Taško paieškos užduotys sankryžų bet kokios figūros yra ideologiškai primityvios. Sunkumai juose kyla tik dėl aritmetikos, nes būtent joje daromos įvairios rašybos ir klaidos.

Instrukcija

1. Ši problema išspręsta analitiškai, todėl leidžiama iš viso nebraižyti grafikos tiesiai ir parabolės. Dažnai tai duoda didžiulį pliusą sprendžiant pavyzdį, nes uždavinyje galima duoti tokias funkcijas, kad paprasčiau ir greičiau jų nenubraižyti.

2. Remiantis algebros vadovėliais, parabolė pateikiama formos f(x)=ax^2+bx+c funkcija, kur a,b,c yra realieji skaičiai, o rodiklis a yra geras nuliui. Funkcija g(x)=kx+h, kur k,h yra realieji skaičiai, apibrėžia tiesę plokštumoje.

3. Taškas sankryžų tiesiai o parabolės yra universalus abiejų kreivių taškas, todėl jame esančios funkcijos įgis identiškas reikšmes, ty f(x)=g(x). Šis teiginys leidžia parašyti lygtį: ax^2+bx+c=kx+h, kuri duos tikimybę rasti daug taškų sankryžų .

4. Lygtyje ax^2+bx+c=kx+h reikia visus terminus perkelti į kairę pusę ir atnešti panašius: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Dabar belieka išspręsti gautą kvadratinę lygtį.

5. Visi aptikti „x“ dar nėra užduoties rezultatas, nes plokštumos taškas apibūdinamas dviem realiaisiais skaičiais (x, y). Norint baigti sprendimą, būtina apskaičiuoti atitinkamus „žaidimus“. Norėdami tai padaryti, "xes" reikia pakeisti arba į funkciją f (x) arba į funkciją g (x), arbata sankryžų teisinga: y=f(x)=g(x). Vėliau rasite visus universalius parabolės taškus ir tiesiai .

6. Norint konsoliduoti medžiagą, labai svarbu sprendimą pamatyti pavyzdžiu. Tegu parabolė pateikiama funkcija f(x)=x^2-3x+3, o tiesė - g(x)=2x-3. Parašykite lygtį f(x)=g(x), t.y. x^2-3x+3=2x-3. Perkėlus visus terminus į kairę pusę ir atnešus panašius, gauname: x^2-5x+6=0. Šios kvadratinės lygties šaknys: x1=2, x2=3. Dabar raskite atitinkamus „žaidėjus“: y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Taigi visi taškai rasti sankryžų: (2,1) ir (3,3).

Taškas sankryžų apytiksliai iš grafiko galima nustatyti tiesias linijas. Tačiau dažnai reikia tikslių šio taško koordinačių arba nereikia kurti grafiko, tada galima rasti tašką sankryžųžinant tik tiesių lygtis.

Instrukcija

1. Tegul dvi tiesės pateikiamos bendrosiomis tiesės lygtimis: A1*x + B1*y + C1 = 0 ir A2*x + B2*y + C2 = 0. Taškas sankryžų priklauso vienai tiesei ir kitai. Išreiškiame iš pirmosios tiesės x lygties, gauname: x = -(B1*y + C1)/A1. Pakeiskite gautą reikšmę antrąja lygtimi: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0 A1C2)/(A1B2 – A2B1). Aptiktą reikšmę pakeiskite pirmosios tiesės lygtimi: A1*x + B1(A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 – A2B1)*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1 = 0(A1B2 – A2B1)*x – B1C2 + B2C1 = 0 Tada x = (B1C2 – B2C1)/(A1B2 – A2B1).

2. Mokykliniame matematikos kurse tiesės dažnai pateikiamos lygtimi su kampiniu rodikliu, panagrinėkime šį atvejį. Pateikiame dvi eilutes taip: y1 = k1*x + b1 ir y2 = k2*x + b2. Matyt, taške sankryžų y1 = y2, tada k1*x + b1 = k2*x + b2. Mes gauname taško ordinatę sankryžų x = (b2 – b1)/(k1 – k2). Pakeiskite x į bet kurią tiesės lygtį ir gaukite y = k1(b2 – b1)/(k1 – k2) + b1 = (k1b2 – b1k2)/(k1 – k2).

Susiję vaizdo įrašai

Lygtis parabolės yra kvadratinė funkcija. Yra keletas variantų, kaip sudaryti šią lygtį. Viskas priklauso nuo to, kokie parametrai pateikiami problemos sąlygoje.

Instrukcija

1. Parabolė yra kreivė, kuri savo forma primena lanką ir yra galios funkcijos grafikas. Nepriklausomai nuo to, kokius palyginimus turi parabolė, ši funkcija yra lygi. Lygi funkcija yra tokia funkcija, kad visoms argumento reikšmėms iš apibrėžimo srities, pasikeitus argumento ženklui, reikšmė nesikeičia: f (-x) \u003d f (x) Pradėkite nuo primityviausia funkcija: y \u003d x ^ 2. Iš jo išvaizdos galima daryti išvadą, kad jis auga tiek dėl teisingų, tiek dėl neigiamų argumento x verčių. Taškas, kuriame x = 0, o tuo pačiu metu y = 0, laikomas minimaliu funkcijos tašku.

2. Žemiau pateikiamos visos pagrindinės šios funkcijos ir jos lygties sudarymo parinktys. Kaip pirmasis pavyzdys, žemiau pateikta formos funkcija: f(x)=x^2+a, kur a yra sveikas skaičius Norint nubraižyti šią funkciją, reikia perkelti funkcijos f(x) grafiką a vienetų. Pavyzdys yra funkcija y=x^2+3, kur y ašis funkciją perkelia dviem vienetais aukštyn. Duota funkcija su priešingu ženklu, tarkime y=x^2-3, tada jos grafikas perkeliamas žemyn y ašimi.

3. Kita funkcija, kuriai gali būti suteikta parabolė, yra f(x)=(x + a)^2. Tokiais atvejais grafikas, priešingai, perkeliamas išilgai abscisės (x ašies) vienetais. Pavyzdžiui, leidžiama matyti funkcijas: y=(x +4)^2 ir y=(x-4)^2. Pirmuoju atveju, kai yra funkcija su pliuso ženklu, grafikas perkeliamas išilgai x ašies į kairę, o antruoju atveju – į dešinę. Visi šie atvejai parodyti paveikslėlyje.

4. Taip pat yra y=x^4 formos parabolinių priklausomybių. Tokiais atvejais x=const, o y staigiai kyla. Tačiau tai taikoma tik lyginėms funkcijoms Grafikai parabolės dažnai yra fizinėse problemose, pavyzdžiui, kūno skrydis apibūdina liniją, panašią į parabolę. Taip pat peržiūrėti parabolės turi išilginį priekinių žibintų atšvaitą, lempą. Skirtingai nuo sinusinės bangos, šis grafikas yra neperiodinis ir progresyvus.

4 patarimas: kaip nustatyti linijos susikirtimo su plokštuma tašką

Ši užduotis yra sukurti tašką sankryžų tiesiai su plokštuma yra inžinerinės grafikos kurso klasika ir atliekama naudojant aprašomosios geometrijos metodus ir jų grafinį sprendimą brėžinyje.

Instrukcija

1. Apsvarstykite taško apibrėžimą sankryžų tiesiai su privačia vietos plokštuma (1 pav.).Tiesioji l kerta priekinę projekcijos plokštumą?. Nukreipkite juos sankryžų K priklauso ir tiesiai ir plokštuma, taigi bendroji K2 projekcija yra ant?2 ir l2. Tai yra, K2= l2??2, o jos horizontalioji projekcija K1 nustatoma ant l1 naudojant projekcijos sujungimo liniją.Taigi norimas taškas sankryžų K(K2K1) konstruojamas laisvai, nenaudojant pagalbinių plokštumų. Taškai apibrėžiami panašiai sankryžų tiesiai su visokiais privačiais lėktuvais.

2. Apsvarstykite taško apibrėžimą sankryžų tiesiai su bendra plokštuma. 2 paveiksle savavališkai išdėstyta plokštuma yra pateikta erdvėje? ir tiesia linija l. Norėdami apibrėžti tašką sankryžų tiesiai su bendra padėties plokštuma, pagalbinių pjovimo plokštumų metodas naudojamas tokia tvarka:

3. Per tiesią liniją l? nubrėžiama pagalbinė pjovimo plokštuma.. Kad būtų lengviau statyti, tai bus išsikišusi plokštuma.

5. Taškas K pažymėtas sankryžų tiesiai l ir nutiesta linija sankryžų MN. Ji yra norimas taškas sankryžų tiesiai ir lėktuvai.

6. Taikykime šią taisyklę, norėdami išspręsti konkrečią sudėtingo brėžinio problemą.. Pavyzdys. Apibrėžkite tašką sankryžų tiesiai l su bendrosios padėties plokštuma, pavaizduota trikampiu ABC (3 pav.).

7. Per tiesę l, ​​statmeną projekcijos plokštumai?2, nubrėžta pagalbinė sekanti plokštuma? Jo projekcija?2 sutampa su projekcija tiesiai l2.

8. MN linija statoma. Lėktuvas? kertasi AB taške M. Jo bendra projekcija M2= ?2?A2B2 ir horizontalioji M1 į A1B1 pažymėta išilgai projekcijos jungties linijos.Plokštuma? kerta kraštinę AC taške N. Bendroji jos projekcija N2= sankryžų .

9. Nustatomas taškas K1 sankryžų l1 ir M1N1, po to taškas K2 statomas su ryšio linijos atrama. Pasirodo, K1 ir K2 yra norimo taško projekcijos sankryžų K tiesiai l ir lėktuvai? ABC:K(K1K2)=l(l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2) Naudojant konkuruojančius taškus M,1 ir 2,3, nustatomas matomumas tiesiai l apie tam tikrą lėktuvą? ABC.

Susiję vaizdo įrašai

Pastaba!
Spręsdami problemą naudokite pagalbinę plokštumą.

Naudingi patarimai
Atlikite skaičiavimus naudodami išsamius brėžinius, atitinkančius problemos reikalavimus. Tai padės greitai rasti sprendimą.

Dvi tiesės, jei jos nėra lygiagrečios ir nesutampa, griežtai susikerta viename taške. Rasti šios vietos koordinates reiškia skaičiuoti taškų sankryžų tiesioginis. Dvi susikertančios linijos visada yra toje pačioje plokštumoje, todėl pakanka pamatyti jas Dekarto plokštumoje. Pažvelkime į pavyzdį, kaip rasti universalų linijų tašką.

Instrukcija

1. Paimkite 2 eilučių lygtis, prisimindami, kad tiesės lygtis Dekarto koordinačių sistemoje, linijos lygtis atrodo kaip ax + y + c \u003d 0, o a, b, c yra įprasti skaičiai, o x ir y yra taškų koordinatės. Pavyzdžiui, rasti taškų sankryžų tiesės 4x+3y-6=0 ir 2x+y-4=0. Norėdami tai padaryti, raskite šių 2 lygčių sistemos sprendimą.

2. Norėdami išspręsti lygčių sistemą, pakeiskite bet kurią lygtį taip, kad prieš y būtų identiškas rodiklis. Kadangi vienoje lygtyje eksponentas prieš y yra 1, tada primityviai padauginkite šią lygtį iš skaičiaus 3 (kitoj lygtyje esantis prieš y). Norėdami tai padaryti, padauginkite kiekvieną lygties elementą iš 3: (2x * 3) + (y * 3) - (4 * 3) \u003d (0 * 3) ir gaukite įprastą lygtį 6x + 3y-12 \u003d 0 . Jei priešais y esantys rodikliai būtų nuostabūs dėl vienybės abiejose lygtyse, abi lygybės turėtų būti padaugintos.

3. Iš vienos lygties atimkite kitą. Norėdami tai padaryti, iš vienos kairiosios pusės atimkite kairę iš kitos pusės ir padarykite tą patį su dešine. Gaukite šią išraišką: (4x + 3y-6) - (6x + 3y-12) \u003d 0-0. Kadangi prieš skliaustą yra ženklas „-“, pakeiskite visus skliausteliuose esančius ženklus į priešingus. Gaukite šią išraišką: 4x + 3y-6 - 6x-3y + 12 = 0. Supaprastinkite išraišką ir pamatysite, kad kintamasis y išnyko. Naujoji lygtis atrodo taip: -2x+6=0. Perkelkite skaičių 6 į kitą lygties dalį ir iš gautos lygybės -2x \u003d -6 išreikškite x: x \u003d (-6) / (-2). Taigi jūs turite x = 3.

4. Pakeiskite x=3 reikšmę bet kurioje lygtyje, tarkime, antroje ir gaukite tokią išraišką: (2 * 3) + y-4 = 0. Supaprastinkite ir išreikškite y: y=4-6=-2.

5. Gautas x ir y reikšmes parašykite kaip koordinates taškų(3;-2). Tai bus problemos sprendimas. Patikrinkite vertę, gautą pakeitus į abi lygtis.

6. Jei tiesės pateiktos ne kaip lygtys, o pateiktos primityviai plokštumoje, raskite koordinates taškų sankryžų grafiškai. Norėdami tai padaryti, išplėskite linijas, kad jos susikirstų, tada nuleiskite statmenus x ir y ašyse. Statmenų susikirtimas su x ir y ašimis bus to koordinatės taškų, pažiūrėkite į paveikslą ir pamatysite, kad koordinatės taškų sankryžų x \u003d 3 ir y \u003d -2, tai yra, taškas (3; -2) yra problemos sprendimas.

Susiję vaizdo įrašai

Parabolė yra antros eilės plokštumos kreivė, kurios kanoninė lygtis Dekarto koordinačių sistemoje yra y?=2px. Kur p yra parabolės židinio parametras, lygus atstumui nuo fiksuoto taško F, ​​vadinamo židiniu, iki fiksuotos linijos D toje pačioje plokštumoje, vadinamoje kryptine. Tokios parabolės viršūnė eina per koordinačių pratarmę, o pati kreivė yra simetriška abscisių ašiai Ox. Mokykliniame algebros kurse įprasta laikyti parabolę, kurios simetrijos ašis sutampa su ordinačių ašimi Oy: x?=2py. O lygtis parašyta kiek priešingai: y=ax?+bx+c, a=1/(2p). Parabolę galima nubrėžti keliais būdais, sąlygiškai kuriuos galima pavadinti algebriniu ir geometriniu.

Instrukcija

1. Algebrinė parabolės konstrukcija Išsiaiškinkite parabolės viršūnės koordinates. Apskaičiuokite koordinatę išilgai Ox ašies naudodami formulę: x0=-b/(2a), o pagal Oy ašį: y0=-(b?-4ac)/4a arba gautą x0 reikšmę pakeiskite parabolės y0 lygtimi. =ax0?+bx0+c ir apskaičiuokite reikšmę.

2. Koordinačių plokštumoje sukonstruokite parabolės simetrijos ašį. Jo formulė sutampa su parabolės viršūnės x0 koordinatės formule: x=-b/(2a). Nustatykite, kur yra parabolės šakos. Jei a>0, tai ašys nukreiptos aukštyn, jei a

3. Savavališkai paimkite 2–3 parametro x reikšmes, kad: x0

4. Padėkite taškus 1', 2' ir 3' taip, kad jie būtų simetriški taškams 1, 2, 3 aplink simetrijos ašį.

5. Sujunkite taškus 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 lygia įstrižaine linija. Tęskite liniją aukštyn arba žemyn, priklausomai nuo parabolės krypties. Pastatyta parabolė.

6. Geometrinė parabolės konstrukcija. Šis metodas pagrįstas parabolės apibrėžimu kaip taškų, vienodu atstumu nutolusių ir nuo židinio F, ir nuo krypties D, bendrijos. Todėl pirmiausia suraskite duotosios parabolės židinio parametrą p=1/(2a).

7. Sukurkite parabolės simetrijos ašį, kaip aprašyta 2 veiksme. Ant jo uždėkite tašką F, kurio koordinatė išilgai Oy ašies lygi y \u003d p / 2, ir tašką D, kurio koordinatė y \u003d -p / 2.

8. Naudodami kvadratą nubrėžkite tiesę, einančią per tašką D, statmeną parabolės simetrijos ašiai. Ši linija yra parabolės kryptis.

9. Paimkite siūlą išilgai ilgio, lygaus vienai iš kvadrato kojų. Pritvirtinkite vieną sriegio galą mygtuku kvadrato, prie kurio ribojasi ši kojelė, viršuje, o antrąjį galą - parabolės židinyje taške F. Padėkite liniuotę taip, kad jos viršutinis kraštas sutaptų su D kryptimi. kvadratas ant liniuotės, laisvas nuo mygtuko su kojele .

10. Nustatykite pieštuką taip, kad jo galiuku jis prispaustų siūlą prie kvadrato kojelės. Perkelkite kvadratą išilgai liniuotės. Pieštukas nupieš jums reikalingą parabolę.

Susiję vaizdo įrašai

Pastaba!
Nebrėžkite parabolės viršaus kaip kampo. Jo šakos susilieja viena su kita, sklandžiai suapvalindamos.

Naudingi patarimai
Statydami parabolę geometriniu metodu, atkreipkite dėmesį, kad siūlas visada būtų įtemptas.

Prieš pradedant ieškoti funkcijos elgesio, būtina nustatyti nagrinėjamų kiekių metamorfozės sritį. Tarkime, kad kintamieji nurodo realiųjų skaičių aibę.

Instrukcija

1. Funkcija yra kintamasis, kuris priklauso nuo argumento reikšmės. Argumentas yra nepriklausomas kintamasis. Argumento pokyčio ribos vadinamos galimų verčių domenu (ROV). Funkcijos elgsena atsižvelgiama į ODZ rėmus, nes šiose ribose ryšys tarp dviejų kintamųjų nėra chaotiškas, bet paklūsta tam tikroms taisyklėms ir gali būti parašytas kaip matematinė išraiška.

2. Panagrinėkime savavališką funkcinį ryšį F=?(x), kur? yra matematinė išraiška. Funkcija gali turėti susikirtimo taškus su koordinačių ašimis arba su kitomis funkcijomis.

3. Funkcijos susikirtimo su x ašimi taškuose funkcija tampa lygi nuliui: F(x)=0. Išspręskite šią lygtį. Gausite nurodytos funkcijos susikirtimo su OX ašimi taškų koordinates. Tokių taškų bus tiek, kiek yra lygties šaknų tam tikroje argumento metamorfozės dalyje.

4. Funkcijos susikirtimo taškuose su y ašimi argumento reikšmė lygi nuliui. Vadinasi, problema virsta funkcijos reikšmės, kai x=0, paieška. Funkcijos susikirtimo su OY ašimi taškų bus tiek, kiek yra nurodytos funkcijos reikšmių su nuliniu argumentu.

5. Norint rasti tam tikros funkcijos susikirtimo taškus su kita funkcija, reikia išspręsti lygčių sistemą: F=?(x)W=?(x). , susikirtimo taškus, su kuriais reikia aptikti duotąją funkciją. Matyt, susikirtimo taškuose abi funkcijos turi vienodas reikšmes vienodoms argumentų reikšmėms. 2 funkcijoms universalių taškų bus tiek, kiek yra lygčių sistemos sprendinių tam tikroje argumentų pokyčių srityje.

Susiję vaizdo įrašai

Sankirtos taškuose funkcijos turi vienodas reikšmes, atitinkančias identišką argumento reikšmę. Rasti funkcijų susikirtimo taškus reiškia nustatyti taškų koordinates, kurios yra universalios susikertančioms funkcijoms.

Instrukcija

1. Apskritai, vieno argumento Y=F(x) ir Y?=F?(x) funkcijų susikirtimo taškų radimo XOY plokštumoje problema redukuojama iki lygties Y= Y? išsprendimo dėl to, kad ties a. universalus taškas, funkcijos turi vienodas reikšmes. Lygybę F(x)=F?(x) tenkinančios x reikšmės (jei jos yra) yra pateiktų funkcijų susikirtimo taškų abscisės.

2. Jei funkcijos pateiktos paprasta matematine išraiška ir priklauso nuo vieno argumento x, tai susikirtimo taškų radimo problemą galima išspręsti grafiškai. Nubraižykite funkcijų grafikus. Nustatykite susikirtimo taškus su koordinačių ašimis (x=0, y=0). Nustatykite dar keletą argumentų reikšmių, suraskite atitinkamas funkcijų reikšmes, gautus taškus įtraukite į grafikus. Kuo daugiau taškų bus panaudota braižant, tuo tikslesnis bus grafikas.

3. Jei funkcijų grafikai susikerta, iš brėžinio nustatykite susikirtimo taškų koordinates. Norėdami patikrinti, pakeiskite šias koordinates funkcijas apibrėžiančiose formulėse. Jei matematinės išraiškos pasirodo objektyvios, susikirtimo taškai randami teigiamai. Jei funkcijų grafikai nesikerta, pabandykite pakeisti skalę. Padarykite didesnį žingsnį tarp konstravimo taškų, kad nustatytumėte, kurioje skaitinės plokštumos dalyje susilieja grafikų linijos. Po to nustatytoje sankryžos atkarpoje sudarykite detalesnį grafiką su tiksliu žingsniu, kad tiksliai nustatytumėte susikirtimo taškų koordinates.

4. Jei reikia rasti funkcijų susikirtimo taškus ne plokštumoje, o trimatėje erdvėje, galima pamatyti 2 kintamųjų funkcijas: Z=F(x,y) ir Z?=F?(x) ,y). Norint nustatyti funkcijų susikirtimo taškų koordinates, reikia išspręsti lygčių sistemą su dviem nežinomais x ir y ties Z= Z?.

Susiję vaizdo įrašai

Taigi, pagrindiniai kvadratinės funkcijos grafiko parametrai parodyti paveikslėlyje:

Apsvarstykite keli kvadratinės parabolės konstravimo būdai. Atsižvelgiant į tai, kaip suteikiama kvadratinė funkcija, galite pasirinkti patogiausią.

1 . Funkcija pateikiama pagal formulę .

Apsvarstykite bendras kvadratinės parabolės grafiko brėžimo algoritmas funkcijos grafiko braižymo pavyzdžiu

1 . Parabolės šakų kryptis.

Kadangi parabolės šakos nukreiptos į viršų.

2 . Raskite kvadratinio trinalio diskriminantą

Kvadratinio trinalio diskriminantas yra didesnis už nulį, todėl parabolė turi du susikirtimo taškus su OX ašimi.

Norėdami rasti jų koordinates, išsprendžiame lygtį:

,

3 . Parabolės viršūnių koordinatės:

4 . Parabolės susikirtimo taškas su ašimi OY: (0;-5), o jis yra simetriškas parabolės simetrijos ašiai.

Įdėkime šiuos taškus į koordinačių plokštumą ir sujungkime juos lygia kreive:

Šis metodas gali būti šiek tiek supaprastintas.

1. Raskite parabolės viršūnės koordinates.

2. Raskite taškų, esančių viršūnės dešinėje ir kairėje, koordinates.

Pasinaudokime funkcijos grafiko braižymo rezultatais

Parabolės viršūnės

Arčiausiai viršaus esantys taškai, esantys kairėje nuo viršaus, turi atitinkamai abscises -1; -2; -3

Taškai, esantys arčiausiai viršaus, esantys dešinėje, turi abscises, atitinkamai, 0; 1; 2

Pakeiskite x reikšmes į funkcijos lygtį, suraskite šių taškų ordinates ir sudėkite jas į lentelę:

Įdėkime šiuos taškus į koordinačių plokštumą ir sujungkime juos lygia linija:

2 . Kvadratinės funkcijos lygtis turi formą - šioje lygtyje - parabolės viršūnės koordinatės

arba kvadratinės funkcijos lygtyje , o antrasis koeficientas yra lyginis skaičius.

Pavyzdžiui, sukurkime funkcijos grafiką .

Prisiminkite funkcijų grafikų tiesines transformacijas. Norėdami nubrėžti funkciją , būtinas

§ pirmiausia nubraižykite funkciją,

§ tada padauginkite visus grafiko taškus iš 2,

§ tada perkelkite jį išilgai OX ašies 1 vienetu į dešinę,

§ ir išilgai OY ašies 4 vienetais aukštyn:

Dabar pažiūrėkime į funkcijos braižymą . Šios funkcijos lygtyje antrasis koeficientas yra lyginis skaičius.