Barcha formulalar va xossalarni paralelogramma. "Parallelogramma va uning xususiyatlari" tadqiqot loyihasi

Paralelogramma haqida tushuncha

Ta'rif 1

Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari bir-biriga parallel bo'lgan to'rtburchakdir (1-rasm).

1-rasm.

Paralelogramma ikkita asosiy xususiyatga ega. Keling, ularni dalilsiz ko'rib chiqaylik.

Mulk 1: Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari va burchaklari mos ravishda bir-biriga teng.

Mulk 2: Paralelogrammada chizilgan diagonallar kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi.

Paralelogramma xususiyatlari

Paralelogrammaning uchta xususiyatini ko'rib chiqing va ularni teorema shaklida taqdim eting.

Teorema 1

Agar to'rtburchakning ikki tomoni bir-biriga teng va parallel bo'lsa, bu to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.

Isbot.

Bizga to'rtburchak $ABCD$ berilsin. Qaysi $AB||CD$ va $AB=CD$ unda diagonali $AC$ chizamiz (2-rasm).

2-rasm.

$AB$ va $CD$ parallel chiziqlarini va ularning $AC$ sekantlarini ko'rib chiqing. Keyin

\[\ burchakli CAB=\DCA burchagi\]

ko'ndalang burchaklar kabi.

Uchburchaklar tengligi uchun $I$ mezoniga ko'ra,

chunki $AC$ ularning umumiy tomoni va $AB=CD$ taxmin boʻyicha. anglatadi

\[\DAC burchagi=\ACB burchagi\]

$AD$ va $CB$ chiziqlarini va ularning sekant $AC$larini ko'rib chiqing; o'zaro burchaklarning oxirgi tengligi bo'yicha biz $AD||CB$ni olamiz.) Shuning uchun $1$ ta'rifi bo'yicha bu to'rtburchak parallelogrammdir.

Teorema isbotlangan.

Teorema 2

Agar to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari teng bo'lsa, u parallelogrammdir.

Isbot.

Bizga to'rtburchak $ABCD$ berilsin. Bunda $AD=BC$ va $AB=CD$. Unga diagonali $AC$ chizamiz (3-rasm).

3-rasm

$AD=BC$, $AB=CD$ va $AC$ umumiy tomon boʻlgani uchun $III$ uchburchak tenglik testi bilan,

\[\uchburchak DAC=\uchburchak ACB\]

\[\DAC burchagi=\ACB burchagi\]

$AD$ va $CB$ chiziqlarini va ularning sekant $AC$larini ko'rib chiqing, o'zaro burchaklarning oxirgi tengligi bo'yicha biz $AD||CB$ ni olamiz. Shuning uchun, $1$ ta'rifiga ko'ra, bu to'rtburchak parallelogrammdir.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

$AB$ va $CD$ chiziqlarini va ularning $AC$ sekantlarini ko'rib chiqing, o'zaro burchaklarning oxirgi tengligi bo'yicha biz $AB||CD$ ni olamiz. Shuning uchun, 1-ta'rifga ko'ra, bu to'rtburchak parallelogrammdir.

Teorema isbotlangan.

Teorema 3

Agar to'rtburchakda chizilgan diagonallar kesishish nuqtasi bo'yicha ikkita teng qismga bo'lingan bo'lsa, u holda bu to'rtburchak parallelogrammdir.

Isbot.

Bizga to'rtburchak $ABCD$ berilsin. Unda $AC$ va $BD$ diagonallarini chizamiz. Ular $O$ nuqtada kesishsin (4-rasm).

4-rasm

$BO=OD,\ AO=OC$ sharti boʻyicha va $\angle COB=\angle DOA$ burchaklari vertikal boʻlganligi sababli, $I$ uchburchak tenglik testi boʻyicha,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

$BC$ va $AD$ chiziqlarini va ularning $BD$ sekantlarini ko'rib chiqing, o'zaro burchaklarning oxirgi tengligi bo'yicha biz $BC||AD$ ni olamiz. Shuningdek, $BC=AD$. Demak, $1$ teoremasi boʻyicha bu toʻrtburchak parallelogrammdir.

1. Paralelogramma ta’rifi.

Agar biz bir juft parallel to'g'ri chiziqni boshqa bir juft parallel to'g'ri chiziq bilan kesib o'tsak, qarama-qarshi tomonlari juft parallel bo'lgan to'rtburchakni olamiz.

ABDC va EFNM to'rtburchaklarida (224-rasm) BD || AC va AB || CD;

EF || MN va EM || F.N.

Qarama-qarshi tomonlari juft parallel bo'lgan to'rtburchak parallelogramm deyiladi.

2. Paralelogrammaning xossalari.

Teorema. Paralelogrammaning diagonali uni ikkiga ajratadi teng uchburchak.

ABDC parallelogrammasi (225-rasm) bo'lsin, unda AB || CD va AC || BD.

Diagonal uni ikkita teng uchburchakka bo'lishini isbotlash talab qilinadi.

ABDC parallelogrammasida diagonali CB chizamiz. Keling, $\Delta$CAB = $\Delta$SDV ekanligini isbotlaylik.

SH tomoni bu uchburchaklar uchun umumiydir; ∠ABC = ∠BCD, parallel AB va CD va sekant CB bilan ichki o'zaro yotuvchi burchaklar sifatida; ∠ACB = ∠CBD, parallel AC va BD va sekant CB bilan ichki o'zaro yotqizilgan burchaklar bilan bir xil.

Demak, $\Delta$CAB = $\Delta$SDV.

Xuddi shu tarzda, AD diagonali parallelogrammani ikkita teng ACD va ABD uchburchaklariga ajratishini isbotlash mumkin.

Oqibatlari:

1 . Paralelogrammaning qarama-qarshi burchaklari teng.

∠A = ∠D, bu CAB va CDB uchburchaklarining tengligidan kelib chiqadi.

Xuddi shunday, ∠C = ∠B.

2. Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari teng.

AB \u003d CD va AC \u003d BD, chunki bular teng uchburchaklarning tomonlari va teng burchaklarga qarama-qarshi yotadi.

Teorema 2. Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasida ikkiga bo'lingan.

BC va AD parallelogrammaning diagonallari ABDC bo'lsin (226-rasm). AO = OD va CO = OB ekanligini isbotlaymiz.

Buning uchun qarama-qarshi uchburchaklar juftligini solishtiramiz, masalan, $\Delta$AOB va $\Delta$COD.

Bu uchburchaklarda AB = CD, parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlari sifatida;

∠1 = ∠2, chunki ichki burchaklar parallel AB va CD va AD sekantida ko'ndalang yotadi;

∠3 = ∠4 xuddi shu sababga ko'ra, chunki AB || CD va CB ularning sekantidir.

Bundan kelib chiqadiki, $\Delta$AOB = $\Delta$COD. Teng uchburchaklarda esa qarama-qarshi teng burchaklar teng tomonlardir. Shuning uchun AO = OD va CO = OB.

Teorema 3. Paralelogrammaning bir tomoniga tutashgan burchaklar yig'indisi ga teng 180°.

ABCD parallelogrammasida AC diagonali chizing va ikkita ABC va ADC uchburchaklarini oling.

Uchburchaklar mos keladi, chunki ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (parallel chiziqlardagi oʻzaro burchaklar) va AC tomoni umumiydir.
$\Delta$ABC = $\Delta$ADC tengligi AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D ekanligini bildiradi.

Bir tomonga ulashgan burchaklar yig'indisi, masalan, A va D burchaklari, parallel chiziqlar bilan bir tomonlama sifatida 180 ° ga teng.

Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari juft parallel bo'lgan to'rtburchakdir. Quyidagi rasmda ko'rsatilgan ABCD parallelogrammasi. Uning CD tomoniga parallel AB tomoni va AD tomoniga parallel BC tomoni bor.

Siz taxmin qilganingizdek, parallelogramma qavariq to'rtburchakdir. Paralelogrammaning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Paralelogramma xossalari

1. Parallelogrammada qarama-qarshi burchaklar va qarama-qarshi tomonlar teng. Keling, bu xususiyatni isbotlaymiz - quyidagi rasmda ko'rsatilgan parallelogrammani ko'rib chiqing.

Diagonal BD uni ikkita teng uchburchakka ajratadi: ABD va CBD. Ular BD tomonida va unga tutashgan ikkita burchakda teng, chunki BD ning sekantida yotuvchi burchaklar mos ravishda BC va AD va AB va CD parallel chiziqlardir. Shuning uchun AB = CD va
BC = AD. 1, 2,3 va 4 burchaklarning tengligidan A burchak = burchak1 + burchak3 = burchak2 + burchak4 = burchak C bo'ladi.

2. Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi. O nuqta ABCD parallelogrammaning AC va BD diagonallarining kesishish nuqtasi bo‘lsin.

Keyin uchburchak AOB va uchburchak COD bir-biriga teng, yon va unga tutash ikki burchak bo'ylab. (AB=CD, chunki ular parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlari. Va burchak1 = burchak2 va burchak3 = burchak4 AB va CD toʻgʻrilarning mos ravishda AC va BD sekantlari bilan kesishgan joyidagi kesishgan burchaklar sifatida.) Bundan kelib chiqadiki, AO = OC va OB = OD, bu isbotlanishi kerak edi.

Barcha asosiy xususiyatlar quyidagi uchta rasmda tasvirlangan.

Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari juft parallel bo'lgan to'rtburchakdir. Bu ta'rif allaqachon yetarli, chunki parallelogrammaning qolgan xossalari undan kelib chiqadi va teoremalar shaklida isbotlanadi.

Paralelogrammaning asosiy xususiyatlari:

parallelogramma - qavariq to'rtburchak;
parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlari juftlarga teng;
parallelogrammaning qarama-qarshi burchaklari juft bo'lib teng;
parallelogrammning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi.

Paralelogramma - qavariq to'rtburchak

Avval bu teoremani isbotlaylik parallelogramma qavariq to'rtburchakdir. Ko'pburchak qavariq bo'lib, uning qaysi tomoni to'g'ri chiziqqa cho'zilgan bo'lsa, uning boshqa barcha tomonlari shu to'g'ri chiziqning bir tomonida bo'ladi.

ABCD parallelogrammasi berilsin, bunda AB CD uchun, BC esa AD uchun qarama-qarshi tomondir. Keyin parallelogramma ta'rifidan kelib chiqadiki, AB || CD, BC || AD.

Parallel segmentlarning umumiy nuqtalari yo'q, ular kesishmaydi. Bu CD AB ning bir tomonida joylashganligini bildiradi. BC segmenti AB segmentining B nuqtasini CD segmentining C nuqtasi bilan, AD segmenti esa boshqa AB va CD nuqtalarini tutashtirganligi sababli, BC va AD segmentlari ham CD joylashgan AB chiziqning bir tomonida yotadi. Shunday qilib, barcha uch tomon - CD, BC, AD - AB ning bir tomonida yotadi.

Xuddi shunday, parallelogrammning boshqa tomonlariga nisbatan qolgan uchta tomoni bir tomonda yotishi isbotlangan.

Qarama-qarshi tomonlar va burchaklar teng

Parallelogrammaning xossalaridan biri shundaki parallelogrammada qarama-qarshi tomonlar va qarama-qarshi burchaklar tengdir. Misol uchun, agar ABCD parallelogrammasi berilgan bo'lsa, unda u AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D ga ega. Bu teorema quyidagicha isbotlangan.

Paralelogramma to'rtburchakdir. Shunday qilib, uning ikkita diagonali bor. Paralelogramma qavariq to'rtburchak bo'lgani uchun ularning har biri uni ikkita uchburchakka ajratadi. AC diagonalini chizish orqali olingan ABCD parallelogrammasida ABC va ADC uchburchaklarini ko'rib chiqing.

Bu uchburchaklarning umumiy tomoni bor - AC. BCA burchagi, BC va AD parallel bo'lgan vertikallar kabi SAPR burchagiga teng. BAC va ACD burchaklari ham teng, AB va CD parallel bo'lganda vertikal burchaklar. Demak, ikki burchak va ular orasidagi tomon ustidan ∆ABC = ∆ADC.

Bu uchburchaklarda AB tomoni CD tomoniga, BC tomoni esa AD ga mos keladi. Shuning uchun AB = CD va BC = AD.

B burchagi D burchakka mos keladi, ya'ni ∠B = ∠D. Paralelogrammaning A burchagi ikki burchakning yig'indisi - ∠BAC va ∠CAD. C teng burchak ∠BCA va ∠ACD dan iborat. Burchaklar juftlari bir-biriga teng bo'lgani uchun ∠A = ∠C bo'ladi.

Shunday qilib, parallelogrammada qarama-qarshi tomonlar va burchaklar teng ekanligi isbotlangan.

Diagonallar yarmiga bo'lingan

Paralelogramma qavariq toʻrtburchak boʻlgani uchun uning ikkita diagonali bor va ular kesishadi. ABCD parallelogrammasi berilsin, uning AC va BD diagonallari E nuqtada kesishsin. Ular tomonidan hosil qilingan ABE va CDE uchburchaklarini ko'rib chiqaylik.

Bu uchburchaklarning AB va CD tomonlari parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlariga teng. ABE burchagi CDE burchagiga teng, chunki ular AB va CD parallel chiziqlari bo'ylab yotadi. Xuddi shu sababga ko'ra, ∠BAE = ∠DCE. Demak, ikki burchak va ular orasidagi tomon ustidan ∆ABE = ∆CDE.

AEB va CED burchaklari vertikal va shuning uchun ham bir-biriga teng ekanligini ham sezishingiz mumkin.

ABE va CDE uchburchaklari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, ularning barcha mos keladigan elementlari ham tengdir. Birinchi uchburchakning AE tomoni ikkinchisining CE tomoniga to'g'ri keladi, shuning uchun AE = CE. Xuddi shunday, BE = DE. Har bir juft teng segmentlar parallelogrammaning diagonalini tashkil qiladi. Shunday qilib, bu isbotlangan parallelogrammning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi.

Bugungi darsimizda parallelogrammaning asosiy xossalarini takrorlaymiz, so‘ngra parallelogrammning dastlabki ikki belgisini ko‘rib chiqishga e’tibor beramiz va ularni isbotlaymiz. Isbot jarayonida biz o'tgan yili o'rgangan va birinchi darsda takrorlagan uchburchaklar tenglik belgilarining qo'llanilishini eslaylik. Oxirida parallelogrammning o'rganilgan xususiyatlarini qo'llashga misol keltiriladi.

Mavzu: To'rtburchaklar

Dars: Parallelogramma belgilari

Keling, parallelogramma ta'rifini eslashdan boshlaylik.

Ta'rif. Paralelogramma- har ikki qarama-qarshi tomoni parallel bo'lgan to'rtburchak (1-rasmga qarang).

Guruch. 1. Paralelogramma

Keling, eslaylik parallelogrammning asosiy xossalari:

Bu barcha xususiyatlardan foydalanish imkoniyatiga ega bo'lish uchun siz qaysi raqam haqida ekanligiga ishonch hosil qilishingiz kerak savol ostida, parallelogrammdir. Buning uchun siz parallelogramm belgilari kabi faktlarni bilishingiz kerak. Bugun biz ulardan birinchi ikkitasini ko'rib chiqamiz.

Teorema. Paralelogrammaning birinchi xususiyati. Agar to'rtburchakda ikkita qarama-qarshi tomon teng va parallel bo'lsa, bu to'rtburchak parallelogramma. .

Guruch. 2. Parallelogrammaning birinchi belgisi

Isbot. Keling, to'rtburchakda diagonal chizamiz (2-rasmga qarang), u uni ikkita uchburchakka ajratdi. Keling, ushbu uchburchaklar haqida bilganimizni yozamiz:

uchburchaklar tengligining birinchi belgisiga ko'ra.

Bu uchburchaklarning tengligidan kelib chiqadiki, ularning sekantlari kesishmasidagi chiziqlar parallelligi asosida. Bizda shunday bor:

Tasdiqlangan.

Teorema. Paralelogrammaning ikkinchi belgisi. Agar to'rtburchakda har ikki qarama-qarshi tomon teng bo'lsa, bu to'rtburchak bo'ladi parallelogramma. .

Guruch. 3. Parallelogrammaning ikkinchi belgisi

Isbot. Keling, to'rtburchakda diagonal chizamiz (3-rasmga qarang), u uni ikkita uchburchakka ajratadi. Keling, teorema formulasidan kelib chiqib, bu uchburchaklar haqida bilganlarimizni yozamiz:

uchburchaklar tengligining uchinchi mezoniga ko'ra.