Tableau trigonométrique. Sinus, cosinus, tangente et cotangente - tout ce que vous devez savoir sur l'examen d'État unifié en mathématiques

Centré en un point UN.
α - angle exprimé en radians.

Définition
Sinus (sin α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche opposée |BC| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.

Cosinus (cos α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.

Notations acceptées

;
;
.

Graphique de la fonction sinus, y = sin x

Graphique de la fonction cosinus, y = cos x

Propriétés du sinus et du cosinus

Périodicité

Fonctions y = péché x et y = parce que x périodique avec période 2π.

Parité

La fonction sinusoïdale est étrange. La fonction cosinus est paire.

Domaine de définition et valeurs, extrema, augmentation, diminution

Les fonctions sinus et cosinus sont continues dans leur domaine de définition, c'est-à-dire pour tout x (voir preuve de continuité). Leurs principales propriétés sont présentées dans le tableau (n - entier).

	y = péché x	y = parce que x
Portée et continuité	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Plage de valeurs	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
En augmentant
Descendant
Maxima, y = 1
Minima, y = - 1
Des zéros, y = 0
Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0	y = 0	y = 1

Formules de base

Somme des carrés du sinus et du cosinus

Formules pour le sinus et le cosinus à partir de la somme et de la différence

;
;

Formules pour le produit des sinus et des cosinus

Formules de somme et de différence

Exprimer le sinus par le cosinus

;
;
;
.

Exprimer le cosinus par le sinus

;
;
;
.

Expression par tangente

; .

Quand nous avons:
; .

À :
; .

Tableau des sinus et cosinus, tangentes et cotangentes

Ce tableau montre les valeurs des sinus et des cosinus pour certaines valeurs de l'argument.

Expressions via des variables complexes

;

La formule d'Euler

Expressions via des fonctions hyperboliques

;
;

Dérivés

; . Formules dérivées > > >

Dérivées du nième ordre :
{ -∞ < x < +∞ }

Sécant, cosécant

Fonctions inverses

Les fonctions inverses du sinus et du cosinus sont respectivement l'arc sinus et l'arc cosinus.

Arc sinus, arc sinus

Arccosinus, arccos

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Cet article contient tables de sinus, cosinus, tangentes et cotangentes. Tout d'abord, nous fournirons un tableau des valeurs de base des fonctions trigonométriques, c'est-à-dire un tableau des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes des angles de 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 degrés ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Après cela, nous donnerons un tableau des sinus et des cosinus, ainsi qu'un tableau des tangentes et cotangentes de V. M. Bradis, et montrerons comment utiliser ces tableaux pour trouver les valeurs des fonctions trigonométriques.

Navigation dans les pages.

Tableau des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes pour des angles de 0, 30, 45, 60, 90, ... degrés

Bibliographie.

Algèbre: Cahier de texte pour la 9ème année. moy. école/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova ; Éd. S. A. Telyakovsky. - M. : Education, 1990. - 272 pp. : ill. - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel. pour les classes 10-11. moy. école - 3e éd. - M. : Éducation, 1993. - 351 p. : ill. - ISBN5-09-004617-4.
Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov. - 14e éd. - M. : Education, 2004. - 384 pp. : ill. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.
Bradis V. M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres : Pour l'enseignement général. cahier de texte établissements. - 2e éd. - M. : Outarde, 1999.- 96 p. : ill. ISBN5-7107-2667-2

Nous commencerons notre étude de la trigonométrie par le triangle rectangle. Définissons ce que sont le sinus et le cosinus, ainsi que la tangente et la cotangente d'un angle aigu. Ce sont les bases de la trigonométrie.

Rappelons que angle droit est un angle égal à 90 degrés. En d’autres termes, un demi-angle tourné.

Angle vif- moins de 90 degrés.

Angle obtus- supérieur à 90 degrés. Par rapport à un tel angle, « obtus » n'est pas une insulte, mais un terme mathématique :-)

Traçons un triangle rectangle. Un angle droit est généralement noté . Veuillez noter que le côté opposé au coin est indiqué par la même lettre, seulement en petite. Ainsi, le côté opposé à l'angle A est désigné .

L'angle est indiqué par la lettre grecque correspondante.

Hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit.

Jambes- les côtés opposés aux angles aigus.

La jambe située à l'opposé de l'angle s'appelle opposé(par rapport à l'angle). L'autre jambe, qui se trouve sur l'un des côtés de l'angle, s'appelle adjacent.

Sinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

Tangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport du côté opposé au côté adjacent :

Autre définition (équivalente) : la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus :

Cotangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport du côté adjacent au côté opposé (ou, ce qui revient au même, le rapport du cosinus au sinus) :

Notez les relations de base pour le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente ci-dessous. Ils nous seront utiles pour résoudre des problèmes.

Prouvons-en quelques-uns.

D'accord, nous avons donné des définitions et des formules écrites. Mais pourquoi avons-nous encore besoin de sinus, cosinus, tangente et cotangente ?

Nous savons que la somme des angles de tout triangle est égale à.

Nous connaissons la relation entre des soirées triangle rectangle. C'est le théorème de Pythagore : .

Il s'avère qu'en connaissant deux angles dans un triangle, vous pouvez trouver le troisième. Connaissant les deux côtés d’un triangle rectangle, vous pouvez trouver le troisième. Cela signifie que les angles ont leur propre rapport et que les côtés ont le leur. Mais que faire si dans un triangle rectangle vous connaissez un angle (sauf l'angle droit) et un côté, mais que vous devez trouver les autres côtés ?

C’est ce que les gens rencontraient autrefois lorsqu’ils dressaient des cartes de la région et du ciel étoilé. Après tout, il n’est pas toujours possible de mesurer directement tous les côtés d’un triangle.

Sinus, cosinus et tangente - on les appelle aussi fonctions d'angle trigonométrique- donner des relations entre des soirées Et coins Triangle. Connaissant l'angle, vous pouvez retrouver toutes ses fonctions trigonométriques à l'aide de tableaux spéciaux. Et connaissant les sinus, cosinus et tangentes des angles d’un triangle et d’un de ses côtés, vous pouvez trouver le reste.

Nous dresserons également un tableau des valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour les « bons » angles de à.

Veuillez noter les deux tirets rouges dans le tableau. Aux valeurs d'angle appropriées, la tangente et la cotangente n'existent pas.

Examinons plusieurs problèmes de trigonométrie de la banque de tâches FIPI.

1. Dans un triangle, l’angle est , . Trouver .

Le problème est résolu en quatre secondes.

Parce que le , .

2. Dans un triangle, l'angle est , , . Trouver .

Trouvons-le en utilisant le théorème de Pythagore.

Le problème est résolu.

Souvent, dans les problèmes, il y a des triangles avec des angles et ou avec des angles et. Retenez par cœur les ratios de base pour eux !

Pour un triangle avec des angles et la branche opposée à l'angle en est égale à la moitié de l'hypoténuse.

Un triangle avec des angles et est isocèle. Dans celui-ci, l'hypoténuse est plusieurs fois plus grande que la jambe.

Nous avons examiné des problèmes pour résoudre des triangles rectangles, c'est-à-dire trouver des côtés ou des angles inconnus. Mais ce n'est pas tout! Dans l'examen d'État unifié de mathématiques, il existe de nombreuses tâches pour lesquelles sinus, cosinus, tangente ou cotangente d'un angle extérieur d'un triangle. Plus d’informations à ce sujet dans le prochain article.

TABLEAU DES VALEURS DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques est établi pour les angles de 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 et 360 degrés et les valeurs d'angle correspondantes en vradians. Parmi les fonctions trigonométriques, le tableau montre le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante. Pour faciliter la résolution d'exemples scolaires, les valeurs des fonctions trigonométriques du tableau sont écrites sous forme de fraction tout en préservant les signes d'extraction de la racine carrée des nombres, ce qui permet très souvent de réduire des expressions mathématiques complexes. Pour la tangente et la cotangente, les valeurs de certains angles ne peuvent pas être déterminées. Pour les valeurs de tangente et de cotangente de tels angles, il y a un tiret dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques. Il est généralement admis que la tangente et la cotangente de tels angles sont égales à l'infini. Sur une page séparée, vous trouverez des formules pour réduire les fonctions trigonométriques.

Le tableau des valeurs de la fonction sinus trigonométrique montre les valeurs des angles suivants : sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 en degrés, ce qui correspond à sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi en mesure d'angles en radian. Table scolaire des sinus.

Pour la fonction cosinus trigonométrique, le tableau présente les valeurs des angles suivants : cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 en degrés, ce qui correspond à cos 0 pi , cos pi par 6, cos pi par 4, cos pi par 3, cos pi par 2, cos pi, cos 3 pi par 2, cos 2 pi en mesure d'angles en radian. Table scolaire des cosinus.

La table trigonométrique de la fonction tangente trigonométrique donne les valeurs des angles suivants : tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 en mesure de degré, ce qui correspond à tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi en mesure d'angles en radian. Les valeurs suivantes des fonctions tangentes trigonométriques ne sont pas définies tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 et sont considérées comme égales à l'infini.

Pour la fonction trigonométrique cotangente dans le tableau trigonométrique, les valeurs des angles suivants sont données : ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 en mesure de degré, ce qui correspond à ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 en radian mesure des angles. Les valeurs suivantes des fonctions cotangentes trigonométriques ne sont pas définies ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi et sont considérées comme égales à l'infini.

Les valeurs des fonctions trigonométriques sécante et cosécante sont données pour les mêmes angles en degrés et radians que sinus, cosinus, tangente, cotangente.

Le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques des angles non standards montre les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour les angles en degrés 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 degrés et en radians pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radians. Les valeurs des fonctions trigonométriques sont exprimées en termes de fractions et de racines carrées pour faciliter la réduction des fractions dans les exemples scolaires.

Trois autres monstres de trigonométrie. La première est la tangente de 1,5 degré et demi ou pi divisée par 120. La seconde est le cosinus de pi divisé par 240, pi/240. Le plus long est le cosinus de pi divisé par 17, pi/17.

Le cercle trigonométrique des valeurs des fonctions sinus et cosinus représente visuellement les signes du sinus et du cosinus en fonction de la grandeur de l'angle. Surtout pour les blondes, les valeurs du cosinus sont soulignées par un trait vert pour réduire la confusion. La conversion des degrés en radians est également très clairement présentée lorsque les radians sont exprimés en pi.

Ce tableau trigonométrique présente les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour des angles de 0 zéro à 90 quatre-vingt-dix degrés à intervalles d'un degré. Pour les quarante-cinq premiers degrés, les noms des fonctions trigonométriques doivent être regardés en haut du tableau. La première colonne contient les degrés, les valeurs des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes sont écrites dans les quatre colonnes suivantes.

Pour les angles de quarante-cinq degrés à quatre-vingt-dix degrés, les noms des fonctions trigonométriques sont inscrits au bas du tableau. La dernière colonne contient les degrés ; les valeurs des cosinus, sinus, cotangentes et tangentes sont écrites dans les quatre colonnes précédentes. Soyez prudent car les noms des fonctions trigonométriques en bas du tableau trigonométrique sont différents des noms en haut du tableau. Les sinus et les cosinus sont intervertis, tout comme la tangente et la cotangente. Cela est dû à la symétrie des valeurs des fonctions trigonométriques.

Les signes des fonctions trigonométriques sont illustrés dans la figure ci-dessus. Le sinus a des valeurs positives de 0 à 180 degrés, ou de 0 à pi. Le sinus a des valeurs négatives de 180 à 360 degrés ou de pi à 2 pi. Les valeurs du cosinus sont positives de 0 à 90 et de 270 à 360 degrés, ou de 0 à 1/2 pi et de 3/2 à 2 pi. La tangente et la cotangente ont des valeurs positives de 0 à 90 degrés et de 180 à 270 degrés, correspondant à des valeurs de 0 à 1/2 pi et pi à 3/2 pi. Les valeurs négatives de tangente et cotangente sont de 90 à 180 degrés et de 270 à 360 degrés, ou de 1/2 pi à pi et de 3/2 pi à 2 pi. Lors de la détermination des signes des fonctions trigonométriques pour des angles supérieurs à 360 degrés ou 2 pi, vous devez utiliser les propriétés de périodicité de ces fonctions.

Les fonctions trigonométriques sinus, tangente et cotangente sont des fonctions impaires. Les valeurs de ces fonctions pour les angles négatifs seront négatives. Le cosinus est une fonction trigonométrique paire - la valeur du cosinus pour un angle négatif sera positive. Les règles de signe doivent être respectées lors de la multiplication et de la division de fonctions trigonométriques.

Le tableau des valeurs de la fonction sinus trigonométrique montre les valeurs des angles suivants
Document
Il y a des formules de réduction sur une page séparée trigonométriqueles fonctions. DANS tableauvaleursPourtrigonométriqueles fonctionssinusdonnévaleursPource qui suitcoins: péché 0, péché 30, péché 45...
L'appareil mathématique proposé est un analogue complet du calcul complexe pour les nombres hypercomplexes à n dimensions avec n'importe quel nombre de degrés de liberté n et est destiné à la modélisation mathématique de nombres non linéaires.
Document
... les fonctionséquivaut à les fonctions Images. De ce théorème devrait, Quoi Pour trouver les coordonnées U, V, il suffit de calculer fonction... géométrie; polynaire les fonctions(analogues multidimensionnels du bidimensionnel trigonométriqueles fonctions), leurs propriétés, les tables et candidature ; ...
Nous recommandons également