สูตรหล่อพร้อมคำอธิบายองศาเต็ม สูตรลด: พิสูจน์ ตัวอย่าง กฎช่วยในการจำ

หัวข้อบทเรียน

เปลี่ยนไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เมื่อมุมเพิ่มขึ้น

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

ทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความใหม่และระลึกถึงบางคำที่ศึกษาไปแล้ว
ทำความคุ้นเคยกับรูปแบบของการเปลี่ยนแปลงค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ด้วยมุมที่เพิ่มขึ้น
การพัฒนา - เพื่อพัฒนาความสนใจ ความอุตสาหะ ความอุตสาหะของนักเรียน การคิดอย่างมีตรรกะ, คำพูดทางคณิตศาสตร์.
การศึกษา - ผ่านบทเรียนเพื่อปลูกฝังทัศนคติที่เอาใจใส่ซึ่งกันและกันเพื่อปลูกฝังความสามารถในการฟังสหายความช่วยเหลือซึ่งกันและกันความเป็นอิสระ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

ทดสอบความรู้ของนักเรียน

แผนการเรียน

การทำซ้ำเนื้อหาที่เรียนรู้ก่อนหน้านี้
งานที่ซ้ำซากจำเจ
เปลี่ยนไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เมื่อมุมเพิ่มขึ้น
การใช้งานจริง

การทำซ้ำของวัสดุที่ศึกษาก่อนหน้านี้

เริ่มจากจุดเริ่มต้นและจำสิ่งที่จะเป็นประโยชน์ในการรีเฟรชหน่วยความจำของคุณ ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์คืออะไร และแนวคิดเหล่านี้อยู่ในส่วนใดของเรขาคณิต

ตรีโกณมิติ- มันซับซ้อนมาก คำภาษากรีก: ตรีโกณมิติ - สามเหลี่ยม, เมโทร - วัด ดังนั้นในภาษากรีกจึงหมายถึง: วัดโดยรูปสามเหลี่ยม

วิชา > คณิตศาสตร์ > คณิตศาสตร์ ป.8

ตรีโกณมิติ สูตรลด.

สูตรหล่อไม่ต้องสอน ต้องเข้าใจ ทำความเข้าใจอัลกอริทึมสำหรับผลลัพธ์ มันง่ายมาก ๆ!

ลองใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแล้ววางหน่วยวัดองศาทั้งหมด (0°; 90°; 180°; 270°; 360°)

มาวิเคราะห์ฟังก์ชัน sin(a) และ cos(a) ในแต่ละไตรมาสกัน

จำไว้ว่าเราดูที่ฟังก์ชัน sin (a) ตามแกน Y และฟังก์ชัน cos (a) ตามแกน X

โดยในไตรมาสแรกจะเห็นได้ว่าฟังก์ชั่น บาป(ก)>0
และหน้าที่ cos(a)>0
ไตรมาสแรกสามารถอธิบายได้โดยใช้การวัดระดับเป็น (90-α) หรือ (360+α)

ในไตรมาสที่ 2 จะเห็นได้ว่าฟังก์ชั่น บาป(ก)>0เนื่องจากแกน y เป็นบวกในไตรมาสนั้น
ฟังก์ชั่น cos(a) เนื่องจากแกน x เป็นลบในไตรมาสนั้น
ไตรมาสที่สองสามารถอธิบายได้โดยใช้การวัดระดับเป็น (90+α) หรือ (180-α)

ในไตรมาสที่ 3 จะเห็นได้ว่าหน้าที่ บาป (ก) ไตรมาสที่สามสามารถอธิบายได้ในแง่ขององศาเป็น (180+α) หรือ (270-α)

ในไตรมาสที่ 4 จะเห็นได้ว่าหน้าที่ sin(a) เพราะแกน y เป็นลบในไตรมาสนั้น
ฟังก์ชั่น cos(a)>0เพราะแกน x เป็นบวกในไตรมาสนั้น
ไตรมาสที่สี่สามารถอธิบายได้ในแง่ขององศาเป็น (270+α) หรือ (360-α)

ทีนี้มาดูสูตรการรีดิวซ์กัน

จำคำง่ายๆ อัลกอริทึม:
1. หนึ่งในสี่.(คอยดูว่าคุณอยู่ไตรมาสไหนเสมอ)
2. เข้าสู่ระบบ.(สำหรับหนึ่งในสี่ ดูฟังก์ชันโคไซน์หรือไซน์บวกหรือลบ)
3. หากคุณมีวงเล็บเหลี่ยม (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) แสดงว่า ฟังก์ชันเปลี่ยน.

ดังนั้นเราจึงเริ่มแยกส่วนอัลกอริธึมนี้ออกเป็นสี่ส่วน

ค้นหาว่านิพจน์ cos(90-α) จะเท่ากับ
พูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง

จะ cos(90-α) = บาป (α)

ค้นหาว่านิพจน์ sin (90-α) จะเท่ากับ
พูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง

จะ บาป(90-α) = cos(α)

ค้นหาว่านิพจน์ cos(360+α) จะเท่ากับ
พูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง
2. ในไตรมาสแรก เครื่องหมายของฟังก์ชันโคไซน์เป็นค่าบวก

จะ cos(360+α) = cos(α)

ค้นหาว่านิพจน์ sin (360 + α) จะเท่ากับ
พูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง
2. ในไตรมาสแรก เครื่องหมายของฟังก์ชันไซน์เป็นค่าบวก
3. ไม่มีวงเล็บเหลี่ยม (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
จะ บาป(360+α) = บาป(α)

ค้นหาว่านิพจน์ cos(90+α) จะเท่ากับ
พูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง.

3. มี (90 °หรือ π / 2) ในวงเล็บ จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากโคไซน์เป็นไซน์
จะ cos(90+α) = -บาป(α)

ค้นหาว่านิพจน์ sin (90 + α) จะเท่ากับ
พูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง.

3. มี (90 °หรือ π / 2) ในวงเล็บ จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากไซน์เป็นโคไซน์
จะ บาป(90+α) = cos(α)

ค้นหาว่านิพจน์ cos(180-α) จะเท่ากับ
พูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง.
2. ในไตรมาสที่สอง เครื่องหมายของฟังก์ชันโคไซน์เป็นลบ
3. ไม่มีวงเล็บเหลี่ยม (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
จะ cos(180-α) = cos(α)

ค้นหาว่านิพจน์ sin (180-α) จะเท่ากับ
พูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง.
2. ในไตรมาสที่สอง เครื่องหมายของฟังก์ชันไซน์เป็นค่าบวก
3. ไม่มีวงเล็บเหลี่ยม (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
จะ บาป (180-α) = บาป (α)

ฉันกำลังพูดถึงไตรมาสที่สามและสี่ในลักษณะเดียวกัน เราจะทำตาราง:

ติดตาม ไปที่ช่อง YOUTUBEและชมวิดีโอเตรียมตัวสอบวิชาคณิตศาสตร์และเรขาคณิตไปกับเรา

คำนิยาม. สูตรลดคือสูตรที่ให้คุณไปจาก ฟังก์ชันตรีโกณมิติชนิดของฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมที่กำหนดเองสามารถลดลงเป็นไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมจากช่วง 0 ถึง 90 องศา (จาก 0 ถึงเรเดียน) ดังนั้นสูตรการลดขนาดทำให้เราสามารถทำงานกับมุมได้ภายใน 90 องศาซึ่งสะดวกมากอย่างไม่ต้องสงสัย

สูตรหล่อ:

มีกฎสองข้อสำหรับการใช้สูตรการแคสต์

1. หากมุมสามารถแสดงเป็น (π/2 ±a) หรือ (3*π/2 ±a) ได้ ดังนั้น เปลี่ยนชื่อฟังก์ชันบาปถึง cos, cos ถึงบาป, tg ถึง ctg, ctg ถึง tg หากมุมสามารถแสดงเป็น (π ±a) หรือ (2*π ±a) ได้ ดังนั้น ชื่อฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ดูรูปด้านล่างซึ่งจะแสดงแผนผังว่าเมื่อใดควรเปลี่ยนเครื่องหมายและเมื่อใดไม่ควรเปลี่ยน

2. เครื่องหมายฟังก์ชันลดลง ยังคงเหมือนเดิม หากฟังก์ชันเดิมมีเครื่องหมายบวก ฟังก์ชันที่ลดลงก็มีเครื่องหมายบวกด้วย หากฟังก์ชันเดิมมีเครื่องหมายลบ ฟังก์ชันที่ลดลงก็มีเครื่องหมายลบด้วย

รูปด้านล่างแสดงสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักขึ้นอยู่กับไตรมาส

ตัวอย่าง:

คำนวณ

ลองใช้สูตรการลด:

บาป(150˚) อยู่ในควอเตอร์ที่สอง จากรูป เครื่องหมายของบาปในไตรมาสนี้มีค่าเท่ากับ "+" ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันข้างต้นจะมีเครื่องหมาย "+" ด้วย เราได้ใช้กฎข้อที่สอง

ตอนนี้ 150˚ = 90˚ +60˚ 90˚ คือ π/2 นั่นคือ เรากำลังจัดการกับกรณี π / 2 + 60 ดังนั้น ตามกฎข้อแรก เราเปลี่ยนฟังก์ชันจาก sin เป็น cos เป็นผลให้เราได้รับ Sin(150˚) = cos(60˚) = ½

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ "การประยุกต์ใช้สูตรลดในการแก้ปัญหา"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 10
1C: โรงเรียน งานก่อสร้างเชิงโต้ตอบสำหรับเกรด 7-10
1C: โรงเรียน เราแก้ปัญหาในเรขาคณิต งานเชิงโต้ตอบสำหรับการสร้างในอวกาศสำหรับเกรด 10-11

เราจะเรียนอะไร:
1. ทำซ้ำเล็กน้อย
2. กฎสำหรับสูตรการลด
3. ตารางการแปลงสูตรการลด
4. ตัวอย่าง

การทำซ้ำของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

พวกคุณเคยเจอสูตรผีแล้ว แต่ยังไม่ได้ถูกเรียกว่า คุณคิดว่าที่ไหน?

ดูภาพวาดของเรา ถูกต้อง เมื่อพวกเขาแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

กฎสำหรับสูตรลด

มาแนะนำกฎพื้นฐานกัน: หากเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วยตัวเลขของรูปแบบ π×n/2 + t โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของเราจะลดลงเหลือมากขึ้น สายตาธรรมดาซึ่งจะมีเฉพาะอาร์กิวเมนต์ t สูตรดังกล่าวเรียกว่าสูตรผี

จำสูตรบางอย่าง:

บาป(t + 2π*k) = บาป(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
บาป(t + π) = -บาป(เสื้อ)
cos(t + π) = -cos(t)
บาป(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

มีสูตรผีอยู่มากมาย เรามาสร้างกฎโดยที่เราจะกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติของเราเมื่อใช้งาน สูตรผี:

หากเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วยตัวเลขของรูปแบบ: π + t, π - t, 2π + t และ 2π - t ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ไซน์จะยังคงเป็นไซน์ โคแทนเจนต์จะยังคงเป็นโคแทนเจนต์
หากเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีตัวเลขในรูปแบบ: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t และ 3π/2 - t จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกัน เช่น ไซน์จะกลายเป็นโคไซน์ โคแทนเจนต์จะกลายเป็นแทนเจนต์
ก่อนฟังก์ชันผลลัพธ์ คุณต้องใส่เครื่องหมายว่าฟังก์ชันที่แปลงแล้วจะมีถ้า 0

กฎเหล่านี้ยังใช้เมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอยู่ในหน่วยองศา!

นอกจากนี้เรายังสามารถสร้างตารางการแปลงของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

ตัวอย่างการใช้สูตรรีดิวซ์

1. ลองแปลง cos(π + t) ชื่อฟังก์ชันยังคงอยู่เช่น เราได้รับ cos(t) ต่อไป สมมติว่า π/2

2. แปลงบาป(π/2 + t). ชื่อของฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลง กล่าวคือ เราได้รับ cos(t) สมมติว่า 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. ให้เราแปลง tg(π + t) ชื่อฟังก์ชันยังคงอยู่เช่น เราได้รับ tg(t) ต่อไปสมมติว่า 0

4. ลองแปลง ctg(270 0 + t) ชื่อของฟังก์ชันเปลี่ยนไป นั่นคือ เราได้ tg(t) ต่อไปสมมติว่า 0

ปัญหาเกี่ยวกับสูตรการรีดิวซ์สำหรับการแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ

พวกเปลี่ยนตัวเองโดยใช้กฎของเรา:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) บาป(2π + t),
7) บาป(π/2 + 5t),
8) บาป(π/2 - t),
9) บาป(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

พวกเขาอยู่ในส่วน "ตรีโกณมิติ" ของคณิตศาสตร์ สาระสำคัญของพวกเขาคือการทำให้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมอยู่ในรูปแบบ "เรียบง่าย" มากขึ้น สามารถเขียนได้มากมายเกี่ยวกับความสำคัญของความรู้ของพวกเขา มี 32 สูตรเหล่านี้!

ไม่ต้องกังวล คุณไม่จำเป็นต้องเรียนรู้มัน เช่นเดียวกับสูตรอื่นๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ คุณไม่จำเป็นต้องกรอกข้อมูลที่ไม่จำเป็นในหัวของคุณ คุณต้องจำ "กุญแจ" หรือกฎหมาย และการจดจำหรือได้มาซึ่งสูตรที่ต้องการจะไม่เป็นปัญหา โดยวิธีการที่เมื่อฉันเขียนในบทความ "... คุณต้องเรียนรู้ !!!" - นี่หมายความว่าจำเป็นต้องเรียนรู้มันจริงๆ

หากคุณไม่คุ้นเคยกับสูตรการย่อขนาด ความเรียบง่ายของการได้มาของพวกมันจะทำให้คุณประหลาดใจ - มี "กฎหมาย" ที่ง่ายต่อการทำเช่นนี้ และคุณจะเขียนสูตรใดก็ได้จาก 32 สูตรใน 5 วินาที

ฉันจะแสดงรายการเฉพาะบางส่วนของงานที่จะสอบในวิชาคณิตศาสตร์โดยที่ไม่มีความรู้เกี่ยวกับสูตรเหล่านี้มีโอกาสสูงที่จะล้มเหลวในการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น:

- งานสำหรับการแก้สามเหลี่ยมมุมฉากที่เรากำลังพูดถึงมุมภายนอกและงานสำหรับ มุมภายในบางสูตรเหล่านี้ก็จำเป็นเช่นกัน
- งานสำหรับการคำนวณค่าของนิพจน์ตรีโกณมิติ การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติเชิงตัวเลข การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติตามตัวอักษร
– งานสำหรับแทนเจนต์และ ความรู้สึกทางเรขาคณิตแทนเจนต์ จำเป็นต้องมีสูตรรีดิวซ์สำหรับแทนเจนต์ เช่นเดียวกับงานอื่นๆ
- ปัญหาสเตอริโอเมทริกซ์ในการแก้ปัญหามักจำเป็นต้องกำหนดไซน์หรือโคไซน์ของมุมที่อยู่ในช่วง 90 ถึง 180 องศา.

และนี่เป็นเพียงประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการสอบเท่านั้น และในเชิงพีชคณิตเองก็มีปัญหามากมาย ซึ่งในการแก้ปัญหาโดยปราศจากความรู้เกี่ยวกับสูตรการย่อขนาด มันเป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำ

แล้วมันนำไปสู่อะไรและสูตรที่กำหนดทำให้การแก้ปัญหาสำหรับเราง่ายขึ้นได้อย่างไร

ตัวอย่างเช่น คุณต้องกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุมใดๆ ระหว่าง 0 ถึง 450 องศา:

มุมอัลฟามีตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

* * *

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเข้าใจ "กฎหมาย" ที่ทำงานที่นี่:

1. กำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันในไตรมาสที่เกี่ยวข้อง

ให้ฉันเตือนพวกเขา:

2. จำสิ่งต่อไปนี้: