում լարումը և հոսանքը փոխվում են ներդաշնակության օրենքի համաձայն

;

որտեղ - շրջանաձև (ցիկլային) տատանումների հաճախականություն
.

Շրջանաձև հաճախականությունը կապված է տատանումների հաճախականության հետ և տատանումների ժամանակաշրջանների T հարաբերակցությունը:

Հ և թզ. 130 ցույց է տալիս լարման U և հոսանքի I գրաֆիկները իդեալական տատանողական շղթայի կծիկում: Կարելի է տեսնել, որ ընթացիկ ուժը զիջում է լարման փուլին .

;
;
- Թոմսոնի բանաձեւը.

Այն դեպքում, երբ դիմադրությունը
, Թոմսոնի բանաձեւն ընդունում է ձեւը

.

Մաքսվելի տեսության հիմունքները

Մաքսվելի տեսությունը լիցքերի և հոսանքների կամայական համակարգով ստեղծված մեկ էլեկտրամագնիսական դաշտի տեսությունն է։ Տեսականորեն լուծված է էլեկտրադինամիկայի հիմնական խնդիրը՝ ըստ լիցքերի և հոսանքների տրված բաշխման՝ հայտնաբերվում են դրանց կողմից ստեղծված էլեկտրական և մագնիսական դաշտերի բնութագրերը։ Մաքսվելի տեսությունը էլեկտրական և էլեկտրամագնիսական երևույթները նկարագրող ամենակարևոր օրենքների ընդհանրացումն է՝ Օստրոգրադսկի-Գաուսի թեորեմը էլեկտրական և մագնիսական դաշտերի համար, ընդհանուր հոսանքի օրենքը, օրենքը։ էլեկտրամագնիսական ինդուկցիաև էլեկտրական դաշտի ուժգնության վեկտորի շրջանառության թեորեմներ։ Մաքսվելի տեսությունն իր բնույթով ֆենոմենոլոգիական է, այսինքն. այն չի դիտարկում շրջակա միջավայրում տեղի ունեցող երևույթների ներքին մեխանիզմը և առաջացնելով տեսքըէլեկտրական և մագնիսական դաշտեր. Մաքսվելի տեսության մեջ միջավայրը նկարագրվում է՝ օգտագործելով երեք բնութագրեր՝ դիէլեկտրական ε և մագնիսական μ միջավայրի թափանցելիություն և էլեկտրական հաղորդունակություն γ։

Էլեկտրական տատանումները հասկացվում են որպես լիցքավորման, հոսանքի և լարման պարբերական փոփոխություններ: Ամենապարզ համակարգը, որտեղ հնարավոր են ազատ էլեկտրական տատանումներ, այսպես կոչված տատանողական միացումն է։ Սա սարք է, որը բաղկացած է կոնդենսատորից և միմյանց միացված կծիկից։ Մենք կենթադրենք, որ կծիկի ակտիվ դիմադրություն չկա, այս դեպքում շղթան կոչվում է իդեալական։ Երբ էներգիան փոխանցվում է այս համակարգին, դրա մեջ տեղի կունենան լիցքի չխաթարված ներդաշնակ տատանումներ կոնդենսատորի, լարման և հոսանքի վրա:

Հնարավոր է տեղեկացնել էներգիայի տատանողական շղթային տարբեր ճանապարհներ. Օրինակ՝ աղբյուրից կոնդենսատորը լիցքավորելու միջոցով ուղղակի հոսանքկամ գրգռման հոսանքը ինդուկտորում: Առաջին դեպքում էլեկտրական դաշտը կոնդենսատորի թիթեղների միջև էներգիա ունի: Երկրորդում էներգիան պարունակվում է շղթայի միջով անցնող հոսանքի մագնիսական դաշտում։

§1 Շղթայի տատանումների հավասարումը

Եկեք ապացուցենք, որ երբ էներգիան փոխանցվում է շղթային, դրա մեջ տեղի կունենան չխոնավ ներդաշնակ տատանումներ: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ստանալ ձևի ներդաշնակ տատանումների դիֆերենցիալ հավասարում:

Ենթադրենք, կոնդենսատորը լիցքավորված է և փակ է կծիկի համար: Կոնդենսատորը կսկսի լիցքաթափվել, հոսանքը կհոսի կծիկի միջով: Ըստ Կիրխհոֆի երկրորդ օրենքի՝ փակ շղթայի երկայնքով լարման անկումների գումարը հավասար է այս շղթայի EMF-ի գումարին։ .

Մեր դեպքում լարման անկումը պայմանավորված է նրանով, որ շղթան իդեալական է: Կոնդենսատորը միացումում իրեն պահում է հոսանքի աղբյուրի նման, կոնդենսատորի թիթեղների միջև պոտենցիալ տարբերությունը գործում է որպես EMF, որտեղ կոնդենսատորի լիցքը գտնվում է, կոնդենսատորի հզորությունն է: Բացի այդ, երբ կծիկի միջով փոփոխվող հոսանք է հոսում, դրանում առաջանում է ինքնաինդուկցիայի EMF, որտեղ գտնվում է կծիկի ինդուկտիվությունը, կծիկի հոսանքի փոփոխության արագությունն է: Քանի որ ինքնահոսքի EMF-ն կանխում է կոնդենսատորի լիցքաթափման գործընթացը, Կիրխհոֆի երկրորդ օրենքը ձև է ստանում.

Բայց միացումում հոսանքը կոնդենսատորի լիցքաթափման կամ լիցքավորման հոսանքն է, հետևաբար: Հետո

Դիֆերենցիալ հավասարումը վերածվում է ձևի

Ներկայացնելով նշումը, մենք ստանում ենք ներդաշնակ տատանումների հայտնի դիֆերենցիալ հավասարումը:

Սա նշանակում է, որ տատանողական շղթայում կոնդենսատորի լիցքը կփոխվի ներդաշնակության օրենքի համաձայն

որտեղ է կոնդենսատորի լիցքի առավելագույն արժեքը, ցիկլային հաճախականությունն է, տատանումների սկզբնական փուլն է:

Լիցքավորման տատանումների ժամանակաշրջան . Այս արտահայտությունը կոչվում է Թոմփսոնի բանաձև։

Կոնդենսատորի լարումը

Միացման հոսանք

Մենք տեսնում ենք, որ բացի կոնդենսատորի լիցքից, ներդաշնակության օրենքի համաձայն, կփոխվի նաև հոսանքը շղթայում և լարումը կոնդենսատորի վրա։ Լարումը տատանվում է լիցքավորման հետ մեկ փուլ, և հոսանքը առաջ է լիցքավորման մեջ

փուլը .

Կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիա

Մագնիսական դաշտի հոսանքի էներգիան

Այսպիսով, էլեկտրական և մագնիսական դաշտերի էներգիաները նույնպես փոխվում են ներդաշնակ օրենքի համաձայն, բայց կրկնապատկված հաճախականությամբ։

Ամփոփել

Էլեկտրական տատանումները պետք է հասկանալ որպես լիցքավորման, լարման, հոսանքի ուժի, էլեկտրական դաշտի էներգիայի, մագնիսական դաշտի էներգիայի պարբերական փոփոխություններ: Այս տատանումները, ինչպես մեխանիկականները, կարող են լինել և՛ ազատ, և՛ հարկադիր, ներդաշնակ և ոչ ներդաշնակ: Իդեալական տատանողական շղթայում հնարավոր են ազատ ներդաշնակ էլեկտրական տատանումներ։

§2 Տատանվող միացումում տեղի ունեցող գործընթացներ

Մենք մաթեմատիկորեն ապացուցեցինք ազատ ներդաշնակ տատանումների գոյությունը տատանողական շղթայում։ Սակայն անհասկանալի է մնում, թե ինչու է հնարավոր նման գործընթաց։ Ինչն է առաջացնում տատանումներ շղթայում:

Ազատ մեխանիկական թրթռումների դեպքում նման պատճառ է հայտնաբերվել՝ սա է ներքին ուժ, որն առաջանում է, երբ համակարգը դուրս է գալիս հավասարակշռությունից։ Այս ուժը ցանկացած պահի ուղղված է հավասարակշռության դիրքին և համաչափ է մարմնի կոորդինատին (մինուս նշանով): Փորձենք գտնել տատանումների առաջացման նմանատիպ պատճառ տատանումների շղթայում։

Թող շղթայում տատանումները գրգռվեն՝ լիցքավորելով կոնդենսատորը և փակելով այն կծիկի վրա:

Ժամանակի սկզբնական պահին կոնդենսատորի լիցքը առավելագույնն է: Հետեւաբար, կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի լարումն ու էներգիան նույնպես առավելագույնն են։

Շղթայում հոսանք չկա, հոսանքի մագնիսական դաշտի էներգիան զրո է։

ժամանակաշրջանի առաջին եռամսյակ- կոնդենսատորի լիցքաթափում:

Կոնդենսատորի թիթեղները, ունենալով տարբեր պոտենցիալ, միացված են հաղորդիչով, ուստի կոնդենսատորը սկսում է լիցքաթափվել կծիկի միջով: Լիցքը, կոնդենսատորի լարումը և էլեկտրական դաշտի էներգիան նվազում են։

Շղթայում հայտնված հոսանքը մեծանում է, սակայն դրա աճը կանխվում է կծիկի մեջ առաջացող ինքնաինդուկցիոն EMF-ով: Հոսանքի մագնիսական դաշտի էներգիան մեծանում է։

Անցել է մեկ քառորդ- կոնդենսատորը լիցքաթափված է:

Կոնդենսատորը լիցքաթափվեց, դրա վրա լարումը հավասարվեց զրոյի: Էլեկտրական դաշտի էներգիան այս պահին նույնպես հավասար է զրոյի։ Ըստ էներգիայի պահպանման օրենքի՝ այն չէր կարող անհետանալ։ Կոնդենսատորի դաշտի էներգիան ամբողջությամբ վերածվել է կծիկի մագնիսական դաշտի էներգիայի, որն այս պահին հասնում է իր առավելագույն արժեքին։ Առավելագույն հոսանքը շղթայում:

Թվում է, թե այս պահին շղթայում հոսանքը պետք է դադարի, քանի որ հոսանքի պատճառը՝ էլեկտրական դաշտը, անհետացել է։ Այնուամենայնիվ, հոսանքի անհետացումը կրկին կանխվում է կծիկի մեջ ինքնահոսքի EMF-ով: Այժմ այն ​​կպահպանի նվազող հոսանքը, և այն կշարունակի հոսել նույն ուղղությամբ՝ լիցքավորելով կոնդենսատորը։ Սկսվում է ժամանակաշրջանի երկրորդ քառորդը։

ժամանակաշրջանի երկրորդ եռամսյակ - Կոնդենսատորի լիցքավորում:

Ինքնասինդուկցիոն EMF-ով աջակցվող հոսանքը շարունակում է հոսել նույն ուղղությամբ՝ աստիճանաբար նվազելով: Այս հոսանքը լիցքավորում է կոնդենսատորը հակառակ բևեռականությամբ: Կոնդենսատորի վրա լիցքավորումը և լարումը մեծանում են:

Հոսանքի մագնիսական դաշտի էներգիան, նվազելով, անցնում է կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիայի մեջ։

Ժամանակահատվածի երկրորդ քառորդն անցել է. կոնդենսատորը լիցքավորվել է:

Կոնդենսատորը լիցքավորվում է այնքան ժամանակ, քանի դեռ կա հոսանք: Հետևաբար, այն պահին, երբ հոսանքը դադարում է, կոնդենսատորի լիցքը և լարումը ստանում են առավելագույն արժեք:

Մագնիսական դաշտի էներգիան այս պահին ամբողջությամբ վերածվել է կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիայի։

Իրավիճակը շղթայում այս պահին համարժեք է սկզբնականին։ Շղթայում գործընթացները կկրկնվեն, բայց հակառակ ուղղությամբ։ Շղթայում մեկ ամբողջական տատանում, որը տևում է որոշակի ժամանակահատված, կավարտվի, երբ համակարգը վերադառնա իր սկզբնական վիճակին, այսինքն, երբ կոնդենսատորը լիցքավորվի իր սկզբնական բևեռականությամբ:

Հեշտ է նկատել, որ շղթայում տատանումների պատճառը ինքնահոսքի ֆենոմենն է։ Ինքնասինդուկցիայի EMF-ը կանխում է հոսանքի փոփոխությունը. այն թույլ չի տալիս, որ այն ակնթարթորեն մեծանա և ակնթարթորեն անհետանա:

Ի դեպ, ավելորդ չի լինի համեմատել մեխանիկական տատանողական համակարգում քվազի-առաձգական ուժի հաշվարկման արտահայտությունները և շղթայում ինքնաինդուկցիայի EMF-ը.

Նախկինում դիֆերենցիալ հավասարումներ են ստացվել մեխանիկական և էլեկտրական տատանողական համակարգերի համար.

Չնայած հիմնարար տարբերություններ ֆիզիկական գործընթացներՄեխանիկական և էլեկտրական տատանողական համակարգերի համար հստակ տեսանելի է այս համակարգերի գործընթացները նկարագրող հավասարումների մաթեմատիկական նույնականությունը: Սա պետք է ավելի մանրամասն քննարկվի:

§3 Էլեկտրական և մեխանիկական թրթռումների անալոգիա

Զսպանակային ճոճանակի և տատանողական սխեմայի դիֆերենցիալ հավասարումների մանրակրկիտ վերլուծությունը, ինչպես նաև այս համակարգերում գործընթացները բնութագրող քանակություններին առնչվող բանաձևերը հնարավորություն են տալիս պարզել, թե որ քանակություններն են վարվում նույն կերպ (Աղյուսակ 2):

Գարնանային ճոճանակ	Տատանողական միացում
Մարմնի կոորդինատ ()	Լիցքավորում կոնդենսատորի վրա ()
մարմնի արագությունը	Օղակի հոսանք
Առաձգականորեն դեֆորմացված աղբյուրի պոտենցիալ էներգիա	Կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիա
Բեռի կինետիկ էներգիա	Կծիկի մագնիսական դաշտի էներգիան հոսանքի հետ
Զսպանակի կոշտության փոխադարձությունը	Կոնդենսատորի հզորությունը
Բեռի քաշը	Կծիկի ինդուկտիվություն
Էլաստիկ ուժ	Ինքնահոսքի EMF, որը հավասար է կոնդենսատորի լարմանը

աղյուսակ 2

Կարևոր է ոչ միայն ֆորմալ նմանությունը ճոճանակի տատանումների գործընթացները նկարագրող մեծությունների և միացումում տեղի ունեցող գործընթացների միջև: Գործընթացներն իրենք նույնական են:

Ճոճանակի ծայրահեղ դիրքերը համարժեք են շղթայի վիճակին, երբ կոնդենսատորի լիցքը առավելագույնն է:

Ճոճանակի հավասարակշռության դիրքը համարժեք է միացման վիճակին, երբ կոնդենսատորը լիցքաթափվում է: Այս պահին առաձգական ուժը անհետանում է, և միացումում կոնդենսատորի վրա լարում չկա: Ճոճանակի արագությունը և հոսանքը շղթայում առավելագույնն են: Զսպանակի առաձգական դեֆորմացիայի պոտենցիալ էներգիան և կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիան հավասար են զրոյի։ Համակարգի էներգիան բաղկացած է բեռի կինետիկ էներգիայից կամ հոսանքի մագնիսական դաշտի էներգիայից։

Կոնդենսատորի լիցքաթափումն ընթանում է այնպես, ինչպես ճոճանակի շարժումը ծայրահեղ դիրքհավասարակշռության դիրքի: Կոնդենսատորի վերալիցքավորման գործընթացը նույնական է բեռը հավասարակշռության դիրքից ծայրահեղ դիրք տեղափոխելու գործընթացին:

Տատանողական համակարգի ընդհանուր էներգիան կամ ժամանակի ընթացքում մնում է անփոփոխ։

Նմանատիպ անալոգիա կարելի է գտնել ոչ միայն զսպանակային ճոճանակի և տատանվող շղթայի միջև: Ցանկացած բնույթի ազատ տատանումների ընդհանուր օրինաչափություններ: Այս օրինաչափությունները, որոնք պատկերված են երկու տատանողական համակարգերի օրինակով (զսպանակային ճոճանակ և տատանվող միացում), ոչ միայն հնարավոր են, այլ պետք է տեսնել ցանկացած համակարգի թրթռումների մեջ:

Սկզբունքորեն հնարավոր է լուծել ցանկացած տատանողական պրոցեսի խնդիրը՝ այն փոխարինելով ճոճանակային տատանումներով։ Դա անելու համար բավական է գրագետ կերպով կառուցել համարժեք մեխանիկական համակարգ, լուծել մեխանիկական խնդիր և փոխել արժեքները վերջնական արդյունքում: Օրինակ, դուք պետք է գտնեք տատանումների շրջանը մի շղթայում, որը պարունակում է կոնդենսատոր և զուգահեռ միացված երկու պարույր:

Տատանողական սխեման պարունակում է մեկ կոնդենսատոր և երկու կծիկ: Քանի որ կծիկն իրեն պահում է զսպանակային ճոճանակի կշիռի պես, իսկ կոնդենսատորը զսպանակի պես, համարժեք մեխանիկական համակարգը պետք է պարունակի մեկ զսպանակ և երկու կշիռ: Ամբողջ խնդիրն այն է, թե ինչպես են կշիռները ամրացվում զսպանակին։ Հնարավոր է երկու դեպք՝ զսպանակի մի ծայրը ամրացված է, իսկ մեկ քաշը ամրացվում է ազատ ծայրին, երկրորդը՝ առաջինի վրա, կամ կշիռները ամրացվում են զսպանակի տարբեր ծայրերին։

ժամը զուգահեռ կապՆրանց միջով տարբեր ինդուկտիվ հոսանքների կծիկներ են հոսում տարբեր: Հետևաբար, նույնական մեխանիկական համակարգում բեռների արագությունները նույնպես պետք է տարբեր լինեն: Ակնհայտ է, որ դա հնարավոր է միայն երկրորդ դեպքում։

Մենք արդեն գտել ենք այս տատանողական համակարգի ժամանակաշրջանը։ Նա հավասար է . Կշիռների զանգվածները փոխարինելով կծիկների ինդուկտիվությամբ, իսկ զսպանակի կոշտության փոխադարձությունը՝ կոնդենսատորի հզորությամբ, մենք ստանում ենք. .

§4 Ուղիղ հոսանքի աղբյուրով տատանվող շղթա

Դիտարկենք ուղիղ հոսանքի աղբյուր պարունակող տատանողական միացում: Թող կոնդենսատորը սկզբում չլիցքավորվի: Ի՞նչ տեղի կունենա համակարգում K բանալին փակելուց հետո: Արդյո՞ք այս դեպքում տատանումներ կդիտվեն և որքա՞ն են դրանց հաճախականությունն ու ամպլիտուդը։

Ակնհայտ է, որ բանալին փակվելուց հետո կոնդենսատորը կսկսի լիցքավորվել: Մենք գրում ենք Կիրխհոֆի երկրորդ օրենքը.

Շղթայի հոսանքը կոնդենսատորի լիցքավորման հոսանքն է, հետևաբար: Հետո . Դիֆերենցիալ հավասարումը վերածվում է ձևի

*Հավասարումը լուծե՛ք փոփոխականների փոփոխությամբ։

Նշենք. Կրկնակի տարբերակում ենք և, հաշվի առնելով, որ ստանում ենք. Դիֆերենցիալ հավասարումը ձև է ստանում

Սա հարմոնիկ տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումն է, դրա լուծումը ֆունկցիան է

որտեղ է ցիկլային հաճախականությունը, ինտեգրման հաստատունները և հայտնաբերվում են սկզբնական պայմաններից:

Կոնդենսատորի լիցքավորումը փոխվում է ըստ օրենքի

Անջատիչի փակումից անմիջապես հետո լիցքավորումը կոնդենսատորի վրա զրոև շղթայում հոսանք չկա . Հաշվի առնելով նախնական պայմանները, մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ.

Համակարգը լուծելով՝ ստանում ենք և . Բանալին փակելուց հետո կոնդենսատորի լիցքը փոխվում է օրենքի համաձայն:

Հեշտ է տեսնել, որ ներդաշնակ տատանումները տեղի են ունենում միացումում: Շղթայում ուղղակի հոսանքի աղբյուրի առկայությունը չի ազդել տատանումների հաճախականության վրա, այն մնացել է հավասար: «Հավասարակշռության դիրքը» փոխվել է. այն պահին, երբ միացումում հոսանքը առավելագույն է, կոնդենսատորը լիցքավորվում է: Կոնդենսատորի վրա լիցքի տատանումների ամպլիտուդը հավասար է Cε-ի:

Նույն արդյունքը կարելի է ստանալ ավելի պարզ՝ օգտագործելով շղթայում տատանումների և զսպանակային ճոճանակի տատանումների անալոգիան: DC աղբյուրը համարժեք է DC-ին ուժային դաշտ, որի մեջ տեղադրված է զսպանակային ճոճանակ, օրինակ՝ գրավիտացիոն դաշտ։ Շղթայի փակման պահին կոնդենսատորի վրա լիցքի բացակայությունը նույնական է ճոճանակը ճոճվող շարժման մեջ բերելու պահին զսպանակի դեֆորմացիայի բացակայությանը։

Մշտական ​​ուժային դաշտում զսպանակային ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը չի փոխվում։ Շղթայում տատանումների ժամանակաշրջանը նույն կերպ է վարվում. այն մնում է անփոփոխ, երբ ուղղակի հոսանքի աղբյուրը ներմուծվում է միացում:

Հավասարակշռության դիրքում, երբ բեռի արագությունը առավելագույն է, զսպանակը դեֆորմացվում է.

Երբ հոսանքը տատանողական շղթայում առավելագույնն է . Կիրխհոֆի երկրորդ օրենքը գրված է հետևյալ կերպ

Այս պահին կոնդենսատորի լիցքը հավասար է նույն արդյունքը կարելի է ստանալ՝ հիմնվելով (*) արտահայտության վրա՝ փոխարինելով.

§5 Խնդիրների լուծման օրինակներ

Առաջադրանք 1Էներգիայի պահպանման օրենքը

Լ\u003d 0,5 μH և հզորությամբ կոնդենսատոր ԻՑ= 20 pF էլեկտրական տատանումներ են տեղի ունենում: Որքա՞ն է կոնդենսատորի վրա առավելագույն լարումը, եթե շղթայում հոսանքի ամպլիտուդը 1 մԱ է: Կծիկի ակտիվ դիմադրությունը աննշան է:

Լուծում:

(1)

2 Այն պահին, երբ կոնդենսատորի վրա լարումը առավելագույնն է (կոնդենսատորի առավելագույն լիցքավորումը), միացումում հոսանք չկա: Համակարգի ընդհանուր էներգիան բաղկացած է միայն կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիայից

(2)

3 Այն պահին, երբ շղթայում հոսանքը առավելագույն է, կոնդենսատորը լիովին լիցքաթափվում է: Համակարգի ընդհանուր էներգիան բաղկացած է միայն կծիկի մագնիսական դաշտի էներգիայից

(3)

4 Հիմնվելով (1), (2), (3) արտահայտությունների վրա՝ ստանում ենք հավասարությունը . Կոնդենսատորի վրա առավելագույն լարումն է

Առաջադրանք 2Էներգիայի պահպանման օրենքը

Ինդուկտիվ կծիկից բաղկացած տատանողական շղթայում Լև կոնդենսատոր ԻՐՑ,էլեկտրական տատանումները տեղի են ունենում T = 1 մկվ ժամկետով: Լիցքավորման առավելագույն արժեքը . Որքա՞ն է հոսանքը շղթայում այն ​​պահին, երբ կոնդենսատորի լիցքը հավասար է: Կծիկի ակտիվ դիմադրությունը աննշան է:

Լուծում:

1 Քանի որ կծիկի ակտիվ դիմադրությունը կարող է անտեսվել, համակարգի ընդհանուր էներգիան, որը բաղկացած է կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիայից և կծիկի մագնիսական դաշտի էներգիայից, ժամանակի ընթացքում մնում է անփոփոխ.

(1)

2 Այն պահին, երբ կոնդենսատորի լիցքը առավելագույն է, շղթայում հոսանք չկա: Համակարգի ընդհանուր էներգիան բաղկացած է միայն կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիայից

(2)

3 (1) և (2) հիման վրա մենք ստանում ենք հավասարություն . Շղթայում հոսանքը կազմում է .

4 Շղթայում տատանումների ժամանակաշրջանը որոշվում է Թոմսոնի բանաձևով: Այստեղից։ Այնուհետև շղթայի հոսանքի համար մենք ստանում ենք

Առաջադրանք 3Զուգահեռաբար միացված երկու կոնդենսատորներով տատանողական միացում

Ինդուկտիվ կծիկից բաղկացած տատանողական շղթայում Լև կոնդենսատոր ԻՐՑ,էլեկտրական տատանումները տեղի են ունենում լիցքի մեծությամբ: Այն պահին, երբ կոնդենսատորի լիցքավորումը առավելագույն է, K բանալին փակ է:Որքա՞ն կլինի շղթայի տատանումների շրջանը բանալին փակվելուց հետո: Որքա՞ն է հոսանքի ամպլիտուդը շղթայում անջատիչը փակելուց հետո: Անտեսեք շղթայի ohmic դիմադրությունը:

Լուծում:

1 Բանալին փակելը հանգեցնում է առաջինին զուգահեռ միացված մեկ այլ կոնդենսատորի շղթայում հայտնվելուն: Զուգահեռաբար միացված երկու կոնդենսատորների ընդհանուր հզորությունը .

Շղթայում տատանումների ժամանակաշրջանը կախված է միայն դրա պարամետրերից և կախված չէ նրանից, թե ինչպես են տատանումները հուզվել համակարգում և ինչ էներգիա է փոխանցվել համակարգին դրա համար: Թոմսոնի բանաձեւի համաձայն.

2 Հոսանքի ամպլիտուդը գտնելու համար եկեք պարզենք, թե ինչ գործընթացներ են տեղի ունենում շղթայում բանալին փակելուց հետո:

Երկրորդ կոնդենսատորը միացել է այն պահին, երբ առաջին կոնդենսատորի լիցքը եղել է առավելագույնը, հետևաբար, շղթայում հոսանք չի եղել։

Օղակային կոնդենսատորը պետք է սկսի լիցքաթափվել: Լիցքաթափման հոսանքը, հասնելով հանգույցին, պետք է բաժանվի երկու մասի. Այնուամենայնիվ, կծիկով ճյուղում տեղի է ունենում ինքնահոսքի EMF, որը կանխում է արտանետման հոսանքի ավելացումը: Այդ իսկ պատճառով լիցքաթափման ամբողջ հոսանքը կոնդենսատորով կհոսի ճյուղի մեջ, որի օմմիկ դիմադրությունը զրո է: Հոսանքը կդադարի, հենց որ կոնդենսատորների վրա լարումները հավասարվեն, մինչդեռ կոնդենսատորի սկզբնական լիցքը վերաբաշխվում է երկու կոնդենսատորների միջև: Երկու կոնդենսատորների միջև լիցքավորման վերաբաշխման ժամանակը աննշան է կոնդենսատորի ճյուղերում օմիկ դիմադրության բացակայության պատճառով: Այս ընթացքում կծիկով ճյուղում հոսանքը չի հասցնի հայտնվել։ տատանումներ նոր համակարգշարունակեք լիցքավորումը կոնդենսատորների միջև վերաբաշխվելուց հետո:

Կարևոր է հասկանալ, որ երկու կոնդենսատորների միջև լիցքը վերաբաշխելու գործընթացում համակարգի էներգիան չի պահպանվում: Նախքան բանալին փակելը, մեկ կոնդենսատորը, հանգույցի կոնդենսատորը, ուներ էներգիա.

Լիցքավորումը վերաբաշխելուց հետո կոնդենսատորների մարտկոցը էներգիա ունի.

Հեշտ է տեսնել, որ համակարգի էներգիան նվազել է։

3 Մենք գտնում ենք հոսանքի նոր ամպլիտուդը՝ օգտագործելով էներգիայի պահպանման օրենքը: Տատանումների գործընթացում կոնդենսատորի բանկի էներգիան վերածվում է հոսանքի մագնիսական դաշտի էներգիայի.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ էներգիայի պահպանման օրենքը սկսում է «գործել» միայն կոնդենսատորների միջև լիցքի վերաբաշխման ավարտից հետո:

Առաջադրանք 4Տատանողական շղթա երկու կոնդենսատորներով միացված շարքով

Տատանողական սխեման բաղկացած է L ինդուկտիվությամբ կծիկից և հաջորդաբար միացված երկու C և 4C կոնդենսատորներից։ C հզորությամբ կոնդենսատորը լիցքավորվում է լարման վրա, 4C հզորությամբ կոնդենսատորը չի լիցքավորվում։ Բանալին փակվելուց հետո շղթայում սկսվում են տատանումները: Ո՞րն է այս տատանումների ժամանակաշրջանը: Որոշեք հոսանքի ամպլիտուդը, առավելագույն և նվազագույն լարման արժեքները յուրաքանչյուր կոնդենսատորի վրա:

Լուծում:

1 Այն պահին, երբ շղթայում հոսանքը առավելագույն է, կծիկի մեջ ինքնաինդուկցիոն EMF չկա . Մենք այս պահի համար գրում ենք Կիրխհոֆի երկրորդ օրենքը

Մենք տեսնում ենք, որ այն պահին, երբ միացումում հոսանքը առավելագույն է, կոնդենսատորները լիցքավորվում են նույն լարման վրա, բայց հակառակ բևեռականությամբ.

2 Մինչ բանալին փակելը, համակարգի ընդհանուր էներգիան բաղկացած էր միայն C կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիայից.

Այն պահին, երբ միացումում հոսանքը առավելագույն է, համակարգի էներգիան հոսանքի մագնիսական դաշտի էներգիայի և նույն լարման վրա լիցքավորված երկու կոնդենսատորների էներգիայի գումարն է.

Էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն

Կոնդենսատորների վրա լարումը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք լիցքի պահպանման օրենքը. C կոնդենսատորի ստորին ափսեի լիցքը մասամբ փոխանցվել է 4C կոնդենսատորի վերին թիթեղին.

Մենք հայտնաբերված լարման արժեքը փոխարինում ենք էներգիայի պահպանման օրենքով և գտնում ենք հոսանքի ամպլիտուդը շղթայում.

3 Գտնենք այն սահմանները, որոնցում տատանումների գործընթացում փոխվում է կոնդենսատորների լարումը։

Հասկանալի է, որ շղթայի փակման պահին C կոնդենսատորի վրա եղել է առավելագույն լարում։ 4C կոնդենսատորը չի լիցքավորվել, հետևաբար, .

Անջատիչը փակվելուց հետո C կոնդենսատորը սկսում է լիցքաթափվել, իսկ 4C հզորությամբ կոնդենսատորը սկսում է լիցքավորվել: Առաջինի լիցքաթափման և երկրորդ կոնդենսատորների լիցքավորման գործընթացը ավարտվում է շղթայում հոսանքը դադարելուն պես: Դա տեղի կունենա կես ժամանակահատվածում։ Ըստ էներգիայի և էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքների.

Լուծելով համակարգը՝ մենք գտնում ենք.

.

Մինուս նշանը նշանակում է, որ կես ժամանակահատվածից հետո C հզորությունը լիցքավորվում է բնօրինակի հակառակ բևեռականությամբ:

Առաջադրանք 5Տատանողական շղթա երկու պարույրներով միացված հաջորդաբար

Տատանվող սխեման բաղկացած է C հզորությամբ կոնդենսատորից և ինդուկտիվությամբ երկու կծիկից L1Եվ L2. Այն պահին, երբ միացումում հոսանքը հասել է իր առավելագույն արժեքին, երկաթե միջուկը արագորեն ներմուծվում է առաջին կծիկի մեջ (համեմատած տատանումների ժամանակաշրջանի հետ), ինչը հանգեցնում է նրա ինդուկտիվության μ անգամ ավելացմանը: Որքա՞ն է լարման ամպլիտուդը շղթայում հետագա տատանումների գործընթացում:

Լուծում:

1 Միջուկի արագ ներմուծմամբ կծիկի մեջ, մագնիսական հոսք(էլեկտրամագնիսական ինդուկցիայի երևույթը): Հետևաբար, կծիկներից մեկի ինդուկտիվության արագ փոփոխությունը կհանգեցնի շղթայում հոսանքի արագ փոփոխության:

2 Միջուկը կծիկի մեջ մտցնելու ժամանակ կոնդենսատորի լիցքը փոխվելու ժամանակ չուներ, այն մնաց չլիցքավորված (միջուկը մտցվեց այն պահին, երբ շղթայում հոսանքը առավելագույնն էր): Ժամանակահատվածի մեկ քառորդից հետո հոսանքի մագնիսական դաշտի էներգիան կվերածվի լիցքավորված կոնդենսատորի էներգիայի.

Ստացված արտահայտության մեջ փոխարինեք հոսանքի արժեքը Իև գտե՛ք կոնդենսատորի վրայով լարման ամպլիտուդը.

Առաջադրանք 6Զուգահեռաբար միացված երկու պարույրներով ճոճվող շղթա

L 1 և L 2 ինդուկտորները միացված են K1 և K2 ստեղների միջոցով C հզորությամբ կոնդենսատորին: Սկզբնական պահին երկու ստեղները բաց են, և կոնդենսատորը լիցքավորվում է մինչև պոտենցիալ տարբերությամբ: Նախ, բանալին K1 փակ է, և երբ կոնդենսատորի վրա լարումը հավասար է զրոյի, K2-ը փակ է: K2-ը փակելուց հետո որոշեք կոնդենսատորի առավելագույն լարումը: Անտեսեք կծիկի դիմադրությունները:

Լուծում:

1 Երբ K2 բանալին բաց է, տատանումներ են տեղի ունենում կոնդենսատորից և առաջին կծիկից բաղկացած շղթայում: Մինչև K2-ը փակվում է, կոնդենսատորի էներգիան փոխանցվում է հոսանքի մագնիսական դաշտի էներգիային առաջին կծիկում.

2 K2-ը փակելուց հետո տատանողական շղթայում հայտնվում են զուգահեռ միացված երկու կծիկներ։

Առաջին կծիկի հոսանքը չի կարող կանգ առնել ինքնահոսքի երևույթի պատճառով։ Հանգույցում այն ​​բաժանվում է. հոսանքի մի մասը գնում է երկրորդ կծիկ, իսկ մյուս մասը լիցքավորում է կոնդենսատորը:

3 Կոնդենսատորի վրա լարումը կդառնա առավելագույն, երբ հոսանքը դադարի Իլիցքավորման կոնդենսատոր: Ակնհայտ է, որ այս պահին կծիկներում հոսանքները հավասար կլինեն։

: Կշիռները ենթարկվում են ուժի նույն մոդուլին. երկու կշիռներն էլ ամրացված են զսպանակին K2-ի փակումից անմիջապես հետո առաջին կծիկում հոսանք է եղել Սկզբնական պահին առաջին բեռը արագություն ուներ K2-ը փակելուց անմիջապես հետո երկրորդ կծիկում հոսանք չի եղել Սկզբնական պահին երկրորդ բեռը գտնվում էր հանգստի վիճակում Որքա՞ն է կոնդենսատորի վրա առավելագույն լարումը: Ո՞րն է առավելագույն առաձգական ուժը, որն առաջանում է գարնանը տատանումների ժամանակ:

Ճոճանակը առաջ է շարժվում զանգվածի կենտրոնի արագությամբ և տատանվում է զանգվածի կենտրոնի շուրջ։

Առաձգական ուժը առավելագույնն է աղբյուրի առավելագույն դեֆորմացման պահին։ Ակնհայտ է, որ այս պահին կշիռների հարաբերական արագությունը հավասարվում է զրոյի, իսկ աղյուսակի համեմատ կշիռները շարժվում են զանգվածի կենտրոնի արագությամբ։ Մենք գրում ենք էներգիայի պահպանման օրենքը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք գտնում ենք

Մենք կատարում ենք փոխարինում

և ձեռք բերել առավելագույն լարմաննախկինում գտնված արժեք

§6 Անկախ լուծման առաջադրանքներ

Վարժություն 1 Բնական տատանումների պարբերության և հաճախականության հաշվարկ

1 Տատանողական շղթան ներառում է փոփոխական ինդուկտիվության կծիկ, որը տարբերվում է ներսում L1= 0,5 μH մինչև L2\u003d 10 μH և կոնդենսատոր, որի հզորությունը կարող է տարբեր լինել. 1-ից= 10 pF դեպի

2-ից\u003d 500 pF: Ի՞նչ հաճախականության միջակայք կարող է ծածկվել այս շղթայի կարգավորմամբ:

2 Քանի՞ անգամ կփոխվի շղթայում բնական տատանումների հաճախականությունը, եթե նրա ինդուկտիվությունը մեծացվի 10 անգամ, իսկ հզորությունը փոքրացվի 2,5 անգամ:

3 1 uF կոնդենսատորով տատանվող շղթան կարգավորվում է 400 Հց հաճախականությամբ: Եթե ​​դրան զուգահեռ միացնեք երկրորդ կոնդենսատորը, ապա շղթայում տատանումների հաճախականությունը հավասար է 200 Հց-ի: Որոշեք երկրորդ կոնդենսատորի հզորությունը:

4 Տատանողական շղթան բաղկացած է կծիկից և կոնդենսատորից։ Քանի՞ անգամ կփոխվի շղթայում բնական տատանումների հաճախականությունը, եթե շղթայում հաջորդաբար միացված է երկրորդ կոնդենսատորը, որի հզորությունը 3 անգամ փոքր է առաջինի հզորությունից:

5 Որոշեք շղթայի տատանումների ժամանակաշրջանը, որը ներառում է երկարության կծիկ (առանց միջուկի) մեջ= 50 սմ մ լայնական հատվածի տարածք

Ս\u003d 3 սմ 2, ունենալով Ն\u003d 1000 պտույտ և հզորության կոնդենսատոր ԻՑ= 0,5 uF:

6 Տատանողական շղթան ներառում է ինդուկտոր Լ\u003d 1,0 μH և օդային կոնդենսատոր, որի թիթեղների տարածքները Ս\u003d 100 սմ 2. Շղթան կարգավորվում է 30 ՄՀց հաճախականությամբ: Որոշեք թիթեղների միջև հեռավորությունը: Շղթայի ակտիվ դիմադրությունը աննշան է:

ԷԼԵԿՏՐԱՄԱԳՆԻՍԱԿԱՆ ՏՈՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

§1 Տատանողական միացում.

Բնական թրթռումները տատանողական շղթայում:

Թոմսոնի բանաձեւ.

Խոնավ և հարկադրված տատանումները մ.թ.ա.

1. Անվճար թրթռումներ c.c.

Տատանողական շղթան (c.c.) կոնդենսատորից և ինդուկտորից բաղկացած շղթա է։ Որոշակի պայմաններում Ք.ա. Կարող են առաջանալ լիցքի, հոսանքի, լարման և էներգիայի էլեկտրամագնիսական տատանումներ:

Դիտարկենք Նկար 2-ում ներկայացված սխեման: Եթե ​​բանալին դնեք 1-ին դիրքում, ապա կոնդենսատորը կլիցքավորվի, և դրա թիթեղների վրա լիցք կհայտնվիՔև լարվածություն U C. Եթե ​​այնուհետև բանալին դարձնեք 2-րդ դիրքում, ապա կոնդենսատորը կսկսի լիցքաթափվել, հոսանքը կհոսի շղթայում, մինչդեռ կոնդենսատորի թիթեղների միջև փակված էլեկտրական դաշտի էներգիան կվերածվի ինդուկտորում կենտրոնացված մագնիսական դաշտի էներգիայի։Լ. Ինդուկտորի առկայությունը հանգեցնում է նրան, որ հոսանքը շղթայում ոչ թե ակնթարթորեն, այլ աստիճանաբար ավելանում է ինքնահոսքի երևույթի պատճառով: Քանի որ կոնդենսատորը լիցքաթափվում է, նրա թիթեղների լիցքը կնվազի, միացումում հոսանքը կաճի: Օղակի հոսանքի առավելագույն արժեքը կհասնի, երբ թիթեղների լիցքը հավասար է զրոյի: Այս պահից ցիկլային հոսանքը կսկսի նվազել, բայց ինքնաինդուկցիայի երևույթի պատճառով այն կպահպանվի ինդուկտորի մագնիսական դաշտով, այսինքն. երբ կոնդենսատորը լիովին լիցքաթափվի, ինդուկտորում պահվող մագնիսական դաշտի էներգիան կսկսի վերածվել էլեկտրական դաշտի էներգիայի: Օղակի հոսանքի պատճառով կոնդենսատորը կսկսի վերալիցքավորվել, և սկզբնականին հակառակ լիցք կսկսի կուտակվել նրա թիթեղների վրա: Կոնդենսատորը լիցքավորվելու է այնքան ժամանակ, քանի դեռ ինդուկտորի մագնիսական դաշտի ողջ էներգիան չի վերածվել կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիայի: Այնուհետև գործընթացը կկրկնվի հակառակ ուղղությամբ, և այդպիսով, էլեկտրամագնիսական տատանումներ տեղի կունենան շղթայում:

Եկեք գրենք Կիրխհոֆի 2-րդ օրենքը դիտարկված կ.կ.-ի համար,

Դիֆերենցիալ հավասարում k.k.

Մենք ստացել ենք դիֆերենցիալ հավասարում լիցքի տատանումների համար c.c. Այս հավասարումը նման է դիֆերենցիալ հավասարմանը, որը նկարագրում է մարմնի շարժումը քվազիառաձգական ուժի ազդեցության տակ։ Հետևաբար, այս հավասարման լուծումը կգրվի նույն կերպ

Լիցքի տատանումների հավասարումը ք.ա.

Կոնդենսատորի թիթեղների վրա լարման տատանումների հավասարումը ք.ա.

Ընթացքի տատանումների հավասարումը k.k.

1. Խոնավացված տատանումներ QC-ում

Դիտարկենք C.C.-ն, որը պարունակում է հզորություն, ինդուկտիվություն և դիմադրություն: Կիրխհոֆի 2-րդ օրենքը այս դեպքում կգրվի ձևով

- թուլացման գործոն,

Սեփական ցիկլային հաճախականություն:

- - խամրված տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումը մ.թ.ա.

Խոնավ լիցքի տատանումների հավասարումը ք.ա.

Լիցքավորման ամպլիտուդի փոփոխության օրենքը մ.թ.-ում խոնավացված տատանումների ժամանակ.

Խոնավ տատանումների ժամանակաշրջանը.

Թուլացման նվազում:

- լոգարիթմական մարման նվազում:

Շրջանակի բարությունը.

Եթե ​​մարումը թույլ է, ապա T ≈T 0

Մենք ուսումնասիրում ենք կոնդենսատորի թիթեղների վրա լարման փոփոխությունը:

Հոսանքի փոփոխությունը լարման φ-ով դուրս է փուլից:

ժամը - հնարավոր են խոնավացած տատանումներ,

ժամը - կրիտիկական իրավիճակ

ժամը, այսինքն. Ռ > ՌTO- տատանումներ չեն առաջանում (կոնդենսատորի պարբերական լիցքաթափում):

• Էլեկտրամագնիսական թրթռումներժամանակի ընթացքում պարբերական փոփոխություններ են էլեկտրական և մագնիսական մեծություններէլեկտրական միացումում:

• անվճարկոչվում են այդպիսին տատանումներ, որոնք առաջանում են փակ համակարգում՝ այս համակարգի կայուն հավասարակշռության վիճակից շեղվելու պատճառով։

Տատանումների ժամանակ տեղի է ունենում համակարգի էներգիայի մի ձևից մյուսի փոխակերպման շարունակական գործընթաց։ Տատանվելու դեպքում էլեկտրամագնիսական դաշտփոխանակումը կարող է տեղի ունենալ միայն այս դաշտի էլեկտրական և մագնիսական բաղադրիչների միջև: Ամենապարզ համակարգը, որտեղ այս գործընթացը կարող է տեղի ունենալ, դա տատանողական միացում.

• Իդեալական տատանողական միացում (LC միացում) - էլեկտրական միացում, որը բաղկացած է ինդուկտիվ կծիկից Լև կոնդենսատոր Գ.

Ի տարբերություն իրական տատանողական սխեմայի, որն ունի էլեկտրական դիմադրություն Ռ, էլեկտրական դիմադրությունիդեալական ուրվագիծը միշտ զրո է: Հետևաբար, իդեալական տատանողական շղթան իրական սխեմայի պարզեցված մոդելն է:

Նկար 1-ը ցույց է տալիս իդեալական տատանողական շղթայի դիագրամ:

Շղթայի էներգիա

Տատանվող շղթայի ընդհանուր էներգիան

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2)) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Որտեղ Մենք- տատանողական շղթայի էլեկտրական դաշտի էներգիան այս պահինժամանակ ԻՑկոնդենսատորի հզորությունն է, u- տվյալ պահին կոնդենսատորի վրա լարման արժեքը, ք- տվյալ պահին կոնդենսատորի լիցքավորման արժեքը, Վմ- տատանվող շղթայի մագնիսական դաշտի էներգիան տվյալ պահին, Լ- կծիկի ինդուկտիվություն, ես- տվյալ պահին կծիկի հոսանքի արժեքը:

Գործընթացները տատանողական շղթայում

Դիտարկենք այն գործընթացները, որոնք տեղի են ունենում տատանողական շղթայում:

Շղթան հավասարակշռության դիրքից հանելու համար մենք լիցքավորում ենք կոնդենսատորը, որպեսզի նրա թիթեղների վրա լիցք լինի Քմ(նկ. 2, դիրք 1 ): Հաշվի առնելով \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) հավասարումը մենք գտնում ենք կոնդենսատորի վրայի լարման արժեքը։ Ժամանակի այս պահին շղթայում հոսանք չկա, այսինքն. ես = 0.

Բանալին փակվելուց հետո շղթայում կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի ազդեցության տակ, էլեկտրաէներգիա, ընթացիկ ուժ եսորը ժամանակի ընթացքում կավելանա։ Կոնդենսատորն այս պահին կսկսի լիցքաթափվել, քանի որ. հոսանք ստեղծող էլեկտրոնները (հիշեցնում եմ, որ դրական լիցքերի շարժման ուղղությունը ընդունվում է որպես հոսանքի ուղղություն) դուրս են գալիս կոնդենսատորի բացասական թիթեղից և գալիս դեպի դրականը (տե՛ս նկ. 2, դիրքը. 2 ): Լիցքավորման հետ մեկտեղ քլարվածությունը կնվազի u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Ընթացքի ուժգնության մեծացման հետ կծիկի միջով կհայտնվի ինքնաինդուկցիոն էմֆ՝ կանխելով ընթացիկ ուժի փոփոխությունը: Արդյունքում, տատանողական միացումում ընթացիկ ուժը զրոյից կբարձրանա որոշակի առավելագույն արժեքի ոչ թե ակնթարթորեն, այլ որոշակի ժամանակահատվածում, որը որոշվում է կծիկի ինդուկտիվությամբ:

Կոնդենսատորի լիցքավորում քնվազում է և ժամանակի ինչ-որ պահի հավասարվում է զրոյի ( ք = 0, u= 0), կծիկի հոսանքը կհասնի որոշակի արժեքի ես(տես նկ. 2, դիրք 3 ).

Առանց կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի (և դիմադրության) հոսանք ստեղծող էլեկտրոնները շարունակում են շարժվել իներցիայով։ Այս դեպքում կոնդենսատորի չեզոք թիթեղին հասնող էլեկտրոնները նրան տալիս են բացասական լիցք, չեզոք թիթեղից դուրս եկող էլեկտրոնները՝ դրական լիցք։ Կոնդենսատորը սկսում է լիցքավորվել ք(և լարման u), բայց հակառակ նշանով, այսինքն. կոնդենսատորը լիցքավորվում է. Այժմ կոնդենսատորի նոր էլեկտրական դաշտը խանգարում է էլեկտրոնների շարժմանը, ուստի հոսանքը եսսկսում է նվազել (տես նկ. 2, դիրք 4 ): Կրկին, դա անմիջապես տեղի չի ունենում, քանի որ այժմ ինքնաինդուկցիոն EMF-ը ձգտում է փոխհատուցել հոսանքի նվազումը և «աջակցում» դրան: Իսկ հոսանքի արժեքը ես(հղի 3 ) պարզվում է առավելագույն հոսանքուրվագծի մեջ։

Եվ կրկին, կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի գործողության ներքո, միացումում կհայտնվի էլեկտրական հոսանք, բայց ուղղված հակառակ ուղղությամբ, ընթացիկ ուժը եսորը ժամանակի ընթացքում կավելանա։ Եվ այս պահին կոնդենսատորը լիցքաթափվելու է (տես նկ. 2, դիրքը 6 ) մինչև զրոյի (տես նկ. 2, դիրք 7 ): և այլն:

Քանի որ կոնդենսատորի լիցքավորումը ք(և լարման u) որոշում է իր էլեկտրական դաշտի էներգիան Մենք\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \աջ),\) և հոսանքը կծիկի մեջ ես- մագնիսական դաշտի էներգիա wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \աջ),\) այնուհետև լիցքավորման, լարման և հոսանքի փոփոխություններին զուգահեռ կփոխվեն նաև էներգիաները:

Նշումները աղյուսակում.

\(W_(e\, \max) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) (2), \; \; \ W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) (2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) (2),\)

\(W_(m\; \max) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) (2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Իդեալական տատանողական շղթայի ընդհանուր էներգիան պահպանվում է ժամանակի ընթացքում, քանի որ դրա մեջ էներգիայի կորուստ կա (դիմադրություն չկա): Հետո

\(W=W_(e\, \max) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Այսպիսով, իդեալական LC- շղթան կզգա ընթացիկ ուժի արժեքների պարբերական փոփոխություններ ես, լիցքավորում քև սթրես u, և շղթայի ընդհանուր էներգիան կմնա հաստատուն։ Այս դեպքում ասում ենք, որ կան ազատ էլեկտրամագնիսական տատանումներ.

• Ազատ էլեկտրամագնիսական տատանումներմիացումում - դրանք կոնդենսատորի թիթեղների լիցքավորման պարբերական փոփոխություններն են, միացումում ընթացիկ ուժը և լարումը, որոնք տեղի են ունենում առանց արտաքին աղբյուրներից էներգիա սպառելու:

Այսպիսով, միացումում ազատ էլեկտրամագնիսական տատանումների առաջացումը պայմանավորված է կոնդենսատորի վերալիցքավորմամբ և կծիկում ինքնաինդուկցիոն EMF-ի առաջացմամբ, որն «ապահովում է» այս վերալիցքավորումը։ Նշենք, որ լիցքավորումը կոնդենսատորի վրա քիսկ հոսանքը կծիկի մեջ եսհասնել իրենց առավելագույն արժեքներին ՔմԵվ եսժամանակի տարբեր կետերում:

Շղթայում ազատ էլեկտրամագնիսական տատանումները տեղի են ունենում ներդաշնակության օրենքի համաձայն.

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \աջ), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \աջ), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \աջ):\)

Ամենափոքր ժամանակահատվածը, որի ընթացքում LC- շղթան վերադառնում է իր սկզբնական վիճակին (այս երեսպատման լիցքի սկզբնական արժեքին), կոչվում է շղթայում ազատ (բնական) էլեկտրամագնիսական տատանումների ժամանակաշրջան:

Ազատ էլեկտրամագնիսական տատանումների ժամանակաշրջանը LC- Եզրագծերը որոշվում են Թոմսոնի բանաձևով.

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1) (\sqrt(L\cdot C)).\)

Մեխանիկական անալոգիայի տեսակետից զսպանակային ճոճանակն առանց շփման համապատասխանում է իդեալական տատանողական շղթային, իսկ իրականին՝ շփումով։ Շփման ուժերի գործողության շնորհիվ զսպանակային ճոճանակի տատանումները ժամանակի ընթացքում խոնավանում են:

*Թոմսոնի բանաձևի ստացում

Քանի որ իդեալի ընդհանուր էներգիան LC-ուրվագիծ, որը հավասար է էներգիաների գումարին էլեկտրաստատիկ դաշտկոնդենսատորը և կծիկի մագնիսական դաշտը պահպանվում է, ապա ցանկացած պահի հավասարությունը

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2))(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Մենք ստանում ենք տատանումների հավասարումը LC- միացում, օգտագործելով էներգիայի պահպանման օրենքը: Տարբերակելով դրա ընդհանուր էներգիայի արտահայտությունը ժամանակի նկատմամբ՝ հաշվի առնելով այն փաստը, որ

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

մենք ստանում ենք հավասարում, որը նկարագրում է ազատ տատանումները իդեալական շղթայում.

\(\left(\dfrac(q^(2))(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \աջ)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Վերաշարադրելով այն այսպես.

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

նշենք, որ սա ցիկլային հաճախականությամբ ներդաշնակ տատանումների հավասարումն է

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Ըստ այդմ՝ դիտարկվող տատանումների ժամանակաշրջանը

\(T=\dfrac(2\pi)(\omega) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

գրականություն

1. Ժիլկոն, Վ.Վ. Ֆիզիկա՝ դասագիրք. 11-րդ դասարանի հանրակրթական նպաստ. դպրոց ռուսերենից լեզու վերապատրաստում / V.V. Ժիլկոն, Լ.Գ. Մարկովիչ. - Մինսկ. Նար. Ասվետա, 2009. - S. 39-43.