Pi munosabati. Ilm-fandan boshlang

Butun dunyodagi matematiklar har yili 14 martda bir bo'lak kek yeyishadi - axir, bu Pi kuni, eng mashhur irratsional son. Bu sana bevosita birinchi raqamlari 3.14 bo'lgan raqamga bog'liq. Pi - aylana aylanasining diametriga nisbati. U mantiqsiz bo'lgani uchun uni kasr shaklida yozish mumkin emas. Bu cheksiz uzun raqam. U ming yillar oldin kashf etilgan va o'sha vaqtdan beri doimiy ravishda o'rganilib kelinmoqda, ammo Pi ning sirlari qolganmi? Qadimgi kelib chiqishidan noaniq kelajakka qadar, bu erda pi haqida eng qiziqarli faktlar mavjud.

Pi.ni yodlash

O'nli kasrdan keyin raqamlarni eslab qolish bo'yicha rekord 70 000 ta raqamni eslab qolishga muvaffaq bo'lgan hindistonlik Rajvir Meenaga tegishli - u 2015 yil 21 martda rekord o'rnatgan. Bungacha rekordchi xitoylik Chao Lu bo'lib, u 67 890 ta raqamni yod olishga muvaffaq bo'lgan - bu rekord 2005 yilda o'rnatilgan. Norasmiy rekordchi Akira Xaraguchi bo'lib, u 2005 yilda 100 000 ta raqamni takrorlashni videoga olgan va yaqinda 117 000 raqamni eslab qolishga muvaffaq bo'lgan videoni joylashtirgan. Agar ushbu video Ginnesning rekordlar kitobi vakili ishtirokida yozilgan bo'lsa, rasmiy rekord bo'ladi va tasdiqlanmagan holda bu faqat ta'sirli fakt bo'lib qoladi, lekin yutuq hisoblanmaydi. Matematika ishqibozlari Pi sonini yod olishni yaxshi ko'radilar. Ko'p odamlar har bir so'zdagi harflar soni pi bilan bir xil bo'lgan she'r kabi turli xil mnemonik usullardan foydalanadilar. Har bir tilda bunday iboralarning o'ziga xos variantlari mavjud bo'lib, ular dastlabki bir necha raqamlarni ham, butun yuzni ham eslab qolishga yordam beradi.

Pi tili mavjud

Adabiyotdan hayratda qolgan matematiklar barcha so'zlardagi harflar soni Pi raqamlariga aniq tartibda to'g'ri keladigan dialektni ixtiro qildilar. Yozuvchi Mayk Keyt hatto butunlay Pi tilida yozilgan “Not a Wake” kitobini ham yozgan. Bunday ijodkorlik ishqibozlari o'z asarlarini harflar soniga va raqamlarning ma'nosiga to'liq mos ravishda yozadilar. Bu amaliy qo'llanmaga ega emas, lekin g'ayratli olimlar doiralarida juda keng tarqalgan va taniqli hodisa.

Eksponensial o'sish

Pi - cheksiz son, shuning uchun odamlar, ta'rifiga ko'ra, bu raqamning aniq raqamlarini hech qachon aniqlay olmaydilar. Biroq, o'nli kasrdan keyingi raqamlar soni Pi dan birinchi foydalanishdan beri sezilarli darajada oshdi. Hatto Bobilliklar ham undan foydalanganlar, lekin ular uchun uch va sakkizdan bir qismi etarli edi. Xitoyliklar va Eski Ahdni yaratuvchilar butunlay uchtasi bilan cheklangan edi. 1665 yilga kelib ser Isaak Nyuton pi ning 16 ta raqamini hisoblab chiqdi. 1719 yilga kelib frantsuz matematigi Tom Fante de Lagni 127 ta raqamni hisoblab chiqdi. Kompyuterlarning paydo bo'lishi insonning Pi haqidagi bilimlarini tubdan yaxshiladi. 1949 yildan 1967 yilgacha insoniyatga ma'lum bo'lgan raqamlar soni 2037 yildan 500 000 gacha ko'tarildi.Yaqinda shveytsariyalik olim Piter Trueb Pi ning 2,24 trillion raqamini hisoblay oldi! Bu 105 kun davom etdi. Albatta, bu chegara emas. Ehtimol, texnologiya rivojlanishi bilan yanada aniqroq raqamni o'rnatish mumkin bo'ladi - Pi cheksiz bo'lgani uchun aniqlik uchun shunchaki chegara yo'q va faqat kompyuter texnologiyasining texnik xususiyatlari uni cheklashi mumkin.

Pi ni qo'lda hisoblash

Agar siz raqamni o'zingiz topmoqchi bo'lsangiz, eski uslubdan foydalanishingiz mumkin - sizga o'lchagich, kavanoz va ip kerak bo'ladi, shuningdek, transportyor va qalamdan foydalanishingiz mumkin. Kavanozni ishlatishning salbiy tomoni shundaki, u yumaloq bo'lishi kerak va aniqlik odamning arqonni qanchalik yaxshi o'rashi bilan belgilanadi. Protraktor bilan aylana chizish mumkin, lekin bu ham mahorat va aniqlikni talab qiladi, chunki notekis doira sizning o'lchovlaringizni jiddiy ravishda buzishi mumkin. Aniqroq usul geometriyadan foydalanishni o'z ichiga oladi. Doirani pizza bo'laklari kabi ko'plab segmentlarga bo'ling va keyin har bir segmentni teng yonli uchburchakka aylantiradigan to'g'ri chiziq uzunligini hisoblang. Tomonlar yig'indisi taxminan pi sonini beradi. Qanchalik ko'p segmentlardan foydalansangiz, raqam shunchalik aniq bo'ladi. Albatta, hisob-kitoblaringizda siz kompyuter natijalariga yaqinlasha olmaysiz, shunga qaramay, bu oddiy tajribalar Pi ning umuman nima ekanligini va matematikada qanday qo'llanilishini batafsilroq tushunishga imkon beradi.

Pi ning kashfiyoti

Qadimgi bobilliklar Pi sonining mavjudligi haqida to'rt ming yil oldin bilishgan. Bobil planshetlari Pi ni 3,125 deb hisoblaydi, Misr matematik papirusida esa 3,1605 raqami mavjud. Bibliyada Pi soni eskirgan uzunlikda - tirsaklarda berilgan va yunon matematigi Arximed Pi ni tasvirlash uchun Pifagor teoremasidan foydalangan, uchburchak tomonlari uzunligi va maydonining geometrik nisbati. \u200doira ichidagi va tashqarisidagi raqamlar. Shunday qilib, Pi - eng qadimiy matematik tushunchalardan biri deb aytish mumkin, garchi bu raqamning aniq nomi nisbatan yaqinda paydo bo'lgan.

Pi haqida yangi fikr

Pi doiralar bilan bog'liq bo'lishidan oldin ham, matematiklar bu raqamni nomlashning ko'p usullariga ega edilar. Misol uchun, qadimgi matematika darsliklarida lotin tilida iborani topish mumkin, bu iborani taxminan "diametrni unga ko'paytirganda uzunlikni ko'rsatadigan miqdor" deb tarjima qilish mumkin. Irratsional son shveytsariyalik olim Leonhard Eyler 1737 yilda trigonometriya bo'yicha ishida foydalanganida mashhur bo'ldi. Biroq, pi uchun yunoncha belgi hali ham ishlatilmagan - bu faqat taniqli matematik Uilyam Jonsning kitobida sodir bo'lgan. U buni 1706 yildayoq ishlatgan, ammo u uzoq vaqt e'tibordan chetda qolgan. Vaqt o'tishi bilan olimlar bu nomni qabul qilishdi va endi bu ismning eng mashhur versiyasidir, garchi ilgari u Ludolf raqami deb ham atalgan.

Pi normalmi?

Pi soni shubhasiz g'alati, lekin u qanday qilib oddiy matematik qonunlarga bo'ysunadi? Olimlar allaqachon bu mantiqsiz raqam bilan bog'liq ko'plab savollarni hal qilishgan, ammo ba'zi sirlar saqlanib qolgan. Misol uchun, barcha raqamlar qanchalik tez-tez ishlatilishi ma'lum emas - 0 dan 9 gacha bo'lgan raqamlar teng nisbatda ishlatilishi kerak. Biroq, statistik ma'lumotlarni birinchi trillion raqamlar uchun kuzatish mumkin, ammo bu raqam cheksiz bo'lgani uchun hech narsani aniq isbotlab bo'lmaydi. Olimlar haligacha e'tibordan chetda qolgan boshqa muammolar ham bor. Ilm-fanning keyingi rivojlanishi ularga oydinlik kiritishga yordam berishi mumkin, ammo hozirda bu inson aql-zakovati chegarasidan tashqarida qolmoqda.

Pi ilohiy eshitiladi

Olimlar Pi soni haqidagi ba'zi savollarga javob bera olmaydilar, ammo har yili ular uning mohiyatini yaxshiroq tushunadilar. XVIII asrda bu raqamning mantiqsizligi isbotlangan. Bundan tashqari, bu raqam transsendental ekanligi isbotlangan. Bu shuni anglatadiki, ratsional sonlar yordamida pi ni hisoblash imkonini beradigan aniq formula yo'q.

Pi dan norozilik

Ko'pgina matematiklar oddiygina Pini yaxshi ko'rishadi, ammo bu raqamlarning alohida ahamiyati yo'q deb hisoblaydiganlar ham bor. Bundan tashqari, ular Pi dan ikki baravar katta bo'lgan Tau raqamini irratsional raqam sifatida ishlatish qulayroq ekanligini ta'kidlaydilar. Tau aylana va radius o'rtasidagi munosabatni ko'rsatadi, ba'zilarga ko'ra, hisoblashning mantiqiy usulini ifodalaydi. Biroq, bu masalada aniq hech narsani aniqlab bo'lmaydi va bir va boshqa raqam har doim tarafdorlarga ega bo'ladi, ikkala usul ham yashash huquqiga ega, shuning uchun bu shunchaki qiziq fakt va siz buni qilmaslik kerak deb o'ylash uchun sabab emas. Pi raqamidan foydalaning.

Pi soni nima biz maktabdan bilamiz va eslaymiz. Bu 3,1415926 ga teng va hokazo... Oddiy odam bu raqamni aylana aylanasini diametriga bo'lish orqali olishini bilish kifoya. Ammo ko'pchilik Pi sonining nafaqat matematika va geometriyada, balki fizikada ham kutilmagan sohalarda paydo bo'lishini biladi. Xo'sh, agar siz ushbu raqamning tabiati tafsilotlarini o'rgansangiz, cheksiz raqamlar qatori orasida juda ko'p kutilmagan hodisalarni ko'rishingiz mumkin. Pi koinotning eng chuqur sirlarini yashirishi mumkinmi?

Cheksiz son

Pi sonining o'zi bizning dunyomizda diametri birga teng bo'lgan doira uzunligi sifatida paydo bo'ladi. Biroq, Pi ga teng segment juda cheklangan bo'lishiga qaramay, Pi soni 3,1415926 dan boshlanadi va hech qachon takrorlanmaydigan raqamlar qatorida cheksizlikka boradi. Birinchi ajablanarli fakt shundaki, geometriyada qo'llaniladigan bu sonni butun sonlarning bir qismi sifatida ifodalab bo'lmaydi. Boshqacha qilib aytganda, siz uni ikkita a/b sonning nisbati sifatida yoza olmaysiz. Bundan tashqari, Pi soni transsendentaldir. Bu shuni anglatadiki, butun sonli koeffitsientli bunday tenglama (polinom) yo'q, uning yechimi Pi bo'ladi.

Pi sonining transsendent ekanligi 1882 yilda nemis matematigi fon Lindeman tomonidan isbotlangan. Aynan shu dalil kompas va o'lchagich yordamida maydoni berilgan doiraning maydoniga teng bo'lgan kvadrat chizish mumkinmi degan savolga javob bo'ldi. Bu muammo qadim zamonlardan beri insoniyatni tashvishga solib kelgan aylananing kvadratini izlash deb nomlanadi. Aftidan, bu muammoning oddiy yechimi bor va hozir oshkor bo'lish arafasida edi. Lekin bu pi ning tushunarsiz xossasi bo'lib, aylanani kvadratga solish muammosi yechimi yo'qligini ko'rsatdi.

Kamida to'rt yarim ming yil davomida insoniyat pi ning tobora aniqroq qiymatini olishga harakat qilmoqda. Masalan, Injilning 1-chi Shohlar kitobidagi (7:23) pi soni 3 ga teng qabul qilingan.

Aniqligi bilan ajoyib, Pi qiymatini Giza piramidalarida topish mumkin: piramidalarning perimetri va balandligi nisbati 22/7 ni tashkil qiladi. Bu kasr Pi ning taxminiy qiymatini beradi, 3,142 ga teng ... Agar, albatta, misrliklar tasodifan bunday nisbatni o'rnatmasalar. Pi sonini hisoblashda xuddi shunday qiymat miloddan avvalgi III asrda buyuk Arximed tomonidan olingan.

Miloddan avvalgi 1650 yilga oid qadimgi Misr matematika darsligi Ahmes papirusida Pi 3,160493827 deb hisoblanadi.

Miloddan avvalgi 9-asr atrofidagi qadimgi hind matnlarida eng aniq qiymat 3,1388 ga teng bo'lgan 339/108 raqami bilan ifodalangan ...

Arximeddan keyin deyarli ikki ming yil davomida odamlar pi hisoblash usullarini topishga harakat qilishdi. Ular orasida mashhur va noma'lum matematiklar ham bor edi. Masalan, Rim arxitektori Mark Vitruviy Pollio, misrlik astronom Klavdiy Ptolemey, xitoylik matematigi Lyu Xuy, hind donishmasi Ariabxata, Fibonachchi nomi bilan mashhur bo‘lgan o‘rta asr matematigi Leonardo Pizalik, arab olimi Al-Xorazmiy nomidan kelib chiqqan. "algoritm" paydo bo'ldi. Ularning barchasi va boshqa ko'plab odamlar Pi ni hisoblashning eng aniq usullarini izlashdi, ammo 15-asrga qadar hisob-kitoblarning murakkabligi tufayli ular kasrdan keyin 10 dan ortiq raqamni olishmadi.

Nihoyat, 1400 yilda hind matematigi Madhava Sangamagramdan Pi ni 13 ta raqamgacha aniqlik bilan hisoblab chiqdi (garchi u oxirgi ikkitasida ham xato qilgan bo'lsa ham).

Belgilar soni

17-asrda Leybnits va Nyuton cheksiz kichik miqdorlar tahlilini kashf etdilar, bu esa pi ni progressiv ravishda - darajali qatorlar va integrallar orqali hisoblash imkonini berdi. Nyutonning o'zi 16 kasrni hisoblab chiqdi, lekin bu haqda o'z kitoblarida eslatib o'tmagan - bu uning o'limidan keyin ma'lum bo'ldi. Nyutonning ta'kidlashicha, u Pi-ni faqat zerikkanlikdan hisoblagan.

Taxminan bir vaqtning o'zida boshqa unchalik mashhur bo'lmagan matematiklar ham trigonometrik funktsiyalar orqali Pi sonini hisoblash uchun yangi formulalarni taklif qilishdi.

Misol uchun, 1706 yilda astronomiya o'qituvchisi Jon Machin tomonidan Pi ni hisoblashda qo'llanilgan formula: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). Tahlil usullaridan foydalangan holda Machin ushbu formuladan yuzta kasrli Pi sonini oldi.

Aytgancha, o'sha 1706 yilda Pi raqami yunoncha harf ko'rinishida rasmiy belgi oldi: uni Uilyam Jons matematika bo'yicha ishida yunoncha "chekka" so'zining birinchi harfini olgan holda ishlatgan, bu ma'noni anglatadi. "doira". 1707 yilda tug'ilgan buyuk Leonhard Eyler bu belgini ommalashtirdi, bu endi har qanday maktab o'quvchisiga ma'lum.

Kompyuterlar davridan oldin matematiklar iloji boricha ko'proq belgilarni hisoblash bilan shug'ullanishgan. Shu munosabat bilan, ba'zida qiziqishlar bor edi. Havaskor matematik U.Shenks 1875 yilda pi ning 707 ta raqamini hisoblab chiqdi. Ushbu etti yuzta belgi 1937 yilda Parijdagi Kashfiyotlar saroyi devorida abadiylashtirildi. Biroq, to'qqiz yil o'tgach, kuzatuvchi matematiklar faqat dastlabki 527 belgi to'g'ri hisoblanganligini aniqladilar. Xatoni tuzatish uchun muzey munosib xarajatlarga majbur bo'ldi - endi barcha raqamlar to'g'ri.

Kompyuterlar paydo bo'lganda, Pi raqamlari soni mutlaqo tasavvur qilib bo'lmaydigan tartibda hisoblana boshladi.

Birinchi elektron kompyuterlardan biri ENIAC 1946 yilda yaratilgan, u juda katta va juda ko'p issiqlik hosil qilgan, xona 50 daraja Selsiy bo'yicha isigan, Pi ning birinchi 2037 raqamlarini hisoblagan. Bu hisob mashinaga 70 soat vaqt sarfladi.

Kompyuterlar takomillashgan sari, bizning pi haqidagi bilimlarimiz cheksizlikka qarab bordi. 1958 yilda raqamning 10 ming raqami hisoblab chiqilgan. 1987 yilda yaponlar 10 013 395 belgini hisoblab chiqdilar. 2011 yilda yapon tadqiqotchisi Shigeru Xondo 10 trillion chegaradan o'tdi.

Pini yana qayerdan topishingiz mumkin?

Shunday qilib, ko'pincha Pi soni haqidagi bilimimiz maktab darajasida qoladi va biz bu raqam geometriyada birinchi navbatda ajralmas ekanligini aniq bilamiz.

Doira uzunligi va maydoni formulalaridan tashqari, Pi soni ellipslar, sharlar, konuslar, silindrlar, ellipsoidlar va boshqalar uchun formulalarda qo'llaniladi: qaerdadir formulalar oddiy va eslab qolish oson, va bir joyda ular juda murakkab integrallarni o'z ichiga oladi.

Keyin biz Pi sonini matematik formulalarda uchratishimiz mumkin, bu erda birinchi qarashda geometriya ko'rinmaydi. Masalan, 1/(1-x^2) ning noaniq integrali Pi dir.

Pi ko'pincha ketma-ket tahlilda qo'llaniladi. Misol uchun, bu erda pi ga yaqinlashadigan oddiy qator:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

Seriyalar orasida pi eng kutilmagan tarzda mashhur Riemann zeta funktsiyasida paydo bo'ladi. Bu haqda qisqacha gapirib bo'lmaydi, faqat aytamizki, qachondir Pi soni tub sonlarni hisoblash formulasini topishga yordam beradi.

Va bu mutlaqo hayratlanarli: Pi matematikaning ikkita eng chiroyli "qirollik" formulalarida uchraydi - Stirling formulasi (faktorial va gamma funksiyaning taxminiy qiymatini topishga yordam beradi) va Eyler formulasi (bu ko'pchilik bilan bog'liq. beshta matematik konstanta).

Biroq, ehtimollar nazariyasi bo'yicha matematiklarni eng kutilmagan kashfiyot kutdi. Pi ham bor.

Masalan, ikkita sonning nisbatan tub bo'lish ehtimoli 6/PI^2 ga teng.

Pi Buffonning 18-asrdagi igna otish muammosida uchraydi: naqshli qog'oz varag'iga tashlangan igna chiziqlardan birini kesib o'tish ehtimoli qanday? Agar igna uzunligi L bo'lsa va chiziqlar orasidagi masofa L va r > L bo'lsa, u holda 2L/rPI ehtimollik formulasi yordamida Pi qiymatini taxminan hisoblashimiz mumkin. Tasavvur qiling - biz tasodifiy hodisalardan Pi ni olishimiz mumkin. Aytgancha, Pi normal ehtimollik taqsimotida mavjud bo'lib, mashhur Gauss egri chizig'ining tenglamasida paydo bo'ladi. Bu pi aylana aylanasining diametriga nisbatidan ham muhimroq ekanligini anglatadimi?

Biz Pi bilan fizikada ham uchrashishimiz mumkin. Pi ikki zaryad oʻrtasidagi oʻzaro taʼsir kuchini tavsiflovchi Kulon qonunida, sayyoraning Quyosh atrofida aylanish davrini koʻrsatuvchi Keplerning uchinchi qonunida uchraydi va hatto vodorod atomining elektron orbitallarini joylashtirishda ham uchraydi. Va yana, eng aql bovar qilmaydigan narsa shundaki, Pi soni kvant fizikasining asosiy qonuni Heisenberg noaniqlik printsipi formulasida yashiringan.

Pi sirlari

Karl Saganning xuddi shu nomdagi filmga asoslangan "Kontakt" romanida o'zga sayyoraliklar qahramonga Pi belgilari orasida Xudodan yashirin xabar borligini ma'lum qiladi. Muayyan pozitsiyadan boshlab, raqamdagi raqamlar tasodifiy bo'lishni to'xtatadi va koinotning barcha sirlari yozilgan kodni ifodalaydi.

Bu roman aslida butun sayyoradagi matematiklarning ongini egallagan topishmoqni aks ettirgan: Pi soni raqamlar bir xil chastotada tarqalgan oddiy raqammi yoki bu raqamda biron bir xatolik bormi. Garchi olimlar birinchi variantga moyil bo'lsalar ham (lekin buni isbotlay olmasalar ham), Pi juda sirli ko'rinadi. Bir marta yaponiyalik bir kishi 0 dan 9 gacha bo'lgan raqamlar pi ning birinchi trillion raqamlarida necha marta paydo bo'lishini hisoblab chiqdi. Va men 2, 4 va 8 raqamlari qolganlarga qaraganda ko'proq ekanligini ko'rdim. Bu Pi unchalik normal emasligi haqidagi maslahatlardan biri bo'lishi mumkin va undagi raqamlar tasodifiy emas.

Keling, yuqorida o'qiganlarimizni eslaylik va o'zimizga savol beraylik, haqiqiy dunyoda yana qanday irratsional va transsendental raqam keng tarqalgan?

Va boshqa g'alati narsalar ham bor. Masalan, Pi ning birinchi yigirmata raqamining yig'indisi 20 ga, birinchi 144 raqamining yig'indisi esa "hayvonning soni" 666 ga teng.

Amerikaning “Gumonlanuvchi” seriali qahramoni professor Finch talabalarga pi ning cheksizligi tufayli unda tug‘ilgan sanangiz raqamlaridan tortib, murakkabroq raqamlargacha bo‘lgan har qanday raqamlar kombinatsiyasi bo‘lishi mumkinligini aytdi. Masalan, 762-pozitsiyada oltita to'qqizlik ketma-ketlik mavjud. Ushbu pozitsiya Feynman nuqtasi deb ataladi, bu qiziqarli kombinatsiyani payqagan mashhur fizik sharafiga.

Shuningdek, biz Pi raqami 0123456789 ketma-ketligini o'z ichiga olishini bilamiz, lekin u 17,387,594,880-raqamda joylashgan.

Bularning barchasi Pi cheksizligida siz nafaqat raqamlarning qiziqarli kombinatsiyalarini, balki "Urush va Tinchlik" ning kodlangan matnini, Injilni va hatto mavjud bo'lsa, Koinotning Asosiy sirini ham topishingiz mumkinligini anglatadi.

Aytgancha, Bibliya haqida. 1966 yilda taniqli matematika mashhur Martin Gardner Pi sonining millioninchi belgisi (o'sha paytda hali noma'lum) 5 raqami bo'lishini ta'kidladi. U o'z hisoblarini Injilning inglizcha versiyasida 3-kitob, 14-bob, 16 -m oyat (3-14-16) ettinchi so'z besh harfdan iborat. Million raqam sakkiz yildan keyin olingan. Bu beshinchi raqam edi.

Bundan keyin pi soni tasodifiy ekanligini ta'kidlashga arziydimi?

Men Pi ning kelib chiqishi haqidagi hikoya haqida hech qachon o'ylamaganman. Men Leybnits va Nyuton haqida juda qiziq faktlarni o'qidim. Nyuton 16 kasrni hisoblab chiqdi, lekin kitobida aytmadi. Yaxshi maqola uchun rahmat.

Javob berish uchun

Bir marta men forumda sehr haqida o'qidim, PI soni nafaqat sehrli ma'noga, balki marosimga ham ega. Ko'pgina marosimlar bu raqam bilan bog'liq bo'lib, bu raqamni kashf qilishning qadimgi davridan boshlab sehrgarlar tomonidan ishlatilgan.

Javob berish uchun

pi ning birinchi yigirmata raqamining yig'indisi 20 ... Bu jiddiymi? Ikkilik tizimda, to'g'rimi?

Javob berish uchun

Javob berish uchun
1. 100 - birinchi 20 ta raqamning yig'indisi emas, balki 20 kasr.
  
  Javob berish uchun

diametri = 1, aylana = pi, va shuning uchun aylana hech qachon yopilmaydi!

Javob berish uchun

NUMBER p - aylana aylanasining uning diametriga nisbati, - qiymat doimiy va aylana kattaligiga bog'liq emas. Ushbu munosabatni ifodalovchi raqam odatda yunoncha 241 harfi bilan belgilanadi ("perijereia" dan - doira, periferiya). Bu belgi Leonhard Eylerning 1736 yilga ishora qilgan ishidan keyin keng tarqalgan bo'lib qoldi, lekin u birinchi marta 1706 yilda Uilyam Jons (1675–1749) tomonidan qo'llanilgan. Har qanday irratsional son singari, u cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasr bilan ifodalanadi:

p= 3.141592653589793238462643... Doira va dumaloq jismlarga oid amaliy hisob-kitoblarga boʻlgan ehtiyoj bizni qadimgi davrlarda ham ratsional sonlardan foydalangan holda 241 ta yaqinlik izlashga majbur qilgan. Aylana diametridan roppa-rosa uch baravar uzun ekanligi haqidagi ma'lumot Qadimgi Mesopotamiyaning mixxat yozuvlarida uchraydi. Xuddi shu raqam qiymati p Muqaddas Kitob matnida ham bor: “U uchidan uchigacha oʻn tirsak boʻlgan, toʻliq dumaloq, balandligi besh tirsak boʻlgan, oʻttiz tirsak boʻlgan ip bilan quchoqlab oʻralgan mis dengiz yasadi” (1). Shohlar 7.23). Qadimgi xitoyliklar ham shunday qilishgan. Ammo miloddan avvalgi 2 ming yillikda. Qadimgi misrliklar diametrli doira maydoni formulasidan olingan 241 raqami uchun aniqroq qiymatdan foydalanganlar. d:

Rhind papirusining 50-masalasining bu qoidasi 4(8/9) 2 » 3.1605 qiymatiga mos keladi. 1858 yilda topilgan Rhinda papirusi o'zining birinchi egasi nomi bilan atalgan, uni miloddan avvalgi 1650 yillarda yozuvchi Ahmes ko'chirib olgan, asl nusxaning muallifi noma'lum, faqat matn 19-asrning ikkinchi yarmida yaratilgani aniqlangan. asr. Miloddan avvalgi. Garchi misrliklar formulani o'zi qanday qilib olganligi kontekstdan aniq emas. Miloddan avvalgi 1800-1600 yillar oralig'ida ma'lum bir talaba tomonidan ko'chirilgan Moskva papirusida. Miloddan avvalgi 1900-yillarda yozilgan eski matndan "4½ teshikli" savatning sirtini hisoblash bo'yicha yana bir qiziqarli muammo bor. Savat qanday shaklda bo'lganligi noma'lum, ammo barcha tadqiqotchilar bu raqamga rozi p bir xil taxminiy qiymat 4(8/9) 2 olinadi.

Qadimgi olimlar u yoki bu natijani qanday qo'lga kiritganligini tushunish uchun faqat o'sha davrdagi bilim va hisoblash usullaridan foydalangan holda muammoni hal qilishga harakat qilish kerak. Qadimgi matnlarning tadqiqotchilari aynan shunday qilishadi, lekin ular topishga muvaffaq bo'lgan echimlar "bir xil" bo'lishi shart emas. Ko'pincha bitta vazifa uchun bir nechta echimlar taklif etiladi, har kim o'z ta'miga ko'ra tanlashi mumkin, ammo hech kim uni antik davrda ishlatilgan deb ayta olmaydi. Doira maydoniga kelsak, matematika tarixi bo'yicha ko'plab kitoblar muallifi A.E.Raikning gipotezasi ishonchli ko'rinadi: diametrli doira maydoni d uning atrofida tasvirlangan kvadratning maydoni bilan taqqoslanadi, undan yon tomonlari bo'lgan kichik kvadratlar va navbat bilan olib tashlanadi (1-rasm). Bizning yozuvimizda hisob-kitoblar quyidagicha ko'rinadi: birinchi taxminiylikda aylananing maydoni S tomoni bilan kvadratning maydoni o'rtasidagi farqga teng d va umumiy maydoni to'rtta kichik kvadrat LEKIN ziyofat bilan d:

Ushbu gipoteza Moskva papirusining muammolaridan birida shunga o'xshash hisob-kitoblar bilan tasdiqlangan, bu erda hisoblash taklif etiladi.

6-asrdan boshlab. Miloddan avvalgi. Qadimgi Yunonistonda matematika tez rivojlandi. Aylana aylanasi uning diametriga mutanosib ekanligini aniq isbotlagan qadimgi yunon geometriyachilari edilar. l = 2p R; R aylana radiusi, l - uning uzunligi) va aylananing maydoni aylana va radiusning yarmiga teng:

S = ½ l R = p R 2 .

Bu dalil Knidlik Evdoks va Arximedga tegishli.

3-asrda Miloddan avvalgi. Arximed yozma ravishda Doirani o'lchash haqida aylana ichiga chizilgan muntazam ko'pburchaklarning perimetrlarini hisoblab chiqdi va uning atrofida tasvirlangan (2-rasm) - 6-dan 96-burchakgacha. Shunday qilib, u raqamni aniqladi p 3 10/71 va 3 1/7 oralig'ida yotadi, ya'ni. 3.14084< p < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (p» 3.14166) mashhur astronom, trigonometriyaning yaratuvchisi Klavdiy Ptolemey (2-asr) tomonidan topilgan, ammo u ishlatilmagan.

Hindlar va arablar bunga ishonishgan p= . Bu qiymat hind matematigi Brahmagupta tomonidan ham berilgan (598 - taxminan 660). Xitoyda 3-asrda olimlar. 3 7/50 qiymatini ishlatgan, bu Arximedning yaqinlashuvidan ham yomonroqdir, lekin 5-asrning ikkinchi yarmida. Zu Chun Chji (taxminan 430 - taxminan 501) uchun olingan p taxminan 355/113 ( p» 3.1415927). Bu evropaliklarga noma'lum bo'lib qoldi va yana golland matematigi Adrian Antonis tomonidan faqat 1585 yilda topildi. Bu yaqinlashish faqat ettinchi kasrda xato beradi.

Aniqroq taxminlarni qidirish p davom ettirdi. Masalan, al-Koshiy (15-asrning birinchi yarmi) yilda Doira haqidagi risola(1427) 17 kasrni hisoblab chiqdi p. Evropada xuddi shunday ma'no 1597 yilda topilgan. Buning uchun u oddiy 800 335 168-gon tomonini hisoblashi kerak edi. Gollandiyalik olim Ludolf Van Zeilen (1540-1610) uning uchun 32 ta to'g'ri o'nli kasrni topdi (1615 yilda vafotidan keyin nashr etilgan), bu yaqinlashish Ludolf soni deb ataladi.

Raqam p nafaqat geometrik masalalarni yechishda paydo bo'ladi. F.Vyeta (1540–1603) davridan boshlab oddiy qonunlar asosida tuzilgan ayrim arifmetik ketma-ketliklarning chegaralarini izlash bir xil songa olib keldi. p. Shu sababli, raqamni aniqlashda p deyarli barcha mashhur matematiklar qatnashdilar: F.Vyet, X.Gyuygens, J.Vollis, G.V.Leybnits, L.Eyler. Ular cheksiz ko'paytma, qator yig'indisi, cheksiz kasr ko'rinishida 241 uchun turli ifodalarni oldilar.

Masalan, 1593-yilda F.Vyet (1540–1603) formulani keltirib chiqardi.

1658 yilda ingliz Uilyam Brounker (1620-1684) raqamning tasvirini topdi. p cheksiz davomli kasr sifatida

ammo bu natijaga qanday erishgani noma'lum.

1665 yilda Jon Uollis (1616-1703) buni isbotladi

Bu formula uning nomi bilan atalgan. 241 raqamini amaliy aniqlash uchun u juda kam foyda keltiradi, ammo turli xil nazariy mulohazalarda foydalidir. U fan tarixiga cheksiz asarlarning ilk namunalaridan biri sifatida kirdi.

Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716) 1673 yilda quyidagi formulani o'rnatgan:

raqamni ifodalash p/4 qatorlar yig'indisi sifatida. Biroq, bu seriya juda sekin yaqinlashadi. Hisoblash uchun p o'n raqamgacha aniq bo'lsa, Isaak Nyuton ko'rsatganidek, 5 milliard sonning yig'indisini topish va buning uchun ming yillik uzluksiz ishlash kerak bo'ladi.

London matematiki Jon Machin (1680-1751) 1706 yilda formulani qo'llash

ifodasini oldi

bu hali ham taxminiy hisoblash uchun eng yaxshilaridan biri hisoblanadi p. Xuddi shu o'nta aniq kasrni topish uchun bir necha soat qo'lda hisoblash kerak bo'ladi. Jon Makinning o'zi hisoblab chiqdi p 100 ta to'g'ri belgilar bilan.

Arctg uchun bir xil qatordan foydalanish x va formulalar

raqam qiymati p yuz ming kasrli kasr aniqligi bilan kompyuterda qabul qilinadi. Bunday hisob-kitoblar tasodifiy va psevdo-tasodifiy raqamlar tushunchasi bilan bog'liq holda qiziqish uyg'otadi. Belgilangan belgilar sonining tartiblangan to'plamiga statistik ishlov berish p tasodifiy ketma-ketlikning ko'pgina xususiyatlariga ega ekanligini ko'rsatadi.

Raqamni eslab qolishning qiziqarli usullari mavjud p faqat 3.14 dan ko'ra aniqroq. Masalan, quyidagi to'rtlikni o'rganganingizdan so'ng, siz ettita kasrni osongina nomlashingiz mumkin p:

Siz shunchaki harakat qilishingiz kerak

Va hamma narsani avvalgidek eslang:

Uch, o'n to'rt, o'n besh

to'qson ikki va olti.

(S.Bobrov Sehrli Bicorn)

Quyidagi so‘z birikmalarining har bir so‘zidagi harflar sonini sanash ham sonning qiymatini beradi p:

"Men doiralar haqida nima bilaman?" ( p» 3.1416). Bu maqolni Ya.I.Perelman taklif qilgan.

"Shunday qilib, men Pi deb nomlangan raqamni bilaman. - Barakalla!" ( p» 3.1415927).

"Raqamning orqasida ma'lum bo'lgan raqamni bilib oling va biling, omadni qanday payqash mumkin" ( p» 3.14159265359).

Moskva maktablaridan birining o'qituvchisi: "Men buni bilaman va juda yaxshi eslayman" degan satrni o'ylab topdi va uning shogirdi kulgili davomini yozdi: "Ko'p belgilar men uchun ortiqcha, behuda". Bu kuplet 12 ta raqamni aniqlash imkonini beradi.

Va raqamning 101 raqami shunday ko'rinadi p yaxlitlashsiz

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Hozirgi kunda kompyuter yordamida sonning qiymati p millionlab to'g'ri raqamlar bilan hisoblangan, ammo hech qanday hisob-kitoblarda bunday aniqlik kerak emas. Ammo sonni analitik aniqlash imkoniyati ,

Oxirgi formulada ayiruvchi barcha tub sonlarni o'z ichiga oladi va maxrajlar ulardan bittaga farq qiladi va maxraj 4 ko'rinishga ega bo'lsa, hisoblagichdan kattaroqdir. n+ 1, aksincha kamroq.

Garchi 16-asrning oxiridan boshlab, ya'ni. Ratsional va irratsional sonlar tushunchalari shakllanganidan beri ko'plab olimlar ishonch hosil qilishdi p- bu raqam irratsionaldir, lekin faqat 1766 yilda nemis matematigi Iogann Geynrix Lambert (1728–1777) Eyler tomonidan kashf etilgan ko'rsatkichli va trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi munosabatga asoslanib, buni qat'iy isbotladi. Raqam p ayiruvchi va maxraj qanchalik katta bo‘lmasin, oddiy kasr sifatida ifodalanib bo‘lmaydi.

1882 yilda Myunxen universiteti professori Karl Lui Ferdinand Lindemann (1852-1939) fransuz matematigi C. Ermit olgan natijalardan foydalanib isbotladi. p- transsendental raqam, ya'ni. u hech qanday algebraik tenglamaning ildizi emas a n x n + a n– 1 x n- 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 butun son koeffitsientlari bilan. Bu dalil aylana kvadratiga oid eng qadimgi matematik muammoning tarixiga nuqta qo'ydi. Ming yillar davomida bu muammo matematiklarning sa'y-harakatlariga berilmadi, "aylana kvadrati" iborasi hal qilib bo'lmaydigan muammoning sinonimiga aylandi. Va hamma narsa raqamning transsendental tabiatida bo'lib chiqdi p.

Ushbu kashfiyot xotirasiga Myunxen universitetining matematika auditoriyasi oldidagi zalda Lindemann byusti o'rnatildi. Uning nomi ostidagi poydevorda teng maydonli kvadrat kesib o'tgan doira bo'lib, uning ichida harf yozilgan. p.

Marina Fedosova

Kirish

Maqolada matematik formulalar mavjud, shuning uchun o'qish uchun ularni to'g'ri ko'rsatish uchun saytga o'ting.\(\pi \) raqami boy tarixga ega. Bu doimiy aylana aylanasining diametriga nisbatini bildiradi.

Fanda \(\pi \) soni doiralar mavjud bo'lgan har qanday hisoblashda qo'llaniladi. Bir quti soda hajmidan boshlab, sun'iy yo'ldoshlar orbitalarigacha. Va nafaqat doiralar. Darhaqiqat, egri chiziqlarni o'rganishda \(\pi \) soni davriy va tebranish tizimlarini tushunishga yordam beradi. Masalan, elektromagnit to'lqinlar va hatto musiqa.

1706 yilda ingliz olimi Uilyam Jonsning (1675-1749) "Matematikaga yangi kirish" kitobida birinchi marta 3,141592 raqamini belgilash uchun yunon alifbosining \(\pi\) harfi ishlatilgan. .. Bu belgi yunoncha pistuestrea - aylana, periferiya va pérúkes - perimetr so'zlarining bosh harfidan kelib chiqqan. Umumiy qabul qilingan belgi 1737 yilda Leonhard Eyler ishidan keyin paydo bo'ldi.

geometrik davr

Har qanday aylana uzunligining uning diametriga nisbati doimiyligi uzoq vaqt davomida kuzatilgan. Mesopotamiya aholisi \(\pi \) sonining nisbatan qo'pol taxminini ishlatishgan. Qadimgi muammolardan kelib chiqqan holda, ular hisob-kitoblarida \(\pi ≈ 3 \) qiymatidan foydalanadilar.

Qadimgi misrliklar \(\pi \) uchun aniqroq qiymatdan foydalanganlar. London va Nyu-Yorkda qadimgi Misr papirusining ikki qismi saqlanadi, bu "Rhinda papirus" deb ataladi. Papirus eramizdan avvalgi 2000-1700 yillarda yozuvchi Armes tomonidan tuzilgan. Miloddan avvalgi Armes o'z papirusida \(r\) radiusi bo'lgan doira maydoni \(\frac(8)(9) \) ga teng tomoni bo'lgan kvadratning maydoniga teng ekanligini yozgan. doira diametridan \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), ya'ni \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Demak, \(\pi = 3,16\).

Qadimgi yunon matematigi Arximed (miloddan avvalgi 287-212) dastlab ilmiy asosda aylana o‘lchash vazifasini qo‘ygan. U ball oldi \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Usul juda oddiy, ammo trigonometrik funktsiyalarning tayyor jadvallari bo'lmasa, ildizni olish kerak bo'ladi. Bundan tashqari, \(\pi \) ga yaqinlashuv juda sekin yaqinlashadi: har bir iteratsiya bilan xatolik faqat to'rt marta kamayadi.

Analitik davr

Shunga qaramay, 17-asrning o'rtalariga qadar evropalik olimlarning \ (\ pi \) sonini hisoblash bo'yicha barcha urinishlari ko'pburchak tomonlarini oshirishga qisqartirildi. Masalan, golland matematigi Lyudolf van Zeylen (1540-1610) \(\pi \) sonining taxminiy qiymatini 20 kasr aniqligi bilan hisoblab chiqdi.

Buni tushunish uchun unga 10 yil kerak bo'ldi. Arximed usuli bo'yicha chizilgan va chegaralangan ko'pburchaklarning tomonlarini ikki barobarga oshirib, \(\pi \) ni 20 bilan hisoblash uchun \(60 \cdot 2^(29) \) - kvadratni o'ylab topdi. kasrlar.

Uning o'limidan keyin qo'lyozmalarida \(\pi \) raqamining yana 15 ta aniq raqamlari topilgan. Lyudolf vasiyat qilib, topilgan belgilar uning qabr toshiga o‘yib yozilgan. Uning sharafiga \(\pi \) raqamini ba'zan "Ludolf raqami" yoki "Ludolf doimiysi" deb atashgan.

Arximeddan farqli usulni birinchilardan bo'lib joriy etganlardan biri Fransua Vyet (1540-1603) edi. U diametri bir ga teng bo'lgan doiraning maydoniga ega degan xulosaga keldi:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\ frac (1) (2) \ cdots )))) \]

Boshqa tomondan, maydon \ (\ frac (\ pi) (4) \). Ifodani almashtirib, soddalashtirib, taxminiy qiymatni hisoblash uchun quyidagi cheksiz mahsulot formulasini olishimiz mumkin \(\frac(\pi)(2) \):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Olingan formula \(\pi \) sonining birinchi aniq analitik ifodasidir. Ushbu formulaga qo'shimcha ravishda, Vyet Arximed usulidan foydalanib, 6-burchakdan boshlanib, \(2^(16) \cdot 6 \) tomonlari bo'lgan ko'pburchak bilan tugaydigan, chizilgan va chegaralangan ko'pburchaklar yordamida, 9 ta to'g'ri belgi bilan \(\pi \) sonining taxminiy ko'rinishi.

Ingliz matematigi Uilyam Brounker (1620-1684) \(\frac(\pi)(4)\) ni hisoblashda davomli kasrdan foydalangan:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

\(\frac(4)(\pi) \) sonining yaqinligini hisoblashning bu usuli hech bo'lmaganda kichik bir taxminni olish uchun juda ko'p hisob-kitoblarni talab qiladi.

O'zgartirish natijasida olingan qiymatlar \(\pi \) sonidan kattaroq yoki kichikroq va har safar haqiqiy qiymatga yaqinroq bo'ladi, lekin 3.141592 qiymatini olish juda katta hisob-kitoblarni talab qiladi.

Yana bir ingliz matematigi Jon Makin (1686-1751) 1706-yilda 1673-yilda Leybnits tomonidan olingan formuladan 100 kasrli \(\pi \) sonini hisoblab chiqdi va uni quyidagicha qoʻlladi:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Seriya tez birlashadi va \(\pi \) sonini katta aniqlik bilan hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. Ushbu turdagi formulalar kompyuter asrida bir nechta rekordlarni o'rnatish uchun ishlatilgan.

17-asrda o'zgaruvchan kattalikdagi matematika davri boshlanishi bilan \(\pi \) ni hisoblashda yangi bosqich boshlandi. Nemis matematigi Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716) 1673 yilda \(\pi \) sonining kengayishini topdi, umumiy shaklda uni quyidagi cheksiz qator sifatida yozish mumkin:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Qator x = 1 ni \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + ga almashtirish orqali olinadi. \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Leonhard Eyler o'zining \(\pi \) sonini hisoblashda arctg x uchun qatorlardan foydalanish bo'yicha ishida Leybnits g'oyasini rivojlantiradi. 1738 yilda yozilgan "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (aylana kvadratini taxminiy raqamlar bilan ifodalashning turli usullari haqida) risolasida Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarni takomillashtirish usullari muhokama qilinadi.

Eyler, agar argument nolga moyil bo'lsa, yoy tangens qatori tezroq yaqinlashadi, deb yozadi. \(x = 1\) uchun qatorning yaqinlashuvi juda sekin: 100 raqamgacha bo'lgan aniqlik bilan hisoblash uchun qatorning \(10^(50)\) shartlarini qo'shish kerak. Argument qiymatini kamaytirish orqali hisob-kitoblarni tezlashtirishingiz mumkin. Agar \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\) olsak, qatorni olamiz.

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot) 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Eylerning fikricha, agar biz ushbu qatorning 210 ta shartini olsak, sonning 100 ta to'g'ri raqamini olamiz. Olingan qator noqulay, chunki \(\sqrt(3)\) irratsional sonning yetarlicha aniq qiymatini bilish zarur. Shuningdek, Eyler o'z hisob-kitoblarida yoy tangenslarini kichikroq argumentlarning yoy tangenslari yig'indisiga kengaytirishdan foydalangan:

\[bu yerda x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Eyler o'z daftarlarida qo'llagan \(\pi \) ni hisoblashning barcha formulalari nashr etilganidan uzoqdir. Nashr qilingan ishlarda va daftarlarida u yoy tangensini hisoblash uchun 3 xil seriyani ko'rib chiqdi, shuningdek, ma'lum bir aniqlik bilan \(\pi \) taxminiy qiymatini olish uchun zarur bo'lgan yig'iladigan atamalar soni bo'yicha ko'plab bayonotlar berdi.

Keyingi yillarda \(\pi \) raqamining qiymatini yaxshilash tezroq va tezroq sodir bo'ldi. Masalan, 1794 yilda Jorj Vega (1754-1802) allaqachon 140 ta belgini aniqlagan, ulardan faqat 136 tasi to'g'ri bo'lgan.

Hisoblash davri

20-asr \(\pi \) sonini hisoblashda mutlaqo yangi bosqich bilan belgilandi. Hind matematigi Srinivasa Ramanujan (1887-1920) \(\pi \) uchun ko'plab yangi formulalarni kashf etdi. 1910 yilda u Teylor qatorida yoy tangensining kengayishi orqali \(\pi \) ni hisoblash formulasini oldi:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100 bilan \(\pi \) sonining 600 ta to'g'ri raqamining aniqligiga erishiladi.

Kompyuterlarning paydo bo'lishi qisqa vaqt ichida olingan qiymatlarning aniqligini sezilarli darajada oshirishga imkon berdi. 1949 yilda ENIAC yordamida Jon fon Neyman (1903-1957) boshchiligidagi bir guruh olimlar bor-yo'g'i 70 soat ichida \(\pi \) ning 2037 ta kasrini oldi. 1987 yilda Devid va Grigoriy Chudnovskiy formulani qo'lga kiritishdi, uning yordamida ular \(\pi \) hisob-kitoblarida bir nechta rekordlarni o'rnatishga muvaffaq bo'lishdi:

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k) ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Seriyaning har bir a'zosi 14 ta raqamni beradi. 1989 yilda 1 011 196 691 kasr olingan. Ushbu formula shaxsiy kompyuterlarda \(\pi \) ni hisoblash uchun juda mos keladi. Ayni paytda aka-uka Nyu-York universiteti politexnika instituti professori.

1997 yilda Saymon Pluff tomonidan formulaning kashf qilinishi so'nggi muhim voqea bo'ldi. Bu oldingi raqamlarni hisoblamasdan \(\pi \) sonining istalgan o'n oltilik raqamini chiqarish imkonini beradi. Formula birinchi marta nashr etilgan maqola mualliflari sharafiga "Bailey-Borwain-Pluff formulasi" deb ataladi. Bu shunday ko'rinadi:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

2006 yilda Saymon PSLQ-dan foydalanib, \(\pi \) ni hisoblash uchun chiroyli formulalarni o'ylab topdi. Misol uchun,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n)) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

bu erda \(q = e^(\pi)\). 2009 yilda yapon olimlari T2K Tsukuba System superkompyuteridan foydalanib, 2 576 980 377 524 kasrli \(\pi \) raqamini olishdi. Hisob-kitoblar 73 soat 36 daqiqa davom etdi. Kompyuter 640 ta to'rt yadroli AMD Opteron protsessorlari bilan jihozlangan bo'lib, ular soniyasiga 95 trillion operatsiyani bajarishni ta'minladi.

\(\pi \) ni hisoblash bo'yicha navbatdagi yutuq frantsuz dasturchisi Fabris Bellardga tegishli bo'lib, u 2009 yil oxirida o'zining Fedora 10 bilan ishlaydigan shaxsiy kompyuterida \(\pi \) sonining 2 699 999 990 000 kasrini hisoblab rekord o'rnatgan. Oxirgi 14 yil ichida bu superkompyuterdan foydalanmasdan o‘rnatilgan birinchi jahon rekordidir. Yuqori ishlash uchun Fabris aka-uka Chudnovskiy formulasidan foydalangan. Hammasi bo'lib, hisob-kitob 131 kun davom etdi (hisoblash uchun 103 kun va tekshirish uchun 13 kun). Bellarning yutug‘i shuni ko‘rsatdiki, bunday hisob-kitoblar uchun superkompyuter bo‘lishi shart emas.

Faqat olti oy o'tgach, Fransua rekordini muhandislar Aleksandr Yi va Singer Kondo yangiladi. 5 trillion o'nli kasrli \(\pi \) rekordini o'rnatish uchun shaxsiy kompyuter ham ishlatilgan, ammo yanada ta'sirchan xususiyatlarga ega: 3,33 gigagertsli chastotada ikkita Intel Xeon X5680 protsessorlari, 96 GB operativ xotira, 38 TB disk xotirasi va operatsion. tizim Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Hisob-kitoblar uchun Aleksandr va Qoshiqchi aka-uka Chudnovskiy formulasidan foydalanganlar. Hisoblash jarayoni 90 kun va 22 TB disk maydonini oldi. 2011-yilda ular \(\pi \) soni uchun 10 trillion kasrni hisoblab, yana bir rekord o‘rnatdilar. Hisob-kitoblar avvalgi rekordini o'rnatgan va jami 371 kun davom etgan kompyuterda amalga oshirildi. 2013-yil oxirida Aleksandr va Singeru rekordni \(\pi \) sonining 12,1 trillion raqamigacha yaxshiladi, bu esa hisob-kitob qilish uchun atigi 94 kun vaqt sarfladi. Ishlashning bunday yaxshilanishi dasturiy ta'minotning ishlashini optimallashtirish, protsessor yadrolari sonini ko'paytirish va dasturiy ta'minotning xatolarga chidamliligini sezilarli darajada yaxshilash orqali erishiladi.

Hozirgi rekord Aleksandr Yi va Singeru Kondoning rekordidir, bu \(\pi \) ning 12,1 trillion kasrdan iborat.

Shunday qilib, biz qadimgi davrlarda qo'llanilgan \(\pi \) sonini hisoblash usullarini, analitik usullarni ko'rib chiqdik, shuningdek, kompyuterlarda \(\pi \) sonini hisoblashning zamonaviy usullari va yozuvlarini ko'rib chiqdik.

Manbalar ro'yxati

Jukov A.V. Hamma joyda joylashgan Pi - M .: LKI nashriyoti, 2007 - 216 p.
F. Rudio. F.Rudio tomonidan tuzilgan savol tarixining ilovasi bilan doira kvadrati bo'yicha. / Rudio F. - M .: ONTI NKTP SSSR, 1936. - 235c.
Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270p.
Shuxman, E.V. Leonhard Euler / E.V. tomonidan nashr etilgan va nashr etilmagan asarlarda arctg x uchun ketma-ketlikdan foydalangan holda Pi ni taxminiy hisoblash. Shuxman. - Fan va texnika tarixi, 2008 yil - 4-son. - B. 2-17.
Euler, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae sientiarum Petropolitanae. 1744 yil - 9-jild - 222-236 b.
Shumixin, S. Pi soni. 4000 yillik tarix / S. Shumixin, A. Shumixina. - M .: Eksmo, 2011. - 192s.
Borwein, J.M. Ramanujan va Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Ilm-fan olamida. 1988 yil - 4-son. - S. 58-66.
Aleks Yee. raqamlar dunyosi. Kirish rejimi: numberworld.org

Yoqdimi?

ayt

2017 yil 13 yanvar

*******

Lada Priora g'ildiragi, nikoh uzugi va mushukingizning likopchasi o'rtasida qanday umumiylik bor? Albatta, siz go'zallik va uslubni aytasiz, lekin men siz bilan bahslashishga jur'at etaman. Pi! Bu barcha doiralarni, doiralarni va yumaloqlikni birlashtiradigan raqam, xususan, onamning uzugi va otamning sevimli mashinasining g'ildiragi va hatto mening sevimli mushukim Murzikning likopchasini ham o'z ichiga oladi. Men eng mashhur fizik-matematik konstantalar reytingida Pi soni shubhasiz birinchi qatorni egallashiga ishonaman. Lekin buning ortida nima bor? Balki matematiklarning dahshatli la'natlari? Keling, bu masalani tushunishga harakat qilaylik.

"Pi" raqami nima va u qaerdan paydo bo'lgan?

Zamonaviy raqamlarni belgilash π (Pi) 1706 yilda ingliz matematigi Jonson tufayli paydo bo'lgan. Bu yunoncha so'zning birinchi harfi περιφέρεια (chekka yoki aylana). Uzoq vaqt davomida matematikadan o'tgan va bundan tashqari, o'tmishda bo'lganlar uchun Pi soni aylana aylanasining diametriga nisbati ekanligini eslaymiz. Qiymat doimiydir, ya'ni radiusidan qat'iy nazar har qanday aylana uchun doimiydir. Odamlar bu haqda qadim zamonlardan beri bilishgan. Shunday qilib, qadimgi Misrda Pi soni 256/81 nisbatiga teng qabul qilingan va Vedik matnlarida 339/108 qiymati berilgan, Arximed esa 22/7 nisbatni taklif qilgan. Ammo pi sonini ifodalashning bu yoki boshqa ko'plab usullari aniq natija bermadi.

Ma'lum bo'lishicha, Pi soni mos ravishda transsendental va irratsionaldir. Bu shuni anglatadiki, uni oddiy kasr sifatida ifodalash mumkin emas. Agar u o'nlik kasrda ifodalangan bo'lsa, unda kasrdan keyingi raqamlar ketma-ketligi vaqti-vaqti bilan takrorlanmasdan abadiylikka shoshiladi. Bularning barchasi nimani anglatadi? Juda onson. O'zingizga yoqqan qizning telefon raqamini bilmoqchimisiz? Buni, albatta, Pi ning kasr nuqtasidan keyingi raqamlar ketma-ketligida topish mumkin.

Telefonni bu yerda ko'rish mumkin ↓

Pi raqami 10000 belgigacha.

p = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Topmadingizmi? Keyin qarang.

Umuman olganda, bu nafaqat telefon raqami, balki raqamlar yordamida kodlangan har qanday ma'lumot bo'lishi mumkin. Misol uchun, agar biz Aleksandr Sergeevich Pushkinning barcha asarlarini raqamli shaklda ifodalasak, ular hatto u tug'ilishidan oldin ham Pi sonida saqlangan. Aslida, ular hali ham u erda saqlanadi. Aytgancha, matematiklarning la'natlari π nafaqat matematiklar ham mavjud. Bir so'z bilan aytganda, Pi hamma narsaga ega, hatto ertaga, ertaga, ertaga, bir yildan keyin yoki ehtimol ikki marta yorug' boshingizga tashrif buyuradigan fikrlar. Bunga ishonish juda mushkul, lekin biz ishongandek bo'lsak ham, u yerdan ma'lumot olish va uni ochish yanada qiyin bo'ladi. Xo'sh, bu raqamlarni o'rganish o'rniga, o'zingiz yoqtirgan qizga murojaat qilish va undan raqam so'rash osonroq bo'lishi mumkinmi? .. Lekin oson yo'llarni izlamaganlar yoki shunchaki Pi raqami nima ekanligi bilan qiziquvchilar uchun, Men hisob-kitoblarning bir necha usullarini taklif qilaman. Sog'likka ishoning.

Pi qiymati qanday? Uni hisoblash usullari:

1. Eksperimental usul. Agar pi aylana aylanasining uning diametriga nisbati bo'lsa, unda sirli konstantani topishning birinchi va eng aniq usuli barcha o'lchovlarni qo'lda olib borish va p=l/d formulasidan foydalanib pi ni hisoblash bo'lishi mumkin. Bu erda l - aylananing atrofi va d - uning diametri. Hammasi juda oddiy, siz shunchaki aylanani aniqlash uchun ip, diametrni topish uchun o'lchagich va aslida ipning uzunligini va agar siz ustunga bo'linish bilan bog'liq muammolarga duch kelsangiz, kalkulyator bilan qurollanishingiz kerak. . Kastryulka yoki bodring bankasi o'lchangan namuna sifatida harakat qilishi mumkin, bu muhim emas, asosiysi? Shunday qilib, asos aylana bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan hisoblash usuli eng sodda, ammo, afsuski, u Pi sonining aniqligiga ta'sir qiladigan ikkita muhim kamchilikka ega. Birinchidan, o'lchov vositalarining xatosi (bizning holatda, bu ipli o'lchagich), ikkinchidan, biz o'lchagan doira to'g'ri shaklga ega bo'lishiga kafolat yo'q. Shuning uchun, matematika bizga p ni hisoblashning boshqa ko'plab usullarini bergan bo'lsa, ajablanarli emas, bu erda aniq o'lchovlarni amalga oshirishning hojati yo'q.

2. Leybnits seriyasi. Ko'p sonli kasrlargacha pi sonini aniq hisoblash imkonini beruvchi bir nechta cheksiz qatorlar mavjud. Eng oddiy seriyalardan biri Leybnits seriyasidir. p = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Hammasi oddiy: biz hisoblagichda 4 (bu tepada joylashgan) va maxrajdagi toq sonlar ketma-ketligidan bitta raqam (bu pastdagi) bo'lgan kasrlarni olamiz, ularni ketma-ket qo'shamiz va ayiramiz va Pi raqamini oling. Bizning oddiy harakatlarimiz qanchalik ko'p takrorlansa yoki takrorlansa, natija shunchalik aniq bo'ladi. Oddiy, ammo samarali emas, aytmoqchi, Pi ning aniq qiymatini o'nta kasrgacha olish uchun 500 000 iteratsiya kerak bo'ladi. Ya'ni, biz baxtsiz to'rtlikni 500 000 martaga bo'lishimiz kerak va bunga qo'shimcha ravishda olingan natijalarni 500 000 marta ayirish va qo'shish kerak bo'ladi. Sinab ko'rmoqchimisiz?

3. Nilakanta turkumi. Leybnits bilan o'ynashga vaqtingiz yo'qmi? Muqobil variant bor. Nilakanta seriyasi, garchi u biroz murakkabroq bo'lsa-da, kerakli natijani tezroq olishimizga imkon beradi. p = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11) *12) - (4/(12*13*14) ... O'ylaymanki, agar siz seriyaning berilgan dastlabki qismiga diqqat bilan qarasangiz, hamma narsa aniq bo'ladi va sharhlar ortiqcha. Bu borada biz oldinga boramiz.

4. Monte-Karlo usuli Pi ni hisoblashning juda qiziq usuli bu Monte-Karlo usuli. Bunday g'ayrioddiy nom u Monako qirolligidagi xuddi shu nomdagi shahar sharafiga oldi. Va buning sababi tasodifiy. Yo'q, bu tasodifan nomlanmagan, shunchaki usul tasodifiy raqamlarga asoslangan va Monte-Karlo kazino ruletlariga tushadigan raqamlardan ko'ra tasodifiy nima bo'lishi mumkin? Pi ni hisoblash bu usulning yagona qo'llanilishi emas, chunki elliginchi yillarda u vodorod bombasini hisoblashda ishlatilgan. Ammo chetga chiqmaylik.

Tomoni teng bo'lgan kvadratni olaylik 2r, va uning ichiga radiusli doira yozing r. Endi kvadratga tasodifiy nuqta qo'ysangiz, ehtimollik P nuqtaning aylanaga to'g'ri kelishi aylana va kvadrat maydonlarining nisbati. P \u003d S cr / S q \u003d 2pr 2 / (2r) 2 \u003d p / 4.

Endi bu yerdan Pi sonini ifodalaymiz p=4P. Faqat eksperimental ma'lumotlarni olish va aylanadagi zarbalar nisbati sifatida P ehtimolini topish qoladi N cr kvadratga urish uchun N kv.. Umuman olganda, hisoblash formulasi quyidagicha ko'rinadi: p=4N cr / N kv.

Shuni ta'kidlashni istardimki, ushbu usulni amalga oshirish uchun kazinoga borish shart emas, har qanday ko'proq yoki kamroq munosib dasturlash tilidan foydalanish kifoya. Xo'sh, natijalarning to'g'riligi o'rnatilgan ballar soniga bog'liq bo'ladi, mos ravishda, qanchalik ko'p bo'lsa, aniqroq bo'ladi. Sizga omad tilayman 😉

Tau raqami (xulosa o'rniga).

Matematikadan uzoq bo'lgan odamlar, ehtimol, bilishmaydi, lekin shunday bo'ldiki, Pi sonining ukasi undan ikki baravar katta. Bu Tau(t) soni va agar Pi aylananing diametrga nisbati bo'lsa, Tau bu uzunlikning radiusga nisbati bo'ladi. Va bugungi kunda ba'zi matematiklar tomonidan Pi raqamidan voz kechish va uni Tau bilan almashtirish takliflari mavjud, chunki bu ko'p jihatdan qulayroqdir. Ammo hozircha bu faqat takliflar va Lev Davidovich Landau aytganidek: "Yangi nazariya eskisining tarafdorlari o'lganida hukmronlik qila boshlaydi".