수의 최소공배수 2. 둘 이상의 수에 대해 최소공배수를 구하는 방법
최소공배수를 구하는 방법은?
NOC를 찾는 방법
다음은 LCM(최소공배수)을 찾는 두 가지 방법을 보여주는 비디오입니다. 제안된 방법 중 첫 번째 방법을 사용하여 연습하면 최소 공배수가 무엇인지 더 잘 이해할 수 있습니다.
- 우리는 각 숫자를 소인수의 곱으로 나타냅니다.
- 우리는 모든 소인수의 거듭제곱을 기록합니다.
- 가장 큰 차수를 가진 모든 소수(승수)를 선택하고 곱한 다음 LCM을 찾습니다.
- 첫 번째 단계는 이러한 숫자를 소인수로 분해하는 것입니다.
- 우리는 숫자 30의 확장에 포함된 요소를 작성합니다. 이것은 2 x 3 x 5입니다.
- 이제 42를 분해할 때 가지고 있는 누락된 인수를 곱해야 합니다. 이것은 7입니다. 우리는 2 x 3 x 5 x 7을 얻습니다.
- 우리는 2 x 3 x 5 x 7과 같은 것을 찾아 210을 얻습니다.
- 우리는 두 숫자를 소인수로 분해합니다: 8=2*2*2 및 12=3*2*2
- 숫자 중 하나에 대해 동일한 승수를 줄입니다. 우리의 경우 2 * 2 일치를 숫자 12로 줄인 다음 12는 3이라는 하나의 요소를 갖습니다.
- 나머지 모든 인수의 곱 찾기: 2*2*2*3=24
최소 공배수를 구하는 두 수의 각 인수를 찾은 다음 첫 번째 및 두 번째 수와 일치하는 인수를 서로 곱해야 합니다. 제품의 결과는 원하는 배수가 됩니다.
예를 들어 숫자 3과 5가 있고 LCM(최소공배수)을 찾아야 합니다. 우리를 곱해야 합니다그리고 셋과 다섯 1 2 3부터 시작하는 모든 숫자에 대해 ...우리가 볼 때까지 등등 같은 숫자여기 저기에.
3을 곱하면 3, 6, 9, 12, 15가 됩니다.
5를 곱하고 다음을 얻습니다. 5, 10, 15
소인수분해 방법은 여러 숫자의 최소공배수(LCM)를 찾는 가장 고전적인 방법입니다. 이 방법은 다음 비디오에서 명확하고 간단하게 보여줍니다.
공통 분모 등으로 더하기, 곱하기, 나누기, 줄이기 산술 연산매우 흥미 진진한 활동, 전체 시트를 차지하는 예가 특히 존경받습니다.
따라서 두 수의 공배수는 두 수를 나눌 수 있는 가장 작은 수입니다. 나는 미래에 당신이 찾고 있는 것을 찾기 위해 공식에 의지할 필요가 없다는 점에 주목하고 싶습니다. 만약 당신이 마음속으로 셀 수 있다면(그리고 이것은 훈련될 수 있습니다), 숫자 자체가 당신의 머리 속에 떠오른 다음 분수는 너트처럼 클릭합니다.
우선, 우리는 두 숫자를 서로 곱할 수 있다는 것을 배웁니다. 그런 다음이 숫자를 줄이고이 두 숫자로 교대로 나누어 가장 작은 배수를 찾을 수 있습니다.
예를 들어, 두 개의 숫자 15와 6. 곱하면 90이 됩니다. 이것은 분명히 더 많은 숫자. 또한, 15는 3으로 나눌 수 있고 6은 3으로 나눌 수 있습니다. 즉, 90도 3으로 나눕니다. 우리는 30을 얻습니다. 30을 15로 나누려고 하면 2입니다. 그리고 30 나누기 6은 5입니다. 2가 극한이므로, 숫자 15와 6의 가장 작은 배수는 30이 됩니다.
숫자가 많으면 조금 더 어려울 것입니다. 그러나 나누거나 곱할 때 나머지가 0인 숫자를 안다면 원칙적으로 큰 어려움은 없습니다.
다음은 최소 공배수를 찾는 또 다른 방법입니다. 예시적인 예를 살펴보겠습니다.
한 번에 16, 20 및 28의 세 숫자의 LCM을 찾아야 합니다.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16, 20, 28) = 560
따라서 계산 결과 560이라는 수를 구한 것은 최소공배수, 즉 나머지 세 수로 나누어 떨어지지 않는 수이다.
최소공배수는 나머지 없이 제안된 여러 수로 나눌 수 있는 수입니다. 이러한 수치를 계산하려면 각 숫자를 가져와 간단한 요소로 분해해야 합니다. 일치하는 숫자가 제거됩니다. 모든 사람을 한 번에 하나씩 남겨두고 차례로 곱하고 원하는 것을 얻으십시오 - 최소 공배수.
NOC, 또는 최소 공배수, 가장 작은 자연수주어진 각 수로 나머지 없이 나누어 떨어지는 둘 이상의 수.
다음은 30과 42의 최소 공배수를 찾는 방법의 예입니다.
30의 경우 2 x 3 x 5입니다.
42의 경우, 이것은 2 x 3 x 7입니다. 2와 3은 숫자 30의 확장에 있으므로 이를 지웁니다.
결과적으로 숫자 30과 42의 LCM은 210입니다.
최소공배수를 구하려면, 몇 가지 간단한 단계를 순서대로 따라야 합니다. 8과 12라는 두 숫자의 예를 사용하여 이것을 고려하십시오.
확인하면서 24가 8과 12로 나누어 떨어지는지 확인하고 이 숫자가 각 숫자로 나누어 떨어지는 가장 작은 자연수인지 확인합니다. 여기 우리가있다 최소공배수 구하기.
숫자 6과 8의 예를 사용하여 설명하려고 합니다. 최소 공배수는 이 숫자(이 경우 6과 8)로 나눌 수 있는 숫자이며 나머지는 없습니다.
따라서 처음 6에 1, 2, 3 등을 곱하고 8에 1, 2, 3 등을 곱하기 시작합니다.
숫자와 b가 나머지 없이 나누어지는 가장 큰 자연수를 최대 공약수이 숫자. GCD(a, b)를 나타냅니다.
두 개의 자연수 18과 60의 예를 사용하여 GCD를 찾는 것을 고려하십시오.
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 그리고 432
숫자를 소인수로 분해해 보겠습니다.
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
요인이 두 번째 및 세 번째 숫자에 없는 첫 번째 숫자에서 삭제하면 다음을 얻습니다.
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
GCD( 324 , 111 , 432 )=3
유클리드 알고리즘으로 GCD 구하기
다음을 사용하여 최대공약수를 구하는 두 번째 방법 유클리드 알고리즘. 유클리드 알고리즘은 가장 효과적인 방법발견 GCD, 그것을 사용하여 지속적으로 숫자 나누기의 나머지를 찾아 적용해야 합니다. 반복 공식.
반복 공식 GCD의 경우, gcd(a, b)=gcd(b, 모드 b), 여기서 mod b는 a를 b로 나눈 나머지입니다.
유클리드 알고리즘
예제 숫자의 최대공약수 구하기 7920 그리고 594
GCD( 7920 , 594 ) Euclid 알고리즘을 사용하여 계산기를 사용하여 나눗셈의 나머지를 계산합니다.
- 7920 모드 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 모드 198 = 594 - 3 × 198 = 0
결과적으로 GCD( 7920 , 594 ) = 198
최소 공배수
분수를 더하고 뺄 때 공통 분모 찾기 다른 분모알고 계산할 수 있어야 합니다. 최소 공배수(NOC).
숫자 "a"의 배수는 나머지 없이 숫자 "a"로 나누어지는 숫자입니다.
8의 배수인 숫자(즉, 이 숫자는 나머지 없이 8로 나뉩니다): 숫자 16, 24, 32 ...
9의 배수: 18, 27, 36, 45…
같은 수의 약수와 달리 주어진 수의 배수는 무한히 많습니다. 제수 - 유한 숫자.
두 자연수의 공배수는 이 두 수로 균등하게 나누어 떨어지는 수입니다..
최소 공배수 2개 이상의 자연수의 (LCM)은 이들 각각으로 나누어 떨어지는 가장 작은 자연수입니다.
NOC를 찾는 방법
LCM은 두 가지 방법으로 찾고 작성할 수 있습니다.
LCM을 찾는 첫 번째 방법
이 방법은 일반적으로 작은 수에 사용됩니다.
- 두 숫자에 대해 동일한 배수가 나올 때까지 한 줄에 각 숫자에 대한 배수를 씁니다.
- 숫자 "a"의 배수는 대문자 "K"로 표시됩니다.
예시. LCM 6과 8을 찾습니다.
LCM을 찾는 두 번째 방법
이 방법은 세 개 이상의 숫자에 대한 LCM을 찾는 데 사용하는 것이 편리합니다.
숫자의 확장에서 동일한 요인의 수는 다를 수 있습니다.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
답: LCM(24, 60) = 120
다음과 같이 최소공배수(LCM)를 찾는 것을 공식화할 수도 있습니다. LCM (12, 16, 24) 을 구해 봅시다.
24 = 2 2 2 3
숫자의 확장에서 알 수 있듯이 12의 모든 인수는 24의 확장(숫자 중 가장 큰 숫자)에 포함되므로 숫자 16의 확장에서 LCM으로 2 하나만 더합니다.
LCM(12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
답: LCM(12, 16, 24) = 48
NOC를 찾는 특별한 경우
예를 들어, LCM(60, 15) = 60
공소수에는 공약수가 없기 때문에 최소공배수는 이 수의 곱과 같습니다.
저희 웹사이트에서 특수 계산기를 사용하여 온라인에서 최소 공배수를 찾아 계산을 확인할 수도 있습니다.
자연수가 1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 경우 이를 소수라고 합니다.
모든 자연수는 항상 1과 자기 자신으로 나눌 수 있습니다.
숫자 2는 가장 작은 소수입니다. 이것은 유일한 짝수 소수이고 나머지 소수는 홀수입니다.
소수는 여러 가지가 있으며 그 중 첫 번째는 숫자 2입니다. 그러나 마지막 소수는 없습니다. "연구용" 섹션에서 최대 997까지의 소수 테이블을 다운로드할 수 있습니다.
그러나 많은 자연수는 다른 자연수로 균등하게 나누어 떨어집니다.
- 숫자 12는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 나눌 수 있습니다.
- 36은 1의 배수, 2의 배수, 3의 배수, 4의 배수, 6의 배수, 12의 배수, 18의 배수, 36의 배수입니다.
- 숫자의 제수를 소인수로 분해합니다.
숫자가 균등하게 나누어지는 숫자(12의 경우 1, 2, 3, 4, 6 및 12)를 숫자의 제수라고 합니다.
자연수의 약수는 주어진 숫자 "a"를 나머지 없이 나누는 자연수입니다.
약수가 2개 이상인 자연수를 합성수라고 합니다.
숫자 12와 36은 공약수가 있습니다. 숫자는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 이 숫자의 가장 큰 약수는 12입니다.
주어진 두 숫자 "a"와 "b"의 공약수는 주어진 숫자 "a"와 "b"를 나머지 없이 나눈 숫자입니다.
최대 공약수(gcd) 주어진 두 숫자 "a"와 "b"는 가장 큰 수, 숫자 "a"와 "b"는 나머지 없이 나누어집니다.
간단히 말해 숫자 "a"와 "b"의 최대 공약수는 다음과 같습니다.:
예: gcd (12; 36) = 12 .
솔루션 레코드에서 숫자의 제수는 대문자 "D"로 표시됩니다.
숫자 7과 9의 공약수는 숫자 1뿐입니다. 이러한 숫자를 공소수.
공소수공약수가 1인 자연수입니다. 그들의 GCD는 1입니다.
최대공약수 구하는 방법
둘 이상의 자연수의 gcd를 찾으려면 다음이 필요합니다.
계산은 세로 막대를 사용하여 편리하게 작성됩니다. 줄의 왼쪽에 먼저 피제수를 적고 오른쪽 - 제수를 씁니다. 왼쪽 열에 private 값을 기록합니다.
예를 들어 바로 설명하겠습니다. 숫자 28과 64를 소인수로 분해합시다.
- 두 숫자에서 동일한 소인수에 밑줄을 긋습니다.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
우리는 동일한 소인수의 곱을 찾고 답을 적습니다.
GCD(28; 64) = 2 2 = 4
답: GCD(28; 64) = 4
GCD의 위치를 두 가지 방법으로 정렬할 수 있습니다: 열(위에서 수행한 대로) 또는 "라인".
GCD를 작성하는 첫 번째 방법
GCD 48 및 36을 찾으십시오.
GCD(48, 36) = 2 2 3 = 12
GCD를 작성하는 두 번째 방법
이제 GCD 검색 솔루션을 한 줄로 작성해 보겠습니다. GCD 10 및 15를 찾으십시오.
정보 사이트에서 도우미 프로그램을 사용하여 온라인에서 최대 공약수를 찾아 계산을 확인할 수도 있습니다.
최소공배수 찾기, 방법, LCM 구하는 예.
아래에 제시된 자료는 LCM - 최소 공배수, 정의, 예, LCM과 GCD 사이의 관계라는 제목 아래에 있는 기사에서 이론의 논리적 연속입니다. 여기에서 우리는에 대해 이야기 할 것입니다 최소공배수(LCM) 구하기, 그리고 특별한 주의예제를 살펴보겠습니다. 먼저 두 숫자의 LCM이 이 숫자의 GCD로 계산되는 방법을 보여 드리겠습니다. 다음으로, 숫자를 소인수로 분해하여 최소공배수를 찾는 것을 고려하십시오. 그 후, 우리는 3의 LCM을 찾는 데 집중할 것입니다. 더숫자 및 음수의 LCM 계산에주의하십시오.
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gcd를 통한 최소공배수(LCM) 계산
최소 공배수를 찾는 한 가지 방법은 LCM과 GCD 간의 관계를 기반으로 합니다. LCM과 GCD 사이의 기존 관계를 사용하면 알려진 최대 공약수를 통해 두 양의 정수의 최소 공배수를 계산할 수 있습니다. 해당 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). 위의 공식에 따라 LCM을 구하는 예를 고려하십시오.
두 숫자 126과 70의 최소 공배수를 구합니다.
이 예에서 a=126 , b=70 입니다. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) 공식으로 표현되는 LCM과 GCD의 링크를 사용하겠습니다. 즉, 먼저 숫자 70과 126의 최대 공약수를 찾아야 하며, 그런 다음 작성된 공식에 따라 이러한 숫자의 최소공배수를 계산할 수 있습니다.
Euclid 알고리즘을 사용하여 gcd(126, 70)을 찾습니다. 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , 따라서 gcd(126, 70)=14 입니다.
이제 필요한 최소 공배수를 찾습니다. LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
LCM(68, 34)이란?
68 은 34 로 균등하게 나눌 수 있으므로 gcd(68, 34)=34 입니다. 이제 최소공배수를 계산합니다: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
이전 예는 양의 정수 a와 b에 대한 최소공배수를 찾기 위한 다음 규칙에 맞습니다. 숫자 a가 b로 나누어지면 이 숫자의 최소공배수는 a입니다.
숫자를 소인수로 분해하여 LCM 찾기
최소 공배수를 찾는 또 다른 방법은 숫자를 소인수로 분해하는 것입니다. 이 숫자의 모든 소인수를 곱한 후 이 숫자의 확장에 존재하는 모든 공통 소인수를 이 제품에서 제외하면 결과 제품은 이 숫자의 최소 공배수와 같습니다.
LCM을 찾기 위해 발표된 규칙은 등식 LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) 를 따릅니다. 실제로, 숫자와 b의 곱은 숫자와 b의 확장에 관련된 모든 요소의 곱과 같습니다. 차례로, gcd(a, b)는 숫자 a와 b의 확장에 동시에 존재하는 모든 소인수의 곱과 같습니다(이는 숫자를 소인수로 분해하여 gcd를 찾는 섹션에 설명되어 있습니다. ).
예를 들어 보겠습니다. 75=3 5 5 및 210=2 3 5 7 임을 알려주세요. 2 3 3 5 5 5 7 확장의 모든 인수의 곱을 작성하십시오. 이제 이 제품에서 숫자 75의 확장과 숫자 210의 확장(이러한 요소는 3과 5)에 있는 모든 요소를 제외하면 제품은 2 3 5 5 7 형식을 취합니다. 이 곱의 값은 75와 210의 최소 공배수와 같습니다. 즉, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 입니다.
숫자 441과 700을 소인수로 분해한 후 이 숫자의 최소 공배수를 찾으십시오.
숫자 441과 700을 소인수로 분해해 보겠습니다. 
441=3 3 7 7 과 700=2 2 5 5 7 입니다.
이제 2 2 3 3 5 5 7 7 7 의 확장과 관련된 모든 요소의 곱을 만들어 보겠습니다. 두 확장 모두에 동시에 존재하는 모든 요소를 이 제품에서 제외하겠습니다(이러한 요소는 하나뿐입니다. 이것은 숫자 7입니다): 2 2 3 3 5 5 7 7 . 따라서 LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 입니다.
LCM(441, 700)= 44 100 .
숫자를 소인수로 분해하여 LCM을 찾는 규칙은 약간 다르게 공식화할 수 있습니다. 숫자 b의 확장에서 누락된 요소를 숫자 확장의 요소에 추가하면 결과 제품의 값은 숫자와 b의 최소 공배수와 같습니다.
예를 들어, 동일한 숫자 75와 210을 모두 가정하고 소인수로 확장하면 75=3 5 5 및 210=2 3 5 7입니다. 숫자 75의 분해에서 요소 3, 5 및 5에 숫자 210의 분해에서 누락된 요소 2 및 7을 추가하면 제품 2 3 5 5 7 을 얻습니다. 이 값은 LCM(75 , 210) .
84와 648의 최소공배수를 구하세요.
먼저 숫자 84와 648을 소인수로 분해합니다. 84=2 2 3 7 및 648=2 2 2 3 3 3 처럼 보입니다. 숫자 84의 분해에서 요소 2, 2, 3 및 7에 숫자 648의 분해에서 누락된 요소 2, 3, 3 및 3을 추가하면 제품 2 2 2 3 3 3 3 7을 얻습니다. 이는 4 536과 같습니다. 따라서 숫자 84와 648의 원하는 최소 공배수는 4,536입니다.
세 개 이상의 숫자의 LCM 찾기
세 개 이상의 수의 최소공배수는 두 수의 최소공배수를 연속적으로 구함으로써 구할 수 있습니다. 세 개 이상의 숫자의 LCM을 찾는 방법을 제공하는 해당 정리를 상기하십시오.
양의 정수 a 1 , a 2 , … 3) , … , mk = LCM(mk−1 , ak) .
네 수의 최소 공배수를 구하는 예에서 이 정리의 적용을 고려하십시오.
4개의 숫자 140, 9, 54, 250의 최소공배수를 구합니다.
먼저 m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) 을 찾습니다. 이를 위해 유클리드 알고리즘을 사용하여 gcd(140, 9) 를 결정하고 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 이므로 gcd( 140, 9)=1 , 여기서 LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . 즉, m 2 =1 260 .
이제 m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) 을 찾습니다. 유클리드 알고리즘(1 260=54 23+18 , 54=18 3 )에 의해 결정되는 gcd(1 260, 54) 를 통해 계산해 보겠습니다. 그러면 gcd(1 260, 54)=18 , 여기서 LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 입니다. 즉, m 3 \u003d 3 780입니다.
m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) 을 찾아야 합니다. 이를 위해 Euclid 알고리즘을 사용하여 GCD(3 780, 250)를 찾습니다. 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . 따라서 gcd(3 780, 250)=10 이므로 LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 입니다. 즉, m 4 \u003d 94 500입니다.
따라서 원래 네 수의 최소 공배수는 94,500입니다.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
많은 경우에 3개 이상의 숫자의 최소공배수는 주어진 숫자의 소인수분해를 사용하여 편리하게 찾을 수 있습니다. 동시에 준수해야 하는 다음 규칙. 여러 숫자의 최소 공배수는 곱과 같으며 다음과 같이 구성됩니다. 두 번째 숫자의 확장에서 누락된 요소는 첫 번째 숫자의 확장에서 모든 요소에 추가되고, 세 번째 숫자는 얻은 인수에 추가되는 식입니다.
숫자를 소인수로 분해하여 최소 공배수를 찾는 예를 고려하십시오.
다섯 개의 숫자 84 , 6 , 48 , 7 , 143 의 최소 공배수를 구합니다.
먼저 이 숫자를 소인수로 분해합니다. 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7은 소수이며 소인수로 분해하는 것과 일치함) 143=11 13 .
이 숫자의 LCM을 찾으려면 첫 번째 숫자 84의 인수(2, 2, 3, 7)에 두 번째 숫자 6의 확장에서 누락된 인수를 추가해야 합니다. 첫 번째 숫자 84 의 확장에 이미 2와 3이 모두 있으므로 숫자 6의 확장에는 결측 요인이 포함되어 있지 않습니다. 요인 2, 2, 3 및 7에 추가로 세 번째 숫자 48의 확장에서 누락된 요인 2 및 2를 추가하면 요인 2, 2, 2, 2, 3 및 7 세트를 얻습니다. 7이 이미 포함되어 있으므로 다음 단계에서 이 집합에 요소를 추가할 필요가 없습니다. 마지막으로 인수 2 , 2 , 2 , 2 , 3 및 7 에 숫자 143 의 확장에서 누락된 인수 11 및 13 을 추가합니다. 우리는 2 2 2 2 3 7 11 13 제품을 얻습니다. 이는 48 048과 같습니다.
따라서 LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 입니다.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
음수의 최소공배수 구하기
때로는 숫자의 최소공배수를 찾아야 하는 작업이 있으며 그 중 하나, 여러 또는 모든 숫자가 음수입니다. 이러한 경우 모든 음수는 반대 숫자로 대체되어야 하며 그 후에 양수의 LCM을 찾아야 합니다. 이것은 음수의 LCM을 찾는 방법입니다. 예를 들어, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) 및 LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) 입니다.
의 배수 집합이 -a의 배수 집합과 같기 때문에 이렇게 할 수 있습니다(a와 -a는 반대 숫자임). 실제로, b를 의 배수라고 하면 b는 a로 나눌 수 있고 나눌 수 있다는 개념은 b=a q인 정수 q의 존재를 주장합니다. 그러나 등식 b=(−a)·(−q) 도 참이 되며, 이는 동일한 나눗셈 개념 덕분에 b 가 -a 로 나눌 수 있음을 의미합니다. 즉, b 는 -a 의 배수입니다. 반대의 진술도 참입니다. b가 −a의 배수이면 b도 a의 배수입니다.
음수 −145와 −45의 최소 공배수를 찾습니다.
음수 −145 와 −45 를 반대 숫자 145 와 45 로 바꾸자. LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) 입니다. gcd(145, 45)=5(예: Euclid 알고리즘 사용)를 결정하면 LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 가 계산됩니다. 따라서 음의 정수 −145와 −45의 최소 공배수는 1,305입니다.
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우리는 분할을 계속 연구합니다. 이 수업에서는 다음과 같은 개념을 살펴보겠습니다. GCD그리고 NOC.
GCD최대공약수입니다.
NOC최소공배수입니다.
주제는 다소 지루하지만 이해가 필요합니다. 이 주제를 이해하지 못하면 수학의 진정한 장애물인 분수를 효과적으로 다룰 수 없습니다.
최대 공약수
정의. 숫자의 최대공약수 ㅏ그리고 비 ㅏ그리고 비남김없이 나눴다.
이 정의를 잘 이해하기 위해 변수 대신 ㅏ그리고 비예를 들어 변수 대신 두 숫자 ㅏ숫자 12를 대체하고 변수 대신 비숫자 9. 이제 이 정의를 읽어 보겠습니다.
숫자의 최대공약수 12 그리고 9 는 가장 큰 숫자입니다. 12 그리고 9 남김없이 나눴다.
정의에서 우리는 숫자 12와 9의 공약수에 대해 이야기하고 있으며, 이 약수는 기존의 모든 약수 중에서 가장 크다는 것이 분명합니다. 이 최대공약수(gcd)를 찾아야 합니다.
두 수의 최대공약수를 구하려면 세 가지 방법이 사용됩니다. 첫 번째 방법은 시간이 많이 걸리지만 주제의 본질을 잘 이해하고 전체 의미를 느낄 수 있습니다.
두 번째 및 세 번째 방법은 매우 간단하며 GCD를 빠르게 찾을 수 있습니다. 우리는 세 가지 방법을 모두 고려할 것입니다. 그리고 실제로 적용할 대상은 선택합니다.
첫 번째 방법은 두 숫자의 가능한 모든 제수를 찾아 그 중 가장 큰 숫자를 선택하는 것입니다. 다음 예에서 이 방법을 고려해 보겠습니다. 12와 9의 최대공약수 구하기.
먼저 숫자 12의 가능한 모든 제수를 찾습니다. 이를 위해 12를 1에서 12 사이의 모든 제수로 나눕니다. 제수가 12를 나머지 없이 나눌 수 있도록 허용하면 파란색으로 강조 표시하고 괄호 안에 적절한 설명을 하시오.
12: 1 = 12
(12를 나머지 없이 1로 나누므로 1은 12의 약수임)
12: 2 = 6
(12를 나머지 없이 2로 나누므로 2는 12의 약수입니다)
12: 3 = 4
(12를 나머지 없이 3으로 나누므로 3은 12의 약수입니다)
12: 4 = 3
(12를 나머지 없이 4로 나누므로 4는 12의 약수입니다)
12:5 = 2(2개 남음)
(12는 나머지 없이 5로 나누어지지 않으므로 5는 12의 약수가 아닙니다.)
12: 6 = 2
(12를 나머지 없이 6으로 나누므로 6은 12의 약수입니다)
12: 7 = 1(5개 남음)
(12는 나머지 없이 7로 나누어지지 않으므로 7은 12의 약수가 아닙니다.)
12: 8 = 1(4개 남음)
(12는 나머지 없이 8로 나누어지지 않으므로 8은 12의 약수가 아닙니다.)
12:9 = 1(3개 남음)
(12는 나머지 없이 9로 나누어지지 않으므로 9는 12의 약수가 아닙니다.)
12: 10 = 1(2개 남음)
(12는 나머지 없이 10으로 나누어지지 않으므로 10은 12의 약수가 아닙니다.)
12:11 = 1(1개 남음)
(12는 나머지 없이 11로 나누어지지 않으므로 11은 12의 약수가 아닙니다.)
12: 12 = 1
(12를 나머지 없이 12로 나누므로 12는 12의 약수입니다)
이제 숫자 9의 제수를 찾으십시오. 이렇게하려면 1에서 9까지의 모든 제수를 확인하십시오.
9: 1 = 9
(9를 나머지 없이 1로 나누므로 1은 9의 제수입니다)
9: 2 = 4(1개 남음)
(9는 나머지 없이 2로 나누어지지 않으므로 2는 9의 약수가 아닙니다.)
9: 3 = 3
(9를 3으로 나누면 나머지가 없으므로 3은 9의 약수입니다.)
9: 4 = 2(1개 남음)
(9는 나머지 없이 4로 나누어지지 않으므로 4는 9의 약수가 아닙니다.)
9:5 = 1(4개 남음)
(9는 나머지 없이 5로 나누어지지 않으므로 5는 9의 약수가 아닙니다.)
9: 6 = 1(3개 남음)
(9는 나머지 없이 6으로 나누지 않았으므로 6은 9의 약수가 아닙니다.)
9:7 = 1(2개 남음)
(9는 나머지 없이 7로 나누어지지 않으므로 7은 9의 약수가 아닙니다.)
9:8 = 1(1개 남음)
(9는 나머지 없이 8로 나누어지지 않으므로 8은 9의 약수가 아닙니다.)
9: 9 = 1
(9를 나머지 없이 9로 나누므로 9는 9의 약수입니다)
이제 두 숫자의 제수를 기록하십시오. 파란색으로 강조 표시된 숫자는 제수입니다. 다음과 같이 작성해 보겠습니다.
제수를 작성하면 어느 것이 가장 크고 가장 흔한지 즉시 결정할 수 있습니다.
정의에 따르면 12와 9의 최대공약수는 12와 9를 균등하게 나눌 수 있는 수입니다. 12와 9의 최대공약수는 3이다.
숫자 12와 숫자 9는 모두 나머지 없이 3으로 나누어집니다.
따라서 gcd(12 및 9) = 3
GCD를 찾는 두 번째 방법
이제 최대 공약수를 찾는 두 번째 방법을 고려하십시오. 본질 이 방법두 수를 모두 소인수로 인수분해하고 공통 인수를 곱하는 것입니다.
실시예 1. 숫자 24와 18의 GCD 찾기
먼저 두 숫자를 소인수로 인수분해해 보겠습니다.
이제 우리는 그들의 공통 요소를 곱합니다. 혼동하지 않기 위해 공통 요소에 밑줄을 그을 수 있습니다.
우리는 숫자 24의 분해를 봅니다. 첫 번째 요소는 2입니다. 우리는 숫자 18의 분해에서 동일한 요소를 찾고 있으며 그것이 또한 거기에 있음을 확인합니다. 우리는 두 가지 모두에 밑줄을 긋습니다.
다시 숫자 24의 분해를 살펴봅니다. 두 번째 요소도 2입니다. 숫자 18의 분해에서 동일한 요소를 찾고 있으며 두 번째로 존재하지 않는 것을 확인합니다. 그런 다음 우리는 아무 것도 강조 표시하지 않습니다.
숫자 24의 확장에서 다음 두 개는 숫자 18의 확장에서도 누락되었습니다.
우리는 숫자 24의 분해에서 마지막 요소로 전달합니다. 이것은 요소 3입니다. 우리는 숫자 18의 분해에서 동일한 요소를 찾고 있으며 그것이 또한 거기에 있음을 봅니다. 우리는 세 가지를 모두 강조합니다.
따라서 숫자 24와 18의 공약수는 인수 2와 3입니다. GCD를 얻으려면 다음 인수를 곱해야 합니다.
따라서 gcd(24 및 18) = 6
GCD를 찾는 세 번째 방법
이제 최대 공약수를 찾는 세 번째 방법을 고려하십시오. 이 방법의 핵심은 최대공약수를 구하고자 하는 숫자를 소인수로 분해한다는 점이다. 그런 다음 첫 번째 숫자의 분해에서 두 번째 숫자의 분해에 포함되지 않은 요소를 삭제합니다. 첫 번째 확장의 나머지 숫자를 곱하여 GCD를 얻습니다.
예를 들어, 이런 식으로 숫자 28과 16에 대한 GCD를 구해 봅시다. 우선 이 숫자를 소인수로 분해합니다.
두 가지 확장팩이 있습니다.
이제 첫 번째 숫자의 확장에서 두 번째 숫자의 확장에 포함되지 않은 요소를 삭제합니다. 두 번째 숫자의 확장은 7을 포함하지 않습니다. 첫 번째 확장에서 삭제합니다.
이제 나머지 요소를 곱하고 GCD를 얻습니다.
숫자 4는 숫자 28과 숫자 16의 최대 공약수입니다. 이 두 숫자는 나머지 없이 4로 나눌 수 있습니다.
실시예 2숫자 100과 40의 GCD 찾기
숫자 100 빼기
숫자 40 빼기
두 가지 확장팩이 있습니다.
이제 첫 번째 숫자의 확장에서 두 번째 숫자의 확장에 포함되지 않은 요소를 삭제합니다. 두 번째 숫자의 확장에는 하나의 다섯이 포함되지 않습니다(하나의 다섯만 있음). 첫 번째 분해에서 삭제합니다.
나머지 숫자를 곱합니다.
답은 20입니다. 따라서 숫자 20은 숫자 100과 40의 최대공약수입니다. 이 두 숫자는 나머지 없이 20으로 나누어집니다.
GCD(100 및 40) = 20
실시예 3숫자 72와 128의 gcd 찾기
숫자 72 빼기
숫자 128 빼기
2×2×2×2×2×2×2
이제 첫 번째 숫자의 확장에서 두 번째 숫자의 확장에 포함되지 않은 요소를 삭제합니다. 두 번째 숫자의 확장에는 두 개의 삼중항이 포함되지 않습니다(전혀 없습니다). 첫 번째 확장에서 삭제합니다.
답은 8입니다. 따라서 숫자 8은 숫자 72와 숫자 128의 최대 공약수입니다. 이 두 숫자는 나머지 없이 8로 나눌 수 있습니다.
GCD(72 및 128) = 8
여러 숫자에 대한 GCD 찾기
최대공약수는 2가 아닌 여러 수에 대해 찾을 수 있습니다. 이를 위해 최대공약수를 구하고자 하는 수를 소인수로 분해하여 이들 수의 공약수를 곱한 값을 구한다.
예를 들어 숫자 18, 24 및 36에 대한 GCD를 구해 보겠습니다.
숫자 18의 인수분해
숫자 24의 인수분해
숫자 36의 인수분해
세 가지 확장팩이 있습니다.
이제 이 숫자에서 공통 요소를 선택하고 밑줄을 긋습니다. 세 숫자 모두에 공통 요소가 포함되어야 합니다.
숫자 18, 24 및 36에 대한 공통 인수가 인수 2와 3이라는 것을 알 수 있습니다. 이러한 인수를 곱하여 찾고 있는 GCD를 얻습니다.
답은 6입니다. 따라서 숫자 6은 숫자 18, 24, 36의 최대 공약수입니다. 이 세 숫자는 나머지 없이 6으로 나눌 수 있습니다.
GCD(18, 24 및 36) = 6
실시예 2숫자 12, 24, 36 및 42에 대한 gcd 찾기
각 숫자를 인수분해해 봅시다. 그런 다음 이 숫자의 공통 요인의 곱을 찾습니다.
숫자 12의 인수분해
숫자 42의 인수분해
네 가지 확장팩이 있습니다.
이제 이 숫자에서 공통 요소를 선택하고 밑줄을 긋습니다. 네 가지 숫자 모두에 공통 요소가 포함되어야 합니다.
숫자 12, 24, 36, 42에 대한 공통 인수가 인수 2와 3임을 알 수 있습니다. 이러한 인수를 곱하여 찾고 있는 GCD를 얻습니다.
답은 6입니다. 따라서 숫자 6은 숫자 12, 24, 36 및 42의 최대 공약수입니다. 이 숫자는 나머지 없이 6으로 나눌 수 있습니다.
gcd(12, 24, 36 및 42) = 6
이전 수업에서 어떤 숫자를 나머지 없이 다른 숫자로 나누면 이 숫자의 배수라고 합니다.
배수는 여러 숫자에 공통될 수 있습니다. 이제 우리는 두 수의 배수에 관심을 가질 것이지만 가능한 한 작아야 합니다.
정의. 숫자의 최소공배수(LCM) ㅏ그리고 비- ㅏ그리고 비 ㅏ그리고 번호 비.
정의에는 두 개의 변수가 포함됩니다. ㅏ그리고 비. 이 변수를 두 개의 숫자로 대체해 보겠습니다. 예를 들어, 변수 대신 ㅏ숫자 9를 대체하고 변수 대신 비숫자 12로 바꾸겠습니다. 이제 정의를 읽어 보겠습니다.
숫자의 최소공배수(LCM) 9 그리고 12 - 이것 가장 작은 숫자, 이는 다중 9 그리고 12 . 즉, 나머지 없이 나누어 떨어지는 수는 매우 작은 수입니다. 9 그리고 번호에 12 .
LCM은 나머지 없이 9와 12로 나누어 떨어지는 가장 작은 숫자라는 정의에서 분명합니다. 이 LCM은 찾아야 합니다.
LCM(최소공배수)을 구하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 첫 번째 방법은 두 숫자의 첫 번째 배수를 기록한 다음 이러한 배수 중에서 숫자와 작은 숫자에 공통적인 숫자를 선택하는 것입니다. 이 방법을 적용해 봅시다.
먼저, 숫자 9의 첫 번째 배수를 구해 봅시다. 9의 배수를 찾으려면 이 9에 1부터 9까지의 숫자를 차례로 곱해야 합니다. 그러면 답은 숫자 9의 배수가 됩니다. , 시작하자. 다중 항목은 빨간색으로 강조 표시됩니다.
이제 숫자 12의 배수를 찾습니다. 이를 위해 12에 1부터 12까지의 모든 숫자를 차례로 곱합니다.
다음 문제의 솔루션을 고려하십시오. 남자아이의 걸음수는 75cm, 여자아이의 걸음수는 60cm로 두 사람이 정수 걸음을 걸을 수 있는 가장 작은 거리를 찾아야 합니다.
해결책.사람들이 통과할 전체 경로는 각각 정수 단계를 거쳐야 하므로 나머지 없이 60과 70으로 나눌 수 있어야 합니다. 즉, 답은 75와 60의 배수여야 합니다.
먼저 숫자 75에 대한 모든 배수를 작성합니다. 우리는 다음을 얻습니다.
- 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .
이제 60의 배수가 되는 숫자를 작성해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다.
- 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .
이제 두 행에 있는 숫자를 찾습니다.
- 숫자의 공배수는 숫자, 300, 600 등입니다.
그 중 가장 작은 것은 숫자 300입니다. 이 경우 숫자 75와 60의 최소 공배수라고 합니다.
문제의 조건으로 돌아가서 남자가 정수 단계를 밟는 가장 작은 거리는 300cm가 될 것이며 남자는 4 걸음, 여자는 5 걸음을 걸어야합니다.
최소공배수 구하기
- 두 자연수와 b의 최소공배수는 와 b의 배수인 가장 작은 자연수입니다.
두 숫자의 최소 공배수를 찾기 위해 이 숫자의 모든 배수를 연속으로 기록할 필요는 없습니다.
다음 방법을 사용할 수 있습니다.
최소공배수 구하는 방법
먼저 이 숫자를 소인수로 분해해야 합니다.
- 60 = 2*2*3*5,
- 75=3*5*5.
이제 첫 번째 숫자(2,2,3,5)의 확장에 있는 모든 요소를 기록하고 두 번째 숫자(5)의 확장에서 누락된 모든 요소를 추가해 보겠습니다.
결과적으로 일련의 소수(2,2,3,5,5)를 얻습니다. 이 숫자의 곱은 이 숫자에 대한 최소 공약수가 됩니다. 2*2*3*5*5 = 300.
최소 공배수를 찾기 위한 일반 체계
- 1. 숫자를 소인수로 분해합니다.
- 2. 그 중 하나의 일부인 소인수를 적으십시오.
- 3. 나머지 요소의 분해에는 포함되지만 선택된 요소에는 포함되지 않는 모든 요소를 이 요소에 추가합니다.
- 4. 작성된 모든 요인의 곱을 찾으십시오.
이 방법은 보편적입니다. 임의의 수의 자연수의 최소 공배수를 찾는 데 사용할 수 있습니다.
온라인 계산기를 사용하면 2 또는 다른 수의 최대 공약수와 최소 공배수를 빠르게 찾을 수 있습니다.
GCD 및 NOC를 찾기 위한 계산기
GCD 및 NOC 찾기
GCD 및 NOC 발견: 6433
계산기 사용 방법
- 입력 필드에 숫자 입력
- 잘못된 문자를 입력하는 경우 입력 필드가 빨간색으로 강조 표시됩니다.
- "GCD 및 NOC 찾기" 버튼을 누릅니다.
숫자를 입력하는 방법
- 숫자는 공백, 점 또는 쉼표로 구분하여 입력합니다.
- 입력된 숫자의 길이는 제한되지 않습니다., 그래서 긴 숫자의 gcd와 lcm를 찾는 것은 어렵지 않을 것입니다
NOD와 NOK는 무엇입니까?
최대 공약수여러 숫자 중 는 모든 원래 숫자를 나머지 없이 나눌 수 있는 가장 큰 자연 정수입니다. 최대공약수는 다음과 같이 축약된다. GCD.
최소 공배수몇 개의 숫자는 나머지가 없는 원래 숫자로 나누어지는 가장 작은 숫자입니다. 최소 공배수는 다음과 같이 축약됩니다. NOC.
어떤 숫자가 나머지 없이 다른 숫자로 나누어 떨어지는지 확인하는 방법은 무엇입니까?
한 숫자가 나머지 없이 다른 숫자로 나누어 떨어지는지 확인하기 위해 숫자의 일부 속성을 사용할 수 있습니다. 그런 다음 그것들을 결합함으로써 그들 중 일부와 그들의 조합에 의한 분할 가능성을 확인할 수 있습니다.
숫자의 나눗셈의 몇 가지 징후
1. 숫자를 2로 나눌 수 있는 기호
숫자가 2로 나누어 떨어지는지 여부(짝수인지 여부)를 결정하려면 이 숫자의 마지막 자릿수를 보는 것으로 충분합니다. 0, 2, 4, 6 또는 8과 같으면 숫자는 짝수이고, 즉, 2로 나눌 수 있습니다.
예시:숫자 34938이 2로 나누어 떨어지는지 확인합니다.
해결책:마지막 숫자를 보십시오: 8은 숫자가 2로 나누어 떨어지는 것을 의미합니다.
2. 숫자를 3으로 나눌 수 있는 기호
숫자의 합이 3의 배수일 때 3의 배수입니다. 따라서 어떤 숫자가 3으로 나누어 떨어지는지 확인하려면 자릿수의 합을 계산하고 3으로 나눌 수 있는지 확인해야 합니다. 자릿수의 합이 매우 크더라도 동일한 과정을 반복할 수 있습니다. 다시.
예시:숫자 34938이 3으로 나누어 떨어지는지 확인합니다.
해결책:숫자의 합을 계산합니다. 3+4+9+3+8 = 27입니다. 27은 3으로 나눌 수 있습니다. 즉, 3으로 나눌 수 있다는 뜻입니다.
3. 숫자를 5로 나눌 수 있는 기호
숫자는 마지막 숫자가 0 또는 5일 때 5로 나눌 수 있습니다.
예시:숫자 34938이 5로 나누어 떨어지는지 확인합니다.
해결책:마지막 숫자를 보십시오: 8은 숫자가 5로 나누어 떨어지지 않음을 의미합니다.
4. 숫자를 9로 나눌 수 있는 기호
이 기호는 3으로 나눌 수 있는 기호와 매우 유사합니다. 숫자의 합이 9로 나눌 수 있을 때 숫자는 9로 나눌 수 있습니다.
예시:숫자 34938이 9로 나누어 떨어지는지 확인합니다.
해결책:우리는 숫자의 합을 계산합니다: 3+4+9+3+8 = 27. 27은 9로 나눌 수 있습니다. 이는 숫자가 9로 나눌 수 있음을 의미합니다.
두 숫자의 GCD 및 LCM을 찾는 방법
두 숫자의 GCD를 찾는 방법
대부분 간단한 방법으로두 숫자의 최대 공약수를 계산하는 것은 해당 숫자의 가능한 모든 약수를 찾고 그 중 가장 큰 약수를 선택하는 것입니다.
GCD(28, 36)를 찾는 예를 사용하여 이 방법을 고려하십시오.
- 두 숫자를 모두 인수분해합니다. 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
- 우리는 공통 요소, 즉 두 숫자가 1, 2 및 2를 갖는 요소를 찾습니다.
- 우리는 다음 요인의 곱을 계산합니다. 1 2 2 \u003d 4 - 이것은 숫자 28과 36의 최대 공약수입니다.
두 숫자의 LCM을 찾는 방법
두 수의 가장 작은 배수를 찾는 가장 일반적인 두 가지 방법이 있습니다. 첫 번째 방법은 두 숫자의 첫 번째 배수를 작성한 다음 두 숫자에 공통적이면서 동시에 가장 작은 숫자를 선택하는 것입니다. 그리고 두 번째는 이 숫자들의 GCD를 찾는 것입니다. 그냥 고려해 봅시다.
LCM을 계산하려면 원래 숫자의 곱을 계산한 다음 이전에 찾은 GCD로 나누어야 합니다. 동일한 숫자 28과 36에 대한 LCM을 구해 보겠습니다.
- 숫자 28과 36의 곱 찾기: 28 36 = 1008
- gcd(28, 36)는 이미 4로 알려져 있습니다.
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
여러 숫자에 대한 GCD 및 LCM 찾기
최대공약수는 2가 아닌 여러 숫자에 대해 찾을 수 있습니다. 이를 위해 최대공약수를 구하고자 하는 수를 소인수로 분해하여 이들 수의 공약수를 곱한 값을 구한다. 또한 여러 숫자의 GCD를 찾으려면 다음 관계를 사용할 수 있습니다. gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
유사한 관계가 최소 공배수에도 적용됩니다. LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
예시:숫자 12, 32 및 36에 대한 GCD 및 LCM을 찾습니다.
- 먼저 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 숫자를 분해해 보겠습니다.
- 1, 2, 2와 같은 공약수를 찾아봅시다.
- 그들의 제품은 gcd를 줄 것입니다: 1 2 2 = 4
- 이제 LCM을 찾아보겠습니다. 이를 위해 먼저 LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 을 찾습니다.
- 세 숫자 모두의 LCM을 찾으려면 GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 를 찾아야 합니다.
- LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .
아래에 제시된 자료는 LCM - 최소 공배수, 정의, 예, LCM과 GCD 간의 관계라는 제목 아래의 기사에서 이론의 논리적 연속입니다. 여기에서 우리는에 대해 이야기 할 것입니다 최소공배수(LCM) 구하기, 예를 해결하는 데 특히 주의하십시오. 먼저 두 숫자의 LCM이 이 숫자의 GCD로 계산되는 방법을 보여 드리겠습니다. 다음으로, 숫자를 소인수로 분해하여 최소공배수를 찾는 것을 고려하십시오. 그 다음에는 세 개 이상의 숫자의 최소공배수를 찾는 데 집중하고 음수의 최소공배수 계산에도 주의를 기울입니다.
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gcd를 통한 최소공배수(LCM) 계산
최소 공배수를 찾는 한 가지 방법은 LCM과 GCD 간의 관계를 기반으로 합니다. LCM과 GCD 사이의 기존 관계를 사용하면 알려진 최대 공약수를 통해 두 양의 정수의 최소 공배수를 계산할 수 있습니다. 해당 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . 위의 공식에 따라 LCM을 구하는 예를 고려하십시오.
예시.
두 숫자 126과 70의 최소 공배수를 구합니다.
해결책.
이 예에서 a=126 , b=70 입니다. 공식으로 표현되는 LCM과 GCD 사이의 관계를 사용합시다. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). 즉, 먼저 숫자 70과 126의 최대 공약수를 찾아야 하며, 그런 다음 작성된 공식에 따라 이러한 숫자의 최소공배수를 계산할 수 있습니다.
Euclid 알고리즘을 사용하여 gcd(126, 70)을 찾습니다. 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , 따라서 gcd(126, 70)=14 입니다.
이제 필요한 최소 공배수를 찾습니다. LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
답변:
LCM(126, 70)=630 .
예시.
LCM(68, 34)이란?
해결책.
때문에 68 은 34 로 균등하게 나누어지면 gcd(68, 34)=34 입니다. 이제 최소공배수를 계산합니다. LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
답변:
LCM(68, 34)=68 .
이전 예는 양의 정수 a 및 b에 대한 최소공배수를 찾기 위한 다음 규칙에 맞습니다. 숫자 a가 b로 나누어지면 이 숫자의 최소 공배수는 a입니다.
숫자를 소인수로 분해하여 LCM 찾기
최소 공배수를 찾는 또 다른 방법은 숫자를 소인수로 분해하는 것입니다. 이 숫자의 모든 소인수를 곱한 후 이 숫자의 확장에 존재하는 모든 공통 소인수를 이 제품에서 제외하면 결과 제품은 이 숫자의 최소 공배수와 같습니다.
LCM을 찾기 위해 발표된 규칙은 다음과 같습니다. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). 실제로, 숫자와 b의 곱은 숫자와 b의 확장에 관련된 모든 요소의 곱과 같습니다. 차례로, gcd(a, b)는 숫자 a와 b의 확장에 동시에 존재하는 모든 소인수의 곱과 같습니다(이는 숫자를 소인수로 분해하여 gcd를 찾는 섹션에 설명되어 있습니다. ).
예를 들어 보겠습니다. 75=3 5 5 및 210=2 3 5 7 임을 알려주세요. 2 3 3 5 5 5 7 확장의 모든 인수의 곱을 작성하십시오. 이제 이 제품에서 숫자 75의 확장과 숫자 210의 확장(이러한 요소는 3과 5)에 있는 모든 요소를 제외하면 제품은 2 3 5 5 7 형식을 취합니다. 이 곱의 값은 숫자 75와 210의 최소 공배수와 같습니다. 즉, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
예시.
숫자 441과 700을 소인수로 분해한 후 이 숫자의 최소 공배수를 찾으십시오.
해결책.
숫자 441과 700을 소인수로 분해해 보겠습니다.
441=3 3 7 7 과 700=2 2 5 5 7 입니다.
이제 2 2 3 3 5 5 7 7 7 의 확장과 관련된 모든 요소의 곱을 만들어 보겠습니다. 두 확장 모두에 동시에 존재하는 모든 요소를 이 제품에서 제외하겠습니다(이러한 요소는 하나뿐입니다. 이것은 숫자 7입니다): 2 2 3 3 5 5 7 7 . 이런 식으로, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
답변:
LCM(441, 700)= 44 100 .
숫자를 소인수로 분해하여 LCM을 찾는 규칙은 약간 다르게 공식화할 수 있습니다. 숫자 b의 확장에서 누락된 요소를 숫자 분해의 요소에 추가하면 결과 제품의 값은 숫자 및 b의 최소 공배수와 같습니다..
예를 들어, 동일한 숫자 75와 210을 모두 가정하고 소인수로 확장하면 75=3 5 5 및 210=2 3 5 7입니다. 숫자 75의 확장에서 요소 3, 5 및 5에 숫자 210의 확장에서 누락된 요소 2와 7을 더하면 제품 2 3 5 5 7 을 얻습니다. 그 값은 LCM(75 , 210) .
예시.
84와 648의 최소공배수를 구하세요.
해결책.
먼저 숫자 84와 648을 소인수로 분해합니다. 84=2 2 3 7 및 648=2 2 2 3 3 3 처럼 보입니다. 숫자 84의 확장에서 요소 2, 2, 3 및 7에 숫자 648의 확장에서 누락된 요소 2, 3, 3 및 3을 추가하면 제품 2 2 2 3 3 3 3 7을 얻습니다. 이는 4 536과 같습니다. 따라서 숫자 84와 648의 원하는 최소 공배수는 4,536입니다.
답변:
LCM(84, 648)=4 536 .
세 개 이상의 숫자의 LCM 찾기
세 개 이상의 수의 최소공배수는 두 수의 최소공배수를 연속적으로 구함으로써 구할 수 있습니다. 세 개 이상의 숫자의 LCM을 찾는 방법을 제공하는 해당 정리를 상기하십시오.
정리.
양의 정수 a 1 , a 2 , … 3) , … , mk = LCM(mk−1 , ak) .
네 수의 최소 공배수를 구하는 예에서 이 정리의 적용을 고려하십시오.
예시.
4개의 숫자 140, 9, 54, 250의 최소공배수를 구합니다.
해결책.
이 예에서 a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 입니다.
먼저 우리가 찾습니다 m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). 이를 위해 유클리드 알고리즘을 사용하여 gcd(140, 9) 를 결정하고 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 이므로 gcd( 140, 9)=1 , 여기서 LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . 즉, m 2 =1 260 .
이제 우리는 찾습니다 m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). 유클리드 알고리즘(1 260=54 23+18 , 54=18 3 )에 의해 결정되는 gcd(1 260, 54) 를 통해 계산해 보겠습니다. 그러면 gcd(1 260, 54)=18 , 여기서 LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 입니다. 즉, m 3 \u003d 3 780입니다.
찾기 위해 왼쪽 m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). 이를 위해 Euclid 알고리즘을 사용하여 GCD(3 780, 250)를 찾습니다. 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . 따라서 gcd(3 780, 250)=10 이므로 gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . 즉, m 4 \u003d 94 500입니다.
따라서 원래 네 수의 최소 공배수는 94,500입니다.
답변:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
많은 경우에 3개 이상의 숫자의 최소공배수는 주어진 숫자의 소인수분해를 사용하여 편리하게 찾을 수 있습니다. 이 경우 다음 규칙을 따라야 합니다. 여러 숫자의 최소 공배수는 곱과 같으며 다음과 같이 구성됩니다. 두 번째 숫자의 확장에서 누락된 요소는 첫 번째 숫자의 확장에서 모든 요소에 추가되고, 세 번째 숫자는 얻은 인수에 추가되는 식입니다.
숫자를 소인수로 분해하여 최소 공배수를 찾는 예를 고려하십시오.
예시.
다섯 개의 숫자 84 , 6 , 48 , 7 , 143 의 최소 공배수를 구합니다.
해결책.
먼저 이 숫자를 소인수로 확장합니다. 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 소인수) 및 143=11 13 .
이 숫자의 LCM을 찾으려면 첫 번째 숫자 84의 인수(2 , 2 , 3 및 7 )에 두 번째 숫자 6 의 확장에서 누락된 인수를 추가해야 합니다. 첫 번째 숫자 84 의 확장에 이미 2와 3이 모두 있으므로 숫자 6의 확장에는 결측 요인이 포함되어 있지 않습니다. 요인 2, 2, 3 및 7에 추가로 세 번째 숫자 48의 확장에서 누락된 요인 2 및 2를 추가하면 요인 2, 2, 2, 2, 3 및 7 세트를 얻습니다. 7이 이미 포함되어 있으므로 다음 단계에서 이 집합에 요소를 추가할 필요가 없습니다. 마지막으로 인수 2 , 2 , 2 , 2 , 3 및 7 에 숫자 143 의 확장에서 누락된 인수 11 및 13 을 추가합니다. 우리는 2 2 2 2 3 7 11 13 제품을 얻습니다. 이는 48 048과 같습니다.
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