Які дві фігури називають рівними? Дві геометричні фігури називаються рівними, якщо їх можна поєднати.

Геометричні фігури вважаються рівними, якщо вони є точною копією один одного, тобто повинні виконуватись такі умови:

1. фігури мають однакову форму;
2. у фігур однакові розміри;
3. існує таке накладання (рух) однієї фігури в іншу, що вони збігаються у всіх своїх точках.

Що означає однакова форма фігур

Говорячи про форму фігури, мається на увазі в першу чергу клас геометричних фігур, а також кількість кутів, напрямок опуклостей (увігнутостей) та інші візуальні деталі контуру плоскої фігури.

Наприклад, овал і прямокутник мають явно різну форму. А якщо взяти фігури одного класу, допустимо 2 трикутники, то потрібно порівняти елементи, що становлять контур. В даному випадку мова йдепро кути та сторони. Так, якщо в одного трикутника є прямий кут, а в іншого немає, то відразу помітно вони мають різну форму. Якщо довжини трьох сторін одного трикутника не сильно відрізняються один від одного, а в іншого одна сторона значно більша за дві інші, ми теж з першого погляду зауважимо, що їх форми різні.

Чому важливо збіг розмірів фігур

Що, якщо відмінності у розмірах візуально мало помітні? Тоді необхідно зробити точні виміри обох фігур. Також рівність розмірів поділяє поняття подібних та рівних фігур. Наприклад, 2 квадрати з різною площеюбудуть подібними, але не рівними (мається на увазі, коли один більший за інший).

Що розуміється під «накладенням» фігур одна на одну

Іноді зробити точні виміри складно. Особливо якщо фігура утворена замкненою довільною кривою або ламаною лінією. Тоді потрібно знайти спосіб накласти одну фігуру на іншу.

Так, якщо вони намальовані на аркуші паперу, потрібно вирізати одну з них точно за контуром і покласти поверх іншої. Можна її повертати у будь-якому напрямку і навіть перевертати. Якщо знайдеться спосіб поєднати ці фігури так, щоб вони збіглися точно за контурами, то вони рівні.

Чи завжди можна довести рівність фігур

Іноді зробити це неможливо. Наприклад, якщо йдеться про прямі. Усі вони нескінченні. Те саме стосується і променів.

Рівними називаються такі фігури, які можна поєднати, скориставшись будь-яким видом руху (центральна та осьова симетрія, поворот та паралельне перенесення).

У таких постатях усі сторони та кути відповідно рівні.

Наприклад, якщо дані трикутники ABC і A₁B₁C₁, то вони рівні в тому випадку, якщо дотримується рівність сторін (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) і кутів (кут A = кут A₁, кут B = кут = кут C₁).

Також у рівних фігурах рівні та відповідні точки та лінії. Наприклад, у тих же рівних трикутниках ABC і A₁B₁C₁ дорівнюватимуть бісектриси, медіани, висоти, радіуси вписаного та описаного кіл, центроїди тощо.

який кут називається розгорнутим? Які фігури називаються рівними? Поясніть, як порівняти два відрізки? яка точка називається

серединою відрізка?

Який промінь називається бісектрисою кута?

що таке градусний захід кута?

Яка фігура називається трикутником? Які трикутники називаються рівними? Який відрізок називають медіаною трикутника? Який відрізок називають

бісектрисою трикутника? Який відрізок називають висотою трикутника? Який трикутник називається рівнобедреним? Який трикутник називається рівностороннім? Що таке коло? Визначення радіуса, діаметра, хорди. Дайте визначення паралельних прямих. Який кут називається зовнішнім кутом трикутника? Як називаються сторони прямокутного трикутника? Властивість двох прямих, паралельних третій. Властивість двох прямих перпендикулярних до третьої

Яка постать називається ламаною? Що таке ланки вершини та довжина ламаної?

Поясніть, яка ламана називається багатокутником. Що таке вершини, сторони, периметр та діагоналі багатокутника? Який багатокутник називається опуклим?
Поясніть, які кути називаються опуклими кутами багатокутника. Виведіть формулу для обчислення суми кутів опуклого n-кутника. Доведіть, що сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника. ВЗЯТИХ по одному на кожній вершині, дорівнює 360 градусів.
Чому дорівнює сума кутів опуклого чотирикутника?

1) Яка фігура називається чотирикутником?

2) Що таке вершини, кути сторони діагоналі периметр чотирикутника?
3) Які кути сторони чотирикутник називається опуклим?
4)чому дорівнює сума кутів опуклого чотирикутника?
5) який чотирикутник називається опуклим?
6) Який чотирикутник називають паралелограм?
7) якими властивостями має паралелограм?
8) назвіть ознаки паралелограма.
9) сформулюйте властивості прямокутника.
10) який чотирикутник називається квадратом?
11) сформулюйте властивості ромба.
12) Який чотирикутник називається ромбом?
13) Який чотирикутник називається прямокутником?
14) якими властивостями має квадрат? дайте відповідь будь ласка коротко...

Геометрія Атанасян 7,8,9 клас «Питання відповіді на запитання для повторення до розділу 2 до підручника геометрії 7-9 клас атанасян Поясніть, яка фігура

називається трикутником.
2. Що таке периметр трикутника?
3. Які трикутники називаються рівними?
4. Що таке теорема та доказ теореми?
5. Поясніть, який відрізок називається перпендикуляром, проведеним із цієї точки до цієї прямої.
6. Який відрізок називається медіаною трикутника? Скільки медіан має трикутник?
7. Який відрізок називається бісектрисою трикутника? Скільки бісектрис має трикутник?
8. Який відрізок називається висотою трикутника? Скільки висот має трикутник?
9. Який трикутник називається рівнобедреним?
10. Як називаються сторони рівнобедреного трикутника?
11. Який трикутник називається рівностороннім?
12. Сформулюйте властивість кутів на підставі рівнобедреного трикутника.
13. Сформулюйте теорему про бісектрису рівнобедреного трикутника.
14. Сформулюйте першу ознаку рівності трикутників.
15. Сформулюйте другу ознаку рівності трикутників.
16. Сформулюйте третю ознаку рівності трикутників.
17. Дайте визначення кола.
18. Що таке центр кола?
19. Що називається радіусом кола?
20. Що називається діаметром кола?
21. Що називається хордою кола?

Одним із основних понять у геометрії є фігура. Під цим терміном мається на увазі безліч точок на площині, обмежена кінцевим числом ліній. Деякі фігури можна розглядати як рівні, що пов'язані з поняттям руху. Геометричні фігури можуть розглядатися не ізольовано, а в тому чи іншому співвідношенні одна з одною – їх взаємне розташування, дотик і прилягання, становище «між», «всередині», співвідношення, що у поняттях «більше», «менше», «ровно».Геометрия вивчає інваріантні властивості фігур, тобто. ті, що залишаються незмінними за тих чи інших геометричних перетвореннях. Таке перетворення простору, при якому залишається незмінною відстань між точками, що становлять ту чи іншу фігуру, називається рухом.Рух може виступати в різних варіантах: паралельне перенесення, тотожне перетворення, поворот навколо осі, симетрія щодо прямої або площини, центральна, поворотна, переносна симетрія

Рух та рівні фігури

Якщо можливий рух, що призведе до суміщення однієї фігури з іншою, такі фігури називають рівними (конгруентними). Дві фігури, рівні третьої, рівні і між собою – таке твердження було сформульовано ще Евклідом, основоположником геометрії. простою мовою: рівними називаються такі фігури, які повністю збігатимуться при накладенні їх одна на одну. даного поняття. Але дві фігури, накреслені на поверхні, не можна фізично накласти одна на одну. В даному випадку доказом рівності фігур виступає доказ рівності всіх елементів, що становлять ці фігури: довжина відрізків, розмір кутів, діаметр та радіус, якщо йдеться про коло.

Рівновеликі та рівноскладені фігури

З рівними постатями годі було змішувати рівновеликі і рівноскладені постаті – за всієї близькості даних понять.
Рівновеликими називаються такі фігури, які мають рівну площу, якщо це фігури на площині, або рівний об'єм, якщо йдеться про тривимірні тіла. Збіг всіх елементів, що становлять дані фігури, не є обов'язковим. Рівні фігури будуть рівновеликими завжди, але не всякі рівновеликі фігури можна назвати рівними. Поняття рівноскладності найчастіше застосовують до багатокутників. Воно має на увазі, що багатокутники можна розбити на однакову кількість відповідно до рівних фігур. Рівно складені багатокутники завжди є рівновеликими.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:Повторити тему «Площа паралелограма». Вивести формулу площі трикутник, запровадити поняття рівновеликих фігур. Розв'язання задач на тему «Площі рівновеликих фігур».

Хід уроку

I. Повторення.

1) Усно по готовому кресленню вивести формулу площі паралелограма.

2) Яка залежність між сторонами паралелограма та висотами, опущеними на них?

(за готовим кресленням)

залежність обернено пропорційна.

3) Знайти другу висоту (за готовим кресленням)

4) Знайти площу паралелограма за готовим кресленням.

Рішення:

5) Порівняйте площі паралелограмів S1, S2, S3. (Вони мають рівні площі, у всіх основа і висота h).

Визначення: Фігури, що мають рівні площі, називаються рівновеликими.

ІІ. Розв'язання задач.

1) Довести, що будь-яка пряма, що проходить через точку перетину діагоналей, ділить його на 2 рівновеликі частини.

Рішення:

2) В паралелограмі ABCD CF та CE висоти. Довести, що AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) Дана трапеція з основами a та 4a. Чи можна через одну з її вершин провести прямі, що розбивають трапецію на 5 рівновеликих трикутників?

Рішення:Можна, можливо. Усі трикутники рівновеликі.

4) Довести, що якщо на стороні паралелограма взяти точку A і з'єднати її з вершинами, то площа трикутника ABC, що вийшла, дорівнює половині площі паралелограма.

Рішення:

5) Торт має форму паралелограма. Малюк і Карлсон ділять його так: Малюк вказує на поверхні торта крапку, а Карлсон по прямій, що проходить через цю точку, розрізає торт на 2 шматки і один із шматків забирає собі. Кожен хоче отримати більший шматок. Де Малюк має поставити крапку?

Рішення:У точці перетину діагоналей.

6) На діагоналі прямокутника вибрали точку та провели через неї прямі, паралельні сторонам прямокутника. По різні боки утворилися 2 прямокутники. Порівняйте їхні площі.

Рішення:

ІІІ. Вивчення теми «Площа трикутника»

почати із завдання:

«Знайти площу трикутника, у якого основа a, а висота h».

Діти, використовуючи поняття рівновеликих постатей, доводять теорему.

Добудуємо трикутник до паралелограма.

Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма.

Завдання: Накресліть рівновеликі трикутники.

Використовується модель (з паперу вирізано 3 кольорові трикутники і склеєно біля основ).

Вправа №474 "Порівняйте площі двох трикутників, на які розділяється даний трикутник його медіаною".

У трикутників однакові підстави a і та сама висота h. Трикутники мають однакову площу

Висновок: Фігури, що мають рівні площі, називаються рівновеликими.

Питання до класу:

1. Чи рівновеликі рівні фігури?
2. Сформулюйте зворотне твердження. Чи правильне воно?
3. Чи правильно:
   а) Рівносторонні трикутники рівновеликі?
   б) Рівносторонні трикутники з рівними сторонами рівновеликі?
   в) Квадрати з рівними сторонами рівновеликі?
   г) Доведіть, що паралелограми, утворені при перетині двох смуг однакової ширини під різними кутаминахилу один до одного, рівновеликі. Знайдіть паралелограм найменшої площі, що утвориться при перетині двох смуг однакової ширини. (Показати на моделі: смужки однакової ширини)

IV. Крок вперед!

На дошці написані завдання на вибір:

1. «Розріжте трикутник двома прямими лініями так, щоб можна було з частин скласти прямокутник».

Рішення:

2. "Розріжте прямокутник по прямій лінії на 2 частини, з яких можна скласти прямокутний трикутник".

Рішення:

3) У прямокутнику проведено діагональ. В одному з трикутників, що вийшли, проведена медіана. Знайдіть співвідношення між площами фігур .

Рішення:

Відповідь:

3. З олімпіадних завдань:

«У чотирикутнику ABCD точка E-середина AB, з'єднана з вершиною D, а F – середина CD, з вершиною B. Довести, що площа чотирикутника EBFD у 2 рази менше площічотирикутника ABCD.

Вирішення: провести діагональ BD.

Вправа №475

«Накресліть трикутник ABC. Через вершину В проведіть 2 прямі так, щоб вони розділили цей трикутник на 3 трикутники, що мають рівні площі».

Використовувати теорему Фалеса (розділити АС на 3 рівні частини).

V. Завдання дня.

Для неї відвела крайню праву частину дошки, на якій пишу завдання сьогодення. Діти можуть вирішувати її, а можуть і не вирішувати. На уроці це завдання ми сьогодні не вирішуємо. Просто ті, кому вони цікаві, можуть списати її, вирішити її вдома чи зміну. Зазвичай вже у зміну багато хлопців починають вирішувати завдання, якщо вирішили, то показують рішення, і я фіксую це у спеціальній таблиці. На наступному уроці до цього завдання обов'язково повертаємося, приділяючи його рішенню невелику частину уроку (а на дошці може бути записане нове завдання).

«У паралелограмі вирізано паралелограм. Розділіть частину, що залишилася, на 2 рівновеликі фігури».

Рішення:Сікуча AB проходить через точку перетину діагоналей паралелограмів O та O1.

Додаткові завдання (з олімпіадних завдань):

1) «У трапеції ABCD (AD || BC) вершини A і B з'єднані з точкою M – серединою сторони CD. Площа трикутника ABM дорівнює m. Знайти площу трапеції ABCD».

Рішення:

Трикутники ABM та AMK – рівновеликі фігури, т.к. AM – медіана.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

Відповідь: S ABCD = 2m.

2) «У трапеції ABCD (AD || BC) діагоналі перетинаються у точці O. Довести, що трикутники AOB та COD рівновеликі».

Рішення:

S ∆BCD = S ∆ABC , т.к. у них загальна основа BC та однакова висота.

3) Сторона АВ довільного трикутника АВС продовжена за вершину так, що ВР = АВ, сторону АС за вершину А так, що АМ = СА, сторону ВС за вершину С так, що КС = ВС. У скільки разів площа трикутника РМК більше площітрикутника АВС?

Рішення:

У трикутнику МВС: МА = АС, отже, площа трикутника ВАМ дорівнює площі трикутника АВС. У трикутнику АРМ: ВР = АВ, отже, площа трикутника ВАМ дорівнює площі трикутника АВР. У трикутнику АРС: АВ = ВР, отже, площа трикутника ВАС дорівнює площі трикутника ВРС. У трикутнику ВРК: ВС = СК, отже, площа трикутника ВРС дорівнює площі трикутника РКС. У трикутнику АВК: ВС = СК, отже, площа трикутника ВАС дорівнює площі трикутника АСК. У трикутнику МСК: МА = АС, отже, площа трикутника КАМ дорівнює площі трикутника АСК. Отримуємо 7 рівновеликих трикутників. Значить,

Відповідь: Площа трикутника МРК у 7 разів більша за площу трикутника АВС.

4) Зчеплені паралелограми.

2 паралелограми розташовані так, як показано на малюнку: вони мають загальну вершину і ще по одній вершині кожного з паралелограмів лежить на сторонах іншого паралелограма. Довести, що площі паралелограмів дорівнюють.

Рішення:

і , значить,

Список використаної літератури:

1. Підручник "Геометрія 7-9" (автори Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев (Москва, "Освіта", 2003).
2. Олімпіадні завдання різних років, зокрема з навчального посібника«Найкращі завдання математичних олімпіад» (упорядник А.А. Корзняков, Перм, «Книжковий світ», 1996).
3. Добірка завдань, накопичених багато років роботи.

Фігури, які збігаються при накладенні, називаються РІВНИМИ. Дві геометричні фігуриназиваються рівними, якщо їх можна поєднати при накладенні

9. поясніть, як порівняти два відрізки та як порівняти 2 кути.Один відрізок накладаєш на інший, щоб кінець першого сумісився з кінцем другого, якщо при цьому інші два кінці не сумісилися, значить відрізки не рівні, якщо сумісилися то рівні. Щоб порівняти 2 відрізки, потрібно порівняти їх довжини, щоб порівняти 2 кути треба порівняти їх градусну міру, Два кути називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням. Щоб встановити, чи є два нерозгорнутих кути чи ні, необхідно поєднати сторону одного кута зі стороною другим таким чином, щоб дві інші сторони опинилися по одну сторону від суміщених сторін.Накласти один кут на інший кут таким чином, щоб у них збіглися вершини і по одній стороні, а дві інші опинилися по одну сторону від сторін, що сумілися. Якщо друга сторона одного кута поєднатись з другою стороною іншого кута, то дані кути рівні. (Наклади кути так щоб сторона одного поєдналася зі стороною ін., а дві ін. опинилися по одну сторону від сторін, що сумілися.

10. Яка точка називається серединою відрізка?Середина відрізка-це точка, яка поділяє цей відрізок на дві рівні частини. Крапка ділить відрізок навпіл називається серединою відрізка.

11. Бісектрисою(від лат. bi-«подвійне» і sectio «розрізання») кута називається промінь, що виходить з вершини кута і проходить через його внутрішню область, який утворює з його сторонами два рівні кути. Або промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на два рівні кути, називають бісектрисою кута.

12. Як проводиться вимірювання відрізків.Виміряти відрізок, який можна порівняти з одиницею – це означає дізнатися, скільки разів у ньому міститься одиниця або якась частка одиниці. Вимірювання відрізказдійснюється за допомогою порівняння його з деяким відрізком, прийнятим за одиницю. Вимірювати довжину відрізка можна за допомогою лінійки чи вимірювальної стрічки. Потрібно накласти один відрізок на інший, який ми прийняли за одиницю виміру, щоб їх кінці поєдналися.

? 13. Як пов'язані між собою довжини відрізків AB та CD, якщо: а) відрізки AB та CD рівні; б) відрізок AB менший від відрізка CD?

А) довжини відрізків AB та CD рівні. Б) довжина відрізка АВ менша за довжину відрізка CD.

14. Точка C поділяє відрізок AB на два відрізки. Як пов'язані між собою довжини відрізків AB, AC та CB?Довжина відрізка АВ дорівнює сумі довжин відрізків ACі CB. Щоб знайти довжину відрізка AB, треба скласти довжини відрізків AC і CB.

15. Що таке градус? Що показує градусний захід кута?Кути вимірюють у різних одиницях вимірах. Це може бути градуси, радіани. Найчастіше кути вимірюють у градусах. (Не слід плутати цей градус із мірою вимірювання температури, де також використовується слово «градус»). Вимірювання кутів засноване на порівнянні з кутом, прийнятим за одиницю вимірювання. Зазвичай за одиницю виміру кутів приймають градус - кут, що дорівнює 1/180 частини розгорнутого кута. Градус - одиниця виміру плоских кутів у геометрії. (Як одиниця виміру геометричних кутів прийнятий градус – частина розгорнутого кута.) .

Градусний захід кутапоказує, скільки разів градус і його частини - хвилина та секунда - укладаються в даному вугіллі , тобто градусна міра - величина, що відображає кількість градусів, хвилин та секунд між сторонами кута.

16. Яка частина градуса називається хвилиною, а яка – секундою? 1/60 частина градуса називається хвилиною, а 1/60 частина хвилини – секундою. Хвилини позначають знаком «′», а секунди – знаком «″»

? 17. Як пов'язані між собою градусні заходи двох кутів, якщо: а) ці кути рівні; б) один кут менший за інший?а) градусний захід кутів однаковий. б) Градусна міра одного кута менша за градусну міру другого кута.

18. Промінь OC поділяє кут AOB на два кути. Як пов'язані між собою градусні заходи кутів AOB, AOC та COB?Коли промінь ділить кут на два кути, градусна міра всього кута дорівнює сумі градусних мір цих кутів. AOBдорівнює сумі градусних заходів його частин AOC і COB.