การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนทางออนไลน์ บางประเด็นเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

ขั้นแรก เนื้อเพลงบางท่อนเพื่อให้เข้าใจถึงปัญหาที่วิธี Interval แก้ได้ สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

(x − 5)(x + 3) > 0

มีตัวเลือกอะไรบ้าง? สิ่งแรกที่นึกถึงสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่คือกฎ "บวกครั้งบวกทำให้บวก" และ "ลบคูณลบทำให้บวก" ดังนั้น ก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณากรณีที่วงเล็บทั้งสองเป็นค่าบวก: x − 5 > 0 และ x + 3 > 0 จากนั้นเราจะพิจารณากรณีที่วงเล็บทั้งสองมีค่าติดลบ: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

นักเรียนขั้นสูงจะจำได้ (อาจ) ว่าทางซ้ายเป็นฟังก์ชันกำลังสองซึ่งกราฟเป็นพาราโบลา นอกจากนี้ พาราโบลานี้ตัดแกน OX ที่จุด x = 5 และ x = −3 สำหรับงานเพิ่มเติมคุณต้องเปิดวงเล็บ เรามี:

x 2 − 2x − 15 > 0

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่ากิ่งก้านของพาราโบลานั้นพุ่งขึ้นไปข้างบนเพราะ สัมประสิทธิ์ a = 1 > 0 ลองวาดไดอะแกรมของพาราโบลานี้:

ฟังก์ชันมีค่ามากกว่าศูนย์เมื่อผ่านเหนือแกน OX ในกรณีของเรา นี่คือช่วงเวลา (−∞ −3) และ (5; +∞) - นี่คือคำตอบ

โปรดทราบว่ารูปภาพแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน แผนภาพฟังก์ชันไม่ใช่กำหนดการของเธอ เพราะสำหรับแผนภูมิจริง คุณต้องนับพิกัด คำนวณออฟเซ็ต และอึอื่นๆ ซึ่งเราไม่ต้องการเลยในตอนนี้

เหตุใดวิธีการเหล่านี้จึงไม่ได้ผล

ดังนั้นเราจึงพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสองข้อของความไม่เท่าเทียมกันที่เหมือนกัน ทั้งสองกลายเป็นเรื่องยุ่งยากมาก การตัดสินใจครั้งแรกเกิดขึ้น - แค่คิดเกี่ยวกับมัน! คือชุดของระบบความไม่เท่าเทียมกัน วิธีที่สองก็ไม่ง่ายเช่นกัน คุณต้องจำกราฟพาราโบลาและข้อเท็จจริงเล็กน้อยอื่นๆ

มันเป็นความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายมาก มีตัวคูณเพียง 2 ตัวเท่านั้น ทีนี้ลองนึกดูว่าจะไม่มีตัวคูณ 2 ตัว แต่มีอย่างน้อย 4 ตัวอย่างเช่น

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวได้อย่างไร? พิจารณาข้อดีและข้อเสียรวมกันทั้งหมดที่เป็นไปได้หรือไม่ ใช่ เราจะผล็อยหลับไปเร็วกว่าที่เราหาทางแก้ไข การวาดกราฟก็ไม่ใช่ตัวเลือกเช่นกัน เนื่องจากยังไม่ชัดเจนว่าฟังก์ชันดังกล่าวทำงานอย่างไรบนระนาบพิกัด

สำหรับความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว จำเป็นต้องใช้อัลกอริธึมโซลูชันพิเศษ ซึ่งเราจะพิจารณาในวันนี้

วิธีช่วงเวลาคืออะไร

วิธีช่วงเวลาเป็นอัลกอริธึมพิเศษที่ออกแบบมาเพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนของรูปแบบ f (x) > 0 และ f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

แก้สมการ f (x) \u003d 0 ดังนั้น แทนที่จะเป็นอสมการ เราได้สมการที่แก้ได้ง่ายกว่ามาก
ทำเครื่องหมายรากที่ได้รับทั้งหมดบนเส้นพิกัด ดังนั้นเส้นตรงจะถูกแบ่งออกเป็นหลายช่วง
หาเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ของฟังก์ชัน f (x) บนช่วงขวาสุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะแทนที่ด้วย f (x) ตัวเลขใด ๆ ที่จะอยู่ทางขวาของรากที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด
ทำเครื่องหมายบนช่วงอื่น ๆ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าเมื่อผ่านแต่ละรูตสัญญาณจะเปลี่ยนไป

นั่นคือทั้งหมด! หลังจากนั้นก็เหลือเพียงการเขียนช่วงเวลาที่เราสนใจเท่านั้น เครื่องหมายเหล่านี้จะถูกทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย "+" หากความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในรูปแบบ f (x) > 0 หรือเครื่องหมาย "-" หากความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในรูปแบบ f (x)< 0.

เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าวิธีช่วงเวลาเป็นดีบุกบางชนิด แต่ในทางปฏิบัติทุกอย่างจะง่ายมาก ใช้เวลาฝึกฝนเล็กน้อย - และทุกอย่างจะชัดเจน ดูตัวอย่างและดูด้วยตัวคุณเอง:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

(x − 2)(x + 7)< 0

เราทำงานกับวิธีการของช่วงเวลา ขั้นตอนที่ 1: แทนที่อสมการด้วยสมการแล้วแก้สมการ:

(x − 2)(x + 7) = 0

ผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7

ได้สองราก ไปที่ขั้นตอนที่ 2: ทำเครื่องหมายรากเหล่านี้บนเส้นพิกัด เรามี:

ตอนนี้ ขั้นตอนที่ 3: เราพบเครื่องหมายของฟังก์ชันบนช่วงขวาสุด (ทางด้านขวาของจุดที่ทำเครื่องหมาย x = 2) ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้ตัวเลขใดๆ ที่มากกว่าจำนวน x = 2 ตัวอย่างเช่น ลองหา x = 3 (แต่ไม่มีใครห้ามไม่ให้รับ x = 4, x = 10 และแม้แต่ x = 10,000) เราได้รับ:

ฉ(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
ฉ (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

เราได้ f (3) = 10 > 0 ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายบวกในช่วงขวาสุด

เราผ่านไปยังจุดสุดท้าย - จำเป็นต้องสังเกตสัญญาณในช่วงเวลาที่เหลือ จำไว้ว่าเมื่อผ่านแต่ละรูต เครื่องหมายต้องเปลี่ยน ตัวอย่างเช่น ทางด้านขวาของรูท x = 2 จะมีเครื่องหมายบวก (เราตรวจสอบในขั้นตอนที่แล้ว) ดังนั้นจึงต้องมีเครื่องหมายลบทางด้านซ้าย

ลบนี้ขยายไปถึงช่วงทั้งหมด (−7; 2) ดังนั้นจึงมีเครื่องหมายลบทางด้านขวาของรูท x = −7 ดังนั้นจึงมีเครื่องหมายบวกทางด้านซ้ายของรูท x = −7 มันยังคงทำเครื่องหมายสัญญาณเหล่านี้บนแกนพิกัด เรามี:

กลับไปที่ความไม่เท่าเทียมกันเดิมซึ่งมีลักษณะดังนี้:

(x − 2)(x + 7)< 0

ดังนั้นฟังก์ชันจะต้องน้อยกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเราสนใจเครื่องหมายลบ ซึ่งเกิดขึ้นในช่วงเวลาเดียวเท่านั้น: (−7; 2) นี่จะเป็นคำตอบ

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

(x + 9)(x − 3)(1 - x )< 0

ขั้นตอนที่ 1: เท่ากับด้านซ้ายเป็นศูนย์:

(x + 9)(x − 3)(1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1

ข้อควรจำ: ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นั่นคือเหตุผลที่เรามีสิทธิที่จะเท่ากับศูนย์แต่ละวงเล็บแต่ละอัน

ขั้นตอนที่ 2: ทำเครื่องหมายรากทั้งหมดบนเส้นพิกัด:

ขั้นตอนที่ 3: ค้นหาสัญญาณของช่องว่างขวาสุด เราใช้ตัวเลขใดๆ ที่มากกว่า x = 1 ตัวอย่างเช่น เราสามารถหา x = 10 ได้ เรามี:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
ฉ (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
ฉ(10) = -1197< 0.

ขั้นตอนที่ 4: วางป้ายที่เหลือ จำไว้ว่าเมื่อผ่านแต่ละรูต เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เป็นผลให้รูปภาพของเราจะมีลักษณะดังนี้:

นั่นคือทั้งหมดที่ มันยังคงเป็นเพียงการเขียนคำตอบ ดูความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมอีกครั้ง:

(x + 9)(x − 3)(1 - x )< 0

นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (-9; 1) ∪ (3; +∞)

นี่คือคำตอบ

หมายเหตุเกี่ยวกับสัญญาณการทำงาน

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าความยากลำบากที่สุดในวิธีช่วงเวลาเกิดขึ้นในสองขั้นตอนสุดท้ายนั่นคือ เมื่อวางป้าย นักเรียนหลายคนเริ่มสับสน: ต้องใช้ตัวเลขอะไรและใส่ป้ายที่ไหน

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการแบบช่วงเวลาในที่สุด ให้พิจารณาข้อสังเกตสองประการที่มันสร้างขึ้น:

ฟังก์ชันต่อเนื่องเปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะที่จุด โดยที่มันเท่ากับศูนย์. จุดดังกล่าวแบ่งแกนพิกัดออกเป็นชิ้น ๆ โดยที่เครื่องหมายของฟังก์ชันไม่เคยเปลี่ยนแปลง นั่นเป็นเหตุผลที่เราแก้สมการ f (x) \u003d 0 และทำเครื่องหมายรากที่พบบนเส้นตรง ตัวเลขที่พบคือจุด "ขอบเขต" ที่แยกข้อดีออกจากเครื่องหมายลบ
ในการหาเครื่องหมายของฟังก์ชันในช่วงเวลาใดๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่ตัวเลขใดๆ จากช่วงเวลานี้ลงในฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น สำหรับช่วงเวลา (-5; 6) เราสามารถใช้ x = -4, x = 0, x = 4 และแม้แต่ x = 1.29374 หากเราต้องการ ทำไมมันถึงสำคัญ? ใช่ เพราะนักเรียนหลายคนเริ่มแทะความสงสัย เช่น เกิดอะไรขึ้นถ้าสำหรับ x = −4 เราได้บวก และสำหรับ x = 0 เราได้ลบ? ไม่มีอะไรแบบนั้นจะเกิดขึ้น ทุกจุดในช่วงเวลาเดียวกันให้เครื่องหมายเหมือนกัน จำสิ่งนี้ไว้

นั่นคือทั้งหมดที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับวิธีการแบบช่วงเวลา แน่นอนว่าเราได้รื้อถอนในรูปแบบที่ง่ายที่สุดแล้ว มีความเหลื่อมล้ำที่ซับซ้อนมากขึ้น - ไม่เข้มงวด, เศษส่วนและมีการรูตซ้ำ สำหรับพวกเขา คุณสามารถใช้วิธีช่วงเวลาได้ แต่นี่เป็นหัวข้อสำหรับบทเรียนขนาดใหญ่แยกต่างหาก

ตอนนี้ ฉันต้องการวิเคราะห์เคล็ดลับขั้นสูงที่ทำให้วิธีช่วงเวลาง่ายขึ้นอย่างมาก แม่นยำยิ่งขึ้น การทำให้เข้าใจง่ายมีผลกับขั้นตอนที่สามเท่านั้น - การคำนวณเครื่องหมายที่ส่วนขวาสุดของบรรทัด ด้วยเหตุผลบางอย่าง เทคนิคนี้ไม่ได้จัดขึ้นในโรงเรียน (อย่างน้อยก็ไม่มีใครอธิบายเรื่องนี้ให้ฉันฟัง) แต่ไร้ผล - อันที่จริงอัลกอริทึมนี้ง่ายมาก

ดังนั้น เครื่องหมายของฟังก์ชันจึงอยู่บนส่วนขวาของแกนตัวเลข ชิ้นนี้มีรูปแบบ (a; +∞) โดยที่ a คือรากที่ใหญ่ที่สุดของสมการ f (x) = 0 เพื่อไม่ให้สมองของเราพัง ลองพิจารณาตัวอย่างเฉพาะ:

(x − 1)(2 + x )(7 - x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 - x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

เราได้ 3 ราก เราเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก: x = −2, x = 1 และ x = 7 เห็นได้ชัดว่ารูทที่ใหญ่ที่สุดคือ x = 7

สำหรับผู้ที่ให้เหตุผลแบบกราฟิกง่ายกว่า ฉันจะทำเครื่องหมายรากเหล่านี้บนเส้นพิกัด มาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้น:

จำเป็นต้องค้นหาเครื่องหมายของฟังก์ชัน f (x) ในช่วงเวลาขวาสุด กล่าวคือ บน (7; +∞) แต่ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว ในการกำหนดเครื่องหมาย คุณสามารถใช้ตัวเลขใดก็ได้จากช่วงเวลานี้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ x = 8, x = 150 เป็นต้น และตอนนี้ - เทคนิคเดียวกับที่ไม่ได้สอนในโรงเรียน: ลองหาอนันต์เป็นตัวเลข อย่างแม่นยำมากขึ้น, บวกอินฟินิตี้, เช่น. +∞.

“คุณเมาหรือเปล่า? คุณจะแทนที่อินฟินิตี้เป็นฟังก์ชันได้อย่างไร? บางทีคุณถาม แต่ลองคิดดู: เราไม่ต้องการค่าของฟังก์ชันเอง เราต้องการแค่เครื่องหมายเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ค่า f (x) \u003d -1 และ f (x) \u003d -938 740 576 215 หมายถึงสิ่งเดียวกัน: ฟังก์ชันในช่วงเวลานี้เป็นค่าลบ ดังนั้น ทั้งหมดที่คุณต้องการคือการค้นหาเครื่องหมายที่เกิดขึ้นที่ระยะอนันต์ ไม่ใช่ค่าของฟังก์ชัน

อันที่จริง การแทนที่อินฟินิตี้นั้นง่ายมาก กลับไปที่ฟังก์ชั่นของเรา:

ฉ(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

ลองนึกภาพว่า x เป็นจำนวนที่มาก พันล้านหรือแม้แต่ล้านล้าน ทีนี้มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นในแต่ละวงเล็บ

วงเล็บแรก: (x -1) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณลบหนึ่งจากพันล้าน ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขที่ไม่ต่างจากหลักพันล้านมากนัก และตัวเลขนี้จะเป็นบวก เช่นเดียวกับวงเล็บที่สอง: (2 + x ) ถ้าเราบวกหนึ่งพันล้านเป็นสอง เราจะได้หนึ่งพันล้านด้วย kopecks ซึ่งเป็นจำนวนบวก สุดท้าย วงเล็บที่สาม: (7 − x ) ที่นี่จะมีลบหนึ่งพันล้านซึ่งชิ้นส่วนที่น่าสังเวชในรูปของเจ็ดถูก "แทะ" เหล่านั้น. จำนวนผลลัพธ์จะไม่แตกต่างกันมากจากลบหนึ่งพันล้าน - จะเป็นค่าลบ

มันยังคงค้นหาสัญญาณของงานทั้งหมด เนื่องจากเรามีเครื่องหมายบวกในวงเล็บปีกกาแรก และเครื่องหมายลบในวงเล็บสุดท้าย เราจึงมีโครงสร้างดังนี้:

(+) · (+) · (−) = (−)

เครื่องหมายสุดท้ายคือลบ! ไม่สำคัญหรอกว่าค่าของฟังก์ชันนั้นคืออะไร สิ่งสำคัญคือค่านี้เป็นค่าลบ กล่าวคือ บนช่วงขวาสุดมีเครื่องหมายลบ ยังคงต้องทำขั้นตอนที่สี่ของวิธีการเว้นระยะให้เสร็จสิ้น: จัดเรียงสัญญาณทั้งหมด เรามี:

ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมดูเหมือน:

(x − 1)(2 + x )(7 - x )< 0

ดังนั้นเราจึงสนใจช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายลบ เราเขียนคำตอบ:

x ∈ (-2; 1) ∪ (7; +∞)

นั่นคือเคล็ดลับทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอก โดยสรุป มีความไม่เท่าเทียมกันอีกหนึ่งอย่าง ซึ่งแก้ไขโดยวิธีช่วงเวลาโดยใช้อนันต์ เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาสั้นลงด้วยสายตา ฉันจะไม่เขียนหมายเลขขั้นตอนและความคิดเห็นโดยละเอียด ฉันจะเขียนเฉพาะสิ่งที่จำเป็นต้องเขียนจริง ๆ เมื่อแก้ปัญหาจริง:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

เราแทนที่อสมการด้วยสมการแล้วแก้สมการ:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3

เราทำเครื่องหมายทั้งสามรูตบนเส้นพิกัด (พร้อมสัญลักษณ์):

มีเครื่องหมายบวกทางด้านขวาของแกนพิกัดเพราะ ฟังก์ชั่นดูเหมือนว่า:

ฉ(x) = x(2x + 8)(x − 3)

และถ้าเราแทนค่าอนันต์ (เช่น พันล้าน) เราจะได้วงเล็บบวกสามอัน เนื่องจากนิพจน์ดั้งเดิมต้องมากกว่าศูนย์ เราจึงสนใจเฉพาะค่าบวกเท่านั้น มันยังคงเขียนคำตอบ:

x ∈ (-4; 0) ∪ (3; +∞)

และวันนี้ไม่ใช่ทุกคนที่จะแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลได้ แม่นยำยิ่งขึ้น ไม่ใช่แค่ทุกคนเท่านั้นที่สามารถตัดสินใจได้ น้อยคนที่จะทำได้
Klitschko

บทเรียนนี้จะยาก ยากจนมีแต่ผู้ถูกเลือกเท่านั้นที่จะไปถึงจุดสิ้นสุดของมัน ดังนั้น ก่อนอ่าน แนะนำให้ถอด ผู้หญิง แมว เด็ก ท้อง และ ...

โอเค มันค่อนข้างง่ายจริงๆ สมมติว่าคุณเชี่ยวชาญวิธีการแบบเว้นช่วงเวลา (หากคุณยังไม่เข้าใจมัน เราขอแนะนำให้คุณกลับไปอ่าน) และเรียนรู้วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $P\left(x \right) \gt 0$ โดยที่ $ P\left(x \right)$ เป็นพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม

ฉันเชื่อว่าคุณจะแก้ปัญหาได้ไม่ยากเช่นเกมดังกล่าว (โดยวิธีการลองอุ่นเครื่อง):

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยและไม่ใช่แค่พหุนามเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเศษส่วนตรรกยะของแบบฟอร์มด้วย:

โดยที่ $P\left(x \right)$ และ $Q\left(x \right)$ เป็นพหุนามเดียวกันกับรูปแบบ $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ หรือผลคูณของพหุนามดังกล่าว

นี่จะเป็นความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล จุดพื้นฐานคือการมีอยู่ของตัวแปร $x$ ในตัวส่วน ตัวอย่างเช่น นี่คือความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

และนี่ไม่ใช่เหตุผล แต่เป็นความไม่เท่าเทียมกันที่พบบ่อยที่สุดซึ่งแก้ไขได้โดยวิธีช่วงเวลา:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

เมื่อมองไปข้างหน้า ฉันจะบอกทันทีว่า มีอย่างน้อยสองวิธีในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผล แต่ทั้งหมดนั้นไม่ทางใดก็ทางหนึ่งจะลดลงเป็นวิธีการของช่วงเวลาที่เรารู้จักอยู่แล้ว ดังนั้น ก่อนวิเคราะห์วิธีการเหล่านี้ ให้ระลึกถึงข้อเท็จจริงเก่า มิฉะนั้น จะไม่มีเหตุผลจากเนื้อหาใหม่

สิ่งที่คุณต้องรู้อยู่แล้ว

มีข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่มากนัก เราต้องการเพียงสี่เท่านั้น

สูตรคูณแบบย่อ

ใช่ ใช่ พวกเขาจะหลอกหลอนเราตลอดหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน และที่มหาวิทยาลัยด้วย มีสูตรเหล่านี้ค่อนข้างน้อย แต่เราต้องการเพียงสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\ขวา). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ให้ความสนใจกับสองสูตรสุดท้าย - นี่คือผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ (และไม่ใช่ลูกบาศก์ของผลรวมหรือส่วนต่าง!) จำได้ง่ายถ้าคุณสังเกตเห็นว่าเครื่องหมายในวงเล็บแรกเหมือนกับเครื่องหมายในนิพจน์ดั้งเดิม และในวงเล็บที่สอง เครื่องหมายในวงเล็บจะตรงกันข้ามกับเครื่องหมายในนิพจน์ดั้งเดิม

สมการเชิงเส้น

สมการเหล่านี้เป็นสมการที่ง่ายที่สุดในรูปแบบ $ax+b=0$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นตัวเลขธรรมดา และ $a\ne 0$ สมการนี้แก้ได้ง่าย:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(ก) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ฉันสังเกตว่าเรามีสิทธิ์หารด้วยสัมประสิทธิ์ $a$ เพราะ $a\ne 0$ ข้อกำหนดนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจาก $a=0$ เราได้รับสิ่งนี้:

อันดับแรก ไม่มีตัวแปร $x$ ในสมการนี้ โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้ไม่ควรทำให้เราสับสน (สิ่งนี้เกิดขึ้น พูดในเรขาคณิต และค่อนข้างบ่อย) แต่เราก็ยังไม่ใช่สมการเชิงเส้นอีกต่อไป

ประการที่สอง คำตอบของสมการนี้ขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ $b$ เท่านั้น ถ้า $b$ เป็นศูนย์ด้วย สมการของเราคือ $0=0$ ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงเสมอ ดังนั้น $x$ จึงเป็นตัวเลขใดๆ (มักจะเขียนเป็น $x\in \mathbb(R)$) หากสัมประสิทธิ์ $b$ ไม่เท่ากับศูนย์ ความเท่าเทียมกันที่ $b=0$ จะไม่มีวันเป็นที่น่าพอใจ กล่าวคือ ไม่มีคำตอบ (เขียน $x\in \varnothing $ และอ่านว่า "ชุดโซลูชันว่างเปล่า")

เพื่อหลีกเลี่ยงความซับซ้อนเหล่านี้ เราเพียงแค่ถือว่า $a\ne 0$ ซึ่งไม่ได้จำกัดเราจากการไตร่ตรองเพิ่มเติม

สมการกำลังสอง

ผมขอเตือนคุณว่านี่เรียกว่าสมการกำลังสอง:

ทางซ้ายมือคือพหุนามของดีกรีที่สอง และอีกครั้ง $a\ne 0$ (ไม่เช่นนั้น เราจะได้สมการเชิงเส้น แทนที่จะเป็นสมการกำลังสอง) สมการต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขผ่านการเลือกปฏิบัติ:

ถ้า $D \gt 0$ เราจะได้รากที่แตกต่างกันสองแบบ
หาก $D=0$ รูทจะเป็นหนึ่งเดียว แต่มาจากหลายหลากแบบที่สอง (เป็นความหลากหลายแบบใดและจะพิจารณาอย่างไร - เพิ่มเติมในภายหลัง) หรือเราสามารถพูดได้ว่าสมการมีสองรากที่เหมือนกัน
สำหรับ $D \lt 0$ ไม่มีรากเลย และเครื่องหมายของพหุนาม $a((x)^(2))+bx+c$ สำหรับ $x$ ใดๆ ตรงกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ $a $. อย่างไรก็ตาม นี่เป็นข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์มาก ซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่างลืมที่จะบอกในชั้นเรียนพีชคณิต

รากเองคำนวณตามสูตรที่รู้จักกันดี:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

ดังนั้น โดยวิธีการที่ข้อจำกัดในการเลือกปฏิบัติ ท้ายที่สุด รากที่สองของจำนวนลบไม่มีอยู่จริง สำหรับรากศัพท์ นักเรียนหลายคนมีความสับสนในหัว ดังนั้นฉันจึงบันทึกบทเรียนทั้งหมดไว้เป็นพิเศษ: อะไรคือรากในพีชคณิตและวิธีการคำนวณ - ฉันขอแนะนำให้อ่านเป็นอย่างยิ่ง :)

การดำเนินการกับเศษส่วนตรรกยะ

ทุกอย่างที่เขียนไว้ข้างต้น คุณรู้อยู่แล้วว่าคุณศึกษาวิธีการของช่วงเวลาหรือไม่ แต่สิ่งที่เราจะวิเคราะห์ในตอนนี้ไม่มีความคล้ายคลึงในอดีต - นี่คือข้อเท็จจริงใหม่ทั้งหมด

คำนิยาม. เศษส่วนตรรกยะคือนิพจน์ของรูปแบบ

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

โดยที่ $P\left(x \right)$ และ $Q\left(x \right)$ เป็นพหุนาม

เห็นได้ชัดว่ามันง่ายที่จะได้รับความไม่เท่าเทียมกันจากเศษส่วนดังกล่าว - เพียงแค่ระบุเครื่องหมาย "มากกว่า" หรือ "น้อยกว่า" ทางด้านขวาก็เพียงพอแล้ว และอีกหน่อยเราจะพบว่าการแก้ปัญหาดังกล่าวเป็นเรื่องที่น่ายินดี ทุกอย่างง่ายมากที่นั่น

ปัญหาเริ่มต้นเมื่อมีเศษส่วนดังกล่าวหลายตัวในนิพจน์เดียว พวกเขาจะต้องถูกลดขนาดให้เป็นตัวส่วนร่วม - และขณะนี้มีข้อผิดพลาดเชิงรุกจำนวนมากเกิดขึ้น

ดังนั้น เพื่อที่จะแก้สมการตรรกยะให้สำเร็จ คุณจำเป็นต้องเชี่ยวชาญสองทักษะอย่างแน่นหนา:

การแยกตัวประกอบของพหุนาม $P\left(x \right)$;
ที่จริงแล้ว การนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม.

จะแยกตัวประกอบพหุนามได้อย่างไร? ง่ายมาก. ให้เรามีพหุนามของรูป

ลองเท่ากับศูนย์ เราได้สมการองศาที่ $n$-th:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( ก)_(1))x+((อัน)_(0))=0\]

สมมติว่าเราแก้สมการนี้แล้วได้ราก $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (อย่ากังวล: ในกรณีส่วนใหญ่จะไม่มี มากกว่าสองรากเหล่านี้) . ในกรณีนี้ พหุนามเดิมของเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมด! โปรดทราบ: ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า $((a)_(n))$ ไม่ได้หายไปไหน - มันจะเป็นปัจจัยที่แยกจากกันที่ด้านหน้าของวงเล็บ และหากจำเป็น ก็สามารถแทรกลงในวงเล็บเหล่านี้ได้ (แสดงแบบฝึกหัด ด้วย $((a)_ (n))\ne \pm 1$ มักจะมีเศษส่วนอยู่ในราก)

งาน. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2))))(x+2)\]

การตัดสินใจ. อันดับแรก ลองดูตัวส่วน: พวกมันเป็นทวินามเชิงเส้น และไม่มีอะไรแยกตัวประกอบตรงนี้ ลองแยกตัวประกอบตัวเศษ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\right)\left(x-1\right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x) +2 \right)\left(2-5x \right). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

โปรดทราบ: ในพหุนามที่สอง สัมประสิทธิ์อาวุโส "2" ตามแบบแผนของเรา ปรากฏครั้งแรกที่ด้านหน้าวงเล็บ และรวมไว้ในวงเล็บปีกกาแรก เนื่องจากมีเศษส่วนออกมา

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นในพหุนามที่สาม มีเพียงลำดับของพจน์เท่านั้นที่ยังสับสน อย่างไรก็ตาม สัมประสิทธิ์ "-5" ถูกรวมไว้ในวงเล็บที่สอง (จำไว้ว่า: คุณสามารถป้อนปัจจัยในวงเล็บเดียวและวงเล็บเดียวเท่านั้น!) ซึ่งช่วยเราให้พ้นจากความไม่สะดวกที่เกี่ยวข้องกับรากเศษส่วน

สำหรับพหุนามแรกนั้น ทุกอย่างเรียบง่าย: หารากของมันด้วยวิธีมาตรฐานผ่านการแบ่งแยก หรือใช้ทฤษฎีบทเวียตา

กลับไปที่นิพจน์เดิมแล้วเขียนใหม่โดยให้ตัวเศษแยกเป็นปัจจัย:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5) \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(เมทริกซ์)\]

คำตอบ: $5x+4$.

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อน คณิต ป.7-8 นิดหน่อย แค่นั้นเอง จุดประสงค์ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดคือการเปลี่ยนการแสดงออกที่ซับซ้อนและน่ากลัวให้เป็นสิ่งที่เรียบง่ายและใช้งานได้ง่าย

อย่างไรก็ตาม จะไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป ตอนนี้เราจะพิจารณาปัญหาที่ร้ายแรงกว่านี้

แต่ก่อนอื่น ลองหาวิธีนำเศษส่วนสองส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมกันก่อน อัลกอริทึมนั้นง่ายมาก:

แยกตัวประกอบตัวหารทั้งสอง;
พิจารณาตัวส่วนแรกและบวกปัจจัยที่มีอยู่ในตัวส่วนที่สองเข้าไปด้วย แต่ไม่ใช่ในตัวส่วนแรก ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวหารร่วม
ค้นหาปัจจัยที่เศษส่วนเดิมแต่ละส่วนขาดไปเพื่อให้ตัวส่วนมีค่าเท่ากับเศษส่วนร่วม

บางทีอัลกอริทึมนี้อาจดูเหมือนคุณเป็นเพียงข้อความที่มี "ตัวอักษรจำนวนมาก" ลองมาดูตัวอย่างเฉพาะกัน

งาน. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

การตัดสินใจ. งานมากมายเช่นนี้แก้ไขได้ดีที่สุดในส่วนต่างๆ ลองเขียนสิ่งที่อยู่ในวงเล็บแรก:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

ต่างจากปัญหาก่อนหน้านี้ ตัวส่วนที่นี่ไม่ธรรมดา ลองแยกตัวประกอบกัน

ไม่สามารถแยกตัวประกอบกำลังสอง $((x)^(2))+2x+4$ เนื่องจากสมการ $((x)^(2))+2x+4=0$ ไม่มีราก (ตัวจำแนกเป็นลบ) . เราปล่อยให้มันไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวส่วนที่สอง คือพหุนามลูกบาศก์ $((x)^(3))-8$ เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดคือความแตกต่างของลูกบาศก์และสามารถย่อยสลายได้ง่ายโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \ขวา)\]

ไม่มีสิ่งอื่นใดที่สามารถแยกตัวประกอบได้ เนื่องจากวงเล็บแรกมีทวินามเชิงเส้น และวงเล็บที่สองเป็นโครงสร้างที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว ซึ่งไม่มีรากที่แท้จริง

สุดท้าย ตัวส่วนที่สามเป็นทวินามเชิงเส้นที่ไม่สามารถย่อยสลายได้ ดังนั้นสมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

ค่อนข้างชัดเจนว่า $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ จะเป็นตัวหารร่วม และเพื่อลดเศษส่วนทั้งหมดลงไป คุณ ต้องคูณเศษส่วนแรกเป็น $\left(x-2 \right)$ และเศษส่วนสุดท้ายเป็น $\left((x)^(2))+2x+4 \right)$ จากนั้นก็เหลือเพียงเพื่อนำสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ ขวา))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ ซ้าย(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(เมทริกซ์)\]

ให้ความสนใจกับบรรทัดที่สอง: เมื่อตัวส่วนเป็นเรื่องธรรมดาอยู่แล้วนั่นคือ แทนที่จะเป็นเศษส่วนสามส่วน เราเขียนเศษส่วนขนาดใหญ่หนึ่งอัน คุณไม่ควรกำจัดวงเล็บทันที จะดีกว่าถ้าเขียนบรรทัดพิเศษและสังเกตว่ามีเครื่องหมายลบก่อนเศษส่วนที่สาม - และจะไม่ไปไหน แต่จะ "แขวน" ในตัวเศษด้านหน้าวงเล็บ สิ่งนี้จะช่วยคุณประหยัดข้อผิดพลาดได้มาก

ในบรรทัดสุดท้าย จะมีประโยชน์ในการแยกตัวประกอบตัวเศษ ยิ่งกว่านั้น นี่คือกำลังสองที่แน่นอน และสูตรการคูณแบบย่อก็เข้ามาช่วยเราอีกครั้ง เรามี:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

ทีนี้มาจัดการกับวงเล็บที่สองด้วยวิธีเดียวกัน ที่นี่ฉันจะเขียนห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(เมทริกซ์)\]

เรากลับไปที่ปัญหาเดิมและดูผลิตภัณฑ์:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

คำตอบ: \[\frac(1)(x+2)\]

ความหมายของปัญหานี้เหมือนกับก่อนหน้านี้: เพื่อแสดงให้เห็นว่านิพจน์ตรรกยะที่ลดความซับซ้อนลงได้มากน้อยเพียงใดหากคุณเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงอย่างชาญฉลาด

และตอนนี้ เมื่อคุณรู้ทั้งหมดนี้แล้ว ไปที่หัวข้อหลักของบทเรียนวันนี้ - การแก้ความไม่เท่าเทียมกันของตรรกยะเศษส่วน ยิ่งกว่านั้นหลังจากการเตรียมการดังกล่าวความไม่เท่าเทียมกันจะคลิกเหมือนถั่ว :)

วิธีหลักในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผล

มีอย่างน้อยสองวิธีในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล ตอนนี้เราจะพิจารณาหนึ่งในนั้นซึ่งเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

แต่ก่อนอื่น เรามาสังเกตรายละเอียดที่สำคัญกันก่อน ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท:

เข้มงวด: $f\left(x \right) \gt 0$ or $f\left(x \right) \lt 0$;
ไม่เข้มงวด: $f\left(x \right)\ge 0$ or $f\left(x \right)\le 0$.

ความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่สองนั้นลดลงอย่างง่ายดายเป็นอันดับแรก เช่นเดียวกับสมการ:

"การบวก" เล็กๆ $f\left(x \right)=0$ นำไปสู่สิ่งที่ไม่น่าพอใจ เช่น จุดที่เติม - เราพบมันในวิธีช่วงเวลา มิฉะนั้น จะไม่มีความแตกต่างระหว่างความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดและไม่เข้มงวด ดังนั้น มาวิเคราะห์อัลกอริธึมสากลกัน:

รวบรวมองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของเครื่องหมายอสมการ ตัวอย่างเช่น ทางซ้าย;

นำเศษส่วนทั้งหมดมาเป็นตัวส่วนร่วม (หากมีเศษส่วนดังกล่าวหลายตัว) ให้นำเศษส่วนที่คล้ายกันมา จากนั้น ถ้าเป็นไปได้ ให้แยกตัวประกอบเป็นตัวเศษและส่วน ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราได้ค่าความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ โดยที่ขีดคือเครื่องหมายอสมการ

ให้ตัวเศษเท่ากับศูนย์: $P\left(x \right)=0$. เราแก้สมการนี้และรับราก $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... จากนั้นเราต้องการ ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์: $Q\left(x \right)\ne 0$. แน่นอน โดยพื้นฐานแล้ว เราต้องแก้สมการ $Q\left(x \right)=0$ และเราได้ราก $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (ในปัญหาจริงแทบจะไม่มีมากกว่าสามรากดังกล่าว)

เราทำเครื่องหมายรากเหล่านี้ทั้งหมด (ทั้งที่มีและไม่มีเครื่องหมายดอกจัน) ในบรรทัดตัวเลขเดียว และรากที่ไม่มีดาวจะถูกทาสีทับ และตัวที่มีดาวจะถูกต่อยออก

เราใส่เครื่องหมายบวกและลบเลือกช่วงเวลาที่เราต้องการ หากอสมการอยู่ในรูปแบบ $f\left(x \right) \gt 0$ คำตอบจะเป็นช่วงที่มีเครื่องหมาย "บวก" ถ้า $f\left(x \right) \lt 0$ แล้วเราจะดูที่ช่วงเวลาด้วย "minuses"

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าจุดที่ 2 และ 4 ทำให้เกิดปัญหาที่ยิ่งใหญ่ที่สุด - การแปลงที่มีความสามารถและการจัดเรียงตัวเลขที่ถูกต้องจากน้อยไปมาก ในขั้นตอนสุดท้ายระวังให้มาก: เรามักจะวางป้ายตาม ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายที่เขียนก่อนที่จะไปยังสมการ. นี่เป็นกฎสากลที่สืบทอดมาจากวิธีช่วงเวลา

ดังนั้นจึงมีโครงการ มาฝึกกันเถอะ

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

การตัดสินใจ. เรามีรูปแบบที่ไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด $f\left(x \right) \lt 0$ เห็นได้ชัดว่า จุดที่ 1 และ 2 จากโครงการของเราได้ดำเนินการเสร็จสิ้นแล้ว: องค์ประกอบทั้งหมดของความไม่เท่าเทียมกันถูกรวบรวมไว้ทางด้านซ้าย ไม่จำเป็นต้องลดอะไรให้เป็นตัวส่วนร่วม ไปที่จุดที่สามกัน

ตั้งค่าตัวเศษเป็นศูนย์:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x-3=0; \\ &x=3. \end(จัดตำแหน่ง)\]

และตัวส่วน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ในที่นี้ หลายคนติดขัด เพราะในทางทฤษฎี คุณต้องเขียน $x+7\ne 0$ ตามที่ ODZ กำหนด (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ แค่นั้น) แต่ท้ายที่สุด ในอนาคต เราจะเปิดประเด็นที่มาจากตัวส่วน ดังนั้นคุณไม่ควรทำให้การคำนวณของคุณซับซ้อนอีกครั้ง - เขียนเครื่องหมายเท่ากับทุกที่และไม่ต้องกังวล จะไม่มีใครหักคะแนนสำหรับสิ่งนี้ :)

จุดที่สี่. เราทำเครื่องหมายรากที่ได้รับบนเส้นจำนวน:
เจาะทุกจุดเพราะความไม่เท่าเทียมเข้มงวด
บันทึก: โดนเจาะทุกจุดเพราะความไม่เท่าเทียมเดิมเข้มงวด. และที่นี่ไม่สำคัญอีกต่อไปแล้ว จุดเหล่านี้มาจากตัวเศษหรือตัวส่วน

ดีดูที่สัญญาณ ใช้หมายเลขใด ๆ $((x)_(0)) \gt 3$ ตัวอย่างเช่น $((x)_(0))=100$ (แต่คุณสามารถเอา $((x)_(0))=3.1$ หรือ $((x)_(0)) = 1\000\000$). เราได้รับ:

ทางขวาของรากทั้งหมด เรามีพื้นที่บวก และเมื่อผ่านแต่ละรูต สัญญาณจะเปลี่ยนไป (ซึ่งจะไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป แต่จะเพิ่มเติมในภายหลัง) ดังนั้นเราจึงไปยังจุดที่ห้า: เราวางป้ายและเลือกอันที่ถูกต้อง:

เรากลับไปที่ความไม่เท่าเทียมสุดท้ายก่อนแก้สมการ อันที่จริง มันเกิดขึ้นพร้อมกับอันเดิม เพราะเราไม่ได้ทำการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในงานนี้

เนื่องจากจำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $f\left(x \right) \lt 0$ ฉันจึงแรเงาช่วงเวลา $x\in \left(-7;3 \right)$ - เป็นอันเดียวเท่านั้น ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายลบ นี่คือคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-7;3 \right)$

นั่นคือทั้งหมด! มันยากไหม? ไม่ มันไม่ยาก อันที่จริงมันเป็นงานง่าย ตอนนี้เรามาทำให้ภารกิจซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยและพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันที่ "แฟนซี" มากขึ้น เมื่อแก้ไขแล้ว ฉันจะไม่ให้การคำนวณโดยละเอียดอีกต่อไป - ฉันจะสรุปประเด็นสำคัญ โดยทั่วไป เราจะจัดแบบที่เราเคยทำในงานอิสระหรือสอบ :)

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

การตัดสินใจ. นี่คืออสมการแบบไม่เข้มงวดของรูปแบบ $f\left(x \right)\ge 0$ องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดจะถูกรวบรวมทางด้านซ้าย ไม่มีตัวส่วนต่างกัน มาดูสมการกัน

เศษ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=-\frac(2)(11) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตัวส่วน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ฉันไม่รู้ว่าคนผิดประเภทไหนที่ก่อปัญหานี้ แต่รากเหง้าไม่ได้ผลดีนัก: เป็นการยากที่จะจัดเรียงพวกเขาบนเส้นจำนวน และถ้าทุกอย่างชัดเจนมากหรือน้อยด้วยการรูท $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (นี่เป็นตัวเลขบวกเท่านั้น - จะอยู่ทางขวา) แล้ว $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ และ $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ ต้องการการศึกษาเพิ่มเติม: อันไหน ใหญ่กว่า?

คุณสามารถค้นหาสิ่งนี้ได้ ตัวอย่างเช่น:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

ฉันหวังว่าคงไม่ต้องอธิบายว่าทำไมเศษส่วนของตัวเลข $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? หากจำเป็น ฉันแนะนำให้จำวิธีการดำเนินการกับเศษส่วน

และเราทำเครื่องหมายทั้งสามรูตบนเส้นจำนวน:
แต้มจากตัวเศษจะถูกแรเงา จากตัวส่วนจะถูกตัดออก
เราติดป้าย. ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ $((x)_(0))=1$ และหาเครื่องหมาย ณ จุดนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

อสมการสุดท้ายก่อนสมการคือ $f\left(x \right)\ge 0$ ดังนั้นเราจึงสนใจเครื่องหมายบวก

เราได้สองชุด: ชุดหนึ่งเป็นส่วนธรรมดาและอีกชุดเป็นรังสีเปิดบนเส้นจำนวน

คำตอบ: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

หมายเหตุสำคัญเกี่ยวกับตัวเลขที่เราแทนที่เพื่อค้นหาเครื่องหมายบนช่วงขวาสุด ไม่จำเป็นต้องแทนที่ตัวเลขใกล้กับรูทขวาสุด คุณสามารถใช้เงินหลายพันล้านหรือแม้แต่ "บวกอินฟินิตี้" ได้ ในกรณีนี้ เครื่องหมายของพหุนามในวงเล็บ ตัวเศษ หรือตัวส่วนถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์นำเท่านั้น

มาดูฟังก์ชัน $f\left(x \right)$ จากอสมการสุดท้ายกัน:

ประกอบด้วยพหุนามสามตัว:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(จัดตำแหน่ง)\]

พวกมันทั้งหมดเป็นทวินามเชิงเส้น และพวกมันทั้งหมดมีค่าสัมประสิทธิ์บวก (หมายเลข 7, 11 และ 13) ดังนั้น เมื่อแทนจำนวนที่มาก พหุนามเองก็จะเป็นบวกเช่นกัน :)

กฎนี้อาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ในตอนแรก เมื่อเราวิเคราะห์ปัญหาที่ง่ายมากเท่านั้น ในความไม่เท่าเทียมกันอย่างร้ายแรง การแทนที่ "บวก-อนันต์" จะช่วยให้เราสามารถหาเครื่องหมายได้เร็วกว่ามาตรฐาน $((x)_(0))=100$

เราจะเผชิญกับความท้าทายดังกล่าวในไม่ช้า แต่ก่อนอื่น มาดูวิธีอื่นในการแก้ปัญหาอสมการเศษส่วนกัน

ทางเลือก

นักเรียนคนหนึ่งแนะนำเทคนิคนี้ให้ฉัน ตัวฉันเองไม่เคยใช้มัน แต่การฝึกฝนแสดงให้เห็นว่าสะดวกกว่าสำหรับนักเรียนหลายคนในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยวิธีนี้

ดังนั้นข้อมูลเดิมจึงเหมือนกัน เราจำเป็นต้องแก้อสมการเศษส่วน:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

ให้คิดว่า: ทำไมพหุนาม $Q\left(x \right)$ " แย่กว่า " พหุนาม $P\left(x \right)$? ทำไมเราต้องพิจารณาแยกกลุ่มของราก (มีและไม่มีเครื่องหมายดอกจัน) คิดเกี่ยวกับจุดที่เจาะ ฯลฯ? ง่ายมาก: เศษส่วนมีขอบเขตของคำจำกัดความ ตามที่เศษส่วนเหมาะสมก็ต่อเมื่อตัวส่วนแตกต่างจากศูนย์

มิฉะนั้น จะไม่มีความแตกต่างระหว่างตัวเศษและตัวส่วน: เรายังถือว่ามันเป็นศูนย์ มองหาราก แล้วทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน เหตุใดจึงไม่เปลี่ยนแท่งเศษส่วน (อันที่จริงแล้วเครื่องหมายหาร) ด้วยการคูณแบบปกติ และเขียนข้อกำหนดทั้งหมดของ DHS เป็นอสมการแยกกัน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

โปรดทราบ: วิธีการนี้จะช่วยให้คุณลดปัญหาลงเหลือวิธีการเว้นระยะ แต่จะไม่ทำให้การแก้ปัญหายุ่งยากแต่อย่างใด อย่างไรก็ตาม เราจะเอาพหุนาม $Q\left(x \right)$ ให้เท่ากับศูนย์

เรามาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรกับงานจริง

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

การตัดสินใจ. ดังนั้น มาดูวิธีการแบบช่วงเวลากัน:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0 \\ \end(align) \right.\]

ความไม่เท่าเทียมกันแรกได้รับการแก้ไขเบื้องต้น เพียงตั้งวงเล็บแต่ละอันเป็นศูนย์:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+8=0\ลูกศรขวา ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=11. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ด้วยความไม่เท่าเทียมกันอย่างที่สอง ทุกอย่างก็ง่ายเช่นกัน:

เราทำเครื่องหมายจุด $((x)_(1))$ และ $((x)_(2))$ บนเส้นจริง ทั้งหมดถูกเจาะเพราะความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด:
จุดที่ถูกต้องถูกเจาะสองครั้ง นี่เป็นเรื่องปกติ
ให้ความสนใจกับจุด $x=11$ ปรากฎว่า "เจาะสองครั้ง": ในอีกด้านหนึ่ง เราเจาะเพราะความรุนแรงของความไม่เท่าเทียมกันในอีกด้านหนึ่ง เนื่องจากข้อกำหนดเพิ่มเติมของ ODZ

ในกรณีใด ๆ มันจะเป็นเพียงจุดเจาะ ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายอสมการ $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - สิ่งสุดท้ายที่เราเห็นก่อนที่เราจะเริ่มแก้สมการ:

เรามีความสนใจในพื้นที่บวก เนื่องจากเรากำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $f\left(x \right) \gt 0$ และเราจะระบายสีมัน มันยังคงเป็นเพียงการเขียนคำตอบ

ตอบ. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

โดยใช้วิธีนี้เป็นตัวอย่าง ฉันต้องการเตือนคุณเกี่ยวกับข้อผิดพลาดทั่วไปในหมู่นักเรียนสามเณร กล่าวคือ อย่าเปิดวงเล็บในความไม่เท่าเทียมกัน! ในทางตรงกันข้าม พยายามแยกตัวประกอบทุกอย่าง - วิธีนี้จะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นและช่วยคุณประหยัดปัญหาได้มาก

ทีนี้มาลองทำสิ่งที่ยากขึ้นกันดีกว่า

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

การตัดสินใจ. นี่คือความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวดของรูปแบบ $f\left(x \right)\le 0$ ดังนั้นที่นี่คุณต้องตรวจสอบจุดที่เติมอย่างระมัดระวัง

มาดูวิธีการแบบช่วงเวลากัน:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0 \\ \end(align) \right.\]

ไปที่สมการ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\ลูกศรขวา ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เราคำนึงถึงข้อกำหนดเพิ่มเติม:

เราทำเครื่องหมายรากที่ได้รับทั้งหมดบนเส้นจำนวน:
หากมีการต่อยและเติมแต้มพร้อมกันจะถือว่าถูกต่อย
อีกครั้ง สองจุด "ทับซ้อนกัน" ซึ่งกันและกัน - นี่เป็นเรื่องปกติ มันจะเป็นเช่นนั้นเสมอ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าจุดที่ทำเครื่องหมายทั้งว่าถูกต่อยและเติมเข้าไปนั้นแท้จริงแล้วคือจุดที่เจาะออก เหล่านั้น. "เซาะร่อง" เป็นการกระทำที่แข็งแกร่งกว่า "การทาสี"

นี่เป็นตรรกะอย่างยิ่งเพราะโดยการเจาะเราจะทำเครื่องหมายจุดที่ส่งผลต่อสัญญาณของฟังก์ชัน แต่อย่าเข้าร่วมในคำตอบเอง และหากถึงจุดหนึ่ง ตัวเลขไม่เหมาะกับเรา (เช่น ไม่อยู่ใน ODZ) เราจะลบออกจากการพิจารณาจนกว่าจะสิ้นสุดงาน

โดยทั่วไปแล้วให้หยุดคิดปรัชญา เราจัดป้ายและทาสีตามช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายลบ:

ตอบ. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

และอีกครั้ง ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่สมการนี้:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

อีกครั้ง: อย่าเปิดวงเล็บในสมการดังกล่าว! คุณกำลังทำให้ตัวเองยากขึ้นเท่านั้น ข้อควรจำ: ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ ดังนั้น สมการนี้จึง "กระจัดกระจาย" ให้กลายเป็นสมการที่เล็กกว่าหลายๆ สมการ ซึ่งเราได้แก้ไขไปแล้วในปัญหาที่แล้ว

โดยคำนึงถึงหลายหลากของราก

จากปัญหาก่อนหน้านี้ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันที่ยากที่สุดเป็นความไม่เท่าเทียมกันที่ยากที่สุดเพราะในนั้นคุณต้องติดตามจุดที่เติม

แต่มีความชั่วร้ายยิ่งกว่าในโลกนี้ - สิ่งเหล่านี้มีรากมาจากความไม่เท่าเทียมกันหลายประการ ที่นี่มีความจำเป็นอยู่แล้วที่จะต้องปฏิบัติตามไม่ใช่บางจุดที่กรอก - ที่นี่เครื่องหมายอสมการอาจไม่เปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันเมื่อผ่านจุดเดียวกันเหล่านี้

เรายังไม่ได้พิจารณาสิ่งนี้ในบทเรียนนี้ (แม้ว่าจะพบปัญหาที่คล้ายกันบ่อยครั้งในวิธีช่วงเวลา) มาแนะนำคำจำกัดความใหม่:

คำนิยาม. รากของสมการ $((\left(x-a \right))^(n))=0$ เท่ากับ $x=a$ และเรียกว่ารากของการคูณ $n$th

อันที่จริง เราไม่สนใจค่าของทวีคูณที่แน่นอนเป็นพิเศษ สิ่งสำคัญเพียงอย่างเดียวคือว่าจำนวน $n$ นี้เป็นเลขคู่หรือคี่ เพราะ:

หาก $x=a$ เป็นรูทของหลายหลาก เครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อส่งผ่าน
และในทางกลับกัน ถ้า $x=a$ เป็นรูทของการคูณแบบคี่ เครื่องหมายของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป

กรณีพิเศษของรากของการทวีคูณแบบคี่คือปัญหาก่อนหน้านี้ทั้งหมดที่พิจารณาในบทเรียนนี้: มีหลายหลากจะเท่ากับหนึ่งทุกแห่ง

และต่อไป. ก่อนที่เราจะเริ่มต้นแก้ปัญหา ฉันต้องการจะดึงความสนใจของคุณไปที่ความละเอียดอ่อนอย่างหนึ่งที่ดูเหมือนชัดเจนสำหรับนักเรียนที่มีประสบการณ์ แต่ผลักดันให้ผู้เริ่มต้นจำนวนมากเข้าสู่อาการมึนงง กล่าวคือ:

รากหลายหลาก $n$ เกิดขึ้นเฉพาะเมื่อนิพจน์ทั้งหมดยกกำลังนี้: $((\left(x-a \right))^(n))$, และไม่ใช่ $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

อีกครั้ง: วงเล็บเหลี่ยม $((\left(x-a \right))^(n))$ ให้ราก $x=a$ ของหลายหลาก $n$ แต่วงเล็บเหลี่ยม $\left(((x)^( n)) -a \right)$ หรือบ่อยครั้งที่ $(a-((x)^(n)))$ ให้การรูท (หรือสองราก ถ้า $n$ เป็นคู่) ของหลายหลากแรก ไม่ว่าอะไรจะเท่ากับ $n$

เปรียบเทียบ:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

ทุกอย่างชัดเจนที่นี่: วงเล็บทั้งหมดถูกยกขึ้นเป็นยกกำลังห้า ดังนั้นที่เอาต์พุต เราได้รากของดีกรีที่ห้า และตอนนี้:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

เรามีรากสองอัน, แต่ทั้งสองอันมีหลายหลากอันแรก. หรือนี่คืออีกอันหนึ่ง:

\[\left(((x)^(10)))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

และอย่าสับสนกับระดับสิบ สิ่งสำคัญคือ 10 เป็นจำนวนคู่ เราจึงมีรากที่สองที่เอาต์พุต และทั้งคู่มีการคูณแรกอีกครั้ง

โดยทั่วไป ระวัง: หลายหลากจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ องศาใช้กับวงเล็บทั้งหมด ไม่ใช่แค่ตัวแปร.

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7)” \right))^(5)))\ge 0\]

การตัดสินใจ. ลองแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่นโดยผ่านการเปลี่ยนจากเฉพาะไปเป็นผลิตภัณฑ์:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\ขวา.\]

เราจัดการกับอสมการแรกโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\ลูกศรขวา x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\ลูกศรขวา x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

นอกจากนี้ เราแก้อสมการที่สอง อันที่จริง เราได้แก้ไขมันไปแล้ว แต่เพื่อไม่ให้ผู้ตรวจทานพบข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา ทางที่ดีควรแก้ไขอีกครั้ง:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

โปรดทราบว่าไม่มีการคูณในอสมการสุดท้าย อันที่จริง: การขีดฆ่าจุด $x=-7$ บนเส้นจำนวนแตกต่างกันอย่างไร อย่างน้อยหนึ่งครั้ง อย่างน้อยห้าครั้ง - ผลลัพธ์จะเหมือนเดิม: จุดที่เจาะ

ให้สังเกตทุกสิ่งที่เราได้รับบนเส้นจำนวน:

อย่างที่บอกไป $x=-7$ point จะถูกต่อยออกไปในที่สุด คูณหารถูกจัดเรียงตามการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันโดยวิธีช่วงเวลา

มันยังคงวางป้าย:

เนื่องจากจุด $x=0$ เป็นรูทของหลายหลาก เครื่องหมายจึงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านจุดนั้น คะแนนที่เหลือมีหลายหลากแปลก ๆ และทุกอย่างก็ง่ายสำหรับพวกเขา

ตอบ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

ให้ความสนใจกับ $x=0$ อีกครั้ง เนื่องจากความซ้ำซ้อนที่เท่ากัน จึงเกิดเอฟเฟกต์ที่น่าสนใจ: ทุกอย่างทางด้านซ้ายของมันถูกทาสีทับ ไปทางขวา - ด้วย และจุดนั้นก็ถูกทาสีทับทั้งหมด

ด้วยเหตุนี้ จึงไม่จำเป็นต้องแยกออกเมื่อบันทึกคำตอบ เหล่านั้น. คุณไม่จำเป็นต้องเขียนบางอย่างเช่น $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (แม้ว่าคำตอบอย่างเป็นทางการก็จะถูกต้อง) แต่เราเขียน $x\in \left[ -4;6 \right]$ ทันที

ผลกระทบดังกล่าวเป็นไปได้เฉพาะสำหรับรากของหลายหลากเท่านั้น และในงานต่อไป เราจะพบกับ "การแสดง" แบบย้อนกลับของเอฟเฟกต์นี้ พร้อม?

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

การตัดสินใจ. คราวนี้เราจะทำตามแบบแผนมาตรฐาน ตั้งค่าตัวเศษเป็นศูนย์:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=4. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

และตัวส่วน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\ลูกศรขวา x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เนื่องจากเรากำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวดของรูปแบบ $f\left(x \right)\ge 0$ รากจากตัวส่วน (ซึ่งมีเครื่องหมายดอกจัน) จะถูกตัดออก และรากจากตัวเศษจะถูกทาสีทับ .

เราจัดป้ายและขีดบริเวณที่มีเครื่องหมาย "บวก":
จุด $x=3$ ถูกแยกออก นี่เป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ
ก่อนเขียนคำตอบสุดท้าย ให้พิจารณาภาพอย่างใกล้ชิด:

จุด $x=1$ มีความคูณหลายเท่า แต่ถูกเจาะเข้าไปเอง ดังนั้น มันจะต้องแยกจากกันในคำตอบ: คุณต้องเขียน $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ ไม่ใช่ $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.

จุด $x=3$ ยังมีหลายหลากคู่และถูกแรเงาด้วย การจัดเรียงสัญญาณบ่งชี้ว่าจุดนั้นเหมาะกับเรา แต่เป็นการก้าวไปทางซ้ายและขวา - และเราพบว่าตัวเองอยู่ในพื้นที่ที่ไม่เหมาะกับเราอย่างแน่นอน จุดดังกล่าวเรียกว่าแยกและเขียนเป็น $x\in \left$ 3 \right$$

เรารวมชิ้นส่วนที่ได้รับทั้งหมดเป็นชุดทั่วไปแล้วจดคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

คำนิยาม. การแก้ความไม่เท่าเทียมกันหมายถึง หาชุดของโซลูชันทั้งหมดของมันหรือพิสูจน์ว่าชุดนี้ว่าง

ดูเหมือนว่า: อะไรที่เข้าใจยากที่นี่? ใช่ ความจริงของเรื่องนี้คือชุดสามารถระบุได้หลายวิธี มาเขียนคำตอบของปัญหาสุดท้ายกันใหม่:

แท้จริงเราอ่านสิ่งที่เขียน ตัวแปร "x" เป็นของชุดหนึ่ง ซึ่งได้มาจากการรวม (สัญลักษณ์ "U") ของชุดที่แยกจากกันสี่ชุด:

ช่วงเวลา $\left(-\infty ;1 \right)$ ซึ่งหมายถึง "ตัวเลขทั้งหมดน้อยกว่าหนึ่งตัว แต่ไม่ใช่ตัวมันเอง";
ช่วงเวลาคือ $\left(1;2 \right)$, i.e. "ตัวเลขทั้งหมดระหว่าง 1 ถึง 2 แต่ไม่ใช่ตัวเลข 1 และ 2 เอง";
ชุด $\left$ 3 \right$$ ประกอบด้วยตัวเลขเดียว - สาม;
ช่วงเวลา $\left[ 4;5 \right)$ มีตัวเลขทั้งหมดระหว่าง 4 ถึง 5 บวก 4 เอง แต่ไม่ใช่ 5

จุดที่สามเป็นที่น่าสนใจที่นี่ ซึ่งแตกต่างจากช่วงเวลา ซึ่งกำหนดชุดจำนวนอนันต์และแสดงเฉพาะขอบเขตของชุดเหล่านี้เท่านั้น ชุด $\left$ 3 \right$$ กำหนดหนึ่งตัวเลขโดยการแจงนับ

เพื่อให้เข้าใจว่าเรากำลังระบุหมายเลขเฉพาะที่รวมอยู่ในชุด (และไม่ได้กำหนดขอบเขตหรืออย่างอื่น) วงเล็บปีกกาจึงถูกนำมาใช้ ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ $\left$ 1;2 \right$$ หมายถึง "ชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: 1 และ 2" ทุกประการ แต่ไม่ใช่เซ็กเมนต์ตั้งแต่ 1 ถึง 2 อย่าสับสนแนวคิดเหล่านี้ไม่ว่ากรณีใดๆ .

กฎการบวกหลายหลาก

ในตอนท้ายของบทเรียนวันนี้ กระป๋องเล็ก ๆ จาก Pavel Berdov :)

นักเรียนที่เอาใจใส่อาจเคยถามคำถามนี้กับตัวเองแล้ว: จะเกิดอะไรขึ้นหากพบรากเดียวกันในตัวเศษและตัวส่วน ดังนั้นกฎต่อไปนี้จึงใช้งานได้:

เพิ่มความหลากหลายของรากที่เหมือนกัน เสมอ. แม้ว่ารูทนี้จะเกิดขึ้นทั้งในตัวเศษและตัวส่วน

บางครั้งมันก็ดีกว่าที่จะตัดสินใจมากกว่าที่จะพูด ดังนั้นเราจึงแก้ปัญหาต่อไปนี้:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

จนถึงตอนนี้ไม่มีอะไรพิเศษ ตั้งค่าตัวส่วนเป็นศูนย์:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\ลูกศรขวา x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\ลูกศรขวา x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

พบรากที่เหมือนกันสองอัน: $((x)_(1))=-2$ และ $x_(4)^(*)=-2$ ทั้งสองมีพหุคูณแรก ดังนั้นเราจึงแทนที่พวกมันด้วยหนึ่งรูท $x_(4)^(*)=-2$ แต่มีค่าหลายหลากของ 1+1=2

นอกจากนี้ยังมีรากที่เหมือนกัน: $((x)_(2))=-4$ และ $x_(2)^(*)=-4$ พวกมันเป็นพหุคูณแรกเช่นกัน ดังนั้นเหลือเพียง $x_(2)^(*)=-4$ ของคูณ 1+1=2

โปรดทราบ: ในทั้งสองกรณี เราทิ้งรากที่ "ถูกตัดออก" ทิ้งไป และโยนรากที่ "ทาสีทับ" ทิ้งไปจากการพิจารณา เพราะแม้ในตอนต้นของบทเรียน เราก็เห็นด้วย: หากมีการตอกย้ำจุดหนึ่งและทาสีทับในเวลาเดียวกัน เราก็ยังคงถือว่าถูกต่อยออกไป

เป็นผลให้เรามีสี่รากและทั้งหมดกลับกลายเป็นว่าถูกควักออกมา:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เราทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวนโดยคำนึงถึงหลายหลาก:

เราวางป้ายและทาสีบริเวณที่เราสนใจ:

ทุกอย่าง. ไม่มีจุดแยกและความวิปริตอื่น ๆ คุณสามารถเขียนคำตอบ

ตอบ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

กฎการคูณ

บางครั้งสถานการณ์ที่ไม่น่าพอใจยิ่งขึ้นก็เกิดขึ้น: สมการที่มีรากหลายรากจะถูกยกขึ้นเป็นกำลังหนึ่ง สิ่งนี้จะเปลี่ยนความซ้ำซ้อนของรากดั้งเดิมทั้งหมด

ซึ่งหายากมาก นักเรียนส่วนใหญ่ไม่มีประสบการณ์ในการแก้ปัญหาดังกล่าว และกฎที่นี่คือ:

เมื่อสมการถูกยกกำลัง $n$ คูณของรากทั้งหมดนั้นก็เพิ่มขึ้นด้วยตัวประกอบของ $n$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มเป็นกำลังส่งผลให้เกิดการคูณทวีคูณด้วยกำลังเดียวกัน ลองใช้กฎนี้เป็นตัวอย่าง:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

การตัดสินใจ. ตั้งค่าตัวเศษเป็นศูนย์:

ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวคูณแรก: $x=0$ และนี่คือจุดเริ่มต้นของปัญหา:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น สมการ $((x)^(2))-6x+9=0$ มีรูทเฉพาะของทวีคูณที่สอง: $x=3$ จากนั้นสมการทั้งหมดจะถูกยกกำลังสอง ดังนั้น ค่าหลายหลากของรูทจะเป็น $2\cdot 2=4$ ซึ่งในที่สุดเราก็เขียนลงไป

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

ไม่มีปัญหากับตัวส่วนอย่างใดอย่างหนึ่ง:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

รวมแล้วเราได้ห้าคะแนน: สองต่อยและสามเติมเต็ม ไม่มีรากที่ตรงกันในตัวเศษและส่วน ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน:

เราจัดเรียงสัญญาณโดยคำนึงถึงความหลากหลายและทาสีตามช่วงเวลาที่เราสนใจ:
อีกครั้งหนึ่งจุดแยกและหนึ่งเจาะ
เนื่องจากรากเหง้าของความหลายหลาก เราจึงได้รับองค์ประกอบที่ "ไม่เป็นมาตรฐาน" อีกครั้ง นี่คือ $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ ไม่ใช่ $x\in \left[ 0;2 \right)$ และเป็นจุดแยก $ x\in \left$ 3 \right$$.

ตอบ. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างไม่ได้ยากนัก สิ่งสำคัญคือความเอาใจใส่ ส่วนสุดท้ายของบทเรียนนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลง ซึ่งเป็นส่วนที่เราพูดถึงในตอนเริ่มต้น

การแปลงล่วงหน้า

ความไม่เท่าเทียมกันที่เราจะพูดถึงในส่วนนี้ไม่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนงานก่อนหน้านี้ คุณจะต้องใช้ทักษะจากทฤษฎีเศษส่วนตรรกยะ - การแยกตัวประกอบและการลดลงไปยังตัวส่วนร่วม

เราได้กล่าวถึงปัญหานี้โดยละเอียดในตอนต้นของบทเรียนของวันนี้ หากคุณไม่แน่ใจว่าคุณเข้าใจเนื้อหาเกี่ยวกับอะไร เราขอแนะนำให้คุณกลับไปทำซ้ำ เพราะไม่มีประโยชน์ที่จะยัดเยียดวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันหากคุณ "ว่าย" ในการแปลงเศษส่วน

ในการบ้านก็จะมีงานที่คล้ายกันมากมาย พวกเขาจะอยู่ในส่วนย่อยที่แยกต่างหาก และคุณจะพบตัวอย่างที่ไม่สำคัญ แต่สิ่งนี้จะอยู่ในการบ้าน แต่ตอนนี้ มาวิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกันสองสามข้อกัน

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

การตัดสินใจ. ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

เราย่อให้เป็นตัวส่วนร่วม เปิดวงเล็บ ให้เงื่อนไขเหมือนกันในตัวเศษ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ขวา))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

ตอนนี้ เรามีอสมการเศษส่วนแบบคลาสสิก ซึ่งการแก้ปัญหานั้นไม่ยากอีกต่อไป ฉันเสนอให้แก้ปัญหาด้วยวิธีอื่น - ผ่านวิธีช่วงเวลา:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่าลืมข้อจำกัดที่มาจากตัวส่วน:

เราทำเครื่องหมายตัวเลขและข้อจำกัดทั้งหมดบนเส้นจำนวน:

รากทั้งหมดมีหลายหลากก่อน ไม่มีปัญหา. เราเพียงแค่วางป้ายและทาสีบริเวณที่เราต้องการ:

มันคือทั้งหมด คุณสามารถเขียนคำตอบ

ตอบ. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

แน่นอน นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก ตอนนี้เรามาดูปัญหากันดีกว่า และอีกอย่าง ระดับของงานนี้ค่อนข้างสอดคล้องกับงานอิสระและการควบคุมในหัวข้อนี้ในเกรด 8

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

การตัดสินใจ. ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

ก่อนนำเศษส่วนทั้งสองมาเป็นตัวส่วนร่วม เราแยกตัวส่วนเหล่านี้เป็นตัวประกอบ ทันใดนั้นวงเล็บเดียวกันจะออกมา? ด้วยตัวส่วนแรก มันง่าย:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

อันที่สองยากขึ้นเล็กน้อย คุณสามารถเพิ่มตัวคูณคงที่ลงในวงเล็บที่พบเศษส่วนได้ โปรดจำไว้ว่า: พหุนามเดิมมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้สูงที่การแยกตัวประกอบจะมีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มด้วย (อันที่จริง มันจะเป็นเช่นนั้นเสมอ ยกเว้นเมื่อการเลือกปฏิบัติไม่ลงตัว)

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น มีวงเล็บทั่วไป: $\left(x-1 \right)$ เรากลับไปที่ความไม่เท่าเทียมกันและนำเศษส่วนทั้งสองมาเป็นตัวส่วนร่วม:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ ซ้าย(3x-2\right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตั้งค่าตัวส่วนเป็นศูนย์:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( จัดตำแหน่ง)\]

ไม่มีการคูณและไม่มีรากที่ตรงกัน เราทำเครื่องหมายตัวเลขสี่ตัวเป็นเส้นตรง:

เราวางป้าย:

เราเขียนคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ ขวา)$.

ทุกอย่าง! ประมาณนี้ค่ะ อ่านถึงบรรทัดนี้เลยค่ะ :)

ในบทความเราจะพิจารณา การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน. มาพูดกันชัดๆ วิธีสร้างวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันพร้อมตัวอย่างที่ชัดเจน!

ก่อนพิจารณาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวอย่าง เรามาจัดการกับแนวคิดพื้นฐานกันก่อน

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกัน

ความไม่เท่าเทียมกันเรียกว่า นิพจน์ ที่ฟังก์ชันเชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายความสัมพันธ์ >, . ความไม่เท่าเทียมกันสามารถเป็นได้ทั้งตัวเลขและตัวอักษร
ความไม่เท่าเทียมกันที่มีเครื่องหมายความสัมพันธ์สองอันเรียกว่าสองเท่าโดยมีสาม - สามเป็นต้น ตัวอย่างเช่น:
ก(x) > ข(x),
ก(x) ก(x) ข(x)
ก(x) ข(x).
a(x) ความไม่เท่าเทียมกันที่มีเครื่องหมาย > หรือหรือไม่เข้มงวด
การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคือค่าใดๆ ของตัวแปรที่อสมการนี้เป็นจริง
"แก้ความไม่เท่าเทียมกัน" หมายความว่าคุณต้องหาชุดของคำตอบทั้งหมด มีหลากหลาย วิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน. สำหรับ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันใช้เส้นจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น, การแก้ความไม่เท่าเทียมกัน x > 3 คือช่วงเวลาตั้งแต่ 3 ถึง + และตัวเลข 3 ไม่รวมอยู่ในช่วงเวลานี้ ดังนั้นจุดบนเส้นจึงแสดงด้วยวงกลมว่างเพราะ ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด
+
คำตอบจะเป็น: x (3; +)
ค่า x=3 ไม่รวมอยู่ในเซตของคำตอบ ดังนั้นวงเล็บจึงเป็นวงรี เครื่องหมายอนันต์อยู่ในวงเล็บเสมอ เครื่องหมายหมายถึง "เป็นของ"
พิจารณาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้ตัวอย่างอื่นที่มีเครื่องหมาย:
x2
-+
ค่า x=2 รวมอยู่ในชุดของคำตอบ ดังนั้นวงเล็บเหลี่ยมและจุดบนเส้นจึงแสดงด้วยวงกลมที่เติมสี
คำตอบจะเป็น: x

พูดง่ายๆ คือ โมดูลัสคือ "ตัวเลขที่ไม่มีเครื่องหมายลบ" และมันอยู่ในความเป็นคู่นี้ (ในที่ที่คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับตัวเลขเดิม แต่บางแห่งคุณต้องลบเครื่องหมายลบออก) และความยากทั้งหมดสำหรับนักเรียนสามเณรอยู่

นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความทางเรขาคณิต การรู้ก็มีประโยชน์เช่นกัน แต่เราจะกล่าวถึงเฉพาะในกรณีที่ซับซ้อนและบางกรณีพิเศษ ซึ่งวิธีการทางเรขาคณิตสะดวกกว่าวิธีพีชคณิต (สปอยเลอร์: ไม่ใช่วันนี้)

คำนิยาม. ให้จุด $a$ ถูกทำเครื่องหมายบนเส้นจริง จากนั้นโมดูล $\left| x-a \right|$ คือระยะทางจากจุด $x$ ไปยังจุด $a$ ในบรรทัดนี้

หากคุณวาดภาพคุณจะได้สิ่งนี้:

นิยามโมดูลกราฟิก

ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง คุณสมบัติหลักของมันตามมาจากคำจำกัดความของโมดูลทันที: โมดูลัสของจำนวนนั้นเป็นค่าที่ไม่เป็นลบเสมอ. ความจริงข้อนี้จะกลายเป็นด้ายสีแดงที่ดำเนินเรื่องราวทั้งหมดของเราในวันนี้

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน วิธีการเว้นวรรค

ทีนี้มาจัดการกับความไม่เท่าเทียมกันกัน มีจำนวนมาก แต่งานของเราตอนนี้คือต้องสามารถแก้ปัญหาอย่างน้อยที่สุดได้ สิ่งที่ถูกลดทอนเป็นอสมการเชิงเส้นตลอดจนวิธีการของช่วง

ฉันมีบทเรียนใหญ่สองบทในหัวข้อนี้ (แต่มีประโยชน์มาก ฉันแนะนำให้เรียน):

วิธีช่วงเวลาสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน (โดยเฉพาะดูวิดีโอ)
ความไม่เท่าเทียมกันของเศษส่วน-ตรรกยะเป็นบทเรียนที่มากมายมหาศาล แต่หลังจากนั้น คุณจะไม่มีคำถามใดๆ เหลืออยู่เลย

หากคุณรู้ทั้งหมดนี้ หากวลี "ขอย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันไปสู่สมการ" ไม่ได้ทำให้คุณอยากฆ่าตัวตายติดกำแพง แสดงว่าคุณพร้อมแล้ว: ยินดีต้อนรับสู่หัวข้อหลักของบทเรียน :)

1. ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ "โมดูลน้อยกว่าฟังก์ชัน"

นี่เป็นหนึ่งในงานที่พบบ่อยที่สุดกับโมดูล จำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

\"ซ้าย| f\right| \ltg\]

อะไรก็ตามที่สามารถใช้เป็นฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ได้ แต่โดยปกติแล้วพวกมันจะเป็นพหุนาม ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว:

พวกเขาทั้งหมดได้รับการแก้ไขอย่างแท้จริงในบรรทัดเดียวตามรูปแบบ:

\"ซ้าย| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(จัดตำแหน่ง) \ขวา.\ขวา)\]

ง่ายที่จะเห็นว่าเรากำจัดโมดูลนี้ออกไป แต่เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า (หรือระบบของความไม่เท่าเทียมกันสองอย่างซึ่งก็เหมือนกัน) แต่การเปลี่ยนแปลงนี้คำนึงถึงปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมด: ถ้าตัวเลขใต้โมดูลเป็นค่าบวก วิธีการนี้ก็ใช้ได้ หากเป็นลบก็ยังใช้ได้ และถึงแม้จะมีฟังก์ชันไม่เพียงพอที่สุดแทนที่ $f$ หรือ $g$ วิธีการก็ยังใช้ได้

โดยธรรมชาติแล้ว คำถามก็เกิดขึ้น: ไม่ง่ายกว่าหรือ? น่าเสียดายที่คุณไม่สามารถ นี่คือจุดรวมของโมดูล

แต่พอเป็นปรัชญา มาแก้ปัญหาสองสามข้อ:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| 2x+3\right| \ltx+7\]

การตัดสินใจ. ดังนั้นเราจึงมีความไม่เท่าเทียมกันแบบคลาสสิกของรูปแบบ "โมดูลน้อยกว่า" - ไม่มีอะไรจะแปลงเลย เราทำงานตามอัลกอริทึม:

][\begin(align) & \left| f\right| \lt g\ลูกศรขวา -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

อย่ารีบเร่งที่จะเปิดวงเล็บที่นำหน้าด้วย "ลบ": ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าเพราะความเร่งรีบคุณจะทำผิดพลาด

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

ปัญหาลดลงเหลือสองความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้น เราสังเกตคำตอบของพวกเขาบนเส้นจริงคู่ขนาน:
ทางแยกมากมาย
จุดตัดของเซตเหล่านี้จะเป็นคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

การตัดสินใจ. งานนี้ยากขึ้นเล็กน้อย ในการเริ่มต้น เราแยกโมดูลโดยย้ายภาคการศึกษาที่สองไปทางขวา:

\"ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

เห็นได้ชัดว่าเรามีความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ "โมดูลน้อยกว่า" ดังนั้นเราจึงกำจัดโมดูลตามอัลกอริทึมที่รู้จักแล้ว:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

ตอนนี้ความสนใจ: ใครบางคนจะบอกว่าฉันเป็นคนในทางที่ผิดกับวงเล็บเหล่านี้ทั้งหมด แต่ฉันเตือนคุณอีกครั้งว่าเป้าหมายหลักของเราคือ แก้ความไม่เท่าเทียมกันอย่างถูกต้องและรับคำตอบ. ต่อมา เมื่อคุณเชี่ยวชาญทุกอย่างที่อธิบายไว้ในบทเรียนนี้แล้ว คุณสามารถบิดเบือนตัวเองได้ตามต้องการ: เปิดวงเล็บ เพิ่มเครื่องหมายลบ ฯลฯ

และสำหรับการเริ่มต้น เราแค่กำจัดเครื่องหมายลบสองครั้งทางด้านซ้าย:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

ทีนี้มาเปิดวงเล็บทั้งหมดในอสมการคู่กัน:

มาดูความไม่เท่าเทียมกันเป็นสองเท่ากัน คราวนี้การคำนวณจะจริงจังมากขึ้น:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( จัดตำแหน่ง)\right.\]

ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและถูกแก้ไขโดยวิธีช่วงเวลา (นั่นคือเหตุผลที่ฉันพูดว่า: ถ้าคุณไม่รู้ว่ามันคืออะไร จะดีกว่าที่จะไม่รับโมดูล) เราส่งผ่านสมการในอสมการแรก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์กลายเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งแก้ได้เบื้องต้น ทีนี้มาจัดการกับอสมการที่สองของระบบกัน ที่นั่นคุณต้องใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราทำเครื่องหมายตัวเลขที่ได้รับบนเส้นคู่ขนานสองเส้น (แยกสำหรับความไม่เท่าเทียมกันแรกและแยกสำหรับเส้นที่สอง):
อีกครั้ง เนื่องจากเรากำลังแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมกัน เราจึงสนใจจุดตัดของเซตที่แรเงา: $x\in \left(-5;-2 \right)$ นี่คือคำตอบ
คำตอบ: $x\in \left(-5;-2 \right)$

ฉันคิดว่าหลังจากตัวอย่างเหล่านี้ โครงร่างการแก้ปัญหามีความชัดเจนมาก:

แยกโมดูลโดยย้ายพจน์อื่นๆ ทั้งหมดไปอยู่ฝั่งตรงข้ามของอสมการ ดังนั้นเราจะได้ค่าความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $\left| f\right| \ltg$
แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้โดยกำจัดโมดูลตามที่อธิบายไว้ข้างต้น เมื่อถึงจุดหนึ่ง จำเป็นต้องย้ายจากอสมการสองเท่าไปเป็นระบบนิพจน์อิสระสองนิพจน์ ซึ่งแต่ละนิพจน์สามารถแก้ไขแยกกันได้แล้ว
สุดท้าย เหลือเพียงการข้ามคำตอบของนิพจน์อิสระทั้งสองนี้ - และนั่นคือมัน เราจะได้รับคำตอบสุดท้าย

มีอัลกอริธึมที่คล้ายกันสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของประเภทต่อไปนี้ เมื่อโมดูลัสมากกว่าฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม มี "แต่" ที่จริงจังอยู่สองสามอย่าง เราจะพูดถึง "buts" เหล่านี้ในตอนนี้

2. ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ "โมดูลมีค่ามากกว่าฟังก์ชัน"

พวกเขามีลักษณะเช่นนี้:

\"ซ้าย| f\right| \gt g\]

คล้ายกับก่อนหน้านี้หรือไม่? ดูเหมือนจะเป็น อย่างไรก็ตาม งานดังกล่าวได้รับการแก้ไขในวิธีที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง อย่างเป็นทางการโครงการมีดังนี้:

\"ซ้าย| f\right| \gt g\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพิจารณาสองกรณี:

อันดับแรก เราเพียงแค่เพิกเฉยต่อโมดูล - เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันตามปกติ
อันที่จริงแล้ว เราเปิดโมดูลด้วยเครื่องหมายลบ จากนั้นเราคูณอสมการทั้งสองส่วนด้วย -1 ด้วยเครื่องหมาย

ในกรณีนี้ ตัวเลือกต่างๆ จะรวมกับวงเล็บเหลี่ยม กล่าวคือ เรามีข้อกำหนดสองประการร่วมกัน

ให้ความสนใจอีกครั้ง: ต่อหน้าเราไม่ใช่ระบบ แต่เป็นระบบดังนั้น โดยเฉลยเป็นเซตรวมกันไม่ตัดกัน. นี่คือความแตกต่างพื้นฐานจากย่อหน้าก่อนหน้า!

โดยทั่วไป นักเรียนหลายคนมักสับสนกับสหภาพแรงงานและทางแยก ดังนั้นเรามาดูปัญหานี้กันก่อนดีกว่า:

"∪" เป็นเครื่องหมายต่อกัน อันที่จริงนี่คือตัวอักษร "U" ที่มีสไตล์ซึ่งมาจากภาษาอังกฤษและเป็นคำย่อของ "Union" เช่น "สมาคม".
"∩" คือเครื่องหมายทางแยก อึนี้ไม่ได้มาจากที่ใด แต่ดูเหมือนเป็นการต่อต้าน "∪"

เพื่อให้จำง่ายยิ่งขึ้น เพียงเพิ่มขาที่สัญญาณเหล่านี้เพื่อทำแว่นตา (อย่าเพิ่งกล่าวหาว่าฉันส่งเสริมการติดยาและโรคพิษสุราเรื้อรัง: หากคุณกำลังศึกษาบทเรียนนี้อย่างจริงจัง แสดงว่าคุณติดยาอยู่แล้ว):

ความแตกต่างระหว่างทางแยกและสหภาพของเซต

แปลเป็นภาษารัสเซียหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: สหภาพ (คอลเลกชัน) รวมองค์ประกอบจากทั้งสองชุดดังนั้นไม่น้อยกว่าแต่ละชุด แต่ทางแยก (ระบบ) จะรวมเฉพาะองค์ประกอบที่อยู่ในชุดแรกและชุดที่สอง ดังนั้นจุดตัดของเซตจึงไม่มากกว่าชุดที่มา

มันจึงชัดเจนขึ้น? เป็นสิ่งที่ดี. ไปปฏิบัติกันต่อครับ

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

การตัดสินใจ. เราดำเนินการตามโครงการ:

\"ซ้าย| 3x+1 \right| \gt 5-4x\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ ขวา.\]

เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของประชากรแต่ละอย่าง:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

เราทำเครื่องหมายแต่ละชุดผลลัพธ์บนเส้นจำนวน แล้วรวมเข้าด้วยกัน:
ยูเนี่ยนของเซต
เห็นได้ชัดว่าคำตอบคือ $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

คำตอบ: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

การตัดสินใจ. ดี? ไม่ มันเหมือนกันหมด เราส่งต่อจากความไม่เท่าเทียมกันที่มีโมดูลัสเป็นชุดของอสมการสองอย่าง:

\"ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

เราแก้ไขแต่ละความไม่เท่าเทียมกัน น่าเสียดายที่รากจะไม่ค่อยดีที่นั่น:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในอสมการที่สอง ยังมีเกมอีกเล็กน้อย:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้ เราต้องทำเครื่องหมายตัวเลขเหล่านี้บนสองแกน - หนึ่งแกนสำหรับอสมการแต่ละอัน อย่างไรก็ตาม คุณต้องทำเครื่องหมายจุดตามลำดับที่ถูกต้อง ยิ่งจำนวนมาก จุดจะยิ่งเลื่อนไปทางขวามากขึ้น

และที่นี่เรากำลังรอการตั้งค่า หากทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลข $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (เงื่อนไขในตัวเศษของตัวแรก เศษส่วนน้อยกว่าเงื่อนไขในตัวเศษของวินาที ดังนั้นผลรวมจึงน้อยกว่าด้วย) โดยมีตัวเลข $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ ก็จะไม่มีปัญหาเช่นกัน (จำนวนบวกที่ชัดเจนว่าเป็นลบมากกว่า) แต่สำหรับคู่สุดท้าย ทุกอย่างไม่ง่ายนัก อันไหนใหญ่กว่า: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ or $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? การจัดเรียงจุดบนเส้นจำนวนและที่จริงแล้วคำตอบจะขึ้นอยู่กับคำตอบของคำถามนี้

ลองเปรียบเทียบกัน:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(เมทริกซ์)\]

เราแยกราก ได้จำนวนไม่เป็นลบทั้งสองข้างของอสมการ เราจึงมีสิทธิ์ยกกำลังสองทั้งสองข้าง:

\[\begin(เมทริกซ์) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(เมทริกซ์)\]

ฉันคิดว่ามันไม่ใช่เกมง่ายๆ ที่ $4\sqrt(13) \gt 3$ ดังนั้น $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ ในที่สุดคะแนนบนแกนจะถูกจัดเรียงดังนี้:
กรณีรากเหง้า
ผมขอเตือนคุณว่าเรากำลังแก้เซต ดังนั้นคำตอบจะเป็นการรวมตัว ไม่ใช่จุดตัดของเซตที่แรเงา

คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

อย่างที่คุณเห็น แบบแผนของเราใช้งานได้ดีทั้งสำหรับงานธรรมดาและงานที่ยากมาก "จุดอ่อน" เพียงอย่างเดียวในแนวทางนี้คือ คุณต้องเปรียบเทียบจำนวนอตรรกยะให้ถูกต้อง (และเชื่อฉันเถอะ สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่แค่ราก) แต่จะแยกบทเรียน (และจริงจังมาก) ให้กับคำถามเปรียบเทียบ และเราก้าวต่อไป

3. ความไม่เท่าเทียมกันกับ "ก้อย" ที่ไม่เป็นลบ

ดังนั้นเราจึงได้สิ่งที่น่าสนใจที่สุด นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ:

\"ซ้าย| f\right| \gt\left| g\right|\]

โดยทั่วไป อัลกอริธึมที่เราจะพูดถึงตอนนี้เป็นจริงสำหรับโมดูลเท่านั้น มันทำงานในอสมการทั้งหมดที่มีการรับประกันนิพจน์ที่ไม่ใช่ค่าลบทางซ้ายและขวา:

จะทำอย่างไรกับงานเหล่านี้? เพียงจำไว้ว่า:

ในความไม่เท่าเทียมกันกับหางที่ไม่เป็นลบ ทั้งสองฝ่ายสามารถยกกำลังตามธรรมชาติใดๆ ก็ได้ จะไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม

ก่อนอื่นเราจะสนใจการยกกำลังสอง - มันเผาโมดูลและราก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่าสับสนกับการรูทของสแควร์:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

เกิดข้อผิดพลาดนับไม่ถ้วนเมื่อนักเรียนลืมติดตั้งโมดูล! แต่นี่เป็นเรื่องราวที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง (อย่างที่เคยเป็นมา สมการไม่ลงตัว) ดังนั้นเราจะไม่พูดถึงตอนนี้ มาแก้ปัญหาสองสามข้อกันดีกว่า:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

การตัดสินใจ. เราสังเกตเห็นสองสิ่งทันที:

นี่คือความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด แต้มบนเส้นจำนวนจะถูกชกออก

เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านนั้นไม่เป็นลบ (นี่เป็นคุณสมบัติของโมดูล: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)

ดังนั้น เราสามารถยกกำลังสองของอสมการทั้งสองข้างเพื่อกำจัดโมดูลัสและแก้ปัญหาโดยใช้วิธีช่วงเวลาปกติ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในขั้นตอนสุดท้าย ฉันโกงเล็กน้อย: ฉันเปลี่ยนลำดับของพจน์ โดยใช้ความเท่าเทียมกันของโมดูลัส (อันที่จริง ฉันคูณนิพจน์ $1-2x$ ด้วย −1)

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ขวา)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

เราแก้โดยวิธีช่วงเวลา มาเปลี่ยนจากความไม่เท่าเทียมกันเป็นสมการกัน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราทำเครื่องหมายรากที่พบบนเส้นจำนวน อีกครั้ง: ทุกประเด็นถูกแรเงาเพราะความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมนั้นไม่เข้มงวด!
การกำจัดสัญญาณโมดูล
ผมขอเตือนคุณสำหรับคนที่ดื้อรั้นเป็นพิเศษ: เรานำสัญญาณจากอสมการสุดท้าย ซึ่งเขียนไว้ก่อนที่จะไปยังสมการ และเราทาสีทับพื้นที่ที่จำเป็นในความไม่เท่าเทียมกันเดียวกัน ในกรณีของเรา นี่คือ $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$

แค่นั้นแหละ. แก้ไขปัญหา.

คำตอบ: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

การตัดสินใจ. เราทำทุกอย่างเหมือนกัน ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น - เพียงแค่ดูลำดับของการกระทำ

ลองยกกำลังสองมัน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ ขวา))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

วิธีการเว้นวรรค:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ ลูกศรขวา x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

มีเพียงหนึ่งรูทบนเส้นจำนวน:
คำตอบคือช่วงทั้งหมด
คำตอบ: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

หมายเหตุเล็กน้อยเกี่ยวกับงานสุดท้าย ตามที่นักเรียนคนหนึ่งของฉันระบุไว้อย่างถูกต้อง นิพจน์ย่อยทั้งสองในความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นไปในทางบวกอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้น สามารถละเครื่องหมายโมดูลัสได้โดยไม่เป็นอันตรายต่อสุขภาพ

แต่นี่เป็นระดับความคิดที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงและเป็นแนวทางที่แตกต่างออกไป - สามารถเรียกได้ว่าเป็นวิธีการของผลตามเงื่อนไข เกี่ยวกับเขา - ในบทเรียนแยกต่างหาก และตอนนี้ มาต่อกันที่ส่วนสุดท้ายของบทเรียนวันนี้ และพิจารณาอัลกอริธึมสากลที่ได้ผลเสมอ แม้ว่าวิธีการก่อนหน้านี้ทั้งหมดจะไร้อำนาจ :)

4. วิธีการแจงนับตัวเลือก

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเทคนิคทั้งหมดเหล่านี้ใช้ไม่ได้ผล หากความไม่เท่าเทียมกันไม่ลดลงเป็นหางที่ไม่เป็นลบ หากไม่สามารถแยกโมดูลได้ หากความเจ็บปวด-ความโศกเศร้า-โหยหา

จากนั้น "ปืนใหญ่" ของคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็เข้ามาในที่เกิดเหตุ - วิธีการแจงนับ สำหรับความไม่เท่าเทียมกันของโมดูลัส จะมีลักษณะดังนี้:

เขียนนิพจน์โมดูลย่อยทั้งหมดและจัดให้เท่ากับศูนย์
แก้สมการผลลัพธ์และทำเครื่องหมายรากที่พบบนเส้นจำนวนหนึ่ง
เส้นตรงจะถูกแบ่งออกเป็นหลายส่วน โดยแต่ละโมดูลจะมีเครื่องหมายตายตัวและขยายออกอย่างชัดเจน
แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันในแต่ละส่วน (คุณสามารถแยกการพิจารณารากของขอบเขตที่ได้รับในวรรค 2 - เพื่อความน่าเชื่อถือ) รวมผลลัพธ์ - นี่จะเป็นคำตอบ :)

ยังไงดี? อ่อนแอ? อย่างง่ายดาย! เป็นเวลานานเท่านั้น มาดูกันในทางปฏิบัติ:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\"ซ้าย| x+2 \right| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

การตัดสินใจ. อึนี้ไม่ได้ต้มถึงความไม่เท่าเทียมกันเช่น $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ หรือ $\left| f\right| \lt\left| g \right|$ งั้นไปกันเลย

เราเขียนนิพจน์ submodule ให้เท่ากับศูนย์และค้นหาราก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+2=0\ลูกศรขวา x=-2; \\ & x-1=0\ลูกศรขวา x=1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

โดยรวมแล้ว เรามีรากที่สองที่แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามส่วน ซึ่งในแต่ละโมดูลจะถูกเปิดเผยอย่างไม่ซ้ำกัน:
การแบ่งเส้นจำนวนด้วยศูนย์ของฟังก์ชัน submodular
ลองพิจารณาแต่ละส่วนแยกกัน

1. ให้ $x \lt -2$ จากนั้นนิพจน์โมดูลย่อยทั้งสองจะเป็นค่าลบ และอสมการดั้งเดิมจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เรามีข้อจำกัดที่ค่อนข้างง่าย ลองตัดกับสมมติฐานเดิมว่า $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

แน่นอน ตัวแปร $x$ พร้อมกันต้องไม่ต่ำกว่า −2 แต่มากกว่า 1.5 พร้อมกัน ไม่มีวิธีแก้ปัญหาในพื้นที่นี้

1.1. แยกกันพิจารณากรณีขอบเขต: $x=-2$ ลองแทนตัวเลขนี้ลงในอสมการเดิมแล้วตรวจดูว่ามีไหม

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เห็นได้ชัดว่าห่วงโซ่ของการคำนวณได้นำเราไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันที่ผิด ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจึงเป็นเท็จด้วย และ $x=-2$ ไม่รวมอยู่ในคำตอบ

2. ตอนนี้ให้ $-2 \lt x \lt 1$ โมดูลด้านซ้ายจะเปิดขึ้นด้วย "บวก" แต่โมดูลด้านขวายังคงมี "ลบ" เรามี:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราตัดกับข้อกำหนดเดิมอีกครั้ง:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

และอีกครั้ง ชุดคำตอบว่าง เนื่องจากไม่มีตัวเลขใดที่ทั้งน้อยกว่า −2.5 และมากกว่า −2

2.1. และกรณีพิเศษอีกครั้ง: $x=1$. เราแทนที่ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\right| \lt\left| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในทำนองเดียวกันกับ "กรณีพิเศษ" ก่อนหน้านี้ หมายเลข $x=1$ จะไม่รวมอยู่ในคำตอบอย่างชัดเจน

3. ชิ้นสุดท้ายของบรรทัด: $x \gt 1$ ที่นี่โมดูลทั้งหมดถูกขยายด้วยเครื่องหมายบวก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(จัดตำแหน่ง)\ ]

และอีกครั้งเราตัดชุดที่พบด้วยข้อจำกัดเดิม:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \ขวา)\]

ในที่สุด! เราพบช่วงเวลาซึ่งจะเป็นคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

สุดท้าย บันทึกหนึ่งที่อาจช่วยคุณจากความผิดพลาดที่โง่เขลาเมื่อแก้ปัญหาจริง:

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลมักจะเป็นชุดต่อเนื่องบนเส้นจำนวน - ช่วงเวลาและส่วน จุดแยกนั้นหายากกว่ามาก และยิ่งไม่ค่อยเกิดขึ้นที่ขอบเขตของโซลูชัน (จุดสิ้นสุดของส่วน) ตรงกับขอบเขตของช่วงที่พิจารณา

ดังนั้น หากขอบเขต ("กรณีพิเศษ" เหล่านั้นไม่รวมอยู่ในคำตอบ พื้นที่ทางซ้าย-ขวาของขอบเขตเหล่านี้แทบจะไม่รวมอยู่ในคำตอบด้วย และในทางกลับกัน: ชายแดนเข้ามาตอบสนอง ซึ่งหมายความว่าบางพื้นที่โดยรอบก็จะตอบสนองด้วย

โปรดระลึกไว้เสมอว่าเมื่อคุณตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาของคุณ

หลังจากได้รับข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของตัวแปรแล้ว เราจะกลับมาที่คำถามของวิธีแก้ปัญหา มาวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นด้วยตัวแปรเดียวและวิธีการทั้งหมดสำหรับการแก้ปัญหาด้วยอัลกอริทึมและตัวอย่าง จะพิจารณาเฉพาะสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียวเท่านั้น

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นคืออะไร?

ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดสมการเชิงเส้นและค้นหารูปแบบมาตรฐานและความแตกต่างจากสมการอื่น จากหลักสูตรของโรงเรียน เราพบว่าความไม่เท่าเทียมกันไม่มีความแตกต่างพื้นฐาน จึงต้องมีการใช้คำจำกัดความหลายคำ

คำจำกัดความ 1

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นกับตัวแปรเดียว x คืออสมการของรูปแบบ a x + b > 0 เมื่อใช้เครื่องหมายอสมการใดๆ แทน >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

คำจำกัดความ 2

อสมการ a x< c или a · x >c โดยที่ x เป็นตัวแปรและ a และ c บางตัวเลขเรียกว่า ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นกับตัวแปรเดียว.

เนื่องจากไม่มีการบอกว่าสัมประสิทธิ์สามารถเท่ากับ 0 ได้หรือไม่ ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดของรูปแบบ 0 x > c และ 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

ความแตกต่างของพวกเขาคือ:

สัญกรณ์ a · x + b > 0 ในครั้งแรก และ a · x > c – ในวินาที
การยอมรับของสัมประสิทธิ์ศูนย์ a , a ≠ 0 - ในครั้งแรกและ a = 0 - ในวินาที

เป็นที่เชื่อกันว่าอสมการ a x + b > 0 และ a x > c นั้นเท่ากัน เพราะได้มาจากการถ่ายโอนเทอมจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง การแก้ความไม่เท่าเทียมกัน 0 · x + 5 > 0 จะทำให้ต้องแก้ไข และกรณี a = 0 จะไม่ทำงาน

คำจำกัดความ 3

ถือว่าอสมการเชิงเส้นในตัวแปรเดียว x เป็นอสมการของรูปแบบ ก x + ข< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0และ ก x + ข ≥ 0โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง แทนที่จะเป็น x สามารถมีเลขธรรมดาได้

ตามกฎ เรามีว่า 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 เรียกว่าเส้นตรง

วิธีแก้อสมการเชิงเส้น

วิธีหลักในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคือการใช้การแปลงที่เท่ากันเพื่อหาความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้น x< p (≤ , >, ≥) , p เป็นตัวเลขบางตัวสำหรับ a ≠ 0 และอยู่ในรูปแบบ a< p (≤ , >, ≥) สำหรับ a = 0

ในการแก้อสมการด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถใช้วิธีช่วงเวลาหรือแสดงเป็นภาพกราฟิกได้ สามารถใช้แยกได้

ใช้การแปลงที่เทียบเท่า

เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของรูปแบบ a x + b< 0 (≤ , >, ≥) จำเป็นต้องใช้การแปลงที่เทียบเท่าของอสมการ สัมประสิทธิ์อาจเป็นศูนย์หรือไม่ก็ได้ ลองพิจารณาทั้งสองกรณี เพื่อชี้แจง จำเป็นต้องปฏิบัติตามโครงร่างที่ประกอบด้วย 3 จุด: แก่นแท้ของกระบวนการ อัลกอริธึม โซลูชันเอง

คำจำกัดความ 4

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น ก x + ข< 0 (≤ , >, ≥) สำหรับ ≠ 0

เลข b จะถูกโอนไปทางด้านขวาของอสมการที่มีเครื่องหมายตรงข้าม ซึ่งจะทำให้เราได้ค่า a x เท่ากับ< − b (≤ , > , ≥) ;
อสมการทั้งสองส่วนจะถูกหารด้วยจำนวนที่ไม่เท่ากับ 0 ยิ่งกว่านั้น เมื่อ a เป็นบวก เครื่องหมายยังคงอยู่ เมื่อ a เป็นลบ มันจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม

พิจารณาการประยุกต์ใช้อัลกอริธึมนี้ในการแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

แก้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 3 · x + 12 ≤ 0 .

การตัดสินใจ

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นนี้มี a = 3 และ b = 12 ดังนั้นสัมประสิทธิ์ a ของ x ไม่เท่ากับศูนย์ ลองใช้อัลกอริธึมข้างต้นและแก้ปัญหากัน

จำเป็นต้องย้ายเทอม 12 ไปยังส่วนอื่นของความไม่เท่าเทียมกันโดยเปลี่ยนเครื่องหมายไว้ข้างหน้า จากนั้นเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 3 · x ≤ − 12 . จำเป็นต้องหารทั้งสองส่วนด้วย 3 เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนเพราะ 3 เป็นจำนวนบวก เราได้รับ (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ x ≤ − 4 .

ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ x ≤ − 4 มีค่าเท่ากัน นั่นคือคำตอบของ 3 x + 12 ≤ 0 คือจำนวนจริงใดๆ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 คำตอบเขียนเป็นอสมการ x ≤ − 4 หรือช่วงตัวเลขของรูปแบบ (− ∞ , − 4 ] .

อัลกอริธึมทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นเขียนดังนี้:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

ตอบ: x ≤ − 4 หรือ (− ∞ , − 4 ] .

ตัวอย่าง 2

ระบุคำตอบของอสมการที่มีอยู่ทั้งหมด − 2 , 7 · z > 0

การตัดสินใจ

จากเงื่อนไข เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ a ที่ z เท่ากับ - 2, 7 และ b ไม่มีค่าหรือเท่ากับศูนย์อย่างชัดเจน คุณไม่สามารถใช้ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมได้ แต่ไปที่ขั้นตอนที่สองทันที

เราหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยจำนวน - 2, 7 เนื่องจากตัวเลขเป็นค่าลบ จึงจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเป็นตรงกันข้าม นั่นคือเราได้รับสิ่งนั้น (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

เราเขียนอัลกอริทึมทั้งหมดในรูปแบบสั้น:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

ตอบ: z< 0 или (− ∞ , 0) .

ตัวอย่างที่ 3

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

การตัดสินใจ

ตามเงื่อนไข เราจะเห็นว่าจำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยสัมประสิทธิ์ a สำหรับตัวแปร x ซึ่งเท่ากับ - 5 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ b ซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วน - 15 22 . จำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันตามอัลกอริธึม นั่นคือ ถ่ายโอน - 15 22 ไปยังอีกส่วนหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงข้าม หารทั้งสองส่วนด้วย - 5 เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

ที่การเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้าย สำหรับด้านขวา กฎสำหรับการหารตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันจะใช้ 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5 หลังจากนั้นเราหารเศษส่วนธรรมดาด้วยจำนวนธรรมชาติ - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

ตอบ: x ≥ - 3 22 และ [ - 3 22 + ∞) .

พิจารณากรณีที่ a = 0 นิพจน์เชิงเส้นของรูปแบบ a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน สำหรับค่า x ใดๆ เราจะได้ค่าความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

เราพิจารณาการตัดสินทั้งหมดในรูปแบบของอัลกอริทึมสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

คำจำกัดความ 5

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขของรูปแบบ b< 0 (≤ , >, ≥) เป็นจริง จากนั้นอสมการเดิมจะมีคำตอบสำหรับค่าใดๆ และเป็นเท็จเมื่ออสมการดั้งเดิมไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 4

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 0 · x + 7 > 0

การตัดสินใจ

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นนี้ 0 · x + 7 > 0 สามารถใช้ค่าใดก็ได้ x จากนั้นเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 7 > 0 . อสมการสุดท้ายถือเป็นจริง ดังนั้นจำนวนใดๆ ก็สามารถเป็นคำตอบได้

ตอบ: ช่วงเวลา (− ∞ , + ∞) .

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 0 · x − 12 , 7 ≥ 0

การตัดสินใจ

แทนที่ตัวแปร x สำหรับจำนวนใด ๆ เราพบว่าอสมการจะอยู่ในรูปแบบ − 12 , 7 ≥ 0 มันไม่ถูกต้อง นั่นคือ 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 ไม่มีคำตอบ

ตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

พิจารณาคำตอบของอสมการเชิงเส้น โดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดความไม่เท่าเทียมกันที่แก้ไม่ได้ตั้งแต่ 0 · x + 0 > 0 และ 0 · x + 0 ≥ 0

การตัดสินใจ

เมื่อแทนที่ตัวเลขใดๆ แทน x เราได้รับอสมการสองรูปแบบ 0 > 0 และ 0 ≥ 0 อันแรกไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่า 0 x + 0 > 0 ไม่มีคำตอบ และ 0 x + 0 ≥ 0 มีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์ นั่นคือ ตัวเลขใดๆ

ตอบ: อสมการ 0 x + 0 > 0 ไม่มีคำตอบ และ 0 x + 0 ≥ 0 มีคำตอบ

วิธีนี้ได้รับการพิจารณาในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน วิธีการแบบช่วงเวลาสามารถแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทต่างๆ รวมถึงความไม่เท่าเทียมกันได้

วิธีช่วงเวลาใช้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นเมื่อค่าของสัมประสิทธิ์ x ไม่เท่ากับ 0 มิฉะนั้น คุณจะต้องคำนวณด้วยวิธีอื่น

คำจำกัดความ 6

วิธีการเว้นวรรคคือ:

แนะนำฟังก์ชัน y = a x + b ;
ค้นหาศูนย์เพื่อแบ่งโดเมนของคำจำกัดความเป็นระยะ
การกำหนดสัญญาณสำหรับแนวคิดของพวกเขาเป็นระยะ

มาประกอบอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น a x + b . กัน< 0 (≤ , >, ≥) สำหรับ ≠ 0 โดยใช้วิธีช่วงเวลา:

การหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน y = a · x + b เพื่อแก้สมการของรูปแบบ a · x + b = 0 ถ้า ≠ 0 คำตอบจะเป็นรูทเดียวที่จะใช้การกำหนด x 0;
การสร้างเส้นพิกัดพร้อมรูปภาพของจุดที่มีพิกัด x 0 ที่มีความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด จุดนั้นจะถูกแทนด้วยการเจาะออก ด้วยความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด มันถูกแรเงา
การกำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน y = a x + b ในช่วงเวลานั้นจำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดบนช่วงเวลา
การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย > หรือ ≥ บนเส้นพิกัด การฟักไข่จะถูกเพิ่มเหนือช่องว่างบวก< или ≤ над отрицательным промежутком.

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้อสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีช่วงเวลา

ตัวอย่างที่ 6

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน − 3 · x + 12 > 0 .

การตัดสินใจ

จากอัลกอริธึมที่คุณต้องค้นหารากของสมการก่อน − 3 · x + 12 = 0 . เราได้สิ่งนั้น − 3 · x = − 12 , x = 4 . จำเป็นต้องพรรณนาเส้นพิกัดที่เราทำเครื่องหมายจุดที่ 4 มันจะถูกเจาะเพราะความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด พิจารณาภาพวาดด้านล่าง

มีความจำเป็นต้องกำหนดสัญญาณเป็นระยะ เพื่อตรวจสอบมันในช่วงเวลา (− ∞ , 4) จำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชัน y = − 3 · x + 12 สำหรับ x = 3 . จากที่นี่เราจะได้ว่า − 3 3 + 12 = 3 > 0 . เครื่องหมายบนช่วงเวลาเป็นค่าบวก

เรากำหนดเครื่องหมายจากช่วงเวลา (4, + ∞) จากนั้นเราแทนที่ค่า x \u003d 5 เรามี − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

เราแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย > และฟักเสร็จแล้วเหนือช่องว่างที่เป็นบวก พิจารณาภาพวาดด้านล่าง

จากรูปวาดจะเห็นได้ว่าสารละลายที่ต้องการมีรูปแบบ (− ∞ , 4) หรือ x< 4 .

ตอบ: (− ∞ , 4) หรือ x< 4 .

เพื่อให้เข้าใจวิธีการแสดงแบบกราฟิก จำเป็นต้องพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น 4 รายการเป็นตัวอย่าง: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 และ 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . คำตอบของพวกเขาจะเป็น x< 2 , x ≤ 2 , x >2 และ x ≥ 2 . เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้วาดกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y = 0 , 5 · x − 1 ด้านล่าง

เป็นที่ชัดเจนว่า

คำจำกัดความ 7

คำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
คำตอบ 0 , 5 x − 1 ≤ 0 คือช่วงที่ฟังก์ชัน y = 0 , 5 x − 1 ต่ำกว่า 0 x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน
สารละลาย 0 , 5 x − 1 > 0 ถือเป็นช่วง โดยที่ฟังก์ชันอยู่เหนือ O x;
สารละลาย 0 , 5 x − 1 ≥ 0 คือช่วงเวลาที่กราฟสูงกว่า O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

ความหมายของการแก้ปัญหาเชิงกราฟิกของความไม่เท่าเทียมกันคือการหาช่องว่าง ซึ่งต้องแสดงบนกราฟ ในกรณีนี้ เราพบว่าด้านซ้ายมี y \u003d a x + b และด้านขวามี y \u003d 0 และตรงกับ About x

คำจำกัดความ 8

ดำเนินการพล็อตของฟังก์ชัน y = a x + b:

ขณะแก้อสมการ a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
ในขณะที่แก้ความไม่เท่าเทียมกัน a x + b ≤ 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟจะแสดงด้านล่างแกน O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน
ในขณะที่แก้ความไม่เท่าเทียมกัน a x + b > 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟจะแสดงเหนือ O x;
ในขณะที่แก้ความไม่เท่าเทียมกัน a x + b ≥ 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟอยู่เหนือ O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

ตัวอย่าง 7

แก้สมการ - 5 · x - 3 > 0 โดยใช้กราฟ

การตัดสินใจ

จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น - 5 · x - 3 > 0 . เส้นนี้ลดลงเนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x เป็นลบ เพื่อกำหนดพิกัดของจุดตัดกับ O x - 5 · x - 3 > 0 เราจะได้ค่า - 3 5 . มาวาดกราฟกัน

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย > จากนั้นคุณต้องใส่ใจกับช่วงเวลาที่อยู่เหนือ O x เราเน้นส่วนที่จำเป็นของเครื่องบินด้วยสีแดงและรับสิ่งนั้น

ช่องว่างที่ต้องการคือส่วน O x ของสีแดง ดังนั้นจำนวนเปิด เรย์ - ∞ , - 3 5 จะเป็นคำตอบของอสมการ หากโดยเงื่อนไขแล้ว พวกมันมีความไม่เท่าเทียมกันอย่างไม่เข้มงวด ค่าของจุด - 3 5 จะเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วย และจะตรงกับ O x

ตอบ: - ∞ , - 3 5 หรือ x< - 3 5 .

โซลูชันแบบกราฟิกจะใช้เมื่อด้านซ้ายจะสอดคล้องกับฟังก์ชัน y = 0 x + b นั่นคือ y = b จากนั้นเส้นจะขนานกับ O x หรือประจวบกันที่ b \u003d 0 กรณีเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันอาจไม่มีคำตอบ หรือตัวเลขใดๆ ก็สามารถเป็นคำตอบได้

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดจากความไม่เท่าเทียมกัน 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

การตัดสินใจ

การแทนค่า y = 0 x + 7 คือ y = 7 จากนั้นให้ระนาบพิกัดที่มีเส้นตรงขนานกับ O x และสูงกว่า O x ดังนั้น 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

กราฟของฟังก์ชัน y \u003d 0 x + 0 ถือเป็น y \u003d 0 นั่นคือเส้นตรงกับ O x ดังนั้น อสมการ 0 · x + 0 ≥ 0 จึงมีคำตอบมากมาย

ตอบ: อสมการที่สองมีคำตอบสำหรับค่าใด ๆ ของ x

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น

การแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันสามารถลดลงเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้น ซึ่งเรียกว่า ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น

ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ได้รับการพิจารณาในหลักสูตรของโรงเรียน เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งนำไปสู่การเปิดวงเล็บและการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาว่า 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x

ความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุข้างต้นจะถูกลดรูปให้อยู่ในรูปของสมการเชิงเส้นเสมอ หลังจากนั้นวงเล็บจะเปิดขึ้นและให้คำที่คล้ายกันโอนจากส่วนต่าง ๆ เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม

เมื่อลดความไม่เท่าเทียมกัน 5 − 2 x > 0 ให้เป็นเส้นตรง เราแสดงมันในลักษณะที่มีรูปแบบ − 2 x + 5 > 0 และเพื่อลดวินาทีที่เราได้รับ 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . จำเป็นต้องเปิดวงเล็บ นำพจน์ที่เหมือนกัน ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้าย และนำพจน์ที่เหมือนกัน ดูเหมือนว่านี้:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

สิ่งนี้นำมาซึ่งการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น

ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ถือเป็นเส้นตรง เนื่องจากมีหลักการแก้ปัญหาเดียวกัน หลังจากนั้นจึงสามารถลดความไม่เท่าเทียมกันเป็นพื้นฐานได้

ในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้ จำเป็นต้องลดให้เป็นเส้นตรง ควรทำดังนี้:

คำจำกัดความ 9

วงเล็บเปิด;
รวบรวมตัวแปรทางด้านซ้ายและตัวเลขทางด้านขวา
นำเงื่อนไขเช่น;
หารทั้งสองส่วนด้วยสัมประสิทธิ์ของ x

ตัวอย่างที่ 9

แก้สมการ 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

การตัดสินใจ

เราขยายวงเล็บ จากนั้นเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . หลังจากลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เรามี 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . หลังจากย้ายเงื่อนไขจากซ้ายไปขวา เราจะได้ 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . ดังนั้นจึงมีความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 32 ≤ 0 จากผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณ 0 · x + 32 ≤ 0 . จะเห็นได้ว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดโดยเงื่อนไขนั้นไม่มีคำตอบ

ตอบ: ไม่มีวิธีแก้ไข

เป็นที่น่าสังเกตว่ามีความไม่เท่าเทียมกันอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งสามารถลดลงเป็นเส้นตรงหรือความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่แสดงด้านบน ตัวอย่างเช่น 5 2 x − 1 ≥ 1 เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ลดลงเป็นสารละลายเชิงเส้น 2 · x − 1 ≥ 0 กรณีเหล่านี้จะได้รับการพิจารณาเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter