평면 사이 각도의 코사인을 찾는 방법. 이면각

이 기사는 평면 사이의 각도와 그것을 찾는 방법에 관한 것입니다. 먼저 두 평면 사이의 각도 정의가 제공되고 그래픽 일러스트레이션이 제공됩니다. 그 후, 좌표법에 의해 교차하는 두 평면 사이의 각도를 찾는 원리를 분석하고, 이 평면의 법선 벡터의 알려진 좌표를 사용하여 교차 평면 사이의 각도를 계산할 수 있는 공식을 얻었습니다. 결론적으로 일반적인 문제에 대한 자세한 솔루션이 표시됩니다.

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평면 사이의 각도 - 정의.

교차하는 두 평면 사이의 각도 정의에 점진적으로 접근할 수 있는 인수를 제시해 보겠습니다.

두 개의 교차 평면 및 가 주어집니다. 이 평면은 직선으로 교차하며 문자 c로 표시됩니다. 선 c의 점 M을 지나고 선 c에 수직인 평면을 구성해 보겠습니다. 이 경우 평면은 평면과 을 교차합니다. 평면이 교차하는 선을 a로 표시하고 평면이 교차하는 선을 및 b로 표시합니다. 분명히 선과 b는 점 M에서 교차합니다.

교차하는 선 a와 b 사이의 각도는 평면이 통과하는 선 c에서 점 M의 위치에 의존하지 않는다는 것을 쉽게 보여줍니다.

선 c에 수직이고 평면과 다른 평면을 구성해 보겠습니다. 평면은 평면과 직선을 따라 교차하며 각각 a 1 및 b 1로 표시됩니다.

평면 구성 방법에서 선 a와 b는 선 c에 수직이고 선 a 1 및 b 1은 선 c에 수직입니다. 선 a와 1은 같은 평면에 있고 선 c에 수직이므로 평행합니다. 마찬가지로 선 b와 b 1은 같은 평면에 있고 선 c에 수직이므로 평행합니다. 따라서 선 a 1 과 선 a , 선 b 와 선 b 1 이 일치하는 평면으로 평면의 평행 이동을 수행할 수 있습니다. 따라서 두 교차 선 a 1 과 b 1 사이의 각도는 교차 선 a와 b 사이의 각도와 같습니다.

이것은 교차 평면에 있는 교차 선 a와 b 사이의 각도가 평면이 통과하는 점 M의 선택에 의존하지 않는다는 것을 증명합니다. 따라서이 각도를 두 개의 교차 평면 사이의 각도로 취하는 것이 논리적입니다.

이제 두 개의 교차 평면 사이의 각도 정의 및 를 말할 수 있습니다.

정의.

직선으로 교차하는 두 평면 사이의 각도와는 평면과 선이 c에 수직인 평면과 교차하는 두 개의 교차 선 a와 b 사이의 각도입니다.

두 평면 사이의 각도 정의는 약간 다르게 주어질 수 있습니다. 평면이 교차하는 선 c에서 점 M을 표시하고 선 c에 수직이고 평면에 각각 놓인 a와 b를 통해 선을 그립니다. 그러면 선 a와 b 사이의 각도는 평면 사이의 각도와. 일반적으로 실제로 이러한 구성은 평면 사이의 각도를 얻기 위해 수행됩니다.

교차하는 선 사이의 각도가 초과하지 않기 때문에 두 교차하는 평면 사이의 각도의 정도 측정은 간격에서 실수로 표현된다는 유성 정의에 따릅니다. 이 경우 교차하는 평면을 수직그들 사이의 각도가 90도라면. 평행 평면 사이의 각도는 전혀 결정되지 않거나 0과 같은 것으로 간주됩니다.

교차하는 두 평면 사이의 각도 찾기.

일반적으로 두 개의 교차 평면 사이의 각도를 찾을 때 원하는 각도와 동일한 교차 선을 보기 위해 먼저 추가 구성을 수행한 다음 등호를 사용하여 이 각도를 원본 데이터와 연결하고, 유사성 기호, 코사인 정리 또는 사인, 코사인 및 각도의 탄젠트 정의. 고등학교 기하학 과목에도 비슷한 문제가 있다.

예를 들어, 2012년 수학 통합 국가 시험(Unified State Examination in the 2012)의 문제 C2에 대한 솔루션을 제시해 보겠습니다(조건은 의도적으로 변경되었지만 솔루션의 원리에는 영향을 미치지 않음). 그 안에는 두 개의 교차 평면 사이의 각도를 찾는 것이 필요했습니다.

예시.

결정.

먼저 도면을 만들어 보겠습니다.

평면 사이의 각도를 "보기" 위해 추가 구성을 수행해 보겠습니다.

먼저 평면 ABC와 BED 1이 교차하는 직선을 정의합시다. 포인트 B는 공통점 중 하나입니다. 이 평면의 두 번째 공통점을 찾으십시오. 선 DA 및 D 1 E는 동일한 평면 ADD 1에 있으며 평행하지 않으므로 교차합니다. 반면에 선 DA는 평면 ABC에 있고 선 D 1 E는 평면 BED 1에 있으므로 선 DA와 D 1 E의 교점은 평면 ABC와 평면의 공통점이 됩니다. 침대 1. 따라서 우리는 교차 할 때까지 선 DA와 D 1 E를 계속하고 문자 F와 교차점을 나타냅니다. 그러면 BF는 평면 ABC와 BED 1이 교차하는 직선입니다.

ABC와 BED 1 평면에 각각 놓여 있는 두 개의 선을 구성해야 하며, 선 BF의 한 점을 지나고 선 BF에 수직입니다. - 정의에 따라 이 선 사이의 각도는 원하는 각도와 같습니다. 비행기 ABC 및 BED 1 . 해보자

점 A는 평면 ABC에 대한 점 E의 투영입니다. 점 M에서 선 BF와 직각으로 교차하는 선을 그립니다. 그런 다음 선 AM은 3개의 수직 정리에 의해 평면 ABC에 선 EM을 투영한 것입니다.

따라서 평면 ABC와 BED 1 사이의 원하는 각도는 입니다.

두 변의 길이를 알면 직각 삼각형 AEM에서 이 각도의 사인, 코사인 또는 탄젠트(따라서 각도 자체)를 결정할 수 있습니다. 조건에서 길이 AE를 찾는 것은 쉽습니다. 점 E는 점 A에서 계산하여 4에서 3과 관련하여 변 AA 1을 나누고 변 AA 1의 길이는 7이므로 AE \u003d 4입니다. AM의 길이를 구해보자.

이렇게 하려면 직각 A를 갖는 직각 삼각형 ABF를 고려하십시오. 여기서 AM은 높이입니다. 조건 AB=2에 의해. 직각 삼각형 DD 1 F 및 AEF의 유사성에서 측면 AF의 길이를 찾을 수 있습니다.

피타고라스 정리에 의해 삼각형 ABF에서 우리는 . 삼각형 ABF의 면적을 통해 길이 AM을 찾습니다. 한쪽에서 삼각형 ABF의 면적은 다음과 같습니다. , 반대편에 , 어디 .

따라서 직각 삼각형 AEM에서 우리는 .

그러면 평면 ABC와 BED 1 사이의 원하는 각도는 다음과 같습니다(참고: ).

답변:

어떤 경우에는 교차하는 두 평면 사이의 각도를 찾기 위해 Oxyz를 지정하고 좌표 방법을 사용하는 것이 편리합니다. 그만하자.

작업을 설정해 보겠습니다. 두 개의 교차 평면 사이의 각도를 찾고 . 원하는 각도를 로 표시합시다.

주어진 직교 좌표계 Oxyz에서 교차 평면의 법선 벡터의 좌표를 알고 있거나 찾을 수 있다고 가정합니다. 하자 는 평면의 법선 벡터이고, 평면의 법선 벡터입니다. 교차 평면 사이의 각도와 이러한 평면의 법선 벡터 좌표를 통해 각도를 찾는 방법을 보여 드리겠습니다.

평면이 교차하는 선을 c 로 표시합시다. 선 c의 점 M을 통해 선 c에 수직인 평면을 그립니다. 평면은 평면과 교차하고 선 a와 b를 따라 각각 선 a와 b는 점 M에서 교차합니다. 정의에 따르면 교차하는 평면 사이의 각도 및 교차하는 선 a와 b 사이의 각도와 같습니다.

평면의 법선 벡터와 평면 및 의 점 M을 따로 설정해 보겠습니다. 이 경우 벡터는 선 a에 수직인 선 위에 있고 벡터는 선 b에 수직인 선 위에 있습니다. 따라서 평면에서 벡터는 선 a의 법선 벡터이고 선 b의 법선 벡터입니다.

교차 선 사이의 각도 찾기 기사에서 법선 벡터의 좌표를 사용하여 교차 선 사이의 각도 코사인을 계산할 수 있는 공식을 얻었습니다. 따라서, 선 a와 b 사이의 각도의 코사인, 그리고 결과적으로, 교차 평면 사이 각도의 코사인식에 의해 발견되며, 여기서 그리고 는 평면의 법선 벡터 및 각각입니다. 그러면 다음과 같이 계산됩니다. .

좌표 방법을 사용하여 이전 예제를 해결해 보겠습니다.

예시.

직육면체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1이 주어지며, 여기서 AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 및 점 E는 점 A에서 계산하여 측면 AA 1을 4:3의 비율로 나눕니다. . 평면 ABC와 BED 1 사이의 각도를 찾으십시오.

결정.

한 꼭짓점에서 직육면체의 변은 쌍으로 수직이므로 다음과 같이 직교 좌표계 Oxyz를 도입하는 것이 편리합니다. 시작은 꼭짓점 C와 정렬되고 좌표 축 Ox, Oy 및 Oz는 측면을 따라 CD, CB 및 CC 1, 각각.

평면 ABC와 BED 1 사이의 각도는 공식을 사용하여 이러한 평면의 법선 벡터의 좌표를 통해 찾을 수 있습니다. 여기서 및 는 각각 평면 ABC 및 BED 1의 법선 벡터입니다. 법선 벡터의 좌표를 결정합시다.

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정리

평면 사이의 각도는 절단 평면의 선택에 의존하지 않습니다.

증거.

선 c를 따라 교차하는 두 평면 α와 β가 있다고 하자. 선 c에 수직인 평면 γ를 그립니다. 그런 다음 평면 γ는 각각 선 a 및 b를 따라 평면 α 및 β와 교차합니다. 평면 α와 β 사이의 각도는 선 a와 b 사이의 각도와 같습니다.
c에 수직인 다른 절단면 γ`를 취합니다. 그러면 평면 γ`는 각각 선 a`와 b`를 따라 평면 α와 β와 교차합니다.
평행 병진으로 평면 γ와 선 c의 교차점은 평면 γ`와 선 c의 교차점으로 이동합니다. 이 경우 평행이동의 성질에 의해 a행은 a`, b는 b행으로 갑니다. 따라서 선과 b 사이의 각도, `와 b`는 같습니다. 정리가 증명되었습니다.

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평면 사이의 각도 - 정의.

자료를 제시할 때 우리는 기사에서 주어진 정의와 개념을 공간에서 평면으로, 공간에서 직선을 사용할 것입니다.

교차하는 두 평면 사이의 각도 정의에 점진적으로 접근할 수 있는 인수를 제시해 보겠습니다.

두 개의 교차 평면 및 가 주어집니다. 이 평면은 직선으로 교차하며 문자로 표시됩니다. 씨. 점을 지나는 평면 만들기 중똑바로 씨그리고 선에 수직인 씨. 이 경우 평면은 평면과 을 교차합니다. 우리는 평면이 교차하는 선을 다음과 같이 표시합니다. ㅏ, 그러나 평면이 교차하는 직선과 방법 비. 분명히 직접. ㅏ그리고 비한 점에서 교차하다 중.

교차하는 선 사이의 각도를 나타내기 쉽습니다. ㅏ그리고 비점의 위치에 의존하지 않음 중직선으로 씨비행기가 통과하는 곳.

선에 수직인 평면 만들기 씨그리고 비행기와는 다릅니다. 평면은 평면과 직선을 따라 교차합니다. 1그리고 나 1각기.

그것은 선을 만드는 평면을 구성하는 방법에서 따릅니다. ㅏ그리고 비선에 수직 씨, 그리고 직접 1그리고 나 1선에 수직 씨. 스트레이트부터 ㅏ그리고 1 씨, 그들은 평행합니다. 마찬가지로 스트레이트 비그리고 나 1같은 평면에 있고 직선에 수직이다 씨그래서 그들은 평행합니다. 따라서 직선이 있는 평면에 평면의 평행 이동을 수행할 수 있습니다. 1선과 일치 ㅏ, 그리고 직선 비직선으로 나 1. 따라서 교차하는 두 직선 사이의 각도는 1그리고 나 1교차하는 선 사이의 각도와 동일 ㅏ그리고 비.

이것은 교차하는 선 사이의 각도를 증명합니다 ㅏ그리고 비교차 평면에 놓여 있고 점 선택에 의존하지 않음 중비행기가 통과하는 곳. 따라서 이 각도를 두 개의 교차 평면 사이의 각도로 취하는 것이 논리적입니다.

이제 두 개의 교차 평면 사이의 각도 정의 및 를 말할 수 있습니다.

정의.

교차하는 두 선 사이의 각도 씨비행기와두 개의 교차하는 선 사이의 각도 ㅏ그리고 비, 평면을 따라 선에 수직인 평면과 교차합니다. 씨.

두 평면 사이의 각도 정의는 약간 다르게 주어질 수 있습니다. 직선이라면 ~와 함께, 평면과 교차하는 점을 표시합니다. 중그리고 그것을 통해 직선을 그립니다. ㅏ그리고 비, 선에 수직 씨평면에 누워 각각 선 사이의 각도 ㅏ그리고 비는 평면 사이의 각도와 입니다. 일반적으로 실제로 이러한 구성은 평면 사이의 각도를 얻기 위해 수행됩니다.

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교차하는 두 평면 사이의 각도 찾기.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, 여기서 AB=3, 광고=2, AA 1 = 7그리고 점 이자형측면을 나눕니다 AA 1관계에서 4 에게 3 , 점에서 계산 하지만 알파벳그리고 침대 1.

먼저 도면을 만들어 보겠습니다.

평면 사이의 각도를 "보기" 위해 추가 구성을 수행해 보겠습니다.

먼저 평면이 교차하는 직선을 정의합니다. 알파벳그리고 침대 1. 점 에그들의 공통점 중 하나입니다. 이 평면의 두 번째 공통점을 찾으십시오. 직접 다그리고 D 1 E같은 평면에 누워 1 추가, 그리고 그것들은 평행하지 않으므로 교차합니다. 한편, 스트레이트 다비행기에 누워 알파벳, 그리고 직선 D 1 E- 비행기에서 침대 1, 따라서 선의 교차점 다그리고 D 1 E비행기의 공통점이 될 것입니다 알파벳그리고 침대 1. 그러니 계속 직진하자 다그리고 D 1 E교차하기 전에 교차점을 문자로 표시합니다. 에프. 그 다음에 BF- 평면이 교차하는 선 알파벳그리고 침대 1.

평면에 놓인 두 개의 직선을 구성하는 것이 남아 있습니다. 알파벳그리고 침대 1각각 선의 한 점을 지나 BF그리고 선에 수직인 BF, - 정의에 따라 이 선 사이의 각도는 평면 사이의 원하는 각도와 같습니다. 알파벳그리고 침대 1. 해보자

점 하지만점의 투영입니다 이자형비행기로 알파벳. 선과 직각으로 교차하는 선을 그립니다. BF그 시점에 중. 그런 다음 라인 오전직선의 투영이다 먹다비행기로 알파벳, 그리고 세 개의 수직 정리에 의해.

따라서 평면 사이의 원하는 각도 알파벳그리고 침대 1와 동등하다 .

이 각도의 사인, 코사인 또는 탄젠트(따라서 각도 자체)는 직각 삼각형에서 결정할 수 있습니다. AEM우리가 그 두 변의 길이를 안다면. 상태에서 길이를 찾기 쉽습니다 AE: 점 이후 이자형측면을 나눕니다 AA 1관계에서 4 에게 3 , 점에서 계산 하지만, 그리고 측면 길이 AA 1와 동등하다 7 , 그 다음에 AE=4. 다른 길이를 찾아보자 오전.

이렇게하려면 직각 삼각형을 고려하십시오. ABF직각 하지만, 어디 오전높이입니다. 조건별 AB=2. 측면 길이 AF직각 삼각형의 유사성에서 찾을 수 있습니다. DD 1F그리고 AEF:

삼각형에서 피타고라스 정리에 의해 ABF찾기 . 길이 오전삼각형의 면적을 통해 찾기 ABF: 한쪽에 삼각형의 면적 ABF는 , 반면 에 는 입니다.

따라서 직각 삼각형에서 AEM우리는 .

그런 다음 평면 사이의 원하는 각도 알파벳그리고 침대 1같음(참고).

어떤 경우에는 교차하는 두 평면 사이의 각도를 찾기 위해 직교 좌표계를 설정하는 것이 편리합니다. 옥시즈좌표 방법을 사용합니다. 그만하자.

작업을 설정해 보겠습니다. 두 개의 교차 평면 사이의 각도를 찾고 . 원하는 각도를 로 표시합시다.

주어진 직교 좌표계에서 옥시즈우리는 교차 평면의 법선 벡터의 좌표를 알고 있거나 찾을 기회가 있습니다. 를 평면의 법선 벡터 라고 하고 평면의 법선 벡터를 이라고 합니다. 교차 평면 사이의 각도와 이러한 평면의 법선 벡터 좌표를 통해 각도를 찾는 방법을 보여 드리겠습니다.

평면이 교차하는 선을 다음과 같이 표시합시다. 씨. 점을 통해 중직선으로 씨선에 수직인 평면을 그립니다. 씨. 평면은 평면과 직선을 따라 교차합니다. ㅏ그리고 비각각 직접 ㅏ그리고 비한 점에서 교차하다 중. 정의에 따르면 교차하는 평면 사이의 각도는 교차하는 선 사이의 각도와 같습니다. ㅏ그리고 비.

요점에서 벗어나 중평면에는 법선 벡터와 평면 및 가 있습니다. 벡터는 선에 수직인 선 위에 있습니다. ㅏ, 그리고 벡터는 선에 수직인 선 위에 있습니다. 비. 따라서 평면에서 벡터는 선의 법선 벡터입니다. ㅏ, - 법선 벡터 비.

교차 선 사이의 각도 찾기 기사에서 법선 벡터의 좌표를 사용하여 교차 선 사이의 각도 코사인을 계산할 수 있는 공식을 얻었습니다. 따라서 선 사이의 각도의 코사인 ㅏ그리고 비, 그리고 결과적으로, 교차 평면 사이 각도의 코사인및 는 공식에 의해 발견됩니다. 여기서 및 는 평면 및 각각의 법선 벡터입니다. 그 다음에 교차 평면 사이의 각도로 계산됩니다.

좌표 방법을 사용하여 이전 예제를 해결해 보겠습니다.

직육면체가 주어지면 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, 여기서 AB=3, 광고=2, AA 1 = 7그리고 점 이자형측면을 나눕니다 AA 1관계에서 4 에게 3 , 점에서 계산 하지만. 평면 사이의 각도 찾기 알파벳그리고 침대 1.

한 꼭짓점에서 직육면체의 변은 쌍으로 수직이므로 직교 좌표계를 도입하는 것이 편리합니다. 옥시즈다음과 같이: 상단과 결합하기 시작 와 함께, 좌표축 황소, 오이그리고 온스보내다 CD, CB그리고 CC 1각기.

평면 사이의 각도 알파벳그리고 침대 1이 평면의 법선 벡터의 좌표를 통해 다음 공식으로 찾을 수 있습니다. 여기서 및 는 평면의 법선 벡터입니다. 알파벳그리고 침대 1각기. 법선 벡터의 좌표를 결정합시다.

비행기 이후로 알파벳좌표 평면과 일치 옥시인 경우 법선 벡터는 좌표 벡터, 즉 입니다.

법선 벡터로 침대 1우리는 벡터의 외적과 차례로 벡터의 좌표를 취할 수 있으며 점의 좌표를 통해 찾을 수 있습니다 에, 이자형그리고 D1(이는 기사에서 시작과 끝 점의 좌표를 통해 벡터의 좌표로 작성됨), 점의 좌표 에, 이자형그리고 D1도입된 좌표계에서 우리는 문제의 조건에서 결정합니다.

확실히, . , 이후 우리는 점의 좌표로 찾습니다(필요한 경우 주어진 비율로 세그먼트의 기사 분할 참조). then과 Oxyz는 방정식과 .

우리가 직선의 일반방정식을 연구했을 때, 우리는 계수가 하지만, 에그리고 와 함께평면의 법선 벡터의 해당 좌표입니다. 따라서 및 는 평면 및 각각의 법선 벡터입니다.

평면의 법선 벡터 좌표를 두 개의 교차 평면 사이의 각도를 계산하는 공식에 대입합니다.

그 다음에 . 교차하는 두 평면 사이의 각도는 둔각이 아니므로 기본 삼각법을 사용하여 각도의 사인을 찾습니다.

평면 사이의 각도의 측정은 이러한 평면에 놓여 있고 교차선에 수직으로 그려진 두 직선에 의해 형성된 예각입니다.

구성 알고리즘

임의의 점 K에서 주어진 각 평면에 수직선을 그립니다.
레벨 라인 주위의 회전은 정점 K에서 정점과의 각도 γ° 값을 결정합니다.
γ° > 90°인 경우 평면 사이의 각도 ϕ° = 180 - γ°를 계산합니다. γ°인 경우< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

그림은 평면 α와 β가 트레이스로 주어진 경우를 보여줍니다. 필요한 모든 구성은 알고리즘에 따라 이루어지며 아래에 설명되어 있습니다.

결정

도면의 임의의 위치에 점 K를 표시합니다. 여기에서 수직선 m과 n을 각각 평면 α와 β로 낮춥니다. 투영 m 및 n의 방향은 m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β 입니다.
선 m과 n 사이의 실제 크기 ∠γ°를 결정합니다. 이렇게 하려면 정면 f를 중심으로 정점 K가 있는 각도 평면을 정면 투영 평면과 평행한 위치로 회전합니다. 점 K의 회전 반경 R은 직각 삼각형 O""K""K 0 의 빗변 값과 같습니다. 직각 삼각형의 다리는 K""K 0 = y K – y O 입니다.
∠γ°는 예각이므로 원하는 각도는 ϕ° = ∠γ°입니다.

아래 그림은 평행선과 교차선으로 각각 주어진 평면 α와 β 사이의 각도 γ°를 찾아야 하는 문제에 대한 솔루션을 보여줍니다.

결정

화살표로 표시된 순서대로 평면 α 및 β에 속하는 수평 h 1 , h 2 및 정면 f 1 , f 2의 투영 방향을 결정합니다. 정사각형의 임의의 점 K에서. α와 β는 수직선 e와 k를 떨어뜨립니다. 이 경우 e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 및 k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 입니다.
e와 k 사이의 ∠γ°를 결정합니다. 이를 위해 수평 h 3을 그리고 그 주위의 점 K를 K 1의 위치로 회전시킵니다. 여기서 △CKD는 수평면과 평행이 되고 전체 크기로 반사됩니다 - △C "K" 1 D ". 회전 중심 O"의 투영은 h "3 수직 K "O"로 그려집니다. 반경 R은 측면이 K "K 0 \u003d Z O인 직각 삼각형 O "K" K 0에서 결정됩니다. - 지케이.
각도 γ°가 예각이기 때문에 원하는 값은 ∠ϕ° = ∠γ°입니다.

공간에서 기하학적 문제를 해결할 때 종종 서로 다른 공간 객체 사이의 각도를 계산해야 하는 문제가 있습니다. 이 기사에서는 평면과 평면 사이의 각도와 직선 사이의 각도를 찾는 문제를 고려할 것입니다.

공간의 직선

평면의 절대적으로 모든 직선은 다음 등식으로 정의될 수 있다는 것이 알려져 있습니다.

여기 및 b는 몇 가지 숫자입니다. 동일한 표현식으로 공간에서 직선을 나타내면 z 축에 평행한 평면을 얻습니다. 공간선의 수학적 정의를 위해 2차원 경우와 다른 솔루션 방법이 사용됩니다. 그것은 "방향 벡터"의 개념을 사용하는 것으로 구성됩니다.

평면의 교차각을 결정하기 위한 문제 해결의 예

평면 사이의 각도를 찾는 방법을 알면 다음 문제를 해결할 것입니다. 두 개의 평면이 제공되며 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

평면 사이의 각도는 얼마입니까?

문제의 질문에 답하기 위해 평면의 일반 방정식에서 변수에 있는 계수가 안내 벡터의 좌표임을 상기합니다. 이 평면에 대해 다음과 같은 법선 좌표가 있습니다.

n 1 ¯(3, 4, -1);
n 2 ¯(-1, -2, 5)

이제 이러한 벡터와 해당 모듈의 스칼라 곱을 찾습니다.

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

이제 찾은 숫자를 이전 단락에 제공된 공식으로 대체할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55.05 o

결과 값은 문제 조건에 지정된 평면의 예각 교차 각도에 해당합니다.

이제 다른 예를 살펴보겠습니다. 두 개의 평면이 주어졌을 때:

그들은 교차합니까? 방향 벡터의 좌표 값을 작성하고 스칼라 곱과 모듈을 계산해 보겠습니다.

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3, 3, 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

그러면 교차 각도는 다음과 같습니다.

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

이 각도는 평면이 교차하지 않지만 평행하다는 것을 나타냅니다. 서로 일치하지 않는다는 사실을 확인하기 쉽습니다. 이를 위해 첫 번째에 속하는 임의의 점(예: P(0; 3; 2))을 가정해 보겠습니다. 좌표를 두 번째 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다.

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

즉, 점 P는 첫 번째 평면에만 속합니다.

따라서 두 평면은 법선이 평행할 때 평행합니다.

평면과 선

평면과 직선 사이의 상대 위치를 고려하는 경우 두 평면보다 몇 가지 옵션이 더 있습니다. 이 사실은 직선이 1차원 물체라는 사실과 연결된다. 선과 평면은 다음과 같을 수 있습니다.

서로 평행하며 이 경우 평면은 선과 교차하지 않습니다.
후자는 평면에 속할 수 있지만 평면과도 평행합니다.
두 물체는 어떤 각도에서 교차할 수 있습니다.

교차각 개념의 도입이 필요하기 때문에 마지막 경우를 먼저 고려하십시오.

선과 평면, 그 사이의 각도 값

직선이 평면과 교차하면 그것에 대해 기울어 진 것입니다. 교차점을 경사면의 밑면이라고 합니다. 이러한 기하학적 객체 사이의 각도를 결정하려면 임의의 지점에서 평면에 수직인 직선을 내려야 합니다. 그런 다음 평면과 수직선의 교차점과 경사선과 평면의 교차점이 직선을 형성합니다. 후자를 고려 중인 평면에 대한 원래 선의 투영이라고 합니다. 급성 및 그 투영이 원하는 것입니다.

평면과 사선 사이의 각도에 대한 다소 혼란스러운 정의는 아래 그림을 통해 명확하게 알 수 있습니다.

여기서 각도 ABO는 직선 AB와 평면 a 사이의 각도입니다.

이에 대한 공식을 작성하려면 예를 고려하십시오. 방정식으로 설명되는 직선과 평면이 있다고 가정합니다.

(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + λ * (a, b, c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

선의 방향 벡터와 평면 사이의 스칼라 곱을 찾으면 이러한 객체에 대해 원하는 각도를 쉽게 계산할 수 있습니다. 결과 예각은 90o에서 빼야 직선과 평면 사이에서 얻어집니다.

위의 그림은 고려된 각도를 찾기 위해 설명된 알고리즘을 보여줍니다. 여기서 β는 법선과 선 사이의 각도이고 α는 선과 평면에 대한 투영 사이의 각도입니다. 그들의 합이 90o 임을 알 수 있습니다.

위에서 평면 사이의 각도를 찾는 방법에 대한 질문에 답하는 공식이 제시되었습니다. 이제 직선과 평면의 경우에 해당하는 표현을 제공합니다.

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

공식의 계수를 사용하면 예각만 계산할 수 있습니다. 삼각함수(cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)) 사이에 해당 감소 공식을 사용하기 때문에 아크코사인 대신 아크사인 함수가 나타납니다.

문제: 평면이 선과 교차합니다.

이제 위의 공식으로 작업하는 방법을 보여 드리겠습니다. 문제를 해결해 봅시다. y축과 평면 사이의 각도를 다음 방정식으로 계산해야 합니다.

이 평면은 그림에 나와 있습니다.

점 (0; -12; 0)과 (0; 0; 12)에서 각각 y축과 z축을 교차하며 x축과 평행함을 알 수 있다.

직선 y의 방향 벡터는 좌표(0, 1, 0)를 갖습니다. 주어진 평면에 수직인 벡터는 좌표(0, 1, -1)로 특성화됩니다. 직선과 평면의 교차각에 대한 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

문제: 평면에 평행한 직선

이제 문제가 다르게 제기된 이전 문제와 유사한 문제를 해결해 보겠습니다. 평면과 직선의 방정식은 다음과 같이 알려져 있습니다.

x + y - z - 3 = 0;
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ * (0, 2, 2)

이러한 기하학적 개체가 서로 평행한지 여부를 알아낼 필요가 있습니다.

우리는 두 개의 벡터가 있습니다: 지향선은 (0; 2; 2)이고 지향 평면은 (1; 1; -1)입니다. 우리는 그들의 스칼라 곱을 찾습니다:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

결과 0은 이러한 벡터 사이의 각도가 90°임을 나타냅니다. 이는 직선과 평면의 평행도를 증명합니다.

이제 이 선이 평행인지 아니면 평면에 놓여 있는지 확인하겠습니다. 이렇게하려면 선에서 임의의 점을 선택하고 평면에 속하는지 확인하십시오. 예를 들어, λ = 0이라고 가정하면 점 P(1; 0; 0)은 선에 속합니다. 우리는 평면 P의 방정식에 다음을 대입합니다.

점 P는 평면에 속하지 않으므로 전체 선이 평면에 있지 않습니다.

고려되는 기하학적 객체 사이의 각도를 아는 것이 어디에서 중요합니까?

위의 공식과 문제 해결의 예는 이론적인 것만이 아닙니다. 프리즘이나 피라미드와 같은 실제 3차원 도형의 중요한 물리량을 결정하는 데 자주 사용됩니다. 그림의 부피와 표면적을 계산할 때 평면 사이의 각도를 결정할 수 있는 것이 중요합니다. 또한 직선 프리즘의 경우 표시된 양을 결정하기 위해 이러한 공식을 사용하지 않을 수 있다면 모든 유형의 피라미드에 대해 사용이 불가피합니다.

아래에서 우리는 명시된 이론을 사용하여 정사각형 밑면이 있는 피라미드의 각도를 결정하는 예를 고려할 것입니다.

피라미드와 그 모서리

아래 그림은 피라미드를 보여줍니다. 피라미드의 바닥에는 측면이 있는 정사각형이 있습니다. 그림의 높이는 h입니다. 두 개의 모서리를 찾아야 합니다.

측면과 베이스 사이;
측면 가장자리와 바닥 사이.

문제를 해결하려면 먼저 좌표계를 입력하고 해당 정점의 매개변수를 결정해야 합니다. 그림은 좌표의 원점이 정사각형 밑변의 중심에 있는 점과 일치함을 보여줍니다. 이 경우 기본 평면은 다음 방정식으로 설명됩니다.

즉, 임의의 x 및 y에 대해 세 번째 좌표의 값은 항상 0입니다. 측면 평면 ABC는 점 B(0, 0, h)에서 z축과 좌표가 (0, a/2, 0)인 점에서 y축과 교차합니다. x축을 교차하지 않습니다. 이것은 ABC 평면의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있음을 의미합니다.