कौन से दो अंक समान कहलाते हैं? दो ज्यामितीय आकृतियों को समान कहा जाता है यदि उन्हें जोड़ा जा सकता है।

ज्यामितीय आंकड़े समान माने जाते हैं यदि वे एक दूसरे की सटीक प्रति हैं, अर्थात निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

1. आंकड़ों का एक ही आकार है;
2. आंकड़े समान आकार के हैं;
3. एक आकृति का दूसरे पर ऐसा आरोपण (आंदोलन) होता है कि वे अपने सभी बिंदुओं पर मेल खाते हैं।

आकृतियों के आकार का क्या अर्थ है

एक आकृति के आकार के बारे में बोलते हुए, हमारा मुख्य रूप से ज्यामितीय आकृतियों के वर्ग के साथ-साथ कोणों की संख्या, उत्तलता की दिशा (अवतल) और एक सपाट आकृति के समोच्च के अन्य दृश्य विवरण हैं।

उदाहरण के लिए, एक अंडाकार और एक आयत में स्पष्ट रूप से होता है अलग आकार. और यदि आप एक ही वर्ग के आंकड़े लेते हैं, मान लीजिए कि 2 त्रिकोण हैं, तो आपको उन तत्वों की तुलना करने की आवश्यकता है जो समोच्च बनाते हैं। इस मामले में हम बात कर रहे हैंकोणों और भुजाओं के बारे में। इसलिए, यदि एक त्रिभुज में समकोण है, और दूसरा नहीं है, तो यह तुरंत ध्यान देने योग्य है कि उनका एक अलग आकार है। यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई एक दूसरे से अधिक भिन्न नहीं होती है, और दूसरे की एक भुजा अन्य दो से बहुत बड़ी है, तो हम एक नज़र में यह भी देखेंगे कि उनकी आकृतियाँ भिन्न हैं।

आकार मिलान क्यों महत्वपूर्ण है?

क्या होगा यदि आकार में अंतर दृष्टि से ध्यान देने योग्य नहीं हैं? फिर दोनों आंकड़ों का सटीक माप करना आवश्यक है। साथ ही, आकार की समानता समान और समान आकृतियों की अवधारणाओं को अलग करती है। उदाहरण के लिए, के साथ 2 वर्ग अलग क्षेत्रसमान होगा लेकिन समान नहीं होगा (मतलब जब एक दूसरे से बड़ा हो)।

एक दूसरे पर "अतिव्यापी" आंकड़े का क्या अर्थ है

कभी-कभी सटीक माप करना मुश्किल होता है। खासकर अगर आकृति एक बंद मनमाना वक्र या टूटी हुई रेखा द्वारा बनाई गई है। फिर आपको एक आकृति को दूसरे पर आरोपित करने का तरीका खोजने की आवश्यकता है।

इसलिए, यदि वे कागज के एक टुकड़े पर खींचे गए हैं, तो आपको उनमें से एक को समोच्च के साथ काटने और दूसरे के ऊपर रखने की आवश्यकता है। आप इसे किसी भी दिशा में घुमा सकते हैं और पलट भी सकते हैं। यदि इन आकृतियों को संयोजित करने का कोई तरीका है ताकि वे बिल्कुल समोच्च के साथ मेल खाएँ, तो वे समान हैं।

क्या आंकड़ों की समानता को साबित करना हमेशा संभव है

कभी-कभी ऐसा संभव नहीं होता। उदाहरण के लिए, यदि हम सीधी रेखाओं के बारे में बात कर रहे हैं। वे सभी अंतहीन हैं। वही किरणों के लिए जाता है।

समान ऐसे आंकड़े हैं जिन्हें किसी प्रकार की गति (केंद्रीय और अक्षीय समरूपता, रोटेशन और समानांतर अनुवाद) का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है।

ऐसी आकृतियों में क्रमशः सभी भुजाएँ और कोण समान होते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि त्रिभुज ABC और A₁B₁C₁ दिए गए हैं, तो वे बराबर हैं यदि भुजाएँ समान हैं (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) और कोण (कोण A = कोण A₁, कोण B = कोण B₁, कोण C) = कोण सी₁)।

साथ ही, समान अंकों में, संगत बिंदु और रेखाएँ भी समान होती हैं। उदाहरण के लिए, उसी में समान त्रिभुज ABC और A₁B₁C₁ समद्विभाजक, माध्यिका, ऊँचाई, उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्या, केन्द्रक आदि के बराबर होंगे।

कोण किसे कहते हैं? कौन से अंक समान कहलाते हैं? बताएं कि दो खंडों की तुलना कैसे करें? किस बिंदु को कहा जाता है

खंड के बीच में?

कोण समद्विभाजक किसे कहते हैं?

कोण का डिग्री माप क्या है?

किस आकृति को त्रिभुज कहा जाता है? किस त्रिभुज को समान कहा जाता है? किस खंड को त्रिभुज की माध्यिका कहा जाता है? किस खंड को कहा जाता है

त्रिभुज का समद्विभाजक? त्रिभुज की ऊँचाई किस खंड को कहा जाता है? किस त्रिभुज को समद्विबाहु कहा जाता है? किस त्रिभुज को समबाहु कहा जाता है? त्रिज्या, व्यास, जीवा की परिभाषा। समांतर रेखाओं की परिभाषा दीजिए। त्रिभुज का बाह्य कोण किस कोण को कहते हैं? किस त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है, किस त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है, जो समकोण होता है। एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के नाम क्या हैं? तीसरी के समांतर दो रेखाओं का गुणधर्म। समांतर रेखाओं में से एक को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा पर प्रमेय। एक तिहाई के लंबवत दो रेखाओं का गुण

टूटी हुई रेखा किस आकृति को कहते हैं? वर्टेक्स लिंक और पॉलीलाइन लंबाई क्या हैं?

समझाइए कि टूटी हुई रेखा को बहुभुज क्या कहते हैं। बहुभुज के शीर्ष, भुजा, परिमाप और विकर्ण क्या हैं? उत्तल बहुभुज क्या है?
समझाइए कि बहुभुज के कौन-से कोण उत्तल कोण कहलाते हैं। उत्तल n-gon के कोणों के योग की गणना के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए। सिद्ध कीजिए कि एक उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग होता है। प्रत्येक शीर्ष पर एक लिया, 360 डिग्री के बराबर।
उत्तल चतुर्भुज के कोणों का योग कितना होता है?

1) चतुर्भुज किसे कहते हैं?

2) किसी चतुर्भुज के शीर्ष, कोण, भुजाएँ, विकर्ण, परिमाप क्या हैं?
3) चतुर्भुज के कौन-से कोण उत्तल कहलाते हैं?
4) एक उत्तल चतुर्भुज के कोणों का योग कितना होता है?
5) किस चतुर्भुज को उत्तल कहते हैं?
6) किस चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज कहा जाता है?
7) समांतर चतुर्भुज में क्या गुण होते हैं?
8) समांतर चतुर्भुज के संकेतों को नाम दें।
9) एक आयत के गुणों का निर्माण करें।
10) किस चतुर्भुज को वर्ग कहा जाता है?
11) समचतुर्भुज के गुणों का निरूपण करें।
12) किस चतुर्भुज को समचतुर्भुज कहा जाता है?
13) किस चतुर्भुज को आयत कहा जाता है?
14) एक वर्ग में क्या गुण होते हैं? कृपया संक्षेप में उत्तर दें...

ज्यामिति Atanasyan 7,8,9 कक्षा "प्रश्नों के उत्तर ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 2 में पुनरावृत्ति के लिए प्रश्नों के उत्तर 7-9 कक्षा atanasyan किस आकृति की व्याख्या करें

त्रिकोण कहा जाता है।
2. त्रिभुज का परिमाप क्या है?
3. कौन से त्रिभुज समान कहलाते हैं?
4. एक प्रमेय क्या है और एक प्रमेय का प्रमाण क्या है?
5. बताएं कि कौन सा खंड किसी दिए गए बिंदु से दी गई रेखा पर खींचा गया लंबवत कहलाता है।
6. त्रिभुज की माध्यिका किसे कहते हैं? त्रिभुज की कितनी माध्यिकाएँ होती हैं?
7. किस खंड को त्रिभुज का समद्विभाजक कहा जाता है? त्रिभुज में कितने समद्विभाजक होते हैं?
8. त्रिभुज की ऊंचाई किस खंड को कहते हैं? त्रिभुज की कितनी ऊँचाई होती है?
9. समद्विबाहु किसे कहते हैं?
10. एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं के नाम क्या हैं?
11. किस त्रिभुज को समबाहु त्रिभुज कहा जाता है?
12. एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोणों का गुणनफल बनाइए।
13. एक समद्विबाहु त्रिभुज के समद्विभाजक पर एक प्रमेय बनाइए।
14. त्रिभुजों की समता का प्रथम चिह्न निरूपित करें।
15. त्रिभुजों की समता का दूसरा चिन्ह बनाइए।
16. त्रिभुजों की समानता के लिए तीसरा मानदंड तैयार करें।
17. एक वृत्त को परिभाषित कीजिए।
18. एक वृत्त का केंद्र क्या है?
19. वृत्त की त्रिज्या क्या कहलाती है?
20. वृत्त का व्यास क्या कहलाता है?
21. वृत्त की जीवा क्या कहलाती है?

ज्यामिति में बुनियादी अवधारणाओं में से एक एक आकृति है। इस शब्द का अर्थ है एक समतल पर बिंदुओं का एक समूह, जो सीमित संख्या में रेखाओं द्वारा सीमित होता है। कुछ आंकड़ों को समान माना जा सकता है, जो आंदोलन की अवधारणा से निकटता से संबंधित है। ज्यामितीय आंकड़ों को अलगाव में नहीं, बल्कि एक तरह से या किसी अन्य के संबंध में माना जा सकता है - उनका आपसी व्यवस्था, संपर्क और फिट, स्थिति "बीच", "अंदर", "अधिक से अधिक", "से कम", "बराबर" के रूप में व्यक्त अनुपात। ज्यामिति आंकड़ों के अपरिवर्तनीय गुणों का अध्ययन करती है, अर्थात। जो कुछ ज्यामितीय परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तित रहते हैं। अंतरिक्ष का ऐसा परिवर्तन, जिसमें किसी विशेष आकृति को बनाने वाले बिंदुओं के बीच की दूरी अपरिवर्तित रहती है, गति कहलाती है। विभिन्न विकल्प: समानांतर स्थानांतरण, पहचान परिवर्तन, एक अक्ष के चारों ओर घूमना, एक सीधी रेखा या समतल के सापेक्ष समरूपता, केंद्रीय, घूर्णी, अनुवादकीय समरूपता।

आंदोलन और समान आंकड़े

यदि ऐसी गति संभव है जो एक आकृति के दूसरे के साथ संयोजन की ओर ले जाए, तो ऐसी आकृतियों को समान (सर्वांगसम) कहा जाता है। एक तिहाई के बराबर दो आंकड़े भी एक-दूसरे के बराबर होते हैं - ऐसा बयान ज्यामिति के संस्थापक यूक्लिड द्वारा तैयार किया गया था। सर्वांगसम आकृतियों की अवधारणा को और अधिक समझाया जा सकता है सरल भाषा: बराबर ऐसे आंकड़े हैं जो एक-दूसरे पर आरोपित होने पर पूरी तरह से मेल खाते हैं। यह निर्धारित करना काफी आसान है कि क्या आंकड़े कुछ वस्तुओं के रूप में दिए गए हैं जिन्हें हेरफेर किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, वे कागज से काट दिए जाते हैं, इसलिए, कक्षा में स्कूल में, वे अक्सर स्पष्टीकरण की इस पद्धति का सहारा लेते हैं यह अवधारणा. लेकिन एक समतल पर खींची गई दो आकृतियों को एक-दूसरे पर भौतिक रूप से आरोपित नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, आंकड़ों की समानता का प्रमाण उन सभी तत्वों की समानता का प्रमाण है जो इन आंकड़ों को बनाते हैं: खंडों की लंबाई, कोणों का आकार, व्यास और त्रिज्या, अगर हम बात कर रहे हैं एक क्षेत्र में।

समतुल्य और समदूरस्थ आंकड़े

समान आंकड़ों के साथ, किसी को समान आकार और समान रूप से बनाई गई आकृतियों को भ्रमित नहीं करना चाहिए - इन अवधारणाओं की सभी निकटता के साथ।
समान आकार की आकृतियाँ वे होती हैं जिनका क्षेत्रफल समान होता है यदि वे समतल पर आकृतियाँ हैं, या समान आयतन यदि हम त्रि-आयामी निकायों के बारे में बात कर रहे हैं। इन आकृतियों को बनाने वाले सभी तत्वों का संयोग अनिवार्य नहीं है। समान आंकड़े हमेशा आकार में समान होंगे, लेकिन समान आकार के सभी आंकड़े समान नहीं कहे जा सकते। समान संरचना की अवधारणा अक्सर बहुभुजों पर लागू होती है। इसका तात्पर्य है कि बहुभुजों को समान संख्या में क्रमशः समान आकृतियों में विभाजित किया जा सकता है। समतुल्य बहुभुज हमेशा समान क्षेत्रफल वाले होते हैं।

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पाठ मकसद:"समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल" विषय को दोहराएं। त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र व्युत्पन्न कीजिए, समान आकार की आकृतियों की अवधारणा का परिचय दीजिए। "समान आकार के आंकड़ों के क्षेत्र" विषय पर समस्याओं को हल करना।

कक्षाओं के दौरान

मैं दोहराव।

1) मौखिक रूप से तैयार ड्राइंग के अनुसार समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।

2) समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और उन पर गिराई गई ऊँचाइयों के बीच क्या संबंध है?

(तैयार ड्राइंग के अनुसार)

संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है।

3) दूसरी ऊँचाई ज्ञात कीजिए (समाप्त रेखाचित्र के अनुसार)

4) तैयार चित्र के अनुसार समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

5) समांतर चतुर्भुज S1, S2, S3 के क्षेत्रफलों की तुलना करें. (उन्होंने है समान क्षेत्र, सभी का आधार a और ऊँचाई h है)।

परिभाषा: समान क्षेत्रफल वाली आकृतियाँ समान कहलाती हैं।

द्वितीय. समस्या को सुलझाना।

1) सिद्ध कीजिए कि विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरने वाली कोई भी रेखा उसे 2 बराबर भागों में विभाजित करती है।

समाधान:

2) में समांतर चतुर्भुज ABCDसीएफ और सीई ऊंचाई। सिद्ध कीजिए कि AD CF = AB CE।

3) आधार a और 4a के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है। क्या समलम्ब चतुर्भुज को समान क्षेत्रफल वाले 5 त्रिभुजों में विभाजित करते हुए, इसके किसी एक शीर्ष से होकर सीधी रेखाएँ खींचना संभव है?

समाधान:कर सकना। सभी त्रिभुज समान हैं।

4) सिद्ध कीजिए कि यदि हम समांतर चतुर्भुज की भुजा पर स्थित बिंदु A को लेकर उसे शीर्षों से जोड़ते हैं, तो परिणामी त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है।

समाधान:

5) केक में एक समांतर चतुर्भुज का आकार होता है। किड और कार्लसन इसे इस तरह विभाजित करते हैं: किड केक की सतह पर एक बिंदु की ओर इशारा करता है, और कार्लसन इस बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के साथ केक को 2 टुकड़ों में काटता है और अपने लिए एक टुकड़ा लेता है। हर कोई बड़ा टुकड़ा चाहता है। बच्चे को कहाँ समाप्त करना चाहिए?

समाधान:विकर्णों के चौराहे के बिंदु पर।

6) आयत के विकर्ण पर एक बिंदु चुना गया और आयत की भुजाओं के समानांतर, इसके माध्यम से सीधी रेखाएँ खींची गईं। विपरीत पक्षों पर 2 आयतें बनाईं। उनके क्षेत्रों की तुलना करें।

समाधान:

III. "एक त्रिभुज का क्षेत्रफल" विषय का अध्ययन

एक कार्य से शुरू करें:

"एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार a है और ऊँचाई h है।"

लोग, समान आकार के आंकड़ों की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रमेय को सिद्ध करते हैं।

आइए एक समांतर चतुर्भुज के लिए एक त्रिभुज बनाएँ।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

काम: समान त्रिभुज बनाएं।

एक मॉडल का उपयोग किया जाता है (3 रंगीन त्रिकोण कागज से काटे जाते हैं और आधारों पर चिपके होते हैं)।

व्यायाम संख्या 474। "उन दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की तुलना करें जिनमें दिए गए त्रिभुज को उसकी माध्यिका से विभाजित किया गया है।"

त्रिभुज एक ही आधारए और समान ऊंचाई एच। त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होता है

निष्कर्ष: समान क्षेत्रफल वाली आकृतियों को समान कहा जाता है।

कक्षा के लिए प्रश्न:

1. क्या समान आंकड़े?
2. विपरीत कथन तैयार करें। क्या यह सच है?
3. क्या यह सच है:
   a) क्या समबाहु त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं?
   b) समान भुजाओं वाले समबाहु त्रिभुज समान होते हैं?
   ग) समान भुजाओं वाले वर्ग समान होते हैं?
   डी) साबित करें कि समान चौड़ाई के दो स्ट्रिप्स के चौराहे से बने समांतर चतुर्भुज विभिन्न कोणएक दूसरे की ओर ढलान समान हैं। समान चौड़ाई की दो पट्टियों के प्रतिच्छेदन से बनने वाले सबसे छोटे क्षेत्रफल का समांतर चतुर्भुज ज्ञात कीजिए। (मॉडल पर दिखाएं: समान चौड़ाई वाली धारियां)

चतुर्थ। आगे कदम!

बोर्ड पर लिखा वैकल्पिक कार्य:

1. "त्रिभुज को दो सीधी रेखाओं से काटें ताकि आप टुकड़ों को एक आयत में मोड़ सकें।"

समाधान:

2. "आयत को एक सीधी रेखा में 2 भागों में काटें, जिससे आप एक समकोण त्रिभुज बना सकें।"

समाधान:

3) एक आयत में एक विकर्ण खींचा गया है। परिणामी त्रिभुजों में से एक में एक माध्यिका खींची जाती है। आंकड़ों के क्षेत्रफलों के बीच अनुपात ज्ञात कीजिए .

समाधान:

उत्तर:

3. ओलंपियाड कार्यों से:

"चतुर्भुज ABCD में, बिंदु E, AB का मध्यबिंदु है, जो शीर्ष D से जुड़ा है, और F, शीर्ष B से CD का मध्यबिंदु है। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज EBFD का क्षेत्रफल 2 गुना है। कम क्षेत्रचतुर्भुज एबीसीडी।

हल : एक विकर्ण BD खींचिए।

व्यायाम संख्या 475।

“त्रिभुज ABC ड्रा करें। शीर्ष B से होकर, 2 सीधी रेखाएँ खींचिए ताकि वे इस त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले 3 त्रिभुजों में विभाजित करें।

थेल्स प्रमेय का प्रयोग करें (एसी को 3 बराबर भागों में विभाजित करें)।

वी. दिन का कार्य।

उसके लिए, मैंने बोर्ड का सबसे दाहिना हिस्सा लिया, जिस पर मैं आज का कार्य लिखता हूं। बच्चे फैसला कर सकते हैं या नहीं। हम आज कक्षा में इस समस्या का समाधान नहीं करेंगे। यह सिर्फ इतना है कि जो लोग उनमें रुचि रखते हैं वे इसे लिख सकते हैं, इसे घर पर या ब्रेक के दौरान हल कर सकते हैं। आमतौर पर, पहले से ही अवकाश पर, कई लोग समस्या को हल करना शुरू करते हैं, यदि वे निर्णय लेते हैं, तो वे समाधान दिखाते हैं, और मैं इसे एक विशेष तालिका में ठीक करता हूं। अगले पाठ में, हम निश्चित रूप से इस समस्या पर लौटेंगे, पाठ के एक छोटे से हिस्से को इसे हल करने के लिए समर्पित करेंगे (और बोर्ड पर एक नई समस्या लिखी जा सकती है)।

"एक समांतर चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज में काटा जाता है। बाकी को 2 बराबर आकार की आकृतियों में बाँट लें।

समाधान:छेदक AB समांतर चतुर्भुज O और O1 के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।

अतिरिक्त समस्याएं (ओलंपियाड समस्याओं से):

1) समलम्ब चतुर्भुज ABCD (AD || BC) में, शीर्ष A और B, भुजा CD के मध्य बिंदु M से जुड़े हैं। त्रिभुज ABM का क्षेत्रफल m है। समलम्ब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

त्रिभुज ABM और AMK समान आकृतियाँ हैं, क्योंकि AM माध्यिका है।
S ABK = 2m, ∆BCM = MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m।

उत्तर: एसएबीसीडी = 2 मी।

2) "समलम्ब ABCD (AD || BC) में, विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज AOB और COD समान क्षेत्रफल हैं।"

समाधान:

एस ∆BCD = एस ABC , इसलिये उनका एक उभयनिष्ठ आधार BC और समान ऊँचाई है.

3) एक मनमाना त्रिभुज ABC की भुजा AB को शीर्ष B से आगे बढ़ाया जाता है ताकि BP = AB, भुजा AC को शीर्ष A से आगे बढ़ाया जाए ताकि AM = CA, भुजा BC को शीर्ष C से आगे बढ़ाया जाए ताकि KS = BC हो। त्रिभुज RMK . का क्षेत्रफल कितना गुना है? अधिक क्षेत्रत्रिभुज एबीसी?

समाधान:

एक त्रिभुज में एमवीएस: MA = AC, अत: त्रिभुज BAM का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के बराबर है। एक त्रिभुज में कार्य केंद्र: BP = AB, इसलिए त्रिभुज BAM का क्षेत्रफल त्रिभुज ABP के क्षेत्रफल के बराबर है। एक त्रिभुज में आर्स: AB = BP, इसलिए त्रिभुज BAC का क्षेत्रफल त्रिभुज BPC के क्षेत्रफल के बराबर है। एक त्रिभुज में वीआरके: BC \u003d SC, इसलिए त्रिभुज VRS का क्षेत्रफल त्रिभुज RKS के क्षेत्रफल के बराबर है। एक त्रिभुज में एवीके: BC = SC, अत: त्रिभुज BAC का क्षेत्रफल त्रिभुज ASC के क्षेत्रफल के बराबर है। त्रिभुज MSC में: MA = AC, इसलिए त्रिभुज KAM का क्षेत्रफल त्रिभुज ASC के क्षेत्रफल के बराबर है। हमें 7 बराबर त्रिभुज मिलते हैं। साधन,

उत्तर त्रिभुज MRK का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का 7 गुना है।

4) जुड़े हुए समांतर चतुर्भुज।

2 समांतर चतुर्भुज स्थित हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है: उनके पास एक सामान्य शीर्ष है और प्रत्येक समांतर चतुर्भुज के लिए एक और शीर्ष दूसरे समांतर चतुर्भुज के किनारों पर स्थित है। सिद्ध कीजिए कि समांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

समाधान:

और , साधन,

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति 7-9" (लेखक एल.एस. अतानासियन, वी.एफ. बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव (मास्को, "ज्ञानोदय", 2003)।
2. ओलंपियाड कार्य अलग साल, विशेष रूप से अध्ययन गाइड"गणितीय ओलंपियाड की सर्वश्रेष्ठ समस्याएं" (ए.ए. कोरज़्न्याकोव, पर्म, "निज़नी मीर", 1996 द्वारा संकलित)।
3. कई वर्षों के काम में संचित कार्यों का चयन।

सुपरइम्पोज़ करने पर मेल खाने वाली आकृतियाँ EQUAL कहलाती हैं। दो ज्यामितीय आंकड़ेसमान कहलाते हैं यदि उन्हें आरोपित करने पर जोड़ा जा सकता है

9. बताएं कि दो रेखाखंडों की तुलना कैसे करें और 2 कोणों की तुलना कैसे करें।आप एक खंड को दूसरे पर सुपरइम्पोज़ करते हैं ताकि पहले का अंत दूसरे के अंत के साथ संरेखित हो, यदि अन्य दो छोर संरेखित नहीं हैं, तो खंड समान नहीं हैं, यदि वे संरेखित हैं, तो वे समान हैं। 2 खंडों की तुलना करने के लिए, आपको उनकी लंबाई की तुलना करने की आवश्यकता है; 2 कोणों की तुलना करने के लिए, आपको उनके डिग्री माप की तुलना करने की आवश्यकता है। दो कोणों को समान कहा जाता है यदि उन्हें अतिव्यापी द्वारा जोड़ा जा सकता है। यह स्थापित करने के लिए कि दो गैर-विस्तारित कोण समान हैं या नहीं, एक कोण की भुजा को दूसरे कोण की भुजा से जोड़ना आवश्यक है ताकि अन्य दो भुजाएँ संयुक्त भुजाओं के एक ही तरफ होंएक कोने को दूसरे कोने पर इस तरह रखें कि उनके कोने एक तरफ संपाती हों, और अन्य दो संरेखित पक्षों के एक ही तरफ हों। यदि एक कोण की दूसरी भुजा को दूसरे कोण की दूसरी भुजा के साथ संरेखित किया जाए, तो ये कोण बराबर होते हैं। (कोनों को इस तरह से व्यवस्थित करें कि एक की भुजा दूसरे की भुजा के साथ संरेखित हो, और अन्य दो संरेखित भुजाओं के एक ही तरफ हों। यदि दो अन्य भुजाएँ संरेखित हैं, तो कोण पूरी तरह से संरेखित हैं, जिसका अर्थ है वे बराबर हैं।)

10. खंड का मध्य बिंदु किस बिंदु को कहा जाता है?एक खंड का मध्य बिंदु वह बिंदु है जो दिए गए खंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। वह बिंदु जो किसी खंड को आधे में विभाजित करता है, खंड का मध्य बिंदु कहलाता है।

11. द्विभाजक(लैटिन द्वि- "डबल" और सेक्शन "कटिंग" से) एक कोण एक किरण है जो कोण के शीर्ष से निकलती है और अपने आंतरिक क्षेत्र से गुजरती है, जो इसके पक्षों के साथ दो समान कोण बनाती है। अथवा किसी कोण के शीर्ष से निकलने वाली और उसे दो बराबर कोणों में विभाजित करने वाली किरण कहलाती है कोण द्विभाजक।

12. खंडों की माप कैसे होती है।एक खंड को एक के अनुरूप मापने का मतलब यह पता लगाना है कि इसमें कितनी बार एक इकाई या एक इकाई का कुछ अंश शामिल है। दूरी मापएक इकाई के रूप में लिए गए एक निश्चित खंड के साथ इसकी तुलना करके किया जाता है। आप एक रूलर या मापने वाले टेप का उपयोग करके खंड की लंबाई को माप सकते हैं। एक खंड को दूसरे पर आरोपित करना आवश्यक है, जिसे हमने माप की एक इकाई के रूप में लिया है, ताकि उनके सिरों को संरेखित किया जा सके।

? 13. खंड एबी और सीडी की लंबाई कैसे संबंधित हैं यदि: ए) खंड एबी और सीडी बराबर हैं; b) क्या खंड AB खंड CD से कम है?

ए) खंड एबी और सीडी की लंबाई बराबर हैं। बी) खंड एबी की लंबाई खंड की लंबाई से कम है सीडी.

14. बिंदु C खंड AB को दो खंडों में विभाजित करता है। AB, AC और CB खंडों की लंबाई कैसे संबंधित है?खंड AB की लंबाई खंडों की लंबाई के योग के बराबर है एसीऔर सीबी. खंड AB की लंबाई ज्ञात करने के लिए, खंड AC और CB की लंबाई जोड़ें।

15. डिग्री क्या है? कोण की डिग्री माप क्या दर्शाती है?कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है। यह डिग्री, रेडियन हो सकता है। सबसे अधिक बार, कोणों को डिग्री में मापा जाता है। (इस डिग्री को तापमान के माप के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जहां "डिग्री" शब्द का भी उपयोग किया जाता है)। कोणों की माप माप की एक इकाई के रूप में लिए गए कोण से उनकी तुलना करने पर आधारित होती है। आमतौर पर, कोणों के लिए माप की एक इकाई के रूप में एक डिग्री ली जाती है - एक विकसित कोण के 1/180 के बराबर कोण। डिग्री ज्यामिति में समतल कोणों की एक इकाई है। (डिग्री को ज्यामितीय कोणों के मापन की इकाई के रूप में लिया जाता है - कोण का हिस्सा।) .

कोण की डिग्री मापदिखाता है कि कितनी बार एक डिग्री और उसके हिस्से - एक मिनट और एक सेकंड - किसी दिए गए कोण में फिट होते हैं , वह है, एक डिग्री माप - एक मान जो कोण के किनारों के बीच डिग्री, मिनट और सेकंड की संख्या को दर्शाता है।

16. डिग्री के किस भाग को मिनट कहा जाता है, और किस भाग को सेकंड कहा जाता है?डिग्री के 1/60 को मिनट कहा जाता है, और मिनट के 1/60 को सेकंड कहा जाता है। मिनटों को "′" चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है, और सेकंड - "″" चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है

? 17. दो कोणों के डिग्री माप कैसे संबंधित हैं यदि: ए) ये कोण बराबर हैं; b) एक कोण दूसरे से छोटा है?ए) कोणों की डिग्री माप समान है। b) एक कोण का अंश माप दूसरे कोण के अंश माप से कम होता है।

18. किरण OC कोण AOB को दो कोणों में विभाजित करती है। एओबी, एओसी और सीओबी कोणों के डिग्री माप कैसे संबंधित हैं?जब एक किरण एक कोण को दो कोणों में विभाजित करती है, तो पूरे कोण का डिग्री माप उन कोणों के डिग्री माप के योग के बराबर होता है। कोण का डिग्री माप एओबीइसके भागों के डिग्री उपायों के योग के बराबर है एओसी और सीओबी।