पक्ष एकके रूप में पहचाना जा सकता है कोने B . के निकटतथा विपरीत कोने A, और पक्ष बी- कैसे कोने A . के निकटतथा विपरीत कोने B.

समकोण त्रिभुजों के प्रकार

• यदि एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ पूर्णांक हों, तो त्रिभुज कहलाता है पाइथागोरस त्रिभुज, और इसके पक्षों की लंबाई तथाकथित . बनाती है पाइथागोरस ट्रिपल.

गुण

कद

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई।

त्रिकोणमितीय संबंध

होने देना एचतथा एस (एच>एस) एक कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज में अंकित दो वर्गों की भुजाओं द्वारा सी. फिर:

एक समकोण त्रिभुज का परिमाप उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्याओं और तीन परिबद्ध वृत्तों के योग के बराबर होता है।

टिप्पणियाँ

लिंक

• वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू।वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड वेबसाइट पर समकोण त्रिभुज (अंग्रेज़ी)।
• वेंटवर्थ जी.ए.ज्यामिति की एक पाठ्य-पुस्तक। - गिन एंड कंपनी, 1895।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "समकोण त्रिभुज" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

सही त्रिकोण- - थीम्स तेल व गैस उद्योग EN समकोण त्रिभुज… तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

और (सरल) त्रिभुज, त्रिभुज, पति। एक। ज्यामितीय आकृति, तीन परस्पर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं से घिरी हुई तीन आंतरिक कोने(मैट।) तिरछा त्रिभुज। न्यून त्रिकोण। सही त्रिकोण.… … शब्दकोषउशाकोव

आयताकार, आयताकार, आयताकार (जियोम।) एक समकोण (या समकोण) होना। सही त्रिकोण। आयताकार आंकड़े। उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। डी.एन. उषाकोव। 1935 1940 ... Ushakov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, त्रिभुज (अर्थ) देखें। एक त्रिभुज (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में) तीन रेखा खंडों द्वारा बनाई गई एक ज्यामितीय आकृति है जो तीन गैर-रैखिक बिंदुओं को जोड़ती है। तीन बिंदु, ... ... विकिपीडिया

त्रिकोण- ▲ एक बहुभुज जिसमें तीन, कोण त्रिभुज सबसे सरल बहुभुज होता है; 3 बिंदुओं द्वारा दिया जाता है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिकोणीय। न्यून कोण। तीव्र कोण वाला। दायां त्रिकोण: पैर। कर्ण समद्विबाहु त्रिकोण। …… रूसी भाषा का आइडियोग्राफिक डिक्शनरी

त्रिभुज, ए, पति। 1. ज्यामितीय आकृति तीन कोनों वाला एक बहुभुज है, साथ ही कोई भी वस्तु, इस रूप का एक उपकरण है। आयताकार टी। लकड़ी टी। (ड्राइंग के लिए)। सैनिक का टी। (एक लिफाफे के बिना सैनिक का पत्र, एक कोने में मुड़ा हुआ; बोलचाल)। 2… Ozhegov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

त्रिभुज (बहुभुज)- त्रिकोण: 1 तीव्र, आयताकार और अधिक; 2 नियमित (समबाहु) और समद्विबाहु; 3 द्विभाजक; 4 माध्यिकाएं और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र; 5 ऊंचाई; 6 ऑर्थोसेंटर; 7 मध्य रेखा। त्रिभुज, 3 भुजाओं वाला बहुभुज। कभी-कभी इसके तहत... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

विश्वकोश शब्दकोश

त्रिकोण- एक; मी. 1) क) तीन आंतरिक कोणों को बनाने वाली तीन प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। आयताकार, समद्विबाहु त्रिभुज/सन। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। बी) सम्मान। क्या या डीईएफ़ के साथ। ऐसे रूप की कोई आकृति या वस्तु।…… कई भावों का शब्दकोश

लेकिन; मी. 1. तीन आंतरिक कोणों को बनाने वाली तीन प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। आयताकार, समद्विबाहु मी। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। // क्या या डीईएफ़ के साथ। ऐसे रूप की कोई आकृति या वस्तु। टी. छत. टी।… … विश्वकोश शब्दकोश

पक्ष एकके रूप में पहचाना जा सकता है कोने B . के निकटतथा विपरीत कोने A, और पक्ष बी- कैसे कोने A . के निकटतथा विपरीत कोने B.

समकोण त्रिभुजों के प्रकार

• यदि एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ पूर्णांक हों, तो त्रिभुज कहलाता है पाइथागोरस त्रिभुज, और इसके पक्षों की लंबाई तथाकथित . बनाती है पाइथागोरस ट्रिपल.

गुण

कद

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई।

त्रिकोणमितीय संबंध

होने देना एचतथा एस (एच>एस) एक कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज में अंकित दो वर्गों की भुजाओं द्वारा सी. फिर:

एक समकोण त्रिभुज का परिमाप उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्याओं और तीन परिबद्ध वृत्तों के योग के बराबर होता है।

टिप्पणियाँ

लिंक

• वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू।वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड वेबसाइट पर समकोण त्रिभुज (अंग्रेज़ी)।
• वेंटवर्थ जी.ए.ज्यामिति की एक पाठ्य-पुस्तक। - गिन एंड कंपनी, 1895।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

• घनाभ
• प्रत्यक्ष लागत

देखें कि "समकोण त्रिभुज" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

सही त्रिकोण- — विषय तेल और गैस उद्योग EN समकोण त्रिभुज… तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

त्रिकोण- और (सरल) त्रिभुज, त्रिभुज, पति। 1. तीन आंतरिक कोणों (चटाई) को बनाने वाली तीन परस्पर प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। तिरछा त्रिभुज। न्यून त्रिकोण। सही त्रिकोण।… … Ushakov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

आयताकार- आयताकार, आयताकार, आयताकार (जियोम।)। एक समकोण (या समकोण) होना। सही त्रिकोण। आयताकार आंकड़े। उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। डी.एन. उषाकोव। 1935 1940 ... Ushakov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

त्रिकोण- इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, त्रिभुज (अर्थ) देखें। एक त्रिभुज (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में) तीन रेखा खंडों द्वारा बनाई गई एक ज्यामितीय आकृति है जो तीन गैर-रैखिक बिंदुओं को जोड़ती है। तीन बिंदु, ... ... विकिपीडिया

त्रिकोण- ▲ एक बहुभुज जिसमें तीन, कोण त्रिभुज सबसे सरल बहुभुज होता है; 3 बिंदुओं द्वारा दिया जाता है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिकोणीय। न्यून कोण। तीव्र कोण वाला। दायां त्रिकोण: पैर। कर्ण समद्विबाहु त्रिकोण। …… रूसी भाषा का आइडियोग्राफिक डिक्शनरी

त्रिकोण- एक त्रिकोण, ए, पति। 1. ज्यामितीय आकृति तीन कोनों वाला एक बहुभुज है, साथ ही कोई भी वस्तु, इस रूप का एक उपकरण है। आयताकार टी। लकड़ी टी। (ड्राइंग के लिए)। सैनिक का टी। (एक लिफाफे के बिना सैनिक का पत्र, एक कोने में मुड़ा हुआ; बोलचाल)। 2… Ozhegov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

त्रिभुज (बहुभुज)- त्रिकोण: 1 तीव्र, आयताकार और अधिक; 2 नियमित (समबाहु) और समद्विबाहु; 3 द्विभाजक; 4 माध्यिकाएं और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र; 5 ऊंचाई; 6 ऑर्थोसेंटर; 7 मध्य रेखा। त्रिभुज, 3 भुजाओं वाला बहुभुज। कभी-कभी इसके तहत... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

त्रिकोण विश्वकोश शब्दकोश

त्रिकोण- एक; मी. 1) क) तीन आंतरिक कोणों को बनाने वाली तीन प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। आयताकार, समद्विबाहु त्रिभुज/सन। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। बी) सम्मान। क्या या डीईएफ़ के साथ। ऐसे रूप की कोई आकृति या वस्तु।…… कई भावों का शब्दकोश

त्रिकोण- एक; मी. 1. तीन आंतरिक कोणों को बनाने वाली तीन प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। आयताकार, समद्विबाहु मी। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। // क्या या डीईएफ़ के साथ। ऐसे रूप की कोई आकृति या वस्तु। टी. छत. टी।… … विश्वकोश शब्दकोश

सही त्रिकोणएक त्रिभुज है जिसमें कोणों में से एक सही है, यानी 90 डिग्री के बराबर है।

• समकोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है। सीया एबी)
• समकोण से सटे भाग को टांग कहते हैं। प्रत्येक समकोण त्रिभुज के दो पैर होते हैं (जैसा दर्शाया गया है) एकऔर बी या एसी और बीसी)

एक समकोण त्रिभुज के सूत्र और गुण

सूत्र पदनाम:

(ऊपर चित्र देखें)

ए, बी- एक समकोण त्रिभुज के पैर

सी- कर्ण

α, β - त्रिभुज के न्यून कोण

एस- वर्ग

एच- ऊंचाई ऊपर से कम समकोणकर्ण को

एम ए एकविपरीत कोने से ( α )

एम बी- माध्यिका पक्ष की ओर खींची गई बीविपरीत कोने से ( β )

एम सी- माध्यिका पक्ष की ओर खींची गई सीविपरीत कोने से ( γ )

पर सही त्रिकोण कोई भी पैर कर्ण से छोटा है(फॉर्मूला 1 और 2)। यह गुण पाइथागोरस प्रमेय का परिणाम है।

किसी भी न्यून कोण की कोज्याएक से कम (फॉर्मूला 3 और 4)। यह संपत्ति पिछले एक से अनुसरण करती है। चूंकि कोई भी पैर कर्ण से कम है, इसलिए पैर और कर्ण का अनुपात हमेशा एक से कम होता है।

कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है (पायथागॉरियन प्रमेय)। (फॉर्मूला 5)। इस संपत्ति का उपयोग लगातार समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफलपैरों के आधे उत्पाद के बराबर (सूत्र 6)

वर्ग माध्यिका का योगपैरों को कर्ण के मध्य के पांच वर्गों के बराबर और कर्ण के पांच वर्गों को चार (सूत्र 7) से विभाजित किया जाता है। उपरोक्त के अलावा, वहाँ 5 और सूत्र, इसलिए यह अनुशंसा की जाती है कि आप " एक समकोण त्रिभुज की माध्यिका" पाठ से भी परिचित हों, जो माध्यिका के गुणों का अधिक विस्तार से वर्णन करता है।

कदएक समकोण त्रिभुज का योग कर्ण द्वारा विभाजित टाँगों के गुणनफल के बराबर होता है (सूत्र 8)

पैरों के वर्ग कर्ण (सूत्र 9) में गिराए गए ऊंचाई के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। यह पहचान भी पाइथागोरस प्रमेय के परिणामों में से एक है।

कर्ण की लंबाईपरिचालित वृत्त के व्यास (दो त्रिज्या) के बराबर (सूत्र 10)। एक समकोण त्रिभुज का कर्ण परिबद्ध वृत्त का व्यास है. इस संपत्ति का उपयोग अक्सर समस्या समाधान में किया जाता है।

अंकित त्रिज्यामें सही त्रिकोण हलकोंअभिव्यक्ति के आधे हिस्से के रूप में पाया जा सकता है, जिसमें इस त्रिभुज के पैरों का योग घटा कर्ण की लंबाई शामिल है। या किसी दिए गए त्रिभुज की सभी भुजाओं (परिधि) के योग से विभाजित पादों के गुणनफल के रूप में। (फॉर्मूला 11)
कोण की ज्या विलोमयह कोना पैर से कर्ण तक(एक साइन की परिभाषा के अनुसार)। (फॉर्मूला 12)। समस्याओं को हल करते समय इस संपत्ति का उपयोग किया जाता है। भुजाओं की विमाओं को जानकर आप उनके द्वारा बनाए गए कोण का पता लगा सकते हैं।

एक समकोण त्रिभुज में कोण A (α, alpha) की कोज्या बराबर होगी संबंध सटा हुआयह कोना पैर से कर्ण तक(एक साइन की परिभाषा के अनुसार)। (फॉर्मूला 13)

औसत स्तर

सही त्रिकोण। पूरा सचित्र गाइड (2019)

सही त्रिकोण। प्रथम स्तर।

समस्याओं में, एक समकोण बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है - निचला बाएँ वाला, इसलिए आपको यह सीखने की ज़रूरत है कि इस रूप में एक समकोण त्रिभुज को कैसे पहचाना जाए,

और ऐसे में

और ऐसे में

एक समकोण त्रिभुज के बारे में क्या अच्छा है? खैर... सबसे पहले, विशेष हैं सुंदर नामउसके पक्षों के लिए।

ड्राइंग पर ध्यान दें!

याद रखें और भ्रमित न हों: पैर - दो, और कर्ण - केवल एक(एकमात्र, अद्वितीय और सबसे लंबा)!

खैर, हमने नामों पर चर्चा की, अब सबसे महत्वपूर्ण बात: पाइथागोरस प्रमेय।

पाइथागोरस प्रमेय।

यह प्रमेय एक समकोण त्रिभुज से संबंधित कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है। पाइथागोरस ने इसे पूरी तरह से अनादि काल में सिद्ध किया था और तब से यह जानने वालों के लिए कई फायदे लेकर आया है। और उसकी सबसे अच्छी बात यह है कि वह सिंपल है।

इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय:

क्या आपको मजाक याद है: "पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ बराबर हैं!"?

आइए इन्हें ड्रा करें पायथागॉरियन पैंटऔर उन्हें देखो।

क्या यह वास्तव में शॉर्ट्स की तरह दिखता है? खैर, किस तरफ और कहां बराबर हैं? मजाक क्यों और कहाँ से आया? और यह मजाक पाइथागोरस प्रमेय के साथ सटीक रूप से जुड़ा हुआ है, अधिक सटीक रूप से जिस तरह से पाइथागोरस ने अपना प्रमेय तैयार किया था। और उन्होंने इसे इस तरह तैयार किया:

"जोड़ चौकों का क्षेत्रफल, पैरों पर निर्मित, के बराबर है वर्ग क्षेत्रकर्ण पर निर्मित।

क्या यह थोड़ा अलग नहीं लगता, है ना? और इसलिए, जब पाइथागोरस ने अपने प्रमेय का बयान दिया, तो बस एक ऐसी तस्वीर निकली।

इस चित्र में छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों का योग बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। और इसलिए कि बच्चे बेहतर याद रखें कि पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है, किसी ने पाइथागोरस पैंट के बारे में इस मजाक का आविष्कार किया।

अब हम पाइथागोरस प्रमेय क्यों बना रहे हैं?

क्या पाइथागोरस पीड़ित थे और उन्होंने वर्गों के बारे में बात की थी?

आप देखिए, प्राचीन काल में बीजगणित नहीं था! आदि कोई लक्षण नहीं थे। कोई शिलालेख नहीं थे। क्या आप सोच सकते हैं कि गरीब प्राचीन छात्रों के लिए सब कुछ शब्दों में याद रखना कितना भयानक था ??! और हमें खुशी हो सकती है कि हमारे पास पाइथागोरस प्रमेय का एक सरल सूत्रीकरण है। आइए इसे बेहतर याद रखने के लिए फिर से दोहराएं:

अब यह आसान होना चाहिए:

कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

खैर, एक समकोण त्रिभुज के बारे में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय पर चर्चा की गई। यदि आप रुचि रखते हैं कि यह कैसे साबित होता है, तो सिद्धांत के अगले स्तरों को पढ़ें, और अब चलते हैं ... अंधेरे जंगल में ... त्रिकोणमिति के! भयानक शब्दों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट।

एक समकोण त्रिभुज में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट।

वास्तव में, सब कुछ इतना डरावना नहीं है। बेशक, लेख में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की "वास्तविक" परिभाषा को देखा जाना चाहिए। लेकिन तुम सच में नहीं चाहते, है ना? हम आनंदित हो सकते हैं: एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याओं को हल करने के लिए, आप बस निम्नलिखित सरल चीजें भर सकते हैं:

यह सब कोने के बारे में क्यों है? कोने कहाँ है? इसे समझने के लिए आपको यह जानना होगा कि कथन 1 - 4 को शब्दों में कैसे लिखा जाता है। देखो, समझो और याद करो!

1.
यह वास्तव में ऐसा लगता है:

कोण के बारे में क्या? क्या कोई पैर है जो कोने के विपरीत है, यानी विपरीत पैर (कोने के लिए)? बेशक है! यह एक कैथेट है!

लेकिन कोण का क्या? नज़दीक से देखें। कौन सा पैर कोने से सटा हुआ है? बेशक, बिल्ली। तो, कोण के लिए, पैर आसन्न है, और

और अब, ध्यान! देखो हमें क्या मिला:

देखें कि यह कितना शानदार है:

अब चलिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट पर चलते हैं।

अब इसे शब्दों में कैसे कहें? कोने के संबंध में पैर क्या है? विपरीत, निश्चित रूप से - यह कोने के विपरीत "झूठ" है। और कैथेट? कोने के पास। तो हमें क्या मिला?

देखें कि अंश और हर को कैसे उलट दिया जाता है?

और अब फिर से कोनों और विनिमय किया:

सारांश

आइए संक्षेप में लिखें कि हमने क्या सीखा है।

पाइथागोरस प्रमेय:

मुख्य समकोण त्रिभुज प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय है।

पाइथागोरस प्रमेय

वैसे, क्या आपको अच्छी तरह याद है कि पैर और कर्ण क्या हैं? अगर नहीं तो तस्वीर देखिये - ताज़ा कीजिये अपना ज्ञान

हो सकता है कि आपने पहले भी कई बार पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किया हो, लेकिन क्या आपने कभी सोचा है कि ऐसा प्रमेय सत्य क्यों है। आप इसे कैसे साबित करेंगे? चलो प्राचीन यूनानियों की तरह करते हैं। आइए एक भुजा के साथ एक वर्ग बनाएं।

आप देखते हैं कि हमने कितनी चतुराई से इसके पक्षों को लंबाई के खंडों में विभाजित किया है और!

अब चिह्नित बिंदुओं को जोड़ते हैं

हालाँकि, यहाँ हमने कुछ और नोट किया है, लेकिन आप स्वयं चित्र को देखें और सोचें कि क्यों।

बड़े वर्ग का क्षेत्रफल कितना है?

सही ढंग से, .

छोटे क्षेत्र के बारे में क्या?

बेशक, ।

चारों कोनों का कुल क्षेत्रफल रहता है। कल्पना कीजिए कि हमने उनमें से दो को लिया और कर्ण के साथ एक दूसरे के खिलाफ झुक गए।

क्या हुआ? दो आयताकार। तो, "कटिंग" का क्षेत्रफल बराबर है।

आइए अब यह सब एक साथ करें।

आइए रूपांतरित करें:

इसलिए हमने पाइथागोरस का दौरा किया - हमने उनके प्रमेय को प्राचीन तरीके से सिद्ध किया।

समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमिति

एक समकोण त्रिभुज के लिए, निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं:

एक न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण से अनुपात के बराबर होती है

एक न्यून कोण की कोज्या आसन्न टांग और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।

एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत टांग और आसन्न टांग के अनुपात के बराबर होती है।

एक न्यून कोण का कोटेंजेंट आसन्न पैर के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर होता है।

और एक बार फिर, यह सब एक प्लेट के रूप में:

यह बहुत आरामदायक है!

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण

I. दो पैरों पर

द्वितीय. पैर और कर्ण से

III. कर्ण और न्यून कोण से

चतुर्थ। पैर और तीव्र कोण के साथ

एक)

बी)

ध्यान! यहां यह बहुत महत्वपूर्ण है कि पैर "संबंधित" हों। उदाहरण के लिए, यदि यह इस तरह जाता है:

तब त्रिभुज समान नहीं हैं, इस तथ्य के बावजूद कि उनके पास एक समान तीव्र कोण है।

करने की जरूरत है दोनों त्रिभुजों में पैर आसन्न था, या दोनों में - विपरीत.

क्या आपने देखा है कि समकोण त्रिभुजों की समानता के चिन्ह त्रिभुजों की समानता के सामान्य चिह्नों से कैसे भिन्न होते हैं?

विषय को देखें "और इस तथ्य पर ध्यान दें कि "साधारण" त्रिभुजों की समानता के लिए, आपको उनके तीन तत्वों की समानता की आवश्यकता है: दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण, दो कोण और उनके बीच की भुजा, या तीन भुजाएँ।

लेकिन समकोण त्रिभुजों की समानता के लिए केवल दो संगत तत्व ही पर्याप्त हैं। यह बढ़िया है, है ना?

समकोण त्रिभुजों की समानता के संकेतों के साथ लगभग समान स्थिति।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण

I. एक्यूट कॉर्नर

द्वितीय. दो पैरों पर

III. पैर और कर्ण से

एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका

ऐसा क्यों है?

एक समकोण त्रिभुज के बजाय एक संपूर्ण आयत पर विचार करें।

आइए एक विकर्ण बनाएं और एक बिंदु पर विचार करें - विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु। आयत के विकर्णों के बारे में आप क्या जानते हैं?

और इससे क्या होता है?

तो हुआ यह कि

1. - माध्यिका:

इस तथ्य को याद रखें! बहुत मदद करता है!

इससे भी ज्यादा हैरान करने वाली बात यह है कि इसका उल्टा भी सच है।

इस तथ्य से क्या लाभ हो सकता है कि कर्ण की ओर खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर है? आइए देखते हैं तस्वीर

नज़दीक से देखें। हमारे पास है: , अर्थात्, बिंदु से त्रिभुज के तीनों शीर्षों तक की दूरी बराबर निकली। लेकिन एक त्रिभुज में केवल एक ही बिंदु होता है, जिसकी दूरियाँ त्रिभुज के लगभग तीनों शीर्षों के बराबर होती हैं, और यह वर्णित चक्र का केंद्र है। तो क्या हुआ?

तो चलिए इसे "इसके अलावा ..." से शुरू करते हैं।

आइए देखें आई.

परंतु समरूप त्रिभुजसभी कोण समान हैं!

और . के बारे में भी यही कहा जा सकता है

अब इसे एक साथ ड्रा करें:

इस "ट्रिपल" समानता से क्या फायदा हो सकता है।

खैर, उदाहरण के लिए - एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई के लिए दो सूत्र।

हम संबंधित पक्षों के संबंध लिखते हैं:

ऊंचाई खोजने के लिए, हम अनुपात को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं पहला सूत्र "एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई":

तो, आइए समानता लागू करें: ।

अब क्या होगा?

फिर से हम अनुपात को हल करते हैं और दूसरा सूत्र प्राप्त करते हैं:

इन दोनों फ़ार्मुलों को बहुत अच्छी तरह से याद रखना चाहिए और जो लागू करने के लिए अधिक सुविधाजनक है।

आइए उन्हें फिर से लिखें।

पाइथागोरस प्रमेय:

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है:।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

• दो पैरों पर:
• पैर और कर्ण के साथ: or
• पैर और आसन्न तीव्र कोण के साथ: या
• पैर और विपरीत तीव्र कोण के साथ: or
• कर्ण और न्यून कोण द्वारा: या।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

• एक नुकीला कोना: or
• दो पैरों की आनुपातिकता से:
• पैर और कर्ण की आनुपातिकता से: या।

एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटांगेंट

• एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:
• एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या कर्ण से आसन्न पैर का अनुपात है:
• एक समकोण त्रिभुज के एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है:
• एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण का कोटेंजेंट आसन्न पैर का विपरीत :. का अनुपात होता है।

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई: या।

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है: .

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल:

• कैथेटर के माध्यम से:
• पैर और एक तीव्र कोण के माध्यम से: .

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने अधिकांश साथियों से पहले से ही बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किसलिए?

सफलता के लिए परीक्षा उत्तीर्ण करना, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...

प्राप्त करने वाले लोग एक अच्छी शिक्षा, उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया। यह सांख्यिकी है।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत अधिक अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिए...

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इस विषय पर समस्याओं का समाधान करते हुए अपना हाथ भरें।

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निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आप हमारे कार्यों को पसंद नहीं करते हैं, तो दूसरों को खोजें। बस सिद्धांत के साथ मत रुको।

"समझ गया" और "मुझे पता है कि कैसे हल करना है" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

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समकोण त्रिभुज - एक त्रिभुज जिसका एक कोण समकोण हो (90 0 के बराबर)। इसलिए, अन्य दो कोणों का योग 90 0 है।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ

नब्बे डिग्री के कोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है। अन्य दो पक्षों को पैर कहा जाता है। कर्ण हमेशा पैरों से लंबा होता है, लेकिन उनके योग से छोटा होता है।

सही त्रिकोण। त्रिभुज गुण

यदि पैर तीस डिग्री के कोण के विपरीत है, तो इसकी लंबाई कर्ण की आधी लंबाई से मेल खाती है। इससे यह पता चलता है कि पैर के विपरीत कोण, जिसकी लंबाई आधे कर्ण से मेल खाती है, तीस डिग्री के बराबर है। पैर कर्ण के समानुपाती माध्य के बराबर है और प्रक्षेपण जो पैर कर्ण को देता है।

पाइथागोरस प्रमेय

कोई भी समकोण त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय का पालन करता है। यह प्रमेय कहता है कि टाँगों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। यदि हम मानते हैं कि पैर ए और बी के बराबर हैं, और कर्ण सी है, तो हम लिखते हैं: ए 2 + बी 2 \u003d सी 2। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग उन सभी ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जिनमें समकोण त्रिभुज दिखाई देते हैं। यह आवश्यक उपकरणों के अभाव में एक समकोण बनाने में भी मदद करेगा।

ऊँचाई और माध्यिका

एक समकोण त्रिभुज की विशेषता इस तथ्य से होती है कि इसकी दो ऊँचाइयों को पैरों से जोड़ा जाता है। तीसरे पक्ष को खोजने के लिए, आपको कर्ण पर पैरों के अनुमानों का योग खोजने और दो से विभाजित करने की आवश्यकता है। यदि आप एक समकोण के शीर्ष से एक माध्यिका खींचते हैं, तो यह त्रिभुज के चारों ओर वर्णित वृत्त की त्रिज्या होगी। इस वृत्त का केंद्र कर्ण का मध्यबिंदु होगा।

सही त्रिकोण। क्षेत्रफल और उसकी गणना

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किसी भी सूत्र का उपयोग करके समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल की गणना की जाती है। इसके अलावा, आप एक अन्य सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: S \u003d a * b / 2, जो कहता है कि क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको पैरों की लंबाई के उत्पाद को दो से विभाजित करने की आवश्यकता है।

कोज्या, ज्या और स्पर्शरेखा सही त्रिकोण

एक न्यून कोण की कोज्या, कोण से सटे पैर का कर्ण से अनुपात है। यह हमेशा एक से कम होता है। ज्या कर्ण के कोण के विपरीत पैर का अनुपात है। स्पर्शरेखा इस कोने से सटे पैर के कोने के विपरीत पैर का अनुपात है। कोटेंजेंट कोने से सटे पैर का कोने के विपरीत पैर का अनुपात है। कोसाइन, साइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट त्रिभुज के आकार पर निर्भर नहीं हैं। उनका मान केवल कोण की डिग्री माप से प्रभावित होता है।

त्रिभुज समाधान

कोण के विपरीत पैर के मूल्य की गणना करने के लिए, आपको कर्ण की लंबाई को इस कोण की ज्या से या दूसरे पैर के आकार को कोण की स्पर्शरेखा से गुणा करना होगा। कोण से सटे पैर को खोजने के लिए, कर्ण के उत्पाद और कोण की कोज्या की गणना करना आवश्यक है।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज

यदि किसी त्रिभुज में एक समकोण और बराबर पैर हों, तो उसे समद्विबाहु समकोण त्रिभुज कहते हैं। ऐसे त्रिभुज के न्यून कोण भी बराबर होते हैं - 45 0 प्रत्येक। एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के समकोण से खींची गई माध्यिका, समद्विभाजक और ऊँचाई समान होती है।