Точкова права линия, прекъсната линия. Точка, линия, права линия, лъч, сегмент, прекъсната линия

Точката е абстрактен обект, който няма измервателни характеристики: без височина, без дължина, без радиус. В рамките на задачата е важно само местоположението му

Точката се обозначава с число или главна (голяма) латиница. Няколко точки - различни числа или различни буквиза да могат да бъдат разграничени

точка А, точка Б, точка С

А Б В

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можете да нарисувате три точки "А" на лист хартия и да поканите детето да начертае линия през двете точки "А". Но как да разберем чрез кое? А А А

Линията е набор от точки. Тя измерва само дължината. Няма ширина или дебелина.

Обозначава се с малки букви (малки) с латински букви

ред a, ред b, ред c

а б в

Линията може да бъде

1. затворен, ако началото и края му са в една и съща точка,
2. отворен, ако неговото начало и край не са свързани

затворени линии

отворени линии

Напуснахте апартамента, купихте хляб в магазина и се върнахте обратно в апартамента. Каква линия получихте? Точно така, затворено. Върнахте се в началната точка. Излязохте от апартамента, купихте хляб в магазина, влязохте във входа и разговаряхте със съседа си. Каква линия получихте? Отвори. Не сте се върнали към началната точка. Напуснахте апартамента, купихте хляб в магазина. Каква линия получихте? Отвори. Не сте се върнали към началната точка.

1. самопресичащи се
2. без самопресичания

самопресичащи се линии

линии без самопресечни точки

1. прав
2. прекъсната линия
3. крив

прави линии

прекъснати линии

извити линии

Правата линия е линия, която не се извива, няма нито начало, нито край, може да се удължава неограничено в двете посоки.

Дори когато се види малък парцелправа, се приема, че продължава безкрайно и в двете посоки

Обозначава се с малка (малка) латинска буква. Или две главни (големи) латински букви - точки, лежащи на права линия

права линия а

а

права линия AB

Б А

прави линии могат да бъдат

1. пресичащи се, ако имат обща точка. Две прави могат да се пресичат само в една точка.
   • перпендикулярно, ако се пресичат под прав ъгъл (90°).
2. успоредни, ако не се пресичат, нямат обща точка.

паралелни линии

пресичащи се линии

перпендикулярни линии

Лъчът е част от права линия, която има начало, но няма край, може да се удължава неограничено само в една посока

Началната точка за лъча светлина на снимката е слънцето.

слънце

Точката разделя правата на две части - два лъча A A

Гредата се обозначава с малка (малка) латинска буква. Или две главни (големи) латински букви, където първата е точката, от която започва лъчът, а втората е точката, лежаща върху лъча

лъч а

а

лъч AB

Б А

Гредите съвпадат, ако

1. разположени на една и съща права линия
2. започнете от една точка
3. насочени на една страна

лъчите AB и AC съвпадат

лъчите CB и CA съвпадат

C B A

Сегментът е част от права линия, която е ограничена от две точки, тоест има начало и край, което означава, че дължината му може да бъде измерена. Дължината на сегмент е разстоянието между началната и крайната му точки.

През една точка може да се начертае произволен брой линии, включително прави.

През две точки - неограничен брой криви, но само една права линия

извити линии, минаващи през две точки

Б А

права линия AB

Б А

Едно парче беше „отрязано“ от правата линия и остана сегмент. От примера по-горе можете да видите, че дължината му е най-краткото разстояние между две точки. ✂ B A ✂

Сегментът се обозначава с две главни (големи) латински букви, където първата е точката, от която започва сегментът, а втората е точката, от която свършва сегментът

сегмент AB

Б А

Задача: къде е линията, лъчът, сегментът, кривата?

Прекъсната линия е линия, състояща се от последователно свързани сегменти, които не са под ъгъл от 180°

Дълъг сегмент беше „разбит“ на няколко къси.

Връзките на полилинията (подобно на връзките на веригата) са сегментите, които съставят полилинията. Съседните връзки са връзки, в които краят на една връзка е началото на друга. Съседните връзки не трябва да лежат на една и съща права линия.

Върховете на полилинията (подобно на върховете на планините) са точката, от която започва полилинията, точките, в които са свързани сегментите, образуващи полилинията, точката, където полилинията завършва.

Полилинията се обозначава с изброяване на всички нейни върхове.

прекъсната линия ABCDE

връх на полилиния A, връх на полилиния B, връх на полилиния C, връх на полилиния D, връх на полилиния E

връзка на прекъсната линия AB, връзка на прекъсната линия BC, връзка на прекъсната линия CD, връзка на прекъсната линия DE

връзка AB и връзка BC са съседни

връзка BC и връзка CD са съседни

връзка CD и връзка DE са съседни

A B C D E 64 62 127 52

Дължината на полилинията е сумата от дължините на нейните връзки: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: коя прекъсната линия е по-дълга, но кой има повече върхове? На първия ред всички връзки са с еднаква дължина, а именно 13 см. Вторият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 49 см. Третият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 41 см.

Многоъгълникът е затворена полилиния

Страните на многоъгълника (те ще ви помогнат да запомните изразите: "върви към четирите страни", "бягай към къщата", "на коя страна на масата ще седнеш?") са връзките на прекъснатата линия. Съседните страни на многоъгълник са съседни връзки на прекъсната линия.

Върховете на многоъгълника са върховете на полилинията. Съседните върхове са крайни точки на едната страна на многоъгълника.

Многоъгълникът се обозначава с изброяване на всичките му върхове.

затворена полилиния без самопресичане, ABCDEF

многоъгълник ABCDEF

многоъгълен връх A, многоъгълен връх B, многоъгълен връх C, многоъгълен връх D, многоъгълен връх E, многоъгълен връх F

връх A и връх B са съседни

връх B и връх C са съседни

връх C и връх D са съседни

връх D и връх E са съседни

връх E и връх F са съседни

връх F и връх A са съседни

страна на многоъгълник AB, страна на многоъгълник BC, страна на многоъгълник CD, страна на многоъгълник DE, страна на многоъгълник EF

страна AB и страна BC са съседни

страна BC и страна CD са съседни

страничната CD и страна DE са съседни

страна DE и страна EF са съседни

страна EF и страна FA са съседни

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметърът на многоъгълника е дължината на полилинията: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоъгълник с три върха се нарича триъгълник, с четири - четириъгълник, с пет - петоъгълник и т.н.

В тази статия ще се спрем подробно на едно от основните понятия на геометрията - на концепцията за права линия върху равнина. Първо, нека дефинираме основните термини и обозначения. След това обсъждаме относителното положение на права и точка, както и две прави в равнина и даваме необходимите аксиоми. В заключение ще разгледаме начините за задаване на права линия върху равнина и ще дадем графични илюстрации.

Навигация в страницата.

Правата линия в равнина е понятие.

Преди да се даде концепцията за права линия върху равнина, трябва ясно да се разбере какво е равнина. Представяне на самолетави позволява да получите, например, равна повърхност на масата или стената на къщата. Трябва обаче да се има предвид, че размерите на масата са ограничени и равнината се простира отвъд тези граници до безкрайност (все едно имаме произволно голяма маса).

Ако вземем добре заточен молив и докоснем сърцевината му до повърхността на „масата“, тогава ще получим изображение на точка. Така че получаваме представяне на точка от равнина.

Сега можете да отидете на концепция за права линия върху равнина.

Нека поставим върху повърхността на масата (на самолета) лист чиста хартия. За да начертаем права линия, трябва да вземем линийка и да начертаем линия с молив, доколкото позволява размерът на използваната линийка и лист хартия. Трябва да се отбележи, че по този начин получаваме само част от правата линия. Една права линия в нейната цялост, простираща се до безкрайност, можем само да си представим.

Взаимно положение на права и точка.

Трябва да започнете с аксиома: има точки на всяка права линия и във всяка равнина.

Точките обикновено се означават с главни латински букви, например точки A и F. От своя страна правите линии се означават с малки латински букви, например прави линии a и d.

Възможен два варианта относителна позицияправа и точки в равнината: или точката лежи на правата (в този случай правата също се казва, че минава през точката), или точката не лежи на правата (също се казва, че точката не принадлежи на правата, или правата не минава през точката).

За да се посочи, че дадена точка принадлежи на определена линия, се използва символът "". Например, ако точка А лежи на правата а, тогава можете да пишете. Ако точка А не принадлежи на правата а, запишете.

Следното твърдение е вярно: през всякакви две точки има само една права линия.

Това твърдение е аксиома и трябва да се приеме като факт. Освен това, това е съвсем очевидно: маркираме две точки на хартия, прилагаме линийка към тях и начертаваме права линия. Права линия, минаваща през две дадени точки (например през точки A и B), може да бъде обозначена с тези две букви (в нашия случай права линия AB или BA).

Трябва да се разбере, че на права линия, дадена на равнина, има безкрайно много различни точки и всички тези точки лежат в една и съща равнина. Това твърдение се установява от аксиомата: ако две точки от права лежат в определена равнина, тогава всички точки от тази права лежат в тази равнина.

Множеството от всички точки, разположени между две точки, дадени на права линия, заедно с тези точки, се нарича праваили просто сегмент. Точките, които ограничават сегмента, се наричат ​​краища на отсечката. Сегментът се обозначава с две букви, съответстващи на точките на краищата на сегмента. Например, нека точки A и B са краищата на сегмент, тогава този сегмент може да бъде обозначен AB или BA. Моля, имайте предвид, че това обозначение на сегмент е същото като обозначението на права линия. За да избегнете объркване, препоръчваме да добавите думата "сегмент" или "направо" към обозначението.

За кратък запис на принадлежност и непринадлежност на определена точка към определен сегмент се използват едни и същи символи и. За да се покаже, че сегментът лежи или не лежи на права линия, се използват съответно символите и. Например, ако отсечката AB принадлежи на линия а, можете да запишете накратко.

Трябва да се спрем и на случая, когато три различни точки принадлежат на една и съща права. В този случай една и само една точка лежи между другите две. Това твърдение е друга аксиома. Нека точки A, B и C лежат на една и съща права линия, а точка B лежи между точки A и C. Тогава можем да кажем, че точки A и C са от противоположните страни на точка B. Можете също да кажете, че точки B и C лежат от една и съща страна на точка A, а точки A и B лежат от една и съща страна на точка C.

За да завършим картината, отбелязваме, че всяка точка от права линия разделя тази права линия на две части - две лъч. За този случай е дадена аксиома: произволна точка O, принадлежаща на права, разделя тази права на два лъча и всякакви две точки от един лъч лежат от една и съща страна на точка O и всякакви две точки от различни лъчи лежат от противоположните страни на точка О.

Взаимно подреждане на прави линии върху равнина.

Сега нека да отговорим на въпроса: "Как две прави могат да бъдат разположени на равнина една спрямо друга"?

Първо, две линии в една равнина могат съвпада.

Това е възможно, когато линиите имат поне две общи точки. Всъщност, по силата на аксиомата, изразена в предишния параграф, една права линия минава през две точки. С други думи, ако две прави минават през две дадени точки, тогава те съвпадат.

Второ, две прави линии в една равнина могат кръст.

В този случай линиите имат една обща точка, която се нарича пресечна точка на линиите. Пресечната точка на линиите се обозначава със символа "", например записът означава, че линии a и b се пресичат в точка M. Пресичащите се прави ни водят до концепцията за ъгъла между пресичащите се прави. Отделно, струва си да се обмисли местоположението на прави линии в равнина, когато ъгълът между тях е деветдесет градуса. В този случай линиите се извикват перпендикулярно(препоръчваме статията перпендикулярни линии, перпендикулярност на линиите). Ако правата a е перпендикулярна на права b, тогава може да се използва кратка нотация.

Трето, две прави в равнина могат да бъдат успоредни.

От практическа гледна точка е удобно да се разглежда права линия върху равнина заедно с вектори. От особено значение са ненулеви векторилежащи на дадена права или на някоя от успоредните прави, те се наричат вектори на посоката на правата линия. Статията насочващ вектор на права линия върху равнина дава примери за насочващи вектори и показва варианти за тяхното използване при решаване на задачи.

Трябва също да обърнете внимание на ненулеви вектори, лежащи на която и да е от линиите, перпендикулярни на дадената. Такива вектори се наричат нормални вектори на линията. Използването на нормални вектори на права линия е описано в статията нормален вектор на права линия върху равнина.

Когато на равнина са дадени три или повече прави линии, тогава възниква множество различни опциитяхната относителна позиция. Всички прави могат да бъдат успоредни, в противен случай някои или всички от тях се пресичат. В този случай всички линии могат да се пресичат в една точка (виж статията молив от линии) или могат да имат различни точкикръстовища.

Няма да се спираме на това подробно, но ще приведем няколко забележителни и много често използвани факта без доказателства:

• ако две прави са успоредни на трета права, тогава те са успоредни една на друга;
• ако две прави са перпендикулярни на трета права, тогава те са успоредни една на друга;
• ако в равнина правата пресича една от две успоредни прави, тогава тя пресича и втората права.

Методи за задаване на права линия върху равнина.

Сега ще изброим основните начини, по които можете да дефинирате конкретна линия в равнината. Това знание е много полезно от практическа гледна точка, тъй като решаването на толкова много примери и проблеми се основава на него.

Първо, права линия може да бъде дефинирана чрез определяне на две точки в равнината.

Всъщност от аксиомата, разгледана в първия параграф на тази статия, знаем, че права линия минава през две точки и освен това само една.

Ако координатите на две несъвпадащи точки са посочени в правоъгълна координатна система на равнина, тогава е възможно да се запише уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки.

Второ, правата може да бъде определена, като се посочи точката, през която минава, и правата, на която е успоредна. Този метод е валиден, тъй като една права линия минава през дадена точка от равнината, успоредна на дадена права линия. Доказателството на този факт беше извършено на уроците по геометрия в гимназията.

Ако по този начин се зададе права линия на равнина спрямо въведената правоъгълна декартова координатна система, тогава е възможно да се състави нейното уравнение. Това е написано в статията уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, успоредна на дадена права линия.

На трето място, една линия може да бъде дефинирана чрез посочване на точката, през която минава, и нейния вектор на посоката.

Ако правата линия е дадена в правоъгълна координатна система по този начин, тогава е лесно да се състави нейното канонично уравнение на права линия върху равнина и параметрични уравнения на права линия върху равнина.

Четвъртият начин да посочите права е да посочите точката, през която тя минава, и линията, на която е перпендикулярна. Наистина, чрез дадена точкаИма само една права в равнината, която е перпендикулярна на дадената права. Нека оставим този факт без доказателства.

И накрая, линия в равнината може да бъде определена чрез посочване на точката, през която минава, и нормалния вектор на правата.

Ако координатите на точка, лежаща на дадена права, и координатите на нормалния вектор на правата са известни, тогава е възможно да се запише общото уравнение на правата.

Библиография.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 - 9 клас: учебник за учебни заведения.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на гимназията.
• Бугров Я.С., Николски С.М. висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитична геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Авторско право от умни студенти

Всички права запазени.
Защитено от закона за авторското право. Не е част от www.website, включително вътрешни материалиИ външен дизайнне могат да бъдат възпроизвеждани под каквато и да е форма или използвани без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Ще разгледаме всяка една от темите, а накрая ще има тестове по темите.

Точка по математика

Какво е точка в математиката? Математическата точка няма размери и се обозначава с главни латински букви: A, B, C, D, F и т.н.

На фигурата можете да видите изображението на точки A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Сегмент по математика

Какво е сегмент в математиката? В уроците по математика можете да чуете следното обяснение: математическият сегмент има дължина и краища. Сегментът в математиката е набор от всички точки, лежащи на права линия между краищата на отсечка. Краищата на сегмента са две гранични точки.

На фигурата виждаме следното: отсечки ,,,, и , както и две точки B и S.

Прави линии по математика

Какво е права линия в математиката? Определение на права линия в математиката: правата линия няма краища и може да продължи в двете посоки до безкрайност. Правата линия в математиката се означава с произволни две точки от права линия. За да обясним на ученик концепцията за права линия, можем да кажем, че правата е отсечка, която няма два края.

Фигурата показва две прави линии: CD и EF.

Рей по математика

Какво е лъч? Определение на лъч в математиката: Лъчът е част от права, която има начало и няма край. Името на лъча съдържа две букви, например DC. Освен това първата буква винаги показва точката на началото на лъча, така че не можете да разменяте буквите.

Фигурата показва гредите: DC, KC, EF, MT, MS. Греди KC и KD - една греда, т.к имат общ произход.

Числова права по математика

Определение на числова права в математиката: Права, чиито точки отбелязват числа, се нарича числова права.

Фигурата показва числова права, както и лъч OD и ED