상대 및 절대 측정 오류 계산. 상대 및 절대 오차: 개념, 계산 및 속성
자연에서 발생하는 많은 양의 측정은 정확할 수 없습니다. 측정은 다양한 정도의 정확도로 값을 나타내는 숫자를 제공합니다(0.01cm의 정확도로 길이 측정, 최대 정확도로 한 지점에서 함수 값 계산 등). 약간의 오류. 오류는 미리 설정할 수 있으며 반대로 오류를 찾아야 합니다.
오류 이론은 주로 대략적인 수에 대한 연구의 목적을 가지고 있습니다. 대신 계산할 때 
일반적으로 대략적인 숫자를 사용합니다. (정확도가 특별히 중요하지 않은 경우), (정확도가 중요한 경우). 대략적인 숫자로 계산을 수행하고 오류를 결정하는 방법 - 이것은 대략적인 계산 이론(오류 이론)입니다.
앞으로 정확한 숫자는 대문자로 표기하고, 해당하는 대략적인 숫자는 소문자로 표기할 예정이다.
문제 해결의 한 단계 또는 다른 단계에서 발생하는 오류는 세 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.
1) 문제 오류. 이러한 유형의 오류는 구성할 때 발생합니다. 수학적 모델현상. 모든 요인과 최종 결과에 미치는 영향의 정도를 항상 고려하는 것은 불가능합니다. 즉, 대상의 수학적 모델은 정확한 이미지가 아니며 설명이 정확하지 않습니다. 이러한 오류는 피할 수 없습니다.
2) 방법 오류. 이 오류는 원래 수학적 모델을 보다 단순화된 모델로 대체한 결과 발생합니다. 예를 들어 상관 분석의 일부 문제에서는 선형 모델이 허용됩니다. 이러한 오류는 계산 단계에서 임의로 작은 값으로 줄일 수 있기 때문에 제거할 수 있습니다.
3) 계산("기계") 오류. 컴퓨터가 산술 연산을 수행할 때 발생합니다.
정의 1.1. 하자 - 정확한 값수량(숫자), - 동일한 수량()의 대략적인 값. 진정한 절대 오류대략적인 숫자는 정확한 값과 대략적인 값 간의 차이의 계수입니다.
. (1.1)
예를 들어 =1/3이라고 하자. MK에서 계산할 때 1을 3으로 나눈 결과를 대략적인 숫자 = 0.33으로 제공했습니다. 그 다음에 
.
그러나 실제로는 대부분의 경우 정확한 양의 값을 알 수 없으므로 (1.1)을 적용할 수 없습니다. 즉, 진정한 절대 오차를 찾을 수 없습니다. 따라서 일부 추정치( 에 대한 상한)로 사용되는 다른 값이 도입됩니다.
정의 1.2.
절대 오차 제한알 수 없는 정확한 숫자를 나타내는 대략적인 숫자는 실제를 초과하지 않는 가능한 더 작은 숫자라고 합니다. 절대 오류, 즉 
. (1.2)
부등식(1.2)을 만족하는 양의 대략적인 수에는 무한히 많지만 가장 가치 있는 것은 발견된 모든 것 중에서 가장 작을 것입니다. (1.2)에서 모듈러스의 정의에 따라 , 또는 평등으로 축약됩니다.
. (1.3)
평등(1.3)은 알 수 없는 정확한 숫자가 위치하는 경계를 결정합니다(대략적인 숫자는 절대 오차가 제한적인 정확한 숫자를 표현한다고 말합니다). 작을수록 이러한 경계가 더 정확하게 결정됨을 쉽게 알 수 있습니다.
예를 들어, 특정 값의 측정이 결과 cm를 제공한 경우 이러한 측정의 정확도가 1cm를 초과하지 않은 경우 실제(정확한) 길이 
센티미터.
예 1.1. 번호가 주어졌습니다. 숫자로 숫자의 극한 절대 오차를 찾으십시오.
결정: 숫자( =1.243; =0.0005)에 대한 평등(1.3)에서 우리는 이중 부등식, 즉
그런 다음 작업은 다음과 같이 제기됩니다. 부등식을 충족하는 극한 절대 오차를 찾는 숫자 찾기 
. 조건 (*)을 고려하여, 우리는 ((*)에서 우리는 불평등의 각 부분에서 뺍니다)
우리의 경우부터 
, 다음 , 여기서 =0.0035.
답변: =0,0035.
제한 절대 오류는 종종 측정 또는 계산의 정확성에 대한 잘못된 아이디어를 제공합니다. 예를 들어 건물의 길이를 측정할 때 \u003d 1m는 정확하게 수행되지 않았음을 나타내며 도시 간 거리를 측정할 때 동일한 오류 \u003d 1m는 매우 품질 평가. 따라서 다른 값이 도입됩니다.
정의 1.3. 실제 상대 오차정확한 숫자의 대략적인 값인 숫자는 숫자 자체의 계수에 대한 숫자의 실제 절대 오차의 비율입니다.
. (1.4)
예를 들어, 각각 정확한 값과 근사값인 경우
다만, 수의 정확한 값을 알 수 없는 경우에는 식 (1.4)를 적용하지 아니한다. 따라서 극한 절대 오차와 유추하여 한계 상대 오차가 도입됩니다.
정의 1.4. 상대 오차 제한알 수 없는 정확한 숫자의 근사치인 숫자를 가능한 가장 작은 숫자라고 합니다. , 실제 상대 오차를 초과하지 않는 것 , 즉
.
(1.5)
불평등 (1.2)에서 우리는 
; 고려하여 (1.5)
공식 (1.6)은 (1.5)에 비해 정확한 값이 관여하지 않기 때문에 실제 적용 가능성이 더 큽니다. (1.6)과 (1.3)을 고려하면 미지의 양의 정확한 값을 포함하는 경계를 찾을 수 있습니다.
좀 하자 임의의 값 ㅏ정확히 잰 N동일한 조건에서 시간. 측정 결과는 세트를 주었다 N다양한 숫자
절대 오차- 치수 값. 의 사이에 N절대 오차의 값은 반드시 양수와 음수를 모두 충족합니다.
수량의 가장 가능성 있는 값에 대해 ㅏ일반적으로 평균측정 결과의 의미
.
어떻게 더 많은 숫자측정값은 평균값이 실제 값에 더 가깝습니다.
절대 오차나
.
상대 오차나 th 차원을 수량이라고 합니다.
상대 오차는 무차원 수량입니다. 일반적으로 상대 오차는 백분율로 표시됩니다. 나는 100%를 곱합니다. 상대 오차의 값은 측정 정확도를 나타냅니다.
평균 절대 오차다음과 같이 정의됩니다.
.
수량 D의 절대 값(모듈)을 합산할 필요가 있음을 강조합니다. 그리고 나 .그렇지 않으면 동일한 0 결과가 얻어집니다.
평균 상대 오차양이라고 한다
.
~에 큰 숫자측정.
상대 오차는 측정된 수량의 단위당 오차 값으로 간주할 수 있습니다.
측정의 정확도는 측정 결과의 오차를 비교하여 판단합니다. 따라서 측정오차는 정확도를 평가하기 위해 측정대상의 크기를 비교하거나 이러한 크기를 매우 대략적으로 알지 못한 채 결과의 오차만 비교하는 것으로 충분할 수 있는 형태로 표현된다. 각도 측정의 절대 오차는 각도 값에 의존하지 않고 길이 측정의 절대 오차는 길이 값에 의존한다는 것은 실제로 알려져 있습니다. 길이 값이 클수록 이 방법과 측정 조건에 대한 절대 오차가 커집니다. 따라서 결과의 절대 오차에 따라 각도 측정의 정확도를 판단할 수 있지만 길이 측정의 정확도를 판단하는 것은 불가능합니다. 오차를 상대적인 형태로 표현하면 경우에 따라 각도 및 선형 측정의 정확도를 비교할 수 있습니다.
확률 이론의 기본 개념. 무작위 오류.
무작위 오류 동일한 양의 반복 측정으로 무작위로 변경되는 측정 오차의 구성 요소라고 합니다.
동일한 상수, 변하지 않는 양을 동일한 주의와 동일한 조건에서 반복 측정하면 측정 결과가 나옵니다. 일부는 서로 다르고 일부는 일치합니다. 측정 결과의 이러한 불일치는 임의의 오류 구성 요소가 있음을 나타냅니다.
무작위 오류는 여러 소스의 동시 작업에서 발생하며, 각 소스는 그 자체로 측정 결과에 감지할 수 없는 영향을 미치지만 모든 소스의 전체 효과는 상당히 강할 수 있습니다.
임의의 오류는 모든 측정의 불가피한 결과이며 다음으로 인한 것입니다.
a) 기구 및 기구의 저울에 대한 부정확한 판독;
b) 반복 측정에 대해 동일한 조건이 아님;
c) 무작위 변경 외부 조건(온도, 압력, 역장등) 통제할 수 없는 것;
d) 측정에 대한 기타 모든 영향(그 원인은 우리에게 알려지지 않음). 무작위 오류의 크기는 실험을 반복하고 결과를 적절한 수학적 처리를 통해 최소화할 수 있습니다.
임의의 오류는 주어진 측정 행위에 대해 예측할 수 없는 다른 절대값을 취할 수 있습니다. 이 오류는 양수와 음수 모두일 수 있습니다. 무작위 오류는 항상 실험에 존재합니다. 시스템 오류가 없으면 반복 측정이 실제 값에 대해 흩어지게 만듭니다.
스톱워치를 사용하여 진자의 진동 주기를 측정하고 측정을 여러 번 반복한다고 가정해 보겠습니다. 스톱워치 시작 및 중지 오류, 기준 값 오류, 진자의 작은 불균일한 움직임 - 이 모든 것이 반복 측정 결과에 분산을 일으키므로 임의 오류로 분류할 수 있습니다.
다른 오류가 없으면 일부 결과는 다소 과대 평가되고 다른 결과는 약간 과소 평가됩니다. 그러나 이것 외에도 시계가 뒤쳐지면 모든 결과가 과소 평가됩니다. 이것은 이미 체계적인 오류입니다.
일부 요인은 시스템 오류와 무작위 오류를 동시에 유발할 수 있습니다. 따라서 스톱워치를 켜고 끄면 진자의 움직임과 관련하여 시계를 시작하고 멈추는 순간에 작은 불규칙한 스프레드를 만들어 무작위 오류를 도입할 수 있습니다. 그러나 또한 스톱워치를 켜려고 서두르고 다소 늦게 끌 때마다 시스템 오류가 발생합니다.
랜덤 오차는 계기 눈금의 눈금을 읽을 때의 시차 오차, 건물 기초의 흔들림, 약간의 공기 움직임의 영향 등으로 인해 발생합니다.
개별 측정의 무작위 오차를 배제하는 것은 불가능하지만, 수학 이론무작위 현상을 통해 최종 측정 결과에 대한 이러한 오류의 영향을 줄일 수 있습니다. 이를 위해서는 하나가 아니라 여러 번 측정해야 하며 얻고자 하는 오류 값이 작을수록 더 많은 측정이 필요하다는 것이 아래에 표시됩니다.
임의 오류의 발생은 불가피하고 불가피하다는 사실 때문에 모든 측정 프로세스의 주요 임무는 오류를 최소화하는 것입니다.
오류 이론은 경험에 의해 확인된 두 가지 주요 가정을 기반으로 합니다.
1. 많은 수의 측정으로 동일한 크기의 무작위 오류가 발생하지만 다른 기호, 즉 결과를 늘리거나 줄이는 방향의 오류는 매우 일반적입니다.
2. 큰 절대 오차는 작은 오차보다 덜 일반적이므로 값이 증가함에 따라 오차 확률이 감소합니다.
확률 변수의 행동은 확률 이론의 주제인 통계적 규칙성에 의해 설명됩니다. 확률의 통계적 정의 내가이벤트 나태도이다
어디 N - 총 수실험, 나는- 사건이 발생한 실험의 수 나일어난. 이 경우 총 실험 횟수는 매우 커야 합니다( N®¥). 많은 수의 측정에서 무작위 오류는 정규 분포(가우스 분포)를 따르며 주요 특징은 다음과 같습니다.
1. 측정값의 값과 실제값의 편차가 클수록 그러한 결과가 나올 확률은 낮아집니다.
2. 실제 값에서 양방향으로 편차가 발생할 가능성은 동일합니다.
위의 가정으로부터 임의오차의 영향을 줄이기 위해서는 이 양을 여러 번 측정할 필요가 있음을 알 수 있다. 어떤 값 x를 측정한다고 가정합니다. 생산하자 N측정: x 1 , x 2 , ... x n- 동일한 방법과 동일한 주의로. 수를 예상할 수 있다. DN에서 상당히 좁은 간격에 놓여 있는 결과를 얻었습니다. 엑스~ 전에 x + dx는 다음에 비례해야 합니다.
취한 간격의 값 DX;
총 측정 횟수 N.
개연성 드와이(엑스) 그 어떤 가치 엑스의 간격에 있습니다. 엑스~ 전에 x+dx,다음과 같이 정의 :
(측정 횟수와 함께 N ®¥).
기능 에프(엑스)를 분포 함수 또는 확률 밀도라고 합니다.
오차 이론의 가정으로서 직접 측정의 결과와 그 확률 오차가 많은 경우 정규 분포의 법칙을 따른다고 가정합니다.
가우스에서 찾은 연속 확률 변수의 분포 함수 엑스다음과 같은 형식이 있습니다.
, 어디에서 -
분포 매개변수 .
정규 분포의 모수 m은 평균값 á와 같습니다. 엑스ñ 임의의 알려진 분포 함수에 대해 적분에 의해 결정되는 확률 변수
.
따라서, 값 m은 측정된 값 x의 가장 가능성 있는 값입니다. 그녀의 최고의 견적.
정규 분포의 모수 s 2는 확률 변수의 분산 D와 같으며 일반적으로 다음 적분에 의해 결정됩니다.
.
제곱근분산에서 확률 변수의 표준 편차라고합니다..
확률 변수 ásñ의 평균 편차(오차)는 다음과 같이 분포 함수를 사용하여 결정됩니다.
가우스 분포 함수에서 계산된 평균 측정 오차 ásñ는 다음과 같이 표준 편차 s 값과 관련이 있습니다.
< 에스 > = 0.8초.
매개변수 s 및 m은 다음과 같이 관련됩니다.
.
이 표현식을 사용하면 정규 분포 곡선이 있는 경우 표준 편차 s를 찾을 수 있습니다.
가우스 함수의 그래프가 그림에 나와 있습니다. 기능 에프(엑스)은 점에 그려진 세로좌표를 기준으로 대칭입니다. x=중; 지점에서 최대값을 통과합니다. x= m이고 점 m ±s에서 변곡점이 있습니다. 따라서 분산은 분포 함수의 너비를 특성화하거나 무작위 변수의 값이 실제 값에 비해 얼마나 넓게 흩어져 있는지 보여줍니다. 어떻게 정확한 측정, 개별 측정 결과의 실제 값에 더 가깝습니다. s의 값은 더 작습니다. 그림 A는 기능을 보여줍니다. 에프(엑스) 세 가지 값에 대해 .
곡선으로 둘러싸인 그림의 면적 에프(엑스) 및 점에서 그린 수직선 엑스 1 및 엑스 2(그림 B) , 측정 결과가 구간 D에 속할 확률과 수치적으로 동일합니다. x = x 1 - 엑스 2, 이를 신뢰 수준이라고 합니다. 전체 곡선 아래의 면적 에프(엑스)는 확률 변수가 0에서 ¥ 사이의 간격으로 떨어질 확률과 같습니다. 즉.
,
특정 사건의 확률은 1과 같기 때문입니다.
정규 분포를 사용하여 오류 이론은 두 가지 주요 문제를 제기하고 해결합니다. 첫 번째는 측정의 정확도에 대한 평가입니다. 두 번째는 측정 결과의 산술 평균의 정확도에 대한 평가입니다.5. 신뢰 구간. 학생 계수.
확률 이론을 사용하면 알려진 확률로 간격의 크기를 결정할 수 있습니다. 승개별 측정 결과입니다. 이 확률을 신뢰 수준, 및 해당 간격(<엑스>±D 엑스)승~라고 불리는 신뢰 구간.신뢰 수준은 신뢰 구간 내에 속하는 결과의 상대적 비율과도 같습니다.
측정 횟수의 경우 N충분히 크면 신뢰 확률은 전체 숫자의 비율을 나타냅니다. N측정된 값이 신뢰 구간 내에 있는 측정값입니다. 각 신뢰 수준 승신뢰 구간에 해당합니다. w 2 80%. 신뢰 구간이 넓을수록 해당 구간 내에서 결과를 얻을 가능성이 높아집니다. 확률 이론에서는 신뢰 구간의 값, 신뢰 확률 및 측정 횟수 사이에 양적 관계가 설정됩니다.
평균오차에 해당하는 구간을 신뢰구간, 즉 D로 선택하면 에이 =기원 후 ㅏñ, 충분히 많은 수의 측정에 대해 신뢰 확률에 해당합니다. 승 60%. 측정 횟수가 감소할수록 이러한 신뢰 구간에 해당하는 신뢰 확률(á ㅏñ ± 기원 후 ㅏñ) 감소합니다.
따라서 확률 변수의 신뢰 구간을 추정하기 위해 평균 오차의 값을 사용할 수 있습니다. ㅏñ .
임의 오차의 크기를 특성화하려면 두 개의 숫자, 즉 신뢰 구간의 크기와 신뢰 확률의 크기를 설정해야 합니다. . 해당 신뢰 확률 없이 오류의 크기만 지정하는 것은 거의 의미가 없습니다.
평균 측정 오차 ásñ가 알려진 경우 신뢰 구간은 (<엑스> ±asñ) 승, 신뢰 확률로 결정 승= 0,57.
표준편차 s를 알고 있는 경우 측정 결과의 분포, 표시된 간격은 (<엑스>± 트에스) 승, 어디 트- 신뢰 확률 값에 따른 계수이며 가우스 분포에 따라 계산됩니다.
가장 일반적으로 사용되는 양 D 엑스표 1에 나와 있습니다.
측정은 똑바로,수량의 값이 기기에 의해 직접 결정되는 경우(예: 자로 길이 측정, 스톱워치로 시간 측정 등). 측정은 간접, 측정된 양의 값이 측정된 특정 관계와 관련된 다른 양의 직접 측정에 의해 결정되는 경우.
직접 측정의 무작위 오류
절대 및 상대 오류.개최하자 N같은 양의 측정 엑스시스템 오류가 없는 경우. 개별 측정 결과는 다음과 같습니다. 엑스 1 ,엑스 2 , …,엑스 N. 측정된 양의 평균값이 가장 좋은 것으로 선택됩니다.
절대 오차단일 측정을 다음 형식의 차이라고 합니다.
.
평균 절대 오차 N단일 측정:
(2)
~라고 불리는 평균 절대 오차.
상대 오차는 측정된 양의 평균값에 대한 평균 절대 오차의 비율입니다.
.
(3)
직접 측정의 기기 오류
특별한 지시가 없으면 기기의 오차는 나눗셈 값(자, 비커)의 절반과 같습니다.
버니어가 장착된 기기의 오차는 버니어의 눈금값(마이크로미터 - 0.01mm, 캘리퍼 - 0.1mm)과 같습니다.
표 값의 오류는 마지막 자릿수 단위의 절반과 같습니다(마지막 유효 자릿수 이후 다음 순서의 5개 단위).
전기 측정기의 오차는 정확도 등급에 따라 계산됩니다. 와 함께기기 규모에 표시:
예를 들어: 
그리고 
,
어디 유 최대그리고 나 최대– 장치의 측정 한계.
디지털 표시 장치의 오류는 표시의 마지막 자릿수 단위와 같습니다.
임의 및 도구 오류를 평가한 후 값이 더 큰 오류를 고려합니다.
간접 측정의 오차 계산
대부분의 측정은 간접적입니다. 이 경우 원하는 값 X는 여러 변수의 함수입니다. ㅏ,비, 씨… , 그 값은 직접 측정으로 찾을 수 있습니다. Х = f( ㅏ, 비, 씨…).
간접 측정 결과의 산술 평균은 다음과 같습니다.
X = f( ㅏ, 비, 씨…).
오차를 계산하는 방법 중 하나는 함수 X = f( ㅏ,
비,
씨...). 예를 들어, 원하는 값 X가 관계 X = 
, 로그를 취한 후 다음을 얻습니다. lnX = ln ㅏ+ln 비+ln( 씨+
디).
이 식의 미분은 다음과 같습니다.
.
근사값 계산과 관련하여 다음 형식의 상대 오차에 대해 작성할 수 있습니다.
=
.
(4)
이 경우 절대 오차는 다음 공식으로 계산됩니다.
Х = Х(5)
따라서 간접 측정에 대한 오류 계산 및 결과 계산은 다음 순서로 수행됩니다.
1) 최종 결과를 계산하기 위해 원래 공식에 포함된 모든 양의 측정을 수행합니다.
2) 각 측정값의 산술평균값과 절대오차를 계산한다.
3) 모든 측정값의 평균값을 원래 공식에 대입하고 원하는 값의 평균값을 계산합니다.
X = f( ㅏ, 비, 씨…).
4) 원래 공식 X = f( ㅏ, 비, 씨...) 상대 오차에 대한 식을 공식 (4)의 형태로 작성하십시오.
5) 상대 오차 계산 = 
.
6) 식 (5)를 이용하여 결과의 절대오차를 계산한다.
7) 최종 결과는 다음과 같이 작성됩니다.
|
X \u003d X cf X |
가장 간단한 함수의 절대 및 상대 오류가 표에 나와 있습니다.
|
순수한 오류 |
상대적인 오류 |
|
|
ㅏ+ 비 |
+ 비 |
|
|
+ 비 |
|
|
|
측정기 고유의 오차, 선택한 방법 및 측정 기법, 측정을 수행하는 외부 조건의 기존 조건과의 차이, 기타 이유로 인해 거의 모든 측정 결과에는 오차가 발생합니다. 이 오류는 계산되거나 추정되며 얻은 결과에 기인합니다. 측정 오류(간단히 - 측정 오류) - 측정된 양의 실제 값에서 측정 결과의 편차. 오류의 존재로 인한 수량의 실제 값은 알 수 없습니다. 해결하는 데 사용됩니다 이론적 과제계측. 실제로는 실제 값을 대체하는 수량의 실제 값이 사용됩니다. 측정 오차(Δx)는 다음 공식으로 구할 수 있습니다. x = x 측정 - 실제 x (1.3) 여기서 x는 측정합니다. - 측정에 기초하여 얻은 양의 값; x 실제 실제로 취한 수량의 값입니다. 단일 측정의 실제 값은 종종 반복 측정의 경우 예시적인 측정 기기의 도움으로 얻은 값으로 간주됩니다. 이 시리즈에 포함된 개별 측정 값의 산술 평균입니다. 측정 오류는 다음 기준에 따라 분류할 수 있습니다. 징후의 성격에 따라 - 체계적이고 무작위적입니다. 표현 방식으로 - 절대 및 상대적; 측정 값 변경 조건에 따라 - 정적 및 동적; 여러 측정을 처리하는 방법에 따르면 - 산술 및 평균 제곱근; 측정 작업 범위의 완전성에 따라 - 비공개 및 완전; 단위 기준 물리량— 단위 복제, 단위 저장 및 단위 크기 전송 오류. 체계적인 측정 오류(간단히 - 체계적 오류) - 주어진 일련의 측정에 대해 일정하게 유지되거나 동일한 물리량을 반복적으로 측정하는 동안 규칙적으로 변경되는 측정 결과의 오류 구성 요소. 현상의 성격에 따라 계통오차는 일정, 진행, 주기로 나뉜다. 영구적인 시스템 오류(간단히 - 일정한 오류) - 오류, 장기값을 유지합니다(예: 전체 측정 시리즈 동안). 이것은 가장 일반적인 유형의 오류입니다. 점진적 시스템 오류(간단히 - 점진적 오류) - 지속적으로 증가하거나 감소하는 오류(예: 능동 제어 장치에 의해 제어될 때 연삭 중에 부품과 접촉하는 측정 팁의 마모로 인한 오류). 주기적 계통오차(짧게 - 주기적 오류) - 값이 시간 함수 또는 포인터 이동 함수인 오류 측정 장치(예를 들어, 원형 눈금이 있는 각도계에 편심이 있으면 주기 법칙에 따라 달라지는 계통 오차가 발생합니다). 계통오차의 발생원인에 따라 도구오차, 방법오차, 주관적오차, 외부측정조건이 확립된 방법과의 편차로 인한 오차가 있다. 기기 측정 오류(간단히 - 도구적 오류)는 여러 가지 이유의 결과입니다. 장치 부품의 마모, 장치 메커니즘의 과도한 마찰, 눈금의 부정확한 스트로크, 실제와 공칭 값조치 등 측정 방법 오류(간단히 - 방법의 오류)는 측정 절차에 의해 확립된 측정 방법의 불완전성 또는 단순화로 인해 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 이러한 오류는 빠른 공정의 매개변수를 측정할 때 사용되는 측정 기기의 속도가 충분하지 않거나 질량 및 부피 측정 결과를 기반으로 물질의 밀도를 결정할 때 불순물이 설명되지 않았기 때문일 수 있습니다. 주관적인 측정 오류(간단히 - 주관적인 오류) 운영자의 개별 오류로 인한 것입니다. 때때로 이 오류를 개인차라고 합니다. 예를 들어, 오퍼레이터의 신호 수신 지연 또는 진행으로 인해 발생합니다. 편차 오류(한 방향으로) 측정 절차에 의해 설정된 외부 측정 조건은 측정 오류의 체계적인 구성 요소의 발생으로 이어집니다. 계통 오차는 측정 결과를 왜곡하므로 수정을 도입하거나 계통 오차를 허용 가능한 최소값으로 낮추기 위해 기기를 조정하여 가능한 한 제거해야 합니다. 제외되지 않은 계통오차(간단히 - 제외되지 않은 오류) - 이것은 계통오차의 영향에 대한 보정을 계산 및 도입하는 오류로 인한 측정 결과의 오류 또는 작은 계통오차로 인해 보정이 도입되지 않은 것입니다. 소. 이러한 유형의 오류는 때때로 제외되지 않은 편향 잔차(간단히 - 제외되지 않은 잔액). 예를 들어, 기준 방사선의 파장에서 라인 미터의 길이를 측정할 때 제외되지 않은 몇 가지 시스템 오류가 나타났습니다. (i) 부정확한 온도 측정으로 인한 - 1 ; 공기 굴절률의 부정확한 결정으로 인해 - 2, 파장의 부정확한 값으로 인해 - 3. 일반적으로 제외되지 않은 시스템 오류의 합계가 고려됩니다(해당 경계가 설정됨). 항의 수가 N ≤ 3인 경우 제외되지 않은 계통 오차의 경계는 다음 공식으로 계산됩니다. 항의 수가 N ≥ 4일 때 계산에 공식이 사용됩니다.
여기서 k는 균일 분포가 있는 선택된 신뢰 확률 Р에 대한 제외되지 않은 계통 오차의 종속 계수입니다. P = 0.99에서 k = 1.4, P = 0.95에서 k = 1.1입니다. 임의 측정 오류(간단히 - 임의의 오류) - 동일한 크기의 물리량에 대한 일련의 측정에서 무작위로(부호 및 값에서) 변경되는 측정 결과 오류의 구성 요소. 무작위 오류의 원인: 판독값을 읽을 때 반올림 오류, 판독값의 변동, 임의적 특성의 측정 조건 변경 등 무작위 오차는 측정 결과의 시리즈 분산을 유발합니다. 오류 이론은 실습으로 확인된 두 가지 조항을 기반으로 합니다. 1. 많은 수의 측정에서 동일한 수치 값의 무작위 오류가 발생하지만 부호는 다릅니다. 2. 큰(절대값) 오류는 작은 오류보다 덜 일반적입니다. 실습에 대한 중요한 결론은 첫 번째 위치에서 따릅니다. 측정 횟수가 증가하면 일련의 측정에서 얻은 결과의 무작위 오류가 감소합니다. 이 시리즈의 개별 측정 오류의 합은 0이 되는 경향이 있기 때문입니다. 즉.
예를 들어, 측정 결과 일련의 값을 얻었습니다. 전기 저항(시스템 오류의 영향에 대해 수정됨): R 1 = 15.5옴, R 2 = 15.6옴, R 3 = 15.4옴, R 4 = 15.6옴 및 R 5 = 15.4옴 . 따라서 R = 15.5옴입니다. R의 편차(R 1 \u003d 0.0, R 2 \u003d +0.1 Ohm, R 3 \u003d -0.1 Ohm, R 4 \u003d +0.1 Ohm 및 R 5 \u003d -0.1 Ohm)는 a에서 개별 측정의 무작위 오류입니다. 주어진 시리즈. 합 R i = 0.0임을 쉽게 알 수 있습니다. 이는 이 시리즈의 개별 측정 오류가 올바르게 계산되었음을 나타냅니다. 측정 횟수가 증가함에 따라 무작위 오차의 합이 0이 되는 경향이 있음에도 불구하고(in 이 예그녀는 우연히 영), 측정 결과의 무작위 오차를 추정해야 합니다. 확률변수 이론에서 o2의 산포는 확률변수 값의 산포 특성으로 작용한다. "| / o2 \u003d a는 일반 모집단의 표준 편차 또는 표준 편차라고 합니다. 치수가 측정된 양의 치수와 일치하기 때문에 분산보다 더 편리합니다(예: 수량 값은 볼트로 구하고 표준 편차도 볼트로 표시됨). 측정의 실행에서 "오차"라는 용어를 다루기 때문에 이로부터 파생된 "제곱 평균 제곱근 오차"라는 용어는 여러 측정을 특성화하는 데 사용해야 합니다. 많은 측정값은 산술 평균 오차 또는 측정 결과의 범위로 특성화될 수 있습니다. 측정 결과의 범위(간단히 - 범위)는 n 측정의 시리즈(또는 샘플)를 형성하는 개별 측정의 가장 큰 결과와 가장 작은 결과 간의 대수적 차이입니다. R n \u003d X 최대 - X 최소(1.7) 여기서 R n 은 범위입니다. X max 및 X min - 가장 크고 가장 작은 값주어진 일련의 측정 값. 예를 들어, 구멍 직경 d의 5개 측정값 중 R 5 = 25.56mm 및 R 1 = 25.51mm 값이 최대값과 최소값으로 판명되었습니다. 이 경우 R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25.56 mm - 25.51 mm \u003d 0.05 mm입니다. 이는 이 시리즈의 나머지 오차가 0.05mm 미만임을 의미합니다. 연속된 단일 측정의 평균 산술 오차(간단히 - 산술 평균 오차) - n개의 동일하게 정확한 독립적인 측정의 시리즈에 포함된 개별 측정 결과(같은 값의)의 일반화된 산란 특성(임의의 이유로 인해)은 다음 공식으로 계산됩니다.
여기서 X i 는 시리즈에 포함된 i 번째 측정의 결과입니다. x는 수량의 n 값의 산술 평균입니다. |X i - X| i 번째 측정 오류의 절대 값입니다. r은 산술 평균 오차입니다. 산술 평균 오차 p의 실제 값은 비율에서 결정됩니다. 피 = 임 r, (1.9) 측정 횟수가 n > 30인 경우 산술 평균(r)과 평균 제곱 사이 (에스)상관관계가 있다 s = 1.25r; r 및 = 0.80초. (1.10) 산술 평균 오차의 장점은 계산이 간단하다는 것입니다. 그러나 더 자주 평균 제곱 오차를 결정합니다. 제곱 평균 제곱근 오차일련의 개별 측정(간단히 - 제곱 평균 제곱근 오차) - 일련의 값에 포함된 개별 측정 결과(동일한 값)의 일반화된 산란 특성(임의의 이유로 인해) 피공식에 의해 계산된 동등하게 정확한 독립 측정
S의 통계적 한계인 일반 표본 o에 대한 평균 제곱근 오차는 다음 공식으로 /i-mx >에 대해 계산할 수 있습니다. Σ = 림 에스 (1.12) 실제로 차원의 수는 항상 제한되어 있으므로 계산되는 것은 σ가 아닙니다. , 및 대략적인 값(또는 추정값), s. 더 피, s가 한계 σ에 가까울수록 . 정규 분포에서 계열의 단일 측정 오류가 계산된 제곱 평균 제곱근 오류를 초과하지 않을 확률은 0.68로 작습니다. 따라서 100건 중 32건 또는 10건 중 3건의 경우 실제 오차가 계산된 것보다 클 수 있습니다.
그림 1.2 연속 측정 횟수의 증가에 따른 다중 측정 결과의 무작위 오차 값 감소 일련의 측정에서 단일 측정 s의 rms 오차와 산술 평균 S x의 rms 오차 사이에는 다음과 같은 관계가 있습니다. 이것은 종종 "Y n의 법칙"이라고 불립니다. 이 규칙에 따르면 임의의 양에 대해 동일한 크기의 n회 측정을 수행하고 최종 결과로 산술 평균값을 취하면 무작위 원인의 작용으로 인한 측정 오차를 n배 줄일 수 있습니다(그림 1.2). ). 연속으로 최소 5회 측정을 수행하면 무작위 오류의 영향을 2배 이상 줄일 수 있습니다. 10번 측정하면 무작위 오류의 영향이 3배 감소합니다. 측정 횟수의 추가 증가가 항상 경제적으로 실현 가능한 것은 아니며 일반적으로 높은 정확도가 필요한 중요한 측정에 대해서만 수행됩니다. 일련의 균질한 이중 측정에서 단일 측정의 제곱 평균 제곱근 오차 S α는 다음 공식으로 계산됩니다.
여기서 x" i 및 x"" i는 하나의 측정기로 정방향 및 역방향으로 동일한 크기의 수량을 측정한 i번째 결과입니다. 동일하지 않은 측정의 경우 계열에서 산술 평균의 제곱 평균 오차는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
여기서 p i는 일련의 동일하지 않은 측정에서 i번째 측정의 가중치입니다. Y \u003d F (X 1, X 2, X n)의 함수인 양 Y의 간접 측정 결과의 제곱 평균 제곱근 오차는 다음 공식으로 계산됩니다.
여기서 S 1 , S 2 , S n 은 X 1 , X 2 , X n 에 대한 측정 결과의 제곱 평균 오차입니다. 만족스러운 결과를 얻을 수 있는 신뢰성을 높이기 위해 여러 번의 측정을 수행한 경우 m 시리즈(Sm)의 개별 측정에 대한 제곱 평균 오차는 다음 공식으로 구합니다.
여기서 n은 시리즈의 측정 수입니다. N은 모든 시리즈의 총 측정 수입니다. m은 시리즈 수입니다. 제한된 수의 측정으로 인해 RMS 오류를 알아야 하는 경우가 많습니다. 공식 (2.7)에 의해 계산된 오차 S와 공식 (2.12)에 의해 계산된 오차 S m 을 결정하기 위해 다음 표현식을 사용할 수 있습니다.
여기서 S 와 S m 은 각각 S 와 S m 의 평균 제곱 오차입니다. 예를 들어, 길이 x에 대한 일련의 측정 결과를 처리할 때 다음을 얻었습니다.
값 S = ±0.7mm는 계산 오류로 인해 s가 2.4~3.8mm 범위에 있으므로 여기서 1/10밀리미터는 신뢰할 수 없음을 의미합니다. 고려된 경우 S = ±3 mm를 기록해야 합니다. 측정 결과의 오차 추정에 대한 신뢰도를 높이기 위해 신뢰 오차 또는 오차의 신뢰 한계를 계산합니다. 정규 분포 법칙에서 오차의 신뢰 한계는 ±t-s 또는 ±t-s x 로 계산됩니다. 여기서 s 및 s x는 각각 시리즈의 단일 측정값과 산술 평균의 평균 제곱근 오차입니다. t는 신뢰 수준 P와 측정 횟수 n에 따른 숫자입니다. 중요한 개념은 측정 결과(α)의 신뢰성입니다. 측정된 양의 원하는 값이 주어진 신뢰 구간 내에 속할 확률. 예를 들어 안정적인 기술 모드에서 공작 기계의 부품을 처리할 때 오류 분포는 일반 법칙을 따릅니다. 부품 길이 허용 오차가 2a로 설정되어 있다고 가정합니다. 이 경우 원하는 부분 a의 길이 값이 위치하는 신뢰 구간은 (a - a, a + a)가 됩니다. 2a = ±3s인 경우 결과의 신뢰도는 a = 0.68입니다. 즉, 100개 중 32개의 경우에서 부품 크기가 2a의 허용 오차를 초과할 것으로 예상되어야 합니다. 공차 2a = ±3s에 따라 부품의 품질을 평가할 때 결과의 신뢰도는 0.997이 됩니다. 이 경우 1000개 중 3개 부품만이 설정된 허용오차를 벗어날 것으로 예상할 수 있지만 부품 길이의 오차를 줄여야 신뢰도를 높일 수 있다. 따라서 a = 0.68에서 a = 0.997로 신뢰도를 높이려면 부품 길이의 오류를 3배로 줄여야 합니다. 최근에 받은 폭넓은 사용"측정 신뢰도"라는 용어. 경우에 따라 "측정 정확도"라는 용어 대신 부당하게 사용됩니다. 예를 들어, 일부 출처에서 "국가 측정의 통일성과 신뢰성 확립"이라는 표현을 찾을 수 있습니다. "통일의 확립과 측정의 요구되는 정확성"이라고 말하는 것이 더 정확할 것입니다. 신뢰성은 무작위 오류가 0에 가깝다는 것을 반영하는 정성적 특성으로 간주됩니다. 정량적으로는 측정의 비신뢰성을 통해 결정할 수 있습니다. 측정의 불확실성(간단히 - 비신뢰성) - 무작위 오류의 총 영향(통계 및 비통계적 방법으로 결정)의 영향으로 인해 일련의 측정 결과 사이의 불일치에 대한 평가. 측정된 양의 실제 값이 있는 것입니다. 국제도량형국(International Bureau of Weights and Measures)의 권고에 따라 불확도는 rms 오차 S(통계적 방법으로 결정)와 rms 오차 u(비통계적 방법으로 결정)를 포함한 총 실효 측정 오차 - Su로 표시됩니다. , 즉.
한계 측정 오류(간단히 - 한계 오차) - 최대 측정 오차(플러스, 마이너스), 확률이 P 값을 초과하지 않는 반면 차이 1 - P는 중요하지 않습니다. 예를 들어, 정규 분포에서 ±3초의 무작위 오차 확률은 0.997이고 차이 1-P = 0.003은 중요하지 않습니다. 따라서 많은 경우에 신뢰 오차 ±3s가 한계로 간주됩니다. pr = ±3초. 필요한 경우 pr은 충분히 큰 P(2s, 2.5s, 4s 등)에 대해 s와 다른 관계를 가질 수도 있습니다. GSI 표준에서 "제곱 평균 제곱근 오차"라는 용어 대신 "평균 제곱근 편차"라는 용어가 사용된다는 사실과 관련하여 추가 추론에서 우리는 이 용어를 고수할 것입니다. 절대 측정 오차(간단히 - 절대 오차) - 측정된 값의 단위로 표현되는 측정 오차. 따라서 마이크로미터로 표시되는 부분 X의 길이 측정 오차 X는 절대 오차입니다. "절대 오차"와 "절대 오차 값"이라는 용어는 혼동되어서는 안되며, 이는 부호를 고려하지 않은 오차의 값으로 이해됩니다. 따라서 절대 측정 오차가 ±2μV이면 오차의 절대값은 0.2μV가 됩니다. 상대 측정 오류(간단히 - 상대 오차) - 측정 오차, 측정된 값의 일부 또는 백분율로 표시됩니다. 상대 오차 δ는 비율에서 찾을 수 있습니다.
예를 들어 부품 길이 x = 10.00mm의 실제 값과 오차 x = 0.01mm의 절대값이 있습니다. 상대 오차는 정적 오류정적 측정 조건으로 인한 측정 결과의 오차입니다. 동적 오류동적 측정 조건으로 인한 측정 결과의 오차입니다. 단위 재생 오류- 물리량의 단위를 재생할 때 수행한 측정 결과의 오류. 따라서 국가 표준을 사용하여 단위를 재생할 때의 오류는 구성 요소의 형태로 표시됩니다. 경계를 특징으로 하는 제외되지 않은 시스템 오류. 표준편차 s와 연간 불안정성 ν를 특징으로 하는 무작위 오차. 단위 크기 전송 오류- 단위의 크기를 전송할 때 수행된 측정 결과의 오류. 단위 크기 전송 오류는 단위 크기 전송 방법 및 수단(예: 비교기)의 배제되지 않은 계통 오류 및 랜덤 오류를 포함한다. 요약 절대 및 상대 오차 소개 절대 오차 - 절대 측정 오차의 추정치입니다. 계산됨 다른 방법들. 계산 방법은 확률 변수의 분포에 따라 결정됩니다. 따라서 확률변수의 분포에 따른 절대오차의 크기는 다를 수 있습니다. 만약 는 측정된 값이고, 가 참 값이면 부등식 1에 가까운 확률로 만족해야 합니다. 정규 법칙에 따라 분포하면 일반적으로 표준 편차가 절대 오차로 간주됩니다. 절대 오차는 값 자체와 동일한 단위로 측정됩니다. 절대 오차와 함께 수량을 작성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. · 일반적으로 서명된 표기법이 사용됩니다. ± . 예를 들어, 1983년에 설정된 100m 기록은 다음과 같습니다. 9.930±0.005초. · 매우 높은 정확도로 측정된 값을 기록하기 위해 다른 표기법이 사용됩니다. 가수의 마지막 숫자 오류에 해당하는 숫자가 괄호 안에 추가됩니다. 예를 들어, Boltzmann 상수의 측정된 값은 다음과 같습니다. 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, 다음과 같이 훨씬 더 길게 쓸 수도 있습니다. 1.380 6488×10?23 ± 0.000 0013×10?23 J/K. 상대 오차- 측정된 양의 실제 또는 평균값에 대한 절대 측정 오차의 비율로 표현되는 측정 오차(RMG 29-99):. 상대 오차는 무차원 수량이거나 백분율로 측정됩니다. 1. 근사값이라고 하는 것은 무엇입니까? 너무 많고 너무 적습니까? 계산 과정에서 종종 대략적인 숫자를 다루어야 합니다. 하자 하지만- 특정 수량의 정확한 값(이하 이라고 함) 정확한 숫자하지만.수량의 대략적인 값 아래 하지만,또는 대략적인 숫자전화번호 ㅏ, 수량의 정확한 값을 대체합니다. 하지만.만약 ㅏ< 하지만,그 다음에 ㅏ숫자의 대략적인 값이라고 합니다. 그리고 부족합니다.만약 ㅏ> 하지만,- 그 다음에 과도하게.예를 들어, 3.14는 숫자의 근사치입니다. ? 결핍으로, 3.15 초과로. 이 근사의 정확도를 특성화하기 위해 개념이 사용됩니다. 오류또는 오류. 오류 ?ㅏ대략적인 숫자 ㅏ형태의 차이라고 한다 ?에이 = 에이 - 에이, 어디 하지만해당하는 정확한 숫자입니다. 그림은 세그먼트 AB의 길이가 6cm에서 7cm 사이임을 보여줍니다. 즉, 6은 결함이 있는 세그먼트 AB(센티미터) 길이의 대략적인 값이고 7은 초과입니다. 문자 y가 있는 세그먼트의 길이를 나타내면 다음을 얻습니다. 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина 분절AB(그림 149 참조)는 7cm보다 6cm에 가깝고 대략 6cm와 같으며, 숫자 6은 세그먼트의 길이를 정수로 반올림하여 얻은 것이라고 합니다. . 근사 오차란 무엇입니까? 가) 절대적? B) 친척? A) 근사의 절대 오차는 양의 실제 값과 그 근사값 간의 차이의 계수입니다. |x - x_n|, 여기서 x는 실제 값이고 x_n은 근사값입니다. 예: A4 용지 한 장의 길이는 (29.7 ± 0.1)cm이고 상트페테르부르크에서 모스크바까지의 거리는 (650 ± 1)km입니다. 첫 번째 경우의 절대 오차는 1밀리미터를 초과하지 않고 두 번째 경우는 1킬로미터를 초과하지 않습니다. 문제는 이러한 측정의 정확도를 비교하는 것입니다. 절대 오차가 1mm를 넘지 않기 때문에 시트의 길이가 더 정확하게 측정된다고 생각하시면 됩니다. 그렇다면 당신은 틀렸습니다. 이 값은 직접 비교할 수 없습니다. 추론을 해봅시다. 시트의 길이를 측정할 때 절대 오차는 0.1cm x 29.7cm를 초과하지 않습니다. 즉, 백분율로 환산하면 측정값의 0.1 / 29.7 * 100% = 0.33%입니다. 상트페테르부르크에서 모스크바까지의 거리를 측정할 때 절대 오차는 650km당 1km를 초과하지 않으며 이는 측정값의 1/650 * 100% = 0.15%입니다. 도시 사이의 거리가 A4 용지의 길이보다 더 정확하게 측정되는 것을 볼 수 있습니다. B) 근사의 상대 오차는 수량의 근사값의 계수에 대한 절대 오차의 비율입니다. 수학 오류 분수 여기서 x는 실제 값이고 x_n은 근사값입니다. 상대 오차는 일반적으로 백분율이라고 합니다. 예시. 숫자 24.3을 단위로 반올림하면 숫자 24가 됩니다. 상대 오차는 동일합니다. 그들은 이 경우의 상대 오차가 12.5%라고 말합니다. ) 어떤 종류의 반올림을 반올림이라고 하나요? A) 단점이 있습니까? b) 너무 많이? 가) 반올림 소수로 표현된 숫자를 10^(-n) 이내로 반올림할 때, 결핍이 있는 경우 소수점 이하 처음 n자리는 유지하고 그 다음 자리는 버립니다. 예를 들어, 12.4587을 결점으로 가장 가까운 1000분의 1로 반올림하면 12.458이 됩니다. 나) 반올림 소수로 표현된 숫자를 10^(-n)까지 반올림할 때 소수점 이하 처음 n자리는 초과분과 함께 유지되고 그 다음 자리는 버려집니다. 예를 들어, 12.4587을 결점으로 가장 가까운 1000분의 1로 반올림하면 12.459가 됩니다. ) 소수 반올림 규칙. 규칙. 소수를 정수 또는 소수 부분의 특정 자릿수로 반올림하려면 모든 작은 자릿수를 0으로 바꾸거나 버리며, 반올림 중에 버린 자릿수 앞의 자릿수는 뒤에 숫자 0, 1, 2, 3, 4이며 숫자가 5, 6, 7, 8, 9이면 1씩 증가합니다. 예시. 분수 93.70584를 다음으로 반올림합니다. 만분의 일: 93.7058 천분의 일: 93.706 1/100: 93.71 십분의 일: 93.7 정수: 94 십: 90 절대 오차의 평등에도 불구하고, 측정된 양이 다릅니다. 측정된 크기가 클수록 일정한 절대값에서 상대 오차가 작아집니다. 과외주제를 배우는 데 도움이 필요하십니까?
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= n = 10에서 86mm2,
= 3.1mm
= 0.7mm 또는 S = ±0.7mm
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(1.21)
