Tegishli dars “Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya” (algebra, 10-sinf)

Darsning maqsadi: Talabalarni ketma-ketlikning yangi turi - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bilan tanishtirish.

Uskunalar: proyektor, ekran.

Dars turi: Dars - yangi mavzuni o'zlashtirish.

Darslar davomida

I . Org. moment. Darsning mavzusi va maqsadi haqida xabar.

II . Talabalarning bilimlarini yangilash.

9-sinfda siz arifmetik va geometrik progressiyalarni o'rgandingiz.

Savollar

1. Arifmetik progressiyaning ta’rifi. (Arifmetik progressiya - ikkinchidan boshlab har bir had bir xil songa qo'shilgan oldingi hadga teng bo'lgan ketma-ketlikdir.)

2. Formula n-arifmetik progressiyaning a'zosi (
)

3. Birinchisining yig‘indisi formulasi n arifmetik progressiyaning a'zolari.

(
yoki
)

4. Geometrik progressiyaning ta’rifi. (Geometrik progressiya - bu nolga teng bo'lmagan sonlar ketma-ketligi bo'lib, ularning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingi hadning bir xil songa ko'paytirilishiga tengdir.)

5. Formula n-geometrik progressiyaning a'zosi (

)

6. Birinchisining yig'indisi formulasi n geometrik progressiyaning a'zolari. (
)

7. Siz haligacha qanday formulalarni bilasiz?

(
, qayerda
;
;
;
,
)

5. Geometrik progressiya uchun
beshinchi hadni toping.

6. Geometrik progressiya uchun
toping n-chi a'zo.

7. Eksponensial b 3 = 8 Va b 5 = 2 . Toping b 4 . (4)

8. Eksponensial b 3 = 8 Va b 5 = 2 . Toping b 1 Va q .

9. Eksponensial b 3 = 8 Va b 5 = 2 . Toping S 5 . (62)

III . Yangi mavzuni o'rganish(namoyish taqdimoti).

Tomoni 1 ga teng bo'lgan kvadratni ko'rib chiqaylik. Yana bir kvadrat chizamiz, uning tomoni birinchi kvadratning yarmi, keyin boshqasi, tomoni ikkinchi yarmi, keyin keyingi va hokazo. Har safar yangi kvadratning tomoni avvalgisining yarmiga teng.

Natijada biz kvadratchalar ketma-ketligini oldik maxraj bilan geometrik progressiya hosil qilish.

Va, eng muhimi, biz bunday kvadratlarni qanchalik ko'p qursak, kvadratning yon tomoni shunchalik kichik bo'ladi. Misol uchun,

Bular. n soni ortishi bilan progressiyaning shartlari nolga yaqinlashadi.

Ushbu raqam yordamida yana bir ketma-ketlikni ko'rib chiqish mumkin.

Masalan, kvadrat maydonlarining ketma-ketligi:

. Va yana, agar n cheksiz ortadi, keyin maydon nolga yaqinlashadi o'zboshimchalik bilan.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Tomoni 1 sm bo'lgan teng tomonli uchburchak. Keyingi uchburchakni 1-uchburchak tomonlarining oʻrta nuqtalarida uchlari boʻlgan uchburchak oʻrta chiziq teoremasiga koʻra quramiz – 2-chi tomoni birinchi tomonning yarmiga teng, 3-chi tomoni esa yarim tomonning yarmiga teng. 2-chi va boshqalar. Yana uchburchaklar tomonlarining uzunliklari ketma-ketligini olamiz.

da
.

Agar manfiy maxrajli geometrik progressiyani ko'rib chiqsak.

Keyin, yana, ortib borayotgan raqamlar bilan n progressiyaning shartlari nolga yaqinlashadi.

Keling, ushbu ketma-ketliklarning maxrajlariga e'tibor qaratamiz. Hamma joyda denominatorlar 1 moduldan kam edi.

Xulosa qilishimiz mumkin: geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli 1 dan kichik bo'lsa, u cheksiz kamayib boradi.

Ta'rifi:

Geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli birdan kichik bo'lsa, cheksiz kamayuvchi deyiladi.
.

Ta'rif yordamida geometrik progressiyaning cheksiz kamayishi yoki yo'qligi haqidagi savolni hal qilish mumkin.

Vazifa

Ketma-ketlik quyidagi formula bilan berilgan bo'lsa, u cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bo'ladimi:

;
.

Yechim:

. Keling, topamiz q .

;
;
;
.

bu geometrik progressiya cheksiz kamayib bormoqda.

b) bu ketma-ketlik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya emas.

Yoni 1 ga teng bo'lgan kvadratni ko'rib chiqing. Uni yarmiga bo'ling, yarmidan birini yana yarmiga bo'ling va hokazo. Olingan barcha to'rtburchaklarning maydonlari cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani hosil qiladi:

Shu tarzda olingan barcha to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi 1-kvadratning maydoniga teng va 1 ga teng bo'ladi.

Darsning maqsadi: talabalarni ketma-ketlikning yangi turi - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bilan tanishtirish.
Vazifalar:
sonli ketma-ketlik chegarasining dastlabki g'oyasini shakllantirish;
cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasidan foydalanib, cheksiz davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning boshqa usuli bilan tanishish;
maktab o'quvchilari shaxsining mantiqiy fikrlash, baholash harakatlari, umumlashtirish kabi intellektual fazilatlarini rivojlantirish;
faollikni, o'zaro yordamni, kollektivizmni, mavzuga qiziqishni tarbiyalash.

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

Tegishli dars “Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya” (algebra, 10-sinf)

Darsning maqsadi: Talabalarni ketma-ketlikning yangi turi - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bilan tanishtirish.

Vazifalar:

sonli ketma-ketlik chegarasining dastlabki g'oyasini shakllantirish; cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasidan foydalanib, cheksiz davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning boshqa usuli bilan tanishish;

maktab o'quvchilari shaxsining mantiqiy fikrlash, baholash harakatlari, umumlashtirish kabi intellektual fazilatlarini rivojlantirish;

faollikni, o'zaro yordamni, kollektivizmni, mavzuga qiziqishni tarbiyalash.

Uskunalar: kompyuter sinfi, proyektor, ekran.

Dars turi: Dars - yangi mavzuni o'zlashtirish.

Darslar davomida

I. Org. moment. Darsning mavzusi va maqsadi haqida xabar.

II. Talabalarning bilimlarini yangilash.

9-sinfda siz arifmetik va geometrik progressiyalarni o'rgandingiz.

Savollar

1. Arifmetik progressiyaning ta’rifi.

(Arifmetik progressiya ketma-ketlikdir, unda har bir a'zo,

Ikkinchidan boshlab, u oldingi atamaga teng, xuddi shu raqam bilan qo'shiladi).

2. Formula n -arifmetik progressiyaning a'zosi

3. Birinchisining yig‘indisi formulasi n arifmetik progressiyaning a'zolari.

(yoki)

4. Geometrik progressiyaning ta’rifi.

(Geometrik progressiya - bu nolga teng bo'lmagan sonlar ketma-ketligi,

Har bir a'zo ikkinchisidan boshlab oldingi hadga teng bo'lib, ko'paytiriladi

bir xil raqam).

5. Formula n Geometrik progressiyaning uchinchi hadi

6. Birinchisining yig‘indisi formulasi n geometrik progressiyaning a'zolari.

7. Siz haligacha qanday formulalarni bilasiz?

(, qaerda ; ;

; , )

Vazifalar

1. Arifmetik progressiya formula bilan berilgan a n = 7 - 4n. 10 ni toping. (-33)

2. Arifmetik progressiya a 3 = 7 va 5 = 1. 4 ni toping. (4)

3. Arifmetik progressiya a 3 = 7 va 5 = 1. 17 ni toping. (-35)

4. Arifmetik progressiya a 3 = 7 va 5 = 1. S 17 ni toping. (-187)

5. Geometrik progressiya uchunbeshinchi hadni toping.

6. Geometrik progressiya uchun n-sonni toping.

7. Eksponensial b 3 = 8 va b 5 = 2. b 4 ni toping. (4)

8. Eksponensial b 3 = 8 va b 5 = 2. b 1 va q ni toping.

9. Eksponensial b 3 = 8 va b 5 = 2. S 5 ni toping. (62)

III. Yangi mavzuni o'rganish(namoyish taqdimoti).

Tomoni 1 ga teng bo'lgan kvadratni ko'rib chiqaylik. Yana bir kvadrat chizamiz, uning tomoni birinchi kvadratning yarmi, keyin boshqasi, tomoni ikkinchi yarmi, keyin keyingi va hokazo. Har safar yangi kvadratning tomoni avvalgisining yarmiga teng.

Natijada biz kvadratchalar ketma-ketligini oldikmaxraj bilan geometrik progressiya hosil qilish.

Va, eng muhimi, biz bunday kvadratlarni qanchalik ko'p qursak, kvadratning yon tomoni shunchalik kichik bo'ladi. Misol uchun ,

Bular. n soni ortishi bilan progressiyaning shartlari nolga yaqinlashadi.

Ushbu raqam yordamida yana bir ketma-ketlikni ko'rib chiqish mumkin.

Masalan, kvadrat maydonlarining ketma-ketligi:

Va yana, agar n bo'lsa cheksiz ortadi, keyin maydon nolga yaqinlashadi o'zboshimchalik bilan.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Tomoni 1 sm bo'lgan teng tomonli uchburchak. Keyingi uchburchakni 1-uchburchak tomonlarining oʻrta nuqtalarida uchlari boʻlgan uchburchak oʻrta chiziq teoremasiga koʻra quramiz – 2-chi tomoni birinchi tomonning yarmiga teng, 3-chi tomoni esa yarim tomonning yarmiga teng. 2-chi va boshqalar. Yana uchburchaklar tomonlarining uzunliklari ketma-ketligini olamiz.

Da .

Agar manfiy maxrajli geometrik progressiyani ko'rib chiqsak.

Keyin, yana, ortib borayotgan raqamlar bilan n progressiyaning shartlari nolga yaqinlashadi.

Keling, ushbu ketma-ketliklarning maxrajlariga e'tibor qaratamiz. Hamma joyda denominatorlar 1 moduldan kam edi.

Xulosa qilishimiz mumkin: geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli 1 dan kichik bo'lsa, u cheksiz kamayib boradi.

Old ish.

Ta'rifi:

Geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli birdan kichik bo'lsa, cheksiz kamayuvchi deyiladi..

Ta'rif yordamida geometrik progressiyaning cheksiz kamayishi yoki yo'qligi haqidagi savolni hal qilish mumkin.

Vazifa

Ketma-ketlik quyidagi formula bilan berilgan bo'lsa, u cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bo'ladimi:

Yechim:

q ni topamiz.

; ; ; .

bu geometrik progressiya cheksiz kamayib bormoqda.

b) bu ketma-ketlik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya emas.

Yoni 1 ga teng bo'lgan kvadratni ko'rib chiqing. Uni yarmiga bo'ling, yarmidan birini yana yarmiga bo'ling va hokazo. Olingan barcha to'rtburchaklarning maydonlari cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani hosil qiladi:

Shu tarzda olingan barcha to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi 1-kvadratning maydoniga teng va 1 ga teng bo'ladi.

Ammo bu tenglikning chap tomonida cheksiz sonli hadlar yig'indisi joylashgan.

Birinchi n ta hadning yig'indisini ko'rib chiqing.

Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi formulasiga ko'ra, u ga teng.

Agar n keyin cheksiz ortadi

yoki . Shuning uchun, ya'ni. .

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisiketma-ketlik chegarasi mavjud S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Masalan, rivojlanish uchun,

bizda ... bor

Chunki

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisiformuladan foydalanib topish mumkin.

III. Mulohaza va konsolidatsiya(topshiriqlarni bajarish).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Xulosa qilish.

Bugun qanday ketma-ketlikni uchratdingiz?

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani aniqlang.

Geometrik progressiyaning cheksiz kamayishini qanday isbotlash mumkin?

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasini keltiring.

V. Uyga vazifa.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotlarni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini (hisobini) yarating va tizimga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Har bir inson izchil fikr yurita olishi, xulosa chiqarishi, noto‘g‘ri xulosalarni rad etishi kerak: fizik va shoir, traktorchi va kimyogar. E.Kolman Matematikada formulalarni emas, balki fikrlash jarayonlarini esga olish kerak. VP Ermakov Matematikni aldab o'tishdan ko'ra, aylana kvadratini topish osonroq. Avgust de Morgan Qaysi fan insoniyat uchun matematikadan ko'ra olijanobroq, hayratlanarliroq va foydaliroq bo'lishi mumkin? Franklin

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya 10-sinf

I. Arifmetik va geometrik progressiyalar. Savollar 1. Arifmetik progressiyaning ta'rifi. Arifmetik progressiya - ikkinchidan boshlab har bir had bir xil songa qo'shilgan oldingi hadga teng bo'lgan ketma-ketlikdir. 2. Arifmetik progressiyaning n-azosining formulasi. 3. Arifmetik progressiyaning birinchi n ta a'zosi yig'indisi formulasi. 4. Geometrik progressiyaning ta’rifi. Geometrik progressiya nolga teng bo'lmagan sonlar ketma-ketligi bo'lib, ularning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingi a'zoning bir xil songa ko'paytirilgan 5 ga teng. Geometrik progressiyaning n-azosining formulasi. 6. Geometrik progressiyaning birinchi n ta a’zosi yig‘indisi formulasi.

II. Arifmetik progressiya. Topshiriqlar Arifmetik progressiya a n = 7 – 4 n formula bilan berilgan a 10 ni toping. (-33) 2. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 va a 5 = 1 . 4 ni toping. (4) 3. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 va a 5 = 1 . 17 ni toping. (-35) 4. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 va a 5 = 1 . S 17 ni toping. (-187)

II. Geometrik progressiya. Topshiriqlar 5. Geometrik progressiya uchun beshinchi hadni toping 6. Geometrik progressiya uchun n-chi hadni toping. 7. Eksponensial b 3 = 8 va b 5 = 2. b 4 ni toping. (4) 8. Geometrik progressiyada b 3 = 8 va b 5 = 2. b 1 va q ni toping. 9. Geometrik progressiyada b 3 = 8 va b 5 = 2. S 5 ni toping. (62)

ta'rifi: Geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli birdan kichik bo'lsa, cheksiz kamayuvchi deyiladi.

Masala №1 Ketma-ketlik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyami, agar u quyidagi formula bilan berilgan bo'lsa: Yechish: a) bu geometrik progressiya cheksiz kamayib bormoqda. b) bu ​​ketma-ketlik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya emas.

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi S 1, S 2, S 3, …, S n, … ketma-ketlikning chegarasi hisoblanadi. Masalan, progressiya uchun bizda bor, chunki cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini formula bilan topish mumkin.

Topshiriqlarni bajarish Birinchi hadi 3, ikkinchisi 0,3 bo‘lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisini toping. 2. № 13; № 14; darslik, 138-bet 3. No 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. № 19; № 20.

Bugun qanday ketma-ketlikni uchratdingiz? Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani aniqlang. Geometrik progressiyaning cheksiz kamayishini qanday isbotlash mumkin? Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasini keltiring. Savollar

Mashhur polshalik matematigi Gyugo Shtaynxaus hazillashib, shunday tuzilgan qonun borligini aytadi: matematik buni yaxshiroq bajaradi. Ya'ni, agar siz ikki kishiga, ulardan biri matematik bo'lgan, ular bilmagan har qanday ishni bajarishni ishonib topshirsangiz, natija doimo quyidagicha bo'ladi: matematik buni yaxshiroq bajaradi. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Birinchi daraja

Geometrik progressiya. Misollar bilan to'liq qo'llanma (2019)

Raqamli ketma-ketlik

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Misol uchun:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular). Qancha son yozmaylik, ularning qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi ekanligini va shunga o'xshash oxirgisini aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamli ketma-ketlik raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam faqat bitta tartib raqamiga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (-chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.

Raqamli son qatorning --chi a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,), va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi - bu a'zoning soniga teng indeksli bir xil harf: .

Bizning holatda:

Progressiyaning eng keng tarqalgan turlari arifmetik va geometrikdir. Ushbu mavzuda biz ikkinchi tur haqida gaplashamiz - geometrik progressiya.

Nima uchun bizga geometrik progressiya va uning tarixi kerak.

Hatto qadimgi davrlarda ham italyan matematigi, Pizalik monax Leonardo (yaxshiroq Fibonachchi nomi bilan mashhur) savdoning amaliy ehtiyojlari bilan shug'ullangan. Rohibning oldida tovarlarni tortish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan eng kichik og'irliklarni aniqlash vazifasi bor edi? Fibonachchi o'z asarlarida bunday og'irliklar tizimi optimal ekanligini isbotlaydi: Bu odamlar geometrik progressiya bilan shug'ullanishi kerak bo'lgan birinchi vaziyatlardan biri bo'lib, bu haqda siz eshitgansiz va hech bo'lmaganda umumiy tasavvurga ega bo'lgandirsiz. Mavzuni to'liq tushunganingizdan so'ng, nima uchun bunday tizim optimal ekanligini o'ylab ko'ring?

Hozirgi vaqtda hayotiy amaliyotda geometrik progressiya bankka pul mablag'larini qo'yishda, oldingi davr uchun hisobvaraqda to'plangan summaga foizlar miqdori hisoblanganda o'zini namoyon qiladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar siz omonat kassasiga muddatli depozitga pul qo'ysangiz, unda bir yil ichida omonat dastlabki summadan ko'payadi, ya'ni. yangi summa ko'paytirilgan hissaga teng bo'ladi. Yana bir yilda bu miqdor oshadi, ya'ni. o'sha paytda olingan miqdor yana ko'paytiriladi va hokazo. Shunga o'xshash holat deb ataladigan hisoblash muammolarida tasvirlangan murakkab foiz- foiz har safar oldingi foizlarni hisobga olgan holda hisobdagi summadan olinadi. Bu vazifalar haqida biroz keyinroq gaplashamiz.

Geometrik progressiya qo'llaniladigan yana ko'p oddiy holatlar mavjud. Masalan, grippning tarqalishi: bir kishi odamni yuqtirgan, ular o'z navbatida boshqa odamni yuqtirgan va shu tariqa infektsiyaning ikkinchi to'lqini - odam, va ular, o'z navbatida, boshqasini yuqtirgan ... va hokazo. .

Aytgancha, moliyaviy piramida, xuddi shu MMM, geometrik progressiyaning xususiyatlariga ko'ra oddiy va quruq hisob-kitobdir. Qiziqmi? Keling, buni aniqlaylik.

Geometrik progressiya.

Aytaylik, bizda raqamlar ketma-ketligi bor:

Siz darhol javob berasiz, bu oson va bunday ketma-ketlikning nomi a'zolarining farqi bilan arifmetik progressiyadir. Shunga o'xshash narsa haqida nima deyish mumkin:

Agar siz oldingi raqamni keyingi raqamdan ayirsangiz, har safar yangi farq (va hokazo) paydo bo'lishini ko'rasiz, lekin ketma-ketlik aniq mavjud va uni sezish oson - har bir keyingi raqam avvalgisidan bir necha baravar katta. !

Ushbu turdagi ketma-ketlik deyiladi geometrik progressiya va belgilangan.

Geometrik progressiya ( ) sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir had oldingisiga teng boʻlib, bir xil songa koʻpaytiriladi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi.

Birinchi had ( ) teng emas va tasodifiy bo'lmagan cheklovlar. Aytaylik, hech kim yo'q va birinchi had hali ham teng, q esa, hmm .. bo'lsin, keyin shunday bo'ladi:

Bu hech qanday taraqqiyot emasligiga rozi bo'ling.

Siz tushunganingizdek, agar u noldan boshqa har qanday raqam bo'lsa, biz bir xil natijalarga erishamiz, lekin. Bunday hollarda, hech qanday progressiya bo'lmaydi, chunki butun sonlar seriyasi yoki hammasi nolga, yoki bitta raqamga, qolganlari esa nolga teng bo'ladi.

Endi geometrik progressiyaning maxraji haqida, ya'ni haqida batafsil to'xtalib o'tamiz.

Yana takrorlaymiz: - bu raqam, har bir keyingi atama necha marta o'zgaradi geometrik progressiya.

Sizningcha, bu nima bo'lishi mumkin? To'g'ri, ijobiy va salbiy, lekin nolga teng emas (biz bu haqda biroz yuqoriroq gaplashdik).

Aytaylik, bizda ijobiy narsa bor. Bizning holatda, a. Ikkinchi atama nima va? Bunga osongina javob berishingiz mumkin:

Hammasi to'g'ri. Shunga ko'ra, agar, unda progressiyaning barcha keyingi a'zolari bir xil belgiga ega - ular ijobiy.

Agar salbiy bo'lsa-chi? Masalan, a. Ikkinchi atama nima va?

Bu butunlay boshqacha hikoya

Ushbu progressiyaning muddatini hisoblashga harakat qiling. Qancha oldingiz? Menda. Shunday qilib, agar, u holda geometrik progressiya hadlari belgilari almashinadi. Ya'ni, agar siz uning a'zolarida o'zgaruvchan belgilar bilan progressiyani ko'rsangiz, unda uning maxraji salbiy hisoblanadi. Ushbu bilim ushbu mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishda o'zingizni sinab ko'rishga yordam beradi.

Keling, biroz mashq qilaylik: qaysi sonli ketma-ketliklar geometrik progressiya va qaysilari arifmetik ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Tushundim? Javoblarimizni solishtiring:

• Geometrik progressiya - 3, 6.
• Arifmetik progressiya - 2, 4.
• Bu arifmetik ham, geometrik progressiya ham emas - 1, 5, 7.

Keling, oxirgi progressiyamizga qaytaylik va uning hadini arifmetikadagi kabi topishga harakat qilaylik. Siz taxmin qilganingizdek, uni topishning ikki yo'li mavjud.

Har bir atamani ketma-ket ko'paytiramiz.

Demak, tasvirlangan geometrik progressiyaning --chi a'zosi ga teng.

Siz allaqachon taxmin qilganingizdek, endi siz o'zingiz geometrik progressiyaning istalgan a'zosini topishga yordam beradigan formulani olasiz. Yoki siz buni o'zingiz uchun olib keldingizmi, qanday qilib th a'zosini bosqichma-bosqich topishni tasvirlab berdingizmi? Agar shunday bo'lsa, unda fikringizning to'g'riligini tekshiring.

Buni bu progressiyaning --chi a'zosini topish misolida ko'rsatamiz:

Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Berilgan geometrik progressiyaning a'zosining qiymatini toping.

Bo'ldimi? Javoblarimizni solishtiring:

E'tibor bering, biz geometrik progressiyaning har bir oldingi a'zosiga ketma-ket ko'paytirganda oldingi usulda bo'lgani kabi bir xil raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - biz uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:

Olingan formula barcha qiymatlar uchun to'g'ri keladi - ham ijobiy, ham salbiy. Quyidagi shartlar bilan geometrik progressiyaning hadlarini hisoblash orqali buni o'zingiz tekshiring: , a.

Hisobladingizmi? Keling, natijalarni taqqoslaylik:

A'zo bo'lgani kabi progressiya a'zosini ham topish mumkinligiga rozi bo'ling, ammo noto'g'ri hisoblash ehtimoli bor. Va agar biz geometrik progressiyaning a hadini allaqachon topgan bo'lsak, formulaning "kesilgan" qismini ishlatishdan ko'ra osonroq nima bo'lishi mumkin.

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya.

Yaqinda biz noldan katta yoki kichik bo'lishi mumkin bo'lgan narsalar haqida gaplashdik, ammo geometrik progressiya deb ataladigan maxsus qiymatlar mavjud. cheksiz kamayadi.

Nima uchun bunday nom bor deb o'ylaysiz?
Boshlash uchun a'zolardan iborat geometrik progressiyani yozamiz.
Aytaylik, keyin:

Biz har bir keyingi atama oldingisidan kamroq ekanligini ko'rmoqdamiz, lekin biron bir raqam bo'ladimi? Siz darhol javob berasiz - "yo'q". Shuning uchun ham cheksiz kamayuvchi - kamayadi, kamayadi, lekin hech qachon nolga aylanmaydi.

Bu vizual tarzda qanday ko'rinishini aniq tushunish uchun, keling, progressiyamizning grafigini chizishga harakat qilaylik. Shunday qilib, bizning holatlarimiz uchun formula quyidagi shaklni oladi:

Grafiklarda biz qaramlikni yaratishga odatlanganmiz, shuning uchun:

Ifodaning mohiyati o‘zgarmagan: birinchi yozuvda biz geometrik progressiya a’zosining qiymatini uning tartib raqamiga bog‘liqligini ko‘rsatdik, ikkinchi yozuvda esa oddiygina geometrik progressiya a’zosining qiymatini uchun oldik, va tartib son sifatida emas, balki sifatida belgilandi. Buning uchun faqat grafikni chizish qoladi.
Keling, nima borligini bilib olaylik. Mana men olgan diagramma:

Koʻrdingizmi? Funktsiya kamayadi, nolga intiladi, lekin uni hech qachon kesib o'tmaydi, shuning uchun u cheksiz kamayadi. Keling, grafikdagi nuqtalarimizni va shu bilan birga koordinata va nimani anglatishini belgilaymiz:

Geometrik progressiyaning grafigini sxematik tasvirlashga harakat qiling, agar uning birinchi hadi ham teng bo'lsa. Tahlil qiling, oldingi jadvalimizdan qanday farq bor?

Siz boshqardingizmi? Mana men olgan diagramma:

Endi siz geometrik progressiya mavzusining asoslarini to‘liq tushunib oldingiz: siz uning nima ekanligini bilasiz, uning hadini qanday topishni bilasiz, shuningdek, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya nima ekanligini ham bilasiz, keling, uning asosiy xususiyatiga o‘tamiz.

geometrik progressiyaning xossasi.

Arifmetik progressiya a'zolarining xossasini eslaysizmi? Ha, ha, bu progressiya a'zolarining oldingi va keyingi qiymatlari mavjud bo'lganda progressiyaning ma'lum sonining qiymatini qanday topish mumkin. Esingizdami? Bu:

Endi biz geometrik progressiyaning shartlari uchun aynan bir xil savolga duch kelamiz. Bunday formulani olish uchun rasm chizish va mulohaza yuritishni boshlaylik. Ko'rasiz, bu juda oson, agar unutib qo'ysangiz, uni o'zingiz chiqarib olishingiz mumkin.

Keling, yana bir oddiy geometrik progressiyani olaylik, unda biz bilamiz va. Qanday topish mumkin? Arifmetik progressiya bilan bu oson va sodda, ammo bu erda qanday? Aslida, geometriyada ham murakkab narsa yo'q - siz bizga berilgan har bir qiymatni formula bo'yicha bo'yashingiz kerak.

Siz so'raysiz va endi u bilan nima qilamiz? Ha, juda oddiy. Boshlash uchun, keling, ushbu formulalarni rasmda tasvirlaymiz va qiymatga erishish uchun ular bilan turli xil manipulyatsiyalar qilishga harakat qilamiz.

Biz berilgan raqamlardan mavhumlashamiz, biz faqat ularning formula orqali ifodalanishiga e'tibor qaratamiz. Biz unga qo'shni shartlarni bilib, to'q sariq rangda ta'kidlangan qiymatni topishimiz kerak. Keling, ular bilan turli xil harakatlarni bajarishga harakat qilaylik, buning natijasida biz olishimiz mumkin.

Qo'shish.
Keling, ikkita iborani qo'shishga harakat qilaylik va biz quyidagilarni olamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu ifodadan biz hech qanday tarzda ifoda eta olmaymiz, shuning uchun biz boshqa variantni - ayirishni sinab ko'ramiz.

Ayirish.

Ko'rib turganingizdek, biz bundan ham ifoda eta olmaymiz, shuning uchun biz bu iboralarni bir-biriga ko'paytirishga harakat qilamiz.

Ko'paytirish.

Endi bizda nima borligini diqqat bilan ko'rib chiqing, bizga berilgan geometrik progressiyaning shartlarini topilishi kerak bo'lgan narsalarga ko'paytiring:

O'ylab ko'ring, men nima haqida gapiryapman? To'g'ri, uni topish uchun biz kerakli songa qo'shni bo'lgan geometrik progressiya sonlarining kvadrat ildizini bir-biriga ko'paytirishimiz kerak:

Mana. Siz o'zingiz geometrik progressiyaning xususiyatini aniqladingiz. Ushbu formulani umumiy shaklda yozishga harakat qiling. Bo'ldimi?

Qachon shartni unutdingiz? Nima uchun muhimligini o'ylab ko'ring, masalan, uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling, da. Bu holatda nima bo'ladi? To'g'ri, mutlaqo bema'nilik, chunki formula quyidagicha ko'rinadi:

Shunga ko'ra, bu cheklovni unutmang.

Endi nima ekanligini hisoblaylik

To'g'ri javob -! Agar siz hisoblashda ikkinchi mumkin bo'lgan qiymatni unutmagan bo'lsangiz, unda siz ajoyib odamsiz va siz darhol mashg'ulotlarga o'tishingiz mumkin va agar unutgan bo'lsangiz, quyida tahlil qilingan narsalarni o'qing va javobda nima uchun ikkala ildiz ham yozilishi kerakligiga e'tibor bering. .

Keling, ikkala geometrik progressiyamizni chizamiz - biri qiymatga ega, ikkinchisi esa qiymatga ega va ularning ikkalasi ham mavjud bo'lish huquqiga ega yoki yo'qligini tekshiramiz:

Bunday geometrik progressiya bor yoki yo'qligini tekshirish uchun uning barcha berilgan a'zolari orasida bir xil ekanligini ko'rish kerakmi? Birinchi va ikkinchi holatlar uchun q ni hisoblang.

Qarang, nega ikkita javob yozishimiz kerak? Chunki talab qilingan atamaning belgisi uning ijobiy yoki salbiy ekanligiga bog'liq! Va bu nima ekanligini bilmaganimiz uchun ikkala javobni ham ortiqcha va minus bilan yozishimiz kerak.

Endi siz asosiy fikrlarni o'zlashtirganingiz va geometrik progressiyaning xossasi formulasini chiqarganingizdan so'ng, toping, biling va

Javoblaringizni to'g'rilari bilan solishtiring:

Nima deb o'ylaysiz, agar bizga geometrik progressiya a'zolarining qiymatlari kerakli songa qo'shni emas, balki undan teng masofada berilsa nima bo'ladi? Masalan, topishimiz kerak, va berilgan va. Bu holatda biz olingan formuladan foydalana olamizmi? Formulani dastlab olishda qilganingizdek, har bir qiymat nimadan iboratligini tasvirlab, bu imkoniyatni xuddi shu tarzda tasdiqlash yoki rad etishga harakat qiling.
Nima oldingiz?

Endi yana diqqat bilan qarang.
va mos ravishda:

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, formula ishlaydi nafaqat qo'shni bilan geometrik progressiyaning kerakli shartlari bilan, balki bilan teng masofada a'zolar qidirayotgan narsadan.

Shunday qilib, bizning asl formulamiz:

Ya'ni, agar biz birinchi holatda shunday degan bo'lsak, endi u kichik bo'lgan har qanday natural songa teng bo'lishi mumkinligini aytamiz. Asosiysi, berilgan ikkala raqam uchun ham bir xil bo'lish.

Muayyan misollar ustida mashq qiling, faqat juda ehtiyot bo'ling!

1. , . Topmoq.
2. , . Topmoq.
3. , . Topmoq.

Qaror qildingizmi? Umid qilamanki, siz juda ehtiyot bo'ldingiz va kichik bir ovni payqadingiz.

Natijalarni solishtiramiz.

Birinchi ikkita holatda biz yuqoridagi formulani xotirjamlik bilan qo'llaymiz va quyidagi qiymatlarni olamiz:

Uchinchi holatda, bizga berilgan raqamlarning seriya raqamlarini sinchkovlik bilan ko'rib chiqsak, ular biz izlayotgan raqamdan bir xil masofada emasligini tushunamiz: bu oldingi raqam, lekin o'rnida olib tashlangan, shuning uchun bu mumkin emas. formulani qo'llash uchun.

Uni qanday hal qilish mumkin? Bu aslida ko'rinadigan darajada qiyin emas! Bizga berilgan har bir raqam va kerakli raqam nimadan iboratligini siz bilan birga yozamiz.

Shunday qilib, bizda va. Keling, ular bilan nima qilishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik. Men ajratishni taklif qilaman. Biz olamiz:

Biz ma'lumotlarimizni formulaga almashtiramiz:

Biz topishimiz mumkin bo'lgan keyingi qadam - buning uchun natijada olingan raqamning kub ildizini olishimiz kerak.

Endi bizda nima borligini yana bir bor ko'rib chiqaylik. Bizda bor, lekin topishimiz kerak va u o'z navbatida quyidagilarga teng:

Hisoblash uchun barcha kerakli ma'lumotlarni topdik. Formuladagi o'rniga:

Bizning javobimiz: .

Boshqa bir xil muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling:
Berilgan: ,
Topmoq:

Qancha oldingiz? Menda - .

Ko'rib turganingizdek, aslida sizga kerak faqat bitta formulani eslang- . Qolganlarini istalgan vaqtda hech qanday qiyinchiliksiz o'zingiz olib qo'yishingiz mumkin. Buning uchun qog'ozga eng oddiy geometrik progressiyani yozing va yuqoridagi formula bo'yicha uning har bir soni nimaga teng ekanligini yozing.

Geometrik progressiya hadlari yig'indisi.

Endi berilgan oraliqda geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisini tezda hisoblash imkonini beruvchi formulalarni ko‘rib chiqing:

Cheklangan geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasini chiqarish uchun yuqoridagi tenglamaning barcha qismlarini ga ko‘paytiramiz. Biz olamiz:

Diqqat bilan qarang: oxirgi ikkita formulada qanday umumiylik bor? To'g'ri, umumiy a'zolar, masalan va boshqalar, birinchi va oxirgi a'zodan tashqari. Keling, 2-tenglamadan 1-tenglamani ayirishga harakat qilaylik. Nima oldingiz?

Endi geometrik progressiyaning a'zosi formulasi orqali ifodalang va olingan ifodani oxirgi formulamizga almashtiring:

Ifodani guruhlash. Siz olishingiz kerak:

Buning uchun faqat ifoda etish qoladi:

Shunga ko'ra, bu holatda.

Agar .. bo'lsa nima bo'ladi? Keyin qanday formula ishlaydi? Geometrik progressiyani tasavvur qiling. U qanday? To'g'ri bir xil raqamlar qatori mos ravishda formula quyidagicha ko'rinadi:

Arifmetik va geometrik progressiya kabi, ko'plab afsonalar mavjud. Ulardan biri shaxmatning yaratuvchisi Set haqidagi afsonadir.

Shaxmat o‘yini Hindistonda ixtiro qilinganini ko‘pchilik biladi. Hind qiroli u bilan uchrashganida, uning aql-zakovati va undagi turli xil pozitsiyalardan xursand bo'ldi. Buni o'z fuqarolaridan biri ixtiro qilganini bilib, qirol uni shaxsan mukofotlashga qaror qildi. U ixtirochini o'ziga chaqirdi va undan xohlagan narsani so'rashni buyurdi, hatto eng mohir istakni bajarishga va'da berdi.

Seta o'ylash uchun vaqt so'radi va ertasi kuni Seta podshoh huzuriga kelganida, u o'z iltimosining misli ko'rilmagan kamtarligi bilan qirolni hayratda qoldirdi. U shaxmat taxtasining birinchi kvadratiga bir dona bug'doy, ikkinchisiga bug'doy, uchinchi, to'rtinchi va hokazo bug'doy so'radi.

Shoh g'azablanib, xizmatkorning iltimosi qirollik saxiyligiga loyiq emasligini aytib, Setni haydab yubordi, lekin xizmatkor o'z donalarini taxtaning barcha hujayralari uchun olishini va'da qildi.

Va endi savol: geometrik progressiyaning a'zolari yig'indisi formulasidan foydalanib, Set qancha don olishi kerakligini hisoblang?

Keling, muhokamani boshlaylik. Shartga ko'ra, Set shaxmat taxtasining birinchi katakchasi uchun, ikkinchisi, uchinchisi, to'rtinchisi va boshqalar uchun bug'doy donini so'raganligi sababli, muammo geometrik progressiya haqida ekanligini ko'ramiz. Bu holatda nima teng?
To'g'ri.

Shaxmat taxtasining umumiy kataklari. Tegishli ravishda, . Bizda barcha ma'lumotlar bor, faqat formulaga almashtirish va hisoblash uchun qoladi.

Hech bo'lmaganda ma'lum bir raqamning "shkalasi" ni ifodalash uchun biz darajaning xususiyatlaridan foydalanib o'zgartiramiz:

Albatta, agar xohlasangiz, kalkulyatorni olib, qanday raqam bilan yakunlanganingizni hisoblab chiqishingiz mumkin, agar bo'lmasa, mening so'zimni qabul qilishingiz kerak bo'ladi: ifodaning yakuniy qiymati bo'ladi.
Ya'ni:

kvintilion kvadrillion trillion milliard million ming.

Fuh) Agar siz bu raqamning ulkanligini tasavvur qilmoqchi bo'lsangiz, unda butun don miqdorini joylashtirish uchun qanday o'lchamdagi ombor kerak bo'lishini taxmin qiling.
Ombor balandligi m va kengligi m bo'lsa, uning uzunligi km ga cho'zilishi kerak edi, ya'ni. Yerdan Quyoshgacha bo'lgan masofadan ikki baravar uzoqroqdir.

Agar podshoh matematikada kuchli bo‘lsa, donlarni sanashni olimning o‘ziga taklif qilishi mumkin edi, chunki million donni sanash uchun unga hech bo‘lmaganda bir kun tinimsiz hisoblash kerak bo‘lardi va kvintilionlarni sanash zarurligini hisobga olsak. donlar butun umri davomida hisoblanishi kerak edi.

Endi esa geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisiga doir oddiy masalani yechamiz.
5-sinf o'quvchisi Vasya gripp bilan kasal bo'lib qoldi, lekin maktabga borishda davom etmoqda. Har kuni Vasya ikki kishini yuqtiradi, ular o'z navbatida yana ikkita odamni yuqtirishadi va hokazo. Sinfda faqat bir kishi. Necha kundan keyin butun sinf grippga chalinadi?

Demak, geometrik progressiyaning birinchi a’zosi Vasya, ya’ni odamdir. Geometrik progressiyaning th a'zosi, bular u kelishining birinchi kunida yuqtirgan ikki kishidir. Progressiya a'zolarining umumiy yig'indisi 5A o'quvchilar soniga teng. Shunga ko'ra, biz rivojlanish haqida gapiramiz, unda:

Keling, ma'lumotlarimizni geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi formulasiga almashtiramiz:

Bir necha kun ichida butun sinf kasal bo'lib qoladi. Formulalar va raqamlarga ishonmaysizmi? O'quvchilarning "infektsiyasini" o'zingiz tasvirlashga harakat qiling. Bo'ldimi? Bu men uchun qanday ko'rinishini ko'ring:

O'zingiz hisoblab ko'ring, agar hamma odamni yuqtirsa, sinfda bir kishi bo'lsa, o'quvchilar necha kun gripp bilan kasallanadi.

Siz qanday qiymatga ega bo'ldingiz? Ma'lum bo'lishicha, bir kundan keyin hamma kasal bo'la boshlagan.

Ko'rib turganingizdek, bunday vazifa va uning uchun rasm piramidaga o'xshaydi, unda har bir keyingi yangi odamlarni "olib keladi". Biroq, ertami-kechmi, ikkinchisi hech kimni jalb qila olmaydigan payt keladi. Bizning holatda, agar sinf izolyatsiya qilingan deb tasavvur qilsak, dan kelgan kishi zanjirni yopadi (). Shunday qilib, agar biror kishi boshqa ikkita ishtirokchini olib kelgan bo'lsangiz, pul berilgan moliyaviy piramidada ishtirok etgan bo'lsa, u holda u (yoki umumiy holatda) hech kimni olib kelmaydi, mos ravishda bu moliyaviy firibgarlikka sarmoya kiritgan hamma narsadan mahrum bo'ladi. .

Yuqorida aytilganlarning barchasi kamayib borayotgan yoki ortib borayotgan geometrik progressiyani anglatadi, lekin siz eslayotganingizdek, bizda o'ziga xos tur bor - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya. Uning a'zolari yig'indisini qanday hisoblash mumkin? Va nima uchun bu turdagi progressiya ma'lum xususiyatlarga ega? Keling, buni birgalikda aniqlaylik.

Shunday qilib, yangi boshlanuvchilar uchun, keling, bizning misolimizdagi cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning ushbu rasmiga yana qaraylik:

Keling, biroz oldin olingan geometrik progressiya yig'indisining formulasini ko'rib chiqaylik:
yoki

Biz nimaga intilyapmiz? To'g'ri, grafik uning nolga moyilligini ko'rsatadi. Ya'ni, qachon, u deyarli teng bo'ladi, mos ravishda, ifodani hisoblashda biz deyarli olamiz. Shu munosabat bilan, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini hisoblashda, bu qavsni e'tiborsiz qoldirish mumkin, deb hisoblaymiz, chunki u teng bo'ladi.

- formula cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig'indisidir.

MUHIM! Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya hadlari yig‘indisi formulasidan faqat shart yig‘indini topishimiz kerakligini aniq ko‘rsatsagina foydalanamiz. cheksiz a'zolar soni.

Agar ma'lum bir n raqami ko'rsatilgan bo'lsa, biz yoki bo'lsa ham, n ta a'zoning yig'indisi uchun formuladan foydalanamiz.

Va endi mashq qilaylik.

1. Geometrik progressiyaning birinchi hadlari yig‘indisini va bilan toping.
2. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisini va bilan toping.

Umid qilamanki, siz juda ehtiyot bo'ldingiz. Javoblarimizni solishtiring:

Endi siz geometrik progressiya haqida hamma narsani bilasiz va nazariyadan amaliyotga o'tish vaqti keldi. Imtihonda topilgan eng keng tarqalgan eksponensial muammolar murakkab qiziqish muammolaridir. Biz ular haqida gaplashamiz.

Murakkab foizlarni hisoblash masalalari.

Murakkab foiz formulasi haqida eshitgan bo'lsangiz kerak. U nimani nazarda tutayotganini tushunyapsizmi? Agar yo'q bo'lsa, keling, buni aniqlaylik, chunki jarayonning o'zini anglaganingizdan so'ng, siz geometrik progressiyaning unga qanday aloqasi borligini darhol tushunasiz.

Biz hammamiz bankka borib, depozitlar uchun turli shartlar borligini bilamiz: bu muddat va qo'shimcha xizmat ko'rsatish va uni hisoblashning ikki xil usuli bilan foizlar - oddiy va murakkab.

FROM oddiy qiziqish hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq: foizlar depozit muddati oxirida bir marta olinadi. Ya'ni, agar biz yiliga 100 rubl qo'yish haqida gapiradigan bo'lsak, unda ular faqat yil oxirida hisobga olinadi. Shunga ko'ra, depozitning oxirigacha biz rubl olamiz.

Murakkab foiz variant bo'lib, unda foiz kapitallashuvi, ya'ni. ularning omonat summasiga qo'shilishi va depozitning dastlabki summasidan emas, balki to'plangan summasidan daromadning keyingi hisob-kitobi. Kapitallashtirish doimiy ravishda sodir bo'lmaydi, lekin ma'lum bir davriylik bilan. Qoidaga ko'ra, bunday muddatlar tengdir va ko'pincha banklar bir oy, chorak yoki yilni ishlatadilar.

Aytaylik, biz yiliga bir xil rubl qo'yamiz, lekin omonatning oylik kapitallashuvi bilan. Biz nima olamiz?

Bu erda hamma narsani tushunyapsizmi? Agar yo'q bo'lsa, keling, bosqichma-bosqich ko'rib chiqaylik.

Biz bankka rubl olib keldik. Oyning oxiriga kelib, bizning hisobimizda rubllarimiz va ularga nisbatan foizlardan iborat miqdor bo'lishi kerak, ya'ni:

Rozimisiz?

Biz uni qavsdan olib tashlashimiz mumkin va keyin biz olamiz:

Qabul qiling, bu formula biz boshida yozganimizga ko'proq o'xshaydi. Bu foizlar bilan shug'ullanish uchun qoladi

Muammoning holatida bizga yillik haqida aytiladi. Ma'lumki, biz ko'paytirmaymiz - foizlarni o'nli kasrlarga aylantiramiz, ya'ni:

To'g'rimi? Endi so‘rayapsiz, raqam qayerdan keldi? Juda onson!
Takror aytaman: muammoning holati haqida YILLIK hisoblangan foizlar OYLIK. Ma'lumki, bir yil ichida, mos ravishda, bank bizdan oyiga yillik foizlarning bir qismini undiradi:

Tushundimi? Endi foizlar har kuni hisoblab chiqiladi, desam formulaning bu qismi qanday ko'rinishini yozishga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi? Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Barakalla! Keling, vazifamizga qaytaylik: jamg'arilgan omonat summasidan foizlar hisoblanishini hisobga olib, ikkinchi oyda hisobimizga qancha pul tushishini yozing.
Menga nima bo'ldi:

Yoki boshqacha aytganda:

Menimcha, siz allaqachon naqshni payqadingiz va bularning barchasida geometrik progressiyani ko'rdingiz. Uning a'zosi nimaga teng bo'lishini yoki boshqacha aytganda, oy oxirida qancha pul olishimizni yozing.
Bajarildimi? Tekshirilmoqda!

Ko'rib turganingizdek, agar siz bankka bir yil davomida oddiy foiz evaziga pul qo'ysangiz, u holda siz rubl olasiz va agar siz uni murakkab kursga qo'ysangiz, rubl olasiz. Foyda unchalik katta emas, lekin bu faqat yil davomida sodir bo'ladi, lekin uzoqroq vaqt davomida kapitallashtirish ancha foydali bo'ladi:

Murakkab foiz muammolarining boshqa turini ko'rib chiqing. Siz tushunganingizdan so'ng, bu siz uchun oddiy bo'ladi. Shunday qilib, vazifa:

Zvezda 2000 yilda sanoatga sarmoya kiritishni dollar kapitali bilan boshlagan. 2001 yildan beri har yili o'tgan yilgi kapitalga teng foyda keltirdi. Agar foyda muomaladan olinmagan bo'lsa, Zvezda kompaniyasi 2003 yil oxirida qancha foyda oladi?

2000 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2001 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2002 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2003 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.

Yoki qisqacha yozishimiz mumkin:

Bizning holatimiz uchun:

2000, 2001, 2002 va 2003 yillar.

Mos ravishda:
rubl
E'tibor bering, bu masalada bizda ham, na bo'yicha bo'linish yo'q, chunki foiz YILLIK beriladi va YILLIK hisoblanadi. Ya'ni, murakkab foizlar bo'yicha masalani o'qiyotganda, qancha foiz berilganiga va qaysi davrda undirilganiga e'tibor bering va shundan keyingina hisob-kitoblarga o'ting.
Endi siz geometrik progressiya haqida hamma narsani bilasiz.

Trening.

1. Geometrik progressiyaning hadini toping, agar ma'lum bo'lsa, va
2. Geometrik progressiyaning birinchi hadlari yig‘indisini toping, agar ma’lum bo‘lsa, va
3. MDM Capital 2003 yilda dollar kapitali bilan sanoatga sarmoya kiritishni boshladi. 2004 yildan beri u har yili o'tgan yilgi kapitalga teng foyda ko'rdi. "MSK Cash Flows" kompaniyasi 2005 yilda sanoatga 10 000 AQSh dollari miqdorida sarmoya kirita boshladi, 2006 yilda daromad keltira boshladi. Agar foyda muomaladan olinmagan bo‘lsa, 2007 yil oxirida bir kompaniyaning kapitali boshqasinikidan necha dollarga ko‘p bo‘lgan?

Javoblar:

1. Muammoning sharti progressiyaning cheksiz ekanligini aytmaganligi va uning a'zolarining ma'lum sonining yig'indisini topish talab qilinganligi sababli, hisoblash quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:
2. 
   "MDM Capital" kompaniyasi:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 yillar.
   - 100%, ya'ni 2 barobar ortadi.
   Mos ravishda:
   rubl
   MSK pul oqimlari:

   2005, 2006, 2007 yillar.
   - marta, ya'ni marta ortadi.
   Mos ravishda:
   rubl
   rubl

Keling, xulosa qilaylik.

1) Geometrik progressiya ( ) sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir had oldingisiga teng boʻlib, bir xil songa koʻpaytiriladi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi.

2) Geometrik progressiya a'zolari tenglamasi -.

3) va dan tashqari har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin.

• agar, u holda progressiyaning barcha keyingi a'zolari bir xil belgiga ega - ular ijobiy;
• bo'lsa, progressiyaning barcha keyingi a'zolari muqobil belgilar;
• qachon - progressiya cheksiz kamayuvchi deyiladi.

4) , at - geometrik progressiyaning xossasi (qo‘shni a’zolar)

yoki
, da (teng masofada)

Uni topganingizda, buni unutmang ikkita javob bo'lishi kerak..

Misol uchun,

5) Geometrik progressiya a'zolarining yig'indisi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
yoki

Agar progressiya cheksiz kamayib borayotgan bo'lsa, unda:
yoki

MUHIM! Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya hadlari yig‘indisi formulasidan faqat shart cheksiz sonli hadlar yig‘indisini topish zarurligini aniq ko‘rsatsagina foydalanamiz.

6) Murakkab foizlar bo‘yicha topshiriqlar, shuningdek, pul mablag‘lari muomaladan chiqarilmagan bo‘lsa, geometrik progressiyaning a’zosi formulasi bo‘yicha ham hisoblanadi:

GEOMETRIK PROGRESSIYA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Geometrik progressiya( ) sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir aʼzo avvalgisiga teng boʻlib, bir xil songa koʻpaytiriladi. Bu raqam chaqiriladi geometrik progressiyaning maxraji.

Geometrik progressiyaning maxraji va dan tashqari har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin.

• Agar progressiyaning barcha keyingi a'zolari bir xil belgiga ega bo'lsa - ular ijobiy;
• agar, u holda progressiyaning barcha keyingi a'zolari muqobil belgilar;
• qachon - progressiya cheksiz kamayuvchi deyiladi.

Geometrik progressiya a'zolarining tenglamasi - .

Geometrik progressiya hadlari yig'indisi formula bo'yicha hisoblanadi:
yoki

Geometrik progressiya arifmetika bilan bir qatorda 9-sinfda maktab algebrasi kursida o‘rganiladigan muhim sonlar qatoridir. Ushbu maqolada biz geometrik progressiyaning maxraji va uning qiymati uning xususiyatlariga qanday ta'sir qilishini ko'rib chiqamiz.

Geometrik progressiyaning ta’rifi

Boshlash uchun biz ushbu raqamlar seriyasining ta'rifini beramiz. Geometrik progressiya - bu birinchi elementini maxraj deb ataladigan doimiy songa ketma-ket ko'paytirish natijasida hosil bo'lgan ratsional sonlar qatoridir.

Masalan, 3, 6, 12, 24, ... qatoridagi sonlar geometrik progressiyadir, chunki 3 ni (birinchi elementni) 2 ga ko‘paytirsak, 6 ga erishamiz. 6 ni 2 ga ko‘paytirsak, hosil bo‘ladi. 12 va boshqalar.

Ko'rib chiqilayotgan ketma-ketlikning a'zolari odatda ai belgisi bilan belgilanadi, bu erda i qator elementining sonini ko'rsatadigan butun sondir.

Progressiyaning yuqoridagi ta'rifini matematika tilida quyidagicha yozish mumkin: an = bn-1 * a1, bunda b - maxraj. Ushbu formulani tekshirish oson: agar n = 1 bo'lsa, u holda b1-1 = 1 va biz a1 = a1 ni olamiz. Agar n = 2 bo'lsa, u holda an = b * a1 va biz yana ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining ta'rifiga kelamiz. Xuddi shunday mulohazalarni n ning katta qiymatlari uchun ham davom ettirish mumkin.

Geometrik progressiyaning maxraji

b soni butun raqamlar qatori qanday belgiga ega bo'lishini to'liq aniqlaydi. Maxraj b musbat, manfiy yoki birdan katta yoki kichik bo'lishi mumkin. Yuqoridagi barcha variantlar turli xil ketma-ketliklarga olib keladi:

• b > 1. Ratsional sonlarning ortib borayotgan qatori bor. Masalan, 1, 2, 4, 8, ... Agar a1 elementi manfiy bo'lsa, u holda butun ketma-ketlik faqat modulni oshiradi, lekin raqamlarning belgisini hisobga olgan holda kamayadi.
• b = 1. Ko'pincha bunday holat progressiya deb nomlanmaydi, chunki bir xil ratsional sonlarning oddiy qatori mavjud. Masalan, -4, -4, -4.

Jami uchun formula

Ko'rib chiqilayotgan progressiya turining maxrajidan foydalangan holda aniq muammolarni ko'rib chiqishga o'tishdan oldin, uning birinchi n elementi yig'indisi uchun muhim formulani berish kerak. Formula: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Agar siz progressiya a'zolarining rekursiv ketma-ketligini ko'rib chiqsangiz, bu ifodani o'zingiz olishingiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, yuqoridagi formulada ixtiyoriy sonli hadlar yig'indisini topish uchun faqat birinchi element va maxrajni bilish kifoya.

Cheksiz kamayuvchi ketma-ketlik

Yuqorida bu nima ekanligi haqida tushuntirish berilgan. Endi, Sn ning formulasini bilgan holda, uni ushbu sonlar qatoriga qo'llaymiz. Moduli 1 dan oshmaydigan har qanday son katta darajaga ko‘tarilganda nolga intiladi, ya’ni -1 bo‘lsa b∞ => 0 bo‘ladi.

Ayirma (1 - b) har doim musbat bo'ladi, maxrajning qiymatidan qat'i nazar, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisining belgisi S∞ uning birinchi elementi a1 belgisi bilan yagona aniqlanadi.

Endi biz bir nechta muammolarni ko'rib chiqamiz, bu erda olingan bilimlarni aniq raqamlarga qanday qo'llashni ko'rsatamiz.

Vazifa raqami 1. Progressiya va yig'indining noma'lum elementlarini hisoblash

Geometrik progressiya berilgan bo‘lsa, progressiyaning maxraji 2 ga, birinchi elementi esa 3 ga teng. Uning 7 va 10 hadlari qanday bo‘ladi va uning yettita boshlang‘ich elementi yig‘indisi nechaga teng?

Muammoning sharti juda oddiy va yuqoridagi formulalardan bevosita foydalanishni o'z ichiga oladi. Demak, n sonli elementni hisoblash uchun an = bn-1 * a1 ifodasidan foydalanamiz. 7-element uchun bizda mavjud: a7 = b6 * a1, ma'lum ma'lumotlar o'rniga, biz olamiz: a7 = 26 * 3 = 192. 10-a'zo uchun ham xuddi shunday qilamiz: a10 = 29 * 3 = 1536.

Biz yig'indi uchun taniqli formuladan foydalanamiz va bu qiymatni seriyaning birinchi 7 elementi uchun aniqlaymiz. Bizda: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Vazifa raqami 2. Progressiyaning ixtiyoriy elementlari yig'indisini aniqlash

-2 ko'rsatkichli progressiyaning bn-1 * 4 maxraji bo'lsin, bu erda n butun son. Ushbu qatorning 5-dan 10-chi elementigacha bo'lgan summani, shu jumladan, aniqlash kerak.

Qo'yilgan muammoni ma'lum formulalar yordamida to'g'ridan-to'g'ri hal qilib bo'lmaydi. Buni 2 xil usulda hal qilish mumkin. To'liqlik uchun biz ikkalasini ham taqdim etamiz.

Usul 1. Uning g'oyasi oddiy: siz birinchi shartlarning ikkita mos keladigan yig'indisini hisoblashingiz kerak, so'ngra ikkinchisini biridan ayirish kerak. Kichikroq summani hisoblang: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Endi biz katta summani hisoblaymiz: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. E'tibor bering, oxirgi iborada faqat 4 ta atama jamlangan, chunki 5-o'rin allaqachon muammoning shartiga ko'ra hisoblanishi kerak bo'lgan yig'indiga kiritilgan. Nihoyat, biz farqni olamiz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2-usul. Raqamlarni almashtirish va hisoblashdan oldin ko'rib chiqilayotgan qatorning m va n hadlari orasidagi yig'indi formulasini olishingiz mumkin. Biz xuddi 1-usuldagi kabi harakat qilamiz, faqat biz birinchi navbatda yig'indining ramziy ko'rinishi bilan ishlaymiz. Bizda: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Olingan ifodaga ma'lum raqamlarni almashtirishingiz va yakuniy natijani hisoblashingiz mumkin: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Vazifa raqami 3. Ayiruvchi nima?

a1 = 2 bo'lsin, geometrik progressiyaning maxraji topilsin, agar uning cheksiz yig'indisi 3 ga teng bo'lsa va bu sonlarning kamayuvchi qatori ekanligi ma'lum.

Muammoning shartiga ko'ra, uni hal qilish uchun qaysi formuladan foydalanish kerakligini taxmin qilish qiyin emas. Albatta, cheksiz kamayib boruvchi progressiya yig'indisi uchun. Bizda: S∞ = a1 / (1 - b). Maxrajni qaerdan ifodalaymiz: b = 1 - a1 / S∞. Ma'lum qiymatlarni almashtirish va kerakli raqamni olish qoladi: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1/3 yoki -0,333 (3). Agar ushbu turdagi ketma-ketlik uchun modul b 1 dan oshmasligi kerakligini eslasak, bu natijani sifat jihatidan tekshirishimiz mumkin. Ko'rib turganingizdek, |-1 / 3|

Vazifa raqami 4. Bir qator raqamlarni tiklash

Raqamli qatorning 2 ta elementi berilsin, masalan, 5-chi 30 ga, 10-si 60 ga teng. Bu maʼlumotlardan butun qatorni geometrik progressiyaning xossalarini qanoatlantirishini bilib, qayta tiklash kerak.

Muammoni hal qilish uchun avvalo har bir ma'lum a'zo uchun mos ifodani yozish kerak. Bizda: a5 = b4 * a1 va a10 = b9 * a1. Endi biz ikkinchi ifodani birinchisiga ajratamiz, biz olamiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Bu yerdan masala shartidan ma'lum bo'lgan a'zolar nisbatining beshinchi darajali ildizini olib, maxrajni aniqlaymiz, b = 1,148698. Olingan sonni ma'lum element uchun ifodalardan biriga almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Shunday qilib, biz bn progressiyaning maxraji nima ekanligini va geometrik progressiya bn-1 * 17,2304966 = an, bu erda b = 1,148698 ekanligini topdik.

Geometrik progressiyalar qayerda ishlatiladi?

Agar ushbu raqamli qatorni amalda qo'llash bo'lmaganida, uni o'rganish faqat nazariy qiziqishga aylangan bo'lar edi. Ammo bunday dastur mavjud.

3 ta eng mashhur misollar quyida keltirilgan:

• Zenon paradoksi, bunda chaqqon Axilles sekin toshbaqaga yetib borolmaydi, cheksiz kamayib boruvchi sonlar ketma-ketligi tushunchasi yordamida hal qilinadi.
• Agar bug'doy donalari shaxmat taxtasining har bir katagiga 1 donadan 1-hujayraga, 2 ta - 2-ga, 3 ta - 3-ga va shunga o'xshash tarzda joylashtirilsa, unda barcha hujayralarni to'ldirish uchun 18446744073709551615 dona kerak bo'ladi. kengash!
• "Xanoy minorasi" o'yinida disklarni bir novdadan ikkinchisiga o'zgartirish uchun 2n - 1 operatsiyalarni bajarish kerak, ya'ni ularning soni ishlatilgan disklar sonidan n eksponent ravishda o'sadi.

Agar har bir natural son n haqiqiy raqamga mos keladi a n , keyin ular berilgan deyishadi raqamlar ketma-ketligi :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Demak, sonli ketma-ketlik tabiiy argumentning funksiyasidir.

Raqam a 1 chaqirdi ketma-ketlikning birinchi a'zosi , raqam a 2 — ketma-ketlikning ikkinchi a'zosi , raqam a 3 — uchinchi va boshqalar. Raqam a n chaqirdi qatorning n-a'zosi , va natural son n — uning raqami .

Ikki qo'shni a'zodan a n Va a n +1 a'zolar ketma-ketligi a n +1 chaqirdi keyingi (munosabatga ko'ra a n ), lekin a n — oldingi (munosabatga ko'ra a n +1 ).

Ketma-ketlikni belgilash uchun istalgan raqamga ega ketma-ketlik a'zosini topish imkonini beruvchi usulni ko'rsatish kerak.

Ko'pincha ketma-ketlik bilan beriladi n-sonli formulalar , ya'ni ketma-ketlik a'zosini raqami bo'yicha aniqlash imkonini beruvchi formula.

Misol uchun,

musbat toq sonlar ketma-ketligi formula bilan berilishi mumkin

a n= 2n- 1,

va almashinish ketma-ketligi 1 Va -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Ketma-ketlikni aniqlash mumkin takrorlanuvchi formula, ya’ni ketma-ketlikning istalgan a’zosini ba’zilaridan boshlab oldingi (bir yoki bir nechta) a’zolar orqali ifodalovchi formula.

Misol uchun,

agar a 1 = 1 , lekin a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Agar a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , keyin raqamli ketma-ketlikning dastlabki etti a'zosi quyidagicha o'rnatiladi:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ketma-ket bo'lishi mumkin final Va cheksiz .

Ketma-ket deyiladi yakuniy agar u cheklangan miqdordagi a'zolarga ega bo'lsa. Ketma-ket deyiladi cheksiz agar u cheksiz ko'p a'zolarga ega bo'lsa.

Misol uchun,

Ikki xonali natural sonlar ketma-ketligi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Bosh sonlar ketma-ketligi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

cheksiz. ◄

Ketma-ket deyiladi ortib boradi , agar uning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, oldingisidan kattaroq bo'lsa.

Ketma-ket deyiladi susayish , agar uning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Misol uchun,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ortib boruvchi ketma-ketlikdir;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . tushuvchi ketma-ketlikdir. ◄

Elementlari soni ortganda kamaymaydigan yoki aksincha kopaymaydigan ketma-ketlik deyiladi monoton ketma-ketlik .

Monotonik ketma-ketliklar, xususan, ketma-ketliklarning ortib borayotgan va kamayuvchi ketma-ketliklardir.

Arifmetik progressiya

Arifmetik progressiya ketma-ketlik chaqiriladi, uning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lib, unga bir xil son qo'shiladi.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

har qanday natural son uchun arifmetik progressiyadir n shart bajariladi:

a n +1 = a n + d,

qayerda d - ba'zi raqam.

Shunday qilib, berilgan arifmetik progressiyaning keyingi va oldingi a'zolari o'rtasidagi farq doimo doimiy bo'ladi:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Raqam d chaqirdi arifmetik progressiyaning farqi.

Arifmetik progressiyani o'rnatish uchun uning birinchi hadini va farqini ko'rsatish kifoya.

Misol uchun,

agar a 1 = 3, d = 4 , keyin ketma-ketlikning birinchi beshta hadi quyidagicha topiladi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Birinchi hadli arifmetik progressiya uchun a 1 va farq d uni n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Misol uchun,

arifmetik progressiyaning o‘ttizinchi hadini toping

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

keyin aniq

a n=	a n-1 + a n+1
	2

arifmetik progressiyaning ikkinchidan boshlab har bir a'zosi oldingi va keyingi a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng.

a, b va c raqamlari ba'zi arifmetik progressiyaning ketma-ket a'zolari bo'ladi, agar ulardan biri qolgan ikkitasining o'rta arifmetik qiymatiga teng bo'lsa.

Misol uchun,

a n = 2n- 7 , arifmetik progressiyadir.

Keling, yuqoridagi bayonotdan foydalanamiz. Bizda ... bor:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Binobarin,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Shu esta tutilsinki n -arifmetik progressiyaning a'zosi nafaqat orqali topiladi a 1 , balki oldingi har qanday a k

a n = a k + (n- k)d.

Misol uchun,

uchun a 5 yozish mumkin

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

keyin aniq

a n=	a n-k +a n+k
	2

arifmetik progressiyaning ikkinchisidan boshlab istalgan a'zosi bu arifmetik progressiyaning undan teng masofada joylashgan a'zolari yig'indisining yarmiga teng bo'ladi.

Bundan tashqari, har qanday arifmetik progressiya uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Misol uchun,

arifmetik progressiyada

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, chunki

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

birinchi n arifmetik progressiya a'zolari ekstremal hadlar yig'indisining yarmining hadlar soniga ko'paytmasiga teng:

Bundan, xususan, agar shartlarni jamlash kerak bo'lsa, shundan kelib chiqadi

a k, a k +1 , . . . , a n,

keyin oldingi formula o'z tuzilishini saqlab qoladi:

Misol uchun,

arifmetik progressiyada 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Agar arifmetik progressiya berilgan bo'lsa, u holda miqdorlar a 1 , a n, d, n VaS n ikkita formula bilan bog'langan:

Shuning uchun, agar bu miqdorlardan uchtasining qiymatlari berilgan bo'lsa, qolgan ikkita miqdorning mos keladigan qiymatlari ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglamalar tizimiga birlashtirilgan ushbu formulalardan aniqlanadi.

Arifmetik progressiya monotonik ketma-ketlikdir. Bunda:

• agar d > 0 , keyin u ortib bormoqda;
• agar d < 0 , keyin u kamayadi;
• agar d = 0 , keyin ketma-ketlik statsionar bo'ladi.

Geometrik progressiya

geometrik progressiya ketma-ketlik chaqiriladi, uning har bir atamasi ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lib, bir xil songa ko'paytiriladi.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

har qanday natural son uchun geometrik progressiyadir n shart bajariladi:

b n +1 = b n · q,

qayerda q ≠ 0 - ba'zi raqam.

Shunday qilib, bu geometrik progressiyaning keyingi hadining oldingisiga nisbati doimiy son:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Raqam q chaqirdi geometrik progressiyaning maxraji.

Geometrik progressiyani o'rnatish uchun uning birinchi hadi va maxrajini ko'rsatish kifoya.

Misol uchun,

agar b 1 = 1, q = -3 , keyin ketma-ketlikning birinchi beshta hadi quyidagicha topiladi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 va maxraj q uni n -chi hadni quyidagi formula bilan topish mumkin:

b n = b 1 · q n -1 .

Misol uchun,

geometrik progressiyaning yettinchi hadini toping 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

keyin aniq

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geometrik progressiyaning ikkinchidan boshlab har bir a'zosi oldingi va keyingi a'zolarning geometrik o'rtacha (proporsional) ga teng.

Qarama-qarshilik ham to'g'ri bo'lganligi sababli, quyidagi tasdiq amal qiladi:

a, b va c sonlar ba’zi geometrik progressiyaning ketma-ket a’zolari bo‘ladi, agar ulardan birining kvadrati qolgan ikkitasining ko‘paytmasiga teng bo‘lsa, ya’ni sonlardan biri qolgan ikkitasining geometrik o‘rtasi bo‘lsa.

Misol uchun,

formula bilan berilgan ketma-ketlikni isbotlaylik b n= -3 2 n , geometrik progressiyadir. Keling, yuqoridagi bayonotdan foydalanamiz. Bizda ... bor:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Binobarin,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

bu talab qilingan fikrni tasdiqlaydi. ◄

Shu esta tutilsinki n geometrik progressiyaning uchinchi hadini faqat orqali topish mumkin emas b 1 , balki oldingi har qanday atama ham b k , buning uchun formuladan foydalanish kifoya

b n = b k · q n - k.

Misol uchun,

uchun b 5 yozish mumkin

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

keyin aniq

b n 2 = b n - k· b n + k

ikkinchisidan boshlab geometrik progressiyaning istalgan a'zosining kvadrati undan teng masofada joylashgan bu progressiya a'zolarining ko'paytmasiga teng.

Bundan tashqari, har qanday geometrik progressiya uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Misol uchun,

eksponent sifatida

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , chunki

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

birinchi n maxrajli geometrik progressiyaning a'zolari q ≠ 0 formula bo'yicha hisoblanadi:

Va qachon q = 1 - formula bo'yicha

S n= n.b. 1

E'tibor bering, agar biz shartlarni jamlashimiz kerak bo'lsa

b k, b k +1 , . . . , b n,

keyin formuladan foydalaniladi:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Misol uchun,

eksponent sifatida 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Agar geometrik progressiya berilgan bo'lsa, u holda miqdorlar b 1 , b n, q, n Va S n ikkita formula bilan bog'langan:

Shuning uchun, agar bu miqdorlarning har uchtasining qiymatlari berilgan bo'lsa, qolgan ikkita miqdorning mos keladigan qiymatlari ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglamalar tizimiga birlashtirilgan ushbu formulalardan aniqlanadi.

Birinchi hadli geometrik progressiya uchun b 1 va maxraj q quyidagilar sodir bo'ladi monotonlik xususiyatlari :

• Agar quyidagi shartlardan biri bajarilsa, rivojlanish kuchayadi:

b 1 > 0 Va q> 1;

b 1 < 0 Va 0 < q< 1;

• Quyidagi shartlardan biri bajarilsa, rivojlanish pasayadi:

b 1 > 0 Va 0 < q< 1;

b 1 < 0 Va q> 1.

Agar q< 0 , u holda geometrik progressiya belgisi almashinadi: uning toq sonli hadlari birinchi hadi bilan bir xil, juft sonli hadlar esa qarama-qarshi belgiga ega. O'zgaruvchan geometrik progressiya monotonik emasligi aniq.

Birinchisining mahsuloti n Geometrik progressiyaning hadlarini quyidagi formula bilan hisoblash mumkin:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Misol uchun,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya maxraj moduli dan kichik bo'lgan cheksiz geometrik progressiya deyiladi 1 , ya'ni

|q| < 1 .

E'tibor bering, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya kamayuvchi ketma-ketlik bo'lmasligi mumkin. Bu holatga mos keladi

1 < q< 0 .

Bunday maxraj bilan ketma-ketlik belgisi almashinadi. Misol uchun,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi birinchisining yig'indisi bo'lgan sonni nomlang n sonining cheksiz ko'payishi bilan progressiyaning shartlari n . Bu raqam har doim cheklangan va formula bilan ifodalanadi

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Misol uchun,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Arifmetik va geometrik progressiyalar o‘rtasidagi bog‘liqlik

Arifmetik va geometrik progressiyalar bir-biri bilan chambarchas bog'liq. Keling, ikkita misolni ko'rib chiqaylik.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , keyin

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Misol uchun,

1, 3, 5, . . . — farqli arifmetik progressiya 2 Va

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . maxrajli geometrik progressiyadir 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . maxrajli geometrik progressiyadir q , keyin

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — farqli arifmetik progressiya log aq .

Misol uchun,

2, 12, 72, . . . maxrajli geometrik progressiyadir 6 Va

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — farqli arifmetik progressiya lg 6 . ◄