Розрахунок круглого бруса на вигин із крученням. Просторовий (складний) вигин
У разі розрахунку круглого бруса при дії вигину та кручення (рис. 34.3) необхідно враховувати нормальні та дотичні напруги, тому що максимальні значення напруг в обох випадках виникають на поверхні. Розрахунок слід вести за теорією міцності, замінюючи складний напружений стан рівнонебезпечним простим.
Максимальна напруга кручення у перерізі
Максимальна напруга вигину у перерізі
По одній з теорій міцності в залежності від матеріалу бруса розраховують еквівалентну напругу для небезпечного перерізу і перевіряють брус на міцність, використовуючи напругу, що допускається вигину для матеріалу бруса.
Для круглого бруса моменти опору перерізу наступні:
При розрахунку по третій теорії міцності, теорії максимальних дотичних напруг, еквівалентна напруга розраховується за формулою
Теорія застосовна для пластичних матеріалів.
При розрахунку за теорією енергії формозміни еквівалентна напруга розраховується за формулою
Теорія застосовна для пластичних та тендітних матеріалів.
теорії максимальних дотичних напруг:
Еквівалентна напруга при розрахунку по теорії енергії формозміни:
де – еквівалентний момент.
Умова міцності
Приклади розв'язання задач
приклад 1.Для заданого напруженого стану (рис. 34.4), використовуючи гіпотезу максимальних дотичних напруг, обчислити коефіцієнт запасу міцності, якщо σ Т = 360 Н/мм 2 .
1. Чим характеризується як зображується напружений стан у точці?
2. Які майданчики та які напруги називають головними?
3. Перерахуйте види напружених станів.
4. Чим характеризується деформований стан у точці?
5. У яких випадках виникають граничні напружені стани у пластичних та крихких матеріалів?
6. Що таке еквівалентне напруження?
7. Поясніть призначення теорій міцності.
8. Напишіть формули для розрахунку еквівалентних напруг при розрахунках з теорії максимальних дотичних напруг та теорії енергії формозміни. Поясніть, як користуватися ними.
лекція 35
Тема 2.7. Розрахунок бруса круглого поперечного перерізу при поєднанні основних деформацій
Знати формули для еквівалентних напруг за гіпотезами найбільших дотичних напруг та енергії формозміни.
Вміти розраховувати брус круглого поперечного перерізу на міцність при поєднанні основних деформацій.
Формули для розрахунку еквівалентних напруг
Еквівалентна напруга з гіпотези максимальних дотичних напруг
Еквівалентна напруга з гіпотези енергії формозміни
Умова міцності при спільній дії згинання кручення
де М ЕКВ- Еквівалентний момент.
Еквівалентний момент з гіпотези максимальної дотичної напруги
Еквівалентний момент із гіпотези енергії формозміни
Особливість розрахунку валів
Більшість валів відчувають поєднання деформацій вигину та кручення. Зазвичай вали - прямі бруси з круглим або кільцевим перетином. При розрахунку валів дотичні напруги від дії поперечних сил не враховують через їхню незначність.
Розрахунки проводять за небезпечними поперечними перерізами. При просторовому навантаженні валу користуються гіпотезою незалежності дії сил і згинальні моменти розглядають у двох взаємно перпендикулярних площинах, а сумарний момент, що згинає, визначають геометричним підсумовуванням.
Приклади розв'язання задач
приклад 1.У небезпечному поперечному перерізі круглого бруса виникають внутрішні силові фактори (рис. 35.1) М х; М у; Mz.
М хі М у- згинальні моменти в площинах уОхі zOxвідповідно; M z- обертаючий момент. Перевірити міцність за гіпотезою найбільших дотичних напруг, якщо [ σ ] = 120 МПа. Вихідні дані: М х= 0,9 кН; М у = 0,8 кН; M z = 2,2 кН * м; d= 60 мм.
Рішення
Будуємо епюри нормальних напруг від дії згинальних моментів щодо осей Охі Оута епюру дотичних напруг від кручення (рис. 35.2).
Максимальна дотична напруга виникає на поверхні. Максимальна нормальна напруга від моменту М хвиникають у точці А,максимальна нормальна напруга від моменту М уу точці Ст.Нормальна напруга складається, тому що згинальні моменти у взаємно перпендикулярних площинах геометрично підсумовуються.
Сумарний згинальний момент:
Розраховуємо еквівалентний момент з теорії максимальних дотичних напруг:
Умова міцності:
Момент опору перерізу: W oce в oe = 0,1 60 3 = 21 600 мм 3 .
Перевіряємо міцність:
Міцність забезпечена.
приклад 2.Із умови міцності розрахувати необхідний діаметр валу. На валу встановлено два колеса. На колеса діють дві окружні сили F t 1 = 1,2 кН; F t 2= 2кН і дві радіальні сили у вертикальній площині F r 1= 0,43 кН; F r 2 = 0,72 кН (рис. 35.3). Діаметри коліс відповідно дорівнюють d 1= 0,1м; d 2= 0,06 м-коду.
Прийняти для матеріалу валу [ σ ] = 50МПа.
Розрахунок провести за гіпотезою максимальної дотичної напруги. Вагою валу і коліс знехтувати.
Рішення
Вказівка.Використовуємо принцип незалежності дії сил, складаємо розрахункові схеми валу у вертикальній та горизонтальній площинах. Визначаємо реакції в опорах у горизонтальній та вертикальній площинах окремо. Будуємо епюри згинальних моментів (рис. 35.4). Під дією окружних сил вал скручується. Визначаємо крутний момент, що діє на валу.
Складемо розрахункову схему валу (рис. 35.4).
1. Крутний момент на валу:
2. Вигин розглядаємо у двох площинах: горизонтальній (пл. Н) та вертикальній (пл. V).
У горизонтальній площині визначаємо реакції в опорі:
Зі В:
 |
У вертикальній площині визначаємо реакції в опорі:
Визначаємо згинальні моменти в точках С і В:
Сумарні згинальні моменти в точках С і В:
У точці Вмаксимальний згинальний момент, тут же діє крутний момент.
Розрахунок діаметра валу ведемо за найбільш навантаженим перетином.
3. Еквівалентний момент у точці Вз третьої теорії міцності
4. Визначаємо діаметр валу круглого поперечного перерізу з умови міцності
Округлюємо отриману величину: d= 36 мм.
Примітка.При виборі діаметрів валу користуватися стандартним рядом діаметрів (Додаток 2).
5. Визначаємо необхідні розміри валу кільцевого перерізу при с = 0,8 де d - зовнішній діаметр валу.
Діаметр валу кільцевого перерізу можна визначити за формулою
Приймемо d = 42 мм.
Перевантаження незначне. d BH = 0,8 d = 0,8 42 = 33,6 мм.
Округлюємо до значення d BH= 33 мм.
6. Порівняємо витрати металу за площами перерізу валу в обох випадках.
Площа поперечного перерізу суцільного валу
Площа поперечного перерізу порожнього валу
Площа поперечного перерізу суцільного валу майже вдвічі більша за вал кільцевого перерізу:
Приклад 3. Визначити розміри поперечного перерізу валу (рис. 2.70, а)приводу керування. Зусилля від тяги педалі P 3, зусилля, що передаються механізмом P 1 , Р 2 , Р 4. Матеріал валу - сталь СтЗ з межею плинності σ т = 240 Н/мм 2 , необхідний коефіцієнт запасу n] = 2,5. Розрахунок виконати з гіпотези енергії формозміни.
Рішення
Розглянемо рівновагу валу, попередньо навівши сили Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4до точок, що лежать на його осі.
Переносячи сили Р 1паралельно самим собі у крапки Доі E, треба додати пари сил з моментами, рівними моментам сил Р 1щодо точок Доі Е,тобто.
Ці пари сил (моменти) умовно показано на рис. 2.70 , бу вигляді дугоподібних ліній із стрілками. Аналогічно при перенесенні сил Р 2 , Р 3 , Р 4у крапки K, E, L, Нтреба додати пари сил з моментами
Опори валу, зображеного на рис. 2.70 а, треба розглядати як просторові шарнірні опори, що перешкоджають переміщенням у напрямку осей хі у(Вибрана система координат показана на рис. 2.70, б).
Користуючись розрахунковою схемою, зображеною на рис. 2.70, в, складемо рівняння рівноваги:
 |
 |
отже, опорні реакції Н Аі Н Ввизначено правильно.
Епюри крутних моментів М zта згинальних моментів М упредставлені на рис. 2.70, г. Небезпечним є перетин зліва точки L.
Умова міцності має вигляд:
де еквівалентний момент із гіпотези енергії формозміни
Потрібен зовнішній діаметр валу
Приймаємо d=45 мм, тоді d0=0,8*45=36 мм.
Приклад 4.Перевірити міцність проміжного валу (рис. 2.71) прямозубого циліндричного редуктора, якщо вал передає потужність N= 12,2 кВт за частоти обертання п= 355 об/хв. Вал виготовлений зі сталі Ст5 з межею плинності σ т = 280 Н/мм2. Необхідний коефіцієнт запасу [ n] = 4. При розрахунку застосувати гіпотезу найбільших дотичних напруг.
Вказівка.Окружні зусилля Р 1і Р 2лежать у горизонтальній площині та спрямовані по дотичних до кіл зубчастих коліс. Радіальні зусилля T 1і Т 2лежать у вертикальній площині і виражаються через відповідне окружне зусилля так: T = 0,364Р.
Рішення
На рис. 2.71, апредставлений схематичне креслення валу; на рис. 2.71 б показана схема валу і зусилля, що виникають в зубчастому зачепленні.
Визначимо момент, що передається валом:
Очевидно, m = m 1 = m 2(скручують моменти, прикладені до валу, при рівномірному обертанні рівні за величиною і протилежні за напрямом).
Визначимо зусилля, що діють на зубчасті колеса.
Окружні зусилля:
Радіальні зусилля:
Розглянемо рівновагу валу АВ, попередньо навівши сили Р 1і Р 2до точок, що лежать на осі валу.
Переносячи силу Р 1паралельно самій собі в крапку L, треба додати пару сил з моментом, рівним моменту сили Р 1щодо точки L, тобто.
Ця пара сил (момент) умовно показано на рис. 2.71, ву вигляді дугоподібної лінії зі стрілкою. Аналогічно при перенесенні сили Р 2в ціль Дотреба приєднати (додати) пару сил із моментом
Опори валу, зображеного на рис. 2.71, а, треба розглядати як просторові шарнірні опори, що перешкоджають лінійним переміщенням у напрямках осей хі у(Вибрана система координат показана на рис, 2.71, б).
Користуючись розрахунковою схемою, зображеною на рис. 2.71, г, складемо рівняння рівноваги валу у вертикальній площині:
Складемо перевірочне рівняння:
отже, опорні реакції у вертикальній площині визначені правильно.
Розглянемо рівновагу валу в горизонтальній площині:
Складемо перевірочне рівняння:
отже, опорні реакції у горизонтальній площині визначені правильно.
Епюри крутних моментів М zта згинальних моментів М хі М упредставлені на рис. 2.71, д.
Небезпечним є переріз До(див. рис. 2.71, г,д). Еквівалентний момент з гіпотези найбільшої дотичної напруги
Еквівалентна напруга з гіпотези найбільших дотичних напруг для небезпечної точки валу
Коефіцієнт запасу
що значно більше [ n] = 4, отже, міцність валу забезпечена.
При розрахунку валу на міцність не враховано зміну напруги у часі, тому й вийшов такий значний коефіцієнт запасу.
Приклад 5.Визначити розміри поперечного перерізу бруса (рис. 2.72, а).Матеріал бруса - сталь 30XГС з умовними межами плинності при розтягуванні та стиску σ о, 2р = σ тр = 850 Н/мм 2 , σ 0,2 c = σ Tc = 965 Н/мм 2 . Коефіцієнт запасу [ n] = 1,6.
Рішення
Брус працює на спільну дію розтягування (стиснення) та кручення. При такому навантаженні в поперечних перерізах виникають два внутрішні силові фактори: поздовжня сила і крутний момент.
Епюри поздовжніх сил Nта крутних моментів M zпоказано на рис. 2.72, б, в.В даному випадку визначити положення небезпечного перерізу за епюрами Nі M zнеможливо, оскільки розміри поперечних перерізів ділянок бруса є різними. Для з'ясування положення небезпечного перерізу слід побудувати епюри нормальних та максимальних дотичних напруг по довжині бруса.
За формулою
обчислюємо нормальні напруги в поперечних перерізах бруса і будуємо епюру (рис. 2.72, г).
За формулою
обчислюємо максимальну дотичну напругу в поперечних перерізах бруса і будуємо епюру т тах(рис* 2.72, д).
Ймовірно, небезпечними є точки контуру поперечних перерізів ділянок АВі CD(див. рис. 2.72, а).
На рис. 2.72, eпоказані епюри σ і τ для поперечних перерізів ділянки АВ.
Нагадаємо, в даному випадку (брус круглого поперечного перерізу працює на спільну дію розтягування - стискування та кручення) рівнонебезпечними є всі точки контуру поперечного перерізу.
На рис. 2.72, ж
На рис. 2.72, зпоказані епюри а і т для поперечних перерізів ділянки CD.
На рис. 2.72, іпоказано напруження на вихідних майданчиках у небезпечній точці.
Головні напруження у небезпечній точці ділянки CD: 
По гіпотезі міцності Мора еквівалентна напруга для небезпечної точки ділянки, що розглядається
Небезпечними виявилися точки контуру поперечних перерізів ділянки АВ.
Умова міцності має вигляд:
Приклад 2.76.Визначити допустиме значення сили Рз умови міцності стрижня НД(рис.2.73). Матеріал стрижня - чавун з межею міцності при розтягуванні σ вр = 150 Н/мм 2 та межею міцності при стисканні σ вс = 450 Н/мм 2 . Необхідний коефіцієнт запасу [ n] = 5.
Вказівка.
Ламаний брус АВСрозташований у горизонтальній площині, причому стрижень AВперпендикулярний до НД.Сили Р, 2Р, 8Рлежать у вертикальній площині; сили 0,5 Р, 1,6 Р- у горизонтальній та перпендикулярній стрижнів НД;сили 10Р, 16Рзбігаються з віссю стрижня НД; пара сил з моментом m = 25Pd розташована у вертикальній площині, перпендикулярній до осі стрижня НД.
Рішення
Наведемо сили Рі 0,5Р до центру тяжкості поперечного перерізу.
Переносячи силу Р паралельно самій собі в точку, треба додати пару сил з моментом, рівним моменту сили Рщодо точки В, Т. е. пару з моментом m 1 = 10 Pd.
Силу 0,5Рпереносимо вздовж її лінії дії у точку В.
Навантаження, що діють на стрижень НД,показано на рис. 2.74, а.
Будуємо епюри внутрішніх силових факторів для стрижня НД.При зазначеному навантаженні стрижня у його поперечних перерізах їх виникає шість: поздовжня сила N, поперечні сили Qxі Qy,обертаючий момент Mzзгинальні моменти Мхі Му.
Епюри N, Мz, Мх, Мупредставлені на рис. 2.74, б(ординати епюр виражені через Рі d).
Епюри Qyі Qxне будуємо, оскільки дотичні напруги, що відповідають поперечним силам, мають мінімальну величину.
У аналізованому прикладі положення небезпечного перерізу не очевидно, Імовірно, небезпечні перерізи К (кінець ділянки I) та С.
Головні напруги в точці L:
За гіпотезою міцності Мора еквівалентна напруга для точки L
Визначимо величину і площину дії згинального моменту Мі в перерізі, зображеному окремо на рис. 2.74, д. На цьому ж малюнку показані епюри І, N, τ для перерізу С.
Напруження на вихідних майданчиках у точці Н(Рис. 2.74, е)
Головні напруження у точці Н:
За гіпотезою міцності Мора еквівалентна напруга для точки Н
Напруги на вихідних майданчиках у точці Е (рис. 2.74, ж):
Головні напруження у точці Е:
За гіпотезою міцності Мора еквівалентна напруга для точки Е
Небезпечною виявилася точка L,для котрої
Умова міцності має вигляд:
Контрольні питання та завдання
1. Який напружений стан виникає у поперечному перерізі валу при спільній дії вигину та кручення?
2. Напишіть умову міцності для розрахунку валу.
3. Напишіть формули для розрахунку еквівалентного моменту при розрахунку за гіпотезою максимальної дотичної напруги та гіпотезою енергії формозміни.
4. Як вибирається небезпечний перетин під час розрахунку валу?
У разі розрахунку круглого бруса при дії вигину та кручення (рис. 34.3) необхідно враховувати нормальні та дотичні напруги, тому що максимальні значення напруг в обох випадках виникають на поверхні. Розрахунок слід вести за теорією міцності, замінюючи складний напружений стан рівнонебезпечним простим.
Максимальна напруга кручення у перерізі
Максимальна напруга вигину у перерізі
По одній з теорій міцності в залежності від матеріалу бруса розраховують еквівалентну напругу для небезпечного перерізу і перевіряють брус на міцність, використовуючи напругу, що допускається вигину для матеріалу бруса.
Для круглого бруса моменти опору перерізу наступні:
При розрахунку по третій теорії міцності, теорії максимальних дотичних напруг, еквівалентна напруга розраховується за формулою
Теорія застосовна для пластичних матеріалів.
При розрахунку за теорією енергії формозміни еквівалентна напруга розраховується за формулою
Теорія застосовна для пластичних та тендітних матеріалів.
теорії максимальних дотичних напруг:
Еквівалентна напруга при розрахунку по теорії енергії формозміни:
де – еквівалентний момент.
Умова міцності
Приклади розв'язання задач
приклад 1.Для заданого напруженого стану (рис. 34.4), використовуючи гіпотезу максимальних дотичних напруг, обчислити коефіцієнт запасу міцності, якщо σ Т = 360 Н/мм 2 .
Контрольні питання та завдання
1. Чим характеризується як зображується напружений стан у точці?
2. Які майданчики та які напруги називають головними?
3. Перерахуйте види напружених станів.
4. Чим характеризується деформований стан у точці?
5. У яких випадках виникають граничні напружені стани у пластичних та крихких матеріалів?
6. Що таке еквівалентне напруження?
7. Поясніть призначення теорій міцності.
8. Напишіть формули для розрахунку еквівалентних напруг при розрахунках з теорії максимальних дотичних напруг та теорії енергії формозміни. Поясніть, як користуватися ними.
лекція 35
Тема 2.7. Розрахунок бруса круглого поперечного перерізу при поєднанні основних деформацій
Знати формули для еквівалентних напруг за гіпотезами найбільших дотичних напруг та енергії формозміни.
Вміти розраховувати брус круглого поперечного перерізу на міцність при поєднанні основних деформацій.
Короткі відомості з теорії
Брус перебувають у умовах складного опору, якщо у поперечних перерізах одночасно рівні нулі кілька внутрішніх силових чинників.
Найбільший практичний інтерес становлять такі випадки складного навантаження:
1. Косий вигин.
2. Вигин з розтягуванням або стисненням, коли в поперечному
перерізі виникають поздовжня сила і згинальні моменти, як,
наприклад, при позацентровому стисканні бруса.
3. Вигин з крученням, що характеризується наявністю в попі
річкових перерізах згинального (або двох згинальних) та крутного
моментів.
Косий вигин.
Косий вигин - це такий випадок вигину бруса, при якому площина дії сумарного згинального моменту в перерізі не збігається з жодною з головних осей інерції. Косий вигин зручніше розглядати як одночасний вигин бруса в двох головних площинах zoy і zox, де вісь z - вісь бруса, а осі х і у - головні центральні осі поперечного перерізу.
Розглянемо консольну балку прямокутного поперечного перерізу, навантажену силою Р (рис. 1).
Розклавши силу Р по основних центральних осях поперечного перерізу, отримаємо:
Р у = Рcos φ, Р х = Рsin φ
У поточному перерізі бруса виникають згинальні моменти.
М х = – Р у z = –Р z cos φ,
М у = Р х z = Р z sin φ.
Знак згинального моменту М х визначається так само, як і у разі прямого згину. Момент М у будемо вважати позитивним, якщо в точках з позитивним значенням координати х цей момент викликає напруги, що розтягують. До речі, знак моменту Му легко встановити за аналогією з визначенням знака згинального моменту М x , якщо подумки повернути перетин так, щоб вісь х збіглася з початковим напрямом осі.
Напруга в довільній точці поперечного перерізу бруса можна визначити, використовуючи формули визначення, напружена для випадку плоского вигину. На підставі принципу незалежності дії сил підсумовуємо напруги, що викликаються кожним із згинальних моментів.
(1)
У цей вислів підставляються значення згинальних моментів (зі своїми знаками) та координати точки, в якій підраховується напруга.
Для визначення небезпечних точок перерізу необхідно визначити положення нульової або нейтральної лінії (геометричного місця точок перерізу, у яких напруги σ =0). Максимальна напруга виникає в точках, найбільш віддалених від нульової лінії.
Рівняння нульової лінії отримуємо з рівняння (1) при =0:
звідки слідує, що нульова лінія проходить через центр тяжіння поперечного перерізу.
Виникаючими в перерізах балки дотичними напругами (при Q х ≠0 і Q у ≠0), як правило, можна знехтувати. Якщо виникає необхідність у визначенні, то обчислюються спочатку складові повного дотичного напруги τ х і τ у за формулою Д.Я.Журавского, та був останні геометрично сумуються:
Для оцінки міцності бруса необхідно визначити в небезпечному перерізі максимальну нормальну напругу. Так як в найбільш навантажених точках напружений стан одновісний, то умова міцності при розрахунку за методом напруг, що допускаються, набуває вигляду
Для пластичних матеріалів
Для крихких матеріалів,
n-коефіцієнт запасу міцності.
Якщо вести розрахунок за методом граничних станів, то умова міцності має вигляд:
де R - розрахунковий опір,
m – коефіцієнт умов роботи.
У тих випадках, коли матеріал бруса по-різному чинить опір розтягуванню і стиску, необхідно визначити як максимальну розтягуючу, так і максимальну стискаючу напругу, а висновок про міцність балки зробити із співвідношень:
де R p і R c - відповідно розрахункові опори матеріалу при розтягуванні та стисненні.
Для визначення прогинів балки зручно попередньо знайти переміщення перерізу в головних площинах у напрямку осей х та у.
Обчислення цих переміщень x і f можна здійснити шляхом складання універсального рівняння вигнутої осі балки або енергетичними методами.
Повний прогин можна знайти як геометричну суму:
умова жорсткості балки має вигляд:
де - - Допустимий прогин балки.
Позацентрене стиснення
В цьому випадку стискаюча брус сила Р спрямована паралельно осі бруса і прикладена в точці, що не збігається з центром перетину тяжкості. Нехай Х р і У p - координати точки докладання сили Р відраховані щодо головних центральних осей (рис.2).
Діюче навантаження викликає поява в поперечних перерізах наступних внутрішніх силових факторів: N=-P, Mx=-Py p, My=-Px p
Знаки згинальних моментів негативні, оскільки останні викликають стиск у точках, що належать першій чверті. Напруга у довільній точці перерізу визначається виразом
(9)
Підставивши значення N, Мх та Му, отримаємо
(10)
Так як Ух = F, Уу = F (де i x і i y - головні радіуси інерції), то останній вираз можна привести до вигляду
(11)
Рівняння нульової лінії отримаємо, поклавши =0
1+ 
(12)
Відрізані нульовою лінією на осях координат відрізку і виразяться наступним чином:
За допомогою залежностей (13) можна легко знайти положення нульової лінії в перерізі (мал. 3), після чого визначаються найбільш віддалені від цієї лінії точки, які є небезпечними, оскільки в них виникають максимальні напруги.
Напружений стан у точках перерізу – одновісний, тому умова міцності бруса аналогічна раніше розглянутому випадку косого вигину бруса – формули (5), (6).
При позацентровому стисканні брусів, матеріал яких слабко чинить опір розтягуванню, бажано не допустити появи в перетині напружень, що розтягують. У перерізі виникнуть напруження одного знака, якщо нульова лінія проходитиме поза перерізом або в крайньому випадку торкатися його.
Ця умова виконується тоді, коли стискаюча сила прикладена всередині області, яка називається ядром перерізу. Ядро перерізу - це область, що охоплює центр тяжкості перерізу і характерна тим, що подовжня сила, прикладена всередині цієї зони, викликає у всіх точках бруса напруги одного знака.
Для побудови ядра перерізу необхідно задавати положення нульової лінії так, щоб вона торкалася перерізу, ніде не перетинаючи його, і знаходити відповідну точку докладання сили Р. Провівши сімейство дотичних до перетину, отримаємо безліч відповідних їм полюсів, геометричне місце яких дасть контур ядра перерізу.
Нехай, наприклад, дано перетин, показаний на рис. 4, з головними центральними осями х та у.
Для побудови ядра перерізу наведемо п'ять дотичних, чотири з яких збігаються зі сторонами АВ, ДЕ, EF і FA, а п'ята з'єднує точки В і Д. Вимірявши або обчисливши від різання, що відсікаються зазначеними дотичними I-I, . . . ., 5-5 на осях х, у підставляючи ці значення в залежності (13), визначаємо координати х р, у р для п'яти полюсів 1, 2 .... 5, відповідних п'яти положенням нульової лінії. Стосовну II можна перевести в положення 2-2 обертанням навколо точки А, при цьому полюс I повинен переміщатися по прямій і в результаті повороту дотичної перейти в точку 2. Отже, всі полюси, що відповідають проміжним положенням між II і 2-2, розташуються на прямий 1-2. Аналогічно можна довести, що інші сторони ядра перерізу також прямокутними, тобто. ядро перерізу - багатокутник, для побудови якого достатньо з'єднати полюси 1, 2, ... 5 прямими.
Вигин із крученням круглого бруса.
При вигині з крученням у поперечному перерізі бруса в загальному випадку не дорівнюють нулю п'ять внутрішніх силових факторів: М х, М у, М к, Q x і Q у. Однак у більшості випадків впливом перерізуючих сил Q x і Q y можна знехтувати, якщо перетин не є тонкостінним.
Нормальну напругу в поперечному перерізі можна визначати за величиною результуючого згинального моменту.
т.к. нейтральна вісь перпендикулярна до порожнини дії моменту М u .
На рис. 5 зображені згинальні моменти М х і М y у вигляді векторів (напрями М х і М y обрані позитивними, тобто такими, щоб у точках першого квадранта перерізу напруги були розтягують).
Напрямок векторів М х і М y обрано таким чином, щоб спостерігач, дивлячись з кінця вектора, бачив їх спрямованими проти руху стрілки годинника. У цьому випадку нейтральна лінія збігається з напрямком вектора результуючого моменту М u а найбільш навантажені точки перерізу А і В лежать у площині дії цього моменту.
Під вигином розуміється такий вид навантаження, при якому в поперечних перерізах бруса виникають згинальні моменти. Якщо згинальний момент у перерізі є єдиним силовим фактором, то згин називається чистим. Якщо поряд із згинальним моментом у поперечних перерізах бруса виникають і поперечні сили, то вигин називається поперечним.
Передбачається, що згинальний момент і поперечна сила лежать в одній з основних площин бруса (приймемо, що ця поверхня ZOY). Такий вигин називається плоским.
У всіх випадках, що розглядаються нижче, має місце плоский поперечний вигин балок.
Для розрахунку балки на міцність чи жорсткість необхідно знати внутрішні силові фактори, що виникають у її перерізах. З цією метою будуються епюри поперечних сил (епюра Q) та згинальних моментів (М).
При згинанні прямолінійна вісь бруса викривляється, нейтральна вісь проходить через центр тяжкості перерізу. Для визначеності при побудові епюр поперечних сил згинальних моментів встановимо їм правила символів. Приймемо, що згинальний момент вважатиметься позитивним, якщо елемент бруса згинається опуклістю вниз, тобто. таким чином, що його стислі волокна знаходяться у верхній частині.
Якщо момент згинає брус опуклістю вгору, цей момент вважатиметься негативним.
Позитивні значення згинальних моментів при побудові епюри відкладаються, як звичайно в напрямку осі, що відповідає побудові епюри на стиснутому волокні.
Тому правило знаків для епюри згинальних моментів можна сформулювати так: ординати моментів відкладаються з боку шарів бруса.
Згинальний момент у перерізі дорівнює сумі моментів щодо цього перерізу всіх сил, розташованих з одного боку (будь-яку) від перерізу.
Для визначення поперечних сил (Q) встановимо правило знаків: поперечна сила вважається позитивною, якщо зовнішня сила прагне повернути відсічену частину балки за годину. стрілці щодо точки осі, яка відповідає проведеному перерізу.
Поперечна сила (Q) у довільному поперечному перерізі бруса чисельно дорівнює сумі проекцій на вісь ОУ зовнішніх сил, прикладених до осіченої частини.
Розглянемо кілька прикладів побудови епюр поперечних сил згинальних моментів. Всі сили перпендикулярні до осі балок, тому горизонтальна складова реакції дорівнює нулю. Деформована вісь балки та сили лежать у головній площині ZOY.
Балка завдовжки защемлена лівим кінцем і навантажена зосередженою силою F і моментом m=2F.
Побудуємо епюри поперечних сил Q і згинальних моментів М.
У нашому випадку на балку з правого боку не накладено зв'язків. Тому, щоб не визначати опорні реакції, доцільно розглядати рівновагу правої відсіченої частини балка. Задана балка має дві ділянки навантаження. Кордони ділянок-перетину, у яких прикладені зовнішні сили. 1 ділянка – СВ,2 – ВА.
Проводимо довільний переріз на ділянці 1 та розглянемо рівновагу правої відсіченої частини довжиною Z 1 .
З умови рівноваги випливає:
Q=F; М із = -FZ 1 ()
Поперечна сила є позитивною, т.к. зовнішня сила F прагне повернути відсічену частину за годинниковою стрілкою. Момент згинальний вважається негативним, т.к. він згинає розглянуту частину балки опуклістю нагору.
При складанні рівнянь рівноваги подумки закріплюємо місце перерізу; з рівнянь () випливає, що поперечна сила на ділянці від Z 1 не залежить і є постійною величиною. Позитивну силу Q=F відкладаємо вгорі від осьової лінії балки, перпендикулярно до неї.
Згинальний момент залежить від Z 1 .
При Z 1 =O М із =O приZ 1 = М із =
Отримане значення () відкладаємо донизу, тобто. епюра М будується на стиснутому волокні.
Переходимо до другої ділянки
Розсікаємо ділянку II на довільній відстані Z 2 від вільного правого торця балки та розглядаємо рівновагу відсіченої частини довжиною Z 2 . Зміна поперечної сили та згинального моменту на основі умов рівноваги можна виразити такими рівняннями:
Q=FM із = - FZ 2 +2F
Величина та знак поперечної сили не змінилися.
Величина згинального моменту залежить від Z 2 .
При Z 2 = M із =, при Z 2 =
Згинальний момент вийшов позитивним як на початку ділянки II, так і в кінці його. На ділянці II балка згинається опуклістю донизу.
Відкладаємо в масштабі величини моментів нагору по осьовій лінії балки (тобто епюра будується на стиснутому волокні). Найбільший згинальний момент виникає в перерізі, де прикладений зовнішній момент m і за абсолютною величиною дорівнює
Зауважимо, що у довжині балки, де Q зберігає постійну величину, згинальний момент М змінюється лінійно і представляється на епюрі похилими прямими. З епюр Q і М видно, що в перерізі, де прикладена зовнішня поперечна сила, епюра Q має стрибок на величину цієї сили, а епюра М з - злам. У перетині, де прикладено зовнішній згинальний момент, епюра Міз має стрибок на величину цього моменту. На епюрі Q це не відбивається. З епюри М бачимо, що
maxМ із =
отже, небезпечний переріз гранично наближений з лівого боку до т.ч.
Для балки зображеної на рис.13,а побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів. На довжині балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням з інтенсивністю q(КН/см).
На опорі А (шарнір нерухомий) виникне вертикальна реакція R a (горизонтальна реакція дорівнює нулю), а на опорі (рухливий шарнір) виникає вертикальна реакція R ст.
Визначимо вертикальні реакції опор, становлячи рівняння моментів щодо опор А та В.
Перевіримо правильність визначення реакції:
тобто. опорні реакції визначено правильно.
Задана балка має дві ділянки навантаження: I ділянка – АС.
ІІ ділянка – СВ.
На першій ділянці a у поточному перерізі Z 1 з умови рівноваги відсіченої частини маємо
Рівняння згинальних моментів на 1 ділянці балки:
Момент від реакції R a згинає балку на ділянці 1, опуклістю вниз, тому згинальний момент реакції Ra вводиться в рівняння зі знаком плюс. Навантаження qZ 1 згинає балку опуклістю нагору, тому момент від неї вводиться в рівняння зі знаком мінус. Згинальний момент змінюється за законом квадратної параболи.
Тому необхідно з'ясувати, чи має місце екстремум. Між поперечною силою Q та згинальним моментом існує диференціальна залежність на аналізі якої ми зупинимося далі
Як відомо, функція має екстремум там, де похідна дорівнює нулю. Отже, щоб визначити при якому значенні Z 1 згинальний момент буде екстремальним, треба рівняння поперечної сили прирівняти до нуля.
Оскільки поперечна сила змінює у цьому перерізі знак із плюса на мінус, то згинальний момент у цьому перерізі буде максимальним. Якщо Q змінює знак з мінусу на плюс, то згинальний момент у цьому перерізі буде мінімальним.
Отже, згинальний момент при
є максимальним.
Тому, будуємо параболу за трьома точками
При Z 1 =0 М із =0
Розсікаємо другу ділянку на відстані Z 2 від опори В. З умови рівноваги правої відсіченої частини балки маємо:
При величина Q=const,
згинальний момент буде:
при, при, тобто. M З
змінюється за лінійним законом.
Балка на двох опорах, що має проліт, рівний 2 і ліву консоль довжиною, навантажена так, як показано на рис.14,а., де q(Кн/см) - погонне навантаження. Опора А-шарнірно нерухома, опора - рухомий каток. Побудувати епюри Q і М.
Розв'язання задачі слід розпочинати з визначення реакцій опор. З умови рівності нулю суми проекцій усіх сил на вісь Z випливає, що горизонтальна складова реакцію опорі А дорівнює 0.
Для перевірки використовуємо рівняння
Рівняння рівноваги задовольняються, отже реакції обчислені правильно. Переходимо до визначення внутрішніх силових факторів. Задана балка має три ділянки навантаження.
- 1 ділянка - СА,
- 2 ділянка - АТ,
- 3 ділянка – ДВ.
Розсічемо 1 ділянку на відстань Z 1 від лівого торця балки.
при Z 1 = 0 Q = 0 М З = 0
при Z 1 = Q = -q М З =
Таким чином, на епюрі поперечних сил виходить похила пряма, а на епюрі згинальних моментів – парабола, вершина якої знаходиться на лівому кінці балки.
На ділянці II (a Z 2 2a) визначення внутрішніх силових чинників розглянемо рівновагу лівої відсіченої частини балки довжиною Z 2 . З умови рівноваги маємо:
Поперечна сила на цій ділянці постійна.
На ділянці III()
З епюри бачимо, що найбільший згинальний момент виникає у перерізі під силою F і дорівнює. Цей переріз буде найнебезпечнішим.
На епюрі М є стрибок на опорі, рівний зовнішньому моменту, прикладеному в даному перерізі.
Розглядаючи побудовані вище епюри, неважко помітити певний закономірний зв'язок між епюрами згинальних моментів та епюрами поперечних сил. Доведемо це.
Похідна від поперечної сили по довжині бруса дорівнює модулю інтенсивності навантаження.
Відкидаючи величину вищого порядку малості отримаємо:
тобто. поперечна сила є похідною від згинального моменту за довжиною бруса.
Враховуючи отримані диференціальні залежності, можна зробити загальні висновки. Якщо брус навантажений рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивності q=const, очевидно, функція Q буде лінійною, а М - квадратичною.
Якщо брус навантажений зосередженими силами чи моментами, то проміжках між точками їх застосування інтенсивність q=0. Отже, Q=const, а М є лінійною функцією Z. У точках докладання зосереджених сил епюра Q зазнає стрибок на величину зовнішньої сили, а в епюрі М виникає відповідний злам (розрив у похідній).
У місці застосування зовнішнього згинального моменту спостерігається розрив в епюрі моментів, що дорівнює за величиною прикладеного моменту.
Якщо Q>0, то М росте, а якщо Q<0, то М из убывает.
Диференціальні залежності використовуються для перевірки рівнянь складених для побудови епюр Q і М, а також для уточнення виду цих епюр.
Згинальний момент змінюється згідно із законом параболи, опуклість якої завжди спрямована назустріч зовнішньому навантаженню.
Вступ.
Вигин - вид деформації, що характеризується викривленням (зміною кривизни) осі або серединної поверхні об'єкта, що деформується (бруса, балки, плити, оболонки та ін.) під дією зовнішніх сил або температури. Вигин пов'язаний із виникненням у поперечних перерізах бруса згинальних моментів. Якщо з шести внутрішніх силових факторів у перерізі бруса відмінним від нуля є тільки один згинальний момент, вигин називається чистим:
Якщо в поперечних перерізах бруса крім згинального моменту діє також поперечна сила - вигин називається поперечним:
В інженерній практиці розглядається також особливий випадок вигину-подовжній І. ( Рис. 1, в), що характеризується витріщенням стрижня під дією поздовжніх стискаючих сил. Одночасна дія сил, спрямованих по осі стрижня та перпендикулярно до неї, викликає поздовжньо-поперечний вигин ( Рис. 1, г).
Рис. 1. Вигин бруса: а – чистий: б – поперечний; в - поздовжній; г - поздовжньо-поперечний.
Брус, що працює на вигин, називається балкою. Вигин називається плоским, якщо вісь балки після деформації залишається плоскою лінією. Площина розташування вигнутої осі балки називається площиною вигину. Площина дії навантажувальних сил називається силовою площиною. Якщо силова площина збігається з однією з головних площин інерції поперечного перерізу, вигин називається прямим. (Інакше має місце косий вигин). Головна площина інерції поперечного перерізу – це площина, утворена однією з головних осей поперечного перерізу з поздовжньою віссю бруса. При плоскому прямому вигині площину вигину і силова площина збігаються.
Завдання про кручення та вигин бруса (завдання Сен-Венана) має великий практичний інтерес. Додаток теорії вигину, встановленої Навье, становить великий відділ будівельної механіки і має величезне практичне значення, оскільки він є підставою розрахунку розмірів і повірки міцності різноманітних елементів споруд: балок, мостів, елементів машин тощо.
ОСНОВНІ РІВНЯННЯ І ЗАВДАННЯ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
§ 1. основні рівняння
Спочатку дамо загальне зведення основних рівнянь для завдань рівноваги пружного тіла, які становлять зміст розділу теорії пружності, що називається зазвичай статикою пружного тіла.
Деформований стан тіла цілком визначається тензором поля деформації або полем переміщень. пов'язані з переміщеннями диференціальними залежностями Коші:
(1)
Компоненти тензора деформації повинні задовольняти диференціальні залежності Сен-Венана:
які є необхідними та достатніми умовами інтегрованості рівнянь (1).
Напружений стан тіла визначається тензором поля напруг 
Шість незалежних компонентів симетричного тензора ()
повинні задовольняти трьома диференціальними рівняннями рівноваги:
Компоненти тензора напруг іпереміщення пов'язані шістьма рівняннями закону Гука:
деяких випадках рівняння закону Гука доводиться використовувати у вигляді формули
,
(5)
Рівняння (1) - (5) є основними рівняннями статичних завдань теорії пружності. Іноді рівняння (1) і (2) називають геометричними рівняннями, рівняння ( 3) – статичними рівняннями, а рівняння (4) або (5) – фізичними рівняннями. До основних рівнянь, що визначають стан лінійно-пружного тіла у його внутрішніх точках об'єму, необхідно приєднати умови на його поверхні. Ці умови називаються граничними умовами. Вони визначаються або заданими зовнішніми поверхневими силами або заданими переміщеннями точок поверхні тіла. У першому випадку граничні умови виражаються рівністю:
де - компоненти вектора t поверхневої сили, - компоненти одиничного вектора п, спрямованого зовнішньої нормалі до поверхні в точці, що розглядається.
У другому випадку граничні умови виражаються рівністю
де 
- Задані на поверхні функції.
Граничні умови можуть також мати змішаний характер, коли на одній частині поверхні тіла задані зовнішні поверхневі сили а на іншій частині поверхні тіла задані переміщення:
Можливі й інші граничні умови. Наприклад, на деякій ділянці поверхні тіла задані лише деякі компоненти вектора переміщення та, крім того, також не всі компоненти вектора поверхневої сили.
§ 2. основні завдання статики пружного тіла
Залежно від виду граничних умов розрізняють три типи основних статичних завдань теорії пружності.
Основне завдання першого типу полягає у визначенні компонент тензора поля напруг всередині області , зайнятий тілом, та компонент вектора переміщення точок усередині області і точок поверхні тіла за заданими масовими силами та поверхневим силам
Шукані дев'ять функцій повинні відповідати основним рівнянням (3) та (4), а також граничним умовам (6).
Основне завдання другого типу полягає у визначенні переміщень точок усередині області та компонент тензора поля напруг за заданими масовими силами та за заданими переміщеннями на поверхні тіла.
Шукані функції і повинні задовольняти основним рівнянням (3) та (4) та граничним умовам (7).
Зауважимо, що граничні умови (7) відображають вимогу про безперервність визначених функцій на кордоні тіла, тобто коли внутрішня точка прагне до деякої точки поверхні , функція повинна прагнути заданого значення у цій точці поверхні.
Основне завдання третього типу або змішане завдання полягає в тому, що за заданими поверхневими силами на одній частині поверхні тіла і за заданими переміщеннями на іншій частині поверхні тіла а також, взагалі кажучи, за заданими масовими силами потрібно визначити компоненти тензора напруги та переміщення , що задовольняють основним рівнянням (3) та (4) при виконанні змішаних граничних умов (8).
Отримавши вирішення цього завдання, можна визначити, зокрема, зусилля зв'язків на , які повинні бути прикладені в точках поверхні, щоб реалізувати задані переміщення на цій поверхні, а також можна обчислити переміщення точок поверхні . Курсова робота >> Промисловiсть, виробництво
По довжині бруса, то брусдеформується. Деформація брусасупроводжується одночасно... деревних, полімерних та ін. згині бруса, що лежить на двох опорах, ... згиніхарактеризуватиметься стрілою прогину. При цьому напруги стиснення у увігнутій частині бруса ...
Переваги клеєного брусау малоповерховому будівництві
Реферат >> БудівництвоВирішуються при використанні клеєного профільованого бруса. Клеєна деревина в несучих... , не скручується і не згинається. Це обумовлено відсутністю у транспортуванні палива. 5. Поверхня клеєного бруса, Виконаного з дотриманням всіх технологічних...
Loading...