Umiejętność obliczania objętości figur przestrzennych jest ważna w rozwiązywaniu szeregu praktycznych problemów z geometrii. Jednym z najczęstszych kształtów jest piramida. W tym artykule rozważymy piramidy, zarówno pełne, jak i obcięte.

Piramida jako figura trójwymiarowa

Wszyscy wiedzą o Piramidy egipskie, dlatego dobrze przedstawiono, jaka liczba będzie omawiana. Niemniej jednak egipskie konstrukcje kamienne są tylko szczególnym przypadkiem ogromnej klasy piramid.

Rozważany obiekt geometryczny w ogólnym przypadku jest wieloboczną podstawą, której każdy wierzchołek jest połączony z pewnym punktem w przestrzeni, który nie należy do płaszczyzny podstawy. Ta definicja prowadzi do figury składającej się z jednego n-kąta i n trójkątów.

Dowolna piramida składa się z n+1 ścian, 2*n krawędzi i n+1 wierzchołków. Ponieważ rozważana figura jest idealnym wielościanem, liczby zaznaczonych elementów są zgodne z równaniem Eulera:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Wielokąt znajdujący się u podstawy daje nazwę piramidy, na przykład trójkątną, pięciokątną i tak dalej. Zestaw piramid z z różnych powodów pokazane na zdjęciu poniżej.

Punkt, w którym łączy się n trójkątów figury, nazywamy wierzchołkiem piramidy. Jeśli prostopadła zostanie obniżona od niej do podstawy i przecina ją w geometrycznym środku, wówczas taka figura będzie nazywana linią prostą. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, istnieje pochylona piramida.

Prostą figurę, której podstawę tworzy równoboczny (równokątny) n-gon, nazywa się regularną.

Formuła objętości piramidy

Aby obliczyć objętość piramidy, używamy rachunku całkowego. Aby to zrobić, dzielimy figurę siecznymi płaszczyznami równoległymi do podstawy na nieskończoną liczbę cienkich warstw. Poniższy rysunek przedstawia czworokątną piramidę o wysokości h i długości boku L, w której czworokąt oznacza cienka warstwa Sekcje.

Powierzchnię każdej takiej warstwy można obliczyć według wzoru:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Tutaj A 0 to obszar podstawy, z to wartość pionowej współrzędnej. Widać, że jeśli z = 0, to wzór daje wartość A 0 .

Aby otrzymać wzór na objętość piramidy, należy obliczyć całkę po całej wysokości figury, czyli:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Podstawiając zależność A(z) i obliczając funkcję pierwotną, otrzymujemy wyrażenie:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * godz.

Otrzymaliśmy wzór na objętość piramidy. Aby znaleźć wartość V, wystarczy pomnożyć wysokość figury przez powierzchnię podstawy, a następnie wynik podzielić przez trzy.

Zauważ, że wynikowe wyrażenie jest prawidłowe do obliczania objętości piramidy dowolnego typu. Oznacza to, że może być nachylony, a jego podstawą może być dowolny n-gon.

i jego objętość

Otrzymano w akapicie powyżej ogólna formuła dla objętości można określić w przypadku piramidy z odpowiednia podstawa. Powierzchnia takiej bazy obliczana jest według następującego wzoru:

A 0 = n/4*L2 *ctg(pi/n).

Tutaj L jest długością boku wielokąta foremnego o n wierzchołkach. Symbol pi to liczba pi.

Podstawiając wyrażenie na A 0 do ogólnego wzoru, otrzymujemy objętość regularnej piramidy:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na przykład dla trójkątnej piramidy ta formuła prowadzi do następującego wyrażenia:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Dla prawidłowego piramida czworokątna formuła objętości przyjmuje postać:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Wyznaczenie objętości piramid regularnych wymaga znajomości boku ich podstawy oraz wysokości figury.

Piramida obcięta

Załóżmy, że wzięliśmy dowolną piramidę i odcięliśmy część jej bocznej powierzchni zawierającą wierzchołek. Pozostała figura nazywana jest ściętą piramidą. Składa się już z dwóch n-gonalnych baz i n trapezoidów, które je łączą. Jeśli płaszczyzna cięcia była równoległa do podstawy figury, powstaje ścięta piramida z równoległymi podobnymi podstawami. Oznacza to, że długości boków jednego z nich można uzyskać, mnożąc długości drugiego przez pewien współczynnik k.

Powyższy rysunek przedstawia ściętą regularną, widać, że jej górna podstawa, podobnie jak dolna, jest utworzona przez sześciokąt foremny.

Wzór, który można wyprowadzić za pomocą rachunku całkowego podobnego do powyższego, to:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Gdzie A 0 i A 1 są obszarami odpowiednio dolnej (dużej) i górnej (małej) podstawy. Zmienna h oznacza wysokość ściętego ostrosłupa.

Objętość piramidy Cheopsa

Ciekawe jest rozwiązanie problemu określenia objętości, jaką zawiera największa piramida egipska.

W 1984 roku założyli brytyjscy egiptolodzy Mark Lehner i Jon Goodman dokładne wymiary Piramida Cheopsa. Jego pierwotna wysokość wynosiła 146,50 metrów (obecnie około 137 metrów). Średnia długość każdy z czterech boków konstrukcji miał 230,363 metry. Podstawa piramidy jest kwadratowa z dużą precyzją.

Wykorzystajmy podane liczby do określenia objętości tego kamiennego olbrzyma. Ponieważ piramida jest regularnym czworokątem, obowiązuje dla niej formuła:

Wstawiając liczby, otrzymujemy:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Objętość piramidy Cheopsa wynosi prawie 2,6 miliona m 3. Dla porównania zauważamy, że basen olimpijski ma objętość 2,5 tys. m 3. Oznacza to, że aby wypełnić całą piramidę Cheopsa, potrzeba ponad 1000 takich basenów!

Piramida. Skrócona piramida

Piramida nazywa się wielościanem, którego jedna z powierzchni jest wielokątem ( baza ), a wszystkie inne twarze są trójkątami o wspólnym wierzchołku ( twarze boczne ) (rys. 15). Piramida nazywa się prawidłowy , jeśli jej podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy (ryc. 16). Trójkątna piramida, w której wszystkie krawędzie są równe, nazywa się czworościan .

Boczne żebro piramida nazywana jest stroną ściany bocznej, która nie należy do podstawy Wysokość ostrosłup to odległość od jego wierzchołka do płaszczyzny podstawy. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa regularnego są sobie równe, wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa foremnego narysowanego z wierzchołka nazywa się apotema . przekrój przekątny Sekcja piramidy nazywana jest płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

Powierzchnia boczna piramida nazywana jest sumą powierzchni wszystkich ścian bocznych. powierzchnia pełna powierzchnia to suma powierzchni wszystkich ścian bocznych i podstawy.

Twierdzenia

1. Jeżeli w ostrosłupie wszystkie boczne krawędzie są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek ostrosłupa jest rzutowany na środek koła opisanego w pobliżu podstawy.

2. Jeżeli w ostrosłupie wszystkie boczne krawędzie mają jednakową długość, to wierzchołek ostrosłupa jest rzutowany na środek koła opisanego w pobliżu podstawy.

3. Jeżeli w piramidzie wszystkie ściany są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek piramidy rzutowany jest na środek okręgu wpisanego w podstawę.

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, formuła jest poprawna:

gdzie V- Tom;

S główne- powierzchnia bazowa;

h to wysokość piramidy.

W przypadku regularnej piramidy prawdziwe są następujące formuły:

gdzie P- obwód podstawy;

ha- apotem;

h- Wysokość;

S pełne

Strona S

S główne- powierzchnia bazowa;

V to objętość regularnej piramidy.

ścięta piramida zwana częścią piramidy zamkniętą między podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy (ryc. 17). Prawidłowa ścięta piramida nazywana częścią regularnej piramidy, zamkniętą między podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy.

Podwaliny ostrosłup ścięty - podobne wielokąty. Twarze boczne - trapez. Wysokość ścięta piramida nazywana jest odległością między jej podstawami. Przekątna Ścięty ostrosłup to odcinek łączący jej wierzchołki, które nie leżą na tej samej powierzchni. przekrój przekątny Sekcja ściętej piramidy nazywana jest płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

W przypadku ściętej piramidy obowiązują formuły:

(4)

gdzie S 1 , S 2 - obszary górnej i dolnej podstawy;

S pełne to całkowita powierzchnia;

Strona S to powierzchnia boczna;

h- Wysokość;

V to objętość ściętej piramidy.

W przypadku regularnej ściętej piramidy prawdziwy jest następujący wzór:

gdzie P 1 , P 2 - obwody bazowe;

ha- apotem regularnej ściętej piramidy.

Przykład 1 W regularnej piramidzie trójkątnej kąt dwuścienny u podstawy wynosi 60º. Znajdź styczną kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 18).

Piramida jest regularna, co oznacza, że ​​podstawą jest trójkąt równoboczny, a wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Kąt dwuścienny u podstawy - jest to kąt nachylenia ściany bocznej piramidy do płaszczyzny podstawy. Kąt liniowy będzie kątem a między dwoma prostopadłymi: tj. Wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek trójkąta (środek koła opisanego i koła wpisanego w trójkącie ABC). Kąt nachylenia żebra bocznego (na przykład SB) to kąt między samą krawędzią a jej rzutem na płaszczyznę bazową. na żeberka SB ten kąt będzie kątem SBD. Aby znaleźć styczną, musisz znać nogi WIĘC I OB. Niech długość odcinka BD jest 3 ale. kropka O Sekcja BD jest podzielony na części: i Od znajdujemy WIĘC: Od znajdujemy:

Odpowiedź:

Przykład 2 Znajdź objętość regularnej ściętej piramidy czworokątnej, jeśli przekątne jej podstawy wynoszą cm i cm, a wysokość 4 cm.

Rozwiązanie. Aby obliczyć objętość ściętej piramidy, używamy wzoru (4). Aby znaleźć obszary baz, musisz znaleźć boki kwadratów bazowych, znając ich przekątne. Boki podstaw mają odpowiednio 2 cm i 8 cm, co oznacza pola podstaw i podstawiając wszystkie dane do wzoru, obliczamy objętość ściętej piramidy:

Odpowiedź: 112 cm3.

Przykład 3 Znajdź obszar powierzchni bocznej regularnej trójkątnej ściętej piramidy, której boki podstawy mają 10 cm i 4 cm, a wysokość piramidy wynosi 2 cm.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 19).

Boczna ściana tej piramidy ma kształt trapezu równoramiennego. Aby obliczyć powierzchnię trapezu, musisz znać podstawy i wysokość. Podstawy są podane według warunków, tylko wysokość pozostaje nieznana. Znajdź to skąd ALE 1 mi prostopadle od punktu ALE 1 w płaszczyźnie dolnej podstawy, A 1 D- prostopadle od ALE 1 dnia AC. ALE 1 mi\u003d 2 cm, ponieważ jest to wysokość piramidy. Za znalezienie DE wykonamy dodatkowy rysunek, na którym przedstawimy widok z góry (ryc. 20). Kropka O- rzut środków podstawy górnej i dolnej. od (patrz rys. 20) i Z drugiej strony ok jest promieniem okręgu wpisanego i OM jest promieniem okręgu wpisanego:

MK=DE.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa z

Powierzchnia boczna:

Odpowiedź:

Przykład 4 U podstawy piramidy leży trapez równoramienny, którego podstawy ale I b (a> b). Każda ściana boczna tworzy kąt równy płaszczyźnie podstawy piramidy J. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 21). Całkowita powierzchnia piramidy SABCD jest równa sumie powierzchni i powierzchni trapezu ABCD.

Posłużmy się stwierdzeniem, że jeśli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek rzutowany jest na środek okręgu wpisanego w podstawę. Kropka O- rzutowanie wierzchołków S u podstawy piramidy. Trójkąt DARŃ jest rzutem ortogonalnym trójkąta CSD do płaszczyzny bazowej. Zgodnie z twierdzeniem o polu rzutu ortogonalnego figury płaskiej otrzymujemy:

Podobnie oznacza to Tym samym problem sprowadzał się do znalezienia obszaru trapezu ABCD. Narysuj trapez ABCD oddzielnie (ryc. 22). Kropka O jest środkiem koła wpisanym w trapez.

Ponieważ okrąg można wpisać w trapez, to lub Według twierdzenia Pitagorasa mamy

• 09.10.2014

  Przedstawiony na rysunku przedwzmacniacz przeznaczony jest do współpracy z 4 rodzajami źródeł dźwięku, takimi jak mikrofon, odtwarzacz CD, magnetofon itp. Jednocześnie przedwzmacniacz posiada jedno wejście, które może zmieniać czułość od 50mV do 500mV . napięcie wyjściowe wzmacniacza wynosi 1000mV. Złączony różne źródła sygnał przy przełączaniu przełącznika SA1, zawsze dostaniemy...

• 20.09.2014

  Zasilacz jest przeznaczony do obciążenia o mocy 15 ... 20 watów. Źródło jest wykonane zgodnie ze schematem jednocyklowego impulsowego przetwornika wysokiej częstotliwości. Na tranzystorze montowany jest oscylator działający z częstotliwością 20 ... 40 kHz. Częstotliwość jest regulowana przez pojemność C5. Elementy VD5, VD6 i C6 tworzą obwód do uruchamiania oscylatora. W obwodzie wtórnym, za mostkiem prostowniczym, na mikroukładzie znajduje się konwencjonalny stabilizator liniowy, który pozwala na ...

• 28.09.2014

  Rysunek pokazuje generator na chipie K174XA11, którego częstotliwość jest kontrolowana przez napięcie. Zmieniając pojemność C1 z 560 na 4700pF można uzyskać szeroki zakres częstotliwości, a częstotliwość regulować zmieniając rezystancję R4. Na przykład autor dowiedział się, że przy C1 \u003d 560 pF częstotliwość generatora można zmienić za pomocą R4 z 600 Hz na 200 kHz, ...

• 03.10.2014

  Urządzenie jest przeznaczone do zasilania potężnego ULF, jest przeznaczone do napięcia wyjściowego ±27V, a więc obciąża do 3A na każdym ramieniu. Zasilacz jest bipolarny, wykonany na kompletnych tranzystorach kompozytowych KT825-KT827. Oba ramiona stabilizatora wykonane są według tego samego schematu, ale w drugim ramieniu (nie pokazano) zmieniona jest polaryzacja kondensatorów i zastosowano tranzystory drugiego...