Formel för att beräkna vinkeln mellan linjer. Vinkel mellan linjer på ett plan

Låt linjer ges i rymden l Och m. Genom någon punkt A i utrymmet ritar vi raka linjer l 1 || l Och m 1 || m(Fig. 138).

Observera att punkten A kan väljas godtyckligt, i synnerhet kan den ligga på en av de givna linjerna. Om rakt l Och m skär varandra, då kan A tas som skärningspunkten för dessa linjer ( l 1 =l Och m 1 = m).

Vinkel mellan icke-parallella linjer l Och mär värdet av den minsta av de intilliggande vinklarna som bildas av skärande räta linjer l 1 Och m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Vinkeln mellan parallella linjer antas vara noll.

Vinkel mellan raderna l Och m betecknas med \(\widehat((l;m)) \). Av definitionen följer att om den mäts i grader, då 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, och om i radianer, då 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

En uppgift. Kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ges (Fig. 139).

Hitta vinkeln mellan räta linjer AB och DC 1 .

Rak AB och DC 1 korsning. Eftersom linjen DC är parallell med linjen AB är vinkeln mellan linjerna AB och DC 1, enligt definitionen, lika med \(\widehat(C_(1)DC)\).

Därför \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direkt l Och m kallad vinkelrät, om \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Till exempel i en kub

Beräkning av vinkeln mellan linjer.

Problemet med att beräkna vinkeln mellan två raka linjer i rymden löses på samma sätt som i planet. Beteckna med φ vinkeln mellan linjerna l 1 Och l 2 och genom ψ - vinkeln mellan riktningsvektorerna men Och b dessa raka linjer.

Sedan om

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (fig. 206.6), då φ = 180° - ψ. Det är uppenbart att i båda fallen är likheten cos φ = |cos ψ| sann. Enligt formeln (cosinus för vinkeln mellan vektorer som inte är noll a och b är lika punkt produkt av dessa vektorer dividerat med produkten av deras längder) vi har

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

Följaktligen,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Låt linjerna ges av deras kanoniska ekvationer

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Och \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Sedan bestäms vinkeln φ mellan linjerna med hjälp av formeln

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Om en av linjerna (eller båda) ges av icke-kanoniska ekvationer, måste du för att beräkna vinkeln hitta koordinaterna för riktningsvektorerna för dessa linjer och sedan använda formeln (1).

Uppgift 1. Beräkna vinkeln mellan linjerna

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;och\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Riktningsvektorer för räta linjer har koordinater:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Med formel (1) finner vi

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Därför är vinkeln mellan dessa linjer 60°.

Uppgift 2. Beräkna vinkeln mellan linjerna

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) och \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(case) $$

Bakom guidevektorn men den första räta linjen tar vi vektorprodukten av normalvektorer n 1 = (3; 0; -12) och n 2 = (1; 1; -3) plan som definierar denna linje. Med formeln \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) får vi

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

På liknande sätt hittar vi riktningsvektorn för den andra räta linjen:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Men formel (1) beräknar cosinus för den önskade vinkeln:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Därför är vinkeln mellan dessa linjer 90°.

Uppgift 3. I den triangulära pyramiden MAVS är kanterna MA, MB och MC inbördes vinkelräta, (Fig. 207);

deras längder är respektive lika med 4, 3, 6. Punkt D är mitten [MA]. Hitta vinkeln φ mellan linjerna CA och DB.

Låt SA och DB vara riktningsvektorerna för linjerna SA och DB.

Låt oss ta punkten M som ursprunget för koordinaterna. Genom uppgiftsvillkoret har vi A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Därför \(\överhögerpil(CA)\) = (4; - 6;0), \(\överhögerpil(DB)\)= (-2; 0; 3). Vi använder formel (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

Enligt cosinustabellen finner vi att vinkeln mellan de räta linjerna CA och DB är ungefär 72°.

Instruktion

notera

Period trigonometrisk funktion tangenten är lika med 180 grader, vilket innebär att de räta linjernas lutningsvinklar inte kan överskrida detta värde modulo.

Användbart råd

Om lutningskoefficienterna är lika med varandra, är vinkeln mellan sådana linjer 0, eftersom sådana linjer antingen sammanfaller eller är parallella.

För att bestämma vinkeln mellan korsande linjer är det nödvändigt att överföra båda linjerna (eller en av dem) till en ny position med metoden för parallell överföring till skärningen. Efter det bör du hitta vinkeln mellan de resulterande skärande linjerna.

Du kommer behöva

• Linjal, rät triangel, penna, gradskiva.

Instruktion

Så låt vektorn V = (a, b, c) och planet A x + B y + C z = 0 ges, där A, B och C är koordinaterna för det normala N. Sedan cosinus för vinkeln α mellan vektorerna V och N är: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

För att beräkna värdet på vinkeln i grader eller radianer måste du beräkna funktionen invers till cosinus från det resulterande uttrycket, dvs. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Exempel: hitta injektion mellan vektor(5, -3, 8) och plan, ges av den allmänna ekvationen 2 x - 5 y + 3 z = 0. Lösning: skriv ner koordinaterna för normalvektorn för planet N = (2, -5, 3). Ersätt allt kända värden i formeln ovan: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Relaterade videoklipp

En rät linje som har en gemensam punkt med en cirkel är tangent till cirkeln. En annan egenskap hos tangenten är att den alltid är vinkelrät mot radien som dras till kontaktpunkten, det vill säga tangenten och radien bildar en rät linje injektion. Om två tangenter till cirkeln AB och AC dras från en punkt A, så är de alltid lika med varandra. Definition av vinkeln mellan tangenter ( injektion ABC) framställs med hjälp av Pythagoras sats.

Instruktion

För att bestämma vinkeln måste du känna till radien för cirkeln OB och OS och avståndet för startpunkten för tangenten från cirkelns centrum - O. Så, vinklarna ABO och ACO är lika, radien OB, till exempel 10 cm, och avståndet till cirkelns mittpunkt AO är 15 cm. Bestäm längden på tangenten med formeln i enlighet med Pythagoras sats: AB = Roten ur från AO2 - OB2 eller 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Detta material är ägnat åt ett sådant koncept som vinkeln mellan två korsande raka linjer. I det första stycket kommer vi att förklara vad det är och visa det i illustrationer. Sedan kommer vi att analysera hur du kan hitta sinus, cosinus för denna vinkel och själva vinkeln (vi kommer separat att överväga fall med ett plan och tredimensionellt utrymme), vi kommer att ge de nödvändiga formlerna och visa med exempel hur exakt de tillämpas i praktiken.

Yandex.RTB R-A-339285-1

För att förstå vad en vinkel som bildas vid skärningspunkten mellan två linjer är, måste vi komma ihåg själva definitionen av en vinkel, vinkelräthet och en skärningspunkt.

Definition 1

Vi kallar två linjer som skär varandra om de har en gemensam punkt. Denna punkt kallas skärningspunkten mellan de två linjerna.

Varje linje delas av skärningspunkten i strålar. I detta fall bildar båda linjerna 4 vinklar, varav två är vertikala och två är angränsande. Om vi ​​vet måttet på en av dem kan vi bestämma de andra återstående.

Låt oss säga att vi vet att en av vinklarna är lika med α. I ett sådant fall kommer vinkeln som är vertikal mot den också att vara lika med α. För att hitta de återstående vinklarna måste vi beräkna skillnaden 180 ° - α . Om α är lika med 90 grader blir alla vinklar räta. Linjer som skär varandra i räta vinklar kallas vinkelräta (en separat artikel ägnas åt begreppet vinkelräthet).

Ta en titt på bilden:

Låt oss gå vidare till formuleringen av huvuddefinitionen.

Definition 2

Vinkeln som bildas av två skärande linjer är måttet på den minsta av de 4 vinklarna som bildar dessa två linjer.

Från definitionen är det nödvändigt att göra viktig slutsats: storleken på hörnet i detta fall kommer att uttryckas av någon riktigt nummer i intervallet (0 , 90 ] . Om linjerna är vinkelräta, så kommer vinkeln mellan dem i alla fall att vara lika med 90 grader.

Förmågan att hitta måttet på vinkeln mellan två skärande linjer är användbar för att lösa många praktiska problem. Lösningsmetoden kan väljas från flera alternativ.

Till att börja med kan vi ta geometriska metoder. Om vi ​​vet något om ytterligare vinklar, då kan vi koppla dem till den vinkel vi behöver genom att använda egenskaperna för lika eller liknande former. Till exempel, om vi känner till sidorna i en triangel och vi behöver beräkna vinkeln mellan linjerna på vilka dessa sidor ligger, så är cosinussatsen lämplig att lösa. Om vi ​​har en rätvinklig triangel i villkoret, måste vi för beräkningar också känna till sinus, cosinus och tangens för vinkeln.

Koordinatmetoden är också mycket bekväm för att lösa problem av denna typ. Låt oss förklara hur man använder det korrekt.

Vi har ett rektangulärt (kartesiskt) koordinatsystem O x y med två räta linjer. Låt oss beteckna dem med bokstäverna a och b. I det här fallet kan räta linjer beskrivas med hjälp av vilka ekvationer som helst. De ursprungliga linjerna har en skärningspunkt M . Hur bestämmer man den önskade vinkeln (låt oss beteckna den α) mellan dessa linjer?

Låt oss börja med formuleringen av den grundläggande principen för att hitta en vinkel under givna förutsättningar.

Vi vet att sådana begrepp som riktning och normalvektor är nära besläktade med begreppet en rät linje. Om vi ​​har ekvationen för någon rät linje kan vi ta koordinaterna för dessa vektorer från den. Vi kan göra detta för två korsande linjer samtidigt.

Vinkeln som bildas av två skärande linjer kan hittas med:

• vinkel mellan riktningsvektorer;
• vinkel mellan normalvektorer;
• vinkeln mellan normalvektorn för en linje och riktningsvektorn för den andra.

Låt oss nu titta på varje metod separat.

1. Antag att vi har en linje a med riktningsvektor a → = (a x , a y) och en linje b med riktningsvektor b → (b x , b y) . Låt oss nu avsätta två vektorer a → och b → från skärningspunkten. Efter det får vi se att de kommer att ligga på var sin linje. Sedan har vi fyra alternativ för dem relativ position. Se illustration:

Om vinkeln mellan två vektorer inte är trubbig, kommer det att vara den vinkel vi behöver mellan de skärande linjerna a och b. Om den är trubbig kommer den önskade vinkeln att vara lika med vinkeln intill vinkeln a → , b → ^ . Således, α = a → , b → ^ om a → , b → ^ ≤ 90 ° och α = 180 ° - a → , b → ^ om a → , b → ^ > 90 ° .

Baserat på det faktum att cosinus för lika vinklar är lika, kan vi skriva om de resulterande likheterna enligt följande: cos α = cos a → , b → ^ om a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ om a → , b → ^ > 90 ° .

I det andra fallet användes reduktionsformler. På det här sättet,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Låt oss skriva den sista formeln med ord:

Definition 3

Cosinus för vinkeln som bildas av två skärande linjer kommer att vara lika med modulen för cosinus för vinkeln mellan dess riktningsvektorer.

Den allmänna formen av formeln för cosinus för vinkeln mellan två vektorer a → = (a x, a y) och b → = (b x, b y) ser ut så här:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Från den kan vi härleda formeln för cosinus för vinkeln mellan två givna linjer:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Sedan kan själva vinkeln hittas med följande formel:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Här är a → = (a x , a y) och b → = (b x , b y) riktningsvektorerna för de givna linjerna.

Låt oss ge ett exempel på hur vi löser problemet.

Exempel 1

I ett rektangulärt koordinatsystem ges två skärande linjer a och b på planet. De kan beskrivas med parametriska ekvationer x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R och x 5 = y - 6 - 3 . Beräkna vinkeln mellan dessa linjer.

Lösning

Vi har en parametrisk ekvation i villkoret, vilket innebär att vi för denna räta linje omedelbart kan skriva ner koordinaterna för dess riktningsvektor. För att göra detta måste vi ta värdena för koefficienterna vid parametern, dvs. linjen x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R kommer att ha en riktningsvektor a → = (4 , 1) .

Den andra räta linjen beskrivs med den kanoniska ekvationen x 5 = y - 6 - 3 . Här kan vi ta koordinaterna från nämnarna. Således har denna linje en riktningsvektor b → = (5 , - 3) .

Därefter fortsätter vi direkt för att hitta vinkeln. För att göra detta, ersätt helt enkelt de tillgängliga koordinaterna för de två vektorerna i formeln ovan α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Vi får följande:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Svar: Dessa linjer bildar en vinkel på 45 grader.

Vi kan lösa ett liknande problem genom att hitta vinkeln mellan normalvektorer. Om vi ​​har en linje a med en normalvektor na → = (nax , nej) och en linje b med en normalvektor nb → = (nbx , nby), så blir vinkeln mellan dem lika med vinkeln mellan na → och nb → eller vinkeln som kommer att ligga intill na → , nb → ^ . Denna metod visas på bilden:

Formlerna för att beräkna cosinus för vinkeln mellan skärande linjer och denna vinkel själv med hjälp av koordinaterna för normala vektorer ser ut så här:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Här betecknar n a → och n b → normalvektorerna för två givna linjer.

Exempel 2

Två räta linjer ges i ett rektangulärt koordinatsystem med hjälp av ekvationerna 3 x + 5 y - 30 = 0 och x + 4 y - 17 = 0 . Hitta sinus, cosinus för vinkeln mellan dem och storleken på själva vinkeln.

Lösning

De ursprungliga räta linjerna ges med normala räta linjeekvationer av formen A x + B y + C = 0 . Beteckna normalvektorn n → = (A , B) . Låt oss hitta koordinaterna för den första normalvektorn för en rät linje och skriva ner dem: n a → = (3 , 5) . För den andra linjen x + 4 y - 17 = 0 kommer normalvektorn att ha koordinater n b → = (1 , 4) . Lägg nu till de erhållna värdena till formeln och beräkna summan:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Om vi ​​känner till cosinus för en vinkel, kan vi beräkna dess sinus med hjälp av den grundläggande trigonometrisk identitet. Eftersom vinkeln α som bildas av raka linjer inte är trubbig, då sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

I detta fall är α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Svar: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Låt oss analysera det sista fallet - att hitta vinkeln mellan linjerna, om vi känner till koordinaterna för riktningsvektorn för en linje och normalvektorn för den andra.

Antag att linje a har en riktningsvektor a → = (a x , a y) , och linje b har en normalvektor n b → = (n b x , n b y) . Vi måste skjuta upp dessa vektorer från skärningspunkten och överväga alla alternativ för deras relativa position. Se bild:

Om vinkeln mellan de givna vektorerna inte är mer än 90 grader, visar det sig att den kommer att komplettera vinkeln mellan a och b till en rät vinkel.

a → , n b → ^ = 90 ° - α om a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Om det är mindre än 90 grader får vi följande:

a → , n b → ^ > 90 ° , sedan a → , n b → ^ = 90 ° + α

Med hjälp av regeln om likhet för cosinus med lika vinklar skriver vi:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α för a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α vid a → , n b → ^ > 90 ° .

På det här sättet,

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Låt oss formulera en slutsats.

Definition 4

För att hitta sinus för vinkeln mellan två linjer som skär varandra i ett plan, måste du beräkna modulen för cosinus för vinkeln mellan riktningsvektorn för den första linjen och normalvektorn för den andra.

Låt oss skriva ner de nödvändiga formlerna. Hitta sinus för en vinkel:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Att hitta själva hörnet:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Här är a → riktningsvektorn för den första linjen, och n b → är normalvektorn för den andra.

Exempel 3

Två skärande linjer ges av ekvationerna x - 5 = y - 6 3 och x + 4 y - 17 = 0 . Hitta skärningsvinkeln.

Lösning

Vi tar koordinaterna för den riktande och normala vektorn från de givna ekvationerna. Det visar sig a → = (- 5 , 3) ​​och n → b = (1 , 4) . Vi tar formeln α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 och överväger:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Observera att vi tog ekvationerna från föregående uppgift och fick exakt samma resultat, men på ett annat sätt.

Svar:α = a r c sin 7 2 34

Här är ett annat sätt att hitta den önskade vinkeln med hjälp av lutningskoefficienterna för givna linjer.

Vi har en linje a , som definieras i ett rektangulärt koordinatsystem med hjälp av ekvationen y = k 1 · x + b 1 , och en linje b , definierad som y = k 2 · x + b 2 . Dessa är ekvationer av linjer med en lutning. För att hitta skärningsvinkeln, använd formeln:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , där k 1 och k 2 är lutningsfaktorer givna rader. För att erhålla denna post användes formler för att bestämma vinkeln genom koordinaterna för normalvektorer.

Exempel 4

Det finns två räta linjer som skär varandra i ett plan, ges av ekvationer y = - 3 5 x + 6 och y = - 1 4 x + 17 4 . Beräkna skärningsvinkeln.

Lösning

Lutningarna på våra linjer är lika med k 1 = - 3 5 och k 2 = - 1 4 . Låt oss lägga till dem i formeln α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 och beräkna:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Svar:α = a r c cos 23 2 34

I slutsatserna av detta stycke bör det noteras att formlerna för att hitta vinkeln som ges här inte behöver läras utantill. För att göra detta är det tillräckligt att känna till koordinaterna för guiderna och/eller normalvektorerna för de givna linjerna och kunna bestämma dem från olika typer ekvationer. Men formlerna för att beräkna cosinus för en vinkel är bättre att komma ihåg eller skriva ner.

Hur man beräknar vinkeln mellan skärande linjer i rymden

Beräkningen av en sådan vinkel kan reduceras till beräkningen av koordinaterna för riktningsvektorerna och bestämningen av storleken på vinkeln som bildas av dessa vektorer. För sådana exempel använder vi samma resonemang som vi har fört tidigare.

Låt oss säga att vi har ett rektangulärt koordinatsystem i 3D-rymden. Den innehåller två linjer a och b med skärningspunkten M . För att beräkna koordinaterna för riktningsvektorerna behöver vi känna till ekvationerna för dessa linjer. Beteckna riktningsvektorerna a → = (a x , a y , a z) och b → = (b x , b y , b z) . För att beräkna cosinus för vinkeln mellan dem använder vi formeln:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

För att hitta själva vinkeln behöver vi denna formel:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exempel 5

Vi har en rät linje definierad i 3D-rymden med hjälp av ekvationen x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Det är känt att det skär Oz-axeln. Beräkna skärningsvinkeln och cosinus för den vinkeln.

Lösning

Låt oss beteckna vinkeln som ska beräknas med bokstaven α. Låt oss skriva ner koordinaterna för riktningsvektorn för den första räta linjen - a → = (1 , - 3 , - 2) . För applikataxeln kan vi ta koordinatvektorn k → = (0 , 0 , 1) som vägledning. Vi har fått de nödvändiga uppgifterna och kan lägga till den i önskad formel:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Som ett resultat fick vi att vinkeln vi behöver kommer att vara lika med a r c cos 1 2 = 45 °.

Svar: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Det kommer att vara användbart för varje student som förbereder sig för provet i matematik att upprepa ämnet "Hitta vinkeln mellan linjer". Som statistik visar, när man klarar ett certifieringstest, orsakar uppgifter i denna del av stereometri svårigheter för ett stort antal studenter. Samtidigt finns uppgifter som kräver att hitta vinkeln mellan räta linjer i USE på både grund- och profilnivå. Det betyder att alla ska kunna lösa dem.

Grundläggande ögonblick

Det finns 4 typer av ömsesidigt arrangemang av linjer i rymden. De kan sammanfalla, skära varandra, vara parallella eller skära varandra. Vinkeln mellan dem kan vara spetsig eller rak.

För att hitta vinkeln mellan linjerna i Unified State Examination eller, till exempel, i lösningen, kan skolbarn i Moskva och andra städer använda flera metoder för att lösa problem i detta avsnitt av stereometri. Du kan slutföra uppgiften med klassiska konstruktioner. För att göra detta är det värt att lära sig de grundläggande axiomen och satserna för stereometri. Eleven behöver kunna logiskt bygga resonemang och skapa ritningar för att föra uppgiften till ett planimetriskt problem.

Du kan också använda vektor-koordinatmetoden, med enkla formler, regler och algoritmer. Det viktigaste i det här fallet är att korrekt utföra alla beräkningar. Det kommer att hjälpa dig att finslipa dina färdigheter i att lösa problem i stereometri och andra delar av skolkursen. utbildningsprojekt"Shkolkovo".

men. Låt två linjer anges: Dessa linjer, som det indikerades i kapitel 1, bildar olika positiva och negativa vinklar, som kan vara antingen spetsiga eller trubbiga. Genom att känna till en av dessa vinklar kan vi lätt hitta någon annan.

Förresten, för alla dessa vinklar är tangentens numeriska värde detsamma, skillnaden kan bara vara i tecknet

Ekvationer av linjer. Siffrorna är projektioner av riktningsvektorerna för den första och andra linjen. Vinkeln mellan dessa vektorer är lika med en av vinklarna som bildas av räta linjer. Därför reduceras problemet till att bestämma vinkeln mellan vektorerna, Vi får

För enkelhetens skull kan vi komma överens om en vinkel mellan två räta linjer för att förstå en spetsig positiv vinkel (som t.ex. i fig. 53).

Då kommer tangenten för denna vinkel alltid att vara positiv. Således, om ett minustecken erhålls på den högra sidan av formel (1), måste vi kassera det, d.v.s. bara behålla det absoluta värdet.

Exempel. Bestäm vinkeln mellan linjer

Genom formel (1) har vi

från. Om det anges vilken av sidorna av vinkeln som är dess början och vilken som är dess slut, då vi alltid räknar vinkelns riktning moturs, kan vi extrahera något mer från formler (1). Som är lätt att se av fig. 53 tecknet på den högra sidan av formeln (1) kommer att indikera vilken - spetsig eller trubbig - vinkeln bildar den andra linjen med den första.

(Från Fig. 53 ser vi faktiskt att vinkeln mellan den första och andra riktningsvektorn antingen är lika med den önskade vinkeln mellan linjerna eller skiljer sig från den med ±180°.)

d. Om linjerna är parallella, så är deras riktningsvektorer också parallella. Genom att tillämpa villkoret för parallellitet för två vektorer får vi!

Detta är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att två linjer ska vara parallella.

Exempel. Direkt

är parallella eftersom

e. Om linjerna är vinkelräta, är deras riktningsvektorer också vinkelräta. Genom att tillämpa villkoret för vinkelräthet för två vektorer får vi villkoret för vinkelräthet för två linjer, nämligen

Exempel. Direkt

vinkelrät eftersom

I samband med villkoren för parallellitet och vinkelräthet kommer vi att lösa följande två problem.

f. Rita en linje parallell med en given linje genom en punkt

Beslutet tas så här. Eftersom den önskade linjen är parallell med den givna, kan vi för dess riktningsvektor ta samma som den för den givna linjen, dvs en vektor med projektionerna A och B. Och då kommer ekvationen för den önskade linjen att skrivas i formen (1 §)

Exempel. Ekvation för en rät linje som går genom en punkt (1; 3) parallell med en rät linje

blir nästa!

g. Rita en linje genom en punkt vinkelrät mot den givna linjen

Här är det inte längre lämpligt att ta en vektor med projektioner A och som en riktande vektor, utan det är nödvändigt att vinna en vektor vinkelrätt mot den. Projektionerna för denna vektor måste därför väljas enligt villkoret att båda vektorerna är vinkelräta, dvs.

Detta villkor kan uppfyllas på ett oändligt antal sätt, eftersom det här finns en ekvation med två okända. Men det enklaste sättet är att ta det. Då kommer ekvationen för den önskade räta linjen att skrivas i formen

Exempel. Ekvation för en linje som går genom en punkt (-7; 2) i en vinkelrät linje

blir följande (enligt den andra formeln)!

h. I det fall då linjerna ges av formens ekvationer