Завдання з пошуку точок перетинубудь-які фігури ідеологічно примітивні. Труднощі в них бувають тільки через арифметику, тому що саме в ній допускаються різні помилки та помилки.

Інструкція

1. Це завдання вирішується аналітично, тому можна зовсім не малювати графіки прямийта параболи. Найчастіше це дає величезний плюс у вирішенні прикладу, тому що в задачі можуть бути дані такі функції, що їх простіше і швидше не намалювати.

2. Відповідно до підручників з алгебри парабола задається функцією виду f(x)=ax^2+bx+c, де a,b,c – це речові числа, причому показник a гарний він нуля. Функція g(x)=kx+h, де k,h – це речові числа, визначає пряму на площині.

3. Точка, крапка перетину прямийі параболи – це загальна точка обох кривих, тому у ній функції приймуть ідентичні значення, тобто f(x)=g(x). Дана заява дозволяє записати рівняння: ax^2+bx+c=kx+h, яке дасть можливість виявити безліч точок перетину .

4. У рівнянні ax^2+bx+c=kx+h потрібно перенести всі доданки в ліву частину і навести подібні: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Наразі залишається вирішити отримане квадратне рівняння.

5. Всі виявлені "ікси" - це ще не результат на завдання, тому що точку на площині характеризують два речові числа (x, y). Для укладання рішення необхідно визначити відповідні “ігрики”. Для цього необхідно підставити “ікси” або у функцію f(x), або у функцію g(x), чай для точки перетинуправильно: y = f (x) = g (x). Після цього ви виявите всі загальні точки параболи і прямий .

6. Для закріплення матеріалу дуже важливо розглянути рішення на прикладі. Нехай парабола визначається функцією f(x)=x^2-3x+3, а пряма – g(x)=2x-3. Складіть рівняння f(x)=g(x), тобто x^2-3x+3=2x-3. Переносячи всі доданки в ліву частину, і наводячи подібні, отримайте: x^2-5x+6=0. Коріння цього квадратного рівняння: x1=2, x2=3. Тепер виявіть відповідні "ігрики": y1 = g (x1) = 1, y2 = g (x2) = 3. Таким чином, виявлено всі точки перетину: (2,1) та (3,3).

Крапку перетинуПрямих можна приблизно визначити за графіком. Хоча часто потрібні точні координати цієї точки або графік будувати не потрібно, тоді можна виявити точку перетинузнаючи тільки рівняння прямих.

Інструкція

1. Нехай дві прямі задані загальними рівняннями прямої: A1 * x + B1 * y + C1 = 0 і A2 * x + B2 * y + C2 = 0. перетинуналежить і однієї прямої, та іншої. Виразимо з першого рівняння прямої x, отримаємо: x = -(B1*y + C1)/A1. Підставимо отримане значення у друге рівняння: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0. Або -A2B1*y – A2C1 + A1B2*y + A1C2 = 0, звідси y = (A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1). Підставимо виявлене значення рівняння першої прямої: A1*x + B1(A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 – A2B1)*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1C1 = 0 A2B1)*x – B1C2 + B2C1 = 0Тоді x = (B1C2 – B2C1)/(A1B2 – A2B1).

2. У шкільному курсі математики прямі часто задаються рівнянням з кутовим показником, розглянемо цей випадок. Нехай дві прямі задані таким чином: y1 = k1 * x + b1 та y2 = k2 * x + b2. Мабуть, що у точці перетину y1 = y2, тоді k1 * x + b1 = k2 * x + b2. Отримуємо, що ордината точки перетину x = (b2 - b1) / (k1 - k2). Підставимо x у будь-яке рівняння прямої та отримаємо y = k1(b2 – b1)/(k1 – k2) + b1 = (k1b2 – b1k2)/(k1 – k2).

Відео на тему

Рівняння параболиє квадратичною функцією. Існує кілька варіантів складання цього рівняння. Все залежить від того, які параметри представлені за умови завдання.

Інструкція

1. Парабола є кривою, яка за своєю формою нагадує дугу і є графіком статечної функції. Самостійно від того, які коляції має парабола, ця функція є парною. Парний називається така функція, у якої при всіх значеннях аргументу з області визначення при зміні символу аргументу значення не змінюється: f (-x) = f (x) Почніть з самої примітивну функції: y = x ^ 2. З її виду можна зробити результат, що вона наростає як при правильних, так і при негативних значеннях аргументу x. Точка, у якій x=0, і навіть, y =0 вважається точкою мінімуму функції.

2. Нижче наведено всі основні варіанти побудови цієї функції та її рівняння. Як перший приклад нижче розглянута функція образу:f(x)=x^2+a, де a – ціле числоДля того, щоб звести графік цієї функції, необхідно зрушити графік функції f(x) на a одиниць. Прикладом може бути функція y=x^2+3, де по осі y зсувають функцію вгору на дві одиниці. Якщо дана функція з протилежним знаком, скажімо y=x^2-3, її графік зрушують вниз по осі y.

3. Ще один вид функції, якою може бути задана парабола – f(x)=(x +a)^2. У разі графік, навпаки, зсувається по осі абсцис (осі x) на a одиниць. Наприклад можна розглянути функції: y=(x +4)^2 і y=(x-4)^2. У першому випадку, де є функція зі знаком плюс, графік зсувають по осі х ліворуч, а у другому випадку – праворуч. Всі ці випадки показані малюнку.

4. Існують також параболічні залежності виду y=x^4. У разі x=const, а y круто підвищується. Втім, це стосується лише парних функцій. параболинайчастіше присутні і у фізичних завданнях, скажімо, політ тіла описує лінію, схожу саме на параболу. Також вид параболимає подовжній переріз рефлектора фари, ліхтаря. На відміну від синусоїди, цей графік є неперіодичним та наростаючим.

Порада 4: Як визначити точку перетину прямої з площиною

Це завдання на побудову точки перетину прямийз площиною є класичною в курсі інженерної графіки та виконується способами накреслювальної геометрії та їх графічного вирішення на кресленні.

Інструкція

1. Розглянемо визначення точки перетину прямийз площиною приватного розташування (рисунок 1). Пряма l перетинає фронтально-проектуючу площину? Крапка їх перетину K належить і прямийі площині, отже, загальна проекція K2 лежить на ?2 та l2. Тобто, K2 = l2??2, А її горизонтальна проекція K1 визначається на l1 за допомогою лінії проекційного зв'язку. Таким чином, бажана точка перетину K(K2K1) будується невимушено без використання допоміжних площин. Подібно визначаються точки перетину прямийіз будь-якими площинами приватного розташування.

2. Розглянемо визначення точки перетину прямийіз площиною загального розташування. На малюнку 2 у просторі задані довільно розташовані площину? та пряма l . Для визначення точки перетину прямийз площиною загального розташування використовується спосіб допоміжних сіючих площин у подальшому порядку:

3. Через пряму l проводиться допоміжна січна площина? Для полегшення побудов це буде проектуюча площина.

5. Зазначається точка K перетину прямий l та побудованої лінії перетину MN. Вона і є бажаною точкою перетину прямийта площині.

6. Застосуємо це правило для вирішення певної задачі на комплексному кресленні. Визначити точку перетину прямий l із площиною загального розташування, заданою трикутником ABC (рисунок 3).

7. Через пряму l проводиться допоміжна січна площина?, перпендикулярна до площини проекції?2. Її проекція?2 збігається з проекцією прямий l2.

8. Будується лінія MN. Площина? перетинає AB у точці M. Відзначається її загальна проекція M2= ?2?A2B2 та горизонтальна M1 на A1B1 по лінії проекційного зв'язку. Площина? перетинає сторону AC у точці N. Її загальна проекція N2=?2?A2C2, горизонтальна проекція N1 на A1C1. Пряма MN належить одночасно обом площинам, отже, є їх лінією перетину .

9. Визначається точка K1 перетину l1 і M1N1, після цього за допомогою лінії зв'язку будується точка K2. Виходить, K1 та K2 – проекції бажаної точки перетину K прямий l та площині? ABC: K (K1K2) = l (l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2). За допомогою конкуруючих точок М,1 і 2,3 визначається видимість прямий l щодо даної площини? ABC.

Відео на тему

Зверніть увагу!
Застосовуйте допоміжну площину під час вирішення завдання.

Корисна порада
Виконуйте обчислення, застосовуючи докладні креслення, які відповідають умовам завдання. Це допоможе швидше зорієнтуватися у вирішенні.

Дві прямі, якщо вони непаралельні і не збігаються, неухильно перетинаються в одній точці. Виявити координати цього місця означає вирахувати точки перетинупрямі. Дві перетинаються прямі постійно лежать у одній площині, слід досить розглянути в декартової площині. Розберемо з прикладу, як виявити загальну точку прямих.

Інструкція

1. Візьміть рівняння 2-х прямих, пам'ятаючи про те, що рівняння прямої в декартовій системі координат рівняння прямої виглядає як ах+ву+с=0, причому а, в, с – прості числа, а х і у – координати точок. Наприклад виявіть точки перетинупрямих 4х+3у-6=0 та 2х+у-4=0. Для цього виявіть розв'язок системи цих 2-х рівнянь.

2. Для вирішення системи рівнянь змініть будь-яке рівняння так, щоб перед y стояв ідентичний показник. Тому що в одному рівнянні показник переду дорівнює 1, то примітивно помножте це рівняння на число 3 (показник перед у в іншому рівнянні). Для цього кожен елемент рівняння помножте на 3: (2х * 3) + (у * 3) - (4 * 3) = (0 * 3) і отримайте звичайне рівняння 6х + 3у-12 = 0. Якби показники перед у були чудові від одиниці в обох рівняннях, множити потрібно було б обидві рівності.

3. Відніміть з одного рівняння інше. Для цього відніміть з лівої частини одного ліву частину іншого і правильно також зробите з правої. Отримайте такий вираз: (4х+3у-6) – (6х+3у-12)=0-0. Тому що перед дужкою стоїть знак "-", усі знаки у дужках поміняйте на протилежні. Отримайте такий вираз: 4х+3у-6 – 6х-3у+12=0. Спростіть вираз і побачите, що змінна у зникла. Нове рівняння має такий вигляд: -2х+6=0. Перенесіть число 6 в іншу частину рівняння, і з рівності -2х=-6 виразите х: х=(-6)/(-2). Таким чином ви отримали х=3.

4. Підставте значення х=3 у будь-яке рівняння, скажімо, у друге й отримайте такий вираз: (2*3)+у-4=0. Спростіть і висловіть у: у = 4-6 = -2.

5. Запишіть отримані значення х і у у вигляді координат точки(3;-2). Ці і буде розв'язання задачі. Перевірте отримане значення способом підстановки в обидва рівняння.

6. Якщо прямі не дано у вигляді рівнянь, а дані примітивно на площині, виявіть координати точки перетинуграфічно. Для цього продовжіть прямі так, щоб вони перетнулися, після цього опустіть на осі ох і оу перпендикуляри. Перетин перпендикулярів з осями ох та оу, буде координатами цієї точки, подивіться на малюнок і ви побачите, що координати точки перетинух=3 і у=-2, тобто точка (3;-2) і рішення задачі.

Відео на тему

Парабола – це плоска крива другого порядку, канонічне рівняння якої декартової системі координат має вигляд y?=2px. Де р – це фокальний параметр параболи, рівний відстані від фіксованої точки F, яка називається фокусом, до фіксованої прямої D у цій же площині, що носить ім'я – директриса. Вершина такої параболи проходить через передмову координат, а сама крива симетрична щодо осі абсцис Ох. У шкільному курсі алгебри прийнято розглядати параболу, вісь симетрії якої збігається із віссю ординат Оу: x?=2py. А рівняння у своїй записується трохи навпаки: y=ax?+bx+c, а=1/(2p). Намалювати параболу можна кількома способами, щодо яких можна назвати алгебраїчним і геометричним.

Інструкція

1. Алгебраїчна побудова параболи. Дізнаєтеся координати вершини параболи. Координату по осі Ох обчисліть за формулою: x0=-b/(2a), а по осі Оy: y0=-(b?-4ac)/4a або підставте отримане значення х0 рівняння параболи y0=ax0?+bx0+c і обчисліть значення.

2. На координатній площині збудуйте вісь симетрії параболи. Її формула збігається з формулою координати х0 вершини параболи: x=-b/(2a). Визначте, куди спрямовані гілки параболи. Якщо а>0, осі спрямовані вгору, якщо а

3. Візьміть довільно 2-3 значення для параметра х так, щоб: х0

4. Поставте точки 1′, 2′, і 3′ так, щоб вони були симетричні точкам 1, 2, 3 щодо осі симетрії.

5. Об'єднайте точки 1′, 2′, 3′, 0, 1, 2, 3 плавною косою лінією. Продовжіть лінію вгору або вниз, залежно від напрямку параболи. Парабола збудована.

6. Геометрична побудова параболи. Даний спосіб заснований на визначенні параболи, як спільності точок, рівновіддалених як від фокусу F, так і від директриси D. Отже, спочатку виявіть фокальний параметр заданої параболи р=1/(2а).

7. Побудуйте вісь симетрії параболи, як описано в другому етапі. На ній поставте точку F з координатою по осі Оу, що дорівнює у=р/2 і точку D з координатою у=-р/2.

8. За допомогою косинця побудуйте лінію, що проходить через точку D, перпендикулярну до осі симетрії параболи. Ця лінія – директриса параболи.

9. Візьміть нитку по довжині, що дорівнює одному з катетів косинця. Один кінець нитки кнопкою закріпіть на вершині кутника, до якого прилягає даний катет, а 2-й кінець – у фокусі параболи в точці F. Лінійку покладіть так, щоб її верхній край збігався з директрисою D. На лінійку поставте кутник, вільним від кнопки . .

10. Олівець встановіть так, щоб він своїм вістрям притискав нитку до катета косинця. Рухайте косинець по лінійці. Олівець викреслить потрібну вам параболу.

Відео на тему

Зверніть увагу!
Не малюйте вершину параболи у вигляді кута. Її гілки сходяться один з одним, плавно закругляючись.

Корисна порада
При побудові параболи геометричним способом стежте, щоб нитка завжди була натягнута.

Раніше ніж приступити до дослідження поведінки функції, необхідно визначити область метаморфози аналізованих величин. Приймемо припущення, що змінні відносяться до множини дійсних чисел.

Інструкція

1. Функція – це змінна величина, яка від значення аргументу. Доказ – змінна самостійна. Межі змін аргументу називаються областю можливих значень (ОДЗ). Поведінка функції у межах ОДЗ оскільки у межах пов'язаність між двома змінними не хаотична, а підпорядковується певним правилам і може бути записана як математичного висловлювання.

2. Розглянемо довільну функціональну пов'язаність F = ? (x), де? - математичний вираз. Функція може мати точки перетину з осями координат або іншими функціями.

3. У точках перетину функції з віссю абсцис функція стає рівною нулю: F (x) = 0. Розв'яжіть це рівняння. Ви отримаєте координати точок перетину заданої функції з віссю ОХ. Таких точок буде стільки, скільки знайдеться коріння рівняння на заданій ділянці метаморфози доводу.

4. У точках перетину функції з віссю ординат значення аргументу дорівнює нулю. Отже, завдання перетворюється на знаходження значення функції за х = 0. Крапок перетину функції з віссю OY буде стільки, скільки знайдеться значень заданої функції при нульовому доводі.

5. Для знаходження точок перетину заданої функції з іншою функцією потрібно вирішити систему рівнянь: F = ? (x) W =? (x). Тут? (x) - вираз, що описує задану функцію F,? , Точки перетину з якої заданої функції треба виявити. Мабуть, що в точках перетину обидві функції набувають рівних значень при рівних значеннях доказів. Загальних точок у 2-х функцій буде стільки, скільки рішень у системи рівнянь на заданій ділянці змін аргументу.

Відео на тему

У точках перетину функції мають рівні значення при ідентичному значенні аргументу. Виявити точки перетину функцій - значить визначити координати загальних для функцій, що перетинаються, точок.

Інструкція

1. У загальному вигляді завдання знаходження точок перетину функцій одного доводу Y=F(x) і Y?=F?(x) на площині XOY зводиться до розв'язання рівняння Y= Y?, тому що у загальній точці функції мають рівні значення. Значення х, які відповідають рівності F(x)=F?(x), (якщо вони є) є абсцисами точок перетину заданих функцій.

2. Якщо функції задані нескладним математичним виразом і залежить від одного аргументу х, то завдання перебування точок перетину можна вирішити графічно. Побудуйте графіки функцій. Визначте точки перетину з осями координат (х=0, y=0). Вкажіть ще кілька значень аргументу, виявіть відповідні значення функцій, додайте отримані точки на графіки. Чим більше точок буде використано для побудови, тим вірніше буде графік.

3. Якщо графіки функцій перетнуться, визначте за кресленням координати точок перетину. Для перевірки підставте ці координати формулами, якими задані функції. Якщо математичні висловлювання виявляться об'єктивними, точки перетину виявлено позитивно. Якщо графіки функцій не перетинаються, спробуйте змінити масштаб. Зробіть крок між точками побудови більшим, щоб визначити, на якому місці числової поверхні лінії графіків зближуються. Після цього на виявленій ділянці перетину побудуйте більш детальний графік із дрібним кроком для точного визначення координат точок перетину.

4. Якщо потрібно виявити точки перетину функцій не так на площині, а тривимірному просторі, доводиться розглянути функції 2-х змінних: Z=F(x,y) і Z?=F?(x,y). Для визначення координат точок перетину функцій необхідно вирішити систему рівнянь із двома незнайомими х та y при Z=Z?.

Відео на тему

Отже, основні параметри графіка квадратичної функції показано на малюнку:

Розглянемо кілька способів побудови квдартичної параболи.Залежно від того, як задана квадратична функція, можна вибрати найбільш зручний.

1 . Функція задана формулою .

Розглянемо загальний алгоритм побудови графіка квадратичної параболина прикладі побудови графіка функції

1 . Напрямок гілок параболи.

Оскільки гілки параболи спрямовані вгору.

2 . Знайдемо дискримінант квадратного тричлена

Дискримнант квадратного тричлена більший за нуль, тому парабола має дві точки перетину з віссю ОХ.

Для того, щоб знайти їх координати, розв'яжемо рівняння:

,

3 . Координати вершини параболи:

4 . Точка перетину параболи з віссю OY: (0;-5), і їй симетрична щодо осі симетрії параболи.

Нанесемо ці точки на координатну площину і з'єднаємо їх плавною кривою:

Цей спосіб можна дещо спростити.

1. Знайдемо коодинати вершини параболи.

2. Знайдемо координати точок, що стоять праворуч і ліворуч від вершини.

Скористаємося результатами побудови графіка функції

Кррдинати вершини параболи

Найближчі до вершини точки, розташовані ліворуч від вершини, мають абсциси відповідно -1;-2;-3

Найближчі до вершини точки, розташовані праворуч, мають абсциси відповідно 0;1;2

Підізнаємо значення х у рівняння функції, знайдемо ординати цих точок і занесемо їх у таблицю:

Нанесемо ці точки на кординатну площину та з'єднаємо плавною лінією:

2 . Рівняння квадратичної функції має вигляд – у цьому рівнянні – координати вершини параболи

або у рівнянні квадратичної функції , І другий коефіцієнт - парне число.

Побудуємо для прикладу графік функції .

Згадаймо лінійні перетворення графіків функцій. Щоб побудувати графік функції , потрібно

§ спочатку побудувати графік функції,

§ потім одинати всіх точок графіка помножити на 2,

§ потім зрушити його вздовж осі ОХ на 1 одиницю вправо,

§ а потім уздовж осі OY на 4 одиниці вгору:

Тепер розглянемо побудову графіка функції . У рівнянні цієї функції і другий коефіцієнт – парне число.