Točka. Segment linije

Točka je apstraktni objekt koji nema mjerne karakteristike: bez visine, bez duljine, bez radijusa. U okviru zadatka važno je samo njegovo mjesto

Točka je označena brojem ili velikim (velikim) latiničnim slovom. Nekoliko točaka - različiti brojevi ili različita slova tako da se mogu razlikovati

točka A, točka B, točka C

A B C

točka 1, točka 2, točka 3

1 2 3

Možete nacrtati tri "A" točke na komad papira i pozvati dijete da povuče crtu kroz dvije "A" točke. Ali kako razumjeti kroz koje? A A A

Pravac je skup točaka. Ona mjeri samo dužinu. Nema širinu ni debljinu.

Označeno malim slovima (malo) latiničnim slovima

linija a, linija b, linija c

a b c

Linija bi mogla biti

1. zatvoren ako su njegov početak i kraj u istoj točki,
2. otvoren ako njegov početak i kraj nisu povezani

zatvorene linije

otvorene linije

Izašli ste iz stana, kupili kruh u trgovini i vratili se u stan. Koju si liniju dobila? Tako je, zatvoreno. Vratili ste se na početnu točku. Izašli ste iz stana, kupili kruh u trgovini, ušli u ulaz i razgovarali sa susjedom. Koju si liniju dobila? Otvoren. Niste se vratili na početnu točku. Izašao si iz stana, kupio kruh u dućanu. Koju si liniju dobila? Otvoren. Niste se vratili na početnu točku.

1. samopresijecajući
2. bez samopresijecanja

linije koje se same sijeku

linije bez samopresijecanja

1. ravno
2. izlomljena linija
3. krivo

ravne linije

isprekidane linije

zakrivljene linije

Ravna crta je crta koja ne krivulja, nema ni početak ni kraj, može se produžiti unedogled u oba smjera.

Čak i kad se vidi mala parcela ravno, pretpostavlja se da se nastavlja neograničeno u oba smjera

Označava se malim (malim) latiničnim slovom. Ili dva velika (velika) latinična slova - točke koje leže na ravnoj crti

ravna crta a

a

pravac AB

B A

ravne linije mogu biti

1. sijeku ako imaju zajedničku točku. Dvije linije se mogu sijeći samo u jednoj točki.
   • okomito ako se sijeku pod pravim kutom (90°).
2. paralelno, ako se ne sijeku, nemaju zajedničku točku.

paralelne linije

linije koje se sijeku

okomite linije

Zraka je dio ravne linije koja ima početak, ali nema kraj, može se neograničeno produžiti samo u jednom smjeru

Polazna točka za snop svjetlosti na slici je sunce.

Sunce

Točka dijeli pravac na dva dijela - dvije zrake A A

Greda je označena malim (malim) latiničnim slovom. Ili dva velika (velika) latinična slova, gdje je prvo mjesto od koje počinje greda, a drugo točka koja leži na gredi

greda a

a

greda AB

B A

Grede se poklapaju ako

1. nalazi na istoj pravoj liniji
2. početi u jednom trenutku
3. usmjerena na jednu stranu

zrake AB i AC se poklapaju

zrake CB i CA se podudaraju

C B A

Odsječak je dio ravne linije koji je omeđen s dvije točke, odnosno ima i početak i kraj, što znači da se njegova duljina može izmjeriti. Duljina segmenta je udaljenost između njegove početne i krajnje točke.

Kroz jednu točku može se povući bilo koji broj linija, uključujući ravne.

Kroz dvije točke - neograničen broj krivulja, ali samo jedna ravna linija

zakrivljene linije koje prolaze kroz dvije točke

B A

pravac AB

B A

Komad je "odsječen" od ravne linije i segment je ostao. Iz gornjeg primjera možete vidjeti da je njegova duljina najkraća udaljenost između dvije točke. ✂ B A ✂

Segment se označava s dva velika (velika) latinična slova, pri čemu je prvo mjesto od koje segment počinje, a drugo točka od koje segment završava

segment AB

B A

Zadatak: gdje je pravac, zraka, segment, krivulja?

Izlomljena crta je linija koja se sastoji od uzastopno povezanih segmenata koji nisu pod kutom od 180°

Dugi segment je "razbijen" na nekoliko kratkih.

Karike polilinije (slično karikama lanca) su segmenti koji čine poliliniju. Susjedne veze su veze u kojima je kraj jedne veze početak druge. Susjedne veze ne smiju ležati na istoj ravnoj liniji.

Vrhovi polilinije (slično vrhovima planina) su točke od kojih polilinija počinje, točke na kojima su spojeni segmenti koji tvore polilinija, točka gdje polilinija završava.

Polilinija se označava navođenjem svih njezinih vrhova.

izlomljena linija ABCDE

vrh polilinije A, vrh polilinije B, vrh polilinije C, vrh polilinije D, vrh polilinije E

karika izlomljene linije AB, karika izlomljene linije BC, karika izlomljene linije CD, karika izlomljene linije DE

veza AB i veza BC su susjedne

link BC i link CD su susjedni

link CD i link DE su susjedni

A B C D E 64 62 127 52

Duljina polilinije je zbroj duljina njenih karika: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Zadatak: koja je izlomljena linija duža, a koji ima više vrhova? U prvom redu sve karike su iste duljine, odnosno 13 cm. Drugi red ima sve karike iste duljine, odnosno 49 cm. Treći red ima sve karike iste duljine, odnosno 41 cm.

Poligon je zatvorena polilinija

Stranice poligona (pomoći će vam zapamtiti izraze: "idi na sve četiri strane", "trči prema kući", "na koju ćeš stranu stola sjesti?") poveznice su isprekidane linije. Susjedne strane poligona su susjedne veze isprekidane linije.

Vrhovi poligona su vrhovi polilinije. Susjedni vrhovi su krajnje točke jedne strane poligona.

Poligon se označava navođenjem svih njegovih vrhova.

zatvoren polilinija bez samopresijecanja, ABCDEF

poligon ABCDEF

poligon vrh A, poligon vrh B, poligon vrh C, poligon vrh D, poligon vrh E, poligon vrh F

vrh A i vrh B su susjedni

vrh B i vrh C su susjedni

vrh C i vrh D su susjedni

vrh D i vrh E su susjedni

vrh E i vrh F su susjedni

vrh F i vrh A su susjedni

strana poligona AB, strana poligona BC, strana poligona CD, strana poligona DE, strana poligona EF

stranica AB i stranica BC su susjedne

strana BC i strana CD su susjedne

strana CD i strana DE su susjedne

strana DE i strana EF su susjedne

strana EF i strana FA su susjedne

A B C D E Ž 120 60 58 122 98 141

Opseg poligona je duljina polilinije: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Mnogokut s tri vrha naziva se trokut, s četiri - četverokut, s pet - peterokut i tako dalje.

Točka i linija su osnovne geometrijski oblici na površini.

Drevni grčki znanstvenik Euklid je rekao: “točka” je ono što nema dijelova.” Riječ "točka" u prijevodu iz latinski znači rezultat trenutnog dodira, uboda. Točka je osnova za konstruiranje bilo koje geometrijske figure.

Ravna crta ili samo ravna crta je pravac duž koje je razmak između dviju točaka najkraći. Ravna linija je beskonačna i nemoguće je prikazati cijelu liniju i izmjeriti je.

Točke se označavaju velikim latiničnim slovima A, B, C, D, E itd., a ravne istim slovima, ali malim slovima a, b, c, d, e itd. Ravna linija se može označiti i sa dva slova koja odgovaraju točkama koje leže na njoj. Na primjer, pravac a može se označiti s AB.

Možemo reći da točke AB leže na pravcu a ili da pripadaju pravcu a. A možemo reći da pravac a prolazi kroz točke A i B.

Najjednostavniji geometrijski likovi na ravnini su segment, zraka, izlomljena linija.

Segment je dio pravca koji se sastoji od svih točaka ovog pravca, omeđen s dvije odabrane točke. Ove točke su krajevi segmenta. Segment je označen označavanjem njegovih krajeva.

Zraka ili polupravac je dio pravca koji se sastoji od svih točaka ovog pravca, koje leže s jedne strane njegove zadane točke. Ta se točka naziva početna točka poluprave ili početak zraka. Zraka ima početnu točku, ali nema krajnju točku.

Polupravci ili zrake označavaju se s dva mala latinična slova: početno i bilo koje drugo slovo koje odgovara točki koja pripada polupravu. U ovom slučaju početna točka se stavlja na prvo mjesto.

Ispada da je linija beskonačna: nema ni početka ni kraja; zraka ima samo početak, ali nema kraj, dok segment ima početak i kraj. Stoga možemo mjeriti samo segment.

Nekoliko segmenata koji su međusobno serijski spojeni tako da segmenti (susjedni) koji imaju jednu zajedničku točku nisu smješteni na istoj pravoj liniji predstavljaju izlomljenu liniju.

Polilinija može biti zatvorena ili otvorena. Ako se kraj posljednjeg segmenta poklopi s početkom prvog, imamo zatvorenu izlomljenu liniju, ako ne, otvorenu.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

U geometriji su glavni geometrijski likovi točka i pravac. Za označavanje točaka uobičajeno je koristiti velika latinična slova: A, B, C, D, E, F .... Za označavanje ravnih linija koriste se mala latinična slova: a, b, c, d, e, f .... Slika ispod prikazuje ravnu liniju a i nekoliko točaka A, B, C, D.

Za prikaz ravne crte na slici koristimo ravnalo, ali ne prikazujemo cijelu liniju, već samo njen dio. Budući da se linija u našem pogledu proteže do beskonačnosti u oba smjera, linija je beskonačna.

Na gornjoj slici vidimo da se točke A i C nalaze na pravoj liniji. a. U takvim slučajevima kažemo da točke A i C pripadaju pravcu a. Ili kažu da pravac prolazi kroz točke A i C. Prilikom pisanja, pripadnost točke pravoj označena je posebnom ikonom. A činjenica da točka ne pripada liniji označena je istom ikonom, samo precrtanom.

U našem slučaju točke B i D ne pripadaju pravcu a.

Kao što je gore navedeno, na slici točke A i C pripadaju pravcu a. Zove se dio pravca koji se sastoji od svih točaka tog pravca koje leže između dvije zadane točke segment. Drugim riječima, segment je dio ravne linije omeđen s dvije točke.

U našem slučaju imamo segment AB. Točke A i B nazivamo krajevima segmenta. Da bi se označio segment, njegovi su krajevi označeni, u našem slučaju, AB. Jedno od glavnih svojstava pripadnosti točaka i pravaca je sljedeće imovine: kroz bilo koje dvije točke možete povući liniju, i štoviše, samo jednu.

Ako dva pravca imaju zajedničku točku, onda se kaže da se dva pravca sijeku. Na slici se pravci a i b sijeku u točki A. Pravci a i c se ne sijeku.

Bilo koja dva pravca imaju samo jednu zajedničku točku ili nemaju zajedničkih točaka. Ako pretpostavimo suprotno, da dva pravca imaju dvije zajedničke točke, tada bi dva pravca prolazila kroz njih. Ali to je nemoguće, jer se kroz dvije točke može povući samo jedna crta.

Razmotrit ćemo svaku od tema, a na kraju će biti i testovi o temama.

Poenta u matematici

Što je točka u matematici? Matematička točka nema dimenzije i označava se velikim latiničnim slovima: A, B, C, D, F, itd.

Na slici možete vidjeti sliku točaka A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segment u matematici

Što je segment u matematici? Na satovima matematike možete čuti sljedeće objašnjenje: matematički segment ima duljinu i krajeve. Segment u matematici je skup svih točaka koje leže na ravnoj liniji između krajeva segmenta. Krajevi segmenta su dvije granične točke.

Na slici vidimo sljedeće: segmente ,,,, i , kao i dvije točke B i S.

Ravne linije u matematici

Što je ravna crta u matematici? Definicija ravne u matematici: ravna crta nema krajeva i može se nastaviti u oba smjera do beskonačnosti. Ravnu liniju u matematici označavaju bilo koje dvije točke na ravnoj crti. Da bismo učeniku objasnili pojam ravne, možemo reći da je pravac odsječak koji nema dva kraja.

Na slici su prikazane dvije ravne crte: CD i EF.

Ray u matematici

Što je zraka? Definicija zraka u matematici: Zraka je dio pravca koji ima početak i nema kraj. Naziv snopa sadrži dva slova, na primjer, DC. Štoviše, prvo slovo uvijek označava točku početka grede, tako da ne možete zamijeniti slova.

Na slici su prikazane grede: DC, KC, EF, MT, MS. Grede KC i KD - jedna greda, jer imaju zajedničko porijeklo.

Brojevna linija u matematici

Definicija brojevnog pravca u matematici: Pravac čije točke označavaju brojeve naziva se brojevni pravac.

Na slici je prikazan brojevni pravac, kao i zraka OD i ED

Tečaj koristi geometrijski jezik, koju čine oznake i simboli usvojeni u kolegiju matematike (osobito u novom kolegiju geometrije u srednjoj školi).

Cijela raznolikost oznaka i simbola, kao i veze među njima, mogu se podijeliti u dvije skupine:

skupina I - oznake geometrijskih likova i odnosi među njima;

skupina II oznake logičkih operacija, koje čine sintaktičku osnovu geometrijskog jezika.

Sljedeće je cijeli popis matematičke simbole koji se koriste u ovom kolegiju. Posebna pažnja daje se simbolima koji se koriste za označavanje projekcija geometrijskih oblika.

Grupa I

SIMBOLI OZNAČENI GEOMETRIJSKIM LIKOVIMA I ODNOSI IZMEĐU NJIH

A. Označavanje geometrijskih oblika

1. Geometrijski lik je označen - F.

2. Bodovi su naznačeni velika slova Latinska abeceda ili arapski brojevi:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Linije koje se proizvoljno nalaze u odnosu na ravnine projekcije označene su malim slovima latinske abecede:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Linije razine su označene: h - vodoravno; f- frontalni.

Sljedeća oznaka se također koristi za ravne linije:

(AB) - pravac koji prolazi kroz točke A i B;

[AB) - zraka s početkom u točki A;

[AB] - odsječak ravne linije omeđen točkama A i B.

4. Površine su označene malim slovima grčke abecede:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Da biste naglasili način na koji je površina definirana, trebali biste navesti geometrijske elemente pomoću kojih je definirana, na primjer:

α(a || b) - ravnina α određena je paralelnim pravcima a i b;

β(d 1 d 2 gα) - površinu β određuju vodilice d 1 i d 2 , generatrisa g i ravnina paralelizma α.

5. Uglovi su naznačeni:

∠ABC - kut s vrhom u točki B, kao i ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Kutni: vrijednost (mjera stupnja) označena je znakom koji se postavlja iznad kuta:

Vrijednost kuta ABC;

Vrijednost kuta φ.

Pravi kut označen je kvadratom s točkom iznutra

7. Udaljenosti između geometrijskih likova označeni su s dva okomita segmenta - ||.

Na primjer:

|AB| - udaljenost između točaka A i B (dužina segmenta AB);

|Aa| - udaljenost od točke A do pravca a;

|Aα| - udaljenosti od točke A do površine α;

|ab| - udaljenost između linija a i b;

|αβ| udaljenost između površina α i β.

8. Za ravnine projekcije prihvaćene su sljedeće oznake: π 1 i π 2, gdje je π 1 vodoravna projekcijska ravnina;

π 2 -frjuntalna ravnina projekcija.

Prilikom zamjene projekcijskih ravnina ili uvođenja novih ravnina, ove potonje označavaju π 3, π 4 itd.

9. Osi projekcije su označene: x, y, z, gdje je x os x; y je y-os; z - aplicirana os.

Konstantna linija Mongeovog dijagrama označena je s k.

10. Projekcije točaka, pravih, ploha, bilo kojeg geometrijskog lika označene su istim slovima (ili brojevima) kao i original, uz dodatak nadskripta koji odgovara projekcijskoj ravnini na kojoj su dobiveni:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontalne projekcije točaka; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontalne projekcije točaka; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontalne projekcije pravaca; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... frontalne projekcije linija; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontalne projekcije površina; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontalne projekcije ploha.

11. Tragovi ravnina (površina) označeni su istim slovima kao i horizontalna ili frontalna, uz dodatak indeksa 0α, naglašavajući da te linije leže u ravnini projekcije i pripadaju ravnini (površini) α.

Dakle: h 0α - horizontalni trag ravnine (površine) α;

f 0α - frontalni trag ravnine (površine) α.

12. Tragovi ravnih linija (crta) označeni su velikim slovima kojima počinju riječi koje određuju naziv (u latinskoj transkripciji) ravnine projekcije koju linija prelazi, s indeksom koji označava pripadnost liniji.

Na primjer: H a - horizontalni trag ravne (crte) a;

F a - frontalni trag ravne (crte) a.

13. Niz točaka, linija (bilo koje slike) označen je indeksima 1,2,3,...,n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n itd.

Pomoćna projekcija točke, dobivena kao rezultat transformacije za dobivanje stvarne vrijednosti geometrijskog lika, označena je istim slovom s indeksom 0:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Aksonometrijske projekcije

14. Aksonometrijske projekcije točaka, pravaca, ploha označene su istim slovima kao i priroda s dodatkom nadskripta 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundarne projekcije označene su dodavanjem superskripta 1:

A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Kako bi se olakšalo čitanje crteža u udžbeniku, u oblikovanju ilustrativnog materijala korišteno je nekoliko boja, od kojih svaka ima određenu značenje: crne linije (točke) označavaju početne podatke; zelene boje koristi se za linije pomoćnih grafičkih konstrukcija; crvene linije (točke) prikazuju rezultate konstrukcija ili one geometrijske elemente na koje treba obratiti posebnu pozornost.

B. Simboli koji označavaju odnose između geometrijskih likova

Ne.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličke notacije
1	≡	Utakmica	(AB) ≡ (CD) - pravac koji prolazi kroz točke A i B, poklapa se s pravcem koji prolazi kroz točke C i D
2	≅	Kongruentan	∠ABC≅∠MNK - kut ABC kongruentan je kutu MNK
3	∼	Sličan	ΔABS∼ΔMNK - trokuti ABC i MNK su slični
4	||	Paralelno	α||β - ravnina α je paralelna s ravninom β
5	⊥	Okomito	a⊥b - pravci a i b su okomiti
6		križati	s d - pravci c i d se sijeku
7		Tangente	t l - pravac t tangenta je na pravac l. βα - ravnina β tangenta na površinu α
8	→	Prikazuju se	F 1 → F 2 - lik F 1 se preslikava na lik F 2
9	S	projekcijski centar. Ako središte projekcije nije odgovarajuća točka, njegov položaj je označen strelicom, koji označava smjer projekcije	-
10	s	Smjer projekcije	-
11	P	Paralelna projekcija	p s α Paralelna projekcija - paralelna projekcija na ravninu α u smjeru s

B. Teoretski zapis

Ne.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličke notacije	Primjer simboličkog zapisa u geometriji
1	M,N	Setovi	-	-
2	A,B,C,...	Postavite elemente	-	-
3	{ ... }	Sastoji se od...	F(A, B, C,... )	F(A, B, C,...) - lik F sastoji se od točaka A, B, C, ...
4	∅	Prazan set	L - ∅ - skup L je prazan (ne sadrži elemente)	-
5	∈	Pripada, je element	2∈N (gdje je N skup prirodni brojevi) - broj 2 pripada skupu N	A ∈ a - točka A pripada pravcu a (točka A leži na pravoj a)
6	⊂	Uključuje, sadrži	N⊂M - skup N je dio (podskup) skupa M svih racionalnih brojeva	a⊂α - pravac a pripada ravnini α (shvaćenoj u smislu: skup točaka pravca a je podskup točaka ravnine α)
7	∪	Unija	C \u003d A U B - skup C je unija skupova A i B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3) ∪ (4.5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - izlomljena linija, ABCD je unija segmenata [AB], [BC],
8	∩	Raskrižje mnogih	M=K∩L - skup M je presjek skupova K i L (sadrži elemente koji pripadaju i skupu K i skupu L). M ∩ N = ∅- presjek skupova M i N je prazan skup (skupovi M i N nemaju zajedničke elemente)	a = α ∩ β - pravac a je presjek ravnine α i β i ∩ b = ∅ - pravci a i b se ne sijeku (nemaju zajedničke točke)

Grupa II SIMBOLI KOJI OZNAČAVAJU LOGIČKE OPERACIJE

Ne.	Oznaka	Sadržaj	Primjer simboličke notacije
1	∧	spoj rečenica; odgovara uniji "i". Rečenica (p∧q) je istinita ako i samo ako su p i q istiniti	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Presjek površina α i β je skup točaka (prava), koji se sastoji od svih onih i samo onih točaka K koje pripadaju i površini α i površini β
2	∨	Disjunkcija rečenica; odgovara uniji "ili". Rečenica (p∨q) istinito kada je barem jedna od rečenica p ili q istinita (tj. ili p ili q ili oboje).	-
3	⇒	Implikacija je logična posljedica. Rečenica p⇒q znači: "ako je p, onda q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. Ako su dvije linije paralelne s trećim, onda su paralelne jedna s drugom.
4	⇔	Rečenica (p⇔q) se razumije u smislu: "ako je p, onda q; ako q, onda p"	A∈α⇔A∈l⊂α. Točka pripada ravnini ako pripada nekom pravcu koji pripada toj ravnini. Vrijedi i obrnuto: ako točka pripada nekoj liniji, koji pripada ravni, onda pripada i samoj ravnini.
5	∀	Opći kvantifikator glasi: za svakoga, za svakoga, za bilo koga. Izraz ∀(x)P(x) znači: "za bilo koji x: svojstvo P(x)"	∀(ΔABC)( = 180°) Za bilo koji (za bilo koji) trokut, zbroj vrijednosti njegovih kutova na vrhovima je 180°
6	∃	Egzistencijalni kvantifikator glasi: postoji. Izraz ∃(x)P(x) znači: "postoji x koji ima svojstvo P(x)"	(∀α)(∃a). Za bilo koju ravninu α postoji pravac a koji ne pripada ravnini α i paralelno s ravninom α
7	∃1	Kvantifikator jedinstvenosti postojanja glasi: postoji jedinstveno (-th, -th)... Izraz ∃1(x)(Px) znači: "postoji jedinstven (samo jedan) x, ima svojstvo Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Za bilo koja dva razne točke A i B postoji jedan red a, prolazeći kroz ove točke.
8	(px)	Negacija tvrdnje P(x)	ab(∃α)(α⊃a, b). Ako se prave a i b sijeku, onda ne postoji ravnina a koja ih sadrži
9	\	Negativan znak	≠ - odsječak [AB] nije jednak segmentu .a? b - pravac a nije paralelan s pravom b