Grader betyder en spetsig triangel. Typer av trianglar: rätvinkliga, spetsvinklade, trubbvinklade

Som regel anses två trianglar vara lika om de har samma form, även om de är olika stora, roterade eller till och med upp och ner.

Den matematiska representationen av två liknande trianglar A 1 B 1 C 1 och A 2 B 2 C 2 som visas i figuren skrivs enligt följande:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Två trianglar är lika om:

1. Varje vinkel i en triangel är lika med motsvarande vinkel i en annan triangel:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 och ∠C1 = ∠C2

2. Förhållandena mellan sidorna i en triangel och motsvarande sidor i en annan triangel är lika med varandra:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relationer två sidor av en triangel till motsvarande sidor av en annan triangel är lika med varandra och samtidigt
vinklarna mellan dessa sidor är lika:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ och $\angle A_1 = \angle A_2$
eller
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ och $\vinkel B_1 = \vinkel B_2$
eller
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ och $\vinkel C_1 = \vinkel C_2$

Liknande trianglar ska inte förväxlas med lika trianglar. Kongruenta trianglar har motsvarande sidolängder. Så för lika trianglar:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Av detta följer att alla lika trianglar är lika. Men alla liknande trianglar är inte lika.

Även om notationen ovan visar att för att ta reda på om två trianglar är lika eller inte, måste vi känna till värdena för de tre vinklarna eller längden på de tre sidorna av varje triangel, för att lösa problem med liknande trianglar, räcker för att känna till vilka tre värden som helst från ovan för varje triangel. Dessa värden kan vara i olika kombinationer:

1) tre vinklar av varje triangel (längden på trianglarnas sidor behöver inte vara kända).

Eller så måste minst 2 vinklar i en triangel vara lika med 2 vinklar i en annan triangel.
Eftersom om 2 vinklar är lika, så kommer den tredje vinkeln också att vara lika. (Värdet på den tredje vinkeln är 180 - vinkel1 - vinkel2)

2) längderna på sidorna av varje triangel (du behöver inte känna till vinklarna);

3) längden på de två sidorna och vinkeln mellan dem.

Därefter överväger vi lösningen av några problem med liknande trianglar. Först kommer vi att titta på problem som kan lösas genom att använda ovanstående regler direkt, och sedan kommer vi att diskutera några praktiska problem som kan lösas med hjälp av liknande trianglar-metoden.

Praktiska problem med liknande trianglar

Exempel #1: Visa att de två trianglarna i figuren nedan är lika.

Beslut:
Eftersom längden på sidorna av båda trianglarna är kända, kan den andra regeln tillämpas här:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exempel #2: Visa att två givna trianglar är lika och hitta längderna på sidorna PQ och PR.

Beslut:
∠A = ∠P och ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(eftersom ∠C = 180 - ∠A - ∠B och ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Av detta följer att trianglarna ∆ABC och ∆PQR är lika. Därav:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ och
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exempel #3: Bestäm längden AB i denna triangel.

Beslut:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED och ∠A vanlig => trianglar ΔABC och ΔADEär lika.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Högerpil 2\ gånger AB = AB + 4 \Högerpil AB = 4$

Exempel #4: Bestäm längden AD(x) geometrisk figur i figuren.

Trianglar ∆ABC och ∆CDE är lika eftersom AB || DE och de har en gemensam övre hörnet C.
Vi ser att den ena triangeln är en skalenlig version av den andra. Men vi måste bevisa det matematiskt.

AB || DE, CD || AC och BC || EU
∠BAC = ∠EDC och ∠ABC = ∠DEC

Baserat på det föregående och med hänsyn till närvaron av en gemensam vinkel C, kan vi konstatera att trianglarna ∆ABC och ∆CDE är lika.

Därav:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktiska exempel

Exempel #5: Fabriken använder ett lutande transportband för att transportera produkter från nivå 1 till nivå 2, vilket är 3 meter över nivå 1, som visas i figuren. Den lutande transportören servas från ena änden till nivå 1 och från den andra änden till en arbetsstation belägen på ett avstånd av 8 meter från nivå 1 driftpunkt.

Fabriken vill uppgradera transportören för att komma åt den nya nivån, som ligger 9 meter över nivå 1, samtidigt som transportörens vinkel bibehålls.

Bestäm på vilket avstånd du behöver sätta upp en ny arbetsstation för att säkerställa att transportören fungerar i sin nya ände på nivå 2. Beräkna även det ytterligare avstånd som produkten kommer att färdas när den flyttas till en ny nivå.

Beslut:

Låt oss först märka varje skärningspunkt med en specifik bokstav, som visas i figuren.

Baserat på resonemanget ovan i de tidigare exemplen kan vi dra slutsatsen att trianglarna ∆ABC och ∆ADE är lika. Därav,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3) ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Den nya punkten ska alltså installeras på ett avstånd av 16 meter från den befintliga punkten.

Och eftersom strukturen är uppbyggd av räta trianglar kan vi beräkna produktens resavstånd enligt följande:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

På liknande sätt, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
vilket är avståndet som produkten färdas i det här ögonblicket när du går in på den befintliga nivån.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Detta är den extra sträcka som en produkt måste resa för att nå en ny nivå.

Exempel #6: Steve vill besöka sin vän som nyligen flyttade till nytt hus. Vägkartan för att komma till Steve och hans väns hus, tillsammans med de avstånd som Steve känner till, visas i figuren. Hjälp Steve komma till sin väns hus på kortaste sätt.

Beslut:

Färdkartan kan representeras geometriskt i följande form, som visas i figuren.

Vi ser att trianglarna ∆ABC och ∆CDE är lika, därför:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

I uppgiftsförklaringen står det att:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km och DE = 5 km

Med hjälp av denna information kan vi beräkna följande avstånd:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve kan ta sig till sin väns hus på följande vägar:

A -> B -> C -> E -> G, den totala sträckan är 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, den totala sträckan är 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, den totala sträckan är 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, den totala sträckan är 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Därför är väg #3 den kortaste och kan erbjudas till Steve.

Exempel 7:
Trisha vill mäta höjden på huset, men det har hon inte rätt verktyg. Hon märkte att ett träd växte framför huset och bestämde sig för att använda sin fyndighet och kunskap om geometri som man fick i skolan för att bestämma höjden på byggnaden. Hon mätte avståndet från trädet till huset, resultatet blev 30 m. Sedan ställde hon sig framför trädet och började backa tills byggnadens överkant syntes ovanför trädets topp. Trisha markerade platsen och mätte avståndet från den till trädet. Detta avstånd var 5 m.

Trädets höjd är 2,8 m och höjden på Trishas ögon är 1,6 m. Hjälp Trisha att bestämma höjden på byggnaden.

Beslut:

Den geometriska representationen av problemet visas i figuren.

Först använder vi likheten mellan trianglar ∆ABC och ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Högerpil 2.8 \times AC = 1.6 \times (5) + AC) = 8 + 1,6 \ gånger AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

Vi kan då använda likheten mellan trianglar ∆ACB och ∆AFG eller ∆ADE och ∆AFG. Låt oss välja det första alternativet.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Högerpil H = \frac(1.6) )(0,16) = 10 m$

Två trianglar sägs vara kongruenta om de kan överlappas. Figur 1 visar lika trianglar ABC och A 1 B 1 C 1. Var och en av dessa trianglar kan läggas över en annan så att de är helt kompatibla, det vill säga deras hörn och sidor är ihopparade. Det är klart att i detta fall kommer vinklarna för dessa trianglar att kombineras i par.

Således, om två trianglar är lika, då är elementen (dvs sidor och vinklar) i en triangel lika med elementen i den andra triangeln. Anteckna det i lika trianglar mot respektive lika sidor(d.v.s. överlappande när det överlagras) ligga lika med vinklar och tillbaka: mitt emot motsvarande lika vinklar ligger lika sidor.

Så, till exempel, i lika trianglar ABC och A 1 B 1 C 1, som visas i figur 1, ligger lika vinklar C och C 1 mot respektive lika sidor AB och A 1 B 1. Likheten mellan trianglarna ABC och A 1 B 1 C 1 kommer att betecknas enligt följande: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Det visar sig att likheten mellan två trianglar kan fastställas genom att jämföra några av deras element.

Sats 1. Det första tecknet på trianglars likhet. Om två sidor och vinkeln mellan dem i en triangel är lika med två sidor och vinkeln mellan dem i en annan triangel, så är sådana trianglar lika (fig. 2).

Bevis. Tänk på trianglarna ABC och A 1 B 1 C 1, där AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (se fig. 2). Låt oss bevisa att Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Eftersom ∠ A \u003d ∠ A 1 kan triangeln ABC läggas över triangeln A 1 B 1 C 1 så att vertex A är i linje med vertex A 1, och sidorna AB och AC överlappar varandra på strålarna A 1 B 1 och A 1 C en . Eftersom AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, kommer sidan AB att kombineras med sidan A 1 B 1 och sidan AC - med sidan A 1 C 1; i synnerhet kommer punkterna B och Bi, C och C1 att sammanfalla. Därför kommer sidorna BC och B 1 C 1 att vara i linje. Så trianglarna ABC och A 1 B 1 C 1 är helt kompatibla, vilket betyder att de är lika.

Sats 2 bevisas på liknande sätt med superpositionsmetoden.

Sats 2. Det andra tecknet på trianglarnas likhet. Om sidan och två vinklar intill den i en triangel är lika med sidan respektive två vinklar intill den i en annan triangel, så är sådana trianglar lika (fig. 34).

Kommentar. Baserat på sats 2 fastställs sats 3.

Sats 3. Summan av två inre vinklar i en triangel är mindre än 180°.

Sats 4 följer av den sista satsen.

Sats 4. En triangels yttre vinkel är större än någon annan inre hörnet, inte intill den.

Sats 5. Det tredje tecknet på trianglarnas likhet. Om tre sidor i en triangel är lika med tre sidor i en annan triangel, är sådana trianglar lika ().

Exempel 1 I trianglarna ABC och DEF (Fig. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Jämför trianglar ABC och DEF. Vilken vinkel i triangeln DEF är lika med vinkel B?

Beslut. Dessa trianglar är lika i det första tecknet. Vinkel F för triangeln DEF är lika med vinkeln B för triangeln ABC, eftersom dessa vinklar ligger mitt emot motsvarande lika sidor DE och AC.

Exempel 2 Segment AB och CD (Fig. 5) skär varandra i punkt O, som är mittpunkten för var och en av dem. Vad är segment BD lika med om segment AC är 6 m?

Beslut. Trianglar AOC och BOD är lika (med det första kriteriet): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikal), AO = OB, CO = OD (efter villkor).
Av dessa trianglars likhet följer likheten mellan deras sidor, dvs AC = BD. Men eftersom, enligt villkoret, AC = 6 m, så är BD = 6 m.

Standardnotation

Triangel med hörn A, B och C betecknas som (se fig.). Triangeln har tre sidor:

Längden på sidorna i en triangel anges med gemener med latinska bokstäver(a,b,c):

Triangeln har följande vinklar:

Värdena på vinklarna vid motsvarande hörn betecknas traditionellt grekiska bokstäver (α, β, γ).

Tecken på likhet av trianglar

En triangel på det euklidiska planet kan definieras unikt (upp till kongruens) av följande tripletter av grundläggande element:

1. a, b, γ (likhet på två sidor och vinkeln mellan dem);
2. a, β, γ (likhet i sida och två intilliggande vinklar);
3. a, b, c (likhet på tre sidor).

Tecken på likhet i räta trianglar:

1. längs benet och hypotenusan;
2. på två ben;
3. längs benet och spetsig vinkel;
4. hypotenusa och spetsig vinkel.

Vissa punkter i triangeln är "parade". Till exempel finns det två punkter från vilka alla sidor är synliga antingen i en vinkel på 60° eller i en vinkel på 120°. De kallas prickar Torricelli. Det finns också två punkter vars projektioner på sidorna ligger vid hörnen av en regelbunden triangel. Detta är - Apollonius punkter. Poäng och sådant som kallas Brocard poäng.

Direkt

I vilken triangel som helst ligger tyngdpunkten, ortocentrum och mitten av den omskrivna cirkeln på samma räta linje, kallad Euler linje.

Linjen som går genom mitten av den omskrivna cirkeln och Lemoine-punkten kallas Brokars axel. Apollonius-punkter ligger på den. Torricelli-punkterna och Lemoine-punkten ligger också på samma räta linje. Baserna för de yttre halvledarna för vinklarna i en triangel ligger på samma räta linje, kallad externa bisektors axel. Skärningspunkterna för linjerna som innehåller ortotriangelns sidor och linjerna som innehåller triangelns sidor ligger också på samma linje. Denna linje kallas ortocentrisk axel, den är vinkelrät mot Eulerlinjen.

Om vi ​​tar en punkt på den omskrivna cirkeln av en triangel, kommer dess projektioner på triangelns sidor att ligga på en rät linje, som kallas Simsons raka linje given poäng. Simsons linjer med diametralt motsatta punkter är vinkelräta.

trianglar

• En triangel med hörn vid basen av cevianer dragna genom en given punkt kallas cevian triangel denna punkt.
• En triangel med hörn i projektionerna av en given punkt på sidorna kallas under skinnet eller pedaltriangel denna punkt.
• En triangel med hörn vid de andra skärningspunkterna för linjerna som dras genom hörnen och den givna punkten, med den omskrivna cirkeln, kallas cevian triangel. En cevian triangel liknar en subdermal.

cirklar

• Inskriven cirkelär en cirkel som tangerar alla tre sidorna av triangeln. Hon är den enda. Mitten av den inskrivna cirkeln kallas i centrum.
• Omskriven cirkel- en cirkel som går genom alla tre hörn i triangeln. Den omskrivna cirkeln är också unik.
• Excircle- en cirkel som tangerar ena sidan av en triangel och förlängningen av de andra två sidorna. Det finns tre sådana cirklar i en triangel. Deras radikala centrum är mitten av den inskrivna cirkeln i mediantriangeln, kallad Spiekers poäng.

Mittpunkterna på de tre sidorna av en triangel, baserna för dess tre höjder och mittpunkterna för de tre linjesegmenten som förbinder dess hörn med ortocentrum ligger på en enda cirkel som kallas cirkel med nio punkter eller Euler cirkel. Mitten av niopunktscirkeln ligger på Eulerlinjen. En cirkel med nio punkter rör vid en inskriven cirkel och tre cirklar. Kontaktpunkten mellan en inskriven cirkel och en cirkel med nio punkter kallas Feuerbach punkt. Om vi ​​från varje vertex lägger ut trianglar på raka linjer som innehåller sidor, ortoser lika långa som motsatta sidor, så ligger de resulterande sex punkterna på en cirkel - Conway cirklar. I vilken triangel som helst kan tre cirklar inskrivas på ett sådant sätt att var och en av dem berör två sidor av triangeln och två andra cirklar. Sådana cirklar kallas Malfatti cirklar. Centrum för de omskrivna cirklarna i de sex trianglar som triangeln är uppdelad i med medianer ligger på en cirkel, som kallas Lamun cirkel.

En triangel har tre cirklar som berör två sidor av triangeln och den omskrivna cirkeln. Sådana cirklar kallas halvinskrivet eller Verrier cirklar. Segmenten som förbinder Verrier-cirklarnas kontaktpunkter med den omskrivna cirkeln skär varandra vid en punkt, som kallas Verrier punkt. Den fungerar som centrum för homoteten, som tar den omskrivna cirkeln till incirkeln. Tangenspunkterna för Verrier-cirklarna med sidorna ligger på en rak linje som passerar genom mitten av den inskrivna cirkeln.

Linjesegmenten som förbinder tangentpunkterna i den inskrivna cirkeln med hörnen skär varandra i en punkt, som kallas Gergonne poäng, och segmenten som förbinder hörnen med kontaktpunkterna för cirklarna - in Nagel poäng.

Ellipser, paraboler och hyperbler

Inskriven konisk (ellips) och dess perspektiv

Ett oändligt antal koner (ellipser, paraboler eller hyperbler) kan inskrivas i en triangel. Om vi ​​skriver in en godtycklig kon i en triangel och förbinder kontaktpunkterna med motsatta hörn, kommer de resulterande linjerna att skära varandra i en punkt, kallad perspektiv koner. För varje punkt på planet som inte ligger på en sida eller på dess förlängning, finns det en inskriven kon med ett perspektiv vid den punkten.

Steiners ellips omskrevs och cevianer passerade genom dess härdar

En ellips kan skrivas in i en triangel som vidrör sidorna i mitten. En sådan ellips kallas Steiner inskriven ellips(dess perspektiv kommer att vara triangelns tyngdpunkt). Den beskrivna ellipsen, som tangerar linjer som går genom hörn parallella med sidorna, kallas omgärdad av Steinerellipsen. Om en affin transformation ("skev") översätter triangeln till en vanlig, kommer dess inskrivna och omskrivna Steiner-ellips att gå in i en inskriven och omskriven cirkel. Cevians dragna genom fokus för den beskrivna Steinerellipsen (Skutin-punkter) är lika (Skutins sats). Av alla de omskrivna ellipserna har den omskrivna Steinerellipsen minsta område, och av alla inskrivna ellipser har den Steiner inskrivna ellipsen den största arean.

Brocards ellips och dess perspektör - Lemoine-punkten

En ellips med foci vid Brokars punkter kallas Brocard ellips. Dess perspektiv är Lemoine-punkten.

Egenskaper hos en inskriven parabel

Kiepert parabel

Perspektiven för de inskrivna parabolerna ligger på den omskrivna Steinerellipsen. Fokus för en inskriven parabel ligger på den omskrivna cirkeln, och riktningen passerar genom ortocentret. En parabel inskriven i en triangel vars riktlinje är Eulerlinjen kallas Kieperts parabel. Dess perspektiv är den fjärde skärningspunkten mellan den omskrivna cirkeln och den omskrivna Steiner-ellipsen, kallad Steiner poäng.

Cyperts överdrift

Om den beskrivna hyperbeln passerar genom skärningspunkten för höjderna, är den liksidig (det vill säga dess asymptoter är vinkelräta). Skärningspunkten för asymptoterna för en liksidig hyperbel ligger på en cirkel med nio punkter.

Transformationer

Om linjerna som passerar genom hörnen och någon punkt som inte ligger på sidorna och deras förlängningar reflekteras med avseende på motsvarande bisektrar, kommer deras bilder också att skära varandra i en punkt, vilket kallas isogonalt konjugerat den ursprungliga (om punkten låg på den omskrivna cirkeln, kommer de resulterande linjerna att vara parallella). Många par av anmärkningsvärda punkter är isogonalt konjugerade: centrum av den omskrivna cirkeln och ortocentrum, tyngdpunkten och Lemoine-punkten, Brocard-punkterna. Apollonius-punkterna är isogonalt konjugerade med Torricelli-punkterna, och mitten av incirkeln är isogonalt konjugerat med sig själv. Under verkan av isogonal konjugation går raka linjer in i omskrivna koniska linjer och omskrivna koniska linjer till raka linjer. Sålunda är Kiepert-hyperbeln och Brocard-axeln, Enzhabek-hyperbolen och Euler-linjen, Feuerbach-hyperbeln och centrumlinjen för den inskrivna cirkeln isogonalt konjugerade. De omskrivna cirklarna av subdermala trianglar med isogonalt konjugerade punkter sammanfaller. Fokus för de inskrivna ellipserna är isogonalt konjugerade.

Om vi ​​istället för en symmetrisk cevian tar en cevian vars bas är så långt från mitten av sidan som basen på den ursprungliga, kommer sådana cevianer också att skära varandra vid en punkt. Den resulterande transformationen kallas isotomisk konjugation. Den kartlägger också linjer till omskrivna koner. Gergonne- och Nagel-punkterna är isotomiskt konjugerade. Under affina transformationer övergår isotomiskt konjugerade punkter till isotomiskt konjugerade. Vid isotomikonjugering går den beskrivna Steinerellipsen över i den räta linjen i oändligheten.

Om i segmenten avskurna av triangelns sidor från den omskrivna cirkeln, är cirklar inskrivna som berör sidorna vid basen av cevian dras genom en viss punkt, och sedan är kontaktpunkterna för dessa cirklar anslutna till de omskrivna cirkel med motsatta hörn, då kommer sådana linjer att skära varandra vid en punkt. Omvandlingen av planet, som matchar den ursprungliga punkten med den resulterande, kallas icirkulär transformation. Sammansättningen av de isogonala och isotomiska konjugationerna är sammansättningen av den isocirkulära transformationen med sig själv. Denna komposition är en projektiv transformation som lämnar triangelns sidor på plats och översätter axeln för de yttre halvledarna till en rät linje i oändligheten.

Om vi ​​fortsätter sidorna av den cevianska triangeln för någon punkt och tar deras skärningspunkter med motsvarande sidor, kommer de resulterande skärningspunkterna att ligga på en rät linje, som kallas trilinjär polär utgångspunkt. Ortocentrisk axel - trilinjär polär av ortocentret; den trilinjära polen i centrum av den inskrivna cirkeln är axeln för de yttre halvledarna. De trilinjära polarna av punkterna som ligger på den omskrivna koniska skärningen skär vid en punkt (för den omskrivna cirkeln är detta Lemoine-punkten, för den omskrivna Steinerellipsen är det tyngdpunkten). Sammansättningen av den isogonala (eller isotomiska) konjugationen och den trilinjära polären är en dualitetstransformation (om punkten isogonalt (isotomiskt) konjugerat till punkten ligger på punktens trilinjära polär, då är punktens trilinjära polär isogonalt (isotomiskt) konjugera till punkten ligger på punktens trilinjära polar).

Kuber

Relationer i en triangel

Notera: i detta avsnitt, , , är längderna på de tre sidorna av triangeln, och , , är vinklarna som ligger respektive mittemot dessa tre sidor (motsatta vinklar).

triangelojämlikhet

I en icke-degenererad triangel är summan av längderna av dess två sidor större än längden på den tredje sidan, i en degenererad är den lika. Med andra ord är längderna på sidorna i en triangel relaterade av följande olikheter:

Triangelolikheten är ett av metrikernas axiom.

Triangelsummans sats

Sinussats

,

där R är radien för cirkeln omskriven runt triangeln. Det följer av satsen att om a< b < c, то α < β < γ.

Cosinussatsen

Tangentsats

Andra förhållanden

Metriska förhållanden i en triangel ges för:

Lösa trianglar

Beräkningen av okända sidor och vinklar i en triangel, baserat på kända sådana, har historiskt kallats "triangellösningar". I detta fall används ovanstående allmänna trigonometriska satser.

Arean av en triangel

Specialfall Notation

Följande ojämlikheter gäller för området:

Beräkna arean av en triangel i rymden med hjälp av vektorer

Låt triangelns hörn vara vid punkterna , , .

Låt oss introducera areavektorn. Längden på denna vektor är lika med arean av triangeln, och den är riktad längs normalen till triangelns plan:

Låt , där , , är projektionerna av triangeln på koordinatplanen. Vart i

och likaså

Arean av triangeln är .

Ett alternativ är att beräkna längderna på sidorna (med hjälp av Pythagoras sats) och sedan använda Heron-formeln.

Triangelsatser

Desargues teorem: om två trianglar är perspektiv (linjerna som går genom trianglarnas motsvarande hörn skär varandra vid en punkt), så skärs deras respektive sidor på en rät linje.

Sonds sats: om två trianglar är perspektiviska och ortologa (vinkelrätter släpps från en triangels hörn till sidorna motsatta triangelns motsvarande hörn, och vice versa), då både ortologicentrum (skärningspunkterna för dessa vinkelräta) och perspektivcentrum ligga på en rät linje vinkelrät mot perspektivaxeln (rät linje från Desargues sats).

Idag åker vi till geometrins land, där vi ska bekanta oss med olika typer trianglar.

Överväga geometriska figurer och hitta bland dem "extra" (fig. 1).

Ris. 1. Illustration till exempel

Vi ser att figurerna nr 1, 2, 3, 5 är fyrkanter. Var och en av dem har sitt eget namn (Fig. 2).

Ris. 2. Fyrkanter

Det betyder att den "extra" figuren är en triangel (Fig. 3).

Ris. 3. Illustration till exempel

En triangel är en figur som består av tre punkter som inte ligger på samma räta linje, och tre segment som förbinder dessa punkter i par.

Punkterna kallas triangelhörn, segment - hans partier. Triangelns sidor bildas Det finns tre vinklar vid toppen av en triangel.

Huvuddragen i en triangel är tre sidor och tre hörn. Trianglar klassificeras efter vinkeln akut, rektangulär och trubbig.

En triangel kallas spetsvinklig om alla tre vinklarna är spetsiga, det vill säga mindre än 90° (fig. 4).

Ris. 4. Akut triangel

En triangel kallas rätvinklig om en av dess vinklar är 90° (fig. 5).

Ris. 5. Rätt triangel

En triangel kallas trubbig om en av dess vinklar är trubbig, d.v.s. större än 90° (fig. 6).

Ris. 6. Trubbig triangel

Enligt antalet lika sidor är trianglar liksidiga, likbenta, skalenliga.

En likbent triangel är en triangel där två sidor är lika (fig. 7).

Ris. 7. Likbent triangel

Dessa sidor kallas lateral, den tredje sidan - grund. I en likbent triangel är vinklarna vid basen lika.

Likbenta trianglar är akut och trubbig(Fig. 8) .

Ris. 8. Akuta och trubbiga likbenta trianglar

En liksidig triangel kallas, där alla tre sidorna är lika (fig. 9).

Ris. 9. Liksidig triangel

I en liksidig triangel alla vinklar är lika. Liksidiga trianglar alltid spetsig vinklad.

En triangel kallas mångsidig, där alla tre sidorna har olika längd (bild 10).

Ris. 10. Skalen triangel

Gör klart uppgiften. Dela in dessa trianglar i tre grupper (Fig. 11).

Ris. 11. Illustration för uppgiften

Låt oss först fördela efter storleken på vinklarna.

Akuta trianglar: nr 1, nr 3.

Rätt trianglar: #2, #6.

Trubbiga trianglar: #4, #5.

Dessa trianglar är indelade i grupper efter antalet lika sidor.

Skalentrianglar: nr 4, nr 6.

Likbenta trianglar: nr 2, nr 3, nr 5.

Liksidig triangel: nr 1.

Granska ritningarna.

Tänk på vilken bit tråd varje triangel är gjord av (fig. 12).

Ris. 12. Illustration för uppgiften

Du kan argumentera så här.

Den första tråden är uppdelad i tre lika delar, så du kan göra en liksidig triangel av den. Den visas på tredje plats i figuren.

Den andra tråden är uppdelad i tre olika delar, så att du kan göra en skalenlig triangel av den. Det visas först på bilden.

Den tredje tråden är uppdelad i tre delar, där de två delarna är lika långa, så man kan göra en likbent triangel av den. Den visas tvåa på bilden.

Idag på lektionen fick vi bekanta oss med olika typer av trianglar.

Bibliografi

1. MI. Moro, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lärobok. Betyg 3: i 2 delar, del 1. - M .: "Enlightenment", 2012.
2. MI. Moro, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lärobok. Betyg 3: i 2 delar, del 2. - M .: "Enlightenment", 2012.
3. MI. Moreau. Matematiklektioner: Riktlinjer för läraren. Klass 3 - M.: Utbildning, 2012.
4. Regleringsdokument. Uppföljning och utvärdering av läranderesultat. - M.: "Enlightenment", 2011.
5. "Rysslands skola": Program för grundskola. - M.: "Enlightenment", 2011.
6. SI. Volkov. Matematik: Verifieringsarbete. Klass 3 - M.: Utbildning, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tester. - M.: "Examen", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Läxa

1. Avsluta fraserna.

a) En triangel är en figur som består av ..., som inte ligger på samma räta linje, och ..., som förbinder dessa punkter i par.

b) Punkterna kallas … , segment - hans … . Sidorna i en triangel bildas vid toppen av en triangel ….

c) Beroende på vinkelns storlek är trianglar ..., ..., ....

d) Enligt antalet lika sidor är trianglar ..., ..., ....

2. Rita

a) en rätvinklig triangel

b) en spetsig triangel;

c) en trubbig triangel;

d) en liksidig triangel;

e) skalen triangel;

e) en likbent triangel.

3. Gör en uppgift om ämnet för lektionen för dina kamrater.

Geometrivetenskapen berättar vad en triangel, kvadrat, kub är. PÅ modern värld det studeras i skolor av alla utan undantag. En vetenskap som direkt studerar vad en triangel är och vilka egenskaper den har är trigonometri. Hon utforskar i detalj alla fenomen som är förknippade med data.Vi kommer att prata om vad en triangel är idag i vår artikel. Deras typer kommer att beskrivas nedan, liksom några satser relaterade till dem.

Vad är en triangel? Definition

Detta är en platt polygon. Den har tre hörn, vilket framgår av namnet. Den har också tre sidor och tre hörn, varav den första är segment, den andra är punkter. När du vet vad två vinklar är lika med kan du hitta den tredje genom att subtrahera summan av de två första från talet 180.

Vad är trianglar?

De kan klassificeras enligt olika kriterier.

Först och främst är de uppdelade i spetsvinklade, trubbvinklade och rektangulära. De förra har spetsiga vinklar, det vill säga de som är mindre än 90 grader. I trubbiga vinklar är en av vinklarna trubbig, det vill säga en som är lika med mer än 90 grader, de andra två är spetsiga. Akuta trianglar inkluderar även liksidiga trianglar. Sådana trianglar har alla sidor och vinklar lika. De är alla lika med 60 grader, detta kan enkelt beräknas genom att dividera summan av alla vinklar (180) med tre.

Rätt triangel

Det är omöjligt att inte tala om vad en rätvinklig triangel är.

En sådan figur har en vinkel lika med 90 grader (rak), det vill säga två av dess sidor är vinkelräta. De andra två vinklarna är spetsiga. De kan vara lika, då blir det likbent. Pythagoras sats är relaterad till den räta triangeln. Med dess hjälp kan du hitta den tredje sidan, känna till de två första. Enligt denna sats, om du adderar kvadraten på ett ben till kvadraten på det andra, kan du få kvadraten på hypotenusan. Benets kvadrat kan beräknas genom att subtrahera kvadraten på det kända benet från kvadraten på hypotenusan. På tal om vad en triangel är, kan vi återkalla de likbenta. Detta är en där två av sidorna är lika, och två av vinklarna är också lika.

Vad är benet och hypotenusan?

Benet är en av sidorna i en triangel som bildar en vinkel på 90 grader. Hypotenusan är den återstående sidan som är motsatt rätt vinkel. Från den kan en vinkelrät sänkas ner på benet. Förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan kallas cosinus, och motsatsen kallas sinus.

- vad är dess egenskaper?

Den är rektangulär. Dess ben är tre och fyra, och hypotenusan är fem. Om du såg att benen i denna triangel är lika med tre och fyra, kan du vara säker på att hypotenusan kommer att vara lika med fem. Enligt denna princip kan det också enkelt fastställas att benet kommer att vara lika med tre om den andra är lika med fyra och hypotenusan är fem. För att bevisa detta påstående kan du tillämpa Pythagoras sats. Om två ben är 3 och 4, då 9 + 16 \u003d 25, roten av 25 är 5, det vill säga hypotenusan är 5. En egyptisk triangel kallas också en rätvinklig triangel, vars sidor är 6, 8 och 10 ; 9, 12 och 15 och andra siffror med förhållandet 3:4:5.

Vad mer kan vara en triangel?

Trianglar kan också vara inskrivna och omskrivna. Figuren runt vilken cirkeln beskrivs kallas inskriven, alla dess hörn är punkter som ligger på cirkeln. En omskriven triangel är en där en cirkel är inskriven. Alla dess sidor är i kontakt med den vid vissa punkter.

Hur är

Arean av en figur mäts i kvadratiska enheter(kvadratmeter, kvadratmillimeter, kvadratcentimeter, kvadratdecimeter, etc.) Detta värde kan beräknas på en mängd olika sätt, beroende på typen av triangel. Arean av en figur med vinklar kan hittas genom att multiplicera dess sida med den vinkelräta som faller på den från motsatta hörnet, och dividera denna siffra med två. Du kan också hitta detta värde genom att multiplicera de två sidorna. Multiplicera sedan detta tal med sinus för vinkeln mellan dessa sidor och dividera detta med två. Genom att känna till alla sidor i en triangel, men inte känna till dess vinklar, kan du hitta området på ett annat sätt. För att göra detta måste du hitta halva omkretsen. Subtrahera sedan växelvis olika sidor från detta tal och multiplicera de fyra erhållna värdena. Ta sedan reda på numret som kom ut. Arean av en inskriven triangel kan hittas genom att multiplicera alla sidor och dividera det resulterande talet med vilket är omskrivet runt det gånger fyra.

Arean av den beskrivna triangeln hittas på detta sätt: vi multiplicerar halva omkretsen med radien av cirkeln som är inskriven i den. Om dess area kan hittas på följande sätt: vi kvadratiska sidan, multiplicera den resulterande siffran med roten av tre, dividera sedan detta tal med fyra. På samma sätt kan du beräkna höjden på en triangel där alla sidor är lika, för detta måste du multiplicera en av dem med roten av tre och sedan dividera detta tal med två.

Triangelsatser

Huvudsatserna som är förknippade med denna figur är Pythagoras sats, som beskrivs ovan, och cosinus. Den andra (sinus) är att om du dividerar vilken sida som helst med sinus för vinkeln motsatt den, kan du få radien på cirkeln som beskrivs runt den, multiplicerad med två. Den tredje (cosinus) är att om summan av kvadraterna på de två sidorna tas bort från deras produkt, multiplicerat med två och cosinus för vinkeln mellan dem, kommer kvadraten på den tredje sidan att erhållas.

Dali triangel - vad är det?

Många, inför detta koncept, tror först att detta är någon form av definition inom geometri, men så är det inte alls. Dali-triangeln är vanligt namn tre platser som är nära förknippade med den berömda konstnärens liv. Dess "toppar" är huset där Salvador Dali bodde, slottet som han gav till sin fru och museet för surrealistiska målningar. Under en rundtur på dessa platser kan du lära dig mycket. intressanta fakta om denna märkliga kreativa konstnär känd över hela världen.