Tabel trigonometric. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă - tot ce trebuie să știți la examenul de stat unificat la matematică

Centrat într-un punct A.
α - unghi exprimat în radiani.

Definiție
Sinus (sin α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Cosinus (cos α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Notatii acceptate

;
;
.

Graficul funcției sinus, y = sin x

Graficul funcției cosinus, y = cos x

Proprietățile sinusului și cosinusului

Periodicitate

Funcțiile y = sin xși y = cos x periodic cu punct 2π.

Paritate

Funcția sinus este impară. Funcția cosinus este pară.

Domeniul definirii si valorilor, extrema, crestere, scadere

Funcțiile sinus și cosinus sunt continue în domeniul lor de definiție, adică pentru tot x (vezi dovada continuității). Principalele lor proprietăți sunt prezentate în tabel (n - întreg).

	y = sin x	y = cos x
Domeniul de aplicare și continuitatea	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Crescând
Descendentă
Maxima, y = 1
Minima, y = - 1
Zerouri, y = 0
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y = 0	y = 1

Formule de bază

Suma pătratelor sinusului și cosinusului

Formule pentru sinus și cosinus din sumă și diferență

;
;

Formule pentru produsul sinusurilor și cosinusurilor

Formule de sumă și diferență

Exprimarea sinusului prin cosinus

;
;
;
.

Exprimarea cosinusului prin sinus

;
;
;
.

Exprimarea prin tangentă

; .

Când avem:
; .

La:
; .

Tabelul sinusurilor și cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor

Acest tabel arată valorile sinusurilor și cosinusurilor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii prin variabile complexe

;

formula lui Euler

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; . Derivarea formulelor > > >

Derivate de ordin al n-lea:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale sinusului și cosinusului sunt arcsinus și, respectiv, arccosinus.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Acest articol conține tabele de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. În primul rând, vom oferi un tabel cu valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice, adică un tabel cu sinusuri, cosinus, tangente și cotangente ale unghiurilor de 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 de grade ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). După aceasta, vom oferi un tabel cu sinusuri și cosinusuri, precum și un tabel cu tangente și cotangente de V. M. Bradis și vom arăta cum să folosiți aceste tabele atunci când găsim valorile funcțiilor trigonometrice.

Navigare în pagină.

Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60, 90, ... grade

Bibliografie.

Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990. - 272 p.: il. - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
Bradis V. M. Tabele de matematică din patru cifre: pentru învățământul general. manual stabilimente. - Ed. a II-a. - M.: Butarda, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Vom începe studiul nostru de trigonometrie cu triunghiul dreptunghic. Să definim ce sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.

Să vă reamintim că unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate de unghi rotit.

Colt ascutit- sub 90 de grade.

Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „obtuz” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)

Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat cu . Vă rugăm să rețineți că latura opusă colțului este indicată de aceeași literă, doar mică. Astfel, latura opusă unghiului A este desemnată .

Unghiul este notat cu litera greacă corespunzătoare.

Ipotenuză a unui triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.

Picioarele- laturile situate opuse unghiurilor ascuțite.

Piciorul situat opus unghiului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe una dintre laturile unghiului, se numește adiacent.

Sinusul Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:

Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:

Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura opusă și cea adiacentă:

O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unghiului și cosinusul său:

Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura adiacentă și opusul (sau, ceea ce este același, raportul dintre cosinus și sinus):

Observați mai jos relațiile de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Ne vor fi de folos atunci când rezolvăm probleme.

Să demonstrăm unele dintre ele.

Bine, am dat definiții și am notat formule. Dar de ce mai avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?

Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu.

Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .

Se dovedește că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând cele două laturi ale unui triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Aceasta înseamnă că unghiurile au propriul raport, iar laturile au propriul lor raport. Dar ce ar trebui să faci dacă într-un triunghi dreptunghic cunoști un unghi (cu excepția unghiului drept) și o latură, dar trebuie să găsești celelalte laturi?

Aceasta este ceea ce oamenii în trecut au întâlnit când făceau hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.

Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc funcții unghiulare trigonometrice- da relatii intre petreceriȘi colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.

De asemenea, vom desena un tabel cu valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile „bune” de la până la.

Vă rugăm să rețineți cele două linii roșii din tabel. La valorile unghiulare adecvate, tangenta și cotangenta nu există.

Să ne uităm la mai multe probleme de trigonometrie din FIPI Task Bank.

1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .

Problema este rezolvată în patru secunde.

Deoarece , .

2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .

Să-l găsim folosind teorema lui Pitagora.

Problema este rezolvată.

Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și. Amintiți-vă raporturile de bază pentru ei pe de rost!

Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.

Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.

Ne-am uitat la probleme de rezolvare a triunghiurilor dreptunghiulare - adică găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! La examenul unificat de stat la matematică există multe sarcini unde sinus, cosinus, tangentă sau cotangentă a unui unghi exterior al unui triunghi. Mai multe despre asta în următorul articol.

TABEL DE VALORI ALE FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice este întocmit pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 și 360 de grade și valorile unghiurilor corespunzătoare în vradians. Dintre funcțiile trigonometrice, tabelul prezintă sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, secanta și cosecantă. Pentru comoditatea rezolvării exemplelor școlare, valorile funcțiilor trigonometrice din tabel sunt scrise sub forma unei fracții, păstrând în același timp semnele pentru extragerea rădăcinii pătrate a numerelor, ceea ce ajută foarte adesea la reducerea expresiilor matematice complexe. Pentru tangentă și cotangentă, valorile unor unghiuri nu pot fi determinate. Pentru valorile tangentei și cotangentei unor astfel de unghiuri, există o liniuță în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice. Este în general acceptat că tangenta și cotangenta unor astfel de unghiuri este egală cu infinitul. Pe o pagină separată există formule pentru reducerea funcțiilor trigonometrice.

Tabelul de valori pentru funcția sinus trigonometrică arată valorile pentru următoarele unghiuri: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 în grade, care corespunde cu sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi în măsurarea radianilor unghiurilor. Masa școlară de sinusuri.

Pentru funcția cosinus trigonometrică, tabelul prezintă valorile pentru următoarele unghiuri: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 în grade, ceea ce corespunde cos 0 pi , cos pi cu 6, cos pi cu 4, cos pi cu 3, cos pi cu 2, cos pi, cos 3 pi cu 2, cos 2 pi în măsurarea radianilor unghiurilor. Masa școlară de cosinus.

Tabelul trigonometric pentru funcția tangentă trigonometrică oferă valori pentru următoarele unghiuri: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 în măsură de grade, care corespunde cu tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi în măsura radianilor unghiurilor. Următoarele valori ale funcțiilor tangente trigonometrice nu sunt definite tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 și sunt considerate egale cu infinitul.

Pentru funcția trigonometrică cotangentă din tabelul trigonometric sunt date valorile următoarelor unghiuri: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 în măsură de grade, care corespunde ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 în măsura radianilor unghiurilor. Următoarele valori ale funcțiilor cotangente trigonometrice nu sunt definite ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi și sunt considerate egale cu infinitul.

Valorile funcțiilor trigonometrice secant și cosecant sunt date pentru aceleași unghiuri în grade și radiani ca sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor nestandard arată valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile în grade 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 grade și în radiani pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radiani. Valorile funcțiilor trigonometrice sunt exprimate în termeni de fracții și rădăcini pătrate pentru a facilita reducerea fracțiilor în exemplele școlare.

Încă trei monștri trigonometrici. Prima este tangenta de 1,5 grade și jumătate sau pi împărțit la 120. A doua este cosinusul lui pi împărțit la 240, pi/240. Cel mai lung este cosinusul lui pi împărțit la 17, pi/17.

Cercul trigonometric de valori ale funcțiilor sinus și cosinus reprezintă vizual semnele sinusului și cosinusului în funcție de mărimea unghiului. În special pentru blonde, valorile cosinusului sunt subliniate cu o liniuță verde pentru a reduce confuzia. Conversia gradelor în radiani este, de asemenea, foarte clar prezentată atunci când radianii sunt exprimați în termeni de pi.

Acest tabel trigonometric prezintă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiuri de la 0 zero la 90 nouăzeci de grade la intervale de un grad. Pentru primele patruzeci și cinci de grade, numele funcțiilor trigonometrice ar trebui să fie privite în partea de sus a tabelului. Prima coloană conține grade, valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor sunt scrise în următoarele patru coloane.

Pentru unghiuri de la patruzeci și cinci de grade până la nouăzeci de grade, numele funcțiilor trigonometrice sunt scrise în partea de jos a tabelului. Ultima coloană conține grade; valorile cosinusului, sinusurilor, cotangentelor și tangentelor sunt scrise în cele patru coloane anterioare. Ar trebui să fiți atenți deoarece numele funcțiilor trigonometrice din partea de jos a tabelului trigonometric sunt diferite de numele din partea de sus a tabelului. Sinusurile și cosinusurile sunt interschimbate, la fel ca tangenta și cotangenta. Acest lucru se datorează simetriei valorilor funcțiilor trigonometrice.

Semnele funcțiilor trigonometrice sunt prezentate în figura de mai sus. Sinusul are valori pozitive de la 0 la 180 de grade sau de la 0 la pi. Sinusul are valori negative de la 180 la 360 de grade sau de la pi la 2 pi. Valorile cosinusului sunt pozitive de la 0 la 90 și de la 270 la 360 de grade sau de la 0 la 1/2 pi și 3/2 la 2 pi. Tangenta și cotangenta au valori pozitive de la 0 la 90 de grade și de la 180 la 270 de grade, corespunzătoare valorilor de la 0 la 1/2 pi și pi la 3/2 pi. Valorile negative ale tangentei și cotangentei sunt de la 90 la 180 de grade și de la 270 la 360 de grade, sau de la 1/2 pi la pi și de la 3/2 pi la 2 pi. Când determinați semnele funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri mai mari de 360 de grade sau 2 pi, ar trebui să utilizați proprietățile de periodicitate ale acestor funcții.

Funcțiile trigonometrice sinus, tangentă și cotangentă sunt funcții impare. Valorile acestor funcții pentru unghiuri negative vor fi negative. Cosinusul este o funcție trigonometrică uniformă - valoarea cosinusului pentru un unghi negativ va fi pozitivă. Regulile semnelor trebuie respectate la înmulțirea și împărțirea funcțiilor trigonometrice.

Tabelul de valori pentru funcția sinus trigonometrică arată valorile pentru următoarele unghiuri
Document
Există formule de reducere pe o pagină separată trigonometricfuncții. ÎN masavalorilePentrutrigonometricfuncțiisinusuluidatvalorilePentruurmătoarelecolțuri: sin 0, sin 30, sin 45 ...
Aparatul matematic propus este un analog complet al calculului complex pentru numere hipercomplex n-dimensionale cu orice număr de grade de libertate n și este destinat modelării matematice a neliniarelor.
Document
... funcții egală funcții Imagini. Din această teoremă ar trebui să, Ce Pentru afland coordonatele U, V, este suficient sa se calculeze funcţie... geometrie; polinar funcții(analogi multidimensionali ai bidimensionali trigonometricfuncții), proprietățile lor, Meseși aplicare; ...
De asemenea, recomandăm