Didžiausios srovės stiprumo formulė virpesių grandinėje. Virpesių grandinė

Elektromagnetinis laukas gali egzistuoti ir nesant elektros krūvių ar srovių: būtent tokie „savaime išsilaikantys“ elektriniai ir magnetiniai laukai atspindi elektromagnetines bangas kurios apima matomą šviesą, infraraudonuosius, ultravioletinius ir rentgeno spinduliuotė, radijo bangos ir kt.

§ 25. Virpesių grandinė

Paprasčiausia sistema, kurioje galimi natūralūs elektromagnetiniai virpesiai, yra vadinamoji virpesių grandinė, susidedanti iš kondensatoriaus ir induktoriaus, sujungto vienas su kitu (157 pav.). Kaip ir mechaninis osciliatorius, pavyzdžiui, masyvus kūnas ant elastingos spyruoklės, natūralūs virpesiai grandinėje yra lydimi energijos transformacijų.

Ryžiai. 157. Virpesių grandinė

Mechaninių ir elektromagnetinių virpesių analogija. Virpesių grandinėje mechaninio osciliatoriaus potencinės energijos analogas (pavyzdžiui, deformuotos spyruoklės tamprumo energija) yra kondensatoriaus elektrinio lauko energija. Judančio kūno kinetinės energijos analogas yra energija magnetinis laukas induktoriuje. Iš tiesų spyruoklės energija proporcinga poslinkio iš pusiausvyros padėties kvadratui, o kondensatoriaus energija proporcinga krūvio kvadratui.Kūno kinetinė energija proporcinga jo greičio kvadratui, o ritėje esančio magnetinio lauko energija proporcinga srovės kvadratui.

Bendra spyruoklinio osciliatoriaus E mechaninė energija yra lygi potencialių ir kinetinių energijų sumai:

Vibracijos energija. Panašiai, visa virpesių grandinės elektromagnetinė energija yra lygi kondensatoriaus elektrinio lauko ir ritėje esančio magnetinio lauko energijų sumai:

Iš (1) ir (2) formulių palyginimo matyti, kad spyruoklinio generatoriaus standumo k analogas virpesių grandinėje yra talpos C abipusė vertė, o masės analogas yra ritės induktyvumas.

Prisiminkite, kad mechaninėje sistemoje, kurios energija pateikiama išraiška (1), gali atsirasti savų neslopintų harmoninių virpesių. Tokių svyravimų dažnio kvadratas yra lygus koeficientų santykiui poslinkio ir greičio kvadratuose energijos išraiškoje:

Savas dažnis. Virpesių grandinėje, kurios elektromagnetinė energija pateikiama išraiška (2), gali atsirasti savų neslopintų harmoninių virpesių, kurių dažnio kvadratas taip pat akivaizdžiai lygus atitinkamų koeficientų (ty koeficientų) santykiui. krūvio ir srovės stiprumo kvadratuose):

Iš (4) seka svyravimo laikotarpio išraiška, vadinama Tomsono formule:

Esant mechaniniams svyravimams, poslinkio x priklausomybę nuo laiko lemia kosinuso funkcija, kurios argumentas vadinamas svyravimo faze:

Amplitudė ir pradinė fazė. Amplitudė A ir pradinė fazė a nustatomos pagal pradines sąlygas, ty poslinkio ir greičio reikšmės

Panašiai, esant elektromagnetiniams natūraliems virpesiams grandinėje, kondensatoriaus įkrova priklauso nuo laiko pagal įstatymą

kur dažnis nustatomas pagal (4) tik pagal pačios grandinės savybes, o krūvio svyravimų amplitudė ir pradinė fazė a, kaip ir mechaninio generatoriaus atveju

pradinės sąlygos, ty kondensatoriaus įkrovos vertės ir srovės stipris esant Taigi, natūralus dažnis nepriklauso nuo virpesių sužadinimo metodo, o amplitudė ir pradinė fazė yra tiksliai nustatomos pagal sužadinimo sąlygas. .

Energijos transformacijos. Išsamiau panagrinėkime energijos transformacijas mechaninių ir elektromagnetinių virpesių metu. Ant pav. 158 schematiškai pavaizduotos mechaninių ir elektromagnetinių osciliatorių būsenos kas ketvirtį periodo

Ryžiai. 158. Energijos virsmai mechaninių ir elektromagnetinių virpesių metu

Du kartus per svyravimo laikotarpį energija paverčiama iš vienos formos į kitą ir atvirkščiai. Bendra virpesių grandinės energija, kaip ir visa mechaninio generatoriaus energija, nesikeičia, jei nėra išsklaidymo. Norint tai patikrinti, formule (2) būtina pakeisti reiškinį (6) ir srovės stiprumo išraišką.

Naudodami (4) formulę gauname

Ryžiai. 159. Kondensatoriaus elektrinio lauko energijos ir magnetinio lauko energijos ritėje grafikai priklausomai nuo kondensatoriaus įkrovimo laiko

Pastovi suminė energija sutampa su potencialia energija momentais, kai kondensatoriaus įkrova yra didžiausia, ir sutampa su ritės magnetinio lauko energija - "kinetine" energija - tais momentais, kai kondensatoriaus įkrova išnyksta ir srovė yra maksimali. Abipusių transformacijų metu dviejų tipų energija sukuria harmoninius svyravimus su ta pačia amplitude priešfazėje viena su kita ir dažniu, palyginti su jų vidutine verte. Tai lengva patikrinti, kaip parodyta Fig. 158, o formulių pagalba trigonometrinės funkcijos pusė argumento:

Elektrinio lauko energijos ir magnetinio lauko energijos priklausomybės nuo kondensatoriaus įkrovimo laiko grafikai pateikti pav. 159 už pradinį etapą

Natūralių elektromagnetinių virpesių kiekybiniai dėsningumai gali būti nustatyti tiesiogiai remiantis kvazistacionarių srovių dėsniais, nesiimant analogijos su mechaniniais svyravimais.

Virpesių grandinėje lygtis. Apsvarstykite paprasčiausią svyravimo grandinę, parodytą Fig. 157. Apeinant grandinę, pavyzdžiui, prieš laikrodžio rodyklę, tokioje uždaros serijos grandinėje induktoriaus ir kondensatoriaus įtampų suma lygi nuliui:

Kondensatoriaus įtampa yra susijusi su plokštės įkrovimu ir talpa Su ryšiu Induktyvumo įtampa bet kuriuo metu yra lygi absoliučia verte ir priešinga ženklu EML saviindukcija, todėl srovė grandinėje yra lygi kondensatoriaus įkrovos kitimo greičiui:

Gauname Dabar išraiška (10) įgauna formą

Perrašykime šią lygtį kitaip, įvesdami pagal apibrėžimą:

(12) lygtis sutampa su lygtimi harmonines vibracijas mechaninis osciliatorius su natūraliu dažniu Tokios lygties sprendimas pateikiamas harmonine (sinusoidine) laiko funkcija (6) su savavališkomis amplitudės ir pradinės fazės a reikšmėmis. Iš to seka visi aukščiau pateikti rezultatai, susiję su elektromagnetiniais virpesiais grandinėje.

Elektromagnetinių virpesių slopinimas. Iki šiol aptarėme savituosius virpesius idealizuotoje mechaninėje sistemoje ir idealizuotoje LC grandinėje. Idealizacija buvo nepaisyti trinties osciliatoriuje ir elektros varžos grandinėje. Tik tokiu atveju sistema bus konservatyvi ir bus išsaugota svyravimų energija.

Ryžiai. 160. Virpesių grandinė su varža

Virpesių energijos išsklaidymo grandinėje apskaita gali būti atliekama taip pat, kaip ir mechaninio osciliatoriaus, turinčio trintį, atveju. Ritės ir jungiamųjų laidų elektrinės varžos buvimas neišvengiamai susijęs su Džaulio šilumos išsiskyrimu. Kaip ir anksčiau, šis pasipriešinimas gali būti vertinamas kaip nepriklausomas elementas in elektros schema svyravimo grandinė, ritę ir laidus laikant idealiais (160 pav.). Atsižvelgiant į beveik stacionarią srovę tokioje grandinėje, į (10) lygtį reikia pridėti įtampą per varžą

Pakeisdami į gauname

Pristatome užrašą

perrašome (14) lygtį į formą

Lygtis (16) turi lygiai tokią pačią formą kaip mechaninio osciliatoriaus virpesių lygtis su

greičiui proporcinga trintis (klampi trintis). Todėl, esant elektros varžai grandinėje, elektromagnetiniai virpesiai vyksta pagal tą patį dėsnį, kaip ir mechaniniai osciliatoriaus, turinčio klampią trintį, virpesiai.

Vibracijos energijos išsklaidymas. Kaip ir mechaninių virpesių atveju, galima nustatyti natūralių virpesių energijos mažėjimo laikui bėgant dėsnį, taikant Džaulio-Lenco dėsnį skaičiuojant išsiskiriančią šilumą:

Dėl to, esant mažam slopinimui laiko intervalais, daug ilgesniais nei svyravimų periodas, svyravimų energijos mažėjimo greitis pasirodo proporcingas pačiai energijai:

(18) lygties sprendinys turi formą

Natūralių elektromagnetinių virpesių energija grandinėje su varža mažėja eksponentiškai.

Virpesių energija yra proporcinga jų amplitudės kvadratui. Elektromagnetinių virpesių atveju tai seka, pavyzdžiui, iš (8). Todėl slopintų virpesių amplitudė pagal (19) mažėja pagal dėsnį

Virpesių gyvavimo laikas. Kaip matyti iš (20), svyravimų amplitudė sumažėja 1 kartą per laiką, lygų, nepriklausomai nuo pradinės amplitudės reikšmės.Šis laikas x vadinamas svyravimų trukme, nors, kaip ir gali matyti iš (20), svyravimai formaliai tęsiasi neribotą laiką. Realybėje, žinoma, prasminga kalbėti apie svyravimus tik tol, kol jų amplitudė viršija būdingą šiluminio triukšmo lygio vertę tam tikroje grandinėje. Todėl iš tikrųjų svyravimai grandinėje „gyja“ ribotą laiką, kuris, tačiau, gali būti kelis kartus didesnis už pirmiau pateiktą gyvenimo trukmę x.

Dažnai svarbu žinoti ne paties svyravimų x gyvavimo trukmę, o pilnų virpesių skaičių, kuris įvyks grandinėje per šį laiką x. Šis skaičius, padaugintas iš, vadinamas grandinės kokybės koeficientu.

Griežtai tariant, slopinami svyravimai nėra periodiški. Esant nedideliam susilpnėjimui, sąlyginai galime kalbėti apie periodą, kuris suprantamas kaip laiko intervalas tarp dviejų

nuoseklios maksimalios kondensatoriaus įkrovos vertės (to paties poliškumo) arba didžiausios srovės vertės (vienos krypties).

Virpesių slopinimas turi įtakos periodui, todėl jis padidėja, palyginti su idealizuotu neslopinimo atveju. Esant mažam slopinimui, svyravimo periodo padidėjimas yra labai mažas. Tačiau esant stipriam slopinimui, svyravimų gali ir nebūti: įkrautas kondensatorius išsikraus periodiškai, t.y., nekeičiant srovės krypties grandinėje. Taip bus su t.y. su

Tikslus sprendimas. Aukščiau suformuluoti slopintų virpesių modeliai išplaukia iš tikslaus diferencialinės lygties (16) sprendimo. Tiesiogiai pakeičiant, galima patikrinti, ar jis turi formą

kur yra savavališkos konstantos, kurių reikšmės nustatomos iš pradinių sąlygų. Esant mažam slopinimui, kosinuso daugiklis gali būti vertinamas kaip lėtai kintanti virpesių amplitudė.

Užduotis

Kondensatorių įkrovimas per induktorių. Grandinėje, kurios schema parodyta fig. 161, viršutinio kondensatoriaus įkrovimas yra lygus, o apatinis nėra įkrautas. Šiuo metu raktas uždarytas. Raskite viršutinio kondensatoriaus įkrovos ir srovės ritėje priklausomybę nuo laiko.

Ryžiai. 161. Pradiniu laiko momentu įkraunamas tik vienas kondensatorius

Ryžiai. 162. Kondensatorių įkrovimai ir srovė grandinėje uždarius raktą

Ryžiai. 163. Pavaizduotos elektros grandinės mechaninė analogija. 162

Sprendimas. Uždarius raktą, grandinėje atsiranda virpesių: viršutinis kondensatorius pradeda išsikrauti per ritę, o įkraunamas apatinis; tada viskas vyksta priešinga kryptimi. Tegul, pavyzdžiui, esant , Viršutinė kondensatoriaus plokštė turi būti teigiamai įkrauta. Tada

po trumpo laiko kondensatoriaus plokščių įkrovimo ženklai ir srovės kryptis bus kaip parodyta pav. 162. Žymi tų viršutinių ir apatinių kondensatorių plokščių, kurios tarpusavyje sujungtos per induktorių, krūviais. Remiantis gamtosaugos įstatymu elektros krūvis

Visų uždaros grandinės elementų įtempių suma kiekvienu laiko momentu yra lygi nuliui:

Kondensatoriaus įtampos ženklas atitinka įkrovų pasiskirstymą pav. 162. ir nurodyta srovės kryptis. Srovės per ritę išraiška gali būti parašyta viena iš dviejų formų:

Išskirkime iš lygties naudodami ryšius (22) ir (24):

Pristatome užrašą

perrašome (25) tokia forma:

Jei vietoj funkcijos įvedimo

ir atsižvelgti į tai, kad (27) turi tokią formą

Tai įprasta neslopintų harmoninių virpesių lygtis, kuri turi sprendimą

kur ir yra savavališkos konstantos.

Grįždami iš funkcijos, gauname tokią priklausomybės nuo viršutinio kondensatoriaus įkrovimo laiko išraišką:

Norėdami nustatyti konstantas ir a, atsižvelgiame į tai, kad pradiniu momentu įkrovimas a srovė Srovės stiprumui iš (24) ir (31) turime

Kadangi iš čia išplaukia, kad Pakeičiant dabar ir atsižvelgiant į tai, kad gauname

Taigi, įkrovos ir srovės stiprumo išraiškos yra

Krūvio ir srovės svyravimų pobūdis ypač akivaizdus, kai tos pačios vertybės kondensatorių talpos. Tokiu atveju

Viršutinio kondensatoriaus įkrova svyruoja maždaug vidutine amplitude, lygia pusei virpesių periodo, jis sumažėja nuo didžiausios vertės pradiniu momentu iki nulio, kai visas įkrovimas yra ant apatinio kondensatoriaus.

Žinoma, virpesių dažnio išraišką (26) galima parašyti iš karto, nes nagrinėjamoje grandinėje kondensatoriai sujungti nuosekliai. Tačiau sunku tiesiogiai parašyti išraiškas (34), nes tokiomis pradinėmis sąlygomis neįmanoma pakeisti grandinėje esančių kondensatorių vienu lygiaverčiu.

Vaizdinis čia vykstančių procesų vaizdas pateikiamas mechaniniu šios elektros grandinės analogu, parodytu fig. 163. Identiškos spyruoklės atitinka tokios pat talpos kondensatorių atvejį. Pradiniu momentu kairioji spyruoklė yra suspausta, o tai atitinka įkrautą kondensatorių, o dešinė yra nedeformuota, nes spyruoklės deformacijos laipsnis tarnauja kaip kondensatoriaus įkrovimo analogas. Einant per vidurinę padėtį, abi spyruoklės yra iš dalies suspaustos, o kraštutinėje dešinėje padėtyje kairioji spyruoklė nesideformuoja, o dešinė suspaudžiama taip pat, kaip ir kairioji pradiniu momentu, o tai atitinka visiškas įkrovimo srautas iš vieno kondensatoriaus į kitą. Nors rutulys atlieka įprastus harmoninius svyravimus aplink pusiausvyros padėtį, kiekvienos spyruoklės deformacija apibūdinama funkcija, kurios vidutinė vertė skiriasi nuo nulio.

Priešingai nei virpesių grandinėje su vienu kondensatoriumi, kai svyravimų metu jos pasikartojantis pilnas įkrovimas, nagrinėjamoje sistemoje iš pradžių įkrautas kondensatorius nėra visiškai įkraunamas. Pavyzdžiui, kai jo įkrova sumažėja iki nulio, o tada vėl atkuriama tuo pačiu poliškumu. Priešingu atveju šie svyravimai nesiskiria nuo harmoninių svyravimų įprastoje grandinėje. Šių virpesių energija išsaugoma, jei, žinoma, galima nepaisyti ritės ir jungiamųjų laidų varžos.

Paaiškinkite, kodėl palyginus mechaninių ir elektromagnetinių energijų (1) ir (2) formules, buvo padaryta išvada, kad standumo k analogas yra, o masės analogas yra induktyvumas, o ne atvirkščiai.

Pagrįskite savaiminio elektromagnetinių virpesių grandinės dažnio išraiškos (4) išvedimą iš analogijos su mechaniniu spyruokliniu osciliatoriumi.

Harmoniniai svyravimai -grandėje apibūdinami amplitude, dažniu, periodu, virpesių faze, pradine faze. Kuriuos iš šių dydžių lemia pačios virpesių grandinės savybės, o kurie priklauso nuo svyravimų sužadinimo būdo?

Įrodykite, kad vidutinės elektros ir magnetinės energijos vertės natūralių virpesių grandinėje metu yra lygios viena kitai ir sudaro pusę visos virpesių elektromagnetinės energijos.

Kaip pritaikyti kvazistacionarių reiškinių dėsnius elektros grandinėje, norint gauti diferencialinę lygtį (12) harmoniniams virpesiams grandinėje?

Kokią diferencialinę lygtį tenkina srovė LC grandinėje?

Išveskite virpesių energijos mažėjimo greičio esant mažam slopinimui lygtį taip pat, kaip tai buvo padaryta mechaniniam generatoriui, kurio trintis proporcinga greičiui, ir parodykite, kad laiko intervalais, žymiai viršijančiais svyravimo periodą, šis sumažėjimas įvyksta. pagal eksponentinį dėsnį. Ką reiškia čia vartojamas terminas „mažas slopinimas“?

Parodykite, kad funkcija, pateikta formule (21), atitinka (16) lygtį bet kurioms ir a reikšmėms.

Apsvarstykite mechaninę sistemą, parodytą fig. 163, ir rasti priklausomybę nuo kairiosios spyruoklės deformacijos laiko ir masyvaus kūno greičio.

Kilpa be pasipriešinimo su neišvengiamais nuostoliais. Aukščiau nagrinėtoje problemoje, nepaisant ne visai įprastų pradinių kondensatorių įkrovimo sąlygų, buvo galima taikyti įprastas elektros grandinių lygtis, nes ten buvo tenkinamos vykstančių procesų kvazistacionarumo sąlygos. Bet grandinėje, kurios schema parodyta fig. 164, su formaliu išoriniu panašumu į diagramą pav. 162, kvazistacionarumo sąlygos netenkinamos, jei pradiniu momentu vienas kondensatorius yra įkrautas, o antrasis ne.

Išsamiau aptarkime priežastis, kodėl čia pažeidžiamos kvazistacionarumo sąlygos. Iš karto po uždarymo

Ryžiai. 164. Elektros grandinė, kuriai netenkinamos kvazistacionarumo sąlygos

Svarbiausia, kad visi procesai vyksta tik tarpusavyje sujungtuose kondensatoriuose, nes srovės padidėjimas per induktorių yra gana lėtas ir iš pradžių galima nepaisyti srovės išsišakojimo į ritę.

Kai raktas uždarytas, grandinėje, kurią sudaro kondensatoriai ir juos jungiantys laidai, atsiranda greiti slopinami virpesiai. Tokių svyravimų laikotarpis yra labai mažas, nes jungiamųjų laidų induktyvumas yra mažas. Dėl šių svyravimų kondensatoriaus plokščių įkrova perskirstoma, po to du kondensatoriai gali būti laikomi vienu. Tačiau pirmą akimirką to padaryti negalima, nes kartu su krūvių persiskirstymu vyksta ir energijos persiskirstymas, kurio dalis patenka į šilumą.

Slopinus greitus virpesius, sistemoje atsiranda svyravimai, kaip ir grandinėje su vienu talpiniu kondensatoriumi, kurio įkrovimas pradiniu momentu lygus pradiniam kondensatoriaus įkrovimui.Aukščiau pateiktų samprotavimų pagrįstumo sąlyga yra jungiamųjų laidų induktyvumo mažumą lyginant su ritės induktyvumu.

Kaip ir nagrinėjamoje problemoje, taip ir čia pravartu rasti mechaninę analogiją. Jei ten dvi spyruoklės, atitinkančios kondensatorius, buvo abiejose masyvaus kūno pusėse, čia jos turi būti vienoje jo pusėje, kad vienos iš jų vibracijos galėtų būti perduodamos kitai, kol kūnas stovi. Vietoj dviejų spyruoklių galite paimti vieną, tačiau tik iš pradžių ji turėtų būti deformuota nehomogeniškai.

Sugriebiame spyruoklę už vidurio ir ištempiame jos kairiąją pusę tam tikru atstumu, antroji spyruoklės pusė išliks nedeformuota, kad apkrova pradiniu momentu iš pusiausvyros padėties pasislinktų į dešinę per atstumą ir ilsisi. Tada atleiskime spyruoklę. Kokios savybės atsiras dėl to, kad pradiniu momentu spyruoklė deformuojasi nehomogeniškai? nes, kaip nesunku pastebėti, spyruoklės „pusės“ standumas yra Jei spyruoklės masė yra maža, palyginti su rutulio mase, natūralusis spyruoklės, kaip išplėstinės sistemos, dažnis yra daug didesnis nei rutulio dažnis ant spyruoklės. Šie „greiti“ svyravimai išnyks per laiką, kuris yra nedidelė rutulio svyravimų laikotarpio dalis. Slopinus greitus svyravimus, spyruoklės įtempimas perskirstomas, o apkrovos poslinkis išlieka praktiškai toks pat, nes per tą laiką apkrova nespėja pastebimai pajudėti. Spyruoklės deformacija tampa vienoda, o sistemos energija lygi

Taigi greitų spyruoklės svyravimų vaidmuo sumažėjo iki to, kad sistemos energijos rezervas sumažėjo iki vertės, atitinkančios vienodą pradinę spyruoklės deformaciją. Akivaizdu, kad tolesni procesai sistemoje nesiskiria nuo vienalytės pradinės deformacijos. Apkrovos poslinkio priklausomybė nuo laiko išreiškiama ta pačia formule (36).

Nagrinėjamame pavyzdyje dėl greitų svyravimų jis tapo vidinė energija(į šilumą) pusę pradinio mechaninės energijos tiekimo. Akivaizdu, kad pradinę deformaciją paveikus ne pusei, o savavališkai spyruoklės daliai, galima bet kurią pradinio mechaninės energijos tiekimo dalį paversti vidine energija. Bet visais atvejais spyruoklės apkrovos virpesių energija atitinka energijos rezervą tai pačiai vienodai pradinei spyruoklės deformacijai.

Elektros grandinėje dėl slopintų greitų svyravimų įkrauto kondensatoriaus energija iš dalies išsiskiria džaulio šilumos pavidalu jungiamuosiuose laiduose. Esant vienodoms talpoms, tai bus pusė pradinio energijos rezervo. Kita pusė lieka santykinai lėtų elektromagnetinių virpesių energijos pavidalu grandinėje, kurią sudaro ritė ir du lygiagrečiai sujungti kondensatoriai C, ir

Taigi šioje sistemoje idealizavimas iš esmės nepriimtinas, kai nepaisoma virpesių energijos išsklaidymo. Taip yra dėl to, kad čia galimi greiti svyravimai, nepažeidžiant induktorių ar masyvaus korpuso panašioje mechaninėje sistemoje.

Virpesių grandinė su netiesiniais elementais. Tyrinėdami mechaninius virpesius, matėme, kad vibracijos anaiptol ne visada harmoningos. Harmoninės vibracijos yra būdinga savybė tiesinės sistemos, kuriame

atkuriamoji jėga proporcinga nukrypimui nuo pusiausvyros padėties, o potencinė energija proporcinga nuokrypio kvadratui. Realios mechaninės sistemos, kaip taisyklė, šių savybių neturi, o svyravimai jose gali būti laikomi harmoningais tik esant nedideliems nukrypimams nuo pusiausvyros padėties.

Elektromagnetinių virpesių grandinėje atveju gali susidaryti įspūdis, kad turime reikalą su idealiomis sistemomis, kuriose svyravimai yra griežtai harmoningi. Tačiau tai tiesa tik tol, kol kondensatoriaus talpa ir ritės induktyvumas gali būti laikomi pastoviais, ty nepriklausomi nuo įkrovos ir srovės. Kondensatorius su dielektriku ir ritė su šerdimi, griežtai tariant, yra nelinijiniai elementai. Kai kondensatorius užpildomas feroelektriku, t.y. medžiaga, kurios dielektrinė konstanta labai priklauso nuo veikiančio elektrinio lauko, kondensatoriaus talpa nebegali būti laikoma pastovia. Panašiai ir ritės su feromagnetine šerdimi induktyvumas priklauso nuo srovės stiprumo, nes feromagnetas turi magnetinio soties savybę.

Jei mechaninėse virpesių sistemose masė, kaip taisyklė, gali būti laikoma pastovia, o netiesiškumas atsiranda tik dėl netiesinio veikiančios jėgos pobūdžio, tai elektromagnetinėje virpesių grandinėje netiesiškumas gali atsirasti tiek dėl kondensatoriaus (analogiškas tampriajam). spyruoklė) ir dėl induktoriaus (masės analogas).

Kodėl idealizavimas netaikomas virpesių grandinei su dviem lygiagrečiais kondensatoriais (164 pav.), kurioje sistema laikoma konservatyvia?

Kodėl dėl greitų svyravimų išsisklaido virpesių energija grandinėje, parodytoje fig. 164 neatsirado grandinėje su dviem nuosekliais kondensatoriais, parodytais fig. 162?

Kokios priežastys gali lemti elektromagnetinių virpesių grandinėje nesinusiškumą?

Elektrinė virpesių grandinė yra elektromagnetinių virpesių sužadinimo ir palaikymo sistema. Paprasčiausia forma tai grandinė, susidedanti iš ritės, kurios induktyvumas L, kondensatorius su talpa C ir rezistorius su varža R, sujungtas nuosekliai (129 pav.). Kai jungiklis P yra nustatytas į 1 padėtį, kondensatorius C įkraunamas iki įtampos U T. Šiuo atveju tarp kondensatoriaus plokščių susidaro elektrinis laukas, kurios maksimali energija lygi

Jungiklį perkėlus į 2 padėtį, grandinė užsidaro ir joje vyksta šie procesai. Kondensatorius pradeda išsikrauti ir srovė teka per grandinę i, kurios reikšmė didėja nuo nulio iki didžiausios reikšmės ir po to vėl sumažėja iki nulio. Kadangi grandinėje teka kintamoji srovė, ritėje indukuojamas EML, kuris neleidžia kondensatoriui išsikrauti. Todėl kondensatoriaus iškrovimo procesas vyksta ne akimirksniu, o palaipsniui. Dėl srovės atsiradimo ritėje atsiranda magnetinis laukas, kurio energija yra
pasiekia didžiausią vertę esant srovei, lygiai . Didžiausia magnetinio lauko energija bus lygi

Pasiekus maksimalią vertę, srovė grandinėje pradės mažėti. Tokiu atveju kondensatorius bus įkraunamas, magnetinio lauko energija ritėje sumažės, o kondensatoriaus elektrinio lauko energija padidės. Pasiekus maksimalią vertę. Procesas pradės kartotis ir grandinėje atsiras elektrinių ir magnetinių laukų virpesiai. Jei manytume, kad pasipriešinimas
(t.y. šildymui neeikvojama energijos), tuomet pagal energijos tvermės dėsnį – visa energija W išlieka pastovus

Ir
;
.

Grandinė, kurioje nėra energijos nuostolių, vadinama idealia. Įtampa ir srovė grandinėje kinta pagal harmonikos dėsnį

;

kur - apskrito (ciklinio) virpesių dažnis
.

Apvalus dažnis yra susijęs su virpesių dažniu ir svyravimų laikotarpiai T santykis.

H ir pav. 130 pavaizduoti idealios virpesių grandinės ritės įtampos U ir srovės I grafikai. Galima pastebėti, kad srovės stipris fazėje atsilieka nuo įtampos .

;
;
– Tomsono formulė.

Tuo atveju, jei pasipriešinimas
, Tomsono formulė įgauna formą

Maksvelo teorijos pagrindai

Maksvelo teorija yra vieno elektromagnetinio lauko, kurį sukuria savavališka krūvių ir srovių sistema, teorija. Teoriškai išspręsta pagrindinė elektrodinamikos problema – pagal duotą krūvių ir srovių pasiskirstymą randamos jų sukurtų elektrinių ir magnetinių laukų charakteristikos. Maksvelo teorija yra svarbiausių elektrinius ir elektromagnetinius reiškinius apibūdinančių dėsnių apibendrinimas – Ostrogradskio-Gausso teorema elektriniams ir magnetiniams laukams, visuminės srovės dėsnis, dėsnis. elektromagnetinė indukcija ir teoremos apie elektrinio lauko stiprumo vektoriaus cirkuliaciją. Maksvelo teorija yra fenomenologinio pobūdžio, t.y. jame neatsižvelgiama į vidinį aplinkoje vykstančių reiškinių mechanizmą ir sukeliantis išvaizdą elektriniai ir magnetiniai laukai. Maksvelo teorijoje terpė aprašoma naudojant tris charakteristikas – dielektrinį ε ir magnetinį μ terpės pralaidumą bei elektrinį laidumą γ.

Elektriniai virpesiai suprantami kaip periodiniai krūvio, srovės ir įtampos pokyčiai. Paprasčiausia sistema, kurioje galimi laisvieji elektriniai virpesiai, yra vadinamoji virpesių grandinė. Tai įtaisas, susidedantis iš kondensatoriaus ir ritės, sujungtos viena su kita. Darysime prielaidą, kad aktyviosios ritės varžos nėra, šiuo atveju grandinė vadinama idealia. Kai energija perduodama šiai sistemai, joje atsiras neslopinami kondensatoriaus krūvio, įtampos ir srovės harmoniniai svyravimai.

Galima informuoti svyruojančią energijos grandinę Skirtingi keliai. Pavyzdžiui, įkraunant kondensatorių iš šaltinio nuolatinė srovė arba žadinimo srovė induktoryje. Pirmuoju atveju elektros laukas tarp kondensatoriaus plokščių turi energiją. Antruoju atveju energija yra srovės, tekančios per grandinę, magnetiniame lauke.

§1 Virpesių lygtis grandinėje

Įrodykime, kad grandinei perduodant energiją, joje atsiras neslopinami harmoniniai virpesiai. Norėdami tai padaryti, reikia gauti formos harmoninių virpesių diferencialinę lygtį.

Tarkime, kad kondensatorius yra įkrautas ir uždarytas prie ritės. Kondensatorius pradės išsikrauti, srovė tekės per ritę. Pagal antrąjį Kirchhoff dėsnį, įtampos kritimų išilgai uždaros grandinės suma yra lygi šios grandinės EMF sumai. .

Mūsų atveju įtampos kritimas yra todėl, kad grandinė yra ideali. Kondensatorius grandinėje elgiasi kaip srovės šaltinis, potencialų skirtumas tarp kondensatoriaus plokščių veikia kaip EMF, kur yra kondensatoriaus įkrova, yra kondensatoriaus talpa. Be to, kai per ritę teka kintanti srovė, joje atsiranda saviindukcijos EML, kur yra ritės induktyvumas, yra srovės kitimo greitis ritėje. Kadangi savaiminės indukcijos EML neleidžia kondensatoriui išsikrauti, antrasis Kirchhoffo dėsnis įgauna formą

Tačiau srovė grandinėje yra kondensatoriaus iškrovimo arba įkrovimo srovė. Tada

Diferencialinė lygtis transformuojama į formą

Įvedę žymėjimą, gauname gerai žinomą harmoninių virpesių diferencialinę lygtį.

Tai reiškia, kad kondensatoriaus įkrova virpesių grandinėje keisis pagal harmonikos dėsnį

kur yra didžiausia kondensatoriaus įkrovimo vertė, yra ciklinis dažnis, yra pradinė svyravimų fazė.

Krūvio svyravimo laikotarpis . Ši išraiška vadinama Thompsono formule.

Kondensatoriaus įtampa

Grandinės srovė

Matome, kad be kondensatoriaus įkrovos, pagal harmonikos dėsnį, keisis ir srovė grandinėje bei kondensatoriaus įtampa. Įtampa svyruoja kartu su įkrovimu, o srovė yra prieš įkrovą

fazė įjungta.

Kondensatoriaus elektrinio lauko energija

Magnetinio lauko srovės energija

Taigi elektrinio ir magnetinio lauko energijos taip pat keičiasi pagal harmonikos dėsnį, bet dvigubu dažniu.

Apibendrinti

Elektriniai virpesiai turėtų būti suprantami kaip periodiniai krūvio, įtampos, srovės stiprumo, elektrinio lauko energijos, magnetinio lauko energijos pokyčiai. Šie svyravimai, kaip ir mechaniniai, gali būti ir laisvieji, ir priverstiniai, harmoniniai ir neharmoniniai. Idealioje virpesių grandinėje galimi laisvieji harmoniniai elektriniai virpesiai.

§2 Virpesių grandinėje vykstantys procesai

Matematiškai įrodėme laisvųjų harmoninių virpesių egzistavimą virpesių grandinėje. Tačiau lieka neaišku, kodėl toks procesas įmanomas. Kas sukelia virpesius grandinėje?

Laisvų mechaninių virpesių atveju tokia priežastis buvo nustatyta - tai yra vidinė stiprybė, kuris atsiranda, kai sistema išvedama iš pusiausvyros. Ši jėga bet kuriuo momentu yra nukreipta į pusiausvyros padėtį ir yra proporcinga kūno koordinatei (su minuso ženklu). Pabandykime surasti panašią svyravimų atsiradimo virpesių grandinėje priežastį.

Leiskite virpesiams grandinėje sužadinti, įkraudami kondensatorių ir uždarydami jį prie ritės.

Pradiniu laiko momentu kondensatoriaus įkrova yra didžiausia. Vadinasi, kondensatoriaus elektrinio lauko įtampa ir energija taip pat yra maksimalios.

Grandinėje nėra srovės, srovės magnetinio lauko energija lygi nuliui.

Pirmasis laikotarpio ketvirtis- kondensatoriaus iškrova.

Kondensatoriaus plokštės, turinčios skirtingus potencialus, yra sujungtos laidininku, todėl kondensatorius pradeda išsikrauti per ritę. Mažėja įkrova, kondensatoriaus įtampa ir elektrinio lauko energija.

Srovė, kuri atsiranda grandinėje, didėja, tačiau jos augimą neleidžia savaiminės indukcijos EMF, atsirandanti ritėje. Srovės magnetinio lauko energija didėja.

Praėjo ketvirtis- kondensatorius išsikrovęs.

Kondensatorius išsikrovė, jo įtampa tapo lygi nuliui. Elektrinio lauko energija šiuo momentu taip pat lygi nuliui. Pagal energijos tvermės dėsnį jis negalėjo išnykti. Kondensatoriaus lauko energija visiškai virto ritės magnetinio lauko energija, kuri šiuo metu pasiekia didžiausią vertę. Didžiausia srovė grandinėje.

Atrodytų, kad šiuo metu srovė grandinėje turėtų sustoti, nes dingo srovės atsiradimo priežastis – elektrinis laukas. Tačiau srovei išnykti vėl neleidžia savaiminės indukcijos EML ritėje. Dabar jis išlaikys mažėjančią srovę ir toliau tekės ta pačia kryptimi, įkraudamas kondensatorių. Prasideda antrasis laikotarpio ketvirtis.

Antrasis laikotarpio ketvirtis - Kondensatoriaus įkrovimas.

Srovė, palaikoma saviindukcijos EMF, toliau teka ta pačia kryptimi, palaipsniui mažėdama. Ši srovė įkrauna kondensatorių priešingu poliškumu. Padidėja kondensatoriaus įkrova ir įtampa.

Srovės magnetinio lauko energija, mažėjanti, pereina į kondensatoriaus elektrinio lauko energiją.

Praėjo antrasis laikotarpio ketvirtis – kondensatorius pasikrovė.

Kondensatorius įkraunamas tol, kol yra srovė. Todėl tuo metu, kai srovė sustoja, kondensatoriaus įkrova ir įtampa įgauna didžiausią vertę.

Šiuo metu magnetinio lauko energija visiškai virto kondensatoriaus elektrinio lauko energija.

Situacija grandinėje šiuo metu yra lygiavertė pradinei. Procesai grandinėje bus kartojami, bet priešinga kryptimi. Vienas visiškas grandinės svyravimas, trunkantis tam tikrą laikotarpį, baigsis, kai sistema grįš į pradinę būseną, ty kai kondensatorius bus įkraunamas pradiniu poliškumu.

Nesunku pastebėti, kad grandinės virpesių priežastis yra saviindukcijos reiškinys. Saviindukcijos EMF neleidžia keisti srovės: neleidžia jai akimirksniu padidėti ir iš karto išnykti.

Beje, nebūtų nereikalinga lyginti kvazielastingos jėgos mechaninėje virpesių sistemoje ir savaiminės indukcijos EML grandinėje apskaičiavimo išraiškas:

Anksčiau mechaninių ir elektrinių virpesių sistemų diferencialinės lygtys buvo gautos:

Nepaisant esminių skirtumų fiziniai procesai mechaninėms ir elektrinėms virpesių sistemoms aiškiai matomas matematinis lygčių, apibūdinančių procesus šiose sistemose, tapatumas. Tai turėtų būti aptarta išsamiau.

§3 Elektrinių ir mechaninių vibracijų analogija

Kruopšti spyruoklinės švytuoklės ir virpesių grandinės diferencialinių lygčių analizė, taip pat formulės, susijusios su dydžiais, apibūdinančiais procesus šiose sistemose, leidžia nustatyti, kurie dydžiai elgiasi taip pat (2 lentelė).

Spyruoklinė švytuoklė	Virpesių grandinė
Kūno koordinatė ()	Kondensatoriaus įkrovimas ()
kūno greitis	Kilpos srovė
Tampriai deformuotos spyruoklės potenciali energija	Kondensatoriaus elektrinio lauko energija
Krovinio kinetinė energija	Ritės magnetinio lauko energija su srove
Spyruoklės standumo atvirkštinė vertė	Kondensatoriaus talpa
Krovinio svoris	Ritės induktyvumas
Elastinė jėga	Savaiminės indukcijos EMF, lygi kondensatoriaus įtampai

2 lentelė

Svarbu ne tik formalus dydžių, apibūdinančių švytuoklės svyravimo procesus, ir procesų grandinėje panašumas. Patys procesai identiški!

Kraštutinės švytuoklės padėtys yra lygiavertės grandinės būklei, kai kondensatoriaus įkrova yra didžiausia.

Švytuoklės pusiausvyros padėtis yra lygi grandinės būklei, kai kondensatorius išsikrauna. Šiuo metu tamprumo jėga išnyksta, o grandinėje nėra kondensatoriaus įtampos. Švytuoklės greitis ir srovė grandinėje yra didžiausi. Potenciali spyruoklės tampriosios deformacijos energija ir kondensatoriaus elektrinio lauko energija yra lygi nuliui. Sistemos energiją sudaro apkrovos kinetinė energija arba srovės magnetinio lauko energija.

Kondensatoriaus iškrovimas vyksta panašiai kaip švytuoklės judėjimas iš kraštutinė padėtisį pusiausvyros padėtį. Kondensatoriaus įkrovimo procesas yra identiškas apkrovos pašalinimo iš pusiausvyros padėties į kraštinę padėtį procesui.

Suminė virpesių sistemos energija arba laikui bėgant išlieka nepakitęs.

Panašią analogiją galima atsekti ne tik tarp spyruoklinės švytuoklės ir virpesių grandinės. Bendrieji bet kokio pobūdžio laisvųjų virpesių modeliai! Šie modeliai, iliustruoti dviejų virpesių sistemų (spyruoklinės švytuoklės ir virpesių grandinės) pavyzdžiu, yra ne tik įmanomi, bet ir turi pamatyti bet kurios sistemos vibracijose.

Iš esmės bet kokio svyravimo proceso problemą galima išspręsti pakeitus jį švytuoklės svyravimais. Norėdami tai padaryti, pakanka kompetentingai sukurti lygiavertę mechaninę sistemą, išspręsti mechaninę problemą ir pakeisti galutinio rezultato vertes. Pavyzdžiui, reikia rasti virpesių periodą grandinėje, kurioje yra kondensatorius ir dvi lygiagrečiai sujungtos ritės.

Virpesių grandinėje yra vienas kondensatorius ir dvi ritės. Kadangi ritė elgiasi kaip spyruoklės švytuoklė, o kondensatorius – kaip spyruoklė, lygiavertėje mechaninėje sistemoje turi būti viena spyruoklė ir du svareliai. Visa problema yra ta, kaip svareliai pritvirtinami prie spyruoklės. Galimi du atvejai: vienas spyruoklės galas yra fiksuotas, o vienas svarelis tvirtinamas prie laisvo galo, antrasis yra ant pirmojo arba svareliai tvirtinami prie skirtingų spyruoklės galų.

At lygiagretus ryšys skirtingos induktyvumo srovių ritės jomis teka skirtingai. Vadinasi, apkrovų greičiai identiškoje mechaninėje sistemoje taip pat turi būti skirtingi. Akivaizdu, kad tai įmanoma tik antruoju atveju.

Šios virpesių sistemos periodą jau radome. Jis lygus . Svorių mases pakeitę ritių induktyvumu, o spyruoklės standumo grįžtamąją vertę - kondensatoriaus talpa, gauname .

§4 Virpesių grandinė su nuolatinės srovės šaltiniu

Apsvarstykite virpesių grandinę, kurioje yra nuolatinės srovės šaltinis. Tegul kondensatorius iš pradžių būna neįkrautas. Kas atsitiks sistemoje uždarius raktą K? Ar tokiu atveju bus stebimi svyravimai ir koks jų dažnis bei amplitudė?

Akivaizdu, kad uždarius raktą kondensatorius pradės krauti. Rašome antrąjį Kirchhoffo dėsnį:

Srovė grandinėje yra kondensatoriaus įkrovimo srovė, todėl. Tada . Diferencialinė lygtis transformuojama į formą

*Išspręskite lygtį keisdami kintamuosius.

Pažymėkime. Diferencijuokite du kartus ir, atsižvelgdami į tai, gauname . Diferencialinė lygtis įgauna formą

Tai harmoninių virpesių diferencialinė lygtis, jos sprendimas yra funkcija

kur yra ciklinis dažnis, integravimo konstantos ir randamos iš pradinių sąlygų.

Kondensatoriaus įkrova keičiasi pagal įstatymus

Iš karto po jungiklio uždarymo, kondensatoriaus įkrovimas nulis o grandinėje nėra srovės . Atsižvelgdami į pradines sąlygas, gauname lygčių sistemą:

Išspręsdami sistemą, gauname ir . Uždarius raktą, kondensatoriaus įkrova pasikeičia pagal įstatymus.

Nesunku pastebėti, kad grandinėje atsiranda harmoninių virpesių. Nuolatinės srovės šaltinio buvimas grandinėje neturėjo įtakos virpesių dažniui, jis liko lygus. Pasikeitė „pusiausvyros padėtis“ - tuo metu, kai srovė grandinėje yra maksimali, kondensatorius įkraunamas. Kondensatoriaus įkrovos svyravimų amplitudė lygi Cε.

Tą patį rezultatą galima gauti paprasčiau, naudojant analogiją tarp virpesių grandinėje ir spyruoklinės švytuoklės svyravimų. DC šaltinis yra lygiavertis DC jėgos laukas, kurioje įdedama spyruoklinė švytuoklė, pavyzdžiui, gravitacinis laukas. Kondensatoriaus įkrovimo nebuvimas grandinės uždarymo momentu yra identiškas spyruoklės deformacijos nebuvimui švytuoklės svyravimo momentu.

Pastovios jėgos lauke spyruoklės švytuoklės svyravimo periodas nekinta. Virpesių periodas grandinėje elgiasi taip pat – jis išlieka nepakitęs, kai į grandinę įvedamas nuolatinės srovės šaltinis.

Pusiausvyros padėtyje, kai apkrovos greitis yra didžiausias, spyruoklė deformuojasi:

Kai srovė svyravimo grandinėje yra didžiausia . Antrasis Kirchhoffo dėsnis parašytas taip

Šiuo metu kondensatoriaus įkrovimas yra lygus Tą patį rezultatą galima gauti remiantis išraiška (*) pakeitus

§5 Problemų sprendimo pavyzdžiai

1 užduotis Energijos tvermės dėsnis

L\u003d 0,5 μH ir kondensatorius su talpa NUO= 20 pF elektriniai virpesiai atsiranda. Kokia didžiausia kondensatoriaus įtampa, jei srovės amplitudė grandinėje yra 1 mA? Ritės aktyvioji varža yra nereikšminga.

Sprendimas:

(1)

2 Tuo metu, kai kondensatoriaus įtampa yra maksimali (didžiausias kondensatoriaus įkrovimas), grandinėje nėra srovės. Bendra sistemos energija susideda tik iš kondensatoriaus elektrinio lauko energijos

(2)

3 Tuo metu, kai srovė grandinėje yra maksimali, kondensatorius visiškai išsikrauna. Bendra sistemos energija susideda tik iš ritės magnetinio lauko energijos

(3)

4 Remdamiesi (1), (2), (3) išraiškomis, gauname lygybę . Didžiausia kondensatoriaus įtampa yra

2 užduotis Energijos tvermės dėsnis

Virpesių grandinėje, susidedančioje iš induktyvumo ritės L ir kondensatorius NUO, elektriniai virpesiai atsiranda su periodu T = 1 μs. Didžiausia įkrovimo vertė . Kokia srovė grandinėje tuo momentu, kai kondensatoriaus įkrova yra lygi? Ritės aktyvioji varža yra nereikšminga.

Sprendimas:

1 Kadangi galima nepaisyti aktyviosios ritės varžos, visa sistemos energija, kurią sudaro kondensatoriaus elektrinio lauko energija ir ritės magnetinio lauko energija, laikui bėgant nesikeičia:

(1)

2 Tuo metu, kai kondensatoriaus įkrova yra didžiausia, grandinėje nėra srovės. Bendra sistemos energija susideda tik iš kondensatoriaus elektrinio lauko energijos

(2)

3 Remdamiesi (1) ir (2), gauname lygybę . Srovė grandinėje yra .

4 Virpesių periodas grandinėje nustatomas pagal Tomsono formulę. Iš čia. Tada gauname srovę grandinėje

3 užduotis Virpesių grandinė su dviem lygiagrečiai sujungtais kondensatoriais

Virpesių grandinėje, susidedančioje iš induktyvumo ritės L ir kondensatorius NUO, elektriniai virpesiai atsiranda esant krūvio amplitudei. Tuo momentu, kai kondensatoriaus įkrova yra didžiausia, uždaromas raktas K. Koks bus virpesių periodas grandinėje uždarius raktą? Kokia srovės amplitudė grandinėje uždarius jungiklį? Nepaisykite grandinės ominės varžos.

Sprendimas:

1 Uždarius raktą, grandinėje atsiranda kitas kondensatorius, prijungtas lygiagrečiai su pirmuoju. Bendra dviejų lygiagrečiai sujungtų kondensatorių talpa yra .

Virpesių periodas grandinėje priklauso tik nuo jos parametrų ir nepriklauso nuo to, kaip sistemoje buvo sužadinami svyravimai ir kokia energija tam buvo perduota sistemai. Pagal Tomsono formulę.

2 Norėdami sužinoti srovės amplitudę, išsiaiškinkime, kokie procesai vyksta grandinėje uždarius raktą.

Antrasis kondensatorius buvo prijungtas tuo metu, kai pirmojo kondensatoriaus įkrova buvo didžiausia, todėl grandinėje nebuvo srovės.

Kilpos kondensatorius turėtų pradėti išsikrauti. Iškrovos srovė, pasiekusi mazgą, turėtų būti padalinta į dvi dalis. Tačiau atšaka su rite atsiranda savaiminės indukcijos EML, kuri neleidžia padidinti iškrovos srovės. Dėl šios priežasties visa iškrovimo srovė pateks į atšaką su kondensatoriumi, kurio ominė varža lygi nuliui. Srovė sustos, kai tik kondensatorių įtampa bus lygi, o pradinis kondensatoriaus įkrovimas perskirstomas tarp dviejų kondensatorių. Įkrovos perskirstymo tarp dviejų kondensatorių laikas yra nereikšmingas, nes kondensatoriaus šakose nėra ominės varžos. Per tą laiką srovė šakoje su rite nespės pasirodyti. svyravimai nauja sistema tęsti po to, kai įkrova perskirstoma tarp kondensatorių.

Svarbu suprasti, kad perskirstant įkrovą tarp dviejų kondensatorių, sistemos energija neišsaugoma! Prieš uždarant raktą, vienas kondensatorius, kilpinis kondensatorius, turėjo energijos:

Po to, kai įkrova perskirstoma, kondensatorių baterija turi energijos:

Nesunku pastebėti, kad sistemos energija sumažėjo!

3 Naują srovės amplitudę randame pagal energijos tvermės dėsnį. Virpesių metu kondensatoriaus baterijos energija paverčiama srovės magnetinio lauko energija:

Atkreipkite dėmesį, kad energijos tvermės dėsnis pradeda „veikti“ tik pasibaigus įkrovos perskirstymui tarp kondensatorių.

4 užduotis Virpesių grandinė su dviem nuosekliai sujungtais kondensatoriais

Virpesių grandinė susideda iš ritės su induktyvumu L ir dviejų nuosekliai sujungtų kondensatorių C ir 4C. C talpos kondensatorius įkraunamas iki įtampos, 4C talpos kondensatorius neįkraunamas. Uždarius raktą, grandinėje prasideda virpesiai. Koks yra šių svyravimų laikotarpis? Nustatykite kiekvieno kondensatoriaus srovės amplitudę, didžiausią ir mažiausią įtampos reikšmes.

Sprendimas:

1 Tuo metu, kai srovė grandinėje yra maksimali, ritėje nėra savaiminio indukcijos EMF . Šiam momentui užrašome antrąjį Kirchhoffo dėsnį

Matome, kad tuo momentu, kai srovė grandinėje yra maksimali, kondensatoriai įkraunami ta pačia įtampa, bet priešingu poliškumu:

2 Prieš uždarant raktą, visą sistemos energiją sudarė tik kondensatoriaus C elektrinio lauko energija:

Tuo metu, kai srovė grandinėje yra maksimali, sistemos energija yra srovės magnetinio lauko energijos ir dviejų kondensatorių, įkrautų ta pačia įtampa, energijos suma:

Pagal energijos tvermės dėsnį

Norėdami rasti kondensatorių įtampą, naudojame įkrovos išsaugojimo dėsnį - kondensatoriaus C apatinės plokštės įkrovimas iš dalies persikėlė į viršutinę kondensatoriaus 4C plokštę:

Rastą įtampos reikšmę pakeičiame energijos tvermės dėsniu ir randame srovės amplitudę grandinėje:

3 Raskime ribas, kurių ribose kinta įtampa ant kondensatorių virpesių proceso metu.

Akivaizdu, kad tuo metu, kai grandinė buvo uždaryta, kondensatoriuje C buvo maksimali įtampa. Kondensatorius 4C nebuvo įkrautas, todėl .

Uždarius jungiklį, kondensatorius C pradeda išsikrauti, o kondensatorius, kurio talpa yra 4C, pradeda krautis. Pirmųjų kondensatorių iškrovimo ir antrojo įkrovimo procesas baigiasi, kai tik nutrūksta srovė grandinėje. Tai įvyks per pusę laikotarpio. Pagal energijos ir elektros krūvio tvermės dėsnius:

Išspręsdami sistemą randame:

Minuso ženklas reiškia, kad po pusės periodo talpa C įkraunama atvirkštiniu originalo poliškumu.

5 užduotis Virpesių grandinė su dviem nuosekliai sujungtomis ritėmis

Virpesių grandinę sudaro kondensatorius, kurio talpa C ir dvi ritės su induktyvumu L1 Ir L2. Tuo metu, kai srovė grandinėje pasiekia didžiausią vertę, į pirmąją ritę greitai įvedama geležinė šerdis (palyginti su svyravimų periodu), todėl jos induktyvumas padidėja μ kartų. Kokia yra įtampos amplitudė tolesnių grandinės virpesių procese?

Sprendimas:

1 Greitai įvedus šerdį į ritę, magnetinis srautas(elektromagnetinės indukcijos reiškinys). Todėl greitai pasikeitus vienos iš ritių induktyvumui, grandinėje greitai pasikeis srovė.

2 Įvedus šerdį į ritę, kondensatoriaus įkrova nespėjo pasikeisti, liko neįkrauta (šerdis buvo įvesta tuo metu, kai srovė grandinėje buvo maksimali). Po ketvirčio laikotarpio srovės magnetinio lauko energija pavirs įkrauto kondensatoriaus energija:

Gautoje išraiškoje pakeiskite srovės vertę aš ir raskite kondensatoriaus įtampos amplitudę:

6 užduotis Virpesių grandinė su dviem lygiagrečiai sujungtomis ritėmis

Induktoriai L 1 ir L 2 per mygtukus K1 ir K2 prijungti prie kondensatoriaus, kurio talpa C. Pradiniu momentu abu klavišai yra atviri, o kondensatorius įkraunamas iki potencialų skirtumo. Pirma, raktas K1 uždaromas ir, kai kondensatoriaus įtampa tampa lygi nuliui, K2 uždaromas. Uždarius K2 nustatykite maksimalią kondensatoriaus įtampą. Ignoruoti ritės varžą.

Sprendimas:

1 Kai raktas K2 yra atidarytas, grandinėje, kurią sudaro kondensatorius ir pirmoji ritė, atsiranda virpesių. Tuo metu, kai K2 uždaromas, kondensatoriaus energija perkeliama į srovės magnetinio lauko energiją pirmoje ritėje:

2 Uždarius K2, virpesių grandinėje atsiranda dvi lygiagrečiai sujungtos ritės.

Pirmoje ritėje srovė negali sustoti dėl savaiminės indukcijos reiškinio. Prie mazgo jis dalijasi: viena srovės dalis eina į antrą ritę, o kita dalis įkrauna kondensatorių.

3 Kondensatoriaus įtampa taps didžiausia, kai srovė nutrūks ašįkrovimo kondensatorius. Akivaizdu, kad šiuo metu srovės ritėse bus lygios.

: Svoriams taikomas toks pat jėgos modulis – abu svareliai tvirtinami prie spyruoklės Iškart po K2 uždarymo pirmojoje ritėje buvo srovė Iš pradžių pirmasis krovinys turėjo greitį Iš karto po K2 uždarymo antroje ritėje nebuvo srovės Iš pradžių antrasis krovinys buvo ramybės būsenoje Kokia yra didžiausia kondensatoriaus įtampa? Kokia didžiausia tamprumo jėga atsiranda spyruokle svyruojant?

Švytuoklė juda į priekį masės centro greičiu ir svyruoja apie masės centrą.

Tamprumo jėga yra didžiausia maksimalios spyruoklės deformacijos momentu. Akivaizdu, kad šiuo momentu svorių santykinis greitis tampa lygus nuliui, o lentelės atžvilgiu svoriai juda masės centro greičiu. Užrašome energijos tvermės dėsnį:

Išspręsdami sistemą, randame

Padarome pakaitalą

ir gauti už maksimali įtampa anksčiau rasta vertė

§6 Savarankiško sprendimo užduotys

1 pratimas Natūralių svyravimų periodo ir dažnio skaičiavimas

1 Virpesių grandinė apima kintamo induktyvumo ritę, kuri kinta viduje L1= 0,5 µH iki L2\u003d 10 μH, ir kondensatorius, kurio talpa gali skirtis nuo Nuo 1= 10 pF iki

Nuo 2\u003d 500 pF. Kokį dažnių diapazoną galima aprėpti derinant šią grandinę?

2 Kiek kartų pasikeis natūralių virpesių dažnis grandinėje, jei jos induktyvumas padidinamas 10 kartų, o talpa sumažinama 2,5 karto?

3 Virpesių grandinė su 1 uF kondensatoriumi sureguliuota 400 Hz dažniu. Jei lygiagrečiai prie jo prijungiate antrą kondensatorių, virpesių dažnis grandinėje tampa lygus 200 Hz. Nustatykite antrojo kondensatoriaus talpą.

4 Virpesių grandinė susideda iš ritės ir kondensatoriaus. Kiek kartų keisis natūralių virpesių dažnis grandinėje, jei grandinėje nuosekliai prijungiamas antrasis kondensatorius, kurio talpa 3 kartus mažesnė už pirmojo?

5 Nustatykite grandinės virpesių periodą, apimantį ritę (be šerdies) in= 50 cm m skerspjūvio plotas

S\u003d 3 cm 2, turintis N\u003d 1000 apsisukimų ir talpos kondensatorius NUO= 0,5 uF.

6 Virpesių grandinė apima induktorių L\u003d 1,0 μH ir oro kondensatorius, kurio plokščių plotai S\u003d 100 cm 2. Grandinė sureguliuota 30 MHz dažniu. Nustatykite atstumą tarp plokščių. Grandinės aktyvioji varža yra nereikšminga.

ELEKTROMAGNETINIAI VIRPIMAI IR BANGOS

§1 Virpesių grandinė.

Natūralūs virpesiai virpesių grandinėje.

Tomsono formulė.

Slopinti ir priverstiniai svyravimai c.c.

Laisvos vibracijos c.c.

Virpesių grandinė (c.c.) yra grandinė, susidedanti iš kondensatoriaus ir induktoriaus. Tam tikromis sąlygomis c.c. gali atsirasti elektromagnetiniai krūvio, srovės, įtampos ir energijos svyravimai.

Apsvarstykite grandinę, parodytą 2 paveiksle. Jei įdėsite raktą į 1 padėtį, kondensatorius bus įkrautas ir jo plokštelėse pasirodys įkrovaK ir įtampa U C. Jei tada pasuksite raktą į 2 padėtį, kondensatorius pradės išsikrauti, srovė tekės grandinėje, o tarp kondensatoriaus plokščių esančio elektrinio lauko energija bus paversta magnetinio lauko energija, sutelkta induktoryje.L. Induktoriaus buvimas lemia tai, kad srovė grandinėje didėja ne akimirksniu, o palaipsniui dėl savaiminės indukcijos reiškinio. Kondensatoriui išsikrovus, jo plokščių įkrova sumažės, srovė grandinėje padidės. Didžiausia kilpos srovės vertė pasieks, kai plokščių įkrova bus lygi nuliui. Nuo šio momento kilpos srovė ims mažėti, tačiau, dėl saviindukcijos reiškinio, ją išlaikys induktoriaus magnetinis laukas, t.y. kondensatoriui visiškai išsikrovus, induktoryje sukaupta magnetinio lauko energija pradės virsti elektrinio lauko energija. Dėl kilpos srovės kondensatorius pradės įkrauti, o jo plokštelėse pradės kauptis įkrovimas, priešingas pradiniam. Kondensatorius bus įkraunamas tol, kol visa induktoriaus magnetinio lauko energija bus paversta kondensatoriaus elektrinio lauko energija. Tada procesas bus kartojamas priešinga kryptimi, taigi grandinėje atsiras elektromagnetiniai virpesiai.

Užrašykime 2-ąjį Kirchhoffo dėsnį svarstomam k.k.

Diferencialinė lygtis k.k.

Gavome diferencialinę lygtį, skirtą krūvio svyravimams c.c. Ši lygtis yra panaši į diferencialinę lygtį, apibūdinančią kūno judėjimą, veikiant kvazielastingajai jėgai. Todėl šios lygties sprendimas bus parašytas panašiai

Krūvio svyravimų lygtis c.c.

Kondensatoriaus plokščių įtampos svyravimų lygtis nuolatinėje įtampoje.

Srovės svyravimų lygtis k.k.

Slopinami QC virpesiai

Apsvarstykite C.C., kuriame yra talpa, induktyvumas ir varža. 2-asis Kirchhoffo įstatymas šiuo atveju bus parašytas formoje

- silpninimo koeficientas,

Nuosavas ciklinis dažnis.

- - slopintų virpesių diferencialinė lygtis c.c.

Slopinamo krūvio svyravimų lygtis c.c.

Krūvio amplitudės kitimo dėsnis slopintų svyravimų metu c.c.;

Slopintų svyravimų laikotarpis.

Slopinimo mažinimas.

- logaritminio slopinimo mažėjimas.

Grandinės gerumas.

Jei slopinimas silpnas, tada T ≈T 0

Tiriame įtampos pokytį kondensatoriaus plokštelėse.

Srovės pokytis skiriasi nuo fazės φ nuo įtampos.

galimi slopinami svyravimai,

esant - kritinei situacijai

kaklaraištis. R > RKAM- nevyksta svyravimai (periodinis kondensatoriaus iškrovimas).

Elektromagnetiniai virpesiai yra periodiniai pokyčiai laikui bėgant elektros ir magnetiniai dydžiai elektros grandinėje.

Laisvas vadinami tokiais svyravimai, kurios atsiranda uždaroje sistemoje dėl šios sistemos nukrypimo nuo stabilios pusiausvyros būsenos.

Virpesių metu vyksta nuolatinis sistemos energijos virsmo iš vienos formos į kitą procesas. Esant dvejonėms elektromagnetinis laukas mainai gali vykti tik tarp elektrinių ir magnetinių šio lauko komponentų. Paprasčiausia sistema, kurioje šis procesas gali vykti, yra virpesių grandinė.

Ideali virpesių grandinė (LC grandinė) - elektros grandinė, susidedanti iš induktyvumo ritės L ir kondensatorius C.

Skirtingai nuo tikros virpesių grandinės, kuri turi elektrinę varžą R, elektrinė varža idealus kontūras visada yra nulis. Todėl ideali virpesių grandinė yra supaprastintas realios grandinės modelis.

1 paveiksle parodyta idealios virpesių grandinės schema.

Grandinės energija

Suminė virpesių grandinės energija

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Kur Mes- virpesių grandinės elektrinio lauko energija in Šis momentas laikas NUO yra kondensatoriaus talpa, u- kondensatoriaus įtampos vertė tam tikru metu, q- kondensatoriaus įkrovos vertė tam tikru metu, Wm- virpesių grandinės magnetinio lauko energija tam tikru metu, L- ritės induktyvumas, i- srovės vertė ritėje tam tikru metu.

Procesai virpesių grandinėje

Apsvarstykite procesus, vykstančius virpesių grandinėje.

Norėdami pašalinti grandinę iš pusiausvyros padėties, įkrauname kondensatorių taip, kad jo plokštės būtų įkrautos Qm(2 pav., padėtis 1 ). Atsižvelgdami į lygtį \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) randame kondensatoriaus įtampos reikšmę. Šiuo metu grandinėje nėra srovės, t.y. i = 0.

Uždarius raktą, veikiant grandinėje esančio kondensatoriaus elektriniam laukui, elektros, srovės stiprumas i kuri laikui bėgant didės. Šiuo metu kondensatorius pradės išsikrauti, nes. srovę sukuriantys elektronai (primenu, kad srovės kryptimi imama teigiamų krūvių judėjimo kryptis) palieka neigiamą kondensatoriaus plokštelę ir ateina į teigiamą (žr. 2 pav., padėtis 2 ). Kartu su įkrovimu qįtampa sumažės u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Didėjant srovės stiprumui, per ritę atsiras savaiminės indukcijos emf, neleidžianti keisti srovės stiprumo. Dėl to srovės stipris virpesių grandinėje padidės nuo nulio iki tam tikros didžiausios vertės ne akimirksniu, o per tam tikrą laikotarpį, kurį lemia ritės induktyvumas.

Kondensatoriaus įkrovimas q mažėja ir tam tikru momentu tampa lygus nuliui ( q = 0, u= 0), srovė ritėje pasieks tam tikrą vertę Aš(žr. 2 pav., padėtis 3 ).

Be kondensatoriaus elektrinio lauko (ir varžos), srovę sukuriantys elektronai ir toliau juda pagal inerciją. Šiuo atveju į neutralią kondensatoriaus plokštę patekę elektronai suteikia jai neigiamą krūvį, iš neutralios plokštės išeinantys elektronai – teigiamą. Kondensatorius pradeda krauti q(ir įtampa u), bet priešingo ženklo, t.y. kondensatorius įkraunamas. Dabar naujas kondensatoriaus elektrinis laukas neleidžia judėti elektronams, todėl srovė i pradeda mažėti (žr. 2 pav., padėtis 4 ). Vėlgi, tai neįvyksta akimirksniu, nes dabar saviindukcijos EMF siekia kompensuoti srovės sumažėjimą ir jį „palaiko“. Ir srovės vertė Aš(nėščia 3 ) pasirodo maksimali srovė kontūre.

Ir vėl, veikiant kondensatoriaus elektriniam laukui, grandinėje atsiras elektros srovė, bet nukreipta priešinga kryptimi, srovės stiprumas i kuri laikui bėgant didės. Ir kondensatorius šiuo metu išsikraus (žr. 2 pav., padėtis). 6 ) iki nulio (žr. 2 pav., padėtis 7 ). ir kt.

Nuo kondensatoriaus įkrovimo q(ir įtampa u) nustato jo elektrinio lauko energiją Mes\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) ir srovė ritėje i- magnetinio lauko energija wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\), tada kartu su krūvio, įtampos ir srovės pokyčiais pasikeis ir energijos.

Pavadinimai lentelėje:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Idealios virpesių grandinės bendra energija išsaugoma laikui bėgant, nes joje yra energijos nuostolių (nėra pasipriešinimo). Tada

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Taigi, idealiu atveju LC- grandinė periodiškai keis srovės stiprumo vertes i, mokestis q ir stresas u, o bendra grandinės energija išliks pastovi. Šiuo atveju sakome, kad yra laisvieji elektromagnetiniai virpesiai.

Laisvieji elektromagnetiniai virpesiai grandinėje - tai periodiniai kondensatoriaus plokščių įkrovimo, srovės stiprumo ir įtampos pokyčiai grandinėje, vykstantys nenaudojant energijos iš išorinių šaltinių.

Taigi laisvieji elektromagnetiniai virpesiai grandinėje atsiranda dėl kondensatoriaus įkrovimo ir savaiminės indukcijos EMF atsiradimo ritėje, kuri „užtikrina“ šį įkrovimą. Atkreipkite dėmesį, kad įkrovimas ant kondensatoriaus q ir srovė ritėje i pasiekti maksimalias vertes Qm Ir Ašįvairiais laiko momentais.

Laisvieji elektromagnetiniai virpesiai grandinėje atsiranda pagal harmonikos dėsnį:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)

Mažiausias laikotarpis, per kurį LC- grandinė grįžta į pradinę būseną (iki pradinės šio pamušalo krūvio vertės), vadinamas laisvųjų (natūralių) elektromagnetinių virpesių grandinėje periodu.

Laisvųjų elektromagnetinių virpesių laikotarpis LC-Kontūras nustatomas pagal Tomsono formulę:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Mechaninės analogijos požiūriu spyruoklinė švytuoklė be trinties atitinka idealią svyravimo grandinę, o tikrąją - su trintimi. Dėl trinties jėgų veikimo ilgainiui spyruoklės švytuoklės svyravimai susilpnėja.

*Tomsono formulės išvestinė

Kadangi visa idealo energija LC-kontūras, lygus energijų sumai elektrostatinis laukas kondensatorius ir ritės magnetinis laukas išsaugomas, tada bet kuriuo metu lygybė

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Gauname virpesių lygtį in LC-grandinė, naudojant energijos tvermės dėsnį. Diferencijuojant jos bendros energijos išraišką laiko atžvilgiu, atsižvelgiant į tai, kad

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q",\)

gauname lygtį, apibūdinančią laisvuosius virpesius idealioje grandinėje:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q"""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Perrašant taip:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

atkreipkite dėmesį, kad tai yra harmoninių virpesių su cikliniu dažniu lygtis

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Atitinkamai, nagrinėjamas svyravimų laikotarpis

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Literatūra

Zhilko, V.V. Fizika: vadovėlis. priedą už 11 bendrojo lavinimo klasę. mokykla iš rusų kalbos lang. mokymas / V.V. Zhilko, L.G. Markovičius. - Minskas: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.