A grafikon sarokpontja. Egy függvény grafikonjának érintője egy pontban

Munka típusa: 7

Feltétel

Az y=3x+2 egyenes érinti az y=-12x^2+bx-10 függvény grafikonját. Határozzuk meg b -t, feltéve, hogy az érintési pont abszcissza kisebb, mint nulla.

Megoldás megjelenítése

Döntés

Legyen x_0 az y=-12x^2+bx-10 függvény gráfján lévő azon pontjának abszcisszája, amelyen a gráf érintője áthalad.

A derivált értéke az x_0 pontban egyenlő az érintő meredekségével, azaz y"(x_0)=-24x_0+b=3. Másrészt az érintőpont a függvény grafikonjához és a érintő, azaz -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Egyenletrendszert kapunk \begin(esetek) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(esetek)

Ezt a rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami azt jelenti, hogy x_0=-1 vagy x_0=1. Az abszcissza feltétele szerint a tapintási pontok nullánál kisebbek, ezért x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.

Válasz

Munka típusa: 7
Tantárgy: geometriai érzék derivált. Függvénygráf érintője

Feltétel

Az y=-3x+4 egyenes párhuzamos az y=-x^2+5x-7 függvény grafikonjának érintőjével. Keresse meg az érintkezési pont abszcisszáját.

Megoldás megjelenítése

Döntés

Az y=-x^2+5x-7 függvény grafikonjához vezető egyenes meredeksége egy tetszőleges x_0 pontban y"(x_0). De y"=-2x+5, tehát y"(x_0)=- 2x_0+5.A feltételben megadott y=-3x+4 egyenes együtthatója szögben -3.A párhuzamos egyenesek meredekségi együtthatói megegyeznek.Ezért olyan x_0 értéket találunk, hogy =-2x_0 +5=-3.

A következőt kapjuk: x_0 = 4.

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. profilszint. Szerk. F. F. Liszenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: A származék geometriai jelentése. Függvénygráf érintője

Feltétel

Megoldás megjelenítése

Döntés

Az ábrából megállapítjuk, hogy az érintő átmegy az A(-6; 2) és B(-1; 1) pontokon. Jelölje C(-6; 1) az x=-6 és y=1 egyenesek metszéspontját, \alfával pedig az ABC szöget (az ábrán látható, hogy éles). Ekkor az AB egyenes \pi -\alpha tompaszöget képez az Ox tengely pozitív irányával.

Mint tudod, tg(\pi -\alpha) lesz az f(x) függvény deriváltjának értéke az x_0 pontban. vegye észre, az tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Innen a redukciós képletekkel a következőket kapjuk: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. profilszint. Szerk. F. F. Liszenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: A származék geometriai jelentése. Függvénygráf érintője

Feltétel

Az y=-2x-4 egyenes érinti az y=16x^2+bx+12 függvény grafikonját. Határozzuk meg a b -t, ha a tapintási pont abszcisszán nagyobb, mint nulla.

Megoldás megjelenítése

Döntés

Legyen x_0 az y=16x^2+bx+12 függvény grafikonján azon pont abszcisszája, amelyen keresztül

érintője ennek a grafikonnak.

A derivált értéke az x_0 pontban egyenlő az érintő meredekségével, azaz y "(x_0)=32x_0+b=-2. Másrészt az érintőpont a függvény grafikonjához és a érintő, azaz 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Egyenletrendszert kapunk \begin(esetek) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(esetek)

A rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami vagy x_0=-1 vagy x_0=1 jelent. Az abszcissza feltétele szerint a tapintási pontok nagyobbak, mint nulla, ezért x_0=1, majd b=-2-32x_0=-34.

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. profilszint. Szerk. F. F. Liszenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: A származék geometriai jelentése. Függvénygráf érintője

Feltétel

Az ábra a (-2; 8) intervallumon definiált y=f(x) függvény grafikonját mutatja. Határozza meg azon pontok számát, ahol a függvény grafikonjának érintője párhuzamos az y=6 egyenessel!

Megoldás megjelenítése

Döntés

Az y=6 egyenes párhuzamos az Ox tengellyel. Ezért találunk olyan pontokat, amelyekben a függvénygráf érintője párhuzamos az Ox tengellyel. Ezen a diagramon az ilyen pontok szélsőséges pontok (maximum vagy minimum pontok). Amint látja, 4 szélsőséges pont van.

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. profilszint. Szerk. F. F. Liszenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: A származék geometriai jelentése. Függvénygráf érintője

Feltétel

Az y=4x-6 egyenes párhuzamos az y=x^2-4x+9 függvény grafikonjának érintőjével. Keresse meg az érintkezési pont abszcisszáját.

Megoldás megjelenítése

Döntés

Az y \u003d x ^ 2-4x + 9 függvény grafikonjának érintőjének meredeksége egy tetszőleges x_0 pontban y "(x_0). De y" \u003d 2x-4, ami azt jelenti, hogy y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. A feltételben megadott y \u003d 4x-7 érintő meredeksége egyenlő 4. A párhuzamos egyenesek meredeksége megegyezik, ezért olyan x_0 értéket kapunk, hogy 2x_0-4 \u003d 4. : x_0 \u003d 4.

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a vizsgára-2017. profilszint. Szerk. F. F. Liszenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: A származék geometriai jelentése. Függvénygráf érintője

Feltétel

Az ábrán az y=f(x) függvény grafikonja és a hozzá tartozó érintője látható az x_0 abszcissza pontban. Keresse meg az f(x) függvény deriváltjának értékét az x_0 pontban.

Megoldás megjelenítése

Döntés

Az ábrából megállapítjuk, hogy az érintő átmegy az A(1; 1) és B(5; 4) pontokon. Jelölje C(5; 1) az x=5 és y=1 egyenesek metszéspontját, \alfával pedig a BAC szöget (az ábrán látható, hogy éles). Ekkor az AB egyenes \alpha szöget zár be az Ox tengely pozitív irányával.

Ebben a cikkben minden típusú problémát elemzünk a megtalálás érdekében

Emlékezzünk a származék geometriai jelentése: ha egy függvény grafikonjára egy pontban érintőt húzunk, akkor az érintő meredeksége (amely egyenlő az érintő és a tengely pozitív iránya közötti szög érintőjével) egyenlő a függvény deriváltjával a lényeg .

Vegyünk egy tetszőleges pontot az érintőn a koordinátákkal:

És vegyünk egy derékszögű háromszöget:

Ebben a háromszögben

Innen

Ez a függvény grafikonjára a pontban húzott érintő egyenlete.

Az érintő egyenletének felírásához csak a függvény egyenletét és azt a pontot kell ismernünk, ahol az érintőt megrajzoljuk. Akkor megtaláljuk és .

Az érintőegyenlet-problémáknak három fő típusa van.

1. Adott egy érintkezési pont

2. Adott az érintő meredekségi együtthatója, vagyis a függvény deriváltjának értéke a pontban.

3. Adjuk meg annak a pontnak a koordinátáit, amelyen keresztül az érintő meghúzódik, de amely nem érintőpont.

Nézzük meg az egyes problématípusokat.

egy . Írja fel a függvény grafikonjára az érintő egyenletét! azon a ponton .

.

b) Keresse meg a derivált értékét a pontban. Először keressük meg a függvény deriváltját

Helyettesítsd be a talált értékeket az érintőegyenletbe:

Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet jobb oldalán. Kapunk:

Válasz: .

2. Keresse meg azon pontok abszcisszáját, ahol a függvények érintik a gráfot! párhuzamos az x tengellyel.

Ha az érintő párhuzamos az x tengellyel, akkor az érintő és a tengely pozitív iránya közötti szög nulla, ezért az érintő meredekségének érintője nulla. Tehát a függvény deriváltjának értéke az érintkezési pontokon nulla.

a) Keresse meg a függvény deriváltját! .

b) Egyenlítse a deriváltot nullával, és keresse meg azokat az értékeket, amelyekben az érintő párhuzamos a tengellyel:

Minden tényezőt nullával egyenlővé teszünk, így kapjuk:

Válasz: 0;3;5

3. Írjon érintőegyenleteket egy függvény grafikonjára! , párhuzamos egyenes .

Az érintő párhuzamos az egyenessel. Ennek az egyenesnek a meredeksége -1. Mivel az érintő párhuzamos ezzel az egyenessel, ezért az érintő meredeksége is -1. Azaz ismerjük az érintő meredekségét, és így a derivált értéke az érintkezési pontban.

Ez a második típusú probléma az érintőegyenlet megtalálásához.

Tehát kapunk egy függvényt és a derivált értékét az érintkezési pontban.

a) Keresse meg azokat a pontokat, amelyekben a függvény deriváltja egyenlő -1-gyel!

Először keressük meg a derivált egyenletet.

Tegyük egyenlővé a származékot a -1 számmal.

Keresse meg a függvény értékét a pontban.

(feltétel szerint)

.

b) Határozzuk meg a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét a pontban!

Keresse meg a függvény értékét a pontban.

(feltétel szerint).

Helyettesítse ezeket az értékeket az érintőegyenletbe:

.

Válasz:

4. Írjon fel egyenletet egy görbe érintőjére! , ponton áthaladva

Először ellenőrizze, hogy a pont nem érintési pont-e. Ha a pont érintőpont, akkor a függvény grafikonjához tartozik, és koordinátáinak ki kell elégíteniük a függvény egyenletét. Helyettesítsd be a pont koordinátáit a függvény egyenletében!

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nem érintkezési pont.

Ez az utolsó problématípus az érintőegyenlet megtalálásához. Első dolog meg kell találnunk az érintkezési pont abszcisszáját.

Keressük az értéket.

Legyen az érintkezési pont. A pont a függvény grafikonjának érintőjéhez tartozik. Ha ennek a pontnak a koordinátáit behelyettesítjük az érintőegyenletbe, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk:

.

A függvény értéke a pontban a .

Keresse meg a függvény deriváltjának értékét a pontban.

Először keressük meg a függvény deriváltját. Ez .

A derivált egy pontban az .

Helyettesítsük be a és a kifejezéseket az érintő egyenletébe. Megkapjuk az egyenletet:

Oldjuk meg ezt az egyenletet.

Csökkentse a tört számlálóját és nevezőjét 2-vel:

Az egyenlet jobb oldalát közös nevezőre hozzuk. Kapunk:

Egyszerűsítse a tört számlálóját, és mindkét részt megszorozza - ez a kifejezés szigorúan nagyobb, mint nulla.

Megkapjuk az egyenletet

Oldjuk meg. Ehhez mindkét részt négyzetre emeljük, és menjünk a rendszerhez.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(mátrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Oldjuk meg az első egyenletet.

Majd mi döntünk másodfokú egyenlet, kapunk

A második gyök nem felel meg a title="(!LANG:8-3x_0>=0 feltételnek">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Írjuk fel a görbe érintőjének egyenletét a pontba. Ehhez behelyettesítjük az egyenletben szereplő értéket Már felvettük.

Válasz:
.

Legyen adott egy f függvény, amelynek egy x 0 pontban véges deriváltja van f (x 0). Ekkor az (x 0 ; f (x 0)) ponton átmenő egyenes, amelynek lejtő f '(x 0), érintőnek nevezzük.

De mi történik, ha a derivált az x 0 pontban nem létezik? Két lehetőség van:

1. A gráf érintője szintén nem létezik. A klasszikus példa az y = |x | függvény pontban (0; 0).
2. Az érintő függőleges lesz. Ez igaz például az y = arcsin x függvényre az (1; π /2) pontban.

Érintőegyenlet

Bármely nem függőleges egyenest egy y = kx + b alakú egyenlet ad meg, ahol k a meredekség. Ez alól az érintő sem kivétel, és ahhoz, hogy egyenletét egy x 0 pontban meg lehessen alkotni, elég ismerni a függvény és a derivált értékét ezen a ponton.

Adjunk tehát meg egy függvényt y \u003d f (x), amelynek a szegmensén y \u003d f '(x) deriváltja van. Ekkor bármely x 0 ∈ (a; b) pontban húzható egy érintő a függvény grafikonjára, amelyet a következő egyenlet ad meg:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Itt f ’(x 0) a derivált értéke az x 0 pontban, f (x 0) pedig magának a függvénynek az értéke.

Feladat. Adott egy y = x 3 függvény. Írjunk fel egyenletet a függvény grafikonjának érintőjére az x 0 = 2 pontban.

Érintőegyenlet: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Az x 0 = 2 pont adott nekünk, de az f (x 0) és f '(x 0) értékeket ki kell számítani.

Először is keressük meg a függvény értékét. Itt minden egyszerű: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Most keressük meg a deriváltot: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Helyettesítsük be az x 0 = 2 deriváltban: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Így kapjuk: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Ez a tangens egyenlet.

Feladat. Állítsa össze az f (x) \u003d 2sin x + 5 függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x 0 \u003d π / 2 pontban.

Ezúttal nem írunk le részletesen minden egyes műveletet, csak a legfontosabb lépéseket jelezzük. Nekünk van:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Érintő egyenlet:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Utóbbi esetben a vonal vízszintesnek bizonyult, mert a meredeksége k = 0. Nincs ezzel semmi baj – csak egy szélsőséges pontba botlottunk.

Y \u003d f (x) és ha ezen a ponton olyan érintőt lehet húzni a függvénygráfra, amely nem merőleges az x tengelyre, akkor az érintő meredeksége f "(a). Ezt már többször felhasználtuk Például a 33. §-ban megállapították, hogy az y \u003d sin x (szinusz) függvény grafikonja az origóban 45°-os szöget zár be az abszcissza tengellyel (pontosabban a gráf érintőjével a Az origó 45°-os szöget zár be az x tengely pozitív irányával), és a 33. § 5. példájában az adott ütemezés szerint találtunk pontot. funkciókat, amelyben az érintő párhuzamos az x tengellyel. A 33. § 2. példájában felállítottunk egy egyenletet az y \u003d x 2 függvény grafikonjának érintőjére az x \u003d 1 pontban (pontosabban az (1; 1) pontban), de gyakrabban csak az abszcissza értéke van feltüntetve, feltételezve, hogy ha az abszcissza értéke ismert, akkor az ordináta értéke az y = f(x)) egyenletből kereshető. Ebben a részben egy algoritmust fogunk kidolgozni bármely függvény grafikonjának érintője egyenletének összeállítására.

Legyen adott az y \u003d f (x) függvény és az M (a; f (a)) pont, és az is ismert, hogy f "(a) létezik. Állítsuk össze az érintő egyenletét az adott függvényt be adott pont. Ez az egyenlet, mint bármely, az y tengellyel nem párhuzamos egyenes egyenlete, y = kx + m alakú, tehát a probléma a k és m együtthatók értékeinek megtalálása.

A k meredekséggel nincs probléma: tudjuk, hogy k \u003d f "(a). Az m értékének kiszámításához azt a tényt használjuk, hogy a kívánt egyenes áthalad az M ponton (a; f (a)). Ez azt jelenti, hogy ha az M koordinátapontokat behelyettesítjük egy egyenes egyenletébe, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk: f (a) \u003d ka + m, ahonnan azt kapjuk, hogy m \u003d f (a) - ka.
Marad a bálnaegyütthatók talált értékeinek helyettesítése az egyenlet egyenes:

Megkaptuk az y \u003d f (x) függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x \u003d a pontban.
Ha mondjuk
Az (1) egyenletben behelyettesítve a talált értékeket a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, a következőt kapjuk: y \u003d 1 + 2 (x-f), azaz y \u003d 2x -1.
Hasonlítsa össze ezt az eredményt a 33. § 2. példájában kapott eredménnyel. Természetesen ugyanez történt.
Állítsuk össze az y \u003d tg x függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az origónál. Nekünk van: így cos x f "(0) = 1. A talált értékeket a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 behelyettesítve az (1) egyenletbe, a következőt kapjuk: y \u003d x .
Ezért rajzoltuk meg a 15. § tangentoidját (lásd 62. ábra) a koordináták origóján keresztül, az abszcissza tengellyel 45°-os szöget bezárva.
Ezeket elég megoldani egyszerű példák, valójában egy bizonyos algoritmust használtunk, amely az (1) képletbe van beágyazva. Tegyük egyértelművé ezt az algoritmust.

ALGORITMUS AZ y GRAFON ÉRINTŐ FUNKCIÓ EGYENLETÉNEK ÖSSZETÉTELÉHEZ y \u003d f (x)

1) Jelölje meg az érintkezési pont abszcisszáját a betűvel!
2) Számítsa ki az 1 (a) pontot!
3) Keresse meg f "(x)-et és számítsa ki f"-t (a).
4) Helyettesítsd be a talált a, f(a), (a) számokat az (1) képletbe!

1. példaÍrjunk fel egyenletet a függvény grafikonjának érintőjére az x = 1 pontban.
Használjuk az algoritmust, figyelembe véve, hogy a ezt a példát

ábrán A 126. ábra egy hiperbolát mutat, egy y \u003d 2x egyenes épül.
A rajz megerősíti a fenti számításokat: valóban, az y \u003d 2-x egyenes érinti a hiperbolát az (1; 1) pontban.

Válasz: y \u003d 2-x.
2. példa Rajzoljon egy érintőt a függvény grafikonjára úgy, hogy párhuzamos legyen az y \u003d 4x - 5 egyenessel.
Finomítsuk a probléma megfogalmazását. Az „érintő rajzolásának” követelménye általában azt jelenti, hogy „egyenletet készítsünk egy érintőre”. Ez logikus, mert ha valaki képes volt egyenletet összeállítani egy érintőre, akkor valószínűleg nem fog nehézséget okozni, ha a koordinátasíkon az egyenlete szerint egyenest szerkeszt.
Használjuk az érintőegyenlet összeállítására szolgáló algoritmust, tekintettel arra, hogy ebben a példában, de az előző példával ellentétben itt nem egyértelmű: az érintőpont abszcisszája nincs kifejezetten feltüntetve.
Kezdjünk így beszélni. A kívánt érintőnek párhuzamosnak kell lennie az y \u003d 4x-5 egyenessel. Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha meredeksége egyenlő. Ez azt jelenti, hogy az érintő meredekségének meg kell egyeznie az adott egyenes meredekségével: Így az a értékét az f "(a) \u003d 4 egyenletből találhatjuk meg.
Nekünk van:
Az egyenletből tehát két érintő teljesíti a feladat feltételeit: az egyik egy 2-es abszcisszájú pontban, a másik egy -2-es abszcisszájú pontban.
Most már az algoritmus szerint cselekedhet.

3. példa A (0; 1) pontból rajzoljunk egy érintőt a függvény grafikonjára
Használjuk az érintőegyenlet összeállítására szolgáló algoritmust, figyelembe véve, hogy ebben a példában megjegyezzük, hogy itt, mint a 2. példában, az érintőpont abszcisszája nincs kifejezetten feltüntetve. Ennek ellenére az algoritmus szerint járunk el.

Feltétel szerint az érintő átmegy a (0; 1) ponton. A (2) egyenletbe behelyettesítve az x = 0, y = 1 értékeket, kapjuk:
Mint látható, ebben a példában csak az algoritmus negyedik lépésénél sikerült megtalálni az érintési pont abszcisszáját. Ha az a \u003d 4 értéket behelyettesítjük a (2) egyenletbe, a következőt kapjuk:

ábrán A 127. ábra a vizsgált példa geometriai illusztrációját mutatja: a függvény grafikonját

A 32. §-ban megjegyeztük, hogy egy y = f(x) függvényre, amelynek deriváltja van egy x fix pontban, a közelítő egyenlőség teljesül:

A további érvelés megkönnyítése érdekében megváltoztatjuk a jelölést: x helyett a-t írunk, helyette x-et, és ennek megfelelően x-a-t írunk helyette. Ekkor a fent írt hozzávetőleges egyenlőség a következőképpen alakul:

Most vessen egy pillantást az ábrára. 128. Rajzolunk egy érintőt az y \u003d f (x) függvény grafikonjára az M (a; f (a) pontban). Az x tengelyen az a közelében jelölt x pont. Nyilvánvaló, hogy f(x) a függvény grafikonjának ordinátája a megadott x pontban. És mi az f (a) + f "(a) (x-a)? Ez az ugyanazon x ponthoz tartozó érintő ordinátája - lásd az (1) képletet. Mit jelent a (3) közelítő egyenlőség? kiszámítja a függvény közelítő értékét, az érintő ordináta értékét veszik.

4. példa Határozza meg az 1.02 7 numerikus kifejezés közelítő értékét.
Ez körülbelül az y \u003d x 7 függvény értékének megtalálásáról az x \u003d 1,02 pontban. Ebben a példában ezt figyelembe véve a (3) képletet használjuk
Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

Ha számológépet használunk, a következőt kapjuk: 1,02 7 = 1,148685667...
Amint látja, a közelítés pontossága meglehetősen elfogadható.
Válasz: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich algebra 10. évfolyam

Naptári tematikus tervezés matematikában, videó- matematikából online, Matek az iskolában letöltés

Az óra tartalma óra összefoglalója támogatási keret óra bemutató gyorsító módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önvizsgálat műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek grafika, táblázatok, sémák humor, anekdoták, viccek, képregények példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek chipek érdeklődő csaló lapok tankönyvek alapvető és kiegészítő kifejezések szószedete egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben az innováció elemei a leckében az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv egy évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék

Tekintsük a következő ábrát:

Valamilyen y = f(x) függvényt mutat, amely az a pontban differenciálható. Az M pont koordinátákkal (a; f(a)). A gráf tetszőleges P(a + ∆x; f(a + ∆x)) pontján keresztül egy szekáns MP rajzolódik ki.

Ha most a P pontot eltoljuk a grafikonon az M pontig, akkor az MP egyenes az M pont körül fog forogni. Ebben az esetben ∆x nullához fog fordulni. Innen megfogalmazhatjuk egy függvény grafikonjának érintőjének definícióját.

Függvénygráf érintője

A függvény grafikonjának érintője a szekáns határhelyzete, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik. Meg kell érteni, hogy az f függvény deriváltjának létezése az x0 pontban azt jelenti, hogy a gráf ezen pontján tangens neki.

Ebben az esetben az érintő meredeksége egyenlő lesz a függvény deriváltjával ebben az f’(x0) pontban. Ez a származék geometriai jelentése. Az x0 pontban differenciálható f függvény grafikonjának érintője az (x0;f(x0)) ponton átmenő, f’(x0) meredekségű egyenes.

Érintőegyenlet

Próbáljuk meg megszerezni az A(x0; f(x0) pontban lévő f függvény grafikonjának érintőjének egyenletét. A k meredekségű egyenes egyenlete a következő:

Mivel a meredekségünk egyenlő a deriválttal f'(x0), akkor az egyenlet a következő alakot ölti: y = f'(x0)*x + b.

Most számoljuk ki b értékét. Ehhez azt a tényt használjuk, hogy a függvény áthalad az A ponton.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, innen fejezzük ki b-t és kapjuk, hogy b = f(x0) - f’(x0)*x0.

A kapott értéket behelyettesítjük az érintőegyenletbe:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Tekintsük a következő példát: keresse meg az f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x \u003d 2 pontban.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Helyettesítsük be a kapott értékeket az érintőképletbe, így kapjuk: y = 1 + 4*(x - 2). A zárójeleket kinyitva és hasonló kifejezéseket hozva a következőt kapjuk: y = 4*x - 7.

Válasz: y = 4*x - 7.

Az érintőegyenlet összeállításának általános sémája az y = f(x) függvény grafikonjára:

1. Határozzuk meg az x0-t.

2. Számítsa ki az f(x0) értéket.

3. Számítsa ki az f'(x)