Pont egyenes szakasz szakasz szaggatott vonal. Pont, vonal, egyenes, sugár, szakasz, szaggatott vonal

A pont egy absztrakt objektum, amelynek nincsenek mérési jellemzői: nincs magassága, nincs hossza, nincs sugara. A feladat keretein belül csak az elhelyezkedése a fontos

A pontot szám vagy nagy (nagy) latin betű jelzi. Több pont - különböző számok ill különböző betűk hogy meg lehessen különböztetni őket

A pont, B pont, C pont

A B C

1. pont, 2. pont, 3. pont

1 2 3

Rajzolhat három "A" pontot egy papírra, és megkérheti a gyermeket, hogy húzzon egy vonalat a két "A" ponton keresztül. De hogyan lehet megérteni melyiken keresztül? A A A

A vonal pontok halmaza. Csak a hosszt méri. Nincs se szélessége, se vastagsága.

Kisbetűvel jelölve (kicsi) latin betűkkel

sor a, b sor, c sor

a b c

A vonal lehet

1. zárt, ha a kezdete és a vége ugyanabban a pontban van,
2. megnyílik, ha eleje és vége nincs összekötve

zárt sorok

nyitott sorok

Kimentél a lakásból, vettél kenyeret a boltban, és visszatértél a lakásba. Milyen sort kaptál? Így van, zárva. Visszatért a kiindulóponthoz. Kimentél a lakásból, vettél kenyeret a boltban, bementél a bejáraton és beszéltél a szomszéddal. Milyen sort kaptál? Nyisd ki. Nem tértél vissza a kiindulóponthoz. Kimentél a lakásból, kenyeret vettél a boltban. Milyen sort kaptál? Nyisd ki. Nem tértél vissza a kiindulóponthoz.

1. önmagát metsző
2. önmetszéspontok nélkül

önmetsző vonalak

vonalak önmetszéspontok nélkül

1. egyenes
2. szaggatott vonal
3. görbe

egyenes vonalak

szaggatott vonalak

ívelt vonalak

Az egyenes olyan vonal, amely nem görbül, nincs se eleje, se vége, mindkét irányba korlátlanul meghosszabbítható

Még ha látják is kis telek egyenes, feltételezzük, hogy mindkét irányban végtelenül folytatódik

Kisbetűs (kis) latin betűvel jelöljük. Vagy két nagy (nagy) latin betű – egyenes vonalon fekvő pontok

egyenes vonal a

a

egyenes AB

B A

egyenes vonalak lehetnek

1. keresztezik egymást, ha van közös pontjuk. Két egyenes csak egy pontban metszi egymást.
   • merőlegesek, ha derékszögben (90°) metszik egymást.
2. párhuzamos, ha nem metszik egymást, nincs közös pontjuk.

párhuzamos vonalak

metsző vonalak

merőleges vonalak

A sugár egy egyenes része, amelynek van eleje, de vége nincs, korlátlanul kiterjeszthető csak egy irányba

A képen látható fénysugár kiindulópontja a nap.

Nap

A pont két részre osztja az egyenest - két A A sugárra

A gerendát kisbetűs (kis) latin betű jelzi. Vagy két nagy (nagy) latin betű, ahol az első az a pont, ahonnan a sugár kezdődik, a második pedig a sugáron fekvő pont

gerenda a

a

gerenda AB

B A

A gerendák egyeznek, ha

1. ugyanazon az egyenesen található
2. kezdje el egy ponton
3. az egyik oldalra irányítva

Az AB és AC sugarak egybeesnek

A CB és CA sugarak egybeesnek

C B A

A szakasz egy egyenes azon része, amelyet két pont határol, azaz van eleje és vége is, vagyis a hossza mérhető. Egy szakasz hossza a kezdő- és végpontja közötti távolság.

Egy ponton tetszőleges számú vonal húzható, beleértve az egyeneseket is.

Két ponton keresztül - korlátlan számú görbe, de csak egy egyenes

két ponton átmenő görbe vonalak

B A

egyenes AB

B A

Egy darabot „levágtak” az egyenesből, és egy szegmens maradt. A fenti példából láthatja, hogy hossza a két pont közötti legrövidebb távolság. ✂ B A ✂

A szakaszt két nagy (nagy) latin betűvel jelöljük, ahol az első az a pont, ahonnan a szakasz kezdődik, a második pedig az a pont, ahonnan a szakasz véget ér.

AB szegmens

B A

Feladat: hol van az egyenes, sugár, szakasz, görbe?

A szaggatott vonal egymást követő, nem 180°-os szöget bezáró szakaszokból álló vonal

Egy hosszú szakaszt több rövidre „bontottak”.

A vonallánc láncszemei ​​(hasonlóan a láncszemekhez) a vonalláncot alkotó szakaszok. A szomszédos hivatkozások olyan hivatkozások, amelyekben az egyik hivatkozás vége egy másik hivatkozás eleje. A szomszédos linkek nem lehetnek ugyanazon az egyenes vonalon.

A vonallánc csúcsai (hasonlóan a hegyek csúcsaihoz) azok a pontok, ahonnan a vonallánc kezdődik, azok a pontok, ahol a vonalláncot alkotó szakaszok kapcsolódnak, és az a pont, ahol a vonallánc véget ér.

A vonalláncot az összes csúcsának felsorolásával jelöljük.

szaggatott vonal ABCDE

az A vonallánc csúcsa, a B vonallánc csúcsa, a C vonallánc csúcsa, a D vonallánc csúcsa, az E vonallánc csúcsa

AB szaggatott vonal linkje, BC szaggatott vonal linkje, CD szaggatott vonal hivatkozása, DE szaggatott vonal hivatkozása

Az AB és a BC kapcsolat szomszédos

link BC és link CD szomszédos

A link CD és a DE hivatkozás szomszédos

A B C D E 64 62 127 52

Egy vonallánc hossza a linkjei hosszának összege: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Egy feladat: melyik szaggatott vonal hosszabb, a melyiknek van több csúcsa? Az első sorban az összes link azonos hosszúságú, mégpedig 13 cm. A második sorban az összes link azonos hosszúságú, nevezetesen 49 cm. A harmadik sorban az összes link azonos hosszúságú, mégpedig 41 cm.

A sokszög egy zárt vonallánc

A sokszög oldalai (ezek segítenek emlékezni a kifejezésekre: "menj mind a négy oldalra", "fuss a ház felé", "az asztal melyik oldalán ülsz?") a szaggatott vonal hivatkozásai. A sokszög szomszédos oldalai egy szaggatott vonal szomszédos linkjei.

A sokszög csúcsai a vonallánc csúcsai. A szomszédos csúcsok a sokszög egyik oldalának végpontjai.

A sokszöget az összes csúcsának felsorolásával jelöljük.

zárt vonallánc önmetszés nélkül, ABCDEF

ABCDEF sokszög

sokszög csúcs A, sokszög B csúcs, C sokszög csúcs, D sokszög csúcs, E sokszög csúcs, F sokszög csúcs

A csúcs és a B csúcs szomszédos

B csúcs és C csúcs szomszédos

a C és a D csúcs szomszédos

D csúcs és E csúcs szomszédos

az E csúcs és az F csúcs szomszédos

F csúcs és A csúcs szomszédos

sokszög oldal AB, sokszög oldal BC, sokszög oldal CD, sokszög oldal DE, sokszög oldal EF

Az AB oldal és a BC oldal szomszédos

oldal BC és oldal CD szomszédos

oldalsó CD és oldal DE szomszédos

DE oldal és EF oldal szomszédos

oldal EF és oldal FA szomszédos

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

A sokszög kerülete a vonallánc hossza: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

A három csúcsú sokszöget háromszögnek, négyből négyszögnek, öttel ötszögnek és így tovább.

Ebben a cikkben részletesen foglalkozunk a geometria egyik elsődleges fogalmával - a síkon lévő egyenes fogalmával. Először is határozzuk meg az alapvető kifejezéseket és jelöléseket. Ezután egy egyenes és egy pont, valamint két egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét tárgyaljuk egy síkon, és megadjuk a szükséges axiómákat. Végezetül megvizsgáljuk, hogyan lehet egyenes vonalat beállítani egy síkon, és grafikus illusztrációkat adunk.

Oldalnavigáció.

Az egyenes egy síkon egy fogalom.

Mielőtt megadnánk az egyenes vonal fogalmát egy síkon, világosan meg kell értenünk, mi a sík. A repülőgép ábrázolása lehetővé teszi, hogy például egy sík felületet kapjon az asztalhoz vagy a ház falához. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a táblázat méretei korlátozottak, és a sík ezeken a határokon túl a végtelenségig terjed (mintha tetszőlegesen nagy asztalunk lenne).

Ha fogunk egy jól kihegyezett ceruzát, és a magját hozzáérintjük az „asztal” felületéhez, akkor pont képet kapunk. Tehát megkapjuk egy pont ábrázolása egy síkon.

Most már mehetsz ide egy síkon egyenes vonal fogalma.

Tegyünk az asztal felületére (a síkra) egy tiszta papírlapot. Az egyenes vonal rajzolásához vegyünk egy vonalzót, és húzzunk egy vonalat ceruzával, amennyire a vonalzó és a használt papírlap méretei megengedik. Megjegyzendő, hogy így az egyenesnek csak egy részét kapjuk. Egy teljes egészében, a végtelenbe nyúló egyenest csak elképzelni tudjuk.

Egy egyenes és egy pont kölcsönös helyzete.

Egy axiómával kell kezdeni: minden egyenesen és minden síkban vannak pontok.

A pontokat általában nagy latin betűkkel jelölik, például az A és F pontot. Az egyenes vonalakat viszont kis latin betűk jelölik, például egyenes vonalak a és d.

Lehetséges két lehetőség relatív pozíció vonal és pontok a síkon: vagy az egyenesen fekszik a pont (ebben az esetben azt is mondják, hogy az egyenes átmegy a ponton), vagy a pont nem fekszik az egyenesen (azt is mondják, hogy a pont nem tartozik az egyeneshez, ill. az egyenes nem megy át a ponton).

Annak jelzésére, hogy egy pont egy bizonyos vonalhoz tartozik, a "" szimbólumot használjuk. Például, ha az A pont az a egyenesen fekszik, akkor írhat. Ha az A pont nem tartozik az a egyeneshez, akkor írjuk le.

A következő állítás igaz: bármely két ponton keresztül csak egy egyenes van.

Ez az állítás axióma, és tényként kell elfogadni. Ráadásul ez teljesen nyilvánvaló: megjelölünk két pontot a papíron, vonalzót alkalmazunk rájuk, és húzunk egy egyenest. Egy két adott ponton átmenő egyenes (például A és B ponton) e két betűvel jelölhető (esetünkben AB vagy BA egyenes).

Meg kell érteni, hogy egy síkon adott egyenesen végtelenül sok különböző pont van, és ezek a pontok mindegyike ugyanabban a síkban található. Ezt az állítást az axióma állítja fel: ha egy egyenes két pontja egy bizonyos síkban van, akkor ennek az egyenesnek minden pontja ebben a síkban van.

Az egyenesen megadott két pont között elhelyezkedő összes pont halmazát ezekkel a pontokkal együtt nevezzük egyenes vagy egyszerűen szegmens. A szakaszt határoló pontokat a szakasz végeinek nevezzük. Egy szakaszt két betűvel jelölünk, amelyek megfelelnek a szakasz végének pontjainak. Legyen például A és B pont egy szakasz vége, akkor ezt a szakaszt jelölhetjük AB-vel vagy BA-val. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a szakasznak ez a megjelölése megegyezik az egyenes megjelölésével. A félreértések elkerülése érdekében javasoljuk a „szegmens” vagy „egyenes” szó hozzáadását a megnevezéshez.

Egy bizonyos szegmenshez való egy bizonyos ponthoz való tartozás és nem tartozik rövid rögzítésére ugyanazokat a és szimbólumokat használják. Annak bizonyítására, hogy egy szakasz egy egyenesen fekszik vagy nem, a és a szimbólumokat használjuk. Például, ha az AB szakasz az a vonalhoz tartozik, akkor röviden leírhatja.

El kell időznünk azon az eseten is, amikor három különböző pont tartozik ugyanahhoz az egyeneshez. Ebben az esetben egy, és csak egy pont van a másik kettő között. Ez az állítás egy másik axióma. Legyen az A, B és C pont ugyanazon az egyenesen, a B pont pedig az A és C pontok között. Ekkor azt mondhatjuk, hogy az A és C pont a B pont ellentétes oldalán található. Azt is mondhatjuk, hogy B és C pont az A pont azonos oldalán, az A és B pont pedig a C pont ugyanazon oldalán található.

A kép teljessé tétele érdekében megjegyezzük, hogy az egyenes vonal bármely pontja ezt az egyenest két részre - kettőre - osztja gerenda. Erre az esetre adott egy axióma: egy tetszőleges O pont, amely egy egyeneshez tartozik, ezt az egyenest két sugárra osztja, és egy sugár bármely két pontja az O pont ugyanazon az oldalán található, és bármely két különböző sugarú pont. az O pont ellentétes oldalán feküdjön.

Egyenesek kölcsönös elrendezése síkon.

Most válaszoljunk a kérdésre: "Hogyan helyezkedhet el két egyenes egy síkon egymáshoz képest"?

Először is, két vonal egy síkban lehet egybeesik.

Ez akkor lehetséges, ha a vonalaknak legalább két közös pontja van. Valójában az előző bekezdésben hangoztatott axióma értelmében egyetlen egyenes két ponton halad át. Más szóval, ha két egyenes átmegy két adott ponton, akkor egybeesik.

Másodszor, két egyenes egy síkban lehet kereszt.

Ebben az esetben az egyeneseknek van egy közös pontja, amelyet az egyenesek metszéspontjának nevezünk. A vonalak metszéspontját a "" szimbólum jelöli, például a rekord azt jelenti, hogy az a és b vonalak az M pontban metszik egymást. A metsző egyenesek elvezetnek bennünket a metsző egyenesek közötti szög fogalmához. Külön-külön érdemes figyelembe venni az egyenesek elhelyezkedését egy síkon, ha a köztük lévő szög kilencven fok. Ebben az esetben a vonalakat hívják merőleges(a merőleges vonalak, sorok merőlegessége cikket ajánljuk). Ha az a egyenes merőleges a b egyenesre, akkor rövid jelölés használható.

Harmadszor, egy síkban két egyenes lehet párhuzamos.

Gyakorlati szempontból célszerű egy síkon lévő egyenest vektorokkal együtt figyelembe venni. Különösen fontosak nem nulla vektorok adott egyenesen vagy bármely párhuzamos egyenesen fekve hívjuk őket az egyenes irányvektorai. A síkon lévő egyenest irányító vektor példákat ad az irányító vektorokra, és bemutatja azok felhasználási lehetőségeit a feladatok megoldásában.

Figyelni kell a nem nulla vektorokra is, amelyek az adott egyenesre merőlegesen helyezkednek el. Az ilyen vektorokat ún az egyenes normálvektorai. Az egyenes normálvektorainak használatát a síkon lévő egyenes normálvektora című cikk írja le.

Ha egy síkon három vagy több egyenes van megadva, akkor halmaz keletkezik különféle lehetőségek relatív helyzetüket. Minden egyenes lehet párhuzamos, különben néhány vagy mindegyik metszi egymást. Ebben az esetben az összes vonal egy pontban metszi egymást (lásd a cikket egy ceruzával), vagy különböző pontokat kereszteződések.

Nem foglalkozunk ezzel részletesen, de megemlítünk néhány figyelemre méltó és igen gyakran használt tényt bizonyíték nélkül:

• ha két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak egymással;
• ha két egyenes merőleges egy harmadik egyenesre, akkor párhuzamosak egymással;
• ha egy síkban egy egyenes két párhuzamos egyenes közül az egyiket metszi, akkor a második egyenest is metszi.

Egyenes síkon való beállításának módszerei.

Most felsoroljuk azokat a főbb módokat, amelyekkel meghatározhat egy adott vonalat a síkban. Ez a tudás gyakorlati szempontból nagyon hasznos, hiszen rengeteg példa és probléma megoldása épül rá.

Először is egy egyenes definiálható két pont megadásával a síkon.

Valójában a cikk első bekezdésében tárgyalt axiómából tudjuk, hogy egy egyenes két ponton halad át, ráadásul csak egyen.

Ha egy síkon egy téglalap alakú koordinátarendszerben két nem illeszkedő pont koordinátáit tüntettük fel, akkor fel lehet írni egy két adott ponton átmenő egyenes egyenletét.

Másodszor, egy egyenes megadható annak a pontnak a megadásával, amelyen áthalad, és azt az egyenest, amellyel párhuzamos. Ez a módszer érvényes, mivel egyetlen egyenes halad át a sík adott pontján, párhuzamosan egy adott egyenessel. Ennek bizonyítását a középiskolai geometria órákon végezték el.

Ha egy síkon egy egyenest így állítunk be a bevezetett derékszögű derékszögű koordinátarendszerhez képest, akkor meg lehet alkotni az egyenletét. Ez a cikkben egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete, amely párhuzamosan halad egy adott egyenessel.

Harmadszor, egy egyenes úgy határozható meg, hogy megadjuk azt a pontot, amelyen áthalad, és az irányvektorát.

Ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben így adunk meg egy egyenest, akkor könnyen meg lehet alkotni annak kanonikus egyenletét egy síkon, és egy síkon egy egyenes parametrikus egyenletét.

Az egyenes megadásának negyedik módja annak a pontnak a meghatározása, amelyen áthalad, és azt az egyenest, amelyre merőleges. Valóban, keresztül adott pont A síkban csak egy egyenes van, amely merőleges az adott egyenesre. Hagyjuk ezt a tényt bizonyíték nélkül.

Végül a síkban lévő egyenes megadható annak a pontnak a megadásával, amelyen áthalad, és az egyenes normálvektorát.

Ha egy adott egyenesen fekvő pont koordinátái és az egyenes normálvektorának koordinátái ismertek, akkor fel lehet írni az egyenes általános egyenletét.

Bibliográfia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. 7 - 9. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Tankönyv a gimnázium 10-11 osztályos számára.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. felsőbb matematika. Első kötet: A lineáris algebra és az analitikus geometria elemei.
• Iljin V.A., Poznyak E.G. Analitikus geometria.

Okos diákok szerzői joga

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Nem része a www.webhelynek, beleértve belső anyagokés külső kialakítás, semmilyen formában nem reprodukálható és nem használható fel a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.

Megnézzük az egyes témákat, a végén pedig tesztek lesznek a témákban.

Pont a matematikában

Mi a lényeg a matematikában? Egy matematikai pontnak nincsenek méretei, és nagy latin betűkkel jelöljük: A, B, C, D, F stb.

Az ábrán az A, B, C, D, F, E, M, T, S pontok képe látható.

Szegmens a matematikában

Mit jelent a szegmens a matematikában? A matematika órákon a következő magyarázatot hallhatja: a matematikai szakasznak van hossza és vége. A szegmens a matematikában az összes olyan pont halmaza, amely egy szakasz végei között egy egyenesen fekszik. A szakasz végei két határpont.

Az ábrán a következőket látjuk: ,,,, és szakaszok, valamint két B és S pont.

Egyenesek a matematikában

Mit jelent az egyenes a matematikában? Az egyenes definíciója a matematikában: az egyenesnek nincsenek végei, és mindkét irányban a végtelenségig folytatódhat. Az egyenest a matematikában az egyenes bármely két pontja jelöli. Az egyenes fogalmának elmagyarázásához a tanulónak azt mondhatjuk, hogy az egyenes olyan szakasz, amelynek nincs két vége.

Az ábrán két egyenes látható: CD és EF.

Ray a matematikában

Mi az a sugár? A sugár definíciója a matematikában: A sugár egy egyenes része, amelynek van eleje és nincs vége. A nyaláb neve két betűt tartalmaz, például DC. Sőt, az első betű mindig a sugár kezdőpontját jelzi, így a betűket nem lehet felcserélni.

Az ábrán a gerendák láthatók: DC, KC, EF, MT, MS. Gerendák KC és KD - egy gerenda, mert közös eredetük van.

Számsor a matematikában

Számegyenes definíciója a matematikában: Számegyenesnek nevezzük azt az egyenest, amelynek pontjai számokat jelölnek.

Az ábrán egy számegyenes, valamint egy OD és ED sugár látható