Leçon "Périodicité des fonctions y=sinx, y=cosx". Etude d'une fonction de périodicité

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§ 11. Périodicité des fonctions y \u003d sin x, y \u003d cos x

Dans les paragraphes précédents, nous avons utilisé sept propriétés les fonctions: domaine, pair ou impair, monotone, limité, le plus grand et plus petite valeur, continuité, portée de la fonction. Nous avons utilisé ces propriétés soit pour construire le graphe de la fonction (comme c'était par exemple au § 9), soit pour lire le graphe construit (comme c'était par exemple au § 10). Maintenant est venu moment propice pour introduire une autre (huitième) propriété des fonctions, qui est parfaitement visible sur le construit ci-dessus graphiques fonctions y \u003d sin x (voir Fig. 37), y \u003d cos x (voir Fig. 41).

Définition. Une fonction est dite périodique s'il existe un nombre non nul T tel que pour tout x des ensembles, le double égalité:

Le nombre T qui satisfait état spécifié, est appelée la période de la fonction y \u003d f (x).
Il s'ensuit que, puisque pour tout x, les égalités sont vraies :

alors les fonctions y \u003d sin x, y \u003d cos x sont périodiques et le nombre 2 P sert de période aux deux fonctions.
La périodicité d'une fonction est la huitième propriété promise des fonctions.

Regardez maintenant le graphique de la fonction y \u003d sin x (Fig. 37). Pour construire une sinusoïde, il suffit de construire une de ses ondes (sur un segment puis de décaler cette onde le long de l'axe des x de Du coup, en utilisant une seule onde, on va construire tout le graphe.

Regardons du même point de vue le graphique de la fonction y \u003d cos x (Fig. 41). On voit que là aussi, pour tracer un graphe, il suffit de tracer d'abord une onde (par exemple, sur le segment

Et puis déplacez-le le long de l'axe des x en
En résumé, nous faisons la conclusion suivante.

Si la fonction y \u003d f (x) a une période T, alors pour tracer le graphique de la fonction, vous devez d'abord tracer une branche (onde, partie) du graphique sur n'importe quel intervalle de longueur T (le plus souvent, ils prennent un intervalle avec des extrémités aux points, puis décaler cette branche le long de l'axe x vers la droite et la gauche vers T, 2T, ZT, etc.
Une fonction périodique a une infinité de périodes : si T est une période, alors 2T est une période, et 3T est une période, et -T est une période ; en général, une période est un nombre quelconque de la forme KT, où k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Habituellement, si possible, ils essaient de distinguer la plus petite période positive, on l'appelle la période principale.
Ainsi, tout nombre de la forme 2pc, où k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, est la période des fonctions y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p est la période principale des deux fonctions.

Exemple. Trouver la période principale d'une fonction :

mais) Soit T la période principale de la fonction y \u003d sin x. Mettons

Pour que le nombre T soit la période de la fonction, l'identité Ho doit être vraie, puisque nous parlons en trouvant la période principale, on obtient
b) Soit T la période principale de la fonction y = cos 0,5x. Soit f(x)=cos 0,5x. Alors f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

Pour que le nombre T soit la période de la fonction, l'identité cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x doit être satisfaite.

Donc, 0,5 t = 2 pp. Mais, puisque nous parlons de trouver la période principale, nous obtenons 0,5T = 2 l, T = 4l.

La généralisation des résultats obtenus dans l'exemple est l'énoncé suivant : la période principale de la fonction

A. G. Algèbre de Mordkovich 10e année

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Centré en un point UNE.
α est un angle exprimé en radians.

Définition
Sinus est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la jambe triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la jambe opposée |BC| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.

Cosinus (cosα) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égale au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.

Appellations acceptées

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;
.

;
;
.

Graphique de la fonction sinus, y = sin x

Graphique de la fonction cosinus, y = cos x

Propriétés du sinus et du cosinus

Périodicité

Fonctions y= péché x et y= parce que x périodique avec une période 2 pi.

Parité

La fonction sinus est impaire. La fonction cosinus est paire.

Domaine de définition et de valeurs, extrema, augmentation, diminution

Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur leur domaine de définition, c'est-à-dire pour tout x (voir la preuve de continuité). Leurs principales propriétés sont présentées dans le tableau (n - entier).

	y= péché x	y= parce que x
Portée et continuité	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Plage de valeurs	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ascendant
Descendant
Maximums, y= 1
Minimes, y = - 1
Zéros, y= 0
Points d'intersection avec l'axe y, x = 0	y= 0	y= 1

Formules de base

Somme du carré du sinus et du cosinus

Formules sinus et cosinus pour la somme et la différence

;
;

Formules pour le produit des sinus et des cosinus

Formules somme et différence

Expression du sinus à cosinus

;
;
;
.

Expression du cosinus par le sinus

;
;
;
.

Expression en termes de tangente

; .

Pour , nous avons :
; .

À :
; .

Tableau des sinus et cosinus, tangentes et cotangentes

Ce tableau montre les valeurs des sinus et des cosinus pour certaines valeurs de l'argument.

Expressions à travers des variables complexes

;

Formule d'Euler

Expressions en termes de fonctions hyperboliques

;
;

Dérivés

; . Dérivation de formules > > >

Dérivés du nième ordre :
{ -∞ < x < +∞ }

Sécante, cosécante

Fonctions inverses

Fonctions inverses au sinus et au cosinus sont respectivement l'arcsinus et l'arccosinus.

Arc sinus, arc sinus

Arccosinus, arccos

Les références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.

Un nombre T tel que pour tout x F(x + T) = F(x). Ce nombre T est appelé la période de la fonction.

Il peut y avoir plusieurs périodes. Par exemple, la fonction F = const prend la même valeur pour toutes les valeurs de l'argument, et donc tout nombre peut être considéré comme sa période.

Habituellement intéressé par le plus petit zéro période de fonction. Par souci de brièveté, on l'appelle simplement une période.

Un exemple classique de fonctions périodiques est trigonométrique : sinus, cosinus et tangente. Leur période est la même et égale à 2π, c'est-à-dire sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) et ainsi de suite. Cependant, bien sûr, fonctions trigonométriques- pas les seuls périodiques.

Concernant le simple les fonctions de base le seul moyen d'établir leur périodicité ou leur non-périodicité est le calcul. Mais pour les fonctions complexes, il existe déjà plusieurs règles simples.

Si F(x) est de période T, et qu'une dérivée lui est définie, alors cette dérivée f(x) = F′(x) est aussi une fonction périodique de période T. Après tout, la valeur de la dérivée au le point x est égal à la tangente de la tangente du graphe de sa primitive en ce point à l'axe des x, et puisqu'il se répète périodiquement, il doit se répéter. Par exemple, la dérivée de fonctions sin(x) est égal à cos(x), et il est périodique. Prendre la dérivée de cos(x) vous donne -sin(x). La périodicité reste inchangée.

Cependant, l'inverse n'est pas toujours vrai. Ainsi, la fonction f(x) = const est périodique, mais sa primitive F(x) = const*x + C ne l'est pas.

Si F(x) est une fonction périodique de période T, alors G(x) = a*F(kx + b), où a, b et k sont des constantes et k n'est pas égal à zéro - également une fonction périodique, et sa période est égale à T/k. Par exemple sin(2x) est une fonction périodique et sa période est π. Visuellement, cela peut être représenté comme suit : en multipliant x par un certain nombre, vous compressez en quelque sorte les fonctions horizontalement exactement autant de fois

Si F1(x) et F2(x) sont des fonctions périodiques et que leurs périodes sont respectivement égales à T1 et T2, alors la somme de ces fonctions peut également être périodique. Cependant, sa période ne sera pas une simple somme des périodes T1 et T2. Si le résultat de la division T1/T2 est nombre rationnel, alors la somme des fonctions est périodique, et sa période est égale au plus petit commun multiple (LCM) des périodes T1 et T2. Par exemple, si la période de la première fonction est 12 et la période de la seconde est 15, alors la période de leur somme sera LCM (12, 15) = 60.

Visuellement, cela peut être représenté comme suit : les fonctions ont des "largeurs de pas" différentes, mais si le rapport de leurs largeurs est rationnel, alors plus tôt ou (plus précisément, à travers le LCM des pas), elles redeviendront égales, et leur somme commencera une nouvelle période.

Cependant, si le rapport des périodes , alors la fonction totale ne sera pas du tout périodique. Par exemple, soit F1(x) = x mod 2 (le reste de x divisé par 2) et F2(x) = sin(x). T1 sera ici égal à 2, et T2 est égal à 2π. Le rapport de période est π - nombre irrationnel. Par conséquent, la fonction sin(x) + x mod 2 n'est pas périodique.

Sources:

• Théorie de la fonction

De nombreux fonctions mathématiques ont une caractéristique qui facilite leur construction - c'est périodicité, c'est-à-dire la répétabilité du graphique sur la grille de coordonnées à intervalles réguliers.

Instruction

Les fonctions périodiques les plus connues des mathématiques sont la sinusoïde et l'onde cosinusoïdale. Ces fonctions ont une période ondulatoire et fondamentale égale à 2P. Un cas particulier de fonction périodique est également f(x)=const. Tout nombre convient à la position x, cette fonction n'a pas de période principale, puisqu'il s'agit d'une ligne droite.

En général, une fonction est périodique s'il existe un entier N non nul et qui vérifie la règle f(x)=f(x+N), assurant ainsi la répétabilité. La période de la fonction est plus petit nombre N, mais pas nul. Autrement dit, par exemple, la fonction sin x est égale à la fonction sin (x + 2PN), où N \u003d ± 1, ± 2, etc.

Parfois, une fonction peut avoir un multiplicateur (par exemple, sin 2x), qui augmentera ou diminuera la période de la fonction. Pour trouver la période