Calcul d'une barre ronde pour flexion avec torsion. Courbure spatiale (complexe)

Dans le cas du calcul d'une barre ronde sous l'action de la flexion et de la torsion (Fig. 34.3), il est nécessaire de prendre en compte les contraintes normales et de cisaillement, car les valeurs de contrainte maximales dans les deux cas se produisent à la surface. Le calcul doit être effectué selon la théorie de la résistance, en remplaçant l'état de contrainte complexe par un état simple tout aussi dangereux.

Contrainte de torsion maximale dans la section

Contrainte de flexion maximale dans la section

Selon l'une des théories de résistance, en fonction du matériau de la poutre, la contrainte équivalente pour la section dangereuse est calculée et la poutre est testée pour sa résistance en utilisant la contrainte de flexion admissible pour le matériau de la poutre.

Pour une poutre ronde, les moments de module de section sont les suivants :

Lors du calcul selon la troisième théorie de la résistance, la théorie des contraintes de cisaillement maximales, la contrainte équivalente est calculée par la formule

La théorie est applicable aux matériaux plastiques.

Lors du calcul selon la théorie de l'énergie de formation, la contrainte équivalente est calculée par la formule

La théorie est applicable aux matériaux ductiles et fragiles.

théorie des contraintes maximales de cisaillement :

Tension équivalente calculée selon théories de l'énergie de changement de forme :

où est le moment équivalent.

État de force

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Pour un état de contrainte donné (Fig. 34.4), en utilisant l'hypothèse des contraintes de cisaillement maximales, calculez le facteur de sécurité si σ T \u003d 360 N / mm 2.

1. Qu'est-ce qui caractérise et comment l'état de contrainte en un point est-il représenté ?

2. Quels sites et quelles tensions sont appelés les principaux ?

3. Énumérez les types d'états de stress.

4. Qu'est-ce qui caractérise l'état déformé en un point ?

5. Dans quels cas les états de contraintes limites apparaissent-ils dans les matériaux ductiles et fragiles ?

6. Quelle est la tension équivalente ?

7. Expliquez le but des théories de la force.

8. Écrire des formules pour calculer les contraintes équivalentes dans les calculs selon la théorie des contraintes maximales de cisaillement et la théorie de l'énergie de déformation. Expliquez comment les utiliser.

CONFÉRENCE 35

Sujet 2.7. Calcul d'une barre de section circulaire avec une combinaison de déformations de base

Connaître les formules des contraintes équivalentes selon les hypothèses des plus grandes contraintes tangentielles et de l'énergie de déformation.

Être capable de calculer une poutre de section circulaire pour la résistance avec une combinaison de déformations de base.

Formules de calcul des contraintes équivalentes

Contrainte équivalente selon l'hypothèse des contraintes maximales de cisaillement

Contrainte équivalente selon l'hypothèse d'énergie de déformation

Condition de résistance sous l'action combinée de la flexion et de la torsion

où M EQ est le moment équivalent.

Moment équivalent selon l'hypothèse des contraintes maximales de cisaillement

Moment équivalent selon l'hypothèse d'énergie de changement de forme

Caractéristique du calcul des arbres

La plupart des arbres subissent une combinaison de déformations en flexion et en torsion. Les arbres sont généralement des barres droites à section ronde ou annulaire. Lors du calcul des arbres, les contraintes de cisaillement dues à l'action des forces transversales ne sont pas prises en compte en raison de leur insignifiance.

Les calculs sont effectués pour les sections transversales dangereuses. Sous chargement spatial de l'arbre, l'hypothèse d'indépendance de l'action des forces est utilisée et les moments de flexion sont considérés dans deux plans mutuellement perpendiculaires, et le moment de flexion total est déterminé par sommation géométrique.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Dans une section transversale dangereuse d'une poutre ronde, des facteurs de force internes apparaissent (Fig. 35.1) Mx; Mon; Mz.

M x et Mon- moments de flexion dans les plans euh et zOx respectivement; Mz- couple. Vérifier la résistance selon l'hypothèse des plus grandes contraintes de cisaillement, si [ σ ] = 120 MPa. Donnée initiale: M x= 0,9 kN·m ; M y = 0,8 kN·m ; Mz = 2,2 kN*m ; ré= 60 millimètres.

Décision

Nous construisons des diagrammes de contraintes normales à partir de l'action des moments de flexion par rapport aux axes Oh et UO et un diagramme des contraintes de cisaillement de torsion (Fig. 35.2).

La contrainte de cisaillement maximale se produit à la surface. Contraintes normales maximales à partir du moment M x survenir au point MAIS, contraintes normales maximales à partir du moment Monà ce point À. Les contraintes normales s'additionnent parce que les moments de flexion dans des plans mutuellement perpendiculaires sont sommés géométriquement.

Moment de flexion total :

On calcule le moment équivalent selon la théorie des contraintes maximales de cisaillement :

État de force :

Module de section: W oce dans oe \u003d 0,1 60 3 \u003d 21600mm 3.

Vérification de la force :

La durabilité est garantie.

Exemple 2 Calculez le diamètre d'arbre requis à partir de la condition de résistance. Deux roues sont montées sur l'arbre. Il y a deux forces circonférentielles agissant sur les roues F t 1 = 1,2 kN ; F t 2= 2kN et deux forces radiales dans le plan vertical F r 1= 0,43 kN ; F r 2 = 0,72 kN (figure 35.3). Les diamètres des roues sont respectivement égaux d1= 0,1 m ; d2= 0,06 m.

Accepter pour le matériau de l'arbre [ σ ] = 50 MPa.

Le calcul est effectué selon l'hypothèse des contraintes maximales de cisaillement. Ignorez le poids de l'arbre et des roues.

Décision

Instruction. Nous utilisons le principe d'indépendance de l'action des forces, établissons des schémas de conception de l'arbre dans les plans vertical et horizontal. Nous déterminons séparément les réactions des supports dans les plans horizontal et vertical. Nous construisons des diagrammes de moments de flexion (Fig. 35.4). Sous l'action des forces circonférentielles, l'arbre se tord. Déterminer le couple agissant sur l'arbre.

Faisons un schéma de calcul de l'arbre (Fig. 35.4).

1. Couple de l'arbre :

2. On considère le coude dans deux plans : horizontal (pl. H) et vertical (pl. V).

Dans le plan horizontal, on détermine les réactions dans le support :

Avec et À:

Dans le plan vertical, on détermine les réactions dans le support :

Déterminer les moments de flexion aux points C et B :

Moments de flexion totaux aux points C et B :

À ce point À le moment de flexion maximal, le couple agit également ici.

Le calcul du diamètre de l'arbre est effectué en fonction de la section la plus chargée.

3. Moment équivalent en un point À selon la troisième théorie de la force

4. Déterminez le diamètre de l'arbre avec une section circulaire à partir de la condition de résistance

Nous arrondissons la valeur résultante : ré= 36 millimètres.

Noter. Lors du choix des diamètres d'arbre, utilisez la gamme standard de diamètres (Annexe 2).

5. Nous déterminons les dimensions requises de l'arbre avec une section annulaire à c \u003d 0,8, où d est le diamètre extérieur de l'arbre.

Le diamètre d'un arbre annulaire peut être déterminé par la formule

Accepter ré= 42 millimètres.

La charge est mineure. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.

Arrondir à la valeur dBH= 33 millimètres.

6. Comparons les coûts du métal par la section transversale de l'arbre dans les deux cas.

Section transversale de l'arbre solide

Section transversale de l'arbre creux

La section transversale d'un arbre plein est presque le double de celle d'un arbre annulaire :

Exemple 3. Déterminez les dimensions de la section transversale de l'arbre (Fig. 2.70, un) lecteur de contrôle. Force de traction de la pédale P3, forces transmises par le mécanisme P1, R2, R4. Matériau de l'arbre - acier StZ avec limite d'élasticité σ t = 240 N/mm 2 , facteur de sécurité requis [ n] = 2,5. Le calcul est effectué selon l'hypothèse de l'énergie du changement de forme.

Décision

Considérez l'équilibre de l'arbre, après avoir apporté les forces R 1, R 2, R 3, R 4 aux points de son axe.

Transfert de forces R 1 parallèles à eux-mêmes en points Pour et E, il faut additionner des couples d'efforts de moments égaux aux moments d'efforts R 1 par rapport aux points Pour et E, c'est à dire.

Ces couples de forces (moments) sont classiquement représentés sur la Fig. 2,70 , b sous la forme de lignes arquées avec des flèches. De même, lors du transfert de forces R2, R3, R4 aux points K, E, L, H vous devez ajouter des couples de forces avec des moments

Les roulements de l'arbre illustrés à la fig. 2.70, a, doivent être considérés comme des supports articulés spatiaux qui empêchent le mouvement dans la direction des axes X et à(le système de coordonnées sélectionné est illustré à la Fig. 2.70, b).

En utilisant le schéma de calcul illustré à la Fig. 2,70 dans, on compose les équations d'équilibre :

d'où les réactions de soutien SUR LE et HB défini correctement.

Tracés de couple Mz et moments de flexion Mon sont présentés dans la fig. 2,70 g. Le tronçon à gauche du point L est dangereux.

La condition de résistance a la forme :

où est le moment équivalent selon l'hypothèse de l'énergie de changement de forme

Diamètre extérieur de l'arbre requis

Nous acceptons d \u003d 45 mm, puis d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 mm.

Exemple 4 Vérifiez la résistance de l'arbre intermédiaire (Fig. 2.71) d'un engrenage droit, si l'arbre transmet la puissance N= 12,2 kW à la vitesse P= 355 tr/min. L'arbre est en acier St5 avec une limite d'élasticité σ t \u003d 280 N / mm 2. Facteur de sécurité requis [ n] = 4. Lors du calcul, appliquer l'hypothèse des contraintes de cisaillement les plus élevées.

Instruction. Efforts du district R 1 et R2 se trouvent dans un plan horizontal et sont dirigés le long des tangentes aux cercles des engrenages. Forces radiales T1 et T 2 se trouvent dans le plan vertical et sont exprimés en termes de force circonférentielle correspondante comme suit : J = 0,364R.

Décision

Sur la fig. 2.71, un un dessin schématique de l'arbre est présenté ; En figue. 2.71, b montre le diagramme de l'arbre et les forces apparaissant dans l'engrenage.

Déterminer le moment transmis par l'arbre :

Évidemment, m = m 1 = m 2(les moments de torsion appliqués à l'arbre, avec une rotation uniforme, sont égaux en grandeur et opposés en sens).

Déterminer les forces agissant sur les engrenages.

Efforts du district :

Forces radiales :

Considérez l'équilibre de l'arbre UN B, forces de pré-apport R 1 et R2 aux points situés sur l'axe de l'arbre.

Transférer le pouvoir R 1 parallèle à lui-même en un point L, il faut ajouter un couple de forces avec un moment égal au moment de la force R 1 par rapport au point L, c'est à dire.

Ce couple de forces (moment) est classiquement représenté sur la Fig. 2.71, dans sous la forme d'une ligne arquée avec une flèche. De même, lors du transfert de force R2 exactement Pour il faut attacher (ajouter) un couple de forces avec un moment

Les roulements de l'arbre illustrés à la fig. 2.71, un, doivent être considérés comme des supports articulés spatiaux qui empêchent les mouvements linéaires dans les directions des axes X et à(le système de coordonnées sélectionné est illustré à la Fig. 2.71, b).

En utilisant le schéma de calcul illustré à la Fig. 2.71, g, nous composons les équations d'équilibre de l'arbre dans le plan vertical :

Faisons une équation test :

par conséquent, les réactions d'appui dans le plan vertical sont déterminées correctement.

Considérez l'équilibre de l'arbre dans le plan horizontal :

Faisons une équation test :

par conséquent, les réactions d'appui dans le plan horizontal sont déterminées correctement.

Tracés de couple Mz et moments de flexion M x et Mon sont présentés dans la fig. 2.71, ré.

Dangereuse est la section Pour(voir figure 2.71, g,ré). Moment équivalent selon l'hypothèse des plus grandes contraintes de cisaillement

Contrainte équivalente selon l'hypothèse des plus grandes contraintes de cisaillement pour le point dangereux de l'arbre

facteur de sécurité

ce qui est beaucoup plus [ n] = 4, par conséquent, la résistance de l'arbre est assurée.

Lors du calcul de la résistance de l'arbre, l'évolution des contraintes dans le temps n'a pas été prise en compte, c'est pourquoi un facteur de sécurité aussi important a été obtenu.

Exemple 5 Déterminez les dimensions de la section transversale de la poutre (Fig. 2.72, un). Le matériau de la poutre est de l'acier 30XGS avec des limites d'élasticité conditionnelles en traction et en compression σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Facteur de sécurité [ n] = 1,6.

Décision

La barre travaille sur l'action combinée de la tension (compression) et de la torsion. Sous un tel chargement, deux facteurs de force internes apparaissent dans les sections transversales : la force longitudinale et le couple.

Tracés des efforts longitudinaux N et couple Mz illustré à la fig. 2.72, avant JC. Dans ce cas, déterminer la position de la section dangereuse selon les schémas N et Mz impossible, car les dimensions des sections transversales des sections de la poutre sont différentes. Pour déterminer la position de la section dangereuse, des tracés des contraintes de cisaillement normales et maximales sur la longueur de la poutre doivent être tracés.

Selon la formule

on calcule les contraintes normales dans les sections transversales de la poutre et on construit un diagramme o (Fig. 2.72, g).

Selon la formule

nous calculons les contraintes de cisaillement maximales dans les sections transversales de la poutre et traçons le diagramme t maximum(riz* 2,72, e).

Probablement dangereux sont les points de contour des sections transversales des sections UN B et CD(voir figure 2.72, un).

Sur la fig. 2.72, e les parcelles sont affichées σ et τ pour les sections de section UN B.

Rappelons que dans ce cas (une poutre à section ronde travaille sur l'action combinée de la traction - compression et torsion), tous les points du contour de la section sont également dangereux.

Sur la fig. 2.72, Bien

Sur la fig. 2.72, h les tracés a et t sont représentés pour les sections transversales de la section CD.

Sur la fig. 2.72, et les contraintes sur les plaquettes initiales au point dangereux sont indiquées.

Les principales contraintes au point dangereux du chantier CD:

Selon l'hypothèse de résistance de Mohr, la contrainte équivalente pour le point dangereux de la section considérée est

Les points de contour des sections transversales de la section AB se sont avérés dangereux.

La condition de résistance a la forme :

Exemple 2.76. Déterminer la valeur de force admissible Rà partir de la condition de résistance de la tige Soleil(Fig. 2.73) Le matériau de la tige est en fonte avec une résistance à la traction σ vr = 150 N / mm 2 et une résistance à la compression σ sun = 450 N / mm 2. Facteur de sécurité requis [ n] = 5.

Instruction. Bois cassé abc situé dans un plan horizontal, et la tige UN B perpendiculaire à Soleil. Les forces R, 2R, 8R se situer dans un plan vertical; force 0,5 R, 1,6 R- en horizontal et perpendiculaire à la tige Soleil; force 10R, 16R coïncider avec l'axe de la tige Soleil; un couple de forces de moment m = 25Pd est situé dans un plan vertical perpendiculaire à l'axe de la tige Soleil.

Décision

Apportons la force R et 0,5P au centre de gravité de la section transversale B.

En transférant la force P parallèlement à elle-même au point B, nous devons ajouter une paire de forces avec un moment égal au moment de la force R par rapport au point À, soit un couple de moment m 1 = 10 Pd.

Force 0.5R se déplacer le long de sa ligne d'action jusqu'au point B.

Charges agissant sur la tige Soleil, illustré à la fig. 2,74 un.

Nous construisons des diagrammes de facteurs de force internes pour la tige Soleil. Sous le chargement spécifié de la tige dans ses sections transversales, six d'entre elles se présentent: force longitudinale N, forces transversales Qx et qy, couple mz moments de flexion Mx et Mu.

Parcelles N, Mz, Mx, Mu sont présentés dans la fig. 2,74 b(les ordonnées des diagrammes sont exprimées en termes de R et ré).

Parcelles Qy et Qx on ne construit pas, car les contraintes de cisaillement correspondant aux efforts transversaux sont faibles.

Dans l'exemple considéré, la position de la section dangereuse n'est pas évidente. Vraisemblablement, les sections K sont dangereuses (la fin de la section je) et S

Contraintes principales au point L :

Selon l'hypothèse de force de Mohr, la contrainte équivalente pour le point L

Déterminons l'amplitude et le plan d'action du moment de flexion Mi dans la section C, représentés séparément sur la fig. 2,74 ré. La même figure montre les diagrammes σ I, σ N , τ pour la partie C.

Contraintes sur les sites initiaux au point H(Fig. 2.74, e)

Contraintes principales en un point H:

Selon l'hypothèse de force de Mohr, la contrainte équivalente pour un point H

Contraintes sur les sites initiaux au point E (Fig. 2.74, g):

Contraintes principales au point E :

Selon l'hypothèse de force de Mohr, la contrainte équivalente pour le point E

Le point dangereux L Pour qui

La condition de résistance a la forme :

Contrôler les questions et les tâches

1. Quel état de contrainte se produit dans la section transversale de l'arbre sous l'action combinée de la flexion et de la torsion ?

2. Écrivez la condition de résistance pour le calcul de l'arbre.

3. Écrire des formules pour calculer le moment équivalent lors du calcul de l'hypothèse de contrainte de cisaillement maximale et de l'hypothèse d'énergie de déformation.

4. Comment la section dangereuse est-elle sélectionnée lors du calcul du puits ?

Dans le cas du calcul d'une barre ronde sous l'action de la flexion et de la torsion (Fig. 34.3), il est nécessaire de prendre en compte les contraintes normales et de cisaillement, car les valeurs de contrainte maximales dans les deux cas se produisent à la surface. Le calcul doit être effectué selon la théorie de la résistance, en remplaçant l'état de contrainte complexe par un état simple tout aussi dangereux.

Contrainte de torsion maximale dans la section

Contrainte de flexion maximale dans la section

Selon l'une des théories de résistance, en fonction du matériau de la poutre, la contrainte équivalente pour la section dangereuse est calculée et la poutre est testée pour sa résistance en utilisant la contrainte de flexion admissible pour le matériau de la poutre.

Pour une poutre ronde, les moments de module de section sont les suivants :

Lors du calcul selon la troisième théorie de la résistance, la théorie des contraintes de cisaillement maximales, la contrainte équivalente est calculée par la formule

La théorie est applicable aux matériaux plastiques.

Lors du calcul selon la théorie de l'énergie de formation, la contrainte équivalente est calculée par la formule

La théorie est applicable aux matériaux ductiles et fragiles.

théorie des contraintes maximales de cisaillement :

Tension équivalente calculée selon théories de l'énergie de changement de forme :

où est le moment équivalent.

État de force

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Pour un état de contrainte donné (Fig. 34.4), en utilisant l'hypothèse des contraintes de cisaillement maximales, calculez le facteur de sécurité si σ T \u003d 360 N / mm 2.

Contrôler les questions et les tâches

1. Qu'est-ce qui caractérise et comment l'état de contrainte en un point est-il représenté ?

2. Quels sites et quelles tensions sont appelés les principaux ?

3. Énumérez les types d'états de stress.

4. Qu'est-ce qui caractérise l'état déformé en un point ?

5. Dans quels cas les états de contraintes limites apparaissent-ils dans les matériaux ductiles et fragiles ?

6. Quelle est la tension équivalente ?

7. Expliquez le but des théories de la force.

8. Écrire des formules pour calculer les contraintes équivalentes dans les calculs selon la théorie des contraintes maximales de cisaillement et la théorie de l'énergie de déformation. Expliquez comment les utiliser.

CONFÉRENCE 35

Sujet 2.7. Calcul d'une barre de section circulaire avec une combinaison de déformations de base

Connaître les formules des contraintes équivalentes selon les hypothèses des plus grandes contraintes tangentielles et de l'énergie de déformation.

Être capable de calculer une poutre de section circulaire pour la résistance avec une combinaison de déformations de base.

Brève information de la théorie

La poutre est dans des conditions de résistance complexe, si plusieurs facteurs d'efforts internes ne sont pas égaux à zéro en même temps dans les sections transversales.

Les cas suivants de chargement complexe sont du plus grand intérêt pratique :

1. Coude oblique.

2. Flexion avec traction ou compression en position transversale
section, une force longitudinale et des moments de flexion apparaissent, comme,
par exemple, avec une compression excentrique de la poutre.

3. Flexion avec torsion, caractérisée par la présence dans le pape
tronçons fluviaux d'une flexion (ou deux flexions) et d'une torsion
des moments.

Coude oblique.

La flexion oblique est un tel cas de flexion de poutre, dans lequel le plan d'action du moment de flexion total dans la section ne coïncide avec aucun des axes principaux d'inertie. Une courbure oblique est plus commodément considérée comme une courbure simultanée d'une poutre dans deux plans principaux zoy et zox, où l'axe z est l'axe de la poutre et les axes x et y sont les principaux axes centraux de la section transversale.

Considérons une poutre en porte-à-faux de section rectangulaire, chargée avec une force P (Fig. 1).

En développant la force P le long des axes centraux principaux de la section transversale, nous obtenons :

R y \u003d R cos φ, R x \u003d R sin φ

Les moments de flexion se produisent dans la section courante de la poutre

M x \u003d - P y z \u003d - P z cos φ,

M y \u003d P x z \u003d P z sin φ.

Le signe du moment de flexion M x est déterminé de la même manière que dans le cas de la flexion directe. Le moment M y sera considéré comme positif si aux points de valeur positive de la coordonnée x ce moment provoque des contraintes de traction. Soit dit en passant, le signe du moment M y est facile à établir par analogie avec la définition du signe du moment de flexion M x, si vous faites tourner mentalement la section de sorte que l'axe x coïncide avec la direction initiale de l'axe y .

La contrainte en un point arbitraire de la section transversale de la poutre peut être déterminée à l'aide des formules de détermination de la contrainte pour le cas d'un virage à plat. Sur la base du principe d'indépendance de l'action des forces, nous résumons les contraintes causées par chacun des moments de flexion

(1)

Les valeurs des moments de flexion (avec leurs signes) et les coordonnées du point auquel la contrainte est calculée sont substituées dans cette expression.

Pour déterminer les points dangereux de la section, il est nécessaire de déterminer la position de la ligne zéro ou neutre (le lieu des points de la section, dans lequel les contraintes σ = 0). Les contraintes maximales se produisent aux points les plus éloignés de la ligne zéro.

L'équation de la ligne zéro est obtenue à partir de l'équation (1) à =0 :

d'où il suit que la ligne zéro passe par le centre de gravité de la section transversale.

Les contraintes de cisaillement apparaissant dans les sections de poutre (à Q x ≠ 0 et Q y ≠ 0), en règle générale, peuvent être négligées. S'il est nécessaire de les déterminer, les composantes de la contrainte de cisaillement totale τ x et τ y sont d'abord calculées selon la formule de D.Ya. Zhuravsky, puis ces dernières sont résumées géométriquement :

Pour évaluer la résistance de la poutre, il est nécessaire de déterminer les contraintes normales maximales dans la section dangereuse. L'état de contrainte étant uniaxial aux points les plus chargés, la condition de résistance dans le calcul par la méthode des contraintes admissibles prend la forme

Pour les matières plastiques

Pour les matériaux fragiles

n est le facteur de sécurité.

Si le calcul est effectué selon la méthode des états limites, alors la condition de résistance a la forme :

où R est la résistance de calcul,

m est le coefficient des conditions de travail.

Dans les cas où le matériau de la poutre résiste différemment à la traction et à la compression, il est nécessaire de déterminer à la fois les contraintes maximales de traction et de compression maximales et de tirer une conclusion sur la résistance de la poutre à partir des rapports :

où R p et R c sont les résistances de calcul du matériau en traction et en compression, respectivement.

Pour déterminer les déviations du faisceau, il convient de trouver d'abord les déplacements de la section dans les plans principaux dans la direction des axes x et y.

Le calcul de ces déplacements ƒ x et ƒ y peut être réalisé en établissant une équation universelle de l'axe fléchi de la poutre ou par des méthodes énergétiques.

La déflexion totale peut être trouvée sous la forme d'une somme géométrique :

la condition de rigidité de la poutre a la forme :

où - est la déflexion admissible du faisceau.

Compression excentrique

Dans ce cas, la force P comprimant la poutre est dirigée parallèlement à l'axe de la poutre et est appliquée en un point qui ne coïncide pas avec le centre de gravité de la section. Soient X p et Y p les coordonnées du point d'application de la force P, mesurées par rapport aux axes centraux principaux (Fig. 2).

La charge agissante fait apparaître les facteurs de force internes suivants dans les sections : N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

Les signes des moments fléchissants sont négatifs, puisque ces derniers provoquent une compression aux points appartenant au premier quart. La contrainte en un point arbitraire de la section est déterminée par l'expression

(9)

En substituant les valeurs de N, Mx et My, on obtient

(10)

Puisque Yx= F, Yy= F (où i x et i y sont les principaux rayons d'inertie), la dernière expression peut être réduite à la forme

(11)

L'équation de la ligne zéro est obtenue en posant =0

1+ (12)

Coupés par la ligne zéro sur les axes de coordonnées du segment et , s'expriment comme suit :

En utilisant les dépendances (13), on peut facilement trouver la position de la ligne zéro dans la section (Fig. 3), après quoi les points les plus éloignés de cette ligne sont déterminés, ce qui est dangereux, car des contraintes maximales y apparaissent.

L'état de contrainte aux points de la section est uniaxial, donc la condition de résistance de la poutre est similaire au cas précédemment considéré de flexion oblique de la poutre - formules (5), (6).

Avec une compression excentrique des barres, dont le matériau résiste faiblement à l'étirement, il est souhaitable d'éviter l'apparition de contraintes de traction dans la section transversale. Dans la section, des contraintes de même signe apparaîtront si la ligne zéro passe à l'extérieur de la section ou, dans les cas extrêmes, la touche.

Cette condition est satisfaite lorsque l'effort de compression est appliqué à l'intérieur de la région appelée âme de la section. L'âme du profilé est une zone recouvrant le centre de gravité du profilé et se caractérise par le fait que tout effort longitudinal appliqué à l'intérieur de cette zone provoque des contraintes de même signe en tous points de la barre.

Pour construire le noyau de la section, il est nécessaire de définir la position de la ligne zéro de sorte qu'elle touche la section sans la couper nulle part, et de trouver le point d'application correspondant de la force P. Après avoir dessiné une famille de tangentes à la section, on obtient un ensemble de pôles leur correspondant, dont le lieu donnera le tracé (contour) des sections du noyau.

Soit, par exemple, la section illustrée à la Fig. 4 avec axes centraux principaux x et y.

Pour construire le noyau de la section, nous donnons cinq tangentes, dont quatre coïncident avec les côtés AB, DE, EF et FA, et la cinquième relie les points B et D. En mesurant ou en calculant à partir de la coupe, coupée par l'indiqué tangentes I-I, . . . ., 5-5 sur les axes x, y et en substituant ces valeurs en fonction de (13), on détermine les coordonnées x p, y p pour les cinq pôles 1, 2 .... 5, correspondant aux cinq positions du ligne zéro. La tangente I-I peut être déplacée vers la position 2-2 par rotation autour du point A, tandis que le pôle I doit se déplacer en ligne droite et, du fait de la rotation de la tangente, aller au point 2. Par conséquent, tous les pôles correspondant aux positions intermédiaires de la tangente entre I-I et 2-2 sera située sur la directe 1-2. De même, on peut prouver que les autres côtés de l'âme de la section seront également rectangulaires, c'est-à-dire le noyau de la section est un polygone, pour la construction duquel il suffit de relier les pôles 1, 2, ... 5 par des lignes droites.

Flexion avec torsion d'une barre ronde.

Lors de la flexion avec torsion dans la section transversale de la poutre, dans le cas général, cinq facteurs de force interne ne sont pas égaux à zéro: M x, M y, M k, Q x et Q y. Cependant, dans la plupart des cas, l'influence des forces de cisaillement Q x et Q y peut être négligée si la section n'est pas à paroi mince.

Les contraintes normales dans une section transversale peuvent être déterminées à partir de l'amplitude du moment de flexion résultant

car l'axe neutre est perpendiculaire à la cavité d'action du moment M u .

Sur la fig. La figure 5 montre les moments fléchissants M x et M y comme vecteurs (les directions M x et M y sont choisies positives, c'est-à-dire telles qu'aux points du premier quadrant de la section les contraintes sont de traction).

La direction des vecteurs M x et M y est choisie de manière à ce que l'observateur, regardant depuis l'extrémité du vecteur, les voie dirigés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Dans ce cas, la ligne neutre coïncide avec la direction du vecteur du moment résultant M u, et les points les plus chargés des sections A et B se situent dans le plan d'action de ce moment.

La flexion est comprise comme un type de chargement dans lequel des moments de flexion se produisent dans les sections transversales de la poutre. Si le moment de flexion dans la section est le seul facteur de force, alors la flexion est dite pure. Si, parallèlement au moment de flexion, des forces transversales apparaissent également dans les sections transversales de la poutre, la courbure est appelée transversale.

On suppose que le moment fléchissant et l'effort transversal se trouvent dans l'un des plans principaux de la poutre (on suppose que ce plan est ZOY). Un tel coude est appelé plat.

Dans tous les cas envisagés ci-dessous, une flexion transversale à plat des poutres a lieu.

Pour calculer la résistance ou la rigidité d'une poutre, il est nécessaire de connaître les facteurs de force internes qui surviennent dans ses sections. A cet effet, des diagrammes d'efforts transversaux (epure Q) et de moments fléchissants (M) sont construits.

Lors de la flexion, l'axe rectiligne de la poutre est plié, l'axe neutre passe par le centre de gravité de la section. Pour plus de précision, lors de la construction de diagrammes d'efforts transversaux de moments de flexion, nous établissons des règles de signe pour eux. Supposons que le moment de flexion sera considéré comme positif si l'élément de poutre est plié avec une convexité vers le bas, c'est-à-dire de manière à ce que ses fibres comprimées soient vers le haut.

Si le moment plie la poutre avec un renflement vers le haut, alors ce moment sera considéré comme négatif.

Les valeurs positives des moments de flexion lors du traçage sont tracées, comme d'habitude, dans la direction de l'axe Y, ce qui correspond au traçage sur une fibre comprimée.

Par conséquent, la règle des signes pour le diagramme des moments de flexion peut être formulée comme suit : les ordonnées des moments sont tracées à partir du côté des couches de poutres.

Le moment de flexion dans une section est égal à la somme des moments relatifs à cette section de tous les efforts situés d'un côté (n'importe lequel) de la section.

Pour déterminer les efforts transversaux (Q), on établit la règle des signes : l'effort transversal est considéré comme positif si l'effort extérieur tend à faire tourner la partie coupée de la poutre dans le sens des aiguilles d'une montre. flèche par rapport au point de l'axe qui correspond à la section dessinée.

La force transversale (Q) dans une section arbitraire de la poutre est numériquement égale à la somme des projections sur l'axe des y des forces extérieures appliquées à sa partie tronquée.

Considérons plusieurs exemples de tracé des forces transversales des moments de flexion. Toutes les forces sont perpendiculaires à l'axe des poutres, donc la composante horizontale de la réaction est nulle. L'axe déformé de la poutre et les efforts sont situés dans le plan principal ZOY.

La longueur de la poutre est pincée par l'extrémité gauche et chargée d'une force concentrée F et d'un moment m=2F.

On construit des diagrammes d'efforts transversaux Q et de moments fléchissants M à partir de.

Dans notre cas, aucune contrainte n'est imposée à la poutre du côté droit. Ainsi, afin de ne pas déterminer les réactions d'appui, il convient de considérer l'équilibre de la partie droite coupée de la poutre. La poutre donnée a deux zones de charge. Les limites des sections-sections dans lesquelles les forces externes sont appliquées. 1 tronçon - NE, 2 - VA.

Nous effectuons une section arbitraire dans la section 1 et considérons l'équilibre de la partie droite coupée de longueur Z 1.

De la condition d'équilibre il résulte :

Q=F ; M en sortie = -fz 1 ()

L'effort tranchant est positif car la force externe F tend à faire tourner la partie découpée dans le sens des aiguilles d'une montre. Le moment de flexion est considéré comme négatif car il plie la partie considérée du faisceau avec une convexité vers le haut.

Lors de la compilation des équations d'équilibre, nous fixons mentalement la place de la section; des équations () il s'ensuit que la force transversale dans la section I ne dépend pas de Z 1 et est une valeur constante. La force positive Q = F est mise à l'échelle à partir de la ligne médiane de la poutre, perpendiculaire à celle-ci.

Le moment de flexion dépend de Z 1 .

Lorsque Z 1 \u003d O M de \u003d O à Z 1 \u003d M de \u003d

La valeur résultante () est mise de côté, c'est-à-dire le schéma M est construit sur la fibre compressée.

Passons à la deuxième partie

Nous coupons la section II à une distance arbitraire Z 2 de l'extrémité droite libre de la poutre et considérons l'équilibre de la partie coupée de longueur Z 2. La variation de l'effort tranchant et du moment fléchissant en fonction des conditions d'équilibre peut être exprimée par les équations suivantes :

Q=FM de = - FZ 2 +2F

L'amplitude et le signe de la force transversale n'ont pas changé.

L'amplitude du moment de flexion dépend de Z 2 .

A Z 2 = M de =, à Z 2 =

Le moment fléchissant s'est avéré positif, tant au début de la section II qu'à sa fin. Dans la section II, le faisceau se plie avec un renflement vers le bas.

Mettez de côté sur une échelle l'amplitude des moments le long de l'axe de la poutre (c'est-à-dire que le diagramme est construit sur une fibre comprimée). Le plus grand moment de flexion se produit dans la section où le moment externe m est appliqué et est égal en valeur absolue à

A noter que sur la longueur de la poutre, où Q reste constant, le moment fléchissant M évolue linéairement et est représenté sur le tracé par des droites obliques. D'après les diagrammes Q et M de, on peut voir que dans la section où une force transversale externe est appliquée, le diagramme Q a un saut de la valeur de cette force, et le diagramme M de a un coude. Dans une section où un moment de flexion externe est appliqué, le diagramme Miz présente un saut de la valeur de ce moment. Cela ne se reflète pas dans le graphique Q. D'après le diagramme M de nous voyons que

maximum M en sortie =

par conséquent, la section dangereuse est extrêmement proche du côté gauche de la soi-disant.

Pour la poutre illustrée à la Fig. 13, a, construisez des diagrammes des forces transversales et des moments de flexion. La longueur de la poutre est chargée avec une charge uniformément répartie d'intensité q(KN/cm).

Sur le support A (charnière fixe) il y aura une réaction verticale R a (la réaction horizontale est nulle), et sur le support B (charnière mobile) une réaction verticale R v se produit.

Déterminons les réactions verticales des appuis en composant l'équation des moments relatifs aux appuis A et B.

Vérifions l'exactitude de la définition de la réaction:

ceux. les réactions d'appui sont correctement définies.

La poutre donnée a deux sections de chargement : Section I - AC.

Section II - NE.

Sur le premier tronçon a, dans le tronçon courant Z 1, à partir de la condition d'équilibre de la partie coupée, on a

L'équation des moments de flexion sur 1 section de la poutre :

Le moment de la réaction R a plie la poutre dans la section 1, convexe vers le bas, de sorte que le moment de flexion de la réaction Ra est introduit dans l'équation avec un signe plus. La charge qZ 1 plie la poutre avec une convexité vers le haut, de sorte que son moment est introduit dans l'équation avec un signe moins. Le moment de flexion évolue selon la loi d'une parabole carrée.

Par conséquent, il est nécessaire de savoir s'il existe un extremum. Il existe une dépendance différentielle entre l'effort transversal Q et le moment de flexion, que nous analyserons plus loin

Comme vous le savez, la fonction a un extremum où la dérivée est égale à zéro. Par conséquent, afin de déterminer à quelle valeur de Z 1, le moment de flexion sera extrême, il est nécessaire d'égaliser l'équation de la force transversale à zéro.

Étant donné que la force transversale change de signe de plus à moins dans cette section, le moment de flexion dans cette section sera maximal. Si Q change de signe de moins à plus, alors le moment de flexion dans cette section sera minimal.

Donc le moment de flexion à

est le maximum.

Par conséquent, nous construisons une parabole sur trois points

Lorsque Z 1 \u003d 0 M de \u003d 0

On coupe le second profilé à une distance Z 2 du support B. A partir de la condition d'équilibre de la partie droite de la poutre coupée, on a :

Lorsque Q=const,

le moment de flexion sera :

à, à, c'est-à-dire JE VIENS DE

évolue linéairement.

Une poutre sur deux supports, ayant une portée égale à 2 et une console gauche avec une longueur, est chargée comme indiqué sur la Fig. 14, a., Où q (Kn / cm) est la charge linéaire. Le support A est fixe en pivotement, le support B est un galet mobile. Construisez les tracés Q et M à partir de.

La solution du problème doit commencer par la détermination des réactions des supports. De la condition que la somme des projections de toutes les forces sur l'axe Z soit égale à zéro, il s'ensuit que la composante horizontale de la réaction sur le support A est 0.

Pour vérifier, on utilise l'équation

L'équation d'équilibre est satisfaite, par conséquent, les réactions sont calculées correctement. Passons à la définition des facteurs de force internes. Une poutre donnée a trois zones de charge :

• 1 section - SA,
• 2ème tranche - AD,
• 3 sections - DV.

Nous coupons 1 section à une distance Z 1 de l'extrémité gauche de la poutre.

à Z 1 \u003d 0 Q \u003d 0 M DE \u003d 0

à Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d

Ainsi, sur le diagramme des efforts transversaux, on obtient une droite inclinée, et sur le diagramme des moments de flexion, on obtient une parabole dont le sommet est situé à l'extrémité gauche de la poutre.

Dans la section II (a Z 2 2a), pour déterminer les facteurs d'efforts internes, considérons l'équilibre de la partie gauche coupée de la poutre de longueur Z 2 . De la condition d'équilibre on a :

La force transversale dans cette zone est constante.

Sur la section III()

D'après le diagramme, nous voyons que le plus grand moment de flexion se produit dans la section sous la force F et est égal à. Cette section sera la plus dangereuse.

Sur le schéma M à partir de là se trouve un saut sur l'appui B, égal au moment extérieur appliqué dans cette section.

Au vu des diagrammes construits ci-dessus, il n'est pas difficile de remarquer une certaine liaison régulière entre les diagrammes de moments fléchissants et les diagrammes d'efforts transversaux. Prouvons-le.

La dérivée de la force transversale sur la longueur de la poutre est égale au module de l'intensité de la charge.

En rejetant la valeur de l'ordre supérieur de petitesse, on obtient :

ceux. la force transversale est la dérivée du moment de flexion le long de la longueur de la poutre.

Compte tenu des dépendances différentielles obtenues, des conclusions générales peuvent être tirées. Si la poutre est chargée avec une charge uniformément répartie d'intensité q=const, évidemment, la fonction Q sera linéaire, et M de -quadratique.

Si la poutre est chargée de forces ou de moments concentrés, alors dans les intervalles entre les points de leur application, l'intensité q=0. Donc, Q=const, et M de est une fonction linéaire de Z. Aux points d'application des forces concentrées, le diagramme Q subit un saut de la valeur de la force extérieure, et dans le diagramme M de, une rupture correspondante se produit (un écart dans la dérivée).

Au lieu d'application du moment de flexion externe, il y a un espace dans le diagramme de moment, égal en grandeur au moment appliqué.

Si Q>0, alors M croît, et si Q<0, то М из убывает.

Les dépendances différentielles sont utilisées pour vérifier les équations compilées pour tracer Q et M à partir de, ainsi que pour clarifier la forme de ces diagrammes.

Le moment fléchissant évolue selon la loi d'une parabole dont la convexité est toujours dirigée vers la charge extérieure.

Introduction.

La flexion est un type de déformation caractérisé par une courbure (changement de courbure) de l'axe ou de la surface médiane d'un objet déformable (barre, poutre, dalle, coque, etc.) sous l'influence de forces extérieures ou de la température. La flexion est associée à l'apparition de moments de flexion dans les sections transversales de la poutre. Si un seul des six facteurs d'effort interne de la section de poutre est non nul, la courbure est dite pure :

Si, en plus du moment fléchissant, une force transversale agit également dans les sections transversales de la poutre, la courbure est dite transversale :

Dans la pratique de l'ingénierie, un cas particulier de flexion est également considéré - longitudinal I. ( riz. une, c), caractérisé par le flambement de la tige sous l'action d'efforts longitudinaux de compression. L'action simultanée de forces dirigées le long de l'axe de la tige et perpendiculairement à celle-ci provoque une flexion longitudinale-transversale ( riz. une, G).

Riz. 1. Flexion de la poutre : a - pure : b - transversale ; dans - longitudinale; g - longitudinal-transversal.

Une barre qui plie s'appelle une poutre. Un pli est dit plat si l'axe de la poutre reste plat après déformation. Le plan de l'axe courbe de la poutre est appelé plan de flexion. Le plan d'action des forces de charge est appelé plan de force. Si le plan de force coïncide avec l'un des principaux plans d'inertie de la section transversale, la courbure est dite droite. (Sinon il y a un virage oblique). Le plan principal d'inertie de la section transversale est un plan formé par l'un des axes principaux de la section transversale avec l'axe longitudinal de la poutre. En flexion droite à plat, le plan de flexion et le plan de force coïncident.

Le problème de la torsion et de la flexion d'une poutre (problème de Saint-Venant) présente un grand intérêt pratique. L'application de la théorie de la flexion établie par Navier constitue une branche étendue de la mécanique des structures et revêt une grande importance pratique, puisqu'elle sert de base au calcul des dimensions et à la vérification de la résistance des différentes parties des structures : poutres, ponts, éléments de machine , etc.

ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DE BASE DE LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ

§ 1. équations de base

D'abord, nous donnons un résumé général des équations de base pour les problèmes d'équilibre d'un corps élastique, qui forment le contenu de la section de la théorie de l'élasticité, communément appelée la statique d'un corps élastique.

L'état déformé du corps est entièrement déterminé par le tenseur de champ de déformation ou le champ de déplacement Composantes du tenseur de déformation sont liés aux déplacements par des dépendances différentielles de Cauchy :

(1)

Les composantes du tenseur de déformation doivent satisfaire les dépendances différentielles de Saint-Venant :

qui sont des conditions nécessaires et suffisantes pour l'intégrabilité des équations (1).

L'état de stress du corps est déterminé par le tenseur du champ de stress Six composantes indépendantes d'un tenseur symétrique () doit satisfaire trois équations d'équilibre différentiel :

Composants du tenseur de contraintes et déplacement sont liés par les six équations de la loi de Hooke :

Dans certains cas, les équations de la loi de Hooke doivent être utilisées sous la forme d'une formule

, (5)

Les équations (1) à (5) sont les équations de base des problèmes statiques de la théorie de l'élasticité. Parfois, les équations (1) et (2) sont appelées équations géométriques, équations ( 3) - équations statiques, et équations (4) ou (5) - équations physiques. Aux équations de base qui déterminent l'état d'un corps linéairement élastique en ses points internes du volume, il faut ajouter des conditions sur sa surface, ces conditions sont appelées conditions aux limites. Ils sont déterminés soit par des forces de surface externes données ou des mouvements donnés points de la surface corporelle. Dans le premier cas, les conditions aux limites s'expriment par l'égalité :

où sont les composantes du vecteur t résistance superficielle, sont les composantes du vecteur unitaire P, dirigé le long de la normale extérieure à la surface au point considéré.

Dans le second cas, les conditions aux limites sont exprimées par l'égalité

où sont des fonctions définies sur la surface.

Les conditions aux limites peuvent également être mélangées, lorsque sur une partie les forces de surface externes sont données sur la surface du corps et de l'autre côté les déplacements de la surface du corps sont donnés :

D'autres types de conditions aux limites sont également possibles. Par exemple, sur une certaine partie de la surface du corps, seules certaines composantes du vecteur de déplacement sont spécifiées et, de plus, toutes les composantes du vecteur de force de surface ne sont pas non plus spécifiées.

§ 2. Principaux problèmes de la statique d'un corps élastique

Selon le type de conditions aux limites, on distingue trois types de problèmes statiques de base de la théorie de l'élasticité.

Le principal problème du premier type est de déterminer les composantes du tenseur du champ de contraintes à l'intérieur de la région , occupé par le corps, et la composante du vecteur de déplacement des points à l'intérieur de la zone et points de surface corps selon des forces de masse données et forces de surface

Les neuf fonctions souhaitées doivent satisfaire les équations de base (3) et (4), ainsi que les conditions aux limites (6).

La tâche principale du deuxième type est de déterminer les déplacements points à l'intérieur de la zone et la composante du tenseur de champ de contraintes selon des forces de masse données et selon des déplacements donnés à la surface du corps.

Recherche de fonctionnalités et doit satisfaire les équations de base (3) et (4) et les conditions aux limites (7).

A noter que les conditions aux limites (7) traduisent l'exigence de continuité des fonctions définies à la frontière corps, c'est-à-dire lorsque le point intérieur tend vers un certain point de la surface, la fonction doit tendre vers une valeur donnée en un point donné de la surface.

Le problème principal du troisième type ou un problème mixte est que, compte tenu des forces de surface sur une partie de la surface du corps et selon des déplacements donnés sur une autre partie de la surface corporelle et aussi, d'une manière générale, selon des efforts corporels donnés il est nécessaire de déterminer les composantes du tenseur de contrainte et de déplacement , satisfaisant les équations de base (3) et (4) dans des conditions aux limites mixtes (8).

Ayant obtenu la solution de ce problème, il est possible de déterminer, en particulier, les forces de liaisons sur , qu'il faut appliquer aux points de la surface pour réaliser les déplacements donnés sur cette surface, et il est également possible de calculer les déplacements des points de la surface . Cursus >> Industrie, production

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