Apa definisi akar kuadrat. Rumus akar

Angka rasional

Akar kuadrat non-negatif dari bilangan positif disebut akar kuadrat aritmatika dan dilambangkan dengan tanda radikal.

Bilangan kompleks

Selalu ada dua solusi di bidang bilangan kompleks, hanya berbeda dalam tanda (dengan pengecualian akar pangkat dua dari nol). Akar bilangan kompleks sering dilambangkan sebagai , tetapi notasi ini harus digunakan dengan hati-hati. Kesalahan Umum:

Untuk mengekstrak akar kuadrat dari bilangan kompleks, akan lebih mudah untuk menggunakan notasi eksponensial dari bilangan kompleks: jika

di mana akar modulus dipahami dalam arti nilai aritmatika, dan k dapat mengambil nilai k=0 dan k=1, sehingga hasilnya adalah dua hasil yang berbeda dalam jawabannya.

Generalisasi

Akar kuadrat diperkenalkan sebagai solusi persamaan bentuk dan untuk objek lain: matriks, fungsi, operator, dll. Dalam hal ini, operasi perkalian yang cukup arbitrer dapat digunakan sebagai operasi, misalnya, superposisi.

Akar kuadrat dalam ilmu komputer

Dalam banyak bahasa pemrograman tingkat fungsional (serta bahasa markup seperti LaTeX), fungsi akar kuadrat dilambangkan sebagai persegi(dari bahasa Inggris. akar pangkat dua"Akar pangkat dua").

Algoritma untuk mencari akar kuadrat

Menemukan atau menghitung akar kuadrat nomor yang diberikan ditelepon ekstraksi(akar pangkat dua.

Ekspansi deret Taylor

pada .

Akar kuadrat aritmatika

Untuk kuadrat angka, persamaan berikut ini benar:

Artinya, Anda dapat mengetahui bagian bilangan bulat dari akar kuadrat suatu bilangan dengan mengurangkan semuanya angka ganjil agar sampai sisanya kurang dari angka berikutnya yang dikurangi atau sama dengan nol, dan menghitung jumlah tindakan yang dilakukan. Misalnya, seperti ini:

Dilakukan 3 langkah, akar kuadrat dari 9 adalah 3.

Kerugian dari metode ini adalah jika akar yang diekstraksi bukan bilangan bulat, maka Anda hanya dapat mengetahui bagian bilangan bulatnya saja, tetapi tidak lebih akurat. Pada saat yang sama, metode ini cukup dapat diakses oleh anak-anak yang memecahkan masalah matematika paling sederhana yang memerlukan ekstraksi akar kuadrat.

perkiraan kasar

Banyak algoritma untuk menghitung akar kuadrat dari positif bilangan asli S memerlukan beberapa nilai awal. Jika nilai awal terlalu jauh dari nilai sebenarnya dari akar, perhitungan melambat. Oleh karena itu, berguna untuk memiliki perkiraan kasar yang bisa sangat tidak akurat tetapi mudah untuk dihitung. Jika S 1, mari D akan menjadi jumlah digit S di sebelah kiri titik desimal. Jika S < 1, пусть D akan menjadi jumlah nol berturut-turut di sebelah kanan titik desimal, diambil dengan tanda minus. Kemudian perkiraan kasarnya terlihat seperti ini:

Jika D aneh, D = 2n+1, lalu kita gunakan Jika D bahkan, D = 2n+ 2, maka kami menggunakan

Dua dan enam digunakan karena Dan

Saat bekerja dalam sistem biner (seperti di dalam komputer), perkiraan yang berbeda harus digunakan (di sini D adalah jumlah digit biner).

Akar kuadrat geometris

Untuk mengekstrak akar secara manual, notasi yang mirip dengan pembagian kolom digunakan. Nomor yang akarnya kita cari ditulis. Di sebelah kanannya, kita secara bertahap akan mendapatkan jumlah akar yang diinginkan. Biarkan akar diekstraksi dari angka dengan jumlah tempat desimal yang terbatas. Untuk mulai dengan, secara mental atau dengan label, kami membagi angka N menjadi kelompok dua digit di kiri dan kanan titik desimal. Jika perlu, grup diisi dengan nol - bagian bilangan bulat diisi di sebelah kiri, pecahan di sebelah kanan. Jadi 31234.567 dapat direpresentasikan sebagai 03 12 34 . 56 70. Tidak seperti pembagian, pembongkaran dilakukan dalam kelompok 2 digit tersebut.

Deskripsi visual dari algoritma:

Luas sebidang tanah berbentuk bujur sangkar adalah 81 dm². Temukan sisinya. Misalkan panjang sisi persegi adalah x desimeter. Maka luas petak tersebut adalah x² desimeter persegi. Karena menurut kondisinya, luas ini adalah 81 dm², maka x² = 81. Panjang sisi persegi adalah bilangan positif. Bilangan positif yang kuadratnya 81 adalah bilangan 9. Saat menyelesaikan masalah, diperlukan untuk menemukan bilangan x, kuadratnya adalah 81, yaitu menyelesaikan persamaan x² = 81. Persamaan ini memiliki dua akar: x 1 = 9 dan x 2 \u003d - 9, karena 9² \u003d 81 dan (- 9)² \u003d 81. Kedua angka 9 dan - 9 disebut akar kuadrat dari angka 81.

Perhatikan bahwa salah satu akar kuadrat x= 9 adalah bilangan positif. Ini disebut akar kuadrat aritmatika dari 81 dan dinotasikan 81, jadi 81 = 9.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan tetapi adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan tetapi.

Misalnya, angka 6 dan -6 adalah akar kuadrat dari 36. Angka 6 adalah akar kuadrat aritmatika dari 36, karena 6 adalah bilangan non-negatif dan 6² = 36. Angka -6 bukan akar aritmatika.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan tetapi dilambangkan sebagai berikut: tetapi.

Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika; tetapi disebut ekspresi akar. ekspresi tetapi Baca seperti ini: akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan tetapi. Misalnya, 36 = 6, 0 = 0, 0,49 = 0,7. Dalam kasus di mana jelas bahwa kita sedang berbicara tentang akar aritmatika, mereka secara singkat mengatakan: "akar kuadrat dari tetapi«.

Tindakan menemukan akar kuadrat dari suatu bilangan disebut mengambil akar kuadrat. Tindakan ini adalah kebalikan dari kuadrat.

Setiap angka dapat dikuadratkan, tetapi tidak setiap angka dapat menjadi akar kuadrat. Misalnya, tidak mungkin untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka - 4. Jika akar seperti itu ada, maka, yang menunjukkannya dengan huruf x, kita akan mendapatkan persamaan yang salah x² \u003d - 4, karena ada angka non-negatif di sebelah kiri, dan angka negatif di sebelah kanan.

ekspresi tetapi hanya masuk akal ketika sebuah 0. Definisi akar kuadrat dapat ditulis secara singkat sebagai: sebuah 0, (√tetapi)² = tetapi. Kesetaraan ( tetapi)² = tetapi berlaku untuk sebuah 0. Jadi, untuk memastikan bahwa akar kuadrat dari bilangan non-negatif tetapi sama dengan B, yaitu, bahwa tetapi =B, Anda perlu memeriksa bahwa dua kondisi berikut terpenuhi: b 0, B² = tetapi.

Akar kuadrat dari pecahan

Mari kita hitung. Perhatikan bahwa 25 = 5, 36 = 6, dan periksa apakah persamaannya berlaku.

Karena dan , maka persamaan tersebut benar. Jadi, .

Dalil: Jika tetapi 0 dan B> 0, yaitu akar dari pecahan sama dengan akar dari pembilang dibagi dengan akar penyebut. Harus dibuktikan bahwa: dan .

Sejak tetapi 0 dan B> 0, maka .

Dengan sifat menaikkan pecahan menjadi pangkat dan menentukan akar kuadrat teorema terbukti. Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung , sesuai dengan teorema terbukti .

Contoh kedua: Buktikan bahwa , jika tetapi ≤ 0, B < 0. .

Contoh lain: Hitung .

Transformasi akar kuadrat

Mengambil pengganda dari bawah tanda akar. Biarkan ekspresi diberikan. Jika tetapi 0 dan B 0, maka dengan teorema pada akar produk, kita dapat menulis:

Transformasi seperti itu disebut memfaktorkan keluar tanda akar. Pertimbangkan sebuah contoh;

Hitung di x= 2. Substitusi langsung x= 2 dalam ekspresi radikal mengarah ke perhitungan yang rumit. Perhitungan ini dapat disederhanakan jika pertama-tama kita menghilangkan faktor-faktor dari bawah tanda akar: . Sekarang substitusikan x = 2, kita dapatkan:.

Jadi, ketika mengambil faktor dari bawah tanda akar, ekspresi radikal direpresentasikan sebagai produk di mana satu atau lebih faktor adalah kuadrat dari bilangan non-negatif. Teorema hasil kali akar kemudian diterapkan dan akar dari setiap faktor diambil. Perhatikan sebuah contoh: Sederhanakan ekspresi A = 8 + 18 - 4√2 dengan mengambil faktor-faktor dari bawah tanda akar pada dua suku pertama, kita peroleh:. Kami menekankan bahwa kesetaraan hanya berlaku bila tetapi 0 dan B 0. jika tetapi < 0, то .

Fakta 1.
\(\bullet\) Ambil beberapa bilangan non-negatif \(a\) (yaitu \(a\geqslant 0\) ). Kemudian (aritmatika) akar pangkat dua dari bilangan \(a\) bilangan non-negatif \(b\) disebut, ketika mengkuadratkannya kita mendapatkan bilangan \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama dengan )\quad a=b^2\] Ini mengikuti dari definisi bahwa \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Pembatasan ini adalah syarat penting keberadaan akar kuadrat dan mereka harus diingat!
Ingatlah bahwa bilangan apa pun ketika dikuadratkan memberikan hasil non-negatif. Yaitu, \(100^2=10000\geqslant 0\) dan \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Apa itu \(\sqrt(25)\) ? Kita tahu bahwa \(5^2=25\) dan \((-5)^2=25\) . Karena menurut definisi kita harus mencari bilangan non-negatif, \(-5\) tidak cocok, maka \(\sqrt(25)=5\) (sejak \(25=5^2\) ).
Mencari nilai \(\sqrt a\) disebut mengambil akar kuadrat dari bilangan \(a\) , dan bilangan \(a\) disebut ekspresi akar.
\(\bullet\) Berdasarkan definisi, ekspresi \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , dll. tidak masuk akal.

Fakta 2.
Untuk perhitungan cepat, akan berguna untuk mempelajari tabel kuadrat bilangan asli dari \(1\) ke \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Apa yang bisa dilakukan dengan akar kuadrat?
\(\peluru\) Jumlah atau selisih akar kuadrat TIDAK SAMA dengan akar kuadrat dari jumlah atau selisih, mis. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jadi, jika Anda perlu menghitung, misalnya \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , maka awalnya Anda harus mencari nilai \(\sqrt(25)\) dan \(\sqrt (49)\ ) lalu tambahkan. Akibatnya, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jika nilai \(\sqrt a\) atau \(\sqrt b\) tidak dapat ditemukan saat menambahkan \(\sqrt a+\sqrt b\), maka ekspresi tersebut tidak dikonversi lebih lanjut dan tetap seperti apa adanya. Misalnya, dalam penjumlahan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kita dapat menemukan \(\sqrt(49)\) - ini adalah \(7\) , tetapi \(\sqrt 2\) tidak dapat dikonversi dengan cara apa pun, itu sebabnya \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Lebih lanjut, ungkapan ini, sayangnya, tidak dapat disederhanakan dengan cara apa pun.\(\bullet\) Produk/hasil bagi dari akar kuadrat sama dengan akar kuadrat dari produk/bagi, mis. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (asalkan kedua bagian persamaan itu masuk akal)
Contoh: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Dengan menggunakan sifat-sifat ini, akan lebih mudah untuk menemukan akar kuadrat dari angka besar dengan memfaktorkannya.
Pertimbangkan sebuah contoh. Temukan \(\sqrt(44100)\) . Karena \(44100:100=441\) , maka \(44100=100\cdot 441\) . Menurut kriteria pembagian, bilangan \(441\) habis dibagi \(9\) (karena jumlah angka-angkanya adalah 9 dan habis dibagi 9), oleh karena itu, \(441:9=49\) , yaitu, \(441=9\ cdot 49\) .
Jadi, kami mendapat: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Mari kita lihat contoh lain: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mari kita tunjukkan cara memasukkan angka di bawah tanda akar kuadrat menggunakan contoh ekspresi \(5\sqrt2\) (kependekan dari ekspresi \(5\cdot \sqrt2\) ). Karena \(5=\sqrt(25)\) , maka \ Perhatikan juga bahwa, misalnya,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Mengapa demikian? Mari kita jelaskan dengan contoh 1). Seperti yang sudah Anda pahami, entah bagaimana kami tidak dapat mengonversi angka \(\sqrt2\) . Bayangkan \(\sqrt2\) adalah beberapa angka \(a\) . Dengan demikian, ekspresi \(\sqrt2+3\sqrt2\) tidak lain adalah \(a+3a\) (satu angka \(a\) ditambah tiga angka yang sama \(a\) ). Dan kita tahu bahwa ini sama dengan empat bilangan \(a\) , yaitu \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Sering dikatakan “tidak dapat mengekstrak akar” ketika tidak mungkin menghilangkan tanda \(\sqrt () \ \) dari akar (radikal) ketika mencari nilai suatu bilangan. Misalnya, Anda dapat melakukan root pada bilangan \(16\) karena \(16=4^2\) , jadi \(\sqrt(16)=4\) . Tetapi untuk mengekstrak akar dari angka \(3\) , yaitu, untuk menemukan \(\sqrt3\) , tidak mungkin, karena tidak ada angka yang menghasilkan kuadrat \(3\) .
Angka-angka seperti itu (atau ekspresi dengan angka-angka seperti itu) tidak rasional. Misalnya bilangan \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) dll. tidak rasional.
Juga irasional adalah bilangan \(\pi\) (bilangan “pi”, kira-kira sama dengan \(3,14\) ), \(e\) (bilangan ini disebut bilangan Euler, kira-kira sama dengan \(2 ,7\) ) dll.
\(\bullet\) Harap dicatat bahwa setiap angka akan menjadi rasional atau irasional. Dan bersama-sama semua rasional dan semua bilangan irasional membentuk himpunan yang disebut himpunan bilangan real (nyata). Himpunan ini dilambangkan dengan huruf \(\mathbb(R)\) .
Artinya semua bilangan yang saat ini kita tahu disebut bilangan real.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulus bilangan real \(a\) adalah bilangan non-negatif \(|a|\) sama dengan jarak dari titik \(a\) ke \(0\) pada real garis. Misalnya, \(|3|\) dan \(|-3|\) sama dengan 3, karena jarak dari titik \(3\) dan \(-3\) ke \(0\) adalah sama dan sama dengan \(3 \) .
\(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan non-negatif, maka \(|a|=a\) .
Contoh: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka \(|a|=-a\) .
Contoh: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mereka mengatakan bahwa untuk angka negatif, modul "memakan" angka minus, dan angka positif, serta angka \(0\) , modul tidak berubah.
TETAPI aturan ini hanya berlaku untuk angka. Jika Anda memiliki \(x\) yang tidak dikenal (atau yang tidak dikenal lainnya) di bawah tanda modul, misalnya, \(|x|\) , yang kita tidak tahu apakah itu positif, sama dengan nol atau negatif, maka menyingkirkan modul kita tidak bisa. Dalam hal ini, ekspresi ini tetap demikian: \(|x|\) . \(\bullet\) Rumus berikut berlaku: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( disediakan ) a\geqslant 0\] Kesalahan berikut sering dibuat: mereka mengatakan bahwa \(\sqrt(a^2)\) dan \((\sqrt a)^2\) adalah hal yang sama. Ini benar hanya jika \(a\) adalah bilangan positif atau nol. Tetapi jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka ini tidak benar. Cukuplah untuk mempertimbangkan contoh seperti itu. Mari kita ambil angka \(-1\) alih-alih \(a\). Kemudian \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , tetapi ekspresi \((\sqrt (-1))^2\) tidak ada sama sekali (karena tidak mungkin di bawah tanda root masukkan angka negatif!).
Oleh karena itu, kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa \(\sqrt(a^2)\) tidak sama dengan \((\sqrt a)^2\) ! Contoh 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), karena \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Sejak \(\sqrt(a^2)=|a|\) , maka \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (ekspresi \(2n\) menunjukkan bilangan genap)
Artinya, ketika mengekstraksi akar dari angka yang ada dalam derajat tertentu, derajat ini dibelah dua.
Contoh:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (perhatikan jika modul tidak disetel, maka ternyata akar bilangan sama dengan \(-25 \) ; tapi kita ingat , yang, menurut definisi akar, ini tidak bisa: ketika mengekstrak akar, kita harus selalu mendapatkan angka positif atau nol)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (karena setiap bilangan pangkat genap adalah non-negatif)

Fakta 6.
Bagaimana cara membandingkan dua akar kuadrat?
\(\bullet\) Benar untuk akar kuadrat: jika \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aContoh:
1) bandingkan \(\sqrt(50)\) dan \(6\sqrt2\) . Pertama, kita ubah ekspresi kedua menjadi \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Jadi, karena \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Di antara bilangan bulat manakah \(\sqrt(50)\) ?
Karena \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , dan \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Bandingkan \(\sqrt 2-1\) dan \(0,5\) . Misalkan \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((tambahkan satu ke kedua sisi))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((persegi kedua bagian))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(selaras)\] Kami melihat bahwa kami telah memperoleh ketidaksetaraan yang salah. Oleh karena itu, asumsi kami salah dan \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Perhatikan bahwa menambahkan angka tertentu ke kedua sisi pertidaksamaan tidak mempengaruhi tandanya. Mengalikan/membagi kedua bagian pertidaksamaan dengan bilangan positif juga tidak mempengaruhi tandanya, tetapi mengalikan/membagi dengan bilangan negatif membalikkan tanda pertidaksamaan!
Kedua ruas persamaan/pertidaksamaan dapat dikuadratkan HANYA JIKA kedua ruas tidak negatif. Misalnya, dalam pertidaksamaan dari contoh sebelumnya, Anda dapat mengkuadratkan kedua sisi, dalam pertidaksamaan \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Perhatikan bahwa \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Mengetahui arti perkiraan angka-angka ini akan membantu Anda saat membandingkan angka! \(\bullet\) Untuk mengekstrak akar (jika diekstraksi) dari beberapa nomor besar yang tidak ada dalam tabel kuadrat, Anda harus terlebih dahulu menentukan antara "ratusan" itu, lalu di antara yang "puluhan", dan kemudian tentukan digit terakhir dari nomor ini. Mari kita tunjukkan cara kerjanya dengan sebuah contoh.
Ambil \(\sqrt(28224)\) . Kita tahu bahwa \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) dan seterusnya. Perhatikan bahwa \(28224\) berada di antara \(10\,000\) dan \(4\,000\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(100\) dan \(200\) .
Sekarang mari kita tentukan di antara “puluhan” nomor kita yang mana (yaitu, misalnya, antara \(120\) dan \(130\) ). Kita juga mengetahui dari tabel kuadrat bahwa \(11^2=121\) , \(12^2=144\) dll., maka \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Jadi kita melihat bahwa \(28224\) berada di antara \(160^2\) dan \(170^2\) . Oleh karena itu, bilangan \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(160\) dan \(170\) .
Mari kita coba menentukan angka terakhir. Mari kita ingat apa angka satu digit ketika mengkuadratkan memberi di akhir \ (4 \) ? Ini adalah \(2^2\) dan \(8^2\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) akan berakhir dengan 2 atau 8. Mari kita periksa ini. Temukan \(162^2\) dan \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Oleh karena itu \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Untuk menyelesaikan ujian matematika secara memadai, pertama-tama, perlu mempelajari materi teoretis, yang memperkenalkan banyak teorema, rumus, algoritma, dll. Pada pandangan pertama, tampaknya ini cukup sederhana. Namun, menemukan sumber di mana teori Unified State Examination dalam matematika disajikan dengan cara yang mudah dan dapat dipahami oleh siswa dengan tingkat persiapan apa pun, pada kenyataannya, merupakan tugas yang agak sulit. Buku pelajaran sekolah tidak selalu dapat disimpan di tangan. Dan menemukan rumus dasar untuk ujian matematika bisa jadi sulit bahkan di Internet.

Mengapa begitu penting mempelajari teori dalam matematika, tidak hanya bagi mereka yang mengikuti ujian?

Karena itu memperluas wawasanmu. Kajian materi teori dalam matematika bermanfaat bagi siapa saja yang ingin mendapatkan jawaban atas berbagai pertanyaan yang berkaitan dengan pengetahuan dunia. Segala sesuatu di alam ini tertata dan memiliki logika yang jelas. Inilah tepatnya yang tercermin dalam sains, yang melaluinya dimungkinkan untuk memahami dunia.
Karena itu mengembangkan kecerdasan. Mempelajari bahan referensi untuk ujian matematika, serta memecahkan berbagai masalah, seseorang belajar berpikir dan bernalar secara logis, merumuskan pikiran dengan benar dan jelas. Ia mengembangkan kemampuan untuk menganalisis, menggeneralisasi, menarik kesimpulan.

Kami mengundang Anda untuk secara pribadi mengevaluasi semua keuntungan dari pendekatan kami terhadap sistematisasi dan presentasi materi pendidikan.

Matematika lahir ketika seseorang menjadi sadar akan dirinya dan mulai memposisikan dirinya sebagai unit otonom dunia. Keinginan untuk mengukur, membandingkan, menghitung apa yang mengelilingi Anda - inilah yang mendasari salah satu ilmu dasar zaman kita. Pada awalnya, ini adalah bagian dari matematika dasar, yang memungkinkan untuk mengaitkan angka dengan ekspresi fisiknya, kemudian kesimpulan mulai disajikan hanya secara teoritis (karena abstraksinya), tetapi setelah beberapa saat, seperti yang dikatakan oleh seorang ilmuwan, " matematika mencapai langit-langit kompleksitas ketika semua angka." Konsep "akar kuadrat" muncul pada saat itu dapat dengan mudah didukung oleh data empiris, melampaui bidang perhitungan.

Bagaimana semuanya dimulai

Penyebutan pertama akar, yang saat ini dilambangkan sebagai , tercatat dalam tulisan-tulisan matematikawan Babilonia, yang meletakkan dasar bagi aritmatika modern. Tentu saja, mereka terlihat sedikit seperti bentuk saat ini - para ilmuwan pada tahun-tahun itu pertama kali menggunakan tablet besar. Namun pada milenium kedua SM. e. mereka datang dengan rumus perhitungan perkiraan yang menunjukkan bagaimana mengambil akar kuadrat. Foto di bawah ini menunjukkan sebuah batu tempat para ilmuwan Babilonia mengukir proses keluaran 2, dan ternyata sangat benar sehingga perbedaan dalam jawaban hanya ditemukan di tempat desimal kesepuluh.

Selain itu, akar digunakan jika perlu untuk menemukan sisi segitiga, asalkan dua lainnya diketahui. Nah, saat menyelesaikan persamaan kuadrat, tidak ada jalan keluar untuk mengekstrak akarnya.

Seiring dengan karya Babilonia, objek artikel juga dipelajari dalam karya Cina "Matematika dalam Sembilan Buku", dan orang Yunani kuno sampai pada kesimpulan bahwa angka apa pun yang akarnya tidak diekstraksi tanpa sisa memberikan hasil yang tidak rasional. .

Asal usul istilah ini dikaitkan dengan representasi angka dalam bahasa Arab: para ilmuwan kuno percaya bahwa kuadrat dari angka yang berubah-ubah tumbuh dari akarnya, seperti tanaman. Dalam bahasa Latin, kata ini terdengar seperti radix (seseorang dapat melacak pola - segala sesuatu yang memiliki beban semantik "akar" adalah konsonan, baik itu lobak atau linu panggul).

Para ilmuwan dari generasi berikutnya mengambil ide ini, menetapkannya sebagai Rx. Misalnya, pada abad ke-15, untuk menunjukkan bahwa akar kuadrat diambil dari bilangan arbitrer a, mereka menulis R 2 a. "Centang" , yang akrab dengan tampilan modern, hanya muncul di abad ke-17 berkat Rene Descartes.

Hari hari kita

Secara matematis, akar kuadrat dari y adalah bilangan z yang kuadratnya adalah y. Dengan kata lain, z 2 =y setara dengan y=z. Namun, definisi ini hanya relevan untuk akar aritmatika, karena ini menyiratkan nilai ekspresi non-negatif. Dengan kata lain, y=z, di mana z lebih besar dari atau sama dengan 0.

Secara umum, yang valid untuk menentukan akar aljabar, nilai ekspresi dapat berupa positif atau negatif. Jadi, karena z 2 =y dan (-z) 2 =y, kita memiliki: y=±z atau y=|z|.

Karena fakta bahwa cinta matematika hanya meningkat dengan perkembangan ilmu pengetahuan, ada berbagai manifestasi keterikatan padanya, tidak diungkapkan dalam perhitungan kering. Misalnya, bersama dengan acara menarik seperti hari Pi, hari libur akar kuadrat juga dirayakan. Mereka dirayakan sembilan kali dalam seratus tahun, dan ditentukan menurut prinsip berikut: angka-angka yang menunjukkan hari dan bulan secara berurutan harus akar kuadrat dari tahun tersebut. Jadi, liburan kali ini akan dirayakan pada tanggal 4 April 2016.

Sifat-sifat akar kuadrat pada bidang R

Hampir semua ekspresi matematika memiliki basis geometris, nasib ini tidak berlalu dan y, yang didefinisikan sebagai sisi persegi dengan luas y.

Bagaimana cara menemukan akar suatu bilangan?

Ada beberapa algoritma perhitungan. Yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama cukup rumit, adalah perhitungan aritmatika biasa, yaitu sebagai berikut:

1) dari angka yang akarnya kita butuhkan, angka ganjil dikurangi secara bergantian - hingga sisa output kurang dari yang dikurangi atau genap sama dengan nol. Jumlah gerakan pada akhirnya akan menjadi jumlah yang diinginkan. Misalnya, menghitung akar kuadrat dari 25:

Bilangan ganjil berikutnya adalah 11, sisanya adalah: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Untuk kasus seperti itu, ada ekspansi deret Taylor:

(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , di mana n mengambil nilai dari 0 hingga

+∞, dan |y|≤1.

Representasi grafis dari fungsi z=√y

Pertimbangkan fungsi dasar z=√y pada bidang bilangan real R, di mana y lebih besar dari atau sama dengan nol. Bagan nya terlihat seperti ini:

Kurva tumbuh dari asal dan tentu melintasi titik (1; 1).

Sifat-sifat fungsi z=√y pada bidang bilangan real R

1. Domain definisi dari fungsi yang dipertimbangkan adalah interval dari nol hingga ditambah tak terhingga (nol disertakan).

2. Rentang nilai dari fungsi yang dipertimbangkan adalah interval dari nol hingga plus tak terhingga (nol dimasukkan lagi).

3. Fungsi mengambil nilai minimum (0) hanya pada titik (0; 0). Tidak ada nilai maksimal.

4. Fungsi z=√y bukan genap maupun ganjil.

5. Fungsi z=√y tidak periodik.

6. Hanya ada satu titik potong grafik fungsi z=√y dengan sumbu koordinat: (0; 0).

7. Titik potong grafik fungsi z=√y juga merupakan nol dari fungsi ini.

8. Fungsi z=√y terus bertambah.

9. Fungsi z=√y hanya mengambil nilai positif, oleh karena itu, grafiknya menempati sudut koordinat pertama.

Opsi untuk menampilkan fungsi z=√y

Dalam matematika, untuk memudahkan penghitungan ekspresi kompleks, bentuk pangkat dari penulisan akar kuadrat kadang-kadang digunakan: y=y 1/2. Opsi ini cocok, misalnya, dalam menaikkan fungsi ke pangkat: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Metode ini juga merupakan representasi yang baik untuk diferensiasi dengan integrasi, karena berkat itu akar kuadrat diwakili oleh fungsi pangkat biasa.

Dan dalam pemrograman, pengganti simbol adalah kombinasi huruf sqrt.

Perlu dicatat bahwa di area ini akar kuadrat sangat diminati, karena ini adalah bagian dari sebagian besar rumus geometris yang diperlukan untuk perhitungan. Algoritma penghitungan itu sendiri cukup rumit dan didasarkan pada rekursi (fungsi yang memanggil dirinya sendiri).

Akar kuadrat di bidang kompleks C

Pada umumnya, subjek artikel ini yang mendorong penemuan bidang bilangan kompleks C, karena matematikawan dihantui oleh pertanyaan untuk memperoleh akar derajat genap dari bilangan negatif. Ini adalah bagaimana unit imajiner i muncul, yang dicirikan oleh properti yang sangat menarik: kuadratnya adalah -1. Berkat ini, persamaan kuadrat dan dengan diskriminan negatif mendapat solusi. Di C, untuk akar kuadrat, properti yang sama relevan seperti di R, satu-satunya batasan pada ekspresi root dihilangkan.

Sebelum munculnya kalkulator, siswa dan guru menghitung akar kuadrat dengan tangan. Ada beberapa cara untuk menghitung akar kuadrat suatu bilangan secara manual. Beberapa dari mereka hanya menawarkan solusi perkiraan, yang lain memberikan jawaban yang tepat.

Langkah

Faktorisasi prima

Faktorkan bilangan akar menjadi faktor-faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Tergantung pada nomor root, Anda akan mendapatkan jawaban perkiraan atau tepat. Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dapat diambil seluruh akar kuadratnya. Faktor adalah bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan asli. Misalnya faktor dari bilangan 8 adalah 2 dan 4, karena 2 x 4 = 8, maka bilangan 25, 36, 49 adalah bilangan kuadrat, karena 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Faktor kuadrat adalah faktor , yang merupakan bilangan kuadrat. Pertama, coba faktorkan bilangan akar menjadi faktor kuadrat.

Misalnya, hitung akar kuadrat dari 400 (secara manual). Pertama coba faktorkan 400 menjadi faktor kuadrat. 400 adalah kelipatan 100, yaitu habis dibagi 25 - ini adalah bilangan kuadrat. Membagi 400 dengan 25 memberi Anda 16. Angka 16 juga merupakan angka kuadrat. Jadi, 400 dapat difaktorkan menjadi faktor kuadrat dari 25 dan 16, yaitu 25 x 16 = 400.
Ini dapat ditulis sebagai berikut: 400 = (25 x 16).

Akar kuadrat hasil kali beberapa suku sama dengan hasil kali akar kuadrat tiap suku, yaitu (a x b) = a x b. Gunakan aturan ini dan ambil akar kuadrat dari setiap faktor kuadrat dan kalikan hasilnya untuk menemukan jawabannya.
- Dalam contoh kita, ambil akar kuadrat dari 25 dan 16.
  - (25 x 16)
  - 25 x 16
  - 5 x 4 = 20
Jika bilangan akar tidak memfaktorkan ke dalam dua faktor kuadrat (dan memang demikian dalam banyak kasus), Anda tidak akan dapat menemukan jawaban yang tepat dalam bentuk bilangan bulat. Tetapi Anda dapat menyederhanakan masalah dengan menguraikan bilangan akar menjadi faktor kuadrat dan faktor biasa (bilangan yang tidak dapat diambil seluruh akar kuadratnya). Kemudian Anda akan mengambil akar kuadrat dari faktor kuadrat dan Anda akan mengambil akar dari faktor biasa.
- Misalnya, hitung akar kuadrat dari bilangan 147. Bilangan 147 tidak dapat difaktorkan menjadi dua faktor kuadrat, tetapi dapat difaktorkan ke dalam faktor-faktor berikut: 49 dan 3. Selesaikan soal sebagai berikut:
  - = (49 x 3)
  - = 49 x 3
  - = 7√3
Jika perlu, evaluasi nilai root. Sekarang Anda dapat mengevaluasi nilai akar (menemukan nilai perkiraan) dengan membandingkannya dengan nilai akar bilangan kuadrat yang paling dekat (di kedua sisi garis bilangan) dengan nomor akar. Anda akan mendapatkan nilai akar sebagai pecahan desimal, yang harus dikalikan dengan angka di belakang tanda akar.
- Mari kita kembali ke contoh kita. Bilangan akarnya adalah 3. Bilangan kuadrat terdekat adalah bilangan 1 (√1 = 1) dan 4 (√4 = 2). Jadi, nilai 3 terletak antara 1 dan 2. Karena nilai 3 mungkin lebih dekat ke 2 daripada 1, perkiraan kami adalah: 3 = 1.7. Kami mengalikan nilai ini dengan angka pada tanda root: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Jika Anda melakukan perhitungan pada kalkulator, Anda mendapatkan 12,13, yang cukup dekat dengan jawaban kami.
  - Metode ini juga bekerja dengan jumlah besar. Sebagai contoh, perhatikan 35. Bilangan akarnya adalah 35. Bilangan kuadrat terdekat adalah bilangan 25 (√25 = 5) dan 36 (√36 = 6). Jadi, nilai 35 terletak antara 5 dan 6. Karena nilai 35 jauh lebih dekat ke 6 daripada ke 5 (karena 35 hanya 1 kurang dari 36), kita dapat menyatakan bahwa 35 sedikit lebih kecil dari 6. Verifikasi dengan kalkulator memberi kami jawaban 5,92 - kami benar.
Cara lain adalah dengan menguraikan bilangan akar menjadi faktor prima. Faktor prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Tuliskan faktor-faktor prima dalam satu baris dan temukan pasangan faktor-faktor yang identik. Faktor-faktor tersebut dapat diambil dari tanda akar.
- Misalnya, hitung akar kuadrat dari 45. Kami menguraikan angka akar menjadi faktor prima: 45 \u003d 9 x 5, dan 9 \u003d 3 x 3. Jadi, 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 dapat diambil dari tanda akar: 45 = 3√5. Sekarang kita dapat memperkirakan 5.
- Pertimbangkan contoh lain: 88.
  - = (2 x 44)
  - = (2 x 4 x 11)
  - = (2 x 2 x 2 x 11). Anda mendapat tiga pengali 2; ambil beberapa dari mereka dan keluarkan dari tanda akar.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x 11. Sekarang kita dapat mengevaluasi 2 dan 11 dan menemukan jawaban yang mendekati.
Menghitung akar kuadrat secara manual

Menggunakan pembagian kolom
1. Metode ini melibatkan proses yang mirip dengan pembagian panjang dan memberikan jawaban yang akurat. Pertama, gambar garis vertikal yang membagi lembaran menjadi dua bagian, lalu gambar garis horizontal ke kanan dan sedikit di bawah tepi atas lembaran ke garis vertikal. Sekarang bagilah bilangan akar menjadi pasangan bilangan, dimulai dengan bagian pecahan setelah titik desimal. Jadi, bilangan 79520789182.47897 ditulis sebagai "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Sebagai contoh, mari kita hitung akar kuadrat dari angka 780.14. Gambar dua garis (seperti yang ditunjukkan pada gambar) dan tulis nomor di kiri atas sebagai "7 80, 14". Adalah normal bahwa digit pertama dari kiri adalah digit yang tidak berpasangan. Jawabannya (akar dari angka yang diberikan) akan ditulis di kanan atas.
2. Diberikan pasangan angka pertama (atau satu angka) dari kiri, temukan bilangan bulat terbesar n yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan pasangan angka (atau satu angka) yang bersangkutan. Dengan kata lain, temukan bilangan kuadrat yang paling dekat dengan, tetapi kurang dari, pasangan bilangan pertama (atau satu bilangan) dari kiri, dan ambil akar kuadrat dari bilangan kuadrat itu; Anda akan mendapatkan nomor n. Tulis n yang ditemukan di kanan atas, dan tuliskan n persegi di kanan bawah.
  - Dalam kasus kami, angka pertama di sebelah kiri adalah angka 7. Selanjutnya, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Kurangi kuadrat dari angka n yang baru saja Anda temukan dari pasangan angka pertama (atau satu angka) dari kiri. Tulislah hasil perhitungan di bawah subtrahend (kuadrat dari bilangan n).
  - Dalam contoh kita, kurangi 4 dari 7 untuk mendapatkan 3.
4. Catat pasangan angka kedua dan tuliskan di sebelah nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya. Kemudian gandakan angka di kanan atas dan tulis hasilnya di kanan bawah dengan "_×_=" ditambahkan.
  - Dalam contoh kita, pasangan angka kedua adalah "80". Tulis "80" setelah 3. Kemudian, menggandakan angka dari kanan atas menghasilkan 4. Tulis "4_×_=" dari kanan bawah.
5. Isilah bagian yang kosong di sebelah kanan.
  - Dalam kasus kami, jika kami menempatkan angka 8 alih-alih tanda hubung, maka 48 x 8 \u003d 384, yang lebih dari 380. Oleh karena itu, 8 adalah angka yang terlalu besar, tetapi 7 baik-baik saja. Tulis 7 alih-alih tanda hubung dan dapatkan: 47 x 7 \u003d 329. Tulis 7 dari kanan atas - ini adalah digit kedua dalam akar kuadrat yang diinginkan dari angka 780.14.
6. Kurangi angka yang dihasilkan dari angka saat ini di sebelah kiri. Tulis hasil dari langkah sebelumnya di bawah angka saat ini di sebelah kiri, temukan perbedaannya dan tulis di bawah yang dikurangi.
  - Dalam contoh kita, kurangi 329 dari 380, yang sama dengan 51.
7. Ulangi langkah 4. Jika pasangan bilangan yang dibongkar adalah bagian pecahan dari bilangan aslinya, maka letakkan pemisah (koma) dari bilangan bulat dan pecahan tersebut pada akar kuadrat yang diinginkan dari kanan atas. Di sebelah kiri, turunkan pasangan nomor berikutnya. Gandakan angka di kanan atas dan tulis hasilnya di kanan bawah dengan "_×_=" ditambahkan.
  - Dalam contoh kita, pasangan bilangan berikutnya yang akan dihancurkan adalah bagian pecahan dari bilangan 780.14, jadi letakkan pemisah bilangan bulat dan pecahan di akar kuadrat yang diperlukan dari kanan atas. Hancurkan 14 dan tulis di kiri bawah. Gandakan kanan atas (27) adalah 54, jadi tulis "54_×_=" di kanan bawah.
8. Ulangi langkah 5 dan 6. Temukan angka terbesar sebagai pengganti tanda hubung di sebelah kanan (bukan tanda hubung Anda harus mengganti angka yang sama) sehingga hasil perkaliannya kurang dari atau sama dengan angka saat ini di sebelah kiri.
  - Dalam contoh kita, 549 x 9 = 4941, yang lebih kecil dari angka saat ini di sebelah kiri (5114). Tulis 9 di kanan atas dan kurangi hasil perkalian dari bilangan saat ini di kiri: 5114 - 4941 = 173.
9. Jika Anda perlu mencari lebih banyak tempat desimal untuk akar kuadrat, tulis sepasang nol di sebelah angka saat ini di sebelah kiri dan ulangi langkah 4, 5 dan 6. Ulangi langkah sampai Anda mendapatkan akurasi jawaban yang Anda butuhkan (jumlah tempat desimal).
  
  Memahami proses
  1. Untuk menguasai metode ini, bayangkan bilangan yang akar kuadratnya ingin Anda cari sebagai luas persegi S. Dalam hal ini, Anda akan mencari panjang sisi L dari persegi tersebut. Hitung nilai L dimana L² = S.
    
    Masukkan huruf untuk setiap digit dalam jawaban Anda. Dilambangkan dengan A digit pertama dalam nilai L (akar kuadrat yang diinginkan). B akan menjadi digit kedua, C yang ketiga dan seterusnya.
    
    Tentukan huruf untuk setiap pasangan digit depan. Dilambangkan dengan S a pasangan angka pertama pada nilai S, dengan S b pasangan angka kedua, dan seterusnya.
    
    Jelaskan hubungan metode ini dengan pembagian panjang. Seperti dalam operasi pembagian, di mana setiap kali kita hanya tertarik pada satu digit berikutnya dari bilangan yang habis dibagi, ketika menghitung akar kuadrat, kita bekerja dengan sepasang digit secara berurutan (untuk mendapatkan satu digit berikutnya dalam nilai akar kuadrat) .
  2. Perhatikan pasangan angka pertama Sa dari bilangan S (Sa = 7 dalam contoh kita) dan temukan akar kuadratnya. Dalam hal ini, digit pertama A dari nilai akar kuadrat yang dicari akan menjadi digit tersebut, kuadratnya kurang dari atau sama dengan S a (yaitu, kami mencari A yang memenuhi pertidaksamaan A² Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
    - Katakanlah kita perlu membagi 88962 dengan 7; di sini langkah pertama akan serupa: kami mempertimbangkan digit pertama dari angka yang dapat dibagi 88962 (8) dan memilih angka terbesar yang, ketika dikalikan dengan 7, memberikan nilai kurang dari atau sama dengan 8. Artinya, kami mencari bilangan d yang pertidaksamaannya benar: 7 × d 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
  3. Bayangkan secara mental persegi yang luasnya perlu Anda hitung. Anda mencari L, yaitu panjang sisi persegi yang luasnya S. A, B, C adalah angka dalam angka L. Anda dapat menulisnya secara berbeda: 10A + B \u003d L (untuk dua -digit angka) atau 100A + 10B + C \u003d L (untuk angka tiga digit) dan seterusnya.
    - Biarlah (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ingat bahwa 10A+B adalah bilangan yang B berarti satuan dan A berarti puluhan. Misalnya, jika A=1 dan B=2, maka 10A+B sama dengan angka 12. (10A+B)² adalah luas seluruh persegi, 100A² adalah luas persegi bagian dalam yang besar, B² adalah luas persegi kecil bagian dalam, 10A×B adalah luas masing-masing kedua persegi panjang tersebut. Menambahkan luas gambar yang dijelaskan, Anda akan menemukan luas persegi asli.