“Arifmetik progressiya” mavzusi maktablarda 9-sinfda algebra fanining umumiy kursida o‘rganiladi. Bu mavzu raqamlar qatorlari matematikasini yanada chuqurroq o‘rganish uchun muhim ahamiyatga ega. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya, uning farqi, shuningdek, maktab o'quvchilari duch kelishi mumkin bo'lgan odatiy vazifalar bilan tanishamiz.

Algebraik progressiya haqida tushuncha

Raqamli progressiya - bu qandaydir matematik qonun qo'llanilsa, har bir keyingi elementni oldingisidan olish mumkin bo'lgan raqamlar ketma-ketligi. Progressiyaning ikkita oddiy turi mavjud: geometrik va arifmetik, uni algebraik deb ham ataladi. Keling, bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tamiz.

Ba'zi bir ratsional sonni tasavvur qiling, uni a 1 belgisi bilan belgilang, bu erda indeks ko'rib chiqilayotgan qatordagi tartib raqamini ko'rsatadi. Keling, 1 ga boshqa son qo'shamiz, uni d bilan belgilaymiz. Keyin qatorning ikkinchi elementini quyidagicha aks ettirish mumkin: a 2 = a 1 + d. Endi yana d ni qo'shing, biz olamiz: a 3 = a 2 + d. Ushbu matematik operatsiyani davom ettirib, siz arifmetik progressiya deb ataladigan butun bir qator raqamlarni olishingiz mumkin.

Yuqoridagilardan tushunilganidek, ushbu ketma-ketlikning n-elementini topish uchun quyidagi formuladan foydalanish kerak: a n = a 1 + (n-1) * d. Haqiqatan ham, ifodaga n=1 ni qo'yib, biz 1 = a 1 ni olamiz, agar n = 2 bo'lsa, formula shuni anglatadiki: a 2 = a 1 + 1*d va hokazo.

Masalan, arifmetik progressiyaning ayirmasi 5 va a 1 = 1 bo'lsa, bu ko'rib chiqilayotgan turdagi raqamlar qatori quyidagi ko'rinishga ega ekanligini anglatadi: 1, 6, 11, 16, 21, ... Siz kabi. ko'rish mumkin, uning har bir a'zosi oldingisidan 5 taga ko'p.

Arifmetik progressiya farqi formulalari

Ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining yuqoridagi ta'rifidan kelib chiqadiki, uni aniqlash uchun siz ikkita raqamni bilishingiz kerak: a 1 va d. Ikkinchisi bu progressiyaning farqi deb ataladi. Bu butun seriyaning xatti-harakatlarini aniq belgilaydi. Haqiqatan ham, agar d musbat bo'lsa, u holda raqamlar qatori doimiy ravishda o'sib boradi, aksincha, manfiy d holatida seriyadagi raqamlar faqat modul bo'yicha ortadi, ularning mutlaq qiymati esa n sonining ortishi bilan kamayadi.

Arifmetik progressiyaning farqi nimada? Ushbu qiymatni hisoblash uchun ishlatiladigan ikkita asosiy formulani ko'rib chiqing:

1. d = a n+1 -a n, bu formula to'g'ridan-to'g'ri ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining ta'rifidan kelib chiqadi.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), bu ifoda maqolaning oldingi bandida keltirilgan formuladan d ni ifodalash orqali olinadi. E'tibor bering, agar n=1 bo'lsa, bu ifoda noaniq bo'ladi (0/0). Buning sababi shundaki, uning farqini aniqlash uchun seriyaning kamida 2 elementini bilish kerak.

Ushbu ikkita asosiy formulalar progressiya farqini topishning har qanday muammosini hal qilish uchun ishlatiladi. Biroq, siz bilishingiz kerak bo'lgan yana bir formula mavjud.

Birinchi elementlar yig'indisi

Tarixiy dalillarga ko'ra, algebraik progressiyaning istalgan soni a'zolarining yig'indisini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani birinchi marta XVIII asr matematikasining "shahzodasi" Karl Gauss qo'lga kiritgan. Nemis olimi, hali qishloq maktabining boshlang'ich sinflarida o'qiyotganida, 1 dan 100 gacha bo'lgan qatordagi natural sonlarni qo'shish uchun birinchi element va oxirgi elementni yig'ish kerakligini payqagan (natijadagi qiymat teng bo'ladi). oxirgi va ikkinchi, oxirgi va uchinchi elementlarning yig'indisiga va hokazo), so'ngra bu raqamni ushbu summalar soniga, ya'ni 50 ga ko'paytirish kerak.

Muayyan misolda aytilgan natijani aks ettiruvchi formulani ixtiyoriy holatga umumlashtirish mumkin. U quyidagicha ko'rinadi: S n = n/2*(a n + a 1). E'tibor bering, belgilangan qiymatni topish uchun progressiyaning ikkita a'zosi (a n va a 1) ma'lum bo'lsa, d farqini bilish shart emas.

№1 misol. a1 va an qatorlarining ikkita hadini bilib, farqni aniqlang

Biz maqolada yuqorida ko'rsatilgan formulalarni qanday qo'llashni ko'rsatamiz. Oddiy misol keltiraylik: arifmetik progressiyaning farqi noma'lum, agar 13 \u003d -5,6 va 1 \u003d -12,1 bo'lsa, u nimaga teng bo'lishini aniqlash kerak.

Raqamli ketma-ketlikning ikkita elementining qiymatlarini bilganimiz va ulardan biri birinchi raqam bo'lganligi sababli, farqni aniqlash uchun №2 formuladan foydalanishimiz mumkin. Bizda: d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 \u003d 0.54167. Ifodada biz n=13 qiymatidan foydalandik, chunki bu tartib sonli a'zo ma'lum.

Olingan farq, masalaning shartida berilgan elementlarning manfiy qiymatga ega bo'lishiga qaramay, progressiyaning ortib borayotganligini ko'rsatadi. Ko'rinib turibdiki, a 13 >a 1, garchi |a 13 |<|a 1 |.

№2 misol. №1 misoldagi ijobiy progressiya shartlari

Oldingi misolda olingan natijadan yangi masalani yechish uchun foydalanamiz. U quyidagicha tuzilgan: 1-misoldagi progressiyaning elementlari qaysi tartib sondan musbat qiymatlarni qabul qila boshlaydi?

Ko'rsatilgandek, a 1 = -12,1 va d = 0,54167 bo'lgan progressiya ortib bormoqda, shuning uchun ma'lum bir raqamdan raqamlar faqat ijobiy qiymatlarni oladi. Bu n sonni aniqlash uchun oddiy tengsizlikni yechish kerak, u matematik tarzda quyidagicha yoziladi: a n>0 yoki tegishli formuladan foydalanib, tengsizlikni qayta yozamiz: a 1 + (n-1)*d>0. Noma'lum n ni topish kerak, uni ifodalaymiz: n>-1*a 1 /d + 1. Endi farqning ma'lum qiymatlarini va ketma-ketlikning birinchi a'zosini almashtirish qoladi. Biz olamiz: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 yoki n>23,338. n faqat butun son qiymatlarni qabul qilishi mumkinligi sababli, olingan tengsizlikdan 23 dan katta raqamga ega bo'lgan qatorning har qanday hadlari ijobiy bo'ladi.

Ushbu arifmetik progressiyaning 23 va 24-elementlarini hisoblash uchun yuqoridagi formuladan foydalanib javobimizni tekshiramiz. Bizda: 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​0,54167 \u003d -0,18326 (salbiy raqam); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (ijobiy qiymat). Shunday qilib, olingan natija to'g'ri: n=24 dan boshlab, sonlar qatorining barcha a'zolari noldan katta bo'ladi.

№3 misol. Qancha loglar mos keladi?

Mana bir qiziq muammo: kesish paytida quyidagi rasmda ko'rsatilganidek, kesilgan loglarni bir-birining ustiga qo'yishga qaror qilindi. Hammasi bo'lib 10 ta qator sig'ishini bilib, qancha jurnalni shu tarzda yig'ish mumkin?

Jurnallarni yig'ishning bu usulida bitta qiziqarli narsani ko'rish mumkin: har bir keyingi qatorda oldingisidan bitta kamroq log bo'ladi, ya'ni algebraik progressiya mavjud bo'lib, ularning farqi d=1. Har bir satrdagi jurnallar soni ushbu progressiyaning a'zosi deb faraz qilsak, shuningdek, 1 = 1 (faqat bitta jurnal eng yuqori qismiga to'g'ri keladi) ekanligini hisobga olsak, biz a 10 raqamini topamiz. Bizda: 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Ya'ni, erga yotadigan 10-qatorda 10 ta log bo'ladi.

Ushbu "piramidal" konstruktsiyaning umumiy miqdori Gauss formulasi yordamida olinishi mumkin. Biz olamiz: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 ta jurnal.

“Arifmetik progressiya” mavzusi maktablarda 9-sinfda algebra fanining umumiy kursida o‘rganiladi. Bu mavzu raqamlar qatorlari matematikasini yanada chuqurroq o‘rganish uchun muhim ahamiyatga ega. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya, uning farqi, shuningdek, maktab o'quvchilari duch kelishi mumkin bo'lgan odatiy vazifalar bilan tanishamiz.

Algebraik progressiya haqida tushuncha

Raqamli progressiya - bu qandaydir matematik qonun qo'llanilsa, har bir keyingi elementni oldingisidan olish mumkin bo'lgan raqamlar ketma-ketligi. Progressiyaning ikkita oddiy turi mavjud: geometrik va arifmetik, uni algebraik deb ham ataladi. Keling, bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tamiz.

Ba'zi ratsional sonni tasavvur qiling, uni a1 belgisi bilan belgilang, bu erda indeks ko'rib chiqilayotgan qatordagi tartib raqamini ko'rsatadi. a1 ga boshqa son qo'shamiz, uni d deb belgilaymiz. U holda qatorning ikkinchi elementini quyidagicha aks ettirish mumkin: a2 = a1+d. Endi yana d qo'shamiz, biz quyidagilarga erishamiz: a3 = a2+d. Ushbu matematik operatsiyani davom ettirib, siz arifmetik progressiya deb ataladigan butun bir qator raqamlarni olishingiz mumkin.

Yuqoridagilardan tushunilganidek, ushbu ketma-ketlikning n-elementini topish uchun quyidagi formuladan foydalanish kerak: an = a1 + (n-1) * d. Haqiqatan ham, ifodaga n=1 ni qo'yib, a1 = a1 ni olamiz, agar n = 2 bo'lsa, u holda formuladan kelib chiqadi: a2 = a1 + 1*d va hokazo.

Masalan, arifmetik progressiyaning ayirmasi 5 va a1 = 1 bo'lsa, bu ko'rib chiqilayotgan turdagi sonlar qatori quyidagicha ko'rinishini bildiradi: 1, 6, 11, 16, 21, ... Ko'rib turganingizdek , uning har bir a'zosi avvalgisidan 5 taga ko'p.

Arifmetik progressiya farqi formulalari

Ko'rib chiqilayotgan sonlar qatorining yuqoridagi ta'rifidan kelib chiqadiki, uni aniqlash uchun ikkita sonni bilish kerak: a1 va d. Ikkinchisi bu progressiyaning farqi deb ataladi. Bu butun seriyaning xatti-harakatlarini aniq belgilaydi. Haqiqatan ham, agar d musbat bo'lsa, u holda raqamlar qatori doimiy ravishda o'sib boradi, aksincha, manfiy d holatida seriyadagi raqamlar faqat modul bo'yicha ortadi, ularning mutlaq qiymati esa n sonining ortishi bilan kamayadi.

Arifmetik progressiyaning farqi nimada? Ushbu qiymatni hisoblash uchun ishlatiladigan ikkita asosiy formulani ko'rib chiqing:

d = an+1-an, bu formula to'g'ridan-to'g'ri ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining ta'rifidan kelib chiqadi.

d = (-a1+an)/(n-1), bu ifoda maqolaning oldingi bandida berilgan formuladan d ni ifodalash orqali olinadi. E'tibor bering, agar n=1 bo'lsa, bu ifoda noaniq bo'ladi (0/0). Buning sababi shundaki, uning farqini aniqlash uchun seriyaning kamida 2 elementini bilish kerak.

Ushbu ikkita asosiy formulalar progressiya farqini topishning har qanday muammosini hal qilish uchun ishlatiladi. Biroq, siz bilishingiz kerak bo'lgan yana bir formula mavjud.

Birinchi elementlar yig'indisi

Tarixiy dalillarga ko'ra, algebraik progressiyaning istalgan soni a'zolarining yig'indisini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani birinchi marta 18-asr matematikasi "shahzodasi" Karl Gauss qo'lga kiritgan. Nemis olimi, hali qishloq maktabining boshlang'ich sinflarida o'qiyotganida, 1 dan 100 gacha bo'lgan qatordagi natural sonlarni qo'shish uchun birinchi element va oxirgi elementni yig'ish kerakligini payqagan (natijadagi qiymat teng bo'ladi). oxirgi va ikkinchi, oxirgi va uchinchi elementlarning yig'indisiga va hokazo), keyin bu raqamni ushbu summalar soniga, ya'ni 50 ga ko'paytirish kerak.

Muayyan misolda aytilgan natijani aks ettiruvchi formulani ixtiyoriy holatga umumlashtirish mumkin. U quyidagicha ko'rinadi: Sn = n/2*(an+a1). E'tibor bering, belgilangan qiymatni topish uchun progressiyaning ikkita a'zosi (an va a1) ma'lum bo'lsa, d farqini bilish shart emas.

№1 misol. a1 va an qatorlarining ikkita hadini bilib, farqni aniqlang

Biz maqolada yuqorida ko'rsatilgan formulalarni qanday qo'llashni ko'rsatamiz. Oddiy misol keltiramiz: arifmetik progressiyaning farqi noma'lum, a13 = -5,6 va a1 = -12,1 bo'lsa, u nimaga teng bo'lishini aniqlash kerak.

Raqamli ketma-ketlikning ikkita elementining qiymatlarini bilganimiz va ulardan biri birinchi raqam bo'lganligi sababli, farqni aniqlash uchun №2 formuladan foydalanishimiz mumkin. Bizda: d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 \u003d 0.54167. Ifodada biz n=13 qiymatidan foydalandik, chunki bu tartib sonli a'zo ma'lum.

Olingan farq, masalaning shartida berilgan elementlarning manfiy qiymatga ega bo'lishiga qaramay, progressiyaning ortib borayotganligini ko'rsatadi. Ko'rinib turibdiki, a13>a1, garchi |a13|<|a1|.

№2 misol. 1-misoldagi ijobiy progressiya shartlari

Oldingi misolda olingan natijadan yangi masalani yechish uchun foydalanamiz. U quyidagicha tuzilgan: 1-misoldagi progressiyaning elementlari qaysi tartib sondan musbat qiymatlarni qabul qila boshlaydi?

Ko'rsatilgandek, a1 = -12,1 va d = 0,54167 bo'lgan progressiya ortib bormoqda, shuning uchun ma'lum bir raqamdan raqamlar faqat ijobiy qiymatlarni qabul qila boshlaydi. Bu n sonni aniqlash uchun oddiy tengsizlikni yechish kerak, u matematik tarzda quyidagicha yoziladi: an>0 yoki tegishli formuladan foydalanib, tengsizlikni qayta yozamiz: a1 + (n-1)*d>0. Noma'lum n ni topish kerak, uni ifodalaymiz: n>-1*a1/d + 1. Endi farqning ma'lum qiymatlarini va ketma-ketlikning birinchi a'zosini almashtirish qoladi. Biz olamiz: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 yoki n>23,338. n faqat butun son qiymatlarni qabul qilishi mumkinligi sababli, olingan tengsizlikdan 23 dan katta raqamga ega bo'lgan qatorning har qanday hadlari ijobiy bo'ladi.

Keling, ushbu arifmetik progressiyaning 23 va 24-elementlarini hisoblash uchun yuqoridagi formuladan foydalanib, javobimizni tekshiramiz. Bizda: a23=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (salbiy raqam); a24=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (ijobiy qiymat). Shunday qilib, olingan natija to'g'ri: n=24 dan boshlab, sonlar qatorining barcha a'zolari noldan katta bo'ladi.

№3 misol. Qancha loglar mos keladi?

Mana bir qiziq muammo: kesish paytida quyidagi rasmda ko'rsatilganidek, kesilgan loglarni bir-birining ustiga qo'yishga qaror qilindi. Hammasi bo'lib 10 ta qator sig'ishini bilib, qancha jurnalni shu tarzda yig'ish mumkin?

Jurnallarni yig'ishning bu usulida bitta qiziqarli narsani ko'rish mumkin: har bir keyingi qatorda oldingisidan bitta kamroq log bo'ladi, ya'ni algebraik progressiya mavjud bo'lib, ularning farqi d=1. Har bir satrdagi jurnallar soni ushbu progressiyaning a'zosi deb faraz qilsak, shuningdek, a1 = 1 ekanligini hisobga olsak (faqat bitta jurnal eng yuqori qismida joylashgan), biz a10 raqamini topamiz. Bizda: a10 = 1 + 1 * (10-1) = 10. Ya'ni, erga yotadigan 10-qatorda 10 ta log bo'ladi.

Ushbu "piramidal" konstruktsiyaning umumiy miqdori Gauss formulasi yordamida olinishi mumkin. Biz olamiz: S10 = 10/2*(10+1) = 55 log.

Birinchi daraja

Arifmetik progressiya. Misollar bilan batafsil nazariya (2019)

Raqamli ketma-ketlik

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Misol uchun:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va siz xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular). Biz qancha son yozmaylik, ularning qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi ekanligini va shunga o'xshash oxirgisini aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamli ketma-ketlik
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam faqat bitta tartib raqamiga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (-chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli raqam ketma-ketlikning --chi a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,), va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi - bu a'zoning soniga teng indeksli bir xil harf: .

Bizning holatda:

Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlik mavjud.
Misol uchun:

va hokazo.
Bunday sonli ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi.
“Progressiya” atamasi 6-asrdayoq Rim muallifi Boethius tomonidan kiritilgan va kengroq maʼnoda cheksiz sonli ketma-ketlik sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar shug'ullangan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan olingan.

Bu har bir a'zosi oldingisiga teng bo'lgan, bir xil raqam bilan qo'shilgan sonli ketma-ketlikdir. Bu son arifmetik progressiyaning ayirmasi deyiladi va belgilanadi.

Qaysi sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

a)
b)
c)
d)

Tushundim? Javoblarimizni solishtiring:
Bu an arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.

Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning th a'zosining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish usuli.

1. Usul

Progressiya sonining oldingi qiymatiga progressiyaning uchinchi hadiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa yo'qligi yaxshi - faqat uchta qiymat:

Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning --chi a'zosi ga teng.

2. Yo'l

Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Xulosa qilish bizni bir soatdan ko'proq vaqt talab qilgan bo'lardi va raqamlarni qo'shishda xato qilmaganimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar arifmetik progressiyaning farqini oldingi qiymatga qo‘shish shart bo‘lmagan usulni o‘ylab topishdi. Chizilgan rasmga diqqat bilan qarang ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning --chi a'zosining qiymati nimadan iboratligini ko'rib chiqamiz:


Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Ushbu arifmetik progressiya a'zosining qiymatini shu tarzda mustaqil ravishda topishga harakat qiling.

Hisoblanganmi? Yozuvlaringizni javob bilan solishtiring:

E'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya a'zolarini ketma-ket qo'shganda oldingi usuldagi kabi raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - biz uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiyalar ortib boradi yoki kamayadi.

Ortib bormoqda- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan katta bo'lgan progressiyalar.
Misol uchun:

Pastga- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Misol uchun:

Olingan formuladan arifmetik progressiyaning o'suvchi va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda foydalaniladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan:

O'shandan beri:

Shunday qilib, biz formulaning arifmetik progressiyani kamaytirishda ham, oshirishda ham ishlashiga amin bo'ldik.
Ushbu arifmetik progressiyaning --chi va --chi a'zolarini o'zingiz topishga harakat qiling.

Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Arifmetik progressiya xossasi

Keling, vazifani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Bu oson, deysiz va siz allaqachon bilgan formula bo'yicha hisoblashni boshlaysiz:

Keling, a, keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa nima bo'ladi? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formula yordamida bu masalani bir bosqichda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz hozir uni chiqarishga harakat qilamiz.

Arifmetik progressiyaning kerakli atamasini quyidagicha belgilaymiz, biz uni topish formulasini bilamiz - bu biz boshida olingan formuladir:
, keyin:

• progressiyaning oldingi a'zosi:
• progressiyaning keyingi muddati:

Progressiyaning oldingi va keyingi a'zolarini jamlaymiz:

Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi a’zolari yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya a’zosining qiymatidan ikki barobarga teng. Boshqacha aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya a'zosining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.

To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni tuzatamiz. Progressiya qiymatini o'zingiz hisoblang, chunki bu umuman qiyin emas.

Barakalla! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" - Karl Gauss o'zi uchun osonlikcha xulosa qilgan yagona formulani topish qoladi ...

Karl Gauss 9 yoshga to'lganida, o'qituvchi boshqa sinf o'quvchilarining ishini tekshirish bilan mashg'ul bo'lib, darsda quyidagi vazifani qo'ydi: "Barcha natural sonlarning yig'indisini (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuzivgacha hisoblang. " Bir daqiqadan so'ng uning shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss edi) topshiriqga to'g'ri javob berganida, o'qituvchini ajablantiradigan narsa bo'lsa, jasur sinfdoshlarining ko'pchiligi uzoq hisob-kitoblardan so'ng noto'g'ri natija olishdi ...

Yosh Karl Gauss siz osongina sezishingiz mumkin bo'lgan naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda -ti a'zolaridan iborat arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning berilgan a'zolari yig'indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, lekin Gauss izlayotganidek, topshiriqda uning shartlari yig'indisini topish kerak bo'lsa-chi?

Keling, bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarga diqqat bilan qarang va ular bilan turli matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling.


Sinab ko'rdingizmi? Nimani sezdingiz? To'g'ri! Ularning miqdori teng

Endi javob bering, bizga berilgan progressiyada shunday juftliklar nechta bo'ladi? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita a'zosining yig'indisi teng va shunga o'xshash teng juftliklarga asoslanib, biz umumiy yig'indiga teng ekanligini olamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi:

Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin progressiyaning farqini bilamiz. Yig'indi formulasida th a'zosining formulasini qo'yishga harakat qiling.
Nima oldingiz?

Barakalla! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: o'zingiz hisoblab ko'ring --dan boshlanadigan sonlar yig'indisi va --dan boshlanadigan sonlar yig'indisi.

Qancha oldingiz?
Gauss hadlar yig'indisi teng, va hadlar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?

Darhaqiqat, arifmetik progressiyaning a'zolari yig'indisi formulasini qadimgi yunon olimi Diofant 3-asrda isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan kuchli va asosiy bilan foydalanganlar.
Misol uchun, Qadimgi Misr va o'sha davrdagi eng yirik qurilish maydonchasi - piramida qurilishini tasavvur qiling ... Rasmda uning bir tomoni ko'rsatilgan.

Bu yerda taraqqiyot qayerda deysiz? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping.


Nega arifmetik progressiya emas? Agar poydevorga blokli g'isht qo'yilgan bo'lsa, bitta devor qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirib hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?

Bunday holda, jarayon quyidagicha ko'rinadi:
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiyaning a'zolari soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (biz bloklar sonini 2 usulda hisoblaymiz).

1-usul.

2-usul.

Va endi siz monitorda ham hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Bu rozi bo'ldimi? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning uchinchi hadlari yig'indisini o'zlashtirib oldingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin undanmi? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:

Trening

Vazifalar:

1. Masha yoz uchun formaga tushmoqda. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Agar Masha birinchi mashg'ulotda chayqalsa, haftada necha marta cho'kadi.
2. Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
3. Jurnallarni saqlashda yog'och ishlab chiqaruvchilar ularni shunday qilib yig'adilarki, har bir yuqori qatlam oldingisiga qaraganda bitta kamroq logni o'z ichiga oladi. Agar toshning asosi loglar bo'lsa, bitta devorda qancha log bor.

Javoblar:

1. Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
   (hafta = kunlar).

   Javob: Ikki hafta ichida Masha kuniga bir marta chayqalishi kerak.

2. Birinchi toq raqam, oxirgi raqam.
   Arifmetik progressiya farqi.
   Toq sonlar soni - yarmida, ammo bu faktni arifmetik progressiyaning --chi a'zosini topish formulasi yordamida tekshiring:

   Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
   Biz mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

   Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlar yig'indisi ga teng.

3. Piramidalar haqidagi muammoni eslang. Bizning holatlarimiz uchun a , har bir yuqori qatlam bir jurnalga qisqartirilganligi sababli, faqat bir guruh qatlamlar mavjud, ya'ni.
   Formuladagi ma'lumotlarni almashtiring:

   Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.

Xulosa qilish

1. - qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlik. U ortib bormoqda va kamaymoqda.
2. Formulani topish arifmetik progressiyaning th a'zosi - formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
3. Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu yerda - progressiyadagi sonlar soni.
4. Arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi ikki shaklda topish mumkin:
   
   , bu yerda qiymatlar soni.

ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI

Raqamli ketma-ketlik

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Misol uchun:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin siz har doim ulardan qaysi biri birinchi, qaysi ikkinchi va hokazo, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.

Raqamli ketma-ketlik raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son bilan bog'lanishi mumkin va faqat bitta. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.

Raqamli raqam ketma-ketlikning --chi a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,), va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi - bu a'zoning soniga teng indeksli bir xil harf: .

Ketma-ketlikning --chi a'zosi qandaydir formula bilan berilishi juda qulay. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formula quyidagi ketma-ketlikda:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng va farq). Yoki (, farq).

n-sonli formula

Biz takroriy formulani chaqiramiz, unda --chi atamani bilish uchun oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:

Masalan, bunday formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun biz oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak. Masalan, keling. Keyin:

Xo'sh, endi formula nima ekanligi aniqmi?

Har bir satrda biz qo'shamiz, ba'zi bir raqamga ko'paytiramiz. Nima uchun? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:

Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:

O'zingiz qaror qiling:

Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.

Yechim:

Birinchi a'zo teng. Va qanday farq bor? Va mana nima:

(Axir u progressiyaning ketma-ket a'zolari ayirmasiga teng bo'lgani uchun farq deyiladi).

Shunday qilib, formula:

Keyin yuzinchi had:

dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nimaga teng?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi sonning yig'indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi sonning yig'indisi bir xil ekanligini, oxiridan uchinchi va uchinchi sonning yig'indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar nechta? To'g'ri, barcha raqamlarning yarmi soni, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig‘indisining umumiy formulasi quyidagicha bo‘ladi:

Misol:
Barcha ikki xonali karralilarning yig‘indisini toping.

Yechim:

Birinchi bunday raqam bu. Har bir keyingi raqam oldingisiga raqam qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va farq bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.

Ushbu progressiyaning uchinchi hadi formulasi:

Progressiyada nechta had bor, agar ularning hammasi ikki xonali bo‘lishi kerak?

Juda oson: .

Progressiyaning oxirgi muddati teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob: .

Endi o'zingiz qaror qiling:

1. Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda 1 m ko'proq yuguradi. Agar birinchi kuni km m ga yugursa, u haftada necha kilometr yuguradi?
2. Velosipedchi har kuni oldingisiga qaraganda ko'proq mil yuradi. Birinchi kuni u km yo'l bosib o'tdi. Bir kilometrni bosib o‘tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatning oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
3. Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda kamayadi. Agar sotuvga rublga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan so'ng u rublga sotilgan bo'lsa, muzlatgich narxi har yili qanchaga tushganini aniqlang.

Javoblar:

1. Bu erda eng muhim narsa arifmetik progressiyani tan olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kunlar). Ushbu progressiyaning birinchi shartlari yig'indisini aniqlashingiz kerak:
   .
   Javob:
2. Bu erda berilgan:, topish kerak.
   Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
   .
   Qiymatlarni almashtiring:

   Ildiz aniq mos kelmaydi, shuning uchun javob.
   Oxirgi kun davomida bosib o‘tgan masofani --chi a’zo formulasi yordamida hisoblaymiz:
   (km).
   Javob:

3. Berilgan: . Topmoq: .
   Bu osonlashmaydi:
   (rub).
   Javob:

ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlikdir.

Arifmetik progressiya ortib bormoqda () va kamaymoqda ().

Misol uchun:

Arifmetik progressiyaning n-azosini topish formulasi

formula sifatida yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi

Bu progressiyaning a'zosini topishni osonlashtiradi, agar uning qo'shni a'zolari ma'lum bo'lsa - progressiyadagi sonlar soni qayerda.

Arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi

Yig'indini topishning ikki yo'li mavjud:

Qaerda qiymatlar soni.

Qaerda qiymatlar soni.

Ko'rsatma

Arifmetik progressiya a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ko‘rinishdagi ketma-ketlikdir. d raqami qadam progressiyalar.Shubhasiz, arifmetikaning ixtiyoriy n-chi hadi yig'indisi progressiyalar shaklga ega: An = A1+(n-1)d. Keyin a'zolardan birini bilish progressiyalar, a'zo progressiyalar va qadam progressiyalar, bo'lishi mumkin, ya'ni progressiya hadining soni. Shubhasiz, u n = (An-A1+d)/d formulasi bilan aniqlanadi.

Endi m-soni ma'lum bo'lsin progressiyalar va boshqa a'zolar progressiyalar- n-th, lekin n , oldingi holatda bo'lgani kabi, lekin ma'lumki, n va m mos kelmaydi.Step progressiyalar formula bilan hisoblash mumkin: d = (An-Am)/(n-m). Keyin n = (An-Am+md)/d.

Agar arifmetikaning bir nechta elementlari yig'indisi bo'lsa progressiyalar, shuningdek, uning birinchi va oxirgi , keyin bu elementlarning sonini ham aniqlash mumkin.Arifmetik yig'indisi progressiyalar teng bo'ladi: S = ((A1+An)/2)n. U holda n = 2S/(A1+An) chdenovdir progressiyalar. An = A1+(n-1)d ekanligidan foydalanib, bu formulani quyidagicha qayta yozish mumkin: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Bundan kvadrat tenglamani yechish orqali n ni ifodalash mumkin.

Arifmetik ketma-ketlik shunday tartiblangan raqamlar to'plami bo'lib, ularning har bir a'zosi, birinchisidan tashqari, oldingisidan bir xil miqdorda farq qiladi. Bu doimiy progressiya yoki uning qadamining ayirmasi deb ataladi va arifmetik progressiyaning ma'lum a'zolaridan hisoblanishi mumkin.

Ko'rsatma

Agar birinchi va ikkinchi yoki boshqa qo'shni shartlarning qiymatlari masala shartlaridan ma'lum bo'lsa, farqni (d) hisoblash uchun keyingi haddan oldingi hadni ayirish kifoya. Olingan qiymat ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin - bu progressiyaning ortib borayotganiga bog'liq. Umumiy shaklda progressiyaning qo'shni a'zolarining ixtiyoriy juftligi (aᵢ va aᵢ₊₁) uchun yechimni quyidagicha yozing: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Bunday progressiyaning bittasi birinchi (a₁), ikkinchisi esa ixtiyoriy tanlangan boshqa juft a'zolar uchun ayirma (d) ni topish formulasini ham tuzish mumkin. Biroq, bu holda, ketma-ketlikning o'zboshimchalik bilan tanlangan a'zosining seriya raqami (i) ma'lum bo'lishi kerak. Farqni hisoblash uchun ikkala raqamni qo'shing va natijani bittaga qisqartirilgan ixtiyoriy atamaning tartib raqamiga bo'ling. Umuman olganda, bu formulani quyidagicha yozing: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Agar tartib raqami i bo‘lgan arifmetik progressiyaning ixtiyoriy a’zosidan tashqari, tartib raqami u bo‘lgan boshqa a’zosi ma’lum bo‘lsa, avvalgi bosqichdagi formulani shunga mos ravishda o‘zgartiring. Bunday holda, progressiyaning farqi (d) bu ikki hadning yig'indisi ularning tartib raqamlari farqiga bo'linadi: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Farqni (d) hisoblash formulasi, agar masala sharoitida uning birinchi a'zosining qiymati (a₁) va berilgan sonning (i) birinchi a'zolarining yig'indisi (Sᵢ) bo'lsa, biroz murakkablashadi. arifmetik ketma-ketlik berilgan. Kerakli qiymatni olish uchun yig'indini uni tashkil etgan shartlar soniga bo'ling, ketma-ketlikdagi birinchi raqamning qiymatini ayirib, natijani ikki baravar oshiring. Olingan qiymatni bittaga kamaytirilgan yig'indini tashkil etgan shartlar soniga bo'ling. Umuman olganda, diskriminantni hisoblash formulasini quyidagicha yozing: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Masalan, ketma-ketlik \(2\); \(besh\); \(8\); \(o'n bir\); \(14\)… arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uchga farq qiladi (oldingi elementdan uchta qoʻshish orqali olinishi mumkin):

Ushbu progressiyada \(d\) farq ijobiy (\(3\) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Biroq, \(d\) manfiy son ham bo'lishi mumkin. Misol uchun, arifmetik progressiyada \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progressiya farqi \(d\) minus oltiga teng.

Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.

Arifmetik progressiya belgilari

Progression kichik lotin harfi bilan belgilanadi.

Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar).

Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element raqamiga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) elementlaridan iborat; \(a_2=5\); \(a_3=8\) va hokazo.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\o'ng\)\)

Arifmetik progressiyaga oid masalalar yechish

Aslida, yuqoridagi ma'lumotlar arifmetik progressiya bo'yicha deyarli har qanday muammoni hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(b_1=7; d=4\) shartlar bilan beriladi. \(b_5\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_5=23\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \(62; 49; 36…\) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping.
Yechim:

	Bizga ketma-ketlikning birinchi elementlari berilgan va bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shnisidan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan oldingisini ayirish orqali qaysi biri ekanligini aniqlang: \(d=49-62=-13\).
	Endi biz kerakli (birinchi salbiy) elementga o'tishimizni tiklashimiz mumkin.
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \(...5; x; 10; 12,5...\) \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.
Yechim:

	\(x\) ni topish uchun keyingi element oldingisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda progressiya farqini bilishimiz kerak. Uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topamiz: \(d=12,5-10=2,5\).
	Va endi biz izlayotgan narsani muammosiz topamiz: \(x=5+2,5=7,5\).
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Progressiyaning dastlabki olti hadining yig'indisini topishimiz kerak. Lekin biz ularning ma'nolarini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, biz birinchi navbatda bizga berilgan qiymatlardan foydalanib, qiymatlarni hisoblaymiz: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Va bizga kerak bo'lgan oltita elementni hisoblab, ularning yig'indisini topamiz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Soʻralgan miqdor topildi.

Javob: \(S_6=9\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu progressiyaning farqini toping.
Yechim:

Javob: \(d=7\).

Muhim arifmetik progressiya formulalari

Ko'rib turganingizdek, ko'plab arifmetik progressiya muammolarini asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi oldingisiga bir xil sonni qo'shish orqali olinadi (farq progressiyaning).

Biroq, ba'zida "peshonada" hal qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \(b_5\) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \(b_(386)\) ni topishimiz kerak. Bu nima, biz \ (385 \) marta to'rtta qo'shamiz? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Hisoblash chalkash...

Shuning uchun, bunday hollarda, ular "peshonada" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Eng asosiylari esa progressiyaning n-chi hadi formulasi va birinchi hadlar yig‘indisi \(n\) formulasidir.

\(n\)-chi a'zo uchun formula: \(a_n=a_1+(n-1)d\), bu erda \(a_1\) progressiyaning birinchi a'zosi;
\(n\) - kerakli elementning soni;
\(a_n\) - \(n\) sonli progressiya a'zosi.

Bu formula bizga faqat birinchi va progressiya farqini bilgan holda kamida uch yuzinchi, hatto millioninchi elementni tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_(246)=1850\).

Birinchi n ta hadning yig'indisi formulasi: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), bu yerda

\(a_n\) - oxirgi yig'ilgan atama;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(a_n=3,4n-0,6\) shartlar bilan berilgan. Bu progressiyaning birinchi \(25\) hadlarining yig‘indisini toping.
Yechim:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Birinchi yigirma besh elementning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi muddatning qiymatini bilishimiz kerak. Bizning progressiyamiz uning soniga qarab n-sonning formulasi bilan beriladi (batafsilroq qarang). Birinchi elementni \(n\) ni bitta bilan almashtirib hisoblaymiz.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Endi \(n\) o'rniga yigirma beshni qo'yib, yigirma beshinchi hadni topamiz.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Xo'sh, endi biz hech qanday muammosiz kerakli miqdorni hisoblaymiz.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(25)=1090\).

Birinchi shartlarning \(n\) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: shunchaki \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) oʻrniga \(a_n\) formulasini qoʻying \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz olamiz:

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), bu yerda

\(S_n\) - birinchi elementlarning kerakli summasi \(n\);
\(a_1\) - yig'iladigan birinchi atama;
\(d\) – progressiya farqi;
\(n\) - yig'indidagi elementlar soni.

Misol. Arifmetik progressiyaning birinchi \(33\)-ex hadlari yig'indisini toping: \(17\); \(15,5\); \(o'n to'rt\)…
Yechim:

Javob: \(S_(33)=-231\).

Murakkab arifmetik progressiya masalalari

Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Keling, mavzuni nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqaylik (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)

Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Yechim:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Biz ham xuddi shunday yechishni boshlaymiz: avval \(d\) ni topamiz.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Endi biz yig'indi formulasiga \(d\) ni qo'yamiz ... va bu erda kichik nuance paydo bo'ladi - biz \(n\) ni bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha atama qo'shish kerakligini bilmaymiz. Qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Birinchi ijobiy elementga kelganimizda elementlarni qo'shishni to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini topishingiz kerak. Qanday? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash formulasini yozamiz: bizning holatimiz uchun \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Bizga \(a_n\) noldan katta bo'lishi kerak. Keling, \(n\) nima bo'lishini bilib olaylik.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Tengsizlikning ikkala tomonini \(0,3\) ga ajratamiz.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Biz minus birini o'tkazamiz, belgilarni o'zgartirishni unutmaymiz
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Hisoblash...
\(n>65 333…\)		...va birinchi ijobiy element \(66\) raqamiga ega bo'lishi ma'lum bo'ldi. Shunga ko'ra, oxirgi salbiy \(n=65\) ga ega. Har holda, keling, buni tekshirib ko'ramiz.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Shunday qilib, biz birinchi \(65\) elementlarni qo'shishimiz kerak.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(65)=-630,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-chi elementdan \(42\) gacha boʻlgan miqdorni toping.
Yechim:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu masalada siz elementlarning yig'indisini ham topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, balki \(26\)-dan boshlab. Bizda buning formulasi yo'q. Qanday qaror qilish kerak? Oson - \(26\)-dan \(42\)-gacha bo'lgan yig'indini olish uchun avval \(1\)-dan \(42\)gacha bo'lgan summani topib, so'ngra undan yig'indini ayirish kerak. birinchidan \ (25 \) th (rasmga qarang).
	Bizning progressiyamiz uchun \(a_1=-33\) va farq \(d=4\) (oxir-oqibat, keyingi elementni topish uchun oldingi elementga to'rtta qo'shamiz). Buni bilib, biz birinchi \(42\)-uh elementlarning yig'indisini topamiz.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Endi birinchi \(25\)-chi elementlarning yig'indisi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Javob: \(S=1683\).

Arifmetik progressiya uchun biz ushbu maqolada ko'rib chiqmagan yana bir nechta formulalar mavjud, chunki ularning amaliy foydasi past. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.