Kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari.
Kompleks o'zgaruvchining funksiyalarini differensiallash.

Ushbu maqola men ko'rib chiqadigan bir qator darslarni ochadi tipik vazifalar kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi bilan bog'liq. Misollarni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun sizda bo'lishi kerak asosiy bilim Kompleks sonlar haqida. Materialni birlashtirish va takrorlash uchun sahifaga tashrif buyurish kifoya. Shuningdek, topish uchun sizga ko'nikmalar kerak bo'ladi ikkinchi tartibli qisman hosilalar. Mana ular, bu qisman hosilalar ... hozir ham men ularning qanchalik tez-tez sodir bo'lishiga hayron bo'ldim ...

Biz tahlil qilishni boshlayotgan mavzu unchalik qiyin emas va murakkab o'zgaruvchining funktsiyalarida, qoida tariqasida, hamma narsa aniq va tushunarli. Asosiysi, men tomonidan empirik tarzda olingan asosiy qoidaga rioya qilish. O'qing!

Kompleks o'zgaruvchining funksiyasi haqida tushuncha

Birinchidan, bitta o'zgaruvchining maktab funktsiyasi haqidagi bilimlarimizni yangilaymiz:

Bitta o‘zgaruvchining funksiyasi mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymati (ta'rif sohasidan) funktsiyaning bitta va faqat bitta qiymatiga mos keladigan qoidadir. Tabiiyki, "x" va "y" haqiqiy sonlardir.

Murakkab holatda funktsional bog'liqlik xuddi shunday beriladi:

Kompleks o'zgaruvchining bir qiymatli funktsiyasi hamma uchun qoidadir integratsiyalashgan mustaqil o'zgaruvchining qiymati (domendan) bitta va faqat bittaga to'g'ri keladi keng qamrovli funktsiya qiymati. Nazariy jihatdan, ko'p qiymatli va boshqa ba'zi turdagi funktsiyalar ham ko'rib chiqiladi, ammo soddaligi uchun men bitta ta'rifga e'tibor qarataman.

Kompleks o'zgaruvchining vazifasi nima?

Asosiy farq shundaki, raqamlar murakkab. Men istehzo qilmayapman. Bunday savollardan ular ko'pincha ahmoq bo'lib qolishadi, maqolaning oxirida men ajoyib voqeani aytib beraman. Darsda Dummies uchun murakkab raqamlar shaklida kompleks sonni ko'rib chiqdik. Shu vaqtdan boshlab "Z" harfi paydo bo'ldi o'zgaruvchan, keyin biz uni quyidagicha belgilaymiz: , "x" va "y" esa boshqacha qabul qilishi mumkin yaroqli qiymatlar. Taxminan aytganda, kompleks o'zgaruvchining funktsiyasi "odatiy" qiymatlarni qabul qiluvchi va o'zgaruvchilarga bog'liq. Kimdan bu fakt quyidagi nuqta mantiqiy ravishda quyidagicha:

Kompleks o'zgaruvchining funktsiyasini quyidagicha yozish mumkin:
, bu yerda va ikkitaning ikkita funksiyasi yaroqli o'zgaruvchilar.

Funktsiya chaqiriladi haqiqiy qismi funktsiyalari.
Funktsiya chaqiriladi xayoliy qism funktsiyalari.

Ya'ni, kompleks o'zgaruvchining funktsiyasi ikkita haqiqiy funktsiyaga va . Nihoyat hamma narsani aniqlashtirish uchun keling, amaliy misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol

Qaror: Mustaqil o'zgaruvchi "z", siz eslaganingizdek, quyidagicha yoziladi, shuning uchun:

(1) Asl funktsiyaga almashtirilgan.

(2) Birinchi muddat uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulasi ishlatilgan. Terminda qavslar ochildi.

(3) Ehtiyotkorlik bilan kvadrat, buni unutmang

(4) Terminlarni qayta tartibga solish: birinchi navbatda atamalarni qayta yozish , unda xayoliy birlik yo'q(birinchi guruh), keyin atamalar, qaerda bor (ikkinchi guruh). Shuni ta'kidlash kerakki, shartlarni aralashtirish shart emas va bu bosqich o'tkazib yuborish mumkin (aslida buni og'zaki qilish).

(5) Ikkinchi guruh qavs ichidan chiqariladi.

Natijada, bizning funktsiyamiz shaklda ifodalangan bo'lib chiqdi

Javob:
funktsiyaning haqiqiy qismidir.
funksiyaning xayoliy qismidir.

Bu qanday funktsiyalar? Ikki o'zgaruvchining eng oddiy funktsiyalari, ulardan bunday mashhurlarni topish mumkin qisman hosilalari. Shafqatsiz - biz topamiz. Ammo biroz keyinroq.

Qisqacha aytganda, echilgan masalaning algoritmini quyidagicha yozish mumkin: biz asl funktsiyaga almashtiramiz, soddalashtirishlarni amalga oshiramiz va barcha atamalarni ikki guruhga ajratamiz - xayoliy birliksiz (haqiqiy qism) va xayoliy birlik bilan (xayoliy qism).

2-misol

Funksiyaning haqiqiy va xayoliy qismini toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. O'zingizni qoralamalar bilan murakkab samolyotda jangga otishdan oldin, sizga eng ko'p narsani berishga ijozat bering muhim maslahat ushbu mavzu bo'yicha:

DIQQATLI BO'LING! Siz, albatta, hamma joyda ehtiyot bo'lishingiz kerak, lekin murakkab raqamlarda har qachongidan ham ehtiyot bo'lishingiz kerak! Esingizda bo'lsin, qavslarni ehtiyotkorlik bilan kengaytiring, hech narsani yo'qotmang. Mening kuzatishlarimga ko'ra, eng keng tarqalgan xato - bu belgining yo'qolishi. Shoshmang!

To'liq yechim va dars oxirida javob.

Endi kub. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
.

Formulalarni amalda qo'llash juda qulay, chunki ular yechim jarayonini sezilarli darajada tezlashtiradi.

Kompleks o'zgaruvchining funksiyalarini differensiallash.

Menda ikkita yangilik bor: yaxshi va yomon. Yaxshisi bilan boshlayman. Kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi uchun differensiallanish qoidalari va elementar funksiyalarning hosilalari jadvali amal qiladi. Shunday qilib, hosila haqiqiy o'zgaruvchining funksiyasi bilan bir xil tarzda olinadi.

Yomon xabar shundaki, murakkab o'zgaruvchining ko'plab funktsiyalari uchun umuman hosila yo'q va siz aniqlab olishingiz kerak. farqlanishi mumkin u yoki bu funktsiya. Va yuragingiz qanday his qilayotganini "aniqlash" qo'shimcha muammolar bilan bog'liq.

Murakkab o'zgaruvchining funksiyasini ko'rib chiqing. Ushbu funktsiyani differentsial qilish uchun quyidagilar zarur va etarli:

1) Birinchi tartibli qisman hosilalari bo'lishi uchun. Ushbu belgilarni darhol unuting, chunki murakkab o'zgaruvchining funktsiyasi nazariyasida an'anaviy ravishda belgining boshqa versiyasi qo'llaniladi: .

2) deb atalmish narsani amalga oshirish Koshi-Riman shartlari:

Faqat bu holatda hosila mavjud bo'ladi!

3-misol

Qaror ketma-ket uchta bosqichga bo'lingan:

1) Funksiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarini toping. Bu vazifa oldingi misollarda tahlil qilingan, shuning uchun men buni izohsiz yozaman:

O'shandan beri:

Shunday qilib:

funksiyaning xayoliy qismidir.

Yana bittasida to‘xtab qolaman texnik nuqta: qanday tartibda atamalarni real va xayoliy qismlarga yozing? Ha, asosan, bu muhim emas. Masalan, haqiqiy qismni quyidagicha yozish mumkin: , va xayoliy - bu kabi: .

2) Koshi-Riman shartlarining bajarilishini tekshiramiz. Ulardan ikkitasi bor.

Keling, vaziyatni tekshirishdan boshlaylik. topamiz qisman hosilalari:

Shunday qilib, shart bajariladi.

Shubhasiz, yaxshi xabar shundaki, qisman hosilalar deyarli har doim juda oddiy.

Ikkinchi shartning bajarilishini tekshiramiz:

Xuddi shu narsa chiqdi, lekin qarama-qarshi belgilar bilan, ya'ni shart ham bajarildi.

Koshi-Riman shartlari bajariladi, shuning uchun funktsiyani differentsiallash mumkin.

3) funksiyaning hosilasini toping. Losin ham juda oddiy va odatdagi qoidalarga muvofiq topiladi:

Differensiallashda xayoliy birlik doimiy hisoblanadi.

Javob: - haqiqiy qism xayoliy qismidir.
Koshi-Riman shartlari bajariladi, .

Hosilni topishning yana ikkita usuli bor, ular, albatta, kamroq qo'llaniladi, ammo ma'lumot ikkinchi darsni tushunish uchun foydali bo'ladi - Kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi qanday topiladi?

Hosilni quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Ushbu holatda:

Shunday qilib

Teskari muammoni hal qilish kerak - natijada paydo bo'lgan ifodada siz izolyatsiya qilishingiz kerak . Buni amalga oshirish uchun shartlar va qavslardan olib tashlash kerak:

Ko'pchilik payqaganidek, teskari harakatni bajarish biroz qiyinroq; tekshirish uchun har doim iborani va qoralamani olish yoki qavslarni og'zaki ravishda ochish, uning aniq ekanligiga ishonch hosil qilish yaxshiroqdir.

Hosilni topish uchun oyna formulasi:

Ushbu holatda: , Shunung uchun:

4-misol

Funksiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarini aniqlang . Koshi-Riman shartlarining bajarilishini tekshiring. Koshi-Riman shartlari bajarilsa, funksiyaning hosilasini toping.

Tez yechim va namunali namuna dars oxirida tugatish ishlari.

Koshi-Riman shartlari har doim qondiriladimi? Nazariy jihatdan, ular ko'pincha ularga qaraganda bajarilmaydi. Lekin ichida amaliy misollar Ular bajarilmagan holatni eslay olmayman =) Shunday qilib, agar sizning qisman hosilalaringiz "bir-biriga yaqinlashmagan" bo'lsa, unda juda katta ehtimollik bilan siz biror joyda xatoga yo'l qo'ygan deb ayta olamiz.

Keling, funktsiyalarimizni murakkablashtiramiz:

5-misol

Funksiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarini aniqlang . Koshi-Riman shartlarining bajarilishini tekshiring. Hisoblash

Qaror: Yechim algoritmi to'liq saqlanib qolgan, ammo oxirida yangi moda qo'shiladi: lotinni bir nuqtada topish. Kub uchun kerakli formula allaqachon olingan:

Keling, ushbu funktsiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarini aniqlaymiz:

Diqqat va yana diqqat!

O'shandan beri:


Shunday qilib:
funktsiyaning haqiqiy qismidir;
funksiyaning xayoliy qismidir.

Ikkinchi shartni tekshirish:

Xuddi shu narsa chiqdi, lekin qarama-qarshi belgilar bilan, ya'ni shart ham bajarildi.

Koshi-Riman shartlari bajariladi, shuning uchun funktsiyani farqlash mumkin:

Zarur nuqtada hosilaning qiymatini hisoblang:

Javob:, , Koshi-Riman shartlari qanoatlansa,

Kubli funksiyalar keng tarqalgan, shuning uchun birlashtirish uchun misol:

6-misol

Funksiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarini aniqlang . Koshi-Riman shartlarining bajarilishini tekshiring. Hisoblang.

Dars oxirida qaror qabul qilish va tugatish namunasi.

Kompleks tahlil nazariyasida murakkab argumentning boshqa funktsiyalari ham aniqlanadi: eksponensial, sinus, kosinus va boshqalar. Bu funktsiyalar noodatiy va hatto g'alati xususiyatlarga ega - va bu juda qiziq! Men sizga haqiqatan ham aytmoqchiman, lekin bu erda, ma'lumotnoma yoki darslik emas, balki bu shunday bo'ldi, shuning uchun men bir xil vazifani ba'zi umumiy funktsiyalar bilan ko'rib chiqaman.

Avvalo, deb ataladigan narsa haqida Eyler formulalari:

Har kim uchun yaroqli raqamlar uchun quyidagi formulalar amal qiladi:

Bundan tashqari, ma'lumotnoma sifatida uni daftaringizga ko'chirishingiz mumkin.

To'g'ri aytganda, faqat bitta formula bor, lekin odatda qulaylik uchun ular ham yozadilar maxsus holat minus ko'rsatkichi bilan. Parametr bitta harf bo'lishi shart emas, u murakkab ifoda, funktsiya bo'lishi mumkin, faqat ularni qabul qilish muhimdir. faqat amal qiladi qiymatlar. Aslida, biz buni hozir ko'ramiz:

7-misol

Hosilini toping.

Qaror: Partiyaning umumiy chizig'i o'zgarmasligicha qolmoqda - funktsiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarini ajratib ko'rsatish kerak. Men batafsil yechimni beraman va quyida har bir qadamni sharhlayman:

O'shandan beri:

(1) "z" o'rniga qo'ying.

(2) almashtirishdan keyin haqiqiy va xayoliy qismlarni ajratish kerak ko'rsatkich bo'yicha birinchi ko'rgazma ishtirokchilari. Buning uchun qavslarni oching.

(3) Biz indikatorning xayoliy qismini guruhlashtiramiz, xayoliy birlikni qavslar tashqarisiga qo'yamiz.

(4) Foydalanish maktab harakati darajalar bilan.

(5) Ko'paytuvchi uchun Eyler formulasidan foydalanamiz, while .

(6) Qavslarni ochamiz, natijada:

funktsiyaning haqiqiy qismidir;
funksiyaning xayoliy qismidir.

Keyingi harakatlar standartdir, keling, Koshi-Riman shartlarining bajarilishini tekshiramiz:

9-misol

Funksiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarini aniqlang . Koshi-Riman shartlarining bajarilishini tekshiring. Shunday bo'lsin, biz hosilani topa olmaymiz.

Qaror: Yechim algoritmi oldingi ikkita misolga juda o'xshash, ammo juda ko'p muhim nuqtalar, Shunung uchun Birinchi bosqich Men yana bosqichma-bosqich izoh beraman:

O'shandan beri:

1) "z" o'rniga almashtiramiz.

(2) Birinchidan, haqiqiy va xayoliy qismlarni tanlang sinus ichida. Buning uchun qavslarni oching.

(3) Biz , while formulasidan foydalanamiz .

(4) Foydalanish giperbolik kosinus pariteti: va giperbolik sinus g'alatiligi: . Giperbolik, garchi bu dunyoga tegishli bo'lmasa ham, lekin ko'p jihatdan o'xshash trigonometrik funktsiyalarga o'xshaydi.

Natijada:
funktsiyaning haqiqiy qismidir;
funksiyaning xayoliy qismidir.

Diqqat! Minus belgisi xayoliy qismga ishora qiladi va hech qanday holatda biz uni yo'qotmasligimiz kerak! Vizual tasvir uchun yuqorida olingan natijani quyidagicha qayta yozish mumkin:

Koshi-Riman shartlarining bajarilishini tekshiramiz:

Koshi-Riman shartlari bajarildi.

Javob:, , Koshi-Riman shartlari qanoatlantiriladi.

Kosinus bilan, xonimlar va janoblar, biz o'zimiz tushunamiz:

10-misol

Funktsiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarini aniqlang. Koshi-Riman shartlarining bajarilishini tekshiring.

Men ataylab murakkabroq misollarni tanladim, chunki har bir kishi tozalangan yeryong'oq kabi narsalarni boshqarishi mumkin. Shu bilan birga, e'tiboringizni o'rgating! Dars oxirida yong'oq.

Xulosa qilib aytganda, men yana bir narsani ko'rib chiqaman qiziqarli misol murakkab argument maxrajda bo'lganda. Amalda bir-ikki marta uchrashdik, keling, oddiy narsani tahlil qilaylik. Oh, men qarib qoldim ...

11-misol

Funktsiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarini aniqlang. Koshi-Riman shartlarining bajarilishini tekshiring.

Qaror: Shunga qaramay, funktsiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarini ajratish kerak.
Agar , keyin

Savol tug'iladi, agar "Z" maxrajda bo'lsa, nima qilish kerak?

Hammasi oddiy - standart yordam beradi son va maxrajni bog`lovchi ifodaga ko`paytirish usuli, u allaqachon dars misollarida ishlatilgan Dummies uchun murakkab raqamlar. Keling, maktab formulasini eslaylik. Maxrajda bizda allaqachon mavjud, shuning uchun konjugat ifodasi bo'ladi. Shunday qilib, siz hisoblagich va maxrajni quyidagicha ko'paytirishingiz kerak: