Milyen figurákat nevezünk különbözőnek. Egyenértékű számok

Cél: az „egyenlő alakok” fogalmának kialakulása.

• formálja meg a koncepció rögzítésének képességét" egyenlő számok”, az egyenlő számok megtalálásának képességének rögzítésére;
• fejleszti a matematikai beszédet, a geometriai gondolkodást; mentális műveletek képzése;
• a számolási készség fejlesztése 9-en belül;
• nevelje a tanulókat a fegyelemre, az együttműködés képességére.

Az órák alatt

1. Szervezési mozzanat

A tanár bemutatkozása.

A kalózok tengeri rablók, fő céljuk mindig is a kincskeresés volt. Jó kalózok leszünk és megyünk hajókázás kincsünket keresve. A kezembe került egy régi kalóztérkép.

Nagyon zavaró, sok szigetet jelöltek rajta, hogy megzavarják a keresőket, de el kell jutni a szigetre, ahol a kincsek vannak elrejtve. Ahhoz, hogy megtaláljuk, sok akadályt kell leküzdenünk. Készen állsz? Akkor menj.

Hajóval fogunk utazni.

Menjünk az első szigetre.

2. Szóbeli beszámoló

Így térképünket követve egy „Mental Account” nevű szigeten kötöttünk ki. És a továbblépéshez teljesítenünk kell a feladatokat:

Nevezze meg a számok szomszédait: 3, 6, 8;

Töltse ki az üres helyeket:

7,….,….,….,…, 12

10,…,…., 7,….,…,….,…., 2

Oldja meg a példát számegyenes segítségével!

3. Az ismeretek frissítése

A következő sziget, amellyel útközben találkoztunk, a „Geometrikus sziget”. Tele van titkaival és rejtélyeivel, amelyeket fel kell tárnunk!

A srácoknak emlékezniük kell és le kell rajzolniuk minden ismert dolgot geometriai alakzatok. (Kör, négyzet, rombusz, ovális, téglalap)

Nézd meg a képet, milyen ábrák láthatók?

Milyen alapon osztható az összes figura csoportokra? (Szín, forma, méret). Nevezd el ezeket a csoportokat!

4. Új anyag bemutatása

Sikeresen megbirkóztunk a feladattal és mehetünk a következő szigetre. A harmadik szigeten titkos üzeneteket találtam neked és nekem. Mindenkinek van egy boríték az asztalán. Nyissuk ki őket, és nézzük meg, ezúttal milyen próba vár ránk. (Minden boríték tartalmaz egy nagy és egy kis zöld négyzetet, egy nagy és egy kis kék háromszöget, egy nagy és egy kis sárga téglalapot, két azonos méretű piros kört)

Srácok, emlékszel, mi alapján oszlik meg az összes szám? (Szín, forma, méret)

A feladat: ossza fel a borítékban lévő figurákat párokra úgy, hogy csak egy jel változzon - a méret.

Sikerült párosítani az összes elemet? (Nem)

Miért? (Mivel a két kör azonos méretű, színű és alakú)

Bizonyítsuk be, hogy ezek a számok megegyeznek. (Fedvény)

Gondolkodjunk el azon, hogyan is lehet nevezni az ilyen alakokat? ( A javasolt lehetőségek közül a tanár az „egyenlő számok” fogalmát választja.

Szóval, srácok, leckénk témája az „Egyenlő alakok”. ( A téma felkerült a táblára

Ismerjük meg őket jobban. Ehhez el kell mennünk a következő szigetre, amelyet „Equal Figures”-nek hívnak.

A szigetre érve azonnal észrevettem a homokon különféle alakokat, lerajzoltam őket, hiszen a hullám bármelyik pillanatban elmoshatja őket.

Nézd meg a táblát, ezek a számok:

Ha egyenlőek? ( A gyerekek először vizuálisan egyenlő figurákat határoznak meg, majd a tanulót a táblához hívják)

Honnan tudhatjuk, hogy ezek a számok valóban egyenlőek-e vagy sem? (Egy figura rárakásával a másikra). Gyakorlati intézkedés történik.

Tehát milyen számadatokat nevezhetünk egyenlőnek? (Egyenlő számok azok, amelyek egymásra helyezve megegyeznek).

Határozzuk meg, hogy az egyenlő számjegyek mely jellemzői esnek egybe.

Az óra témája alatt a gyerekek érvelésének rövid feljegyzését rögzítik a táblára.

(Az egyenlő figurák mindig azonos alakúak és azonos méretűek, és a színük változhat)

Ön szerint az 1. és 2. ábra egyenlő?

Hogyan ellenőrizzük? (A tanulók kombinálják a figurákat, és ügyelnek arra, hogy egyenlőek legyenek)

Ön szerint a 2. és 3. ábra egyenlő? (Hasonló munka folyamatban)

Srácok, az 1. és 3. ábra egyenlő?

Miért? (Mindkettő egyenlő a 2. ábrával, ami azt jelenti, hogy egyenlők egymással)

Ellenőrizzük egy rátéttel.

A srácok levonják a következtetést, a tanár röviden rögzíti a táblán 1=2 és 2=3, majd 1=3 (Ha az első szám egyenlő a másodikkal, és a második a harmadikkal, akkor az első szám egyenlő a harmadikkal)

Van egy problémám, és ha nem tudom átfedni az alakzatokat, pl füzetbe vannak rajzolva, akkor hogyan tudom megnézni, hogy egyenlők-e vagy sem? (Cellák szerint lehet számolni)

Menjünk a következő szigetre.

5. Elsődleges rögzítés

Dolgozzon a tankönyvvel.

1) Oldal 36 #1. Keress egyforma formákat, és színezd ki őket azonos színnel . A munka a következő lehetőségek szerint történik:

1. lehetőség – 1. sz. a)

2. lehetőség – 1. sz. b)

Srácok, megbirkózottatok ezzel a feladattal, de nem folytathatjuk utunkat, a hajó egy zátonyba botlott, újra össze kell szednünk. Mert a térkép szerint az utolsó sziget pont az, amire szükségünk van!

2) Oldal 36 #2.

6. Áttekintés

Bátor voltál ma, és nem féltél a nehéz megpróbáltatásoktól, amelyekkel a szigeteken találkoztunk. És ennek jutalmaként a hajó kapitány-tanárai lehettek. De kapitánynak lenni nem könnyű, sokat kell tudnia és tudnod kell, ezért próbálj meg megbirkózni a következő feladatokkal:

1) A tanulókat felkérik tanárnak: dolgozzon ki egy feladatot a rajzhoz, ellenőrizze a megvalósítást, értékelje.

2) A kártyákat kiosztják. Minden hibát meg kell találni. Páros ellenőrzés.

8=8 4+3=8 8-2>8-3

7>4 3+1<6 5+1<5+4

3<1 5<5+4 9-7=9-6

7. Óraösszefoglaló, elmélkedés

Megérkeztünk az utolsó szigetre, és itt a kincs! Nem volt hiábavaló az utunk, hiszen ilyen kincseket kaptunk jutalmul!

Srácok, hogyan értitek a „tudás a mi gazdagságunk” kifejezést?

Két hangulatjel van az asztalon előtted – szomorú és vidám. Ha jó kedved van, ragassz a hajóra egy sárga vidám smiley-t, ha rossz kedved van - pirosat.

Most már tapasztalt utazók és kincsvadászok vagyunk, legközelebb pedig új kalandok várnak ránk! Köszönöm a leckét!

A mindennapi életben sokféle tárgy vesz körül bennünket. Némelyikük azonos méretű és alakú. Például két egyforma lap vagy két egyforma szappan, két egyforma érme stb.

A geometriában azonos méretű és alakú ábrákat nevezünk egyenlő számok. Az alábbi ábrán két A1 és A2 ábra látható. Ahhoz, hogy megállapítsuk ezeknek az ábráknak az egyenlőségét, le kell másolnunk az egyiket egy pauszpapírra. Ezután mozgassa a pauszpapírt, és kombinálja az egyik alakzat másolatát egy másik formával. Ha ezeket kombináljuk, akkor ez azt jelenti, hogy ezek a számok ugyanazok. Amikor ezt a szokásos egyenlőségjellel A1 \u003d A2 írják.

Két geometriai alakzat egyenlőségének meghatározása

Elképzelhetjük, hogy az első figurát ráhelyezték a másodikra, és nem annak másolatát a pauszpapírra. Ezért a jövőben arról fogunk beszélni, hogy magát a figurát, és nem a másolatát ráhelyezzük egy másik figurára. A fentiek alapján megfogalmazhatjuk a definíciót két geometriai alakzat egyenlősége.

Két geometriai alakzatot egyenlőnek nevezünk, ha az egyik alakot a másikra helyezve kombinálhatók. A geometriában egyes geometriai alakzatokhoz (például háromszögekhez) speciális jeleket fogalmaznak meg, amelyek teljesítésekor azt mondhatjuk, hogy az ábrák egyenlőek.

hogy hívják a szöget? Mely számokat nevezzük egyenlőnek? Magyarázza el, hogyan lehet két szegmenst összehasonlítani? milyen pontot neveznek

a szegmens közepe?

Melyik sugarat nevezzük szögfelezőnek?

mi a szög mértéke?

Melyik alakzatot nevezzük háromszögnek? Mely háromszögeket nevezzük egyenlőnek? Melyik szakaszt nevezzük a háromszög mediánjának? Melyik szakaszt nevezzük

a háromszög felezőpontja?Melyik szakaszt nevezzük a háromszög magasságának?Melyik háromszöget nevezzük egyenlő szárúnak?Melyik háromszöget nevezzük egyenlő oldalúnak? Sugár, átmérő, húr definíciója Adja meg a párhuzamos egyenesek definícióját Melyik szöget nevezzük a háromszög külső szögének Melyik háromszöget nevezzük hegyesnek, melyiket tompaszögűnek, melyiket derékszögűnek. Mi a neve egy derékszögű háromszög oldalainak Két, a harmadikkal párhuzamos egyenes tulajdonsága Tétel az egyik párhuzamos egyenest metsző egyenesről. A harmadikra ​​merőleges két egyenes tulajdonsága

Milyen alakzatot nevezünk szaggatott vonalnak? Mik azok a csúcshivatkozások és a vonallánc hossza?

Magyarázza el, mit nevezünk sokszögnek a szaggatott vonalat! Melyek a sokszög csúcsai, oldalai, kerülete és átlói? Mi az a konvex sokszög?
Magyarázza meg, milyen szögeket nevezünk egy sokszög konvex szögeinek! Készítsen képletet egy konvex n-szög szögösszegének kiszámításához! Bizonyítsuk be, hogy egy konvex sokszög külső szögeinek összege. Minden csúcson egy-egy, 360 fokkal egyenlő.
Mennyi egy konvex négyszög szögeinek összege?

1) Milyen alakzatot nevezünk négyszögnek?

2) Mik a négyszög csúcsai, szögei, oldalai, átlói, kerülete?
3) A négyszög mely oldalszögeit nevezzük konvexnek?
4) mekkora egy konvex négyszög szögeinek összege?
5) melyik négyszöget nevezzük konvexnek?
6) melyik négyszöget nevezzük paralelogrammának?
7) milyen tulajdonságai vannak a paralelogrammának?
8) nevezze meg a paralelogramma jeleit!
9) fogalmazza meg a téglalap tulajdonságait!
10) melyik négyszöget nevezzük négyzetnek?
11) fogalmazza meg a rombusz tulajdonságait.
12) melyik négyszöget nevezzük rombusznak?
13) melyik négyszöget nevezzük téglalapnak?
14) milyen tulajdonságai vannak egy négyzetnek? kérlek válaszolj röviden...

Geometria Atanasyan 7,8,9 osztály „Kérdések válaszok kérdésekre a geometria tankönyv 2. fejezetének megismétléséhez 7-9 osztály atanasyan Magyarázza el, milyen ábra

háromszögnek nevezik.
2. Mekkora a háromszög kerülete?
3. Milyen háromszögeket nevezünk egyenlőnek?
4. Mi a tétel és a tétel bizonyítása?
5. Magyarázza meg, melyik szakaszt nevezzük egy adott pontból egy adott egyenesre húzott merőlegesnek!
6. Melyik szakaszt nevezzük a háromszög mediánjának? Hány mediánja van egy háromszögnek?
7. Melyik szakaszt nevezzük a háromszög felezőjének? Hány felezőpontja van egy háromszögnek?
8. Melyik szakaszt nevezzük a háromszög magasságának? Hány magasságú egy háromszög?
9. Melyik háromszöget nevezzük egyenlő szárúnak?
10. Mi a neve egy egyenlő szárú háromszög oldalainak?
11. Melyik háromszöget nevezzük egyenlő oldalú háromszögnek?
12. Fogalmazzuk meg egy egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek tulajdonságát!
13. Fogalmazzon meg egy tételt egy egyenlő szárú háromszög felezőpontjára!
14. Fogalmazza meg a háromszögek egyenlőségének első jelét!
15. Fogalmazzuk meg a háromszögek egyenlőségének második jelét!
16. Fogalmazza meg a háromszögek egyenlőségének harmadik kritériumát!
17. Határozzon meg egy kört.
18. Mi a kör középpontja?
19. Mit nevezünk egy kör sugarának?
20. Mit nevezünk egy kör átmérőjének?
21. Mit nevezünk egy kör akkordjának?

A geometriában az egyik alapfogalom az ábra. Ez a kifejezés egy síkon lévő pontok halmazát jelenti, amelyeket véges számú egyenes korlátoz. Egyes alakzatok egyenrangúnak tekinthetők, ami szorosan összefügg a mozgás fogalmával. A geometriai alakzatokat nem elszigetelten, hanem így vagy úgy egymáshoz viszonyítva tekinthetjük - kölcsönös elrendezésük, érintkezésük és illeszkedésük, a „közötti”, „belül” helyzet, a „több” fogalmakban kifejezett arány. "kevesebb", "egyenlő" .A geometria a figurák invariáns tulajdonságait vizsgálja, pl. azokat, amelyek bizonyos geometriai transzformációk során változatlanok maradnak. A térnek azt a transzformációját, amelyben az adott alakzatot alkotó pontok távolsága változatlan marad, mozgásnak nevezzük.A mozgás többféleképpen hathat: párhuzamos transzformáció, azonos transzformáció, tengely körüli elforgatás, egyeneshez viszonyított szimmetria. vagy sík, központi, forgási, transzlációs szimmetria .

Mozgás és egyenlő figurák

Ha lehetséges egy ilyen mozgás, amely az egyik figura egy másikkal való kombinációjához vezet, az ilyen alakzatokat egyenlőnek (kongruensnek) nevezzük. Két harmaddal egyenlő alak is egyenlő egymással - ilyen megállapítást fogalmazott meg Eukleidész, a geometria megalapítója. Az egybevágó alakzatok fogalma egy egyszerűbb nyelven is megmagyarázható: egyenlők azok az alakok, amelyek mindegyikre rárakva teljesen egybeesnek. Ez elég könnyen meghatározható, ha az ábrák bizonyos manipulálható tárgyak formájában vannak megadva - például papírból vannak kivágva, ezért az iskolában az osztályteremben gyakran folyamodnak ehhez a fogalom magyarázatához. . De két síkra rajzolt figurát fizikailag nem lehet egymásra rakni. Ebben az esetben az ábrák egyenlőségének bizonyítéka az összes olyan elem egyenlőségének bizonyítéka, amely ezeket az alakzatokat alkotja: a szakaszok hossza, a szögek nagysága, az átmérő és a sugár, ha beszélünk egy kör.

Egyenértékű és egyenlő távolságú ábrák

Az egyenlő figurákkal nem szabad összetéveszteni az egyenlő méretű és egyforma összetételű figurákat – e fogalmak minden közelségével.
Egyenlő méretű alakok azok, amelyek területe egyenlő, ha egy sík alakja, vagy egyenlő térfogatú, ha háromdimenziós testekről beszélünk. Az ábrákat alkotó összes elem egybeesése nem kötelező. Az egyenlő méretű alakok mindig egyenlőek lesznek, de nem minden azonos méretű alakot nevezhetünk egyenlőnek.Az egyenlő összetétel fogalmát leggyakrabban sokszögekre alkalmazzák. Ez azt jelenti, hogy a sokszögek ugyanannyi, rendre egyenlő alakzatra oszthatók. Az egyenértékű sokszögek mindig egyenlő területűek.

Vissza előre

Figyelem! A dia előnézete csak tájékoztató jellegű, és nem feltétlenül képviseli a bemutató teljes terjedelmét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Az óra céljai: Ismételje meg a "Paralelogramma területe" témakört. Vezesse le a háromszög területének képletét, mutassa be az egyenlő méretű figurák fogalmát! Feladatok megoldása az "Egyenlő méretű figurák területei" témában.

Az órák alatt

I. Ismétlés.

1) Szóban az elkészült rajz szerint Vezesse le a paralelogramma területének képletét!

2) Mi a kapcsolat a paralelogramma oldalai és a rájuk ejtett magasságok között?

(a kész rajz szerint)

az összefüggés fordítottan arányos.

3) Keresse meg a második magasságot (a kész rajz szerint)

4) Keresse meg a paralelogramma területét a kész rajz szerint.

Megoldás:

5) Hasonlítsa össze az S1, S2, S3 paralelogrammák területeit!. (Egyenlő területük van, mindegyiknek a alapja és h magassága van).

Definíció: Az egyenlő területű ábrákat egyenlőnek nevezzük.

II. Problémamegoldás.

1) Bizonyítsuk be, hogy bármely, az átlók metszéspontján átmenő egyenes 2 egyenlő részre osztja azt.

Megoldás:

2) ABCD paralelogrammában CF és CE magasságok. Bizonyítsuk be, hogy AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) Adott egy a és 4a bázisú trapéz. Lehetséges-e az egyik csúcsán keresztül egyenes vonalakat húzni, a trapézt 5 egyenlő területű háromszögre osztva?

Megoldás: Tud. Minden háromszög egyenlő.

4) Bizonyítsuk be, hogy ha felvesszük a paralelogramma oldalán lévő A pontot, és összekapcsoljuk a csúcsokkal, akkor az eredményül kapott ABC háromszög területe megegyezik a paralelogramma területének felével.

Megoldás:

5) A torta paralelogramma alakú. Kid és Carlson a következőképpen osztja fel: Kid egy pontra mutat a torta felületén, Carlson pedig ezen a ponton áthaladó egyenes mentén 2 részre vágja a tortát, és az egyik darabot kiveszi magának. Mindenki nagyobb darabot szeretne. Hol vessen véget a Kölyök?

Megoldás: Az átlók metszéspontjában.

6) A téglalap átlóján kiválasztottunk egy pontot, és azon keresztül egyenes vonalakat húztunk a téglalap oldalaival párhuzamosan. A szemközti oldalakon 2 téglalap alakult ki. Hasonlítsa össze a területeiket.

Megoldás:

III. A "háromszög területe" téma tanulmányozása

kezdd egy feladattal:

"Keresse meg annak a háromszögnek a területét, amelynek alapja a és magassága h."

A srácok az egyenlő méretű figurák fogalmát használva bizonyítják a tételt.

Építsünk háromszöget paralelogrammára.

A háromszög területe a paralelogramma területének fele.

A feladat: Rajzolj egyenlő háromszögeket.

Egy modellt használnak (3 színes háromszöget vágunk ki papírból, és ragasztjuk az alapokhoz).

474. számú gyakorlat. "Hasonlítsa össze annak a két háromszögnek a területét, amelyre az adott háromszög a mediánjával van osztva."

A háromszögeknek azonos a alapja és azonos h magassága. A háromszögek területe azonos

Következtetés: Az egyenlő területű ábrákat egyenlőnek nevezzük.

Kérdések az osztályhoz:

1. Az egyenlő számok azonos méretűek?
2. Fogalmazd meg az ellenkező állítást! Ez igaz?
3. Ez igaz:
   a) Az egyenlő oldalú háromszögek területe egyenlő?
   b) Az egyenlő oldalú háromszögek egyenlőek?
   c) Az egyenlő oldalú négyzetek egyenlőek?
   d) Bizonyítsuk be, hogy a két azonos szélességű, különböző dőlésszögű szalag metszéspontjából képzett paralelogrammák egyenlőek. Határozzuk meg a két azonos szélességű szalag metszéspontjából kialakuló legkisebb terület paralelogrammáját! (Megjelenítés a modellen: egyenlő szélességű csíkok)

IV. Lépjen elő!

Felírva a táblára választható feladatok:

1. "Vágja le a háromszöget két egyenes vonallal, hogy a darabokat téglalappá tudja hajtani."

Megoldás:

2. "A téglalapot egyenes vonalban vágd 2 részre, amiből derékszögű háromszöget készíthetsz."

Megoldás:

3) Egy téglalapba átlót húzunk. Az egyik eredményül kapott háromszögben egy mediánt rajzolunk. Keresse meg az arányokat az ábrák területei között! .

Megoldás:

Válasz:

3. Az olimpia feladatai közül:

„Az ABCD négyszögben az E pont az AB felezőpontja, amely a D csúcshoz kapcsolódik, és az F a CD felezőpontja a B csúcshoz. Bizonyítsuk be, hogy az EBFD négyszög területe 2-szer kisebb, mint a négyszög területe. ABCD.

Megoldás: rajzoljon átlós BD-t.

475. számú gyakorlat.

„Rajzolja le az ABC háromszöget. A B csúcson keresztül húzzon 2 egyenest úgy, hogy ezek ezt a háromszöget 3 egyenlő területű háromszögre osztják.

Használja a Thalész-tételt (osztja az AC-t 3 egyenlő részre).

V. A nap feladata.

Neki a tábla jobb szélső részét vettem fel, erre írom a mai feladatot. A gyerekek dönthetnek vagy nem. Ezt a problémát ma nem oldjuk meg az órán. Csupán annyit, hogy akit érdekel, az kiírhatja, megoldhatja otthon vagy szünetben. Általában már a szünetben sok srác elkezdi megoldani a problémát, ha úgy dönt, megmutatja a megoldást, én pedig egy speciális táblázatban rögzítem. A következő leckében mindenképpen visszatérünk erre a problémára, a lecke egy kis részét annak megoldására fordítjuk (és egy új probléma írható fel a táblára).

„A paralelogrammát paralelogrammává vágjuk. A többit osszuk 2 egyenlő méretű figurára.

Megoldás: Az AB metsző áthalad az O és O1 paralelogramma átlóinak metszéspontján.

További problémák (olimpiai feladatokból):

1) „Az ABCD (AD || BC) trapézben az A és B csúcsok az M ponthoz, a CD oldal felezőpontjához kapcsolódnak. Az ABM háromszög területe m. Keresse meg az ABCD trapéz területét.

Megoldás:

Az ABM és az AMK háromszögek egyenlő számok, mert AM a medián.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

Válasz: SABCD = 2m.

2) "Az ABCD (AD || BC) trapézben az átlók az O pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az AOB és a COD háromszögek egyenlő területek."

Megoldás:

S ∆BCD = S ∆ABC , mivel közös alapjuk BC és azonos magasságúak.

3) Egy tetszőleges ABC háromszög AB oldalát a B csúcson túl terjesztjük úgy, hogy BP = AB, az AC oldalt az A csúcson úgy, hogy AM = CA, a BC oldalát a C csúcson úgy, hogy KS = BC. Hányszor nagyobb az RMK háromszög területe, mint az ABC háromszög területe?

Megoldás:

Háromszögben MVS: MA = AC, tehát a BAM háromszög területe megegyezik az ABC háromszög területével. Háromszögben munkaállomás: BP = AB, tehát a BAM háromszög területe megegyezik az ABP háromszög területével. Háromszögben ARS: AB = BP, tehát a BAC háromszög területe megegyezik a BPC háromszög területével. Háromszögben VRK: BC \u003d SC, ezért a VRS háromszög területe megegyezik az RKS háromszög területével. Háromszögben AVK: BC = SC, tehát a BAC háromszög területe megegyezik az ASC háromszög területével. Az MSC háromszögben: MA = AC, tehát a KAM háromszög területe megegyezik az ASC háromszög területével. 7 egyenlő háromszöget kapunk. Eszközök,

Válasz: Az MRK háromszög területe hétszerese az ABC háromszög területének.

4) Kapcsolt paralelogrammák.

2 paralelogramma az ábrán látható módon helyezkedik el: közös csúcsuk van, és mindegyik paralelogrammához egy további csúcs van a másik paralelogramma oldalán. Bizonyítsuk be, hogy a paralelogrammák területei egyenlőek.

Megoldás:

És , eszközök,

Felhasznált irodalom jegyzéke:

1. Tankönyv "Geometry 7-9" (szerzők L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev (Moszkva, "Felvilágosodás", 2003).
2. Különböző évek olimpiai problémái, különösen a "Matematikai olimpiák legjobb problémái" című tankönyvből (összeállította: A. A. Korznyakov, Perm, "Knizhny Mir", 1996).
3. Sok éves munka során felhalmozott feladatok válogatása.