Juft va toq funksiyalar yig‘indisi. Juft va toq funksiyalar

Funksiyaning juftligi va toqligi uning asosiy xususiyatlaridan biri boʻlib, juftlik matematika fanining maktab kursining taʼsirchan qismini egallaydi. Bu ko'p jihatdan funktsiya xatti-harakatlarining tabiatini aniqlaydi va mos keladigan grafikni qurishni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Funksiyaning paritetini aniqlaylik. Umuman olganda, o'rganilayotgan funktsiya uning ta'rif sohasida joylashgan (x) mustaqil o'zgaruvchining qarama-qarshi qiymatlari uchun y (funktsiya) ning mos qiymatlari teng bo'lsa ham hisobga olinadi.

Keling, yanada qat'iyroq ta'rif beraylik. D domenida aniqlangan ba'zi f (x) funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Ta'rif sohasida joylashgan har qanday x nuqta uchun ham shunday bo'ladi:

• -x (qarama-qarshi nuqta) ham berilgan doirada yotadi,

• f(-x) = f(x).

Yuqoridagi ta'rifdan bunday funktsiyaning aniqlanish sohasi uchun zarur bo'lgan shart, ya'ni koordinatalarning kelib chiqishi bo'lgan O nuqtaga nisbatan simmetriya kelib chiqadi, chunki agar biron bir b nuqta aniqlanish sohasida mavjud bo'lsa. hatto funksiya bo'lsa, mos keladigan nuqta - b ham shu sohada yotadi. Demak, yuqoridagilardan shunday xulosa kelib chiqadi: juft funksiya ordinata o‘qiga (Oy) nisbatan simmetrik bo‘lgan ko‘rinishga ega.

Funksiyaning pariteti amalda qanday aniqlanadi?

Bu h(x)=11^x+11^(-x) formula yordamida berilgan bo'lsin. To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadigan algoritmga rioya qilib, biz birinchi navbatda uning ta'rif sohasini o'rganamiz. Shubhasiz, u argumentning barcha qiymatlari uchun aniqlanadi, ya'ni birinchi shart bajariladi.

Keyingi qadam (x) argumentini uning qarama-qarshi qiymati (-x) bilan almashtirishdir.
Biz olamiz:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Qo'shish kommutativ (o'zgartirish) qonunini qanoatlantiradiganligi sababli, h(-x) = h(x) va berilgan funksional bog'liqlik juft bo'lishi aniq.

h(x)=11^x-11^(-x) funksiyaning tekisligini tekshiramiz. Xuddi shu algoritmga amal qilib, h(-x) = 11^(-x) -11^x ni olamiz. Minusni chiqarib, natijada bizda bor
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Demak, h(x) toqdir.

Aytgancha, shuni esda tutish kerakki, ushbu mezonlarga ko'ra tasniflash mumkin bo'lmagan funktsiyalar mavjud, ular na juft, na toq deb nomlanadi.

Hatto funktsiyalar bir qator qiziqarli xususiyatlarga ega:

• shunga o'xshash funktsiyalarni qo'shish natijasida juftlik olinadi;
• bunday funktsiyalarni ayirish natijasida juftlik olinadi;
• hatto, ham, hatto;
• ikkita bunday funktsiyani ko'paytirish natijasida juftlik olinadi;
• toq va juft funktsiyalarni ko'paytirish natijasida toq olinadi;
• toq va juft funktsiyalarni bo'lish natijasida toq olinadi;
• bunday funktsiyaning hosilasi toq;
• Agar biz toq funktsiyani kvadratga aylantirsak, biz juftlikni olamiz.

Tenglamalarni yechishda funksiya paritetidan foydalanish mumkin.

Tenglamaning chap tomoni juft funktsiya bo'lgan g (x) = 0 kabi tenglamani echish uchun o'zgaruvchining manfiy bo'lmagan qiymatlari uchun uning echimlarini topish kifoya qiladi. Tenglamaning olingan ildizlari qarama-qarshi sonlar bilan birlashtirilishi kerak. Ulardan biri tekshirilishi kerak.

Xuddi shu narsa parametr bilan nostandart muammolarni hal qilish uchun muvaffaqiyatli qo'llaniladi.

Masalan, a parametri uchun 2x^6-x^4-ax^2=1 tenglamani uchta ildizga aylantiradigan qiymat bormi?

Agar o'zgaruvchi tenglamaga juft darajalarda kirishini hisobga olsak, x ni - x ga almashtirish aniq bo'ladi. berilgan tenglama o'zgarmaydi. Bundan kelib chiqadiki, agar ma'lum bir son uning ildizi bo'lsa, unda qarama-qarshi son ham shunday bo'ladi. Xulosa ravshan: tenglamaning noldan tashqari ildizlari uning yechimlari to'plamiga "juftlik" shaklida kiritilgan.

Ko'rinib turibdiki, 0 raqamining o'zi emas, ya'ni bunday tenglamaning ildizlari soni faqat juft bo'lishi mumkin va tabiiyki, parametrning har qanday qiymati uchun u uchta ildizga ega bo'lishi mumkin emas.

Lekin 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 tenglamaning ildizlari soni toq bo'lishi mumkin va parametrning istalgan qiymati uchun. Haqiqatan ham, ildizlar to'plamini tekshirish oson berilgan tenglama"juft" bo'lgan yechimlarni o'z ichiga oladi. Keling, 0 ning ildiz ekanligini tekshiramiz. Uni tenglamaga almashtirganda 2=2 ni olamiz. Shunday qilib, "juftlangan" dan tashqari 0 ham ildiz bo'lib, ularning toq sonini tasdiqlaydi.

Funktsiya har qanday va tenglik uchun juft (toq) deb ataladi

.

Juft funksiya grafigi o‘qga nisbatan simmetrikdir
.

Toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir.

6.2-misol. Juft yoki toq funksiyalarni tekshiring

1)
; 2)
; 3)
.

Qaror.

1) Funktsiya bilan aniqlanadi
. Keling, topamiz
.

Bular.
. Demak, bu funksiya teng.

2) Funktsiya uchun belgilangan

Bular.
. Shunday qilib, bu funktsiya g'alati.

3) funktsiya uchun aniqlangan, ya'ni. uchun

,
. Shuning uchun funksiya juft ham, toq ham emas. Keling, buni umumiy funktsiya deb ataymiz.

3. Funksiyani monotonlik uchun tekshirish.

Funktsiya
Agar bu oraliqda argumentning har bir kattaroq qiymati funktsiyaning kattaroq (kichik) qiymatiga to'g'ri kelsa, ba'zi bir oraliqda ortish (kamayish) deb ataladi.

Muayyan oraliqda ortib borayotgan (kamayadigan) funktsiyalar monotonik deyiladi.

Agar funktsiya
oraliqda differensiallanadi
va musbat (salbiy) hosilaga ega
, keyin funksiya
bu oraliqda ortadi (kamayadi).

6.3-misol. Funksiyalarning monotonlik intervallarini toping

1)
; 3)
.

Qaror.

1) Bu funksiya butun sonlar o'qida aniqlanadi. Keling, hosilani topamiz.

hosilasi nolga teng bo'lsa
va
. Ta'rif sohasi - nuqtalarga bo'lingan raqamli o'q
,
intervallar uchun. Har bir intervaldagi hosila belgisini aniqlaymiz.

Intervalda
hosila manfiy, funksiya shu intervalda kamayadi.

Intervalda
hosila musbat, shuning uchun funktsiya bu intervalda ortib bormoqda.

2) Bu funksiya agar aniqlanadi
yoki

.

Har bir oraliqda kvadrat uchlik belgisini aniqlaymiz.

Shunday qilib, funksiya doirasi

Keling, hosilani topamiz
,
, agar
, ya'ni.
, lekin
. Intervallardagi hosila belgisini aniqlaymiz
.

Intervalda
hosila manfiy, shuning uchun funksiya intervalda kamayadi
. Intervalda
hosilasi musbat, funksiya intervalda ortadi
.

4. Ekstremum uchun funksiyani tekshirish.

Nuqta
funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasi deyiladi
, agar nuqtaning bunday mahallasi mavjud bo'lsa bu hamma uchun
bu mahalla tengsizlikni qondiradi

.

Funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari ekstremum nuqtalar deyiladi.

Agar funktsiya
nuqtada ekstremumga ega bo'lsa, bu nuqtada funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas (ekstremum mavjudligi uchun zaruriy shart).

Hosil nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar kritik deyiladi.

5. Ekstremumning mavjudligi uchun etarli shartlar.

1-qoida. Agar o'tish paytida (chapdan o'ngga) tanqidiy nuqta orqali hosila
belgisini "+" dan "-" ga, keyin nuqtada o'zgartiradi funktsiyasi
maksimal darajaga ega; agar "-" dan "+" gacha bo'lsa, u holda minimal; agar
belgisini o'zgartirmaydi, keyin ekstremum yo'q.

2-qoida. Shu nuqtada bo'lsin
funktsiyaning birinchi hosilasi
nol
, va ikkinchi hosila mavjud va nolga teng emas. Agar a
, keyin maksimal nuqta, agar
, keyin funktsiyaning minimal nuqtasidir.

Misol 6.4 . Maksimal va minimal funktsiyalarni o'rganing:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Qaror.

1) Funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz
.

Keling, hosilani topamiz
va tenglamani yeching
, ya'ni.
.bu yerdan
muhim nuqtalardir.

Intervallarda hosila ishorasini aniqlaymiz,
.

Nuqtalardan o'tayotganda
va
lotin belgisi "-" dan "+" ga o'zgaradi, shuning uchun 1-qoidaga muvofiq
minimal nuqtalardir.

Bir nuqtadan o'tayotganda
lotin o'zgarishlar belgisi "+" dan "-", shuning uchun
maksimal nuqta hisoblanadi.

,
.

2) funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz
. Keling, hosilani topamiz
.

Tenglamani yechish orqali
, toping
va
muhim nuqtalardir. Agar maxraj bo'lsa
, ya'ni.
, keyin hosila mavjud emas. Shunday qilib,
uchinchi muhim nuqta hisoblanadi. Xosilmaning ishorasini intervallarda aniqlaymiz.

Demak, funksiya nuqtada minimumga ega
, nuqtalarda maksimal
va
.

3) Funktsiya aniqlangan va uzluksiz bo'lsa
, ya'ni. da
.

Keling, hosilani topamiz

.

Kritik nuqtalarni topamiz:

Nuqtalarning qo'shnilari
ta'rif sohasiga tegishli emas, shuning uchun ular ekstremum t emas. Shunday qilib, keling, muhim nuqtalarni ko'rib chiqaylik
va
.

4) Funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz
. 2-qoidadan foydalanamiz. Hosilni toping
.

Kritik nuqtalarni topamiz:

Ikkinchi hosilani topamiz
nuqtalarda uning belgisini aniqlang

Nuqtalarda
funktsiya minimal qiymatga ega.

Nuqtalarda
funktsiya maksimalga ega.

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Maqsadlar:

• juft va toq funksiyalar haqida tushunchani shakllantirish, bu xossalarni qachon aniqlash va ulardan foydalanish malakalarini o`rgatish funktsional tadqiqot, chizma tuzish;
• talabalarning ijodiy faolligini rivojlantirish; mantiqiy fikrlash, solishtirish, umumlashtirish qobiliyati;
• mehnatsevarlikni, matematik madaniyatni tarbiyalash; muloqot qobiliyatlarini rivojlantirish .

Uskunalar: multimediali montaj, interfaol doska, tarqatma materiallar.

Ish shakllari: qidiruv va tadqiqot faoliyati elementlari bilan frontal va guruh.

Axborot manbalari:

1. Algebra 9-sinf A.G.Mordkovich. Darslik.
2. Algebra 9-sinf A.G.Mordkovich. Vazifa kitobi.
3. Algebra 9-sinf. Talabalarni o'rganish va rivojlantirish uchun vazifalar. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DARS VAQTIDA

1. Tashkiliy moment

Darsning maqsad va vazifalarini belgilash.

2. Uy vazifasini tekshirish

10.17-son (Muammolar kitobi 9-sinf A.G. Mordkovich).

a) da = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 uchun X ~ 0,4
4. f(X) >0 da X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsiya bilan ortadi X € [– 2; + ∞)
6. Funktsiya pastdan cheklangan.
7. da yollash = - 3, da naib mavjud emas
8. Funksiya uzluksiz.

(Xususiyatlarni o'rganish algoritmidan foydalandingizmi?) Slayd.

2. Slaydda so'ralgan jadvalni tekshiramiz.

Jadvalni to'ldiring
	Domen	Funktsiya nollari	Doimiylik intervallari		Grafikning Oy bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari
		x = -5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilimlarni yangilash

- Funktsiyalar berilgan.
– Har bir funksiya uchun taʼrif sohasini belgilang.
– Har bir argument qiymatlari juftligi uchun har bir funktsiya qiymatini solishtiring: 1 va – 1; 2 va - 2.
– Aniqlash sohasida berilgan funksiyalarning qaysi biri uchun tenglik hisoblanadi f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (ma'lumotlarni jadvalga qo'ying) Slayd

		f(1) va f(– 1)	f(2) va f(– 2)	grafikalar	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		va aniqlanmagan.

4. yangi material

- Ijro qilish bu ish, bolalar, biz funktsiyaning siz uchun notanish bo'lgan yana bir xususiyatini ochib berdik, ammo qolganlaridan kam emas - bu juft va toq funksiya. Dars mavzusini yozing: "Juft va toq funktsiyalar", bizning vazifamiz juft va toq funktsiyalarni qanday aniqlashni o'rganish, bu xususiyatning funktsiyalarni o'rganish va chizmalarini tuzishdagi ahamiyatini aniqlashdir.
Demak, darslikdagi ta’riflarni topib, o‘qib chiqamiz (110-bet). . Slayd

Def. bitta Funktsiya da = f (X) X to'plamda aniqlangan deyiladi hatto, agar biron bir qiymat uchun XÊ X davom etmoqda f (–x) = f (x) tengligi. Misollar keltiring.

Def. 2 Funktsiya y = f(x), X to'plamda aniqlangan deb ataladi g'alati, agar biron bir qiymat uchun XÊ X f(–x)= –f(x) tenglik bajariladi. Misollar keltiring.

Biz "juft" va "toq" atamalarini qayerda uchratdik?
Sizningcha, bu funksiyalarning qaysi biri teng bo'ladi? Nega? Qaysi biri g'alati? Nega?
Shaklning har qanday funktsiyasi uchun da= x n, qayerda n butun son bo‘lsa, funksiya uchun toq ekanligini ta’kidlash mumkin n toq va funksiya juft uchun n- hatto.
- Funktsiyalarni ko'rish da= va da = 2X– 3 juft ham, toq ham emas, chunki tengliklari bajarilmaydi f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Funksiyaning juft yoki toq ekanligi haqidagi savolni oʻrganish funksiyani paritet uchun oʻrganish deyiladi. Slayd

1 va 2 ta'riflar funksiyaning x va - x da qiymatlari bilan bog'liq, shuning uchun funktsiya qiymatda ham aniqlangan deb taxmin qilinadi. X, va da - X.

ODA 3. Agar a raqam to'plami uning har bir elementi bilan birga x qarama-qarshi elementni -x, keyin esa to'plamni o'z ichiga oladi X simmetrik to'plam deyiladi.

Misollar:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simmetrik toʻplamlar, , [–5;4] nosimmetrik toʻplamlar.

- Hatto funksiyalarning aniqlanish sohasi - simmetrik to'plam bormi? G'alatilarmi?
- Agar D( f) assimetrik to‘plam bo‘lsa, u holda funksiya nima?
– Shunday qilib, agar funktsiya da = f(X) juft yoki toq boʻlsa, uning taʼrif sohasi D( f) simmetrik to‘plamdir. Ammo qarama-qarshi gap to'g'rimi, agar funktsiya sohasi simmetrik to'plam bo'lsa, u juft yoki toq bo'ladimi?
- Demak, ta'rif sohasining simmetrik to'plamining mavjudligi zaruriy shart, ammo etarli emas.
– Xo‘sh, paritet funksiyasini qanday tekshirishimiz mumkin? Keling, algoritm yozishga harakat qilaylik.

Slayd

Funksiyani paritet uchun tekshirish algoritmi

1. Funksiya sohasi simmetrik ekanligini aniqlang. Agar yo'q bo'lsa, u holda funktsiya juft ham, toq ham emas. Ha bo'lsa, algoritmning 2-bosqichiga o'ting.

2. uchun ifoda yozing f(–X).

3. Taqqoslash f(–X).va f(X):

• agar f(–X).= f(X), u holda funksiya juft bo‘ladi;
• agar f(–X).= – f(X), u holda funksiya toq bo'ladi;
• agar f(–X) ≠ f(X) va f(–X) ≠ –f(X), u holda funksiya juft ham, toq ham emas.

Misollar:

a) paritet funksiyasini o‘rganing. da= x 5 +; b) da= ; ichida) da= .

Qaror.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simmetrik toʻplam.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsiyasi h(x)= x 5 + toq.

b) y =,

da = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), assimetrik to'plam, shuning uchun funktsiya juft ham, toq ham emas.

ichida) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Variant 2

1. Berilgan to‘plam simmetrikmi: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Funksiyani paritet uchun tekshiring:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. rasmda. chizilgan da = f(X), Barcha uchun X, shartni qondirish X? 0.
Funktsiyani chizing da = f(X), agar da = f(X) juft funksiyadir.

3. rasmda. chizilgan da = f(X), barcha x qanoatlantiruvchi x uchun? 0.
Funktsiyani chizing da = f(X), agar da = f(X) g‘alati funksiyadir.

O'zaro tekshirish slayd.

6. Uyga vazifa: №11.11, 11.21,11.22;

Paritet xossasining geometrik ma’nosini isbotlash.

*** (USE variantini tayinlash).

1. Toq funksiya y \u003d f (x) butun real chiziqda aniqlanadi. x o'zgaruvchining har qanday manfiy bo'lmagan qiymati uchun bu funktsiyaning qiymati g() funktsiyasining qiymatiga to'g'ri keladi. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( funksiyaning qiymatini toping. X) = da X = 3.

7. Xulosa qilish

Grafik konvertatsiya qilish.

Funktsiyaning og'zaki tavsifi.

Grafik usul.

Funksiyani belgilashning grafik usuli eng illyustrativ hisoblanadi va ko'pincha muhandislikda qo'llaniladi. DA matematik tahlil illyustratsiya sifatida funksiyalarni sozlashning grafik usulidan foydalaniladi.

Funktsiya grafigi f - koordinata tekisligining barcha nuqtalari (x; y) to'plami, bu erda y=f(x) va x berilgan funksiyaning butun sohasi bo'ylab "o'tadi".

Koordinata tekisligining kichik to'plami, agar u Oy o'qiga parallel bo'lgan har qanday chiziq bilan ko'pi bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, ba'zi funksiyalarning grafigi hisoblanadi.

Misol. Quyidagi raqamlar funksiyalar grafiklarimi?

afzallik grafik vazifa uning ko'rinishidir. Funktsiya o'zini qanday tutishini, qayerda ko'payishini, qayerda kamayishini darhol ko'rishingiz mumkin. Grafikdan siz funktsiyaning ba'zi muhim xususiyatlarini darhol bilib olishingiz mumkin.

Umuman olganda, analitik grafik usullar funktsiya topshiriqlari yonma-yon boradi. Formula bilan ishlash grafik tuzishga yordam beradi. Grafik ko'pincha formulada sezmaydigan echimlarni taklif qiladi.

Deyarli har qanday talaba biz ko'rib chiqqan funktsiyani aniqlashning uchta usulini biladi.

Keling, savolga javob berishga harakat qilaylik: "Funksiyani aniqlashning boshqa usullari bormi?"

Bunday yo'l bor.

Funktsiyani so'zlar bilan aniq belgilash mumkin.

Masalan, y=2x funksiyani quyidagi og'zaki tavsif bilan aniqlash mumkin: x argumentining har bir haqiqiy qiymatiga uning ikkilangan qiymati beriladi. Qoida o'rnatiladi, funksiya o'rnatiladi.

Bundan tashqari, funktsiyani og'zaki ravishda ko'rsatish mumkin, uni formula bilan aniqlash juda qiyin, hatto imkonsizdir.

Masalan: x natural argumentining har bir qiymati x qiymatini tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi bilan bog'langan. Masalan, agar x=3 bo'lsa, u holda y=3. Agar x=257 bo'lsa, y=2+5+7=14. Va boshqalar. Buni formulada yozish qiyin. Ammo stolni tayyorlash juda oson.

Og'zaki tasvirlash usuli juda kam qo'llaniladigan usuldir. Ammo ba'zida shunday bo'ladi.

Agar x va y o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik qonuni mavjud bo'lsa, u holda funktsiya mavjud. Qaysi qonun, qanday shaklda - formula, planshet, grafik, so'z bilan ifodalanganligi masalaning mohiyatini o'zgartirmaydi.

Ta'rif sohalari koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan nosimmetrik bo'lgan funktsiyalarni ko'rib chiqing, ya'ni. har kim uchun X amaldan tashqari raqam (- X) taʼrif sohasiga ham tegishli. Bu funktsiyalar orasida juft va toq.

Ta'rif. f funktsiyasi chaqiriladi hatto, agar mavjud bo'lsa X uning domenidan tashqarida

Misol. Funktsiyani ko'rib chiqing

U teng. Keling, buni tekshirib ko'ramiz.

Har kim uchun X tengliklar

Shunday qilib, biz uchun ikkala shart ham qanoatlantiriladi, ya'ni funksiya juft bo'ladi. Quyida ushbu funktsiyaning grafigi keltirilgan.

Ta'rif. f funktsiyasi chaqiriladi g'alati, agar mavjud bo'lsa X uning domenidan tashqarida

Misol. Funktsiyani ko'rib chiqing

U g'alati. Keling, buni tekshirib ko'ramiz.

Ta'rif sohasi butun sonli o'q bo'lib, u nuqta (0; 0) bo'yicha simmetrik ekanligini anglatadi.

Har kim uchun X tengliklar

Shunday qilib, biz uchun ikkala shart ham qanoatlantiriladi, bu funksiya toq ekanligini bildiradi. Quyida ushbu funktsiyaning grafigi keltirilgan.

Birinchi va uchinchi rasmlarda ko'rsatilgan grafiklar y o'qiga nisbatan simmetrik, ikkinchi va to'rtinchi rasmda ko'rsatilgan grafiklar esa kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.

Grafiklarda tasvirlangan funksiyalarning qaysi biri juft, qaysi biri toq?

Funktsiya eng muhim matematik tushunchalardan biridir. Funktsiya - o'zgaruvchan bog'liqlik da o'zgaruvchidan x, agar har bir qiymat X bitta qiymatga mos keladi da. o'zgaruvchan X mustaqil o'zgaruvchi yoki argument deb ataladi. o'zgaruvchan da qaram o'zgaruvchi deb ataladi. Mustaqil o'zgaruvchining barcha qiymatlari (o'zgaruvchi x) funksiyaning sohasini hosil qiladi. Tobe o'zgaruvchi qabul qiladigan barcha qiymatlar (o'zgaruvchi y), funksiya diapazonini hosil qiling.

Funktsiya grafigi ular koordinata tekisligining abstsissalari argument qiymatlariga, ordinatalari esa funktsiyaning mos qiymatlariga teng bo'lgan barcha nuqtalar to'plamini, ya'ni qiymatlari deb atashadi. o'zgaruvchi abscissa bo'ylab chiziladi x, va o'zgaruvchining qiymatlari y o'qi bo'ylab chizilgan y. Funksiya grafigini tuzish uchun funksiya xossalarini bilish kerak. Funktsiyaning asosiy xususiyatlari quyida muhokama qilinadi!

Funksiya grafigini chizish uchun dasturimizdan foydalanishni tavsiya qilamiz - Graphing Functions Online. Agar sizda ushbu sahifadagi materialni o'rganishda savollaringiz bo'lsa, ularni har doim bizning forumimizda so'rashingiz mumkin. Shuningdek, forumda sizga matematika, kimyo, geometriya, ehtimollar nazariyasi va boshqa ko'plab fanlardan muammolarni hal qilishda yordam beriladi!

Funksiyalarning asosiy xossalari.

1) Funksiya doirasi va funksiya diapazoni.

Funktsiya doirasi - bu argumentning barcha haqiqiy qiymatlari to'plami x(o'zgaruvchan x) qaysi funktsiya uchun y = f(x) belgilangan.
Funktsiya diapazoni barcha haqiqiy qiymatlar to'plamidir y funksiya qabul qiladi.

Boshlang'ich matematikada funksiyalar faqat haqiqiy sonlar to'plamida o'rganiladi.

2) Funktsiya nollari.

Qiymatlar X, qaysi vaqtda y=0, deyiladi funktsiya nollari. Bular funksiya grafigining x o'qi bilan kesishish nuqtalarining abstsissalari.

3) Funksiyaning belgi doimiyligi intervallari.

Funksiyaning ishora doimiyligi intervallari shunday qiymatlar intervallaridir x, qaysi funktsiyaning qiymatlari y faqat ijobiy yoki faqat salbiy deb ataladi funksiyaning belgi doimiyligi intervallari.

4) Funksiyaning monotonligi.

Ortib boruvchi funktsiya (ba'zi intervalda) - bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kattaroq qiymatiga mos keladigan funktsiya.

Kamayuvchi funktsiya (ba'zi intervalda) - bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kichikroq qiymatiga mos keladigan funktsiya.

5) Juft (toq) funksiyalar.

Juft funksiya deganda aniqlanish sohasi kelib chiqishiga va istalganiga nisbatan simmetrik bo‘lgan funksiya tushuniladi X f(-x) = f(x). Juft funksiya grafigi y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Toq funksiya deganda aniqlanish sohasi kelib chiqishiga va istalganiga nisbatan simmetrik bo‘lgan funksiya tushuniladi X ta'rif sohasidan tenglik f(-x) = - f(x). Toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir.

Hatto funktsiya
1) Ta'rif sohasi (0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrik, ya'ni nuqta bo'lsa. a ta'rif sohasiga, keyin nuqtaga tegishli -a ta'rif sohasiga ham tegishli.
2) Har qanday qiymat uchun x f(-x)=f(x)
3) Juft funksiya grafigi Oy o'qiga nisbatan simmetrikdir.

g'alati funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:
1) Aniqlanish sohasi (0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrikdir.
2) har qanday qiymat uchun x, ta'rif sohasiga tegishli bo'lgan tenglik f(-x)=-f(x)
3) Toq funksiya grafigi koordinata boshiga (0; 0) nisbatan simmetrikdir.

Har bir funktsiya juft yoki toq emas. Funksiyalar umumiy ko'rinish juft ham, toq ham emas.

6) Cheklangan va cheklanmagan funksiyalar.

Funktsiya chegaralangan deb ataladi, agar M musbat soni mavjud bo'lsa, unda |f(x)| x ning barcha qiymatlari uchun ≤ M. Agar bunday raqam bo'lmasa, u holda funksiya cheklanmagan.

7) Funksiyaning davriyligi.

Agar f(x) funksiya davriy bo'lib, agar nolga teng bo'lmagan T soni mavjud bo'lsa, unda funktsiya sohasining istalgan x uchun f(x+T) = f(x) bo'ladi. Bunday eng kichik raqam funktsiya davri deb ataladi. Hammasi trigonometrik funktsiyalar davriydir. (Trigonometrik formulalar).

Funktsiya f Agar biron bir raqam uchun shunday raqam mavjud bo'lsa, davriy deyiladi x ta'rif sohasidan tenglik f(x)=f(x-T)=f(x+T). T funksiyaning davri hisoblanadi.

Har bir davriy funktsiya cheksiz sonli davrlarga ega. Amalda, odatda, eng kichik ijobiy davr hisoblanadi.

Davriy funktsiyaning qiymatlari davrga teng oraliqdan keyin takrorlanadi. Bu grafiklarni chizishda ishlatiladi.