ตัวอย่างตรีโกณมิติ สมการตรีโกณมิติ

เมื่อแก้ได้หลายอย่าง ปัญหาคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกิดขึ้นก่อนเกรด 10 ลำดับของการกระทำที่จะนำไปสู่เป้าหมายมีการกำหนดไว้อย่างชัดเจน ปัญหาดังกล่าว ได้แก่ สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง เชิงเส้น และ อสมการกำลังสอง, สมการเศษส่วนและสมการที่ลดเป็นกำลังสอง หลักการของการแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จของแต่ละงานที่กล่าวถึงมีดังนี้: จำเป็นต้องกำหนดประเภทของงานที่กำลังแก้ไข จำลำดับการดำเนินการที่จำเป็นที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการเช่น ตอบและทำตามขั้นตอนเหล่านี้

เห็นได้ชัดว่าความสำเร็จหรือความล้มเหลวในการแก้ปัญหานั้นขึ้นอยู่กับว่าประเภทของสมการที่กำลังแก้ไขนั้นถูกกำหนดไว้อย่างถูกต้องอย่างไร ลำดับของทุกขั้นตอนของการแก้ปัญหานั้นได้รับการทำซ้ำอย่างถูกต้องเพียงใด แน่นอนว่าต้องมีทักษะในการแสดง การแปลงที่เหมือนกันและการคำนวณ

สถานการณ์ที่แตกต่างกันเกิดขึ้นกับ สมการตรีโกณมิติไม่ยากที่จะสร้างความจริงที่ว่าสมการเป็นตรีโกณมิติ ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อกำหนดลำดับของการกระทำที่จะนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง

โดย รูปร่างสมการบางครั้งเป็นการยากที่จะกำหนดประเภทของมัน และโดยที่ไม่รู้ประเภทของสมการ แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเลือกสมการที่ถูกต้องจากสูตรตรีโกณมิติหลายสิบสูตร

ในการแก้สมการตรีโกณมิติ เราต้องลอง:

1. นำฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการมาเป็น "มุมเดียวกัน"
2. นำสมการมาสู่ "ฟังก์ชันเดียวกัน";
3. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ เป็นต้น

พิจารณา วิธีการพื้นฐานในการแก้สมการตรีโกณมิติ

I. ลดสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ขององค์ประกอบที่รู้จัก

ขั้นตอนที่ 2ค้นหาอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร:

cos x = ก; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ

บาป x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

ผิวสีแทน x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = ก; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

ขั้นตอนที่ 3ค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก

ตัวอย่าง.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

วิธีการแก้.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

คำตอบ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ครั้งที่สอง การทดแทนตัวแปร

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.นำสมการมาอยู่ในรูปพีชคณิตเทียบกับฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวใดตัวหนึ่ง

ขั้นตอนที่ 2แสดงถึงฟังก์ชันผลลัพธ์โดยตัวแปร t (หากจำเป็น ให้เพิ่มข้อจำกัดใน t)

ขั้นตอนที่ 3บันทึกและแก้ไข สมการพีชคณิต.

ขั้นตอนที่ 4ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

ขั้นตอนที่ 5แก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

ตัวอย่าง.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0

วิธีการแก้.

1) 2(1 - บาป 2 (x/2)) - 5 บาป (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0

2) ให้บาป (x/2) = t โดยที่ |t| ≤ 1

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 หรือ e = -3/2 ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข |t| ≤ 1

4) บาป (x/2) = 1

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

คำตอบ: x = π + 4πn, n Є Z.

สาม. วิธีการลดลำดับสมการ

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.แทนที่ สมการที่กำหนดเชิงเส้น โดยใช้สูตรการลดทอนสำหรับสิ่งนี้:

บาป 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

ผิวสีแทน 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)

ขั้นตอนที่ 2แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธี I และ II

ตัวอย่าง.

cos2x + cos2x = 5/4

วิธีการแก้.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

คำตอบ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. สมการเอกพันธ์

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.นำสมการนี้มาอยู่ในรูป

a) a sin x + b cos x = 0 (สมการเอกพันธ์ของดีกรีที่หนึ่ง)

หรือมุมมอง

b) บาป 2 x + b บาป x cos x + c cos 2 x = 0 (สมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง)

ขั้นตอนที่ 2หารทั้งสองข้างของสมการด้วย

ก) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

และรับสมการสำหรับ tg x:

ก) tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0

ขั้นตอนที่ 3แก้สมการโดยใช้วิธีที่รู้จัก

ตัวอย่าง.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0

วิธีการแก้.

1) 5บาป 2 x + 3บาป x cos x – 4(บาป 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

บาป 2 x + 3 บาป x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0

3) ให้ tg x = t แล้ว

เสื้อ 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 หรือ t = -4 ดังนั้น

tg x = 1 หรือ tg x = -4

จากสมการแรก x = π/4 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

คำตอบ: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. วิธีการแปลงสมการโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.ใช้ทุกประเภท สูตรตรีโกณมิตินำสมการนี้ไปแก้สมการโดยวิธี I, II, III, IV

ขั้นตอนที่ 2แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีที่รู้จัก

ตัวอย่าง.

บาป + บาป2x + บาป3x = 0

วิธีการแก้.

1) (บาป x + บาป 3x) + บาป 2x = 0;

2sin 2x cos x + บาป 2x = 0

2) บาป 2x (2cos x + 1) = 0;

บาป 2x = 0 หรือ 2cos x + 1 = 0;

จากสมการแรก 2x = π/2 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง cos x = -1/2

เรามี x = π/4 + πn/2, n Є Z; จากสมการที่สอง x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

เป็นผลให้ x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

คำตอบ: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ความสามารถและทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติเป็นอย่างมาก ที่สำคัญ การพัฒนาต้องใช้ความพยายามอย่างมากทั้งในส่วนของนักเรียนและครู

ปัญหามากมายของ stereometry ฟิสิกส์ ฯลฯ เกี่ยวข้องกับการแก้สมการตรีโกณมิติกระบวนการในการแก้ปัญหาดังกล่าวประกอบด้วยความรู้และทักษะมากมายที่ได้รับจากการศึกษาองค์ประกอบของตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติครอบครองสถานที่สำคัญในกระบวนการสอนคณิตศาสตร์และการพัฒนาบุคลิกภาพโดยทั่วไป

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่? ไม่ทราบวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ?
เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรก ฟรี!

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุผลนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับ ข้อเสนอสุดพิเศษ, โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วย หากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร เทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

คู่มือและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 10 จาก 1C
เราแก้ปัญหาในเรขาคณิต งานเชิงโต้ตอบสำหรับการสร้างในอวกาศ
สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.1"

เราจะเรียนอะไร:
1. สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

3. สองวิธีหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติ
4. สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน
5. ตัวอย่าง

สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

พวกเราได้ศึกษาอาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คโคแทนเจนต์แล้ว ทีนี้มาดูสมการตรีโกณมิติโดยทั่วไปกัน

สมการตรีโกณมิติ - สมการที่ตัวแปรอยู่ภายใต้สัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เราทำซ้ำรูปแบบการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด:

1) ถ้า |a|≤ 1 แล้วสมการ cos(x) = a มีคำตอบ:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) ถ้า |а|≤ 1 แล้วสมการ sin(x) = a มีคำตอบ:

3) ถ้า |a| > 1 แล้วสมการ sin(x) = a และ cos(x) = a ไม่มีคำตอบ 4) สมการ tg(x)=a มีคำตอบ: x=arctg(a)+ πk

5) สมการ ctg(x)=a มีคำตอบ: x=arcctg(a)+ πk

สำหรับทุกสูตร k เป็นจำนวนเต็ม

สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบดังนี้ Т(kx+m)=a, T- ฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ: ก) บาป(3x)= √3/2

วิธีการแก้:

A) แสดงว่า 3x=t จากนั้นเราจะเขียนสมการของเราใหม่ในรูปแบบ:

คำตอบของสมการนี้คือ: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn

จากตารางค่าที่เราได้รับ: t=((-1)^n)×π/3+ πn

กลับไปที่ตัวแปรของเรากัน: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

จากนั้น x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

คำตอบ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม (-1)^n - ลบหนึ่งยกกำลังของ n

ตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการตรีโกณมิติ

แก้สมการ: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

วิธีการแก้:

A) คราวนี้เราจะไปที่การคำนวณรากของสมการทันที:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. จากนั้น x/5= πk => x=5πk

คำตอบ: x=5πk โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

B) เราเขียนในรูปแบบ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. เรารู้ว่า: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

คำตอบ: x=2π/9 + πk/3 โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

แก้สมการ: cos(4x)= √2/2. และค้นหารากทั้งหมดในส่วนนั้น

วิธีการแก้:

เราจะตัดสินใจใน ปริทัศน์สมการของเรา: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ตอนนี้เรามาดูกันว่ารากใดที่ตกลงบนส่วนของเรา สำหรับ k สำหรับ k=0, x= π/16 เราอยู่ในส่วนที่กำหนด
ด้วย k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 พวกเขาตีอีกครั้ง
สำหรับ k=2, x= π/16+ π=17π/16 แต่ที่นี้เราไม่ได้ตี ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่ตีสำหรับ k มากเช่นกัน

คำตอบ: x= π/16, x= 9π/16

วิธีการแก้ปัญหาหลักสองวิธี

เราได้พิจารณาสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดแล้ว แต่ก็ยังมีสมการที่ซับซ้อนกว่านั้นอยู่ เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้จะใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่และวิธีการแยกตัวประกอบ มาดูตัวอย่างกัน

มาแก้สมการกัน:

วิธีการแก้:
ในการแก้สมการ เราใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งแสดงแทน: t=tg(x)

จากการแทนที่เราได้รับ: t 2 + 2t -1 = 0

มาหาต้นตอกันเถอะ สมการกำลังสอง: t=-1 และ t=1/3

จากนั้น tg(x)=-1 และ tg(x)=1/3 เราได้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด ลองหารากของมันกัน

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

คำตอบ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

ตัวอย่างของการแก้สมการ

แก้สมการ: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

วิธีการแก้:

มาใช้เอกลักษณ์กันเถอะ: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

สมการของเรากลายเป็น: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

มาแนะนำการแทนที่ t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

คำตอบของสมการกำลังสองคือราก: t=2 และ t=-1/2

จากนั้น cos(x)=2 และ cos(x)=-1/2

เพราะ โคไซน์ไม่สามารถรับค่ามากกว่าหนึ่งได้ ดังนั้น cos(x)=2 จึงไม่มีราก

สำหรับ cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

คำตอบ: x= ±2π/3 + 2πk

สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน

คำนิยาม: สมการของรูปแบบ sin(x)+b cos(x) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกันของดีกรีหนึ่ง

สมการของแบบฟอร์ม

สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง

ในการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีหนึ่ง ให้หารด้วย cos(x): คุณไม่สามารถหารด้วยโคไซน์ถ้ามันเป็น ศูนย์ตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่ใช่:
ให้ cos(x)=0 แล้ว asin(x)+0=0 => sin(x)=0 แต่ไซน์และโคไซน์ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน เราจึงได้ข้อขัดแย้งจึงแบ่งได้อย่างปลอดภัย โดยศูนย์

แก้สมการ:
ตัวอย่าง: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

วิธีการแก้:

นำตัวประกอบร่วมออก: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

จากนั้นเราต้องแก้สมการสองสมการ:

cos(x)=0 และ cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 สำหรับ x= π/2 + πk;

พิจารณาสมการ cos(x)+sin(x)=0 หารสมการของเราด้วย cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

คำตอบ: x= π/2 + πk และ x= -π/4+πk

จะแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีที่สองได้อย่างไร?
พวกปฏิบัติตามกฎเหล่านี้เสมอ!

1. ดูว่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับเท่าใด ถ้า a \u003d 0 สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาที่อยู่ในรูปแบบก่อนหน้า สไลด์

2. ถ้า a≠0 คุณต้องหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยโคไซน์กำลังสอง เราจะได้:

เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร t=tg(x) เราได้สมการ:

แก้ตัวอย่าง #:3

แก้สมการ:
วิธีการแก้:

หารทั้งสองข้างของสมการด้วยโคไซน์กำลังสอง:

เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

หารากของสมการกำลังสอง: t=-3 และ t=1

จากนั้น: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

คำตอบ: x=-arctg(3) + πk และ x= π/4+ πk

แก้ตัวอย่าง #:4

แก้สมการ:

วิธีการแก้:
มาเปลี่ยนนิพจน์ของเรา:

เราสามารถแก้สมการดังกล่าวได้: x= - π/4 + 2πk และ x=5π/4 + 2πk

คำตอบ: x= - π/4 + 2πk และ x=5π/4 + 2πk

แก้ตัวอย่าง #:5

แก้สมการ:

วิธีการแก้:
มาเปลี่ยนนิพจน์ของเรา:

เราแนะนำการแทนที่ tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

คำตอบของสมการกำลังสองคือราก: t=-2 และ t=1/2

จากนั้นเราได้รับ: tg(2x)=-2 และ tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

คำตอบ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 และ x=arctg(1/2)/2+ πk/2

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1) แก้สมการ

A) บาป(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) แก้สมการ: บาป(3x)= √3/2 และหารากทั้งหมดในส่วน [π/2; พาย].

3) แก้สมการ: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) แก้สมการ: 3 บาป 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) แก้สมการ: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) แก้สมการ: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

ไม่มีความลับใดที่ความสำเร็จหรือความล้มเหลวในกระบวนการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดขึ้นอยู่กับความถูกต้องของคำจำกัดความประเภทเป็นหลัก สมการที่กำหนดรวมถึงการทำซ้ำลำดับของทุกขั้นตอนของการแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ในกรณีของสมการตรีโกณมิติ การระบุข้อเท็จจริงว่าสมการนั้นเป็นตรีโกณมิตินั้นไม่ยากเลย แต่ในกระบวนการกำหนดลำดับการกระทำที่จะนำเราไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง เราอาจประสบปัญหาบางอย่าง มาดูวิธีแก้สมการตรีโกณมิติให้ถูกต้องกันตั้งแต่ต้น

การแก้สมการตรีโกณมิติ

ในการแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องลองทำจุดต่อไปนี้:

• เรานำฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการมาเป็น "มุมเดียวกัน"
• จำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาสู่ "ฟังก์ชันที่เหมือนกัน"
• เราแบ่งด้านซ้ายของสมการที่กำหนดเป็นปัจจัยหรือส่วนประกอบที่จำเป็นอื่นๆ

วิธีการ

วิธีที่ 1 จำเป็นต้องแก้สมการดังกล่าวในสองขั้นตอน อันดับแรก เราแปลงสมการเพื่อให้ได้รูปแบบที่ง่ายที่สุด (แบบง่าย) สมการ: Cosx = a, Sinx = a และสิ่งที่คล้ายคลึงกันเรียกว่าสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด ขั้นตอนที่สองคือการแก้สมการง่าย ๆ ที่ได้ ควรสังเกตว่าสมการที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยวิธีพีชคณิตซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับเราจากหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน เรียกอีกอย่างว่าวิธีการทดแทนและการแทนที่ตัวแปร ด้วยความช่วยเหลือของสูตรการย่อ คุณต้องแปลงก่อน จากนั้นทำการแทนที่แล้วจึงค้นหาราก

ต่อไป คุณต้องแยกสมการของเราเป็นปัจจัยที่เป็นไปได้ สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องย้ายเทอมทั้งหมดไปทางซ้าย จากนั้นคุณสามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบได้ ทีนี้ คุณต้องนำสมการนี้ไปเป็นสมการเอกพันธ์ โดยที่พจน์ทั้งหมดมีค่าเท่ากับดีกรีเดียวกัน และโคไซน์กับไซน์มีมุมเท่ากัน

ก่อนแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องย้ายสมาชิกของไปทางซ้าย ดึงมาจากด้านขวา จากนั้นเราจะนำตัวส่วนร่วมทั้งหมดในวงเล็บออก เราจัดวงเล็บและตัวประกอบของเราให้เป็นศูนย์ วงเล็บเหลี่ยมของเราเป็นสมการเอกพันธ์ดีกรีที่ลดขนาดแล้วหารด้วย sin(cos) ยกกำลังสูงสุด ตอนนี้เราแก้สมการพีชคณิตที่ได้สัมพันธ์กับสีแทน

วิธีที่ 2 อีกวิธีหนึ่งที่คุณสามารถแก้สมการตรีโกณมิติได้คือการเปลี่ยนไปใช้มุมครึ่ง ตัวอย่างเช่น เราแก้สมการ: 3sinx-5cosx=7

เราต้องไปครึ่งมุม ในกรณีของเราคือ: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) หลังจากนั้นเราลดเงื่อนไขทั้งหมดเป็นส่วนเดียว (เพื่อความสะดวก ควรเลือกอันที่ถูกต้อง) และดำเนินการแก้สมการต่อไป

หากจำเป็น คุณสามารถป้อนมุมเสริมได้ สิ่งนี้ทำได้เมื่อคุณต้องการแทนที่ค่าจำนวนเต็ม sin (a) หรือ cos (a) และเครื่องหมาย “a” ทำหน้าที่เป็นมุมเสริม

สินค้าที่จะรวม

จะแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้ผลคูณได้อย่างไร วิธีที่เรียกว่าการแปลงผลิตภัณฑ์เป็นผลรวมยังสามารถใช้เพื่อแก้สมการดังกล่าว ในกรณีนี้จำเป็นต้องใช้สูตรที่สอดคล้องกับสมการ

ตัวอย่างเช่น เรามีสมการ: 2sinx * sin3x= cos4x

เราจำเป็นต้องแก้ปัญหานี้โดยแปลงด้านซ้ายเป็นผลรวม กล่าวคือ:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8

หากวิธีการข้างต้นไม่เหมาะสม และคุณยังไม่รู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด คุณสามารถใช้วิธีอื่น - การแทนที่สากล คุณสามารถเปลี่ยนนิพจน์และทำการแทนที่ได้ ตัวอย่างเช่น: Cos(x/2)=u ตอนนี้เราสามารถแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ที่กำหนด u และเมื่อได้ผลลัพธ์ที่ต้องการแล้วอย่าลืมแปลค่านี้ให้ตรงกันข้าม

ขอแนะนำให้นักเรียนที่ "มีประสบการณ์" หลายคนหันมาหาคนออนไลน์เพื่อแก้สมการ วิธีแก้สมการตรีโกณมิติออนไลน์คุณถาม สำหรับ โซลูชั่นออนไลน์ปัญหา คุณสามารถเปิดฟอรัมของหัวข้อที่เกี่ยวข้องซึ่งพวกเขาสามารถช่วยเหลือคุณด้วยคำแนะนำหรือในการแก้ปัญหา แต่สิ่งที่ดีที่สุดคือพยายามจัดการด้วยตัวเอง

ทักษะและความสามารถในการแก้สมการตรีโกณมิติมีความสำคัญและมีประโยชน์มาก การพัฒนาของพวกเขาจะต้องใช้ความพยายามอย่างมากจากคุณ ปัญหามากมายในฟิสิกส์ สเตอริโอเมทรี ฯลฯ เกี่ยวข้องกับการแก้สมการดังกล่าว และขั้นตอนในการแก้ปัญหาดังกล่าวบ่งบอกถึงการมีทักษะและความรู้ที่สามารถรับได้ในขณะที่ศึกษาองค์ประกอบของตรีโกณมิติ

เรียนรู้สูตรตรีโกณมิติ

ในกระบวนการแก้สมการ คุณอาจต้องใช้สูตรใดก็ได้จากตรีโกณมิติ แน่นอน คุณสามารถเริ่มค้นหาได้ในตำราเรียนและเอกสารโกงของคุณ และถ้าสูตรเหล่านี้อยู่ในหัวของคุณ คุณจะไม่เพียงแต่ช่วยคลายความกังวล แต่ยังทำให้งานของคุณง่ายขึ้นมาก โดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาข้อมูลที่จำเป็น ดังนั้น คุณจะมีโอกาสคิดหาวิธีการแก้ปัญหาที่มีเหตุผลที่สุด

อัตราส่วนระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติหลัก - ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ - ถูกกำหนด สูตรตรีโกณมิติ. และเนื่องจากมีความสัมพันธ์กันค่อนข้างมากระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ นี่จึงอธิบายความอุดมสมบูรณ์ของสูตรตรีโกณมิติด้วย บางสูตรเชื่อมโยงฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียวกัน อื่นๆ - ฟังก์ชันของหลายมุม อื่นๆ - อนุญาตให้คุณลดดีกรีที่สี่ - เพื่อแสดงฟังก์ชันทั้งหมดผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ฯลฯ

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดตามลำดับ ซึ่งเพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่ เพื่อความสะดวกในการท่องจำและใช้งาน เราจะจัดกลุ่มตามจุดประสงค์และป้อนลงในตาราง

การนำทางหน้า

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

หลัก อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง พวกเขาติดตามจากนิยามของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เช่นเดียวกับแนวคิดของวงกลมหน่วย พวกมันทำให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งผ่านฟังก์ชันอื่นๆ

สำหรับคำอธิบายโดยละเอียดของสูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ ตัวอย่างที่มาและตัวอย่างการใช้งาน โปรดดูบทความ

สูตรหล่อ

สูตรหล่อตามมาจากคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ กล่าวคือ สะท้อนคุณสมบัติของคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สมบัติของสมมาตร และสมบัติของการเลื่อนตามมุมที่กำหนด สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ทำให้คุณสามารถย้ายจากการทำงานกับมุมที่กำหนดเองไปเป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ศูนย์ถึง 90 องศา

เหตุผลของสูตรเหล่านี้ กฎความจำสำหรับการท่องจำและตัวอย่างการใช้งานสามารถศึกษาได้ในบทความ

สูตรเสริม

สูตรบวกตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของมุมทั้งสองแสดงออกมาอย่างไรในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้ สูตรเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับการได้มาของสูตรตรีโกณมิติต่อไปนี้

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม (เรียกอีกอย่างว่าสูตรหลายมุม) แสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของสองเท่า สามเท่า ฯลฯ มุม () แสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว ที่มาของพวกเขาขึ้นอยู่กับสูตรการบวก

ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมถูกรวบรวมไว้ในบทความสูตรสำหรับสองเท่า สามเท่า ฯลฯ มุม .

สูตรครึ่งมุม

สูตรครึ่งมุมแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของครึ่งมุมแสดงในรูปของโคไซน์ของมุมจำนวนเต็มอย่างไร สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ตามมาจากสูตรมุมคู่

บทสรุปและตัวอย่างการสมัครสามารถพบได้ในบทความ

สูตรลด

สูตรตรีโกณมิติลดองศาได้รับการออกแบบมาเพื่ออำนวยความสะดวกในการเปลี่ยนจากพลังธรรมชาติของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นไซน์และโคไซน์ในระดับแรก แต่มีหลายมุม กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกเขายอมลดกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอันดับแรก

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จุดหมายหลัก สูตรผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วยการเปลี่ยนไปใช้ผลคูณของฟังก์ชัน ซึ่งมีประโยชน์มากเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรีโกณมิติ สูตรเหล่านี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เนื่องจากช่วยให้แยกตัวประกอบรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์โดยโคไซน์

การเปลี่ยนจากผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นผลรวมหรือผลต่างจะดำเนินการโดยใช้สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์โดยโคไซน์

Bashmakov M.I.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน - ครั้งที่ 3 - ม.: ตรัสรู้, 2536. - 351 น.: ป่วย. - ไอเอสบีเอ็น 5-09-004617-4

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: การตรัสรู้, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3

Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า ร.ร. 2527-351 น.

ลิขสิทธิ์โดย นักเรียนฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ไม่มีส่วนของ www.website รวมทั้ง วัสดุภายในและ การออกแบบภายนอกห้ามทำซ้ำในรูปแบบใด ๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์