Care este aria unui triunghi dreptunghic? Cum să găsiți aria unui triunghi (formule)

În geometria elementară, un triunghi dreptunghic este o figură formată din trei segmente conectate în puncte, dintre care două unghiuri sunt acute și unul drept (adică egal cu 90°). Triunghi dreptunghic este caracterizat de o serie de proprietăți importante, dintre care multe formează baza trigonometriei (de exemplu, relația dintre laturile și unghiurile sale). De la școală, cu toții știm să calculăm aria unui triunghi dreptunghicși în viața de zi cu zi întâlnim destul de des această figură geometrică, uneori fără să o observăm. Găsește o aplicație destul de largă în tehnologie și, prin urmare, inginerii, designerii și arhitecții trebuie să rezolve adesea o astfel de problemă.

Arhitecții trebuie să determine această valoare atunci când proiectează clădiri cu frontoane, care sunt finalizarea fațadelor și au formă triunghiulară delimitat de o cornișă și pe laturi de versanți de acoperiș. Adesea, unghiul dintre pante este drept, iar în astfel de cazuri frontonul are forma unui triunghi dreptunghic. Este necesar să se determine aria sa din simplul motiv că este necesar să se cunoască exact cantitatea de material de construcție necesară pentru amenajarea sa. Trebuie remarcat faptul că frontoanele sunt elemente obligatorii ale clădirilor mici (case de la țară, cabane, dachas).

Aflarea ariei unui triunghi dreptunghic

A- picior

b- picior

S- aria unui triunghi dreptunghic

Formă triunghi dreptunghic au multe dintre detaliile din care este realizat mobilierul modern. După cum știți, pentru a folosi cât mai eficient spațiul camerei, toate elementele mobilierului trebuie amplasate în ea într-un mod optim. Puteți folosi bine zone precum colțurile folosind mese triunghiulare, ale căror vârfuri sunt în cele mai multe cazuri triunghiuri dreptunghiulare cu picioare adiacente pereților. Atunci când proiectează și calculează aceste elemente, designerii de producție de mobilă folosesc formula conform căreia aflarea aria unui triunghi dreptunghic se realizează în funcție de lungimea laturilor sale. În plus, ei trebuie adesea să dezvolte modele pentru mesele atașate direct de pereți, care includ elemente de susținere, care reprezintă și triunghiuri dreptunghiulare.

Constructorii care desfășoară lucrări de confruntare, adesea în activitățile lor profesionale, trebuie să folosească plăci ceramice în formă de triunghi dreptunghic cu picioare de aceeași lungime sau de lungimi diferite. De asemenea, trebuie să determine aria acestor elemente pentru a afla numărul necesar.

Formă triunghi dreptunghic De asemenea, are un instrument de măsurare atât de important și necesar ca un pătrat. Este folosit pentru a construi și controla unghiuri drepte și este folosit pe scară largă și de mulți: de la școlari obișnuiți la lecții de geometrie la designeri de tehnologie de ultimă oră.

Un triunghi dreptunghic se găsește în realitate aproape în fiecare colț. Cunoașterea proprietăților unei figuri date, precum și capacitatea de a calcula aria acesteia, vă vor fi, fără îndoială, utile nu numai pentru rezolvarea problemelor de geometrie, ci și în situații de viață.

Geometria triunghiului

În geometria elementară, un triunghi dreptunghic este o figură care constă din trei segmente conectate care formează trei unghiuri (două acute și unul drept). Triunghiul dreptunghic este o figură originală caracterizată printr-o serie de proprietăți importante care formează fundamentul trigonometriei. Spre deosebire de un triunghi obișnuit, laturile unei figuri dreptunghiulare au propriile nume:

Ipotenuza este cea mai lungă latură a unui triunghi, opusă unghiului drept.
Picioarele sunt segmente care formează un unghi drept. În funcție de unghiul luat în considerare, piciorul poate fi adiacent acestuia (formând acest unghi cu ipotenuza) sau opus (aflat opus unghiului). Nu există picioare pentru triunghiuri care nu sunt drepte.

Raportul catetelor și ipotenuzei formează baza trigonometriei: sinusurile, tangentele și secantele sunt definite ca raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic în realitate

Această cifră a devenit larg răspândită în realitate. Triunghiurile sunt folosite în design și tehnologie, astfel încât calcularea ariei unei figuri trebuie făcută de ingineri, arhitecți și designeri. Bazele tetraedrelor sau prismelor - figuri tridimensionale care sunt ușor de întâlnit în viața de zi cu zi - au forma unui triunghi. În plus, un pătrat este cea mai simplă reprezentare a unui triunghi dreptunghic „plat” în realitate. Un pătrat este o unealtă de prelucrare a metalelor, desen, construcție și tâmplărie, care este folosită pentru a construi unghiuri atât de școlari, cât și de ingineri.

Aria unui triunghi

Aria unei figuri geometrice este o estimare cantitativă a cât de mult din plan este delimitată de laturile triunghiului. Aria unui triunghi obișnuit poate fi găsită în cinci moduri, folosind formula lui Heron sau folosind variabile precum baza, latura, unghiul și raza cercului înscris sau circumscris. Cea mai simplă formulă pentru suprafață este exprimată astfel:

unde a este latura triunghiului, h este înălțimea acestuia.

Formula pentru calcularea ariei unui triunghi dreptunghic este și mai simplă:

unde a și b sunt catete.

Lucrând cu calculatorul nostru online, puteți calcula aria unui triunghi folosind trei perechi de parametri:

doua picioare;
piciorul și unghiul adiacent;
picior și unghi opus.

În probleme sau situații de zi cu zi vi se vor oferi diferite combinații de variabile, astfel încât această formă a calculatorului vă permite să calculați aria unui triunghi în mai multe moduri. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemple din viața reală

Placă ceramică

Să presupunem că vrei să acoperiți pereții bucătăriei cu plăci ceramice, care au forma unui triunghi dreptunghic. Pentru a determina consumul de plăci, trebuie să aflați suprafața unui element de placare și suprafața totală a suprafeței de tratat. Să presupunem că trebuie să procesați 7 metri pătrați. Lungimea picioarelor unui element este de 19 cm, apoi aria plăcii va fi egală cu:

Aceasta înseamnă că aria unui element este de 24,5 centimetri pătrați sau 0,01805 metri pătrați. Cunoscând acești parametri, puteți calcula că pentru a finisa 7 metri pătrați de perete veți avea nevoie de 7/0,01805 = 387 elemente de plăci de parament.

Sarcina școlară

Să presupunem că într-o problemă de geometrie școlară trebuie să găsiți aria unui triunghi dreptunghic, știind doar că latura unui picior este de 5 cm, iar unghiul opus este de 30 de grade. Calculatorul nostru online vine cu o ilustrație care arată laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic. Dacă latura a = 5 cm, atunci unghiul ei opus este unghiul alfa, egal cu 30 de grade. Introduceți aceste date în formularul calculatorului și obțineți rezultatul:

Astfel, calculatorul nu numai că calculează aria unui triunghi dat, ci determină și lungimea catetei adiacente și a ipotenuzei, precum și valoarea celui de-al doilea unghi.

Concluzie

Triunghiuri dreptunghiulare se găsesc în viața noastră literalmente la fiecare colț. Determinarea zonei unor astfel de figuri vă va fi utilă nu numai atunci când rezolvați sarcinile școlare în geometrie, ci și în activitățile de zi cu zi și profesionale.

În funcție de tipul de triunghi, există mai multe opțiuni pentru găsirea zonei acestuia. De exemplu, pentru a calcula aria unui triunghi dreptunghic, utilizați formula S= a * b / 2, unde a și b sunt catetele sale. Dacă doriți să aflați aria unui triunghi isoscel, atunci trebuie să împărțiți produsul dintre baza și înălțimea acestuia la două. Adică S= b*h / 2, unde b este baza triunghiului și h este înălțimea acestuia.

Apoi, poate fi necesar să calculați aria unui triunghi dreptunghic isoscel. Aici vine în ajutor următoarea formulă: S = a* a / 2, unde picioarele „a” și „a” trebuie să aibă neapărat aceleași valori.

De asemenea, adesea trebuie să calculăm aria unui triunghi echilateral. Se găsește prin formula: S= a * h/ 2, unde a este latura triunghiului, iar h este înălțimea acestuia. Sau conform acestei formule: S= √3/ 4 *a^2, unde a este latura.

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic

Trebuie să găsiți aria unui triunghi dreptunghic, dar enunțul problemei nu indică dimensiunile a două dintre picioarele sale simultan? Atunci nu putem folosi această formulă (S= a * b / 2) direct.

Să luăm în considerare mai multe soluții posibile:

Dacă nu cunoașteți lungimea unui catete, dar sunt date dimensiunile ipotenuzei și ale celui de-al doilea catete, atunci ne întoarcem la marele Pitagora și, folosind teorema lui (a^2+b^2=c^2), calculăm lungimea piciorului necunoscut, apoi o folosim pentru a calcula aria triunghiului.
Daca se dau lungimea unui catet si gradul de panta a unghiului opus acestuia: gasim lungimea celui de-al doilea catet folosind formula - a=b*ctg(C).
Având în vedere: lungimea unui picior și panta gradată a unghiului adiacent acestuia: pentru a afla lungimea celui de-al doilea picior, folosim formula - a=b*tg(C).
Și în sfârșit, dat: unghiul și lungimea ipotenuzei: calculăm lungimea ambelor catete folosind următoarele formule - b=c*sin(C) și a=c*cos(C).

Cum să găsiți aria unui triunghi isoscel

Aria unui triunghi isoscel poate fi găsită foarte ușor și rapid folosind formula S= b*h / 2, dar dacă unul dintre indicatori lipsește, sarcina devine mult mai complicată. La urma urmei, este necesar să efectuați acțiuni suplimentare.

Opțiuni de sarcină posibile:

Date: lungimea uneia dintre laturi și lungimea bazei. Folosind teorema lui Pitagora, găsim înălțimea, adică lungimea celui de-al doilea picior. Cu condiția ca lungimea bazei împărțită la doi să fie catetul, iar latura cunoscută inițial să fie ipotenuza.
Date: baza și unghiul dintre latură și bază. Calculăm înălțimea folosind formula h=c*ctg(B)/2 (nu uitați să împărțiți latura „c” la două).
Dat: înălțimea și unghiul care a fost format de bază și latură: folosim formula c=h*tg(B)*2 pentru a găsi înălțimea și înmulțim rezultatul cu doi. Apoi calculăm aria.
Cunoscut: lungimea laturii si unghiul format intre aceasta si inaltime. Rezolvare: folosim formulele - c=a*sin(C)*2 și h=a*cos(C) pentru a afla baza și înălțimea, după care calculăm aria.

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic isoscel

Dacă toate datele sunt cunoscute, atunci folosind formula standard S= a* a / 2 calculăm aria unui triunghi dreptunghic isoscel, dar dacă unii indicatori nu sunt indicați în problemă, atunci se efectuează acțiuni suplimentare.

De exemplu: nu știm lungimile ambelor laturi (ne amintim că într-un triunghi dreptunghic isoscel sunt egale), dar lungimea ipotenuzei este dată. Să aplicăm teorema lui Pitagora pentru a găsi aceleași laturi „a” și „a”. Formula pitagoreică: a^2+b^2=c^2. În cazul unui triunghi dreptunghic isoscel, acesta se transformă în acesta: 2a^2 = c^2. Se pare că pentru a găsi catetul „a”, trebuie să împărțiți lungimea ipotenuzei la rădăcina lui 2. Rezultatul soluției va fi lungimea ambelor catete ale unui triunghi dreptunghic isoscel. În continuare găsim zona.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral

Folosind formula S= √3/ 4*a^2 puteți calcula cu ușurință aria unui triunghi echilateral. Dacă raza cercului circumscris triunghiului este cunoscută, atunci aria poate fi găsită folosind formula: S= 3√3/ 4*R^2, unde R este raza cercului.

După cum vă amintiți din programa școlară de geometrie, un triunghi este o figură formată din trei segmente conectate prin trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Un triunghi formează trei unghiuri, de unde și numele figurii. Definiția poate fi diferită. Un triunghi poate fi numit și poligon cu trei unghiuri, răspunsul va fi și el corect. Triunghiurile sunt împărțite în funcție de numărul de laturi egale și de dimensiunea unghiurilor din figuri. Astfel, triunghiurile se disting ca isoscele, echilaterale și scalene, precum și dreptunghiulare, acute și, respectiv, obtuze.

Există o mulțime de formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Alegeți cum să găsiți aria unui triunghi, de ex. Ce formulă să folosești depinde de tine. Dar este de remarcat doar câteva dintre notațiile care sunt utilizate în multe formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Deci, amintiți-vă:

S este aria triunghiului,

a, b, c sunt laturile triunghiului,

h este înălțimea triunghiului,

R este raza cercului circumscris,

p este semiperimetrul.

Iată notațiile de bază care vă pot fi utile dacă ați uitat complet cursul de geometrie. Mai jos sunt cele mai ușor de înțeles și mai simplu opțiuni pentru calcularea zonei necunoscute și misterioase a unui triunghi. Nu este dificil și va fi util atât pentru nevoile casnice, cât și pentru a vă ajuta copiii. Să ne amintim cum să calculăm cât mai ușor aria unui triunghi:

În cazul nostru, aria triunghiului este: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². Amintiți-vă că aria se măsoară în centimetri pătrați (cm2).

Triunghi dreptunghic și aria lui.

Un triunghi dreptunghic este un triunghi în care un unghi este egal cu 90 de grade (de aici numit drept). Un unghi drept este format din două drepte perpendiculare (în cazul unui triunghi, două segmente perpendiculare). Într-un triunghi dreptunghic nu poate exista decât un singur unghi drept, pentru că... suma tuturor unghiurilor unui triunghi este egală cu 180 de grade. Se pare că alte 2 unghiuri ar trebui să împartă restul de 90 de grade, de exemplu 70 și 20, 45 și 45 etc. Deci, vă amintiți principalul lucru, tot ce rămâne este să aflați cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic. Să ne imaginăm că avem un astfel de triunghi dreptunghic în fața noastră și trebuie să-i găsim aria S.

1. Cel mai simplu mod de a determina aria unui triunghi dreptunghic este calculat folosind următoarea formulă:

În cazul nostru, aria triunghiului dreptunghic este: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm pătrați.

În principiu, nu mai este nevoie să verificați aria triunghiului în alte moduri, deoarece Doar acesta va fi util și va ajuta în viața de zi cu zi. Dar există și opțiuni pentru măsurarea ariei unui triunghi prin unghiuri ascuțite.

2. Pentru alte metode de calcul, trebuie să aveți un tabel de cosinus, sinusuri și tangente. Judecă singur, iată câteva opțiuni pentru calcularea ariei unui triunghi dreptunghic care poate fi încă folosit:

Am decis să folosim prima formulă și cu câteva pete minore (am desenat-o într-un caiet și am folosit o riglă și un raportor vechi), dar am obținut calculul corect:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Am obținut următoarele rezultate: 3,6=3,7, dar ținând cont de deplasarea celulelor, putem ierta această nuanță.

Triunghiul isoscel și aria sa.

Dacă vă confruntați cu sarcina de a calcula formula pentru un triunghi isoscel, atunci cel mai simplu mod este să utilizați principalul și ceea ce este considerat a fi formula clasică pentru aria unui triunghi.

Dar mai întâi, înainte de a găsi aria unui triunghi isoscel, să aflăm ce fel de figură este aceasta. Un triunghi isoscel este un triunghi în care două laturi au aceeași lungime. Aceste două laturi se numesc laterale, a treia latură se numește bază. Nu confundați un triunghi isoscel cu un triunghi echilateral, adică. un triunghi regulat cu toate cele trei laturi egale. Într-un astfel de triunghi nu există tendințe speciale la unghiuri, sau mai degrabă la dimensiunea lor. Cu toate acestea, unghiurile de la bază într-un triunghi isoscel sunt egale, dar diferite de unghiul dintre laturile egale. Deci, știți deja prima și principala formulă; rămâne să aflați ce alte formule pentru determinarea ariei unui triunghi isoscel sunt cunoscute.

Un triunghi dreptunghic este un triunghi în care unul dintre unghiuri are 90°. Zona sa poate fi găsită dacă se cunosc două laturi. Puteți, desigur, să luați traseul lung - găsiți ipotenuza și calculați aria folosind , dar în cele mai multe cazuri acest lucru va dura doar timp suplimentar. De aceea formula pentru aria unui triunghi dreptunghic arată astfel:

Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor.

Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi dreptunghic.
Dat un triunghi dreptunghic cu catete A= 8 cm, b= 6 cm.
Calculăm aria:
Suprafața este: 24 cm 2

Teorema lui Pitagora se aplică și unui triunghi dreptunghic. – suma pătratelor celor două catete este egală cu pătratul ipotenuzei.
Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic isoscel este calculată în același mod ca și pentru un triunghi dreptunghic obișnuit.

Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi dreptunghic isoscel:
Dat un triunghi cu catete A= 4 cm, b= 4 cm.Calculează aria:
Calculați aria: = 8 cm 2

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic de către ipotenuză poate fi utilizată dacă condiția are un catet. Din teorema lui Pitagora găsim lungimea piciorului necunoscut. De exemplu, având în vedere ipotenuza cși picior A, picior b va fi egal cu:
Apoi, calculați aria folosind formula obișnuită. Un exemplu de calcul al formulei pentru aria unui triunghi dreptunghic pe baza ipotenuzei este identic cu cel descris mai sus.

Să luăm în considerare o problemă interesantă care va ajuta la consolidarea cunoștințelor formulelor pentru rezolvarea unui triunghi.
Sarcină: Aria unui triunghi dreptunghic este de 180 de metri pătrați. vezi, găsește catetul mai mic al triunghiului dacă este cu 31 cm mai mic decât al doilea.
Soluţie: să desemnăm picioarele AȘi b. Acum, să substituim datele în formula zonei: știm, de asemenea, că un picior este mai mic decât celălalt A – b= 31 cm
Din prima condiție obținem că
Inlocuim aceasta conditie in a doua ecuatie: