Dom > ISO klasifikator

Osnovni trigonometrijski identiteti, njihove formulacije i derivacija. Odnos sinusa, kosinusa i tangenta istog kuta

Javni sat iz algebre i počeci analize na temu: "Odnos sinusa i kosinusa istog kuta" (10. razred)

Cilj: percepcija učenika i primarna svijest o novom edukativni materijal razumijevanje veza i odnosa u objektima proučavanja

obrazovne : izvođenje formula za odnos između sinusa i kosinusa istog kuta (broja); naučiti koristiti ove formule za izračunavanje vrijednosti sinusa, kosinusa za danu vrijednost jedne od njih.

obrazovne : naučiti analizirati, uspoređivati, graditi analogije, generalizirati i sistematizirati, dokazivati ​​i pobijati, definirati i objašnjavati pojmove, razvijati i usavršavati sposobnost primjene znanja učenika u različitim situacijama; razviti kompetentan matematički govor učenika, sposobnost davanja sažetih formulacija

Obrazovni: odgoj savjesnog odnosa prema radu i pozitivnog odnosa prema znanju, odgajati učenike u točnosti, sposobnosti slušanja, izražavanja mišljenja; kultura ponašanja.

Štedi zdravlje : stvaranje ugodne psihološke klime u razredu, atmosfere suradnje: učenik – učitelj.

Znanja i vještine: definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija (sinus, kosinus); znakovi trigonometrijskih funkcija u četvrtinama; skupovi vrijednosti trigonometrijskih funkcija; osnovne formule trigonometrije.Nasposobnost odabira točne formule za rješavanje specifičan zadatak; raditi s prosti razlomci; izvršiti transformaciju trigonometrijskih izraza.

Tijekom nastave

    Organiziranje vremena:

Provjerite spremnost učenika za nastavu. Otvaranje web stranice nastavnika na računalima (Prilog 1).

    Usmeni rad na temu : "Znakovi sinusa, kosinusa i tangenta"

Na stolu:

Vježba:

Rasporedite brojeve četvrtina koordinatne ravnine i odredite predznake sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

    Samostalan rad na ovu temu: "Znakovi sinusa, kosinusa i tangenta"

Učenici na stranici otvaraju rubriku "Zadaci za sat trigonometrije". Samotestiranje

(Učenici ispunjavaju zadatak broj 1, provjeravaju svoj rad i sami se ocjenjuju)

    Objašnjenje novog gradiva

Na stolu:

    h = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tg α = , α≠ …

y= … α, … ≤ grijeh α≤ … ctg α = , α≠ …

Vježba: dodati formule

Učitelj, nastavnik, profesor : “Proučili smo svaki koncept posebno. Koja je po vama najbolja tema za sljedeću istraživanje?

( Predloženi odgovor: "Ovisnost između ovih pojmova")

Tema lekcije je formulirana: "Odnos između sinusa i kosinusa istog kuta"

Učitelj, nastavnik, profesor : "Postoji nekoliko načina za rješavanje ovog problema"

Korištenje jednadžbe jedinične kružnice

Korištenje Pitagorine teoreme

Učitelj, nastavnik, profesor : "Razmotrimo oboje i izaberimo najracionalnije"

Na stolu:


Učenici crtaju jednadžbucos 2 α + grijeh 2 α = 1

Učitelj, nastavnik, profesor : “Dobili smo pravednu jednakost za sve vrijednosti slova koja su u njoj uključena. Kako se zovu takve jednakosti?

( Predloženi odgovor : identiteti)

Učitelj, nastavnik, profesor : "Zapamtite kako se zove identitetcos 2 α + grijeh 2 α = 1 »

    Učvršćivanje proučenog gradiva

Učitelj “Otvori udžbenik str. 147, br. 457 (2; 4)” (prozvani učenici odlučuju na ploči)

B) Učitelj, nastavnik, profesor: “Idite na zadatak broj 2. Radimo prema opcijama” (Rasprava o dobivenim rezultatima)

Na stolu:

1 opcija 2 opcija

Učitelj, nastavnik, profesor: "U ovim formulama znakovi su ispred korijena"±» . Što određuje koji znak staviti u formulu?

(Predloženi odgovor: "Na četvrti u kojoj se nalazi kut rotacije točke P (1; 0)")

B) učitelj: "Idi na zadatak broj 3." (Učenici rješavaju zadatke, provjeravaju na ploči)

    Sažimanje lekcije

Učitelj, nastavnik, profesor: "Dobro napravljeno! Sažt ćemo lekciju uz pomoć križaljke ”(4. zadatak) (Učenici rade u parovima za računalom)

7) Refleksija u obliku upitnika (Prilog 2)

Učitelj, nastavnik, profesor: "Donesite zaključak o svom radu na lekciji ispunjavanjem testa."

8) Domaća zadaća

§25, #456, 457(1;3),460(1;3).

izvješće

KARTA LEKCIJE "OVISNOST IZMEĐU SINUSA, KOSINUSA I TANGENTA ISTOG UGA"

Student ________________________________________________________________________________

1. Poznajem gradivo s prethodnih lekcija

Bodovi

Odgovorio sam točno na sva pitanja bez nacrta.

Odgovorio sam bez sinopsisa s jednom greškom.

Odgovorio sam bez obrisa i napravio više od jedne greške.

Točno sam odgovorio na sva pitanja koristeći sažetak.

Odgovorio sam apstraktno, s jednom greškom

Odgovorio sam koristeći sažetak i napravio više od jedne pogreške

2. Završio sam snimanje primjera

Bodovi

Sve zadatke sam obavio bez grešaka

Završio sam s jednom greškom

Izvršio sam zadatke i napravio više od dvije pogreške

3. Završio sam izvođenje formule za pronalaženje sinusa i kosinusa

Bodovi

Dobro sam dobio formulu

Zaključio sam formule i napravio jednu grešku

Formule sam zaključio uz pomoć učiteljice

4. Primijenio sam svoje znanje na temu: "Odnos sinusa, kosinusa i tangenta istog kuta" pri rješavanju samostalnog rada.

Bodovi

Primjere opcije 1 riješio sam bez grešaka.

Riješio sam primjere opcije 1 i napravio grešku.

Riješio sam primjere 2 opcije bez grešaka.

Riješio sam primjere 2 opcije i napravio grešku.

Riješio sam primjere 3 opcije bez grešaka

Riješio sam primjere 3 opcije i napravio grešku.

Riješio sam primjere 4 opcije bez grešaka.

Riješio sam primjere 4 opcije i napravio grešku.

5. Ocijenite sebe:

Razumjela sam izvođenje formula i mogu riješiti primjere na ovu temu uz bilježnicu i uz pomoć učitelja.

Razumio sam izvođenje formula i mogu samostalno rješavati primjere bez bilježnice, samo gledajući formule.

Razumio sam izvođenje formula i mogu sam rješavati primjere bez bilježnice, ako zaboravim formulu, mogu je sam zaključiti.

Moji rezultati: __________

Maksimalan broj bodova - 22

18 - 22 boda - rezultat "5"

15 - 17 bodova - rezultat "4"

11–14 bodova - ocjena "3"

Manje od 11 bodova - trebate doći na konzultacije u narednim danima, gradivo još nije savladano.


"Kratki plan"

Golovatova Vera Anatoljevna, učiteljica matematike

GB POU "Okhta College"

Sažetak dvaju lekcija za učenikeja tečaj (10kl.) na temu:

"Odnos između sinusa, kosinusa i tangenta istog kuta"

Cilj: proučavati odnos između sinusa, kosinusa i tangenta istog kuta.

Za postizanje ovog cilja potrebno je:

    Znati:

    formulacije definicija glavnih trigonometrijskih funkcija (sinus, kosinus i tangent);

    znakovi trigonometrijskih funkcija u četvrtinama;

    skup vrijednosti trigonometrijskih funkcija;

    osnovne formule trigonometrije.

    razumjeti:

    da se osnovni trigonometrijski identitet može koristiti samo za jedan te isti argument;

    algoritam za izračunavanje jedne trigonometrijske funkcije kroz drugu.

    Prijavite se:

      sposobnost odabira prave formule za rješavanje određenog zadatka;

      sposobnost rada s jednostavnim razlomcima;

      sposobnost izvođenja transformacije trigonometrijskih izraza.

    Analiza:

        analizirati pogreške u logici zaključivanja.

    Sinteza:

      ponuditi svoj način rješavanja primjera;

      izraditi križaljku koristeći stečeno znanje.

    Razred:

      znanja i vještine o ovoj temi za korištenje u drugim dijelovima algebre.

Oprema: izgled trigonometrijskog kruga, materijal za priručnik s formulama i tablicama vrijednosti trigonometrijskih funkcija, računalo, multimedijski projektor, prezentacija, radni listovi za samostalno učenje.

Korišteni izvori:

    Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred. opće obrazovanje institucije / Sh.A. Alimov, Yu.V. Sidorov i dr. Obrazovanje, 2006 (monografija).

    Zadaci Otvorene banke za pripremu ispita iz matematike, 2011

    Internet resursi.

Kratak plan lekcija:

    Organiziranje vremena.

pozdrav. Saopćenje svrhe sata i plana rada na satu - 3-5 min.

    Ažuriranje znanja i vještina.

Učenici dobivaju nastavne kartice i objašnjavaju kako s njima raditi.

Pitanja se prikazuju na ekranu; učenici zapisuju svoje odgovore u bilježnicu; Učitelj prikazuje točan odgovor na ekranu. Nakon završetka ankete učenici stavljaju bodove u nastavnu karticu za Zadaci broj 1 – 10 minuta.

    Objašnjenje novog gradiva.

    Učitelj izvodi formulu za osnovni trigonometrijski identitet - 5 minuta.

    Pozivaju se učenici da samostalno dovrše snimanje primjera prikazanih na ekranu, provjere točnost odgovora i ocjenjuju bodove na nastavnoj kartici za Zadaci broj 2 - 5 minuta.

    Pozivaju se učenici u bilježnici da iz osnovnog trigonometrijskog identiteta samostalno izraze sinus kroz kosinus i kosinus kroz sinus. Točan odgovor se prikazuje na ekranu, učenici provjeravaju i stavljaju bodove u karticu lekcije Zadaci №3 – 5-7 min.

    Učitelj na ploči rješava primjere o primjeni osnovnog trigonometrijskog identiteta. Učenici odgovaraju na pitanja nastavnika dok objašnjavaju i zapisuju primjere u svoje bilježnice - 15 minuta.

    Učitelj izvodi formule koje pokazuju odnos tangente i kotangensa, učenici aktivno sudjeluju u izvođenju formula, odgovaraju na pitanja i bilježe u bilježnici - 5 minuta.

    Učitelj izvodi formule koje pokazuju odnos između tangente i kosinusa, između sinusa i kotangensa - 5 minuta.

    Učenici se po volji pozivaju na ploču i uz pomoć učitelja algoritmom rješavaju primjere. Svi ostali bilježe i odgovaraju na pitanja po potrebi - 10 minuta.

    Učvršćivanje proučenog gradiva

Na kraju lekcije na ekranu se prikazuju točni odgovori, učenici provjeravaju svoje odgovore i upisuju bodove u karticu lekcije za Zadaci broj 4 – 20 minuta.

    Domaća zadaća: Učenici zapisuju domaće zadatke u svoje bilježnice. 3 min.

Pregledajte sadržaj dokumenta
"Odraz"

Nakon pohađanja seminara o RNS-u i izvođenja nastave korištenja tehnološka karta postalo mi je očito da sustav ocjenjivanja potiče najveći mogući interes učenika za određenu temu. U mom slučaju to su osnovne formule trigonometrije.

Trigonometriju učenici vrlo često ne percipiraju, ne toliko zbog njezine složenosti, koliko zbog veliki broj formule za rad.

Teško je očekivati ​​nevjerojatan napredak i rezultate nakon jedne lekcije, provedene pomoću tehnološke karte, ali čini mi se da su prednosti sustava ocjenjivanja u studiju trigonometrije i matematike općenito sljedeće:

    postalo je moguće organizirati i podržati rad u učionici i samostalan, sustavan rad učenika kod kuće;

    posjećenost i razina discipline u učionici trebali bi se povećati;

    povećava motivaciju za aktivnosti učenja;

    stresne situacije se smanjuju kada se dobivaju nezadovoljavajuće ocjene;

    potiče kreativnost u radu.

Jedina mana RNS-a (kako mi se čini) je velika količina posla za učitelja, ali ovo je rad za rezultat. Nakon jednog sata s ovim sustavom, učenici stalno pitaju hoćemo li i dalje raditi na ovaj način. To znači da su navučeni na nešto. I trebamo nastaviti raditi.

Pregledajte sadržaj dokumenta
"samostalni rad"

SAMOSTALNI RAD

Koju god razinu odabrali, prvo pažljivo pregledajte sve zadatke koje sam vam dao, a zatim dovršite zadatak koji odgovara razini koju ste odabrali (postoje četiri opcije za vas, broj opcije odgovara razinama samoprocjene.)

1 opcija

Uputa:



Uputa:

Riješite sami ovaj primjer:

Opcija 2


Napomena: Za određivanje kosinusne funkcije upotrijebite formulu (3) iz današnje lekcije. Ne zaboravite definirati znak koji će doći ispred korijena. Da biste izračunali vrijednosti tangenta i kotangensa, možete koristiti definiciju ovih funkcija ili koristiti formule koje smo danas izveli u lekciji.

Uputa. Grupirajte prvi i treći član izraza, stavite u zagradu zajednički faktor ....

3 opcija


4 opcija

Pogledajte sadržaj prezentacije
"Prezentacija"



Ponavljanje:

1. U kojoj je četvrtini kut

1 radijan i koliko je približno jednak?

U prvoj četvrtini 1 drago. 57,3°


2. Koja riječ nedostaje u definiciji funkcije sinusa?

Sinus kuta zove se ………… točke jedinične kružnice.

ORDINACIJA


3. Koja riječ nedostaje u definiciji kosinusne funkcije?

Kosinus kuta pozvao

………… točke jedinične kružnice.

APSCISA


4. Dodajte formulu:

tg


5. Odredite znak proizvoda:

tg


6. Koju vrijednost može imati sinus?

ili


7. Izračunaj:


y

B(x;y)

R

Y=grijeh

O

x

x=cos


Završi snimanje:

x

y

x

y

x

x


x

y

x

y

x

x




  • Razumio sam temu i mogu rješavati primjere prema algoritmu, gledajući u bilježnicu, ali uz pomoć sugestivnih pitanja (kartica - upute).
  • Razumijem temu i mogu riješiti primjere koristeći algoritam, gledajući u bilježnicu, koristeći upute učitelja.
  • + Razumio sam temu i mogu riješiti primjere pomoću algoritama, gledajući u bilježnicu, bez sugestivnih pitanja i uputa.
  • + Razumijem temu i mogu rješavati primjere pomoću algoritama bez gledanja u bilježnicu.

1 opcija:

3 opcija:

2. opcija:

4 Opcija:


Sinusni graf val po val
Apscisa bježi.

Iz studentske pjesme.

CILJEVI SATA:

  • OBRAZOVNI: izvođenje formula za odnos sinusa, kosinusa i tangenta istog kuta (broja); naučiti koristiti ove formule za izračunavanje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa broja s obzirom na vrijednost jednog od njih.
  • RAZVOJ: naučiti analizirati, uspoređivati, graditi analogije, generalizirati i sistematizirati, dokazivati ​​i pobijati, definirati i objašnjavati pojmove.
  • ODGOJNI: odgoj savjesnog odnosa prema radu i pozitivnog odnosa prema znanju.

UŠTEDA ZDRAVLJA: stvaranje ugodne psihološke klime u razredu, atmosfere suradnje: učenik – učitelj.

METODIČKA OPREMA SATA:

MATERIJALNO-TEHNIČKA OSNOVA: Zavod za matematiku.

DIDAKTIČKA PODRŠKA SATA: udžbenik, bilježnica, plakati na temu nastavnog sata, stolovi, računalo, diskovi, platno, projektor.

METODE AKTIVNOSTI: grupni i individualni rad za stolom i za pločom.

TIP SATA: sat svladavanja novih znanja.

TIJEKOM NASTAVE

1. Organizacijski trenutak: pozdravljanje, provjera pohađanja nastave, popunjavanje dnevnika.

2. Provjera spremnosti učenika za nastavu: postavljanje učenika za rad, donošenje plana sata.

3. Analiza pogrešaka domaće zadaće. Na ekranu - slika s točno obavljenom domaćom zadaćom. Svaki učenik provjerava detaljnim frontalnim obrazloženjem i bilježi ispravnost provedbe u radnoj kartici sata.

KARTICA RADNE LEKCIJE.

C / o - samopoštovanje.

O / t - procjena prijatelja.

4. Aktualizacija znanja, priprema za percepciju novog gradiva.

Sljedeća faza naše lekcije je diktat. Odgovore zapisujemo ukratko – crtež je na našem slajdu.

Diktat (usmeno ponavljanje potrebnih informacija):

1. Definirajte:

  • sinus oštrog kuta A pravokutnog trokuta;
  • kosinus oštrog kuta B pravokutnog trokuta;
  • tangenta oštrog kuta A pravokutnog trokuta;
  • kotangens oštrog kuta B pravokutnog trokuta;
  • koja ograničenja namećemo sinusima i kosinusima pri određivanju tangente i kotangensa oštrog kuta pravokutni trokut.

2. Definirajte:

  • sinus kuta a a.
  • kosinus kuta a kroz koordinatu (što) točke dobivenu rotacijom točke (1; 0) oko ishodišta za kut a.
  • tangenta kuta a.
  • kotangens kuta a.

3. Zapišite predznake sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa za kutove dobivene okretanjem točke P (1; 0) za kut

4. Za sve ove kutove označite četvrtine koordinatne ravnine.

Dečki zajedno s učiteljicom provjeravaju diktat na slajdu, objašnjavajući svaku tvrdnju i ocjenjujući se na nastavnom listu.

5. Iz povijesti trigonometrije. Suvremeni oblik trigonometrije dao je najveći matematičar 18. stoljeća Leonhard Euler- Švicarac po rođenju duge godine koji je radio u Rusiji i bio član Petrogradske akademije znanosti. Uveo je dobro poznate definicije trigonometrijskih funkcija, formulirao i dokazao redukcijske formule koje tek morate upoznati, te razlikovao klase parnih i neparnih funkcija.

6. Uvođenje novog materijala:

Glavna stvar nije samo obavijestiti studente o konačnim zaključcima, već učiniti studente, takoreći, sudionicima znanstvenog traganja: postavljanjem pitanja, tako da se oni, probudivši svoju znatiželju, uključe u studiju. , što doprinosi postizanju više razine mentalni razvoj studentima.

Stoga pri uvođenju novog gradiva stvaram problemsku situaciju – kako lakše i racionalnije uspostaviti odnos između sinusa i kosinusa istog kuta – kroz jednadžbu jedinične kružnice ili kroz Pitagorin teorem.

Razred je podijeljen na opcije za prvu i drugu opciju - na ekranu se nalazi slajd s uvjetom i crtežima, rješenja još nema.

Opcija 1 uspostavlja odnos između sinusa i kosinusa putem jednadžbe kružnice sa središtem u ishodištu i polumjerom jednakim 1x 2 +y 2 =1; sin 2 + cos 2 =1.

Opcija 2 uspostavlja odnos između sinusa i kosinusa kroz Pitagorin teorem - u pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta: OB 2 + AB 2 = OA 2 - i dobivamo sin 2 + cos 2 \u003d 1.

Uspoređuju rezultate, donose zaključke: glavna stvar je da je jednakost ispunjena za sve vrijednosti slova uključenih u nju? Učenici moraju odgovoriti da je to isto

(slajd prikazuje ispravno rješenje i za prvu i za drugu opciju).

Dobili smo jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti slova uključenih u nju. Kako se zovu te jednakosti? Tako je – identiteti.

Podsjetimo - koje još identitete poznajemo u algebri - formule za skraćeno množenje:

a 2 -b 2 \u003d (a-b) (a + b),

(a-b) 2 \u003d a 2 -2ab + b 2 ,

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 2 ,

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 3 -b 3 ,

a 3 -b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2),

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2).

Sljedeći problem - zašto smo izveli glavni trigonometrijski identitet - sin 2 + cos 2 =1.

Tako je - pronaći jednu poznatu vrijednost sinusa, kosinusa ili tangenta - vrijednosti svih ostalih funkcija.

Sada uvijek možemo koristiti osnovni trigonometrijski identitet, ali glavna stvar je za isti argument.

Primjena stečenog znanja:

OPCIJA 1 - Izrazite sinus u smislu kosinusa kuta.

Opcija 2 - Izrazite kosinus u smislu sinusa kuta. Točan odgovor je na slajdu.

Pitanje učitelja - nitko nije zaboravio staviti znakove + i -? Koliki bi mogao biti kut? - bilo tko.

U ovim formulama predznak ispred korijena ovisi o čemu? na kojoj se četvrtini nalazi kut (argument) trigonometrijske funkcije koju definiramo.

Nastupamo kod table 2 učenika br.457. - 1. opcija - 1, 2. opcija - 2.

Na slajdu je prikazan točan odgovor.

Samostalan rad na prepoznavanju temeljnog trigonometrijskog identiteta

1. pronaći vrijednost izraza:

2. broj 1 izraziti kroz kut a, ako

Postoji međusobna provjera - prema gotovom slajdu i ocjeni rada - kako samoprocjenom tako i ocjenom prijatelja.

6. Konsolidacija novog materijala (prema tehnologiji G.E. Khazankina - tehnologija pratećih zadataka).

ZADATAK 1. Izračunajte ……….. ako …………………………………………………………………….

1 učenik samostalno za pločom - zatim slajd s točnim rješenjem.

ZADATAK 2. Izračunaj……………., ako……………………………………………………………………………..

2. učenik za pločom, a zatim slajd s točnim rješenjem.

7. Minuta tjelesnog odgoja Znam da ste već odrasli i mislite da niste nimalo umorni, pogotovo sada, kada je nastava toliko aktivna da nam se vrijeme čini da se produžuje - prema teoriji relativnosti A. Einsteina , ali napravimo gimnastiku za cerebralne žile:

  • okretanje i naginjanje glave udesno - ulijevo, gore - dolje
  • masaža ramenog pojasa i tjemena - ruke od šake, lica i potiljka - od vrha do dna.
  • podignite ramena i opušteno "spustite" dolje. Svaku vježbu izvodimo 5-6 puta!

Otkrijmo sada odnos između tangente i kotangensa…………………………………………………………………………………………………………… ………

Postoji nova studija na temu - koliki može biti kut u drugom trigonometrijskom identitetu?

GLAVNO JE TRAŽIVANJE SKUPINA NA KOJEM SE OVE JEDNAKOSTI provode. OZNAČI NA SLICI TOČKE U KOJIMA NE POSTOJE TANGENTA I KOTEGENCIJA KUTA.

Treći učenik za pločom. Jednakosti vrijede za ……………………….

ZADATAK3. Izračunajte ……… ako …………………………….

ZADATAK 4. Izračunajte…………….. ako ……………………………………………………………………………………

Ostali učenici rade u svojim bilježnicama.

1 PODRŠKA………………………………………………………………………………………………………………

2 PODRŠKA………………………………………………………………………………………………………………

3 PODRŠKA. Primjena osnovnog trigonometrijskog identiteta u rješavanju problema.

8. Križaljka. Anatole France je jednom rekao: "Učenje bi trebalo biti zabavno... Da biste probavili znanje, trebate ga apsorbirati s apetitom."

Kako biste provjerili svoje znanje o ovoj temi, nudi vam se križaljka.

  1. Grana matematike koja proučava svojstva sinusa, kosinus, tangent ...
  2. Apscisa točke na jediničnoj kružnici.
  3. Omjer kosinusa i sinusa.
  4. Sinus je ... .. točke na jediničnom krugu.
  5. Jednakost koja ne zahtijeva dokaz i vrijedi za sve vrijednosti slova uključenih u nju. To se zove……

Nakon provjere križaljke, dečki sami sebi daju ocjene u radnoj kartici lekcije. Učitelj ocjenjuje one učenike koji su posebno aktivni na satu. Rezultat je prosječna ocjena za rad u lekciji.

9. Upućivanje učitelja da radi domaću zadaću.

10. Sažetak sata od strane učitelja.

11. Domaća zadaća: odlomak 25 (prije zadatka 5), ​​br. 459 (parni), 460 (parni), 463 * (4). Udžbenik Sh.A Alimov "Algebra i početak analize", 10-11, "Prosvjetljenje", M., 2005.

„Teorem o sinusima i kosinusima“ – 1) Zapiši sinusni teorem za ovaj trokut: Nađi kut B. Zapiši formulu za izračun: Teorem sinusa: Nađi duljinu stranice BC. Teoremi sinusa i kosinusa. Stranice trokuta proporcionalne su sinusima suprotnih kutova. 2) Zapišite kosinusni teorem za izračunavanje stranice MK: Samostalni rad:

"Rješenje trigonometrijskih nejednakosti" - Sve vrijednosti y na intervalu MN. 1. Gradimo grafove funkcija: Ostali intervali. Pravac y=-1/2 siječe sinusoidu u beskonačnom broju točaka, a trigonometrijski krug u točki A. beskonačan broj praznina. A na sinusoidi, interval vrijednosti x najbliži ishodištu koordinata, na kojem sinx> -1/2,

"Trigonometrijske formule" - Formule za pretvaranje zbroja trigonometrijskih funkcija u proizvod. Formule za pretvaranje umnoška trigonometrijskih funkcija u zbroj. Formule za zbrajanje. Trigonometrijskim funkcijama kuta?. Formule dvostruki uglovi. Zbrajajući jednakosti (3) i (4) član po član, dobivamo: Izvedimo pomoćne formule koje nam omogućuju pronalaženje.

"Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti" - cos x. Metode rješavanja trigonometrijskih nejednakosti. sinx. Trigonometrijske nejednadžbe nazivaju se nejednakostima koje sadrže varijablu u argumentu trigonometrijske funkcije. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi.

"Sin and cos" - Je li istina da je kosinus od 6,5 veći od nule? Sinus od 60° jednak je?? Je li istina da cos? x - gutljaj? x=1? Dio matematike koji proučava svojstva sinusa, kosinusa... Sat algebre i počeci analize u 10. razredu. Odluka trigonometrijske jednadžbe i nejednakosti. Apscisa točke na jediničnoj kružnici. Omjer kosinusa i sinusa...

"Kosinusni teorem za trokut" - Usmeni rad. nepoznati elementi. Trokut. Kvadrat stranice trokuta. Formulirajte kosinusni teorem. Teorema. Kosinusni teorem. Rješavanje problema na ćelijskom papiru. uglovi i strane. Formulirajte kosinusni teorem. Zadaci prema gotovim crtežima. Podaci prikazani na slici.

Ukupno ima 21 izlaganje u temi

Trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa jednog kuta, što vam omogućuje da pronađete bilo koju od ovih funkcija, pod uvjetom da je bilo koja druga poznata.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ovaj identitet kaže da je zbroj kvadrata sinusa jednog kuta i kvadrata kosinusa jednog kuta jednak jedan, što u praksi omogućuje izračunavanje sinusa jednog kuta kada je poznat njegov kosinus i obrnuto. .

Prilikom pretvorbe trigonometrijskih izraza vrlo se često koristi ovaj identitet, koji vam omogućuje zamjenu kvadrata kosinusa i sinusa jednog kuta s jednim i također obavljanje operacije zamjene obrnutim redoslijedom.

Pronalaženje tangente i kotangensa kroz sinus i kosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Ovi se identiteti formiraju iz definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Uostalom, ako pogledate, onda je po definiciji ordinata y sinus, a apscisa x je kosinus. Tada će tangenta biti jednaka omjeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), i omjer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bit će kotangens.

Dodajemo da će se identiteti odvijati samo za takve kutove \alpha za koje trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Na primjer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) vrijedi za \alfa kutove koji se razlikuju od \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za kut \alpha koji nije \pi z , z je cijeli broj.

Odnos tangente i kotangensa

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ovaj identitet vrijedi samo za kutove \alpha koji se razlikuju od \frac(\pi)(2) z. U suprotnom se neće odrediti ni kotangens ni tangens.

Na temelju gore navedenih točaka, dobivamo to tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Otuda slijedi da tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dakle, tangent i kotangens jednog kuta pod kojim imaju smisla su međusobno recipročni brojevi.

Odnosi između tangente i kosinusa, kotangensa i sinusa

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- zbroj kvadrata tangente kuta \alpha i 1 jednak je inverznom kvadratu kosinusa ovog kuta. Ovaj identitet vrijedi za sve \alfa osim \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- zbroj 1 i kvadrata kotangensa kuta \alpha, jednak je inverznom kvadratu sinusa zadanog kuta. Ovaj identitet vrijedi za bilo koju \alfu osim \pi z.

Primjeri s rješenjima zadataka pomoću trigonometrijskih identiteta

Primjer 1

Pronađite \sin \alpha i tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 i \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Prikaži rješenje

Odluka

Funkcije \sin \alpha i \cos \alpha povezane su formulom \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamjena u ovoj formuli \cos \alpha = -\frac12, dobivamo:

\sin^(2)\alpha + \lijevo (-\frac12 \desno)^2 = 1

Ova jednadžba ima 2 rješenja:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Po uvjetu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini sinus je pozitivan, dakle \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Da bismo pronašli tg \alpha , koristimo formulu tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Primjer 2

Pronađite \cos \alpha i ctg \alpha ako i \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Prikaži rješenje

Odluka

Zamjena u formulu \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 uvjetni broj \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobivamo \lijevo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ova jednadžba ima dva rješenja \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Po uvjetu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini kosinus je negativan, dakle \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Da bismo pronašli ctg \alpha , koristimo formulu ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Znamo odgovarajuće vrijednosti.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Također preporučujemo

Učitavam...Učitavam...