A fok hegyesszögű háromszöget jelent. A háromszögek típusai: derékszögű, hegyesszögű, tompaszögű

Általános szabály, hogy két háromszöget hasonlónak tekintünk, ha azonos alakúak, még akkor is, ha különböző méretűek, el vannak forgatva vagy akár fejjel lefelé.

Az ábrán látható két hasonló háromszög A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2 matematikai ábrázolását a következőképpen írjuk le:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Két háromszög hasonló, ha:

1. Egy háromszög minden szöge egyenlő egy másik háromszög megfelelő szögével:
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2És ∠C1 = ∠C2

2. Egy háromszög oldalainak aránya egy másik háromszög megfelelő oldalaihoz egyenlő:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Kapcsolatok két oldal az egyik háromszög megfelelő oldalai egy másik háromszög megfelelő oldalaihoz egyenlők egymással és ugyanakkor
az oldalak közötti szögek egyenlőek:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ és $\angle A_1 = \angle A_2$
vagy
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ és $\angle B_1 = \angle B_2$
vagy
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ és $\angle C_1 = \angle C_2$

A hasonló háromszögeket nem szabad összetéveszteni az egyenlő háromszögekkel. Az egybevágó háromszögeknek megfelelő oldalhosszuk van. Tehát egyenlő háromszögeknél:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Ebből következik, hogy minden egyenlő háromszög hasonló. Azonban nem minden hasonló háromszög egyenlő.

Bár a fenti jelölés azt mutatja, hogy ahhoz, hogy megtudjuk, hogy két háromszög hasonló-e vagy sem, ismernünk kell a három szög értékét vagy az egyes háromszögek három oldalának hosszát, hogy hasonló háromszögekkel megoldhassunk. elegendő, ha a fentiekből három értéket ismerünk minden háromszögre. Ezek az értékek különféle kombinációkban lehetnek:

1) minden háromszög három szöge (a háromszögek oldalainak hosszát nem kell tudni).

Vagy egy háromszög legalább 2 szögének egyenlőnek kell lennie egy másik háromszög 2 szögével.
Mivel ha 2 szög egyenlő, akkor a harmadik szög is egyenlő lesz. (A harmadik szög értéke 180 - szög1 - szög2)

2) az egyes háromszögek oldalainak hossza (nem kell tudni a szögeket);

3) a két oldal hossza és a köztük lévő szög.

Ezután megvizsgáljuk néhány probléma megoldását hasonló háromszögekkel. Először azokat a problémákat nézzük meg, amelyek a fenti szabályok közvetlen alkalmazásával megoldhatók, majd néhány gyakorlati problémát tárgyalunk, amelyek a hasonló háromszögek módszerével megoldhatók.

Gyakorlati problémák hasonló háromszögekkel

1. példa: Mutassuk meg, hogy az alábbi ábrán látható két háromszög hasonló.

Megoldás:
Mivel mindkét háromszög oldalainak hossza ismert, itt alkalmazható a második szabály:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

2. példa: Mutassuk meg, hogy két adott háromszög hasonló, és határozzuk meg az oldalak hosszát! PQÉs PR.

Megoldás:
∠A = ∠PÉs ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(mert ∠C = 180 - ∠A - ∠B és ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Ebből következik, hogy az ∆ABC és ∆PQR háromszögek hasonlóak. Következésképpen:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Jobbra PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ és
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Jobbra PR=\frac(7\times12)(6) = 14 dollár

3. példa: Határozza meg a hosszát AB ebben a háromszögben.

Megoldás:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDÉs ∠A közös => háromszögek ΔABCÉs ΔADE hasonlóak.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Jobbra 2\szer AB = AB + 4 \Jobbra AB = 4 $

4. példa: Határozza meg a hosszt AD(x) geometriai ábra az ábrán.

Az ∆ABC és ∆CDE háromszögek hasonlóak, mert AB || DE és van egy közös felső sarok C.
Látjuk, hogy az egyik háromszög a másik méretarányos változata. Ezt azonban matematikailag bizonyítanunk kell.

AB || DE, CD || AC és BC || EU
∠BAC = ∠EDC és ∠ABC = ∠DEC

A fentiek alapján és figyelembe véve a közös szög jelenlétét C, kijelenthetjük, hogy az ∆ABC és ∆CDE háromszögek hasonlóak.

Következésképpen:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Jobbra CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Gyakorlati példák

5. példa: A gyár ferde szállítószalaggal szállítja a termékeket az 1. szintről a 2. szintre, ami 3 méterrel van az 1. szint felett, ahogy az ábrán is látható. A ferde szállítószalag az egyik végétől az 1-es szintig, a másik végétől az 1-es szintű működési ponttól 8 méter távolságra lévő munkaállomáshoz kerül kiszolgálásra.

A gyár a szállítószalag korszerűsítését szeretné elérni, hogy a szállítószalag szögének megtartása mellett hozzáférjen az új szinthez, amely 9 méterrel van az 1. szint felett.

Határozza meg azt a távolságot, amelyen belül új munkaállomást kell felállítania annak biztosítására, hogy a szállítószalag az új végénél működjön a 2. szinten. Számítsa ki azt a további távolságot is, amelyet a termék megtesz, amikor új szintre lép.

Megoldás:

Először is jelöljünk meg minden metszéspontot egy adott betűvel, az ábrán látható módon.

Az előző példákban szereplő érvelés alapján megállapíthatjuk, hogy az ∆ABC és ∆ADE háromszögek hasonlóak. Következésképpen,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Jobbra AB = \frac(8 \x 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Így az új pontot a meglévő ponttól 16 méter távolságra kell telepíteni.

És mivel a szerkezet derékszögű háromszögekből áll, a termék megtételi távolságát a következőképpen számíthatjuk ki:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Hasonlóképpen, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
amely az a távolság, amelyet a termék megtesz Ebben a pillanatban a meglévő szintre lépve.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Ez az az extra távolság, amelyet egy terméknek meg kell tennie, hogy új szintre lépjen.

6. példa: Steve meg akarja látogatni barátját, aki nemrég költözött hozzá új ház. A Steve és barátja házához vezető útiterv, valamint a Steve által ismert távolságok az ábrán láthatók. Segíts Steve-nek a legrövidebb úton eljutni barátja házához.

Megoldás:

Az útiterv geometriailag az alábbi formában ábrázolható, ahogy az az ábrán is látható.

Látjuk, hogy az ∆ABC és ∆CDE háromszögek hasonlóak, ezért:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

A feladatnyilatkozat kimondja, hogy:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km és DE = 5 km

Ezen információk alapján a következő távolságokat számíthatjuk ki:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \x 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \x 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve a következő utakon juthat el barátja házához:

A -> B -> C -> E -> G, a teljes távolság 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, a teljes távolság 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, a teljes távolság 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, a teljes távolság 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Ezért a 3-as út a legrövidebb, és felajánlható Steve-nek.

7. példa:
Trisha meg akarja mérni a ház magasságát, de nincs a megfelelő eszközöket. Észrevette, hogy a ház előtt egy fa nő, és úgy döntött, hogy az iskolában szerzett találékonyságát és geometriai ismereteit felhasználja az épület magasságának meghatározásához. Megmérte a távolságot a fától a házig, az eredmény 30 m, majd a fa elé állt és hátrálni kezdett, amíg az épület felső széle nem látszott a fa teteje felett. Trisha megjelölte a helyet, és megmérte a távolságot attól a fáig. Ez a távolság 5 m volt.

A fa magassága 2,8 m, Trisha szeme pedig 1,6 m Segíts Trishának meghatározni az épület magasságát.

Megoldás:

A feladat geometriai ábrázolása az ábrán látható.

Először az ∆ABC és ∆ADE háromszögek hasonlóságát használjuk.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Jobbra 2.8 \x AC = 1.6 \x (5) + AC) = 8 + 1,6 \x AC$

$(2,8 - 1,6) \x AC = 8 \Jobbra AC = \frac(8)(1,2) = 6,67 $

Ekkor használhatjuk az ∆ACB és ∆AFG vagy ∆ADE és ∆AFG háromszögek hasonlóságát. Válasszuk az első lehetőséget.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \jobbra H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 m$

Két háromszöget egybevágónak mondunk, ha átfedhetők. Az 1. ábrán az ABC és A 1 B 1 C 1 egyenlő háromszögek láthatók. Ezen háromszögek mindegyike egymásra rakható, így teljesen kompatibilisek, azaz csúcsaik és oldalaik párosítva vannak. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben ezeknek a háromszögeknek a szögeit párokban egyesítjük.

Így ha két háromszög egyenlő, akkor az egyik háromszög elemei (azaz oldalai és szögei) rendre megegyeznek a másik háromszög elemeivel. Vegye figyelembe, hogy egyenlő háromszögekben, rendre egyenlő oldalakkal szemben(vagyis egymásra helyezve átfedés) egyenlő szögek fekszenekés vissza: egymással szemben, megfelelően egyenlő szögek, egyenlő oldalak vannak.

Így például az 1. ábrán látható ABC és A 1 B 1 C 1 egyenlő háromszögekben, az AB és A 1 B 1 egyenlő oldalakkal szemben, egyenlő C és C 1 szögek vannak. Az ABC és A 1 B 1 C 1 háromszögek egyenlőségét a következőképpen jelöljük: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Kiderül, hogy két háromszög egyenlősége megállapítható egyes elemeik összehasonlításával.

1. tétel. A háromszögek egyenlőségének első jele. Ha egy háromszög két oldala és a közöttük lévő szög rendre egyenlő egy másik háromszög két oldalával és a köztük lévő szög, akkor az ilyen háromszögek egyenlőek (2. ábra).

Bizonyíték. Tekintsük az ABC és A 1 B 1 C 1 háromszögeket, amelyekben AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (lásd a 2. ábrát). Bizonyítsuk be, hogy Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Mivel ∠ A \u003d ∠ A 1, akkor az ABC háromszög ráhelyezhető az A 1 B 1 C 1 háromszögre úgy, hogy az A csúcs az A 1 csúcshoz igazodik, az AB és AC oldalak pedig a az A 1 B 1 és A 1 C sugarak egy . Mivel AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, akkor az AB oldalt az A 1 B 1 oldallal, az AC oldalt pedig az A 1 C 1 oldallal kombináljuk; különösen a B és B 1, C és C 1 pontok egybeesnek. Ezért a BC és B 1 C 1 oldalak egy vonalba kerülnek. Tehát az ABC és az A 1 B 1 C 1 háromszögek teljesen kompatibilisek, ami azt jelenti, hogy egyenlők.

A 2. tételt hasonlóképpen bizonyítjuk a szuperpozíciós módszerrel.

2. tétel. A háromszögek egyenlőségének második jele. Ha az egyik háromszög oldala és a vele szomszédos két szög rendre egyenlő egy másik háromszög oldalával és két szomszédos szögével, akkor az ilyen háromszögek egyenlőek (34. ábra).

Megjegyzés. A 2. Tétel alapján megállapítjuk a 3. tételt.

3. Tétel. Egy háromszög bármely két belső szögének összege kisebb, mint 180°.

A 4. tétel az utolsó tételből következik.

4. Tétel. Egy háromszög külső szöge nagyobb bármelyiknél belső sarok, nem szomszédos vele.

5. tétel. A háromszögek egyenlőségének harmadik jele. Ha egy háromszög három oldala rendre egyenlő egy másik háromszög három oldalával, akkor az ilyen háromszögek egyenlőek ().

1. példa Az ABC és DEF háromszögekben (4. ábra)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Hasonlítsa össze az ABC és DEF háromszögeket. A DEF háromszögben melyik szög egyenlő B szöggel?

Megoldás. Ezek a háromszögek egyenlőek az első jelben. A DEF háromszög F szöge egyenlő az ABC háromszög B szögével, mivel ezek a szögek a megfelelő DE és AC egyenlő oldalakkal szemben helyezkednek el.

2. példa Az AB és CD szakaszok (5. ábra) az O pontban metszik egymást, amely mindegyik felezőpontja. Mivel egyenlő a BD szegmens, ha az AC szakasz 6 m?

Megoldás. Az AOC és BOD háromszögek egyenlőek (az első kritérium szerint): ∠ AOC = ∠ BOD (függőleges), AO = OB, CO = OD (feltétel szerint).
E háromszögek egyenlőségéből következik az oldalaik egyenlősége, azaz AC = BD. De mivel a feltétel szerint AC = 6 m, akkor BD = 6 m.

Szabványos jelölések

Háromszög csúcsokkal A, BÉs C jelzéssel (lásd ábra). A háromszögnek három oldala van:

A háromszög oldalainak hosszát kisbetűvel jelöljük latin betűkkel(ABC):

A háromszögnek a következő szögei vannak:

A megfelelő csúcsok szögeinek értékeit hagyományosan jelölik görög betűk (α, β, γ).

A háromszögek egyenlőségének jelei

Egy háromszög az euklideszi síkon egyedileg (kongruenciáig) definiálható az alábbi alapelemhármasokkal:

1. a, b, γ (két oldal egyenlősége és a közöttük lévő szög);
2. a, β, γ (oldal- és két szomszédos szög egyenlősége);
3. a, b, c (három oldal egyenlősége).

A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei:

1. a láb és a hypotenus mentén;
2. két lábon;
3. a láb és a hegyesszög mentén;
4. hypotenusa és hegyesszög.

A háromszög egyes pontjai „párosítva” vannak. Például van két olyan pont, ahonnan minden oldal 60°-os vagy 120°-os szögben látható. Úgy hívják pöttyös Torricelli. Két olyan pont is van, amelyek oldalainak vetületei egy szabályos háromszög csúcsaiban vannak. ez - Apollonius pontjai. Pontokat és hasonlókat hívnak Brocard pontok.

Közvetlen

Bármely háromszögben a körülírt kör súlypontja, ortocentruma és középpontja ugyanazon az egyenesen fekszik, ún. Euler vonal.

A körülírt kör középpontján és a Lemoine-ponton áthaladó egyenest nevezzük Brokar tengelye. Apollonius-pontok hevernek rajta. A Torricelli-pont és a Lemoine-pont is ugyanazon az egyenesen fekszik. A háromszög szögeinek külső felezőinek alapjai ugyanazon az egyenesen fekszenek, ún. külső felezők tengelye. Az derékszögű háromszög oldalait tartalmazó egyenesek és a háromszög oldalait tartalmazó egyenesek metszéspontjai is ugyanazon az egyenesen fekszenek. Ezt a vonalat hívják ortocentrikus tengely, merőleges az Euler-egyenesre.

Ha egy háromszög körülírt körén veszünk egy pontot, akkor a háromszög oldalain lévő vetületei egy egyenesen fekszenek, ún. Simson egyenes adott pont. A Simson-féle átlósan ellentétes pontok egyenesei merőlegesek.

háromszögek

• Olyan háromszöget nevezünk, amelynek csúcsai egy adott ponton keresztül húzott cevianok alapjaiban vannak cevian háromszög ez a pont.
• Olyan háromszöget nevezünk, amelynek csúcsai egy adott pont vetületei az oldalakra a bőr alatt vagy pedál háromszög ez a pont.
• Egy olyan háromszöget, amelynek csúcsai a csúcsokon és az adott ponton áthúzott egyenesek második metszéspontjában, a körülírt körrel ún. cevian háromszög. A cevian háromszög hasonló a bőr alattihoz.

körökben

• Beírt kör egy kör, amely a háromszög mindhárom oldalát érinti. Ő az egyetlen. A beírt kör középpontját ún incenter.
• Behatárolt kör- a háromszög mindhárom csúcsán áthaladó kör. A körülírt kör is egyedi.
• Kerülje el- a háromszög egyik oldalát érintő kör és a másik két oldal kiterjesztése. Három ilyen kör van egy háromszögben. Gyökközéppontjuk a középső háromszög beírt körének középpontja, az ún Spieker álláspontja.

A háromszög három oldalának felezőpontjai, három magasságának alapjai és a csúcsait az ortocentrummal összekötő három szakasz felezőpontjai egyetlen körön helyezkednek el, ún. kilenc pontból álló kör vagy Euler kör. A kilencpontos kör középpontja az Euler-egyenesen fekszik. Egy kilenc pontból álló kör egy beírt kört és három kört érint. Egy beírt kör és egy kilenc pontból álló kör érintkezési pontját nevezzük Feuerbach pont. Ha minden csúcsból háromszögeket rakunk ki oldalakat tartalmazó egyenesekre, amelyeknek ortézisei egyenlő hosszúak a szemközti oldalakkal, akkor a kapott hat pont egy körön fekszik - Conway körökben. Bármely háromszögbe három kör írható fel úgy, hogy mindegyik érintse a háromszög két oldalát és két másik kört. Az ilyen köröket hívják Malfatti körök. A hat háromszög körülírt köreinek középpontjai, amelyekre a háromszöget mediánok osztják, egy körön helyezkednek el, amelyet ún. Lamun kör.

Egy háromszögnek három köre van, amelyek érintik a háromszög és a körülírt kör két oldalát. Az ilyen köröket hívják félig feliratos vagy Verrier körök. A Verrier-körök érintkezési pontjait a körülírt körrel összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást, ún. Verrier pont. Ez szolgál a homotétium középpontjaként, amely a körülírt kört a beírt körbe viszi. A Verrier-körök és az oldalak érintési pontjai egy egyenesen fekszenek, amely átmegy a beírt kör középpontján.

A beírt kör érintőpontjait a csúcsokkal összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást, ún. Gergonne pont, valamint a csúcsokat a körkörök érintkezési pontjaival összekötő szakaszok - in Nagel pont.

Ellipszisek, parabolák és hiperbolák

Beírt kúp (ellipszis) és perspektívája

Egy háromszögbe végtelen számú kúp (ellipszis, parabola vagy hiperbola) írható be. Ha beírunk egy tetszőleges kúpot egy háromszögbe, és az érintkezési pontokat egymással szemben lévő csúcsokkal kötjük össze, akkor a kapott egyenesek egy pontban metszik egymást, ún. perspektíva kúpos. A sík bármely olyan pontjához, amely nem fekszik az egyik oldalon vagy annak meghosszabbításán, létezik egy beírt kúp, amelynek perspektívája ebben a pontban van.

A Steiner-ellipszis körülírt és a gócokon áthaladó cevians

Egy ellipszis írható egy háromszögbe, amely a felezőpontokban érinti az oldalakat. Az ilyen ellipszist az ún Steiner ellipszist írt(perspektívája a háromszög súlypontja lesz). A leírt ellipszist, amely az oldalakkal párhuzamos csúcsokon átmenő egyeneseket érinti, ún a Steiner-ellipszis által körülírt. Ha egy affin transzformáció ("ferdítés") a háromszöget szabályossá alakítja, akkor a beírt és körülírt Steiner-ellipszis egy beírt és körülírt körbe megy át. A leírt Steiner-ellipszis fókuszpontjain (Skutin-pontok) áthúzott Cevians egyenlőek (Skutin-tétel). Az összes körülírt ellipszis közül a körülírt Steiner-ellipszis rendelkezik legkisebb terület, és az összes feliratos közül a beírt Steiner-ellipszisnek van a legnagyobb területe.

Brocard ellipszis és vizsgálója - Lemoine pont

Egy ellipszist nevezünk Brokar pontjainál gócokkal Brocard ellipszis. Perspektívája a Lemoine-pont.

A beírt parabola tulajdonságai

Kiepert parabola

A beírt parabolák perspektívái a körülírt Steiner-ellipszisen fekszenek. A beírt parabola fókusza a körülírt körön van, és a direktrix áthalad az ortocentrumban. Egy olyan háromszögbe írt parabolát nevezünk, amelynek irányítója az Euler-egyenes Kiepert parabolája. Perspektívája a körülírt kör és a körülírt Steiner-ellipszis negyedik metszéspontja, ún. Steiner pont.

Cypert hiperbolája

Ha a leírt hiperbola átmegy a magasságok metszéspontján, akkor egyenlő oldalú (azaz aszimptotái merőlegesek). Egy egyenlő oldalú hiperbola aszimptotáinak metszéspontja egy kilenc pontból álló körön található.

Átváltozások

Ha a csúcsokon és az oldalakon nem fekvő pontokon áthaladó egyenesek és azok kiterjesztései a megfelelő felezőkre vonatkoztatva tükröződnek, akkor a képeik is egy pontban metszik egymást, amit ún. izogonálisan konjugált az eredeti (ha a pont a körülírt körön feküdt, akkor a kapott egyenesek párhuzamosak lesznek). Számos figyelemre méltó pontpár izogonálisan konjugált: a körülírt kör középpontja és az ortocentrum, a centroid és a Lemoine-pont, a Brocard-pontok. Az Apollonius-pontok izogonálisan konjugáltak a Torricelli-pontokhoz, és a körkör középpontja izogonálisan konjugált önmagához. Az izogonális ragozás hatására az egyenesek körülírt kúpokká, a körülírt kúpok pedig egyenesekké válnak. Tehát a Kiepert-hiperbola és a Brocard-tengely, az Enzhabek-hiperbola és az Euler-egyenes, a Feuerbach-hiperbola és a beírt kör középpontjainak vonala izogonálisan konjugáltak. Az izogonálisan konjugált pontok szubdermális háromszögeinek körülírt körei egybeesnek. A beírt ellipszisek gócai izogonálisan konjugáltak.

Ha szimmetrikus cevian helyett olyan cevian-t veszünk, amelynek alapja olyan messze van az oldal közepétől, mint az eredetié, akkor az ilyen cevianok is egy ponton metszik egymást. A kapott transzformációt ún izotómiás konjugáció. A vonalakat körülírt kúpokra is leképezi. A Gergonne és Nagel pontok izotómiailag konjugáltak. Az affin transzformációk során az izotómiailag konjugált pontok izotómiailag konjugált pontokká alakulnak át. Izotómiás konjugációnál a leírt Steiner-ellipszis a végtelenben átmegy az egyenesbe.

Ha a háromszög oldalai által a körülírt körből levágott szakaszokba olyan köröket írunk be, amelyek egy bizonyos ponton áthúzott cevians alapjainál érintik az oldalakat, majd e körök érintkezési pontjai a körülírt körhöz kapcsolódnak. ellentétes csúcsú kört, akkor ezek az egyenesek egy pontban metszik egymást. A sík transzformációját, az eredeti pontot a kapott ponthoz illesztését nevezzük izocirkuláris átalakulás. Az izogonális és izotómiás konjugáció összetétele az önmagával való izocirkuláris transzformáció összetétele. Ez a kompozíció egy projektív transzformáció, amely a háromszög oldalait a helyükön hagyja, és a külső felezők tengelyét a végtelenben egyenessé fordítja.

Ha folytatjuk valamely pont Cevian-háromszögének oldalait, és felvesszük a metszéspontjaikat a megfelelő oldalakkal, akkor a kapott metszéspontok egy egyenesen fekszenek, ún. trilineáris poláris kiindulópont. Ortocentrikus tengely - az ortocentrum trilineáris polárisa; a beírt kör középpontjának trilineáris polárisa a külső felezők tengelye. A körülírt kúpon fekvő pontok háromvonalas polárisai egy pontban metszik egymást (a körülírt körnél ez a Lemoine-pont, a körülírt Steiner-ellipszisnél ez a súlypont). Az izogonális (vagy izotómikus) konjugáció és a trilineáris poláris összetétele dualitás-transzformáció (ha a ponthoz izogonálisan (izotómiailag) konjugált pont a pont trilineáris polárisán fekszik, akkor a pont trilineáris polárisa izogonálisan (izotómiailag) ponthoz konjugálva a pont trilineáris polárisán fekszik ).

Kocka

Kapcsolatok háromszögben

Jegyzet: ebben a szakaszban , , a háromszög három oldalának hossza, és , , a három oldallal szemben eső szögek (szemközti szögek).

háromszög egyenlőtlenség

Egy nem degenerált háromszögben a két oldala hosszának összege nagyobb, mint a harmadik oldal hossza, egy degenerált háromszögben egyenlő. Más szavakkal, a háromszög oldalainak hosszát a következő egyenlőtlenségek kapcsolják össze:

A háromszög-egyenlőtlenség a metrikák egyik axiómája.

Szögösszeg háromszög tétele

Szinusztétel

,

ahol R a háromszög köré körülírt kör sugara. A tételből az következik, hogy ha a< b < c, то α < β < γ.

Koszinusz tétel

Érintőtétel

Egyéb arányok

A metrikus arányok egy háromszögben a következők:

Háromszögek megoldása

A háromszög ismeretlen oldalainak és szögeinek az ismert oldalakon alapuló kiszámítását a történelemben "háromszög-megoldásnak" nevezték. Ebben az esetben a fenti általános trigonometrikus tételeket használjuk.

Egy háromszög területe

Különleges esetek Jelölés

A területre a következő egyenlőtlenségek érvényesek:

Egy háromszög térbeli területének kiszámítása vektorok segítségével

Legyenek a háromszög csúcsai a , , pontokban.

Vezessük be a területvektort. Ennek a vektornak a hossza megegyezik a háromszög területével, és a háromszög síkjára irányul:

Legyen , ahol , , a háromszög vetületei a koordinátasíkra. Ahol

és hasonlóképpen

A háromszög területe .

Egy másik lehetőség az oldalak hosszának kiszámítása (a Pitagorasz-tétel segítségével), majd a Heron-képlet segítségével.

Háromszög tételek

Desargues-tétel: ha két háromszög perspektivikus (a háromszögek megfelelő csúcsain átmenő egyenesek egy pontban metszik egymást), akkor a megfelelő oldalaik egy egyenesen metszik egymást.

Sond tétele: ha két háromszög perspektivikus és ortológ (egy háromszög csúcsaiból a háromszög megfelelő csúcsaival ellentétes oldalakra ejtett merőlegesek, és fordítva), akkor mindkét ortológiai középpont (e merőlegesek metszéspontja) és a perspektivikus középpont egy, a perspektivikus tengelyre merőleges egyenesen feküdjünk (egyenes a Desargues-tételből).

Ma a Geometria országába megyünk, ahol megismerkedünk különféle típusok háromszögek.

Fontolgat geometriai alakzatokés megtaláljuk közöttük az „extrát” (1. ábra).

Rizs. 1. Illusztráció például

Látjuk, hogy az 1., 2., 3., 5. számok négyszögek. Mindegyiknek saját neve van (2. ábra).

Rizs. 2. Négyszögek

Ez azt jelenti, hogy az "extra" ábra egy háromszög (3. ábra).

Rizs. 3. Illusztráció például

A háromszög olyan ábra, amely három olyan pontból áll, amelyek nem fekszenek ugyanazon az egyenesen, és három szakaszból, amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik.

A pontokat ún háromszög csúcsai, szegmensek - az övé a felek. A háromszög oldalai kialakulnak A háromszög csúcsaiban három szög van.

A háromszög fő jellemzői a következők három oldal és három sarok. A háromszögeket a szög szerint osztályozzuk hegyes, négyszögletes és tompa alakú.

Egy háromszöget hegyesszögűnek nevezünk, ha mindhárom szöge hegyesszögű, azaz kisebb, mint 90° (4. ábra).

Rizs. 4. Hegyesszögű háromszög

Egy háromszöget derékszögűnek nevezünk, ha az egyik szöge 90° (5. ábra).

Rizs. 5. Derékszögű háromszög

Egy háromszöget tompaszögnek nevezünk, ha az egyik szöge tompa, azaz nagyobb, mint 90° (6. ábra).

Rizs. 6. Tompa háromszög

Az egyenlő oldalak száma szerint a háromszögek egyenlő oldalúak, egyenlő szárúak, léptékűek.

Az egyenlő szárú háromszög olyan háromszög, amelynek két oldala egyenlő (7. ábra).

Rizs. 7. Egyenlőszárú háromszög

Ezeket az oldalakat ún oldalsó, harmadik oldal - alapon. Egy egyenlő szárú háromszögben az alap szögei egyenlőek.

Az egyenlő szárú háromszögek olyanok akut és tompa(8. ábra) .

Rizs. 8. Hegyes és tompa egyenlőszárú háromszögek

Egy egyenlő oldalú háromszöget nevezünk, amelynek mindhárom oldala egyenlő (9. ábra).

Rizs. 9. Egyenlő oldalú háromszög

Egyenlő oldalú háromszögben minden szög egyenlő. Egyenlő oldalú háromszögek mindig hegyesszögű.

Sokoldalúnak nevezzük azt a háromszöget, amelynek mindhárom oldala különböző hosszúságú (10. ábra).

Rizs. 10. Skála háromszög

Végezze el a feladatot. Osszuk három csoportra ezeket a háromszögeket (11. ábra).

Rizs. 11. Illusztráció a feladathoz

Először is osszuk el a szögek nagysága szerint.

Hegyes háromszögek: 1. sz., 3. sz.

Derékszögű háromszögek: #2, #6.

Tompa háromszögek: #4, #5.

Ezeket a háromszögeket az egyenlő oldalak száma szerint csoportokra osztjuk.

Skála háromszögek: 4., 6. sz.

Egyenlőszárú háromszögek: 2., 3., 5. sz.

Egyenlő oldalú háromszög: 1. sz.

Tekintse át a rajzokat.

Gondolja át, hogy az egyes háromszögek melyik huzaldarabból készülnek (12. ábra).

Rizs. 12. Illusztráció a feladathoz

Lehet így vitatkozni.

Az első drótdarabot három egyenlő részre osztjuk, így egy egyenlő oldalú háromszöget készíthetünk belőle. Az ábrán harmadikként látható.

A második drótdarab három különböző részre van osztva, így skálán háromszöget készíthetünk belőle. A képen először látható.

A harmadik drótdarabot három részre osztjuk, ahol a két rész egyforma hosszúságú, így egyenlő szárú háromszöget készíthetünk belőle. Az ábrán második helyen látható.

Ma a leckében különböző típusú háromszögekkel ismerkedtünk meg.

Bibliográfia

1. M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 1. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 2. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
3. M.I. Moreau. Matematika órák: Irányelvek a tanár számára. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
4. Szabályozó dokumentum. A tanulási eredmények nyomon követése és értékelése. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
5. "Oroszország Iskola": Programok számára Általános Iskola. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
6. S.I. Volkov. Matematika: Ellenőrző munka. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tesztek. - M.: "Vizsga", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Házi feladat

1. Fejezd be a mondatokat.

a) A háromszög olyan alakzat, amely a nem ugyanazon az egyenesen fekvő ... és a ... pontokból áll, amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik.

b) A pontokat ún … , szegmensek - az övé … . A háromszög oldalai a háromszög csúcsaiban alakulnak ki ….

c) A szög nagysága szerint a háromszögek ..., ..., ....

d) Az egyenlő oldalak száma szerint a háromszögek ..., ..., ....

2. Rajzolj

a) derékszögű háromszög

b) hegyesszögű háromszög;

c) tompa háromszög;

d) egyenlő oldalú háromszög;

e) skála háromszög;

e) egyenlő szárú háromszög.

3. Készítsen feladatot a lecke témájában társai számára!

A geometria tudománya megmondja, mi a háromszög, négyzet, kocka. BAN BEN modern világ kivétel nélkül mindenki tanulja az iskolákban. Ezenkívül a trigonometria egy olyan tudomány, amely közvetlenül azt vizsgálja, hogy mi a háromszög és milyen tulajdonságai vannak. Részletesen feltárja az adatokkal kapcsolatos összes jelenséget.Arról, hogy mi a háromszög ma, cikkünkben fogunk beszélni. Az alábbiakban ezek típusait, valamint néhány hozzájuk kapcsolódó tételt ismertetünk.

Mi az a háromszög? Meghatározás

Ez egy lapos sokszög. Három sarka van, ami a nevéből is kiderül. Három oldala és három csúcsa is van, amelyek közül az első szakaszok, a másodikak pontok. Tudva, hogy mi két szög egyenlő, a harmadikat úgy találhatja meg, hogy kivonja az első kettő összegét a 180-ból.

Mik azok a háromszögek?

Különféle kritériumok szerint osztályozhatók.

Először is hegyesszögű, tompaszögű és téglalap alakúra osztják őket. Az elsőnek hegyesszöge van, vagyis azok, amelyek 90 foknál kisebbek. A tompaszögekben az egyik szög tompaszögű, vagyis az, amelyik nagyobb, mint 90 f, a másik kettő hegyes. Az éles háromszögek közé tartoznak az egyenlő oldalú háromszögek is. Az ilyen háromszögeknek minden oldala és szöge egyenlő. Mindegyik 60 fokkal egyenlő, ez könnyen kiszámítható úgy, hogy az összes szög összegét (180) elosztjuk hárommal.

Derékszögű háromszög

Lehetetlen nem beszélni arról, hogy mi a derékszögű háromszög.

Egy ilyen alaknak egy szöge 90 fokkal egyenlő (egyenes), vagyis két oldala merőleges. A másik két szög hegyesszögű. Lehetnek egyenlőek, akkor egyenlő szárú lesz. A Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszöggel kapcsolatos. Segítségével megtalálhatja a harmadik oldalt, ismerve az első kettőt. E tétel szerint, ha az egyik láb négyzetét összeadjuk a másik lábának négyzetével, akkor megkapjuk a befogó négyzetét. A láb négyzete úgy számítható ki, hogy kivonjuk az ismert láb négyzetét a befogó négyzetéből. Ha beszélünk arról, hogy mi a háromszög, felidézhetjük az egyenlő szárúakat. Ez olyan, amelyben két oldal egyenlő, és két szög is egyenlő.

Mi a láb és a hypotenusa?

A láb egy háromszög egyik oldala, amely 90 fokos szöget zár be. A hypotenus a másik oldal, amely szemben van derékszög. Belőle egy merőlegest lehet leengedni a lábra. A szomszédos láb és a hipotenusz arányát koszinusznak, az ellenkezőjét szinusznak nevezzük.

- mik a tulajdonságai?

Ez téglalap alakú. Lábai három és négyesek, a hypotenusa pedig öt. Ha látta, hogy ennek a háromszögnek a lábai egyenlők hárommal és négyel, biztos lehet benne, hogy a hipotenúza egyenlő lesz öttel. Ezen elv szerint könnyen meghatározható, hogy a láb hárommal egyenlő, ha a második négy, a hipotenúza pedig öt. Ennek az állításnak a bizonyítására használhatja a Pitagorasz-tételt. Ha két láb 3 és 4, akkor 9 + 16 \u003d 25, a 25 gyöke 5, azaz a hipotenusz 5. Az egyiptomi háromszöget derékszögű háromszögnek is nevezik, amelynek oldalai 6, 8 és 10 ; 9, 12 és 15 és egyéb számok 3:4:5 arányban.

Mi más lehetne egy háromszög?

A háromszögek is írhatók és körülírhatók. Az alakot, amely körül a kört leírják, beírtnak nevezzük, minden csúcsa a körön fekvő pont. A körülírt háromszög az, amelybe egy kör van beírva. Minden oldala bizonyos pontokon érintkezik vele.

Hogy van

Bármely figura területe mérve van négyzetegységek(négyzetméter, négyzetmilliméter, négyzetcentiméter, négyzetdeciméter stb.) Ez az érték a háromszög típusától függően többféleképpen számítható ki. Bármely szögekkel rendelkező alakzat területét meg lehet találni, ha megszorozzuk az oldalát a ráesett merőlegessel szemközti sarok, és ezt a számot elosztjuk kettővel. Ezt az értéket a két oldal szorzásával is megtalálhatja. Ezután szorozd meg ezt a számot az oldalak közötti szög szinuszával, és oszd el kettővel. Ha ismeri a háromszög összes oldalát, de nem ismeri a szögeit, a területet más módon is megtalálhatja. Ehhez meg kell találnia a kerület felét. Ezután váltakozva vonja le a különböző oldalakat ebből a számból, és szorozza meg a kapott négy értéket. Ezután keresse meg a kijött számot. A beírt háromszög területét úgy kaphatjuk meg, hogy az összes oldalt megszorozzuk, és a kapott számot, amellyel körülírjuk, elosztjuk néggyel.

A leírt háromszög területét így találjuk meg: a kerület felét megszorozzuk a beleírt kör sugarával. Ha akkor a területe a következőképpen kereshető: négyzetre emeljük az oldalt, a kapott számot megszorozzuk három gyökével, majd ezt a számot elosztjuk néggyel. Hasonlóképpen kiszámíthatja egy háromszög magasságát, amelyben minden oldal egyenlő, ehhez meg kell szorozni az egyiket három gyökével, majd el kell osztani ezt a számot kettővel.

Háromszög tételek

Az ehhez az ábrához kapcsolódó fő tételek a fent leírt Pitagorasz-tétel és a koszinusz. A második (szinusz), hogy ha bármelyik oldalt elosztjuk a vele ellentétes szög szinuszával, akkor megkaphatjuk a körülötte leírt kör sugarát, megszorozva kettővel. A harmadik (koszinusz) az, hogy ha a két oldal négyzeteinek összegét kivonjuk a szorzatukból, megszorozzuk kettővel és a közöttük lévő szög koszinuszával, akkor a harmadik oldal négyzetét kapjuk.

Dali háromszög - mi ez?

Sokan, akik ezzel a fogalommal szembesülnek, először azt gondolják, hogy ez valamiféle geometriai meghatározás, de ez egyáltalán nem így van. A Dali háromszög az gyakori név három olyan hely, amely szorosan kapcsolódik a híres művész életéhez. "Tetejei" a ház, ahol Salvador Dali élt, a kastély, amelyet feleségének adott, és a szürrealista festmények múzeuma. A túra során ezeken a helyeken sokat tanulhatsz Érdekes tények erről a sajátos, világszerte ismert alkotóművészről.