Quelle est l'aire d'un triangle rectangle ? Comment trouver l'aire d'un triangle (formules)

En géométrie élémentaire, un triangle rectangle est une figure composée de trois segments reliés en points, avec des angles dont deux aigus et un droit (c'est-à-dire égal à 90°). Triangle rectangle se caractérise par un certain nombre de propriétés importantes, dont beaucoup constituent la base de la trigonométrie (par exemple, la relation entre ses côtés et ses angles). Depuis l'école, nous savons tous calculer aire d'un triangle rectangle, et dans la vie de tous les jours, nous rencontrons assez souvent cette figure géométrique, parfois sans même nous en rendre compte. Il trouve une application assez large dans la technologie et c'est pourquoi les ingénieurs, les concepteurs et les architectes doivent souvent résoudre un tel problème.

Les architectes doivent déterminer cette valeur lorsqu'ils conçoivent des bâtiments à frontons, qui complètent les façades et ont forme triangulaire délimité par une corniche et sur les côtés par des pentes de toit. Souvent, l'angle entre les pentes est droit et, dans de tels cas, le fronton a la forme d'un triangle rectangle. Il est nécessaire de déterminer sa superficie pour la simple raison qu’il faut connaître exactement la quantité de matériau de construction nécessaire à son aménagement. Il est à noter que les pignons sont des éléments obligatoires des bâtiments de faible hauteur (maisons de campagne, chalets, datchas).

Trouver l'aire d'un triangle rectangle

un B

un- jambe

b- jambe

S- aire d'un triangle rectangle

Formulaire triangle rectangle possèdent de nombreux détails à partir desquels les meubles modernes sont fabriqués. Comme vous le savez, afin d’utiliser au mieux l’espace de la pièce, tous les éléments du mobilier doivent y être placés de manière optimale. Vous pouvez utiliser à bon escient des zones telles que les coins en utilisant des tables de forme triangulaire, dont les sommets sont dans la plupart des cas des triangles rectangles avec des pieds adjacents aux murs. Lors de la conception et du calcul de ces éléments, les concepteurs de la production de meubles utilisent la formule selon laquelle trouver l'aire d'un triangle rectangle est réalisé en fonction de la longueur de ses côtés. En outre, ils doivent souvent développer des projets de tables fixées directement aux murs, qui comprennent des éléments de support, qui représentent également triangles rectangles.

Les constructeurs engagés dans des travaux de parement doivent souvent, dans le cadre de leurs activités professionnelles, utiliser des carreaux de céramique en forme de triangle rectangle avec des pieds de longueurs identiques ou différentes. Ils doivent également déterminer la superficie de ces éléments afin de connaître le nombre requis.

Formulaire triangle rectangle Il dispose également d'un outil de mesure aussi important et nécessaire qu'un carré. Il est utilisé pour construire et contrôler des angles droits, et il est utilisé très largement et par beaucoup : des écoliers ordinaires en cours de géométrie aux concepteurs de technologies de pointe.

Un triangle rectangle se trouve en réalité à presque tous les coins. La connaissance des propriétés d'une figure donnée, ainsi que la capacité de calculer son aire, vous seront sans aucun doute utiles non seulement pour résoudre des problèmes de géométrie, mais également dans des situations de la vie.

Géométrie triangulaire

En géométrie élémentaire, un triangle rectangle est une figure composée de trois segments connectés qui forment trois angles (deux aigus et un droit). Le triangle rectangle est une figure originale caractérisée par un certain nombre de propriétés importantes qui constituent le fondement de la trigonométrie. Contrairement à un triangle régulier, les côtés d'une figure rectangulaire ont leurs propres noms :

L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle, opposé à l'angle droit.
Les jambes sont des segments qui forment un angle droit. Selon l'angle considéré, la jambe peut être adjacente à celui-ci (formant cet angle avec l'hypoténuse) ou opposée (située à l'opposé de l'angle). Il n’y a pas de pattes pour les triangles non rectangles.

C'est le rapport des jambes et de l'hypoténuse qui constitue la base de la trigonométrie : les sinus, les tangentes et les sécantes sont définis comme le rapport des côtés d'un triangle rectangle.

Triangle rectangle en réalité

Ce chiffre s'est largement répandu dans la réalité. Les triangles sont utilisés dans la conception et la technologie, c'est pourquoi le calcul de l'aire d'une figure doit être effectué par des ingénieurs, des architectes et des designers. Les bases des tétraèdres ou prismes - figures tridimensionnelles faciles à rencontrer dans la vie de tous les jours - ont la forme d'un triangle. De plus, un carré est la représentation la plus simple d’un triangle rectangle « plat » dans la réalité. Un carré est un outil de travail des métaux, de dessin, de construction et de menuiserie utilisé pour construire des angles par les écoliers et les ingénieurs.

Aire d'un triangle

L'aire d'une figure géométrique est une estimation quantitative de la partie du plan délimitée par les côtés du triangle. L'aire d'un triangle ordinaire peut être trouvée de cinq manières, en utilisant la formule de Heron ou en utilisant des variables telles que la base, le côté, l'angle et le rayon du cercle inscrit ou circonscrit. La formule la plus simple pour l’aire s’exprime comme suit :

où a est le côté du triangle, h est sa hauteur.

La formule pour calculer l'aire d'un triangle rectangle est encore plus simple :

où a et b sont des jambes.

En utilisant notre calculateur en ligne, vous pouvez calculer l'aire d'un triangle en utilisant trois paires de paramètres :

deux jambes;
jambe et angle adjacent ;
jambe et angle opposé.

Dans des problèmes ou des situations quotidiennes, vous recevrez différentes combinaisons de variables, cette forme de calculatrice vous permet donc de calculer l'aire d'un triangle de plusieurs manières. Regardons quelques exemples.

Exemples concrets

Tuile en céramique

Supposons que vous souhaitiez recouvrir les murs de la cuisine de carreaux de céramique en forme de triangle rectangle. Afin de déterminer la consommation de carrelage, vous devez connaître la superficie d'un élément de revêtement et la superficie totale de la surface à traiter. Disons que vous devez traiter 7 mètres carrés. La longueur des pieds d'un élément est de 19 cm, alors la surface du carreau sera égale à :

Cela signifie que l'aire d'un élément est de 24,5 centimètres carrés ou 0,01805 mètres carrés. Connaissant ces paramètres, vous pouvez calculer que pour finir 7 mètres carrés de mur il vous faudra 7/0,01805 = 387 éléments de carrelage de parement.

Tâche scolaire

Disons que dans un problème de géométrie scolaire, vous devez trouver l'aire d'un triangle rectangle, sachant seulement que le côté d'une jambe mesure 5 cm et l'angle opposé est de 30 degrés. Notre calculateur en ligne est accompagné d'une illustration montrant les côtés et les angles d'un triangle rectangle. Si le côté a = 5 cm, alors son angle opposé est l'angle alpha, égal à 30 degrés. Entrez ces données dans le formulaire de calcul et obtenez le résultat :

Ainsi, la calculatrice calcule non seulement l'aire d'un triangle donné, mais détermine également la longueur de la jambe et de l'hypoténuse adjacentes, ainsi que la valeur du deuxième angle.

Conclusion

Les triangles rectangles se trouvent littéralement à chaque coin de notre vie. Déterminer l'aire de ces figures vous sera utile non seulement lors de la résolution de devoirs scolaires en géométrie, mais également dans les activités quotidiennes et professionnelles.

Selon le type de triangle, il existe plusieurs options pour déterminer son aire. Par exemple, pour calculer l'aire d'un triangle rectangle, utilisez la formule S= a * b / 2, où a et b sont ses jambes. Si vous souhaitez connaître l'aire d'un triangle isocèle, vous devez alors diviser le produit de sa base et de sa hauteur par deux. Autrement dit, S= b*h / 2, où b est la base du triangle et h est sa hauteur.

Ensuite, vous devrez peut-être calculer l'aire d'un triangle rectangle isocèle. Ici, la formule suivante vient à la rescousse : S = a* a / 2, où les branches « a » et « a » doivent nécessairement avoir les mêmes valeurs.

De plus, nous devons souvent calculer l'aire d'un triangle équilatéral. On le trouve par la formule : S= a * h/ 2, où a est le côté du triangle et h est sa hauteur. Ou selon cette formule : S= √3/ 4 *a^2, où a est le côté.

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle

Avez-vous besoin de trouver l'aire d'un triangle rectangle, mais l'énoncé du problème n'indique pas les dimensions de deux de ses pattes à la fois ? Alors on ne peut pas utiliser directement cette formule (S= a * b / 2).

Considérons plusieurs solutions possibles :

Si vous ne connaissez pas la longueur d'une jambe, mais que les dimensions de l'hypoténuse et de la deuxième jambe sont données, alors tournons-nous vers le grand Pythagore et, en utilisant son théorème (a^2+b^2=c^2), nous calculons la longueur de la jambe inconnue, puis l'utilisons pour calculer l'aire du triangle.
Si la longueur d'une jambe et le degré d'inclinaison de l'angle opposé sont donnés : nous trouvons la longueur de la deuxième jambe en utilisant la formule - a=b*ctg(C).
Étant donné : la longueur d'une jambe et le degré d'inclinaison de l'angle qui lui est adjacent : pour trouver la longueur de la deuxième jambe, nous utilisons la formule - a=b*tg(C).
Et enfin, étant donné : l'angle et la longueur de l'hypoténuse : nous calculons la longueur de ses deux pattes en utilisant les formules suivantes - b=c*sin(C) et a=c*cos(C).

Comment trouver l'aire d'un triangle isocèle

L'aire d'un triangle isocèle peut être trouvée très facilement et rapidement à l'aide de la formule S= b*h / 2, mais si l'un des indicateurs manque, la tâche devient beaucoup plus compliquée. Après tout, des actions supplémentaires doivent être effectuées.

Options de tâches possibles :

Donnés : la longueur d'un des côtés et la longueur de la base. En utilisant le théorème de Pythagore, on trouve la hauteur, c'est-à-dire la longueur de la deuxième jambe. A condition que la longueur de la base divisée par deux soit la jambe, et que le côté initialement connu soit l'hypoténuse.
Donné : la base et l'angle entre le côté et la base. On calcule la hauteur à l'aide de la formule h=c*ctg(B)/2 (n'oubliez pas de diviser le côté « c » par deux).
Étant donné : la hauteur et l'angle formé par la base et le côté : nous utilisons la formule c=h*tg(B)*2 pour trouver la hauteur et multiplions le résultat par deux. Ensuite, nous calculons la superficie.
Connu : la longueur du côté et l'angle formé entre celui-ci et la hauteur. Solution : nous utilisons les formules - c=a*sin(C)*2 et h=a*cos(C) pour trouver la base et la hauteur, après quoi nous calculons l'aire.

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle isocèle

Si toutes les données sont connues, alors en utilisant la formule standard S= a* a / 2 nous calculons l'aire d'un triangle rectangle isocèle, mais si certains indicateurs ne sont pas indiqués dans le problème, des actions supplémentaires sont effectuées.

Par exemple : on ne connaît pas les longueurs des deux côtés (on se souvient que dans un triangle rectangle isocèle ils sont égaux), mais la longueur de l'hypoténuse est donnée. Appliquons le théorème de Pythagore pour trouver les mêmes côtés "a" et "a". Formule de Pythagore : a^2+b^2=c^2. Dans le cas d'un triangle rectangle isocèle, il se transforme en ceci : 2a^2 = c^2. Il s'avère que pour trouver la branche « a », vous devez diviser la longueur de l'hypoténuse par la racine de 2. Le résultat de la solution sera la longueur des deux branches d'un triangle rectangle isocèle. Ensuite, nous trouvons la zone.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral

En utilisant la formule S= √3/ 4*a^2 vous pouvez facilement calculer l'aire d'un triangle équilatéral. Si le rayon du cercle circonscrit au triangle est connu, alors l'aire peut être trouvée à l'aide de la formule : S= 3√3/ 4*R^2, où R est le rayon du cercle.

Comme vous vous en souvenez peut-être dans votre programme scolaire de géométrie, un triangle est une figure formée de trois segments reliés par trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Un triangle forme trois angles, d'où le nom de la figure. La définition peut être différente. Un triangle peut aussi être appelé un polygone à trois angles, la réponse sera également correcte. Les triangles sont divisés selon le nombre de côtés égaux et la taille des angles sur les figures. Ainsi, les triangles se distinguent respectivement en isocèles, équilatéraux et scalènes, ainsi que rectangulaires, aigus et obtus.

Il existe de nombreuses formules pour calculer l'aire d'un triangle. Choisissez comment trouver l'aire d'un triangle, c'est-à-dire La formule à utiliser dépend de vous. Mais il convient de noter seulement certaines des notations utilisées dans de nombreuses formules pour calculer l'aire d'un triangle. Alors souviens-toi:

S est l'aire du triangle,

a, b, c sont les côtés du triangle,

h est la hauteur du triangle,

R est le rayon du cercle circonscrit,

p est le demi-périmètre.

Voici les notations de base qui pourront vous être utiles si vous avez complètement oublié votre cours de géométrie. Vous trouverez ci-dessous les options les plus compréhensibles et les plus simples pour calculer la zone inconnue et mystérieuse d'un triangle. Ce n'est pas difficile et vous sera utile aussi bien pour les besoins de votre ménage que pour aider vos enfants. Rappelons comment calculer l'aire d'un triangle le plus simplement possible :

Dans notre cas, l'aire du triangle est : S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². N'oubliez pas que la superficie est mesurée en centimètres carrés (cm²).

Triangle rectangle et son aire.

Un triangle rectangle est un triangle dont un angle est égal à 90 degrés (appelé donc droit). Un angle droit est formé de deux droites perpendiculaires (dans le cas d'un triangle, deux segments perpendiculaires). Dans un triangle rectangle, il ne peut y avoir qu'un seul angle droit, car... la somme de tous les angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Il s'avère que 2 autres angles devraient diviser les 90 degrés restants, par exemple 70 et 20, 45 et 45, etc. Alors, rappelez-vous l'essentiel, il ne reste plus qu'à découvrir comment trouver l'aire d'un triangle rectangle. Imaginons que nous ayons un tel triangle rectangle devant nous et que nous devions trouver son aire S.

1. La façon la plus simple de déterminer l'aire d'un triangle rectangle est calculée à l'aide de la formule suivante :

Dans notre cas, l'aire du triangle rectangle est : S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm².

En principe, il n'est plus nécessaire de vérifier l'aire du triangle par d'autres moyens, car Seul celui-ci sera utile et aidera au quotidien. Mais il existe également des options pour mesurer l'aire d'un triangle par des angles aigus.

2. Pour les autres méthodes de calcul, vous devez disposer d'un tableau de cosinus, sinus et tangentes. Jugez par vous-même, voici quelques options pour calculer l'aire d'un triangle rectangle qui peuvent encore être utilisées :

Nous avons décidé d'utiliser la première formule et avec quelques taches mineures (nous l'avons dessinée dans un cahier et utilisé une vieille règle et un rapporteur), mais nous avons obtenu le calcul correct :

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Nous avons obtenu les résultats suivants : 3,6=3,7, mais compte tenu du décalage des cellules, on peut pardonner cette nuance.

Triangle isocèle et son aire.

Si vous êtes confronté à la tâche de calculer la formule d'un triangle isocèle, le moyen le plus simple est d'utiliser la formule principale et ce qui est considéré comme la formule classique de l'aire d'un triangle.

Mais d’abord, avant de trouver l’aire d’un triangle isocèle, découvrons de quel type de figure il s’agit. Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés ont la même longueur. Ces deux côtés sont appelés latéraux, le troisième côté est appelé base. Ne confondez pas un triangle isocèle avec un triangle équilatéral, c'est-à-dire un triangle régulier dont les trois côtés sont égaux. Dans un tel triangle, il n’y a pas de tendances particulières dans les angles, ou plutôt dans leur taille. Cependant, les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux, mais différents de l’angle entre côtés égaux. Donc, vous connaissez déjà la première et principale formule, il reste à savoir quelles autres formules sont connues pour déterminer l'aire d'un triangle isocèle.

Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est de 90°. Son aire peut être trouvée si deux côtés sont connus. Vous pouvez bien sûr emprunter le long chemin - trouver l'hypoténuse et calculer l'aire à l'aide de , mais dans la plupart des cas, cela ne prendra que du temps supplémentaire. C'est pourquoi la formule de l'aire d'un triangle rectangle ressemble à ceci :

L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit des jambes.

Un exemple de calcul de l'aire d'un triangle rectangle.
Étant donné un triangle rectangle avec des jambes un= 8 cm, b= 6 cm.
On calcule l'aire :
La superficie est : 24 cm 2

Le théorème de Pythagore s'applique également à un triangle rectangle. – la somme des carrés des deux jambes est égale au carré de l'hypoténuse.
La formule de l'aire d'un triangle rectangle isocèle est calculée de la même manière que pour un triangle rectangle régulier.

Un exemple de calcul de l'aire d'un triangle rectangle isocèle :
Étant donné un triangle avec des jambes un= 4 cm, b= 4 cm Calculez l'aire :
Calculer l'aire : = 8 cm 2

La formule de l'aire d'un triangle rectangle par l'hypoténuse peut être utilisée si la condition est donnée sur une jambe. A partir du théorème de Pythagore, nous trouvons la longueur de la jambe inconnue. Par exemple, étant donné l'hypoténuse c et la jambe un, jambe b sera égal à :
Ensuite, calculez la superficie en utilisant la formule habituelle. Un exemple de calcul de la formule de l'aire d'un triangle rectangle basé sur l'hypoténuse est identique à celui décrit ci-dessus.

Considérons un problème intéressant qui aidera à consolider la connaissance des formules de résolution d'un triangle.
Tâche: L'aire d'un triangle rectangle est de 180 mètres carrés. voyez, trouvez la plus petite jambe du triangle si elle fait 31 cm de moins que la seconde.
Solution: désignons les jambes un Et b. Remplaçons maintenant les données dans la formule d'aire : nous savons également qu'une jambe est plus petite que l'autre. un – b= 31cm
De la première condition on obtient que
Nous substituons cette condition dans la deuxième équation :