“Y=sinx, y=cosx funksiyalarning davriyligi” darsi. Funksiyani davriylik uchun tekshirish

>> y = sin x, y = cos x funksiyalarning davriyligi

§ 11. y \u003d sin x, y \u003d cos x funksiyalarining davriyligi

Oldingi paragraflarda biz ettita xususiyatdan foydalanganmiz funktsiyalari: ta'rif sohasi, juft yoki toq, monotonlik, chegaralanganlik, eng katta va eng kichik qiymat, uzluksizligi, funksiya diapazoni. Biz bu xususiyatlardan yoki funktsiya grafigini qurish uchun (masalan, 9-bandda) yoki tuzilgan grafikni o'qish uchun (masalan, § 10-da bo'lgani kabi) foydalandik. Endi keldi xayrli daqiqa funksiyalarning yana bitta (sakkizinchi) xossasini joriy qilish, bu yuqorida tuzilganda mukammal ko'rinadi grafikalar y \u003d sin x funktsiyalari (37-rasmga qarang), y \u003d cos x (41-rasmga qarang).

Ta'rif. Funktsiya davriy deyiladi, agar T soni nolga teng bo'lsa, to'plamdagi har qanday x uchun ikki barobar bo'ladi. tenglik:

To'g'ri keladigan T raqami belgilangan shart, y \u003d f (x) funktsiyasining davri deb ataladi.
Bundan kelib chiqadiki, har qanday x uchun tengliklar to'g'ri bo'ladi:

u holda y \u003d sin x, y \u003d cos x funktsiyalari davriy va 2 raqami P ikkala funktsiyaning davri bo'lib xizmat qiladi.
Funktsiyaning davriyligi funksiyalarning va'da qilingan sakkizinchi xossasidir.

Endi y \u003d sin x funktsiyasining grafigiga qarang (37-rasm). Sinusoidni qurish uchun uning to'lqinlaridan birini qurish kifoya (segmentda va keyin bu to'lqinni x o'qi bo'ylab siljitish) Natijada, bitta to'lqin yordamida biz butun grafikni quramiz.

Xuddi shu nuqtai nazardan y \u003d cos x funksiya grafigiga qaraylik (41-rasm). Ko‘ramizki, bu yerda ham grafik chizish uchun avvaliga bitta to‘lqinni (masalan, segmentda) chizish kifoya.

Keyin uni x o'qi bo'ylab harakatlantiring
Xulosa qilib, biz quyidagi xulosaga kelamiz.

Agar y \u003d f (x) funktsiyasi T davriga ega bo'lsa, u holda funktsiya grafigini chizish uchun birinchi navbatda grafikning shoxini (to'lqini, qismi) T uzunligining istalgan oralig'ida chizishingiz kerak (ko'pincha ular nuqtalarda uchlari bo'lgan oraliq va keyin bu filialni x o'qi bo'ylab o'ngga va chapga T, 2T, ZT va boshqalarga siljiting.
Davriy funktsiya cheksiz ko'p davrlarga ega: agar T - davr bo'lsa, 2T - davr, 3T - davr, -T - davr; umuman olganda, davr KT shaklidagi istalgan raqam bo'lib, bu erda k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Odatda, iloji bo'lsa, ular eng kichik ijobiy davrni ajratib ko'rsatishga harakat qilishadi, u asosiy davr deb ataladi.
Shunday qilib, 2pc shaklidagi har qanday raqam, bu erda k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, y \u003d sinn x, y \u003d cos x funktsiyalari davri; 2p - ikkala funktsiyaning asosiy davri.

Misol. Funktsiyaning asosiy davrini toping:

a) T y \u003d sin x funktsiyasining asosiy davri bo'lsin. Keling, qo'ying

T soni funktsiyaning davri bo'lishi uchun Ho identifikatoriga ega bo'lishi kerak, chunki gaplashamiz asosiy davrni topib, biz olamiz
b) y = cos 0,5x funksiyaning bosh davri T bo‘lsin. f(x)=cos 0,5x bo‘lsin. Keyin f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

T soni funksiyaning davri bo'lishi uchun cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x identifikatsiyasi bajarilishi kerak.

Shunday qilib, 0,5t = 2pp. Ammo, biz asosiy davrni topish haqida gapirayotganimiz uchun biz 0,5T = 2 l, T = 4l ni olamiz.

Misolda olingan natijalarni umumlashtirish quyidagi bayonotdir: funktsiyaning asosiy davri

A.G. Mordkovich algebra 10-sinf

Dars mazmuni dars xulosasi qo'llab-quvvatlash ramka dars taqdimoti tezlashtirish usullari interaktiv texnologiyalar Amaliyot topshiriq va mashqlar o'z-o'zini tekshirish seminarlar, treninglar, keyslar, kvestlar uy vazifalarini muhokama qilish savollari talabalar tomonidan ritorik savollar Tasvirlar audio, videokliplar va multimedia fotosuratlar, rasmlar grafikasi, jadvallar, sxemalar hazil, latifalar, hazillar, komikslar, masallar, maqollar, krossvordlar, iqtiboslar Qo'shimchalar tezislar maqolalar, qiziquvchan varaqlar uchun chiplar darsliklar, asosiy va qo'shimcha atamalarning lug'ati Darslik va darslarni takomillashtirishdarslikdagi xatolarni tuzatish darslikdagi parchani yangilash darsdagi innovatsiya elementlarini eskirgan bilimlarni yangilari bilan almashtirish Faqat o'qituvchilar uchun mukammal darslar kalendar rejasi bir yil davomida ko'rsatmalar muhokama dasturlari Integratsiyalashgan darslar

Bir nuqtada markazlashtirilgan A.
α radianlarda ifodalangan burchak.

Ta'rif
Sinus gipotenuza va oyoq orasidagi a burchakka bog'liq trigonometrik funktsiyadir to'g'ri uchburchak, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Kosinus (cos a) gipotenuza va toʻgʻri burchakli uchburchakning oyogʻi orasidagi a burchakka bogʻliq boʻlgan trigonometrik funksiya boʻlib, qoʻshni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Qabul qilingan belgilar

;
;
.

;
;
.

Sinus funksiya grafigi, y = sin x

Kosinus funksiyasining grafigi, y = cos x

Sinus va kosinusning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y= gunoh x va y= chunki x davr bilan davriy 2 pi.

Paritet

Sinus funktsiyasi g'alati. Kosinus funksiyasi juft.

Ta'rif va qadriyatlar sohasi, ekstremal, o'sish, pasayish

Sinus va kosinus funktsiyalari o'z ta'rif sohasi bo'yicha uzluksizdir, ya'ni barcha x uchun (uzluksizlik isbotiga qarang). Ularning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan (n - butun son).

	y= gunoh x	y= chunki x
Qamrov va davomiylik	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Qiymatlar diapazoni	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ko'tarilish
Pastga
Maksimallar, y= 1
Minimum, y = - 1
Nollar, y= 0
Y o'qi bilan kesishish nuqtalari, x = 0	y= 0	y= 1

Asosiy formulalar

Kvadrat sinus va kosinus yig'indisi

Yig'indi va ayirma uchun sinus va kosinus formulalari

;
;

Sinuslar va kosinuslar hosilasi uchun formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

Sinusning kosinus orqali ifodalanishi

;
;
;
.

Kosinusning sinus orqali ifodalanishi

;
;
;
.

Tangens bilan ifodalash

; .

uchun, bizda:
; .

Da :
; .

Sinuslar va kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali

Ushbu jadval argumentning ba'zi qiymatlari uchun sinuslar va kosinuslarning qiymatlarini ko'rsatadi.

Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar

;

Eyler formulasi

Giperbolik funktsiyalar nuqtai nazaridan ifodalar

;
;

Hosilalar

; . Formulalarni chiqarish > > >

n-tartibdagi hosilalar:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Teskari funksiyalar

Teskari funksiyalar sinus va kosinus mos ravishda arksinus va arkkosindir.

Arksin, arksin

Arkkosin, arkkos

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.

T soni shundayki, har qanday x F(x + T) = F(x). Bu T soni funksiyaning davri deb ataladi.

Bir necha davrlar bo'lishi mumkin. Masalan, F = const funktsiyasi argumentning har qanday qiymatlari uchun bir xil qiymatni oladi va shuning uchun har qanday raqamni uning davri deb hisoblash mumkin.

Odatda eng kichigiga qiziqadi nol funktsiya davri. Qisqartirish uchun u oddiygina davr deb ataladi.

Davriy funktsiyalarning klassik misoli trigonometrikdir: sinus, kosinus va tangens. Ularning davri bir xil va 2p ga teng, ya'ni sin(x) = sin(x + 2p) = sin(x + 4p) va hokazo. Biroq, albatta, trigonometrik funktsiyalar- yagona davriy emas.

Oddiylik haqida asosiy funktsiyalar ularning davriyligini yoki davriy emasligini aniqlashning yagona yo'li hisob-kitobdir. Ammo murakkab funktsiyalar uchun allaqachon bir nechta oddiy qoidalar.

Agar F(x) T davri bilan bo‘lsa va uning uchun hosila aniqlangan bo‘lsa, bu hosila f(x) = F′(x) ham davriy funksiya bo‘lib, T davriga ega. x nuqtasi bu nuqtada uning anti hosilasi grafigi tangensining x o'qiga teng bo'ladi va u davriy ravishda takrorlanganligi sababli, u takrorlanishi kerak. Masalan, ning hosilasi gunoh funktsiyalari(x) cos(x) ga teng va u davriydir. cos(x) ning hosilasini olish sizga -sin(x) ni beradi. Davriylik o'zgarishsiz qoladi.

Biroq, buning aksi har doim ham to'g'ri emas. Shunday qilib, f(x) = const funksiya davriy, lekin uning anti hosilasi F(x) = const*x + C emas.

Agar F(x) davriy funktsiya T davri bo'lsa, u holda G(x) = a*F(kx + b), bu erda a, b va k doimiylar va k nolga teng emas - shuningdek davriy funktsiya, va uning davri T/k. Masalan, sin(2x) davriy funksiya va uning davri p. Vizual ravishda buni quyidagicha ifodalash mumkin: x ni qandaydir songa ko'paytirish orqali siz funktsiyalarni gorizontal ravishda bir necha marta siqasiz.

Agar F1(x) va F2(x) davriy funksiyalar bo‘lib, ularning davrlari mos ravishda T1 va T2 ga teng bo‘lsa, bu funksiyalarning yig‘indisi davriy ham bo‘lishi mumkin. Biroq, uning davri T1 va T2 davrlarining oddiy yig'indisi bo'lmaydi. T1/T2 bo'linish natijasi bo'lsa ratsional son, u holda funktsiyalar yig'indisi davriy bo'lib, uning davri T1 va T2 davrlarining eng kichik umumiy karrali (LCM) ga teng. Masalan, agar birinchi funktsiyaning davri 12, ikkinchisining davri 15 bo'lsa, unda ularning yig'indisi davri LCM (12, 15) = 60 bo'ladi.

Vizual ravishda buni quyidagicha ifodalash mumkin: funktsiyalar turli xil "qadam kengliklari" bilan birga keladi, ammo agar ularning kengliklarining nisbati oqilona bo'lsa, u holda erta yoki (aniqrog'i, qadamlar LCM orqali) ular yana tenglashadi va ularning summasi yangi davrni boshlaydi.

Biroq, agar davrlar nisbati , u holda umumiy funktsiya umuman davriy bo'lmaydi. Masalan, F1(x) = x mod 2 (x ning qolgan qismi 2 ga bo'lingan) va F2(x) = sin(x) bo'lsin. Bu erda T1 2 ga, T2 esa 2p ga teng bo'ladi. Davr nisbati p - irratsional son. Shuning uchun sin(x) + x mod 2 funksiyasi davriy emas.

Manbalar:

• Funktsiyalar nazariyasi

Ko'pchilik matematik funktsiyalar ularning qurilishini osonlashtiradigan bir xususiyatga ega - bu davriylik, ya'ni grafikning koordinatalar to'rida muntazam oraliqlarda takrorlanishi.

Ko'rsatma

Matematikaning eng mashhur davriy funktsiyalari sinusoid va kosinus to'lqinidir. Bu funktsiyalar to'lqinsimon va 2P ga teng asosiy davrga ega. Shuningdek, davriy funktsiyaning maxsus holati f(x)=const. Har qanday raqam x pozitsiyasiga mos keladi, bu funktsiyaning asosiy davri yo'q, chunki u to'g'ri chiziqdir.

Umuman olganda, funktsiya davriy bo'lib, agar nolga teng bo'lmagan va f(x)=f(x+N) qoidasini qanoatlantiradigan butun N son bo'lsa, bu takrorlanishini ta'minlaydi. Funktsiyaning davri eng kichik raqam N, lekin nol emas. Ya'ni, masalan, sin x funktsiyasi sin (x + 2PN) funktsiyasiga teng, bu erda N \u003d ± 1, ± 2 va boshqalar.

Ba'zan funksiya ko'paytuvchiga ega bo'lishi mumkin (masalan, sin 2x), bu funktsiyaning davrini oshiradi yoki kamaytiradi. Davrni topish uchun