Как да намерите средната скорост на пътуване. Задачи за средна скорост

Да изчисля Средната скоростизползвайте простата формула: Скорост = изминато разстояние Време (\displaystyle (\text(Speed))=(\frac (\text(изминато разстояние))(\text(Time)))). Но в някои задачи са дадени две стойности на скоростта - на различни части от изминатото разстояние или на различни интервали от време. В тези случаи трябва да използвате други формули за изчисляване на средната скорост. Уменията за решаване на проблеми могат да бъдат полезни при реалния живот, а самите задачи могат да бъдат намерени в изпитите, така че запомнете формулите и разберете принципите на решаване на задачи.

Стъпки

Една стойност на пътя и една времева стойност

• дължината на пътя, изминат от тялото;
• времето, необходимо на тялото да измине този път.
• Например: кола изминава 150 км за 3 ч. Намерете средната скорост на автомобила.

1. Формула: къде v (\displaystyle v)- Средната скорост, s (\displaystyle s)- изминато разстояние, t (\displaystyle t)- времето, необходимо за пътуване.

   Заменете изминатото разстояние във формулата.Заменете стойността на пътя за s (\displaystyle s).

   • В нашия пример колата е изминала 150 км. Формулата ще бъде написана така: v = 150 t (\displaystyle v=(\frac (150)(t))).

2. Включете времето във формулата.Заменете стойността на времето за t (\displaystyle t).

   • В нашия пример колата е карала 3 ч. Формулата ще бъде написана по следния начин:.

3. Разделете пътя по времето.Ще намерите средната скорост (обикновено тя се измерва в километри в час).

   • В нашия пример:
     v = 150 3 (\displaystyle v=(\frac (150)(3)))
     
     По този начин, ако една кола измина 150 км за 3 часа, тогава тя се движеше със средна скорост от 50 км/ч.

4. Изчислете общото изминато разстояние.За да направите това, добавете стойностите на изминатите участъци от пътя. Заменете общото изминато разстояние във формулата (вместо s (\displaystyle s)).

   • В нашия пример колата е изминала 150 км, 120 км и 70 км. Общо изминато разстояние: .

5. T (\displaystyle t)).

   • . Така формулата ще бъде записана като:.
6. • В нашия пример:
     v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
     
     Така, ако една кола измина 150 км за 3 часа, 120 км за 2 часа, 70 км за 1 час, тогава тя се движеше със средна скорост от 57 км/ч (закръглено).

Множество скорости и многократно

1. Вижте тези стойности.Използвайте този метод, ако са дадени следните количества:

   Запишете формулата за изчисляване на средната скорост.формула: v = s t (\displaystyle v=(\frac (s)(t))), където v (\displaystyle v)- Средната скорост, s (\displaystyle s)- общо изминато разстояние, t (\displaystyle t)е общото време, необходимо за пътуване.

2. Изчислете общия път.За да направите това, умножете всяка скорост по съответното време. Това ще ви даде дължината на всеки участък от пътя. За да изчислите общия път, добавете стойностите на изминатите сегменти на пътя. Заменете общото изминато разстояние във формулата (вместо s (\displaystyle s)).

   • Например:
     50 км/ч за 3 часа = 50 × 3 = 150 (\displaystyle 50\times 3=150)км
     60 км/ч за 2 часа = 60 × 2 = 120 (\displaystyle 60\times 2=120)км
     70 км/ч за 1 час = 70 × 1 = 70 (\displaystyle 70\times 1=70)км
     Общо изминато разстояние: 150 + 120 + 70 = 340 (\displaystyle 150+120+70=340)км. Така формулата ще бъде написана като: v = 340 t (\displaystyle v=(\frac (340)(t))).

3. Изчислете общото време за пътуване.За да направите това, добавете стойностите на времето, за което е обхванат всеки участък от пътя. Включете общото време във формулата (вместо t (\displaystyle t)).

   • В нашия пример колата кара 3 часа, 2 часа и 1 час. Общото време за пътуване е: 3 + 2 + 1 = 6 (\displaystyle 3+2+1=6). Така формулата ще бъде написана като: v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6))).

4. Разделете общото разстояние на общото време.Ще намерите средната скорост.

   • В нашия пример:
     v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
     v = 56 , 67 (\displaystyle v=56,67)
     По този начин, ако автомобилът се движи със скорост 50 км/ч в продължение на 3 часа, със скорост 60 km/h за 2 часа, със скорост 70 km/h за 1 час, тогава той се движи средно скорост 57 км/ч (закръглено).

С две скорости и две еднакви времена

1. Вижте тези стойности.Използвайте този метод, ако са дадени следните количества и условия:

   • две или повече скорости, с които тялото се движи;
   • тялото се движи с определени скорости за равни периоди от време.
   • Например: кола се движи със скорост 40 км/ч за 2 часа и със скорост 60 км/ч за още 2 ч. Намерете средната скорост на автомобила за цялото пътуване.

2. Запишете формулата за изчисляване на средната скорост при две скорости, с които тялото се движи за равни периоди от време. формула: v = a + b 2 (\displaystyle v=(\frac (a+b)(2))), където v (\displaystyle v)- Средната скорост, а (\displaystyle a)- скоростта на тялото през първия период от време, b (\displaystyle b)- скоростта на тялото през втория (същия като първия) период от време.

   • При такива задачи стойностите на интервалите от време не са важни - основното е те да са равни.
   • Като се имат предвид множество скорости и равни интервали от време, пренапишете формулата, както следва: v = a + b + c 3 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c)(3)))или v = a + b + c + d 4 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c+d)(4))). Ако интервалите от време са равни, сумирайте всички стойности на скоростта и ги разделете на броя на тези стойности.

3. Заменете стойностите на скоростта във формулата.Няма значение с каква стойност да се заменят а (\displaystyle a), и кое вместо b (\displaystyle b).

   • Например, ако първата скорост е 40 km/h, а втората скорост е 60 km/h, формулата ще бъде: .

4. Съберете двете скорости.След това разделете сумата на две. Ще намерите средната скорост за цялото пътуване.

   • Например:
     v = 40 + 60 2 (\displaystyle v=(\frac (40+60)(2)))
     v = 100 2 (\displaystyle v=(\frac (100)(2)))
     v=50 (\displaystyle v=50)
     По този начин, ако колата се движеше с 40 км/ч за 2 часа и със 60 км/ч за още 2 часа, средната скорост на автомобила за цялото пътуване е 50 км/ч.

Много просто! Трябва да разделите целия път по времето, когато обектът на движение е бил на път. Изразено по различен начин, можем да дефинираме средната скорост като средноаритметично от всички скорости на обекта. Но има някои нюанси при решаването на проблеми в тази област.

Например, за да се изчисли средната скорост, е дадена следната версия на проблема: пътникът първо е вървял със скорост от 4 км в час за един час. Тогава минаваща кола го „качи“ и той измина останалата част от пътя за 15 минути. А колата се движеше със скорост 60 км в час. Как да определим средната скорост на пътника?

Не трябва просто да събирате 4 км и 60 и да ги разделяте наполовина, това ще бъде грешно решение! Все пак пътеките, изминавани пеша и с кола, са ни непознати. Така че, първо трябва да изчислите целия път.

Първата част от пътя е лесна за намиране: 4 км в час X 1 час = 4 км

С втората част от пътя малки проблеми: Скоростта се изразява в часове, а времето за шофиране се изразява в минути. Този нюанс често затруднява намирането на правилния отговор, когато се задават въпроси, как да се намери средната скорост, път или време.

Експресирайте 15 минути в часове. За тези 15 минути: 60 минути = 0,25 часа. Сега нека изчислим по какъв начин е постъпил пътникът при пътуване?

60 km/h X 0,25 h = 15 km

Сега няма да е възможно да се намери целия път, изминат от пътника специална работа: 15 км + 4 км = 19 км.

Времето за пътуване също е сравнително лесно да се изчисли. Това е 1 час + 0,25 часа = 1,25 часа.

И сега вече е ясно как да намерите средната скорост: трябва да разделите целия път на времето, което пътникът е прекарал, за да го преодолее. Тоест 19 км: 1,25 часа = 15,2 км/ч.

В темата има такъв анекдот. Мъж, който бърза, пита собственика на терена: „Мога ли да отида до гарата през вашия сайт? Малко закъснях и бих искал да съкратя пътя си, като вървя направо. Тогава със сигурност ще стигна до влака, който тръгва в 16:45!“ „Разбира се, че можеш да съкратиш пътя си, като минеш през моята поляна! И ако моят бик те забележи там, тогава ще имаш време дори за онзи влак, който тръгва в 16 часа и 15 минути.

Междувременно тази комична ситуация е пряко свързана с такова математическо понятие като средната скорост на движение. В крайна сметка потенциалният пътник се опитва да скъси пътя си по простата причина, че знае средната скорост на движението си, например 5 км в час. И пешеходецът, знаейки, че обходът по асфалтовия път е 7,5 км, след като е направил психически прости изчисления, разбира, че ще му трябва час и половина по този път (7,5 км: 5 км / ч = 1,5 час).

Той, напускайки къщата твърде късно, е ограничен във времето и затова решава да съкрати пътя си.

И тук сме изправени пред първото правило, което ни диктува как да намерим средната скорост на движение: дадено директно разстояниемежду екстремни точкиначин или точно изчисляване От горното е ясно за всички: трябва да се направи изчисление, като се вземе предвид точно траекторията на пътя.

Съкращавайки пътя, но не променяйки средната си скорост, обектът в лицето на пешеходец получава печалба във времето. Фермерът, приемайки средната скорост на „спринтера“, който бяга от разгневения бик, също прави прости изчисленияи ви дава резултата.

Шофьорите често използват второто, важно правило за изчисляване на средната скорост, което се отнася до времето, прекарано на пътя. Това се отнася до въпроса как да се намери средната скорост, в случай че обектът има спирания по пътя.

При тази опция обикновено, ако няма допълнителни разяснения, за изчислението те вземат пълен работен денвключително спирки. Следователно шофьорът на автомобил може да каже, че средната му скорост сутрин на свободен път е много по-висока от средната скорост в час пик, въпреки че скоростомерът показва една и съща цифра и в двата случая.

Знаейки тези цифри, опитен шофьор никога няма да закъснее никъде, като предварително е предположил каква ще бъде средната му скорост на движение в града. различно времедни.

Има средни стойности, чието неправилно определение се е превърнало в анекдот или притча. Всички неправилно направени изчисления се коментират с общоразбираема препратка към такъв умишлено абсурден резултат. Всеки, например, ще предизвика усмивка на саркастично разбиране на фразата „средна температура в болницата“. Същите експерти обаче често без колебание сумират скоростите на отделни участъци от пътя и разделят изчислената сума на броя на тези участъци, за да получат също толкова безсмислен отговор. Спомнете си от курса по механика гимназиякак да намерите средната скорост по правилния, а не по абсурден начин.

Аналог на "средна температура" в механиката

В кои случаи хитро формулираните условия на проблема ни подтикват към прибързан, необмислен отговор? Ако се каже за "частите" на пътя, но тяхната дължина не е посочена, това тревожи дори човек, който не е много опитен в решаването на подобни примери. Но ако задачата директно посочва равни интервали, например, „влакът следва първата половина на пътя със скорост ...“, или „първата трета от пътя, който пешеходецът е вървял със скорост...“, и след това описва как се е движил обектът върху останалите равни площи, тоест съотношението е известно S 1 = S 2 = ... \u003d S nИ точни стойностискорости v 1, v 2, ... v н, нашето мислене често дава непростима грешка. Отчита се средноаритметичната стойност на скоростите, тоест всички известни стойности v съберете и разделете на н. В резултат на това отговорът е грешен.

Прости "формули" за изчисляване на количества в равномерно движение

И за цялото изминато разстояние и за отделните му участъци, в случай на осредняване на скоростта, са валидни отношенията, записани за равномерно движение:

• S=vt(1), "формулата" на пътя;
• t=S/v(2), "формула" за изчисляване на времето на движение ;
• v=S/t(3), "формула" за определяне на средната скорост на участъка от коловоза Спремина през времето т.

Тоест, за да намерите желаната стойност vизползвайки съотношение (3), трябва да знаем точно другите две. При решаването на въпроса как да намерим средната скорост на движение трябва преди всичко да определим какво е цялото изминато разстояние Си какво е цялото време на движение т.

Математическо откриване на латентна грешка

В примера, който решаваме, пътят, изминат от тялото (влак или пешеходец), ще бъде равен на произведението nS n(тъй като ние нслед като съберем равни участъци от пътя, в дадените примери - половини, n=2, или трети, n=3). Не знаем нищо за общото време за пътуване. Как да определим средната скорост, ако знаменателят на дроб (3) не е изрично зададен? Използваме съотношение (2), за всеки участък от пътя, който определяме t n = S n: v n. Количество така изчислените времеви интервали ще бъдат записани под линията на дроба (3). Ясно е, че за да се отървете от знаците "+", трябва да дадете всичко S n: v nкъм общ знаменател. Резултатът е "двуетажна дроб". След това използваме правилото: знаменателят на знаменателя влиза в числителя. В резултат на това за проблема с влака след намаляването от S n ние имаме v cf \u003d nv 1 v 2: v 1 + v 2, n = 2 (4) . В случай на пешеходец, въпросът как да се намери средната скорост е още по-труден за решаване: v cf \u003d nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).

Изрично потвърждение на грешката "в числа"

За да се потвърди "на пръстите", че дефиницията на средноаритметичната стойност е грешен начин при изчисляване vср, ние конкретизираме примера, като заменим абстрактните букви с цифри. За влака вземете скоростта 40 км/чИ 60 км/ч(грешен отговор - 50 км/ч). За пешеходеца 5 , 6 И 4 км/ч(средно аритметично - 5 км/ч). Лесно е да се провери чрез заместване на стойностите в отношения (4) и (5), че правилните отговори са за локомотива 48 км/чи за човек 4, (864) км/ч(периодичен десетичен знак, резултатът математически не е много красив).

Когато средната аритметика се провали

Ако проблемът е формулиран по следния начин: „За равни интервали от време тялото първо се движи със скорост v1, тогава v2, v 3и така нататък", бърз отговор на въпроса как да се намери средната скорост може да се намери по грешен начин. Нека читателят да види сам, като сумира равни периоди от време в знаменателя и използва в числителя v вжотношение (1). Това е може би единственият случай, когато грешен метод води до правилен резултат. Но за гарантирано точни изчисления трябва да използвате единствения правилен алгоритъм, който неизменно се отнася до дроба v cf = S: t.

Алгоритъм за всички случаи

За да избегнете грешки със сигурност, когато решавате въпроса как да намерите средната скорост, достатъчно е да запомните и следвате проста последователност от действия:

• определяне на целия път чрез сумиране на дължините на отделните му участъци;
• задайте докрай;
• разделете първия резултат на втория, неизвестните стойности, които не са посочени в задачата, се намаляват в този случай (при правилно формулиране на условията).

Статията разглежда най-простите случаи, когато изходните данни са дадени за равни части от времето или равни участъци от пътя. В общия случай съотношението на хронологичните интервали или разстоянията, покрити от тялото, може да бъде най-произволното (но математически определено, изразено като конкретно цяло число или дроб). Правилото за позоваване на съотношението v cf = S: tабсолютно универсален и никога не се проваля, без значение колко сложни на пръв поглед алгебрични трансформации трябва да се извършват.

Накрая отбелязваме, че за наблюдателните читатели практическото значение на използването на правилния алгоритъм не е останало незабелязано. Правилно изчислената средна скорост в горните примери се оказа малко по-ниска от "средната температура" на пистата. Следователно, фалшив алгоритъм за системи, които записват превишена скорост, би означавало Повече ▼грешни правила на КАТ, изпратени в "писма на щастие" до шофьорите.

Тази статия е за това как да намерите средната скорост. Дадена е дефиницията на това понятие и са разгледани два важни частни случая на намиране на средната скорост. Въведени подробен анализзадачи за намиране на средната скорост на тялото от преподавател по математика и физика.

Определяне на средната скорост

средна скоростдвижението на тялото се нарича съотношението на пътя, изминат от тялото, към времето, през което тялото се движи:

Нека се научим как да го намерим на примера на следния проблем:

Моля, имайте предвид, че в този случай тази стойност не съвпада със средноаритметичната стойност на скоростите и , която е равна на:
Госпожица.

Специални случаи на намиране на средната скорост

1. Два еднакви участъка от пътя.Оставете тялото да се движи през първата половина на пътя със скоростта, а втората половина на пътя - със скоростта. Необходимо е да се намери средната скорост на тялото.

2. Два еднакви интервала на движение.Оставете тялото да се движи със скорост за определен период от време и след това започнете да се движи със скорост за същия период от време. Необходимо е да се намери средната скорост на тялото.

Тук получихме единствения случай, когато средната скорост на движение съвпада със средноаритметичните скорости и на два участъка от пътя.

Да решим проблема в крайна сметка Всеруска олимпиадаученици по физика, която се проведе миналата година, която е свързана с темата на днешния ни урок.

Тялото се движеше с, а средната скорост на движение е 4 m/s. Известно е, че за последните няколко секунди средната скорост на едно и също тяло е била 10 m/s. Определете средната скорост на тялото за първите s на движение.

Изминатото разстояние от тялото е: m. Можете също така да намерите пътя, който тялото е изминало за последно след движението си: m. След това за първия след движението си тялото е преодоляло пътя в m. Следователно средната скорост на този участък от пътя беше:
Госпожица.

Обичат да предлагат задачи за намиране на средната скорост на движение на Единния държавен изпит и ОГИ по физика, приемни изпити и олимпиади. Всеки студент трябва да се научи как да решава тези проблеми, ако планира да продължи образованието си в университета. Един знаещ приятел може да ви помогне да се справите с тази задача, училищен учителили преподавател по математика и физика. Успех с изучаването на физика!

Сергей Валериевич

Понятието скорост е едно от основните понятия в кинематиката.
Много хора вероятно знаят, че скоростта е физическо количество, показващ колко бързо (или колко бавно) се движи движещо се тяло в пространството. Разбира се говорим сиза изместване в избраната референтна система. Знаете ли обаче, че се използват не едно, а три понятия за скорост? Има скорост вътре този моментвреме, наречено моментна скорост, и има две концепции за средна скорост за даден период от време - средната скорост на земята (на английски speed) и средната скорост на движение (на английски velocity).
Ще разгледаме материална точка в координатната система х, г, z(фиг. а).

позиция Аточки по време тхарактеризират с координати x(t), y(t), z(t), представляващ трите компонента на радиус вектора ( т). Точката се движи, нейната позиция в избраната координатна система се променя с времето - края на радиус вектора ( т) описва крива, наречена траектория на движещата се точка.
Траекторията, описана за интервала от време от тпреди t + Δtпоказано на фигура b.

През Бпоказва позицията на точката в момента t + Δt(фиксира се от радиус вектора ( t + Δt)). Нека бъде Δsе дължината на разглежданата криволинейна траектория, т.е. пътят, изминат от точката за времето от тпреди t + Δt.
Средната земна скорост на точка за даден период от време се определя от съотношението

Очевидно е, че v стр − скаларен; тя се характеризира само с числова стойност.
Векторът, показан на фигура b

се нарича изместване на материална точка във времето от тпреди t + Δt.
Средната скорост на движение за даден период от време се определя от съотношението

Очевидно е, че v вж− векторно количество. векторна посока v вжсъвпада с посоката на движение Δr.
Обърнете внимание, че в случай на праволинейно движение, средната земна скорост на движеща се точка съвпада с модула на средната скорост при преместване.
Движението на точка по праволинейна или криволинейна траектория се нарича равномерно, ако във връзка (1) стойността vп не зависи от Δt. Ако например намалим Δt 2 пъти, след това дължината на пътя, изминат от точката Δsще намалее 2 пъти. При равномерно движение една точка изминава път с еднаква дължина за равни интервали от време.
 Въпрос:
Можем ли да приемем, че при равномерно движение на точка от Δtне зависи и от вектора cp на средната скорост по отношение на преместването?

 Отговор:
Това може да се има предвид само в случай на праволинейно движение (в този случай припомняме, че модулът на средната скорост за изместване е равен на средната скорост на земята). Ако равномерното движение се извършва по криволинейна траектория, тогава с промяна в интервала на осредняване Δtкакто модулът, така и посоката на вектора на средната скорост по протежение на преместването ще се променят. С униформа криволинейно движениеравни интервали от време Δtще съответстват на различни вектори на изместване Δr(и следователно различни вектори v вж).
Вярно, в случая равномерно движениеоколо кръга, равни интервали от време ще съответстват на равни стойности на модула на преместване |r|(и следователно равни |v ср |). Но посоките на премествания (и следователно векторите v вж) и в този случай ще бъде различно за същото Δt. Това се вижда на фигурата

Когато една точка, движеща се равномерно по окръжност, описва равни дъги през равни интервали от време АБ, пр.н.е, CD. Въпреки че векторите на изместване 1 , 2 , 3 имат едни и същи модули, но посоките им са различни, така че няма нужда да говорим за равенството на тези вектори.
 Забележка
От двете средни скорости в задачите обикновено се взема предвид средната скорост на пътя, а средната скорост на движение се използва доста рядко. Въпреки това заслужава внимание, тъй като ни позволява да въведем концепцията за мигновена скорост.