Abcd parallelogramm maydonini topish uchun formulalar. Paralelogramma maydoni

Vazifa 4.

4√6 uzunlikdagi parallelogramma diagonallaridan biri asosi bilan 60°, ikkinchi diagonali esa xuddi shu asos bilan 45° burchak hosil qiladi. Ikkinchi diagonalni toping.

Yechim.

1. AO = 2√6.

2. AOD uchburchagiga sinus teoremasini qo‘llang.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Javob: 12.

Vazifa 5.

Tomonlari 5√2 va 7√2 bo'lgan parallelogramm uchun diagonallar orasidagi kichikroq burchak parallelogrammning kichik burchagiga teng. Diagonallar uzunliklarining yig‘indisini toping.

Yechim.

Paralelogrammaning diagonallari d 1, d 2, diagonallari bilan parallelogrammning kichik burchagi orasidagi burchak ph bo‘lsin.

1. Keling, ikki xil hisoblaymiz
uning hududining yo'llari.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f tengligini olamiz yoki

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Paralelogrammning tomonlari va diagonallari orasidagi nisbatdan foydalanib, tenglikni yozamiz

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Tizim tuzamiz:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Tizimning ikkinchi tenglamasini 2 ga ko'paytiring va uni birinchisiga qo'shing.

Biz (d 1 + d 2) 2 = 576 ni olamiz. Demak, Id 1 + d 2 I = 24.

d 1 bo'lgani uchun, d 2 parallelogramma diagonallarining uzunliklari, keyin d 1 + d 2 = 24.

Javob: 24.

Vazifa 6.

Parallelogrammning tomonlari 4 va 6. Diagonallar orasidagi oʻtkir burchak 45 o. Paralelogrammaning maydonini toping.

Yechim.

1. AOB uchburchagidan kosinuslar teoremasidan foydalanib, parallelogramm tomoni va diagonallari orasidagi munosabatni yozamiz.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Xuddi shunday AOD uchburchagi uchun ham munosabatni yozamiz.

Biz buni hisobga olamiz<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 tenglamani olamiz.

3. Bizda tizim mavjud
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Ikkinchi tenglamadan birinchisini ayirib, biz 2d 1 d 2 √2 = 80 yoki

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin a \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Eslatma: Bu va oldingi masalada, bu masalada maydonni hisoblash uchun diagonallar ko'paytmasi kerakligini oldindan ko'ra, tizimni to'liq echishga hojat yo'q.

Javob: 10.

Vazifa 7.

Parallelogrammaning maydoni 96 ga, tomonlari 8 va 15 ga teng. Kichikroq diagonalning kvadratini toping.

Yechim.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Keling, formulada almashtirishni qilaylik.

Biz 96 = 8 15 sin VADni olamiz. Demak, gunoh VAD = 4/5.

2. cos BAD ni toping. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Muammoning shartiga ko'ra, biz kichikroq diagonalning uzunligini topamiz. Agar BAD burchagi keskin bo'lsa, BD diagonali kichikroq bo'ladi. Keyin cos BAD = 3/5.

3. ABD uchburchagidan kosinuslar teoremasidan foydalanib, BD diagonalining kvadratini topamiz.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD chunki YOMON.

VD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 \u003d 145.

Javob: 145.

Savollaringiz bormi? Geometriya masalasini qanday hal qilishni bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Evklid geometriyasida bo'lgani kabi, nuqta va chiziq tekisliklar nazariyasining asosiy elementlari hisoblanadi, shuning uchun parallelogramma qavariq to'rtburchaklarning asosiy figuralaridan biridir. Undan, xuddi to'pdan iplar kabi, "to'rtburchaklar", "kvadrat", "romb" va boshqa geometrik miqdorlar tushunchalari oqadi.

Bilan aloqada

Paralelogramma ta'rifi

qavariq to'rtburchak, har bir jufti parallel bo'lgan segmentlardan iborat bo'lib, geometriyada parallelogramma deb ataladi.

Klassik parallelogramma to'rtburchak ABCDga o'xshaydi. Tomonlar asoslar (AB, BC, CD va AD) deyiladi, har qanday cho'qqidan bu cho'qqining qarama-qarshi tomoniga o'tkaziladigan perpendikulyar balandlik (BE va BF) deyiladi, AC va BD chiziqlar diagonallardir.

Diqqat! Kvadrat, romb va to'rtburchaklar parallelogrammning maxsus holatlaridir.

Tomonlar va burchaklar: nisbat xususiyatlari

Asosiy xususiyatlar, umuman olganda, belgilashning o'zi tomonidan oldindan belgilanadi, ular teorema bilan isbotlangan. Bu xususiyatlar quyidagilardan iborat:

1. Qarama-qarshi tomonlar juftlikda bir xil.
2. Bir-biriga qarama-qarshi bo'lgan burchaklar juftlikda tengdir.

Isbot: ∆ABC va ∆ADC ni ko'rib chiqing, ular ABCD to'rtburchakni AC chizig'iga bo'lish orqali olinadi. ∠BCA=∠CAD va ∠BAC=∠ACD, chunki AC ular uchun umumiydir (mos ravishda BC||AD va AB||CD uchun vertikal burchaklar). Bundan kelib chiqadi: ∆ABC = ∆ADC (uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoni).

∆ABC dagi AB va BC segmentlari ∆ADC da CD va AD chiziqlariga juft holda mos keladi, bu ularning bir xil ekanligini bildiradi: AB = CD, BC = AD. Shunday qilib, ∠B ∠D ga mos keladi va ular tengdir. Chunki ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ular juftlikda ham bir xil, u holda ∠A = ∠C. Mulk isbotlangan.

Shakl diagonallarining xarakteristikalari

Asosiy xususiyat bu parallelogramma chiziqlar: kesishish nuqtasi ularni ikkiga bo'ladi.

Isbot: m.E ABCD figurasining AC va BD diagonallarining kesishish nuqtasi bo‘lsin. Ular ikkita mutanosib uchburchak hosil qiladi - ∆ABE va ∆CDE.

AB=CD, chunki ular qarama-qarshidir. Chiziqlar va sekantlarga ko'ra, ∠ABE = ∠CDE va ​​∠BAE = ∠DCE.

Tenglikning ikkinchi belgisiga ko'ra, ∆ABE = ∆CDE. Bu shuni anglatadiki, ∆ABE va ∆CDE elementlari: AE = CE, BE = DE va ​​bundan tashqari, ular AC va BD ning mutanosib qismlaridir. Mulk isbotlangan.

Qo'shni burchaklarning xususiyatlari

Qo'shni tomonlarda burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng, chunki ular parallel chiziqlar va sekantning bir tomonida yotadi. ABCD to'rtburchak uchun:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bissektrisa xususiyatlari:

1. , bir tomonga tushib ketgan, perpendikulyar;
2. qarama-qarshi cho'qqilar parallel bissektrisalarga ega;
3. bissektrisasini chizish orqali olingan uchburchak teng yon tomonli bo'ladi.

Teorema orqali parallelogrammaning xarakterli belgilarini aniqlash

Ushbu raqamning xususiyatlari uning asosiy teoremasidan kelib chiqadi, unda quyidagicha o'qiladi: to'rtburchak parallelogramm deb hisoblanadi uning diagonallari kesishgan taqdirda va bu nuqta ularni teng segmentlarga ajratadi.

Isbot: ABCD to‘rtburchakning AC va BD chiziqlari t. E da kesishsin. ∠AED = ∠BEC va AE+CE=AC BE+DE=BD bo'lgani uchun ∆AED = ∆BEC (uchburchaklar tengligining birinchi belgisi bo'yicha). Ya'ni, ∠EAD = ∠ECB. Ular, shuningdek, AD va BC chiziqlari uchun sekant ACning ichki kesishish burchaklaridir. Shunday qilib, parallelizm ta'rifi bo'yicha - AD || Miloddan avvalgi. BC va CD chiziqlarining xuddi shunday xossasi ham olingan. Teorema isbotlangan.

Shaklning maydonini hisoblash

Bu raqamning maydoni bir necha usulda topilgan eng oddiylaridan biri: balandlikni va u chizilgan poydevorni ko'paytirish.

Isbot: B va C cho'qqilardan BE va CF perpendikulyarlarini chizing. AB = CD va BE = CF bo'lgani uchun ∆ABE va ∆DCF teng. ABCD EBCF to'rtburchakka teng, chunki ular ham mutanosib raqamlardan iborat: S ABE va S EBCD, shuningdek S DCF va S EBCD. Bundan kelib chiqadiki, bu geometrik shaklning maydoni to'rtburchakning maydoni bilan bir xil:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Parallelogramm maydonining umumiy formulasini aniqlash uchun balandlikni quyidagicha belgilaymiz hb, va tomoni b. Mos ravishda:

Hududni topishning boshqa usullari

Hududni hisoblash parallelogrammning yon tomonlari va burchak orqali, ular hosil qiladi, ikkinchi ma'lum usuldir.

,

Spr-ma - maydon;

a va b uning tomonlari

a - a va b segmentlari orasidagi burchak.

Bu usul amalda birinchisiga asoslangan, ammo noma'lum bo'lsa. har doim parametrlari trigonometrik identifikatsiyalar bilan topilgan to'g'ri burchakli uchburchakni kesib tashlaydi, ya'ni. Nisbatni o'zgartirib, biz olamiz. Birinchi usulning tenglamasida biz balandlikni ushbu mahsulot bilan almashtiramiz va ushbu formulaning haqiqiyligini tasdiqlovchi hujjatni olamiz.

Paralelogramma va burchakning diagonallari orqali, ular kesishganda yaratadigan, siz maydonni ham topishingiz mumkin.

Isbot: AC va BD kesishgan to'rtta uchburchak hosil qiladi: ABE, BEC, CDE va ​​AED. Ularning yig'indisi ushbu to'rtburchakning maydoniga teng.

Ularning har birining maydonini ∆ ifodasidan topish mumkin, bu erda a=BE, b=AE, ∠g =∠AEB. dan boshlab, u holda hisob-kitoblarda sinusning yagona qiymati qo'llaniladi. Ya'ni . AE+CE=AC= d 1 va BE+DE=BD= d 2 boʻlgani uchun maydon formulasi quyidagicha kamayadi:

.

Vektor algebrasida qo'llanilishi

Ushbu to'rtburchakning tarkibiy qismlarining xususiyatlari vektor algebrasida qo'llanilishini topdi, ya'ni: ikkita vektorni qo'shish. Paralelogramma qoidasi shuni bildiradi vektorlar berilgan bo'lsaVaemaskollinear bo'lsa, u holda ularning yig'indisi ushbu raqamning diagonaliga teng bo'ladi, ularning asoslari ushbu vektorlarga mos keladi.

Isbot: o'zboshimchalik bilan tanlangan boshidan - ya'ni. - vektorlarni quramiz va . Keyinchalik, OA va OB segmentlari tomonlar bo'lgan OASV parallelogrammasini quramiz. Shunday qilib, OS vektor yoki yig'indida yotadi.

Paralelogramma parametrlarini hisoblash formulalari

Shaxslar quyidagi shartlarda beriladi:

1. a va b, a - tomonlar va ular orasidagi burchak;
2. d 1 va d 2, g - diagonallar va ularning kesishish nuqtasida;
3. h a va h b - a va b tomonlarga tushirilgan balandliklar;

Parametr	Formula
Tomonlarni topish
diagonallar bo'ylab va ular orasidagi burchakning kosinusu
diagonal va yon tomonga
balandlik va qarama-qarshi cho'qqi orqali
Diagonallarning uzunligini topish
yon tomonlarda va ular orasidagi tepaning kattaligi

Geometrik maydon- bu raqamning o'lchamini ko'rsatadigan geometrik figuraning raqamli xarakteristikasi (bu raqamning yopiq konturi bilan chegaralangan sirtning bir qismi). Maydonning o'lchami undagi kvadrat birliklar soni bilan ifodalanadi.

Uchburchak maydoni formulalari

1. Yon va balandlik uchun uchburchak maydoni formulasi
   Uchburchakning maydoni uchburchakning bir tomoni uzunligi va bu tomonga chizilgan balandlik uzunligi ko'paytmasining yarmiga teng
   
2. Uchburchakning maydoni uchun formulada uch tomoni va aylana radiusi berilgan
   
3. Uchburchakning maydoni uchun formulada uchta tomon va chizilgan doira radiusi berilgan
   Uchburchakning maydoni uchburchakning yarim perimetri va chizilgan aylana radiusining mahsulotiga teng.
   
Bu erda S - uchburchakning maydoni,
- uchburchak tomonlarining uzunliklari,
- uchburchakning balandligi,
- tomonlar orasidagi burchak va,
- chizilgan doira radiusi,
R - aylana radiusi,

Kvadrat maydon formulalari

1. Tomonning uzunligi berilgan kvadrat maydoni uchun formula
   kvadrat maydon uning yon uzunligi kvadratiga teng.
2. Diagonal uzunligi berilgan kvadrat maydoni uchun formula
   kvadrat maydon uning diagonali uzunligi kvadratining yarmiga teng.
   

   S=	1	2
   	2

bu erda S - kvadratning maydoni,
kvadrat tomonining uzunligi,
kvadrat diagonalining uzunligi.

To'rtburchaklar maydoni formulasi

To'rtburchaklar maydoni uning ikki qo‘shni tomoni uzunliklarining ko‘paytmasiga teng

Bu erda S - to'rtburchakning maydoni,
to'rtburchak tomonlarining uzunliklari.

Parallelogramm maydoni uchun formulalar

1. Yon uzunligi va balandligi uchun paralelogramma maydoni formulasi
   Paralelogramma maydoni
2. Ikki tomon va ular orasidagi burchakka parallelogramm maydoni formulasi berilgan
   Paralelogramma maydoni uning tomonlari uzunliklarini ular orasidagi burchak sinusiga ko'paytmasiga teng.
   

   a b sina

Bu erda S - parallelogrammning maydoni,
- parallelogramm tomonlarining uzunliklari,
parallelogramm balandligi,
- parallelogrammning tomonlari orasidagi burchak.

Romb maydoni uchun formulalar

1. Yon uzunligi va balandligi berilgan romb maydoni formulasi
   Romb maydoni uning tomoni uzunligi va bu tomonga tushirilgan balandlik uzunligi ko'paytmasiga teng.
2. Rombning maydoni uchun formula yon va burchak uzunligini hisobga olgan holda
   Romb maydoni uning tomoni uzunligi kvadrati va romb tomonlari orasidagi burchak sinusining ko'paytmasiga teng.
3. Rombning diagonallari uzunligidan uning maydoni formulasi
   Romb maydoni uning diagonallari uzunliklari ko'paytmasining yarmiga teng.
bu erda S - rombning maydoni,
- romb tomonining uzunligi,
- romb balandligining uzunligi,
- rombning yon tomonlari orasidagi burchak;
1, 2 - diagonallarning uzunliklari.

Trapetsiya maydoni formulalari

1. Trapetsiya uchun Heron formulasi

   Bu erda S - trapetsiya maydoni,
   - trapetsiya asoslarining uzunligi;
   - trapetsiya tomonlarining uzunligi,
   

Parallelogramma - qarama-qarshi tomonlari juft parallel va juft bo'lib teng bo'lgan to'rtburchak shakl. Uning qarama-qarshi burchaklari ham tengdir va parallelogramma diagonallarining kesishish nuqtasi ularni ikkiga bo'ladi, shu bilan birga figuraning simmetriya markazidir. Parallelogrammaning alohida holatlari kvadrat, to'rtburchak va romb kabi geometrik shakllardir. Parallelogrammaning maydonini muammoni shakllantirish bilan birga kelgan dastlabki ma'lumotlarga qarab turli yo'llar bilan topish mumkin.

1. Eng oddiy holatda, parallelogrammning maydoni uning asosi va balandligining mahsuloti sifatida aniqlanadi.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   bu erda S - parallelogrammning maydoni;
   a - asos;
   h - berilgan asosga chizilgan balandlik.

   Quyidagi rasmga qarasangiz, ushbu formulani tushunish va eslab qolish juda oson.

   

   Ushbu rasmdan ko'rinib turibdiki, agar biz parallelogrammaning chap tomonidagi xayoliy uchburchakni kesib, uni o'ng tomonga biriktirsak, natijada biz to'rtburchakka ega bo'lamiz. Ma'lumki, to'rtburchakning maydoni uning uzunligini balandligiga ko'paytirish orqali topiladi. Faqat parallelogramm bo'lsa, uzunlik asos bo'ladi va to'rtburchakning balandligi bu tomonga tushirilgan parallelogramm balandligi bo'ladi.

2. Paralelogrammaning maydonini ikkita qo'shni asosning uzunliklarini va ular orasidagi burchakning sinusini ko'paytirish orqali ham topish mumkin:
   

   S = AD∙AB∙sina

   
   

   bu yerda AD, AB qo'shni asoslar bo'lib, ular o'zaro kesishish nuqtasi va a burchakni tashkil qiladi;
   a - AD va AB asoslari orasidagi burchak.

   

3. Shuningdek, parallelogrammning maydonini parallelogramma diagonallari uzunliklarining ko'paytmasini ular orasidagi burchak sinusiga bo'lish orqali topish mumkin.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinb

   
   

   bu yerda AC, BD parallelogrammaning diagonallari;
   b - diagonallar orasidagi burchak.

   

4. Shuningdek, parallelogrammning maydonini unga chizilgan doira radiusi bo'yicha topish formulasi mavjud. U quyidagicha yozilgan:

"Get an A" video kursi matematikadan 60-65 ballgacha imtihonni muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematikada FOYDALANISH profilining 1-13 barcha topshiriqlarini toʻliq bajaring. Matematikada asosiy USE ni topshirish uchun ham javob beradi. Imtihonni 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun imtihonga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha imtihonning 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13- muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan ko'proq ball to'playdi va na yuz ball talaba, na gumanist ularsiz ishlay olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Imtihonning tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI Bankining vazifalaridan 1-qismning barcha tegishli vazifalari tahlil qilindi. Kurs USE-2018 talablariga to‘liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab imtihon topshiriqlari. Matnli masalalar va ehtimollar nazariyasi. Muammoni hal qilishning oddiy va esda qoladigan algoritmlari. Geometriya. Nazariya, ma'lumotnoma, USE vazifalarining barcha turlarini tahlil qilish. Stereometriya. Yechish uchun hiyla-nayranglar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan - 13-topshiriqga. Tikish o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarni vizual tushuntirish. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funktsiya va hosila. Imtihonning 2-qismining murakkab masalalarini yechish uchun asos.